微积分B2知识点
高等数学b2大一知识点
高等数学b2大一知识点高等数学是大一学生在理工科、经济学等领域中必修的一门课程。
在高等数学B2中，学生将进一步学习微分学和积分学的更深层次的知识和应用。
本文将对高等数学B2课程中的一些重要知识点进行探讨和解释。
一、微分学微分学是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化和变化率。
在高等数学B2中，学生会深入学习函数的导数和微分的性质，以及一些常见函数的导数公式。
1. 函数的导数函数的导数在微分学中有着重要的地位。
导数定义了函数的变化率，可以表示函数在某一点处的斜率。
导数的求解方法有很多种，常见的方法包括用导数的定义计算、使用导数的性质进行运算等。
2. 常见函数的导数公式在微分学中，有很多常见函数的导数公式。
例如，对于多项式函数，其导数可以通过求取每一项的导数再求和得到。
对于指数函数和对数函数，其导数具有特定的性质和公式。
此外，三角函数和反三角函数的导数也是微分学中的重要内容。
3. 微分的应用微分的应用非常广泛，特别是在物理学和工程学中。
例如，通过对物体的位移函数进行微分，可以得到速度函数；再次对速度函数进行微分，可以得到加速度函数。
在经济学中，微分还可以用来解释供求关系、市场竞争等经济现象。
二、积分学积分学是微分学的逆向过程，研究的是函数的面积和变化量。
在高等数学B2中，学生将学习积分的定义、性质以及一些常见函数的积分法。
1. 积分的定义积分的定义是通过分割一个区间，将函数的值进行求和得到。
其中，定积分是指将函数在一个区间上的面积进行计算。
不定积分是指求取函数的原函数，即求取导数的逆过程。
2. 常见函数的积分法在积分学中，有很多常见函数的积分法。
例如，多项式函数的积分可以通过反向运用导数的公式进行计算。
三角函数和反三角函数的积分具有一些特殊的形式和性质。
此外，指数函数和对数函数的积分也有一些特定的方法。
3. 积分的应用积分的应用也非常广泛，特别是在物理学和统计学中。
例如，在物理学中，通过对速度函数进行积分，可以得到位移函数；再次对位移函数进行积分，可以得到加速度函数。
考研数学b2
考研数学b2《考研数学B2》是考研数学科目中的一部分，属于复变函数与有限级数部分。
本科基础数学课程主要包括实变函数与复变函数，而考研数学B2则重点学习复变函数的基本理论和应用，是考研数学B中的重点考点之一。
我们来了解一下复数和复平面的概念。
复数是指由实数和虚数构成的数，形如a + bi，其中a和b分别是实部和虚部，i是虚数单位。
复平面是由实轴和虚轴构成的平面，在复平面上可以用点来表示复数。
在复变函数中，我们主要关注解析函数的性质和应用。
解析函数也叫全纯函数，是指在某个复平面区域上处处可导的函数。
解析函数具有很多重要的性质，比如可导必解析、解析必连续等。
对于解析函数，我们可以用几何方法和代数方法进行研究。
在代数方法中，我们常用的包括复变数列与函数的级数展开、洛朗级数和泰勒级数展开等。
洛朗级数展开主要适用于解析函数在复平面上存在奇点的情况，可以将函数在奇点附近展开为无穷级数。
泰勒级数展开则适用于解析函数在复平面上处处解析的情况，可以将函数在某点附近展开为幂级数。
另外，复变函数的积分也是我们需要掌握的内容之一。
复变函数的积分包括路径无关积分和积分存在性两个方面。
路径无关积分是指在某个闭合曲线上的积分与起点和终点无关，这也是复变函数与实变函数不同之处之一。
而积分存在性则是指对于解析函数在某个区域上的积分，积分的结果与路径无关。
复变函数的应用也是我们需要了解的方面。
复变函数在物理、工程和金融等方面都有广泛的应用。
比如在物理学中，复变函数可以用来描述电磁场、流体力学等。
在工程学中，复变函数可以用来描述信号传输、控制系统等。
在金融学中，复变函数可以用来描述金融衍生品的定价问题等。
综上所述，考研数学B2是复变函数与有限级数的一部分，需要学习复数和复平面的概念、解析函数的性质和应用、级数展开、积分以及应用等内容。
在备考过程中，我们需要掌握这些基本概念和方法，通过刷题和解题实践来提升自己的应用能力，从而取得好的考试成绩。
微积分二知识点总结
微积分二知识点总结1. 级数1.1 级数的定义级数可以看作是无穷多个数的和，即将无穷多个数按照一定的顺序加起来。
表示为：S = a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ + …1.2 收敛与发散级数的和是否有限可以分为两种情况： - 如果级数的部分和Sₙ当n趋于无穷大时有极限L，即limₙ→∞ Sₙ = L，则称该级数是收敛的； - 如果级数的部分和Sₙ当n趋于无穷大时无极限，即limₙ→∞ Sₙ不存在，则称该级数是发散的。
1.3 级数的判定法判定一个级数是收敛的还是发散的有多种方法，以下是常见的几种判定法： - 比较判定法：将要求解的级数与一个已知级数进行比较，确定其大小关系。
- 比值判定法：通过求级数的项与前一项的比值或相邻两项的比值的极限来判断级数的收敛性。
- 根值判定法：通过求级数的项的绝对值的n次方根的极限来判断级数的收敛性。
- 积分判定法：将级数转化为函数的积分形式，利用定积分的性质来判断级数的收敛性。
2. 泰勒级数2.1 泰勒级数的定义泰勒级数是一种用函数的无穷多个项的和来表示该函数的级数。
泰勒级数在微积分中起到了重要的作用，可以将一个复杂的函数近似地用一系列较简单的函数表示。
2.2 泰勒级数的求法泰勒级数的求法主要有以下几个步骤： 1. 求函数在某一点的各阶导数； 2. 计算函数在该点的各阶导数值并带入泰勒展开公式中； 3. 按照展开公式的形式将函数以多项式的形式展开。
2.3 常见的泰勒级数展开2.3.1 三角函数的泰勒级数展开•正弦函数的泰勒级数展开式：sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + …•余弦函数的泰勒级数展开式：cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + …2.3.2 自然指数函数的泰勒级数展开•自然指数函数的泰勒级数展开式：e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …2.3.3 对数函数的泰勒级数展开•自然对数函数的泰勒级数展开式：ln(1 + x) = x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + …3. 函数的极限3.1 函数的极限的定义函数的极限可以用来描述函数在某一点的取值趋于的结果。
大一高数b2知识点总结
大一高数b2知识点总结大一高等数学B2知识点总结高等数学是大学数学课程中的基础课程之一，对于学习理工科及相关专业的学生来说尤为重要。
其中，大一下学期的高等数学B2是高等数学的延续和深化，内容相对较为复杂。
本文将对大一高等数学B2的主要知识点进行总结，帮助读者理清思路，更好地掌握这门课程。
一、数列与级数1. 数列的概念和性质数列由一系列有序数构成，可以分为等差数列、等比数列等特殊类型。
数列的极限是数列研究的重要内容之一。
2. 数列的极限数列的极限是指当自变量趋于无穷大时，函数值趋于某个确定的值。
极限的定义、计算和性质是数列与级数章节的重点内容。
3. 数列极限存在准则存在着许多判定数列极限存在的准则，如夹逼准则、单调有界准则等。
通过应用这些准则，可以更方便地判断数列的极限是否存在。
4. 无穷级数级数是指将一系列数相加而得到的无穷和。
级数的概念、性质以及级数的收敛与发散等都是需要掌握的重要知识点。
二、函数的微分学1. 导数的概念与几何意义导数是函数微分学中的重要工具，表示函数在某一点的变化率。
理解导数的概念以及其在几何上的意义，对于后续的微分学习具有重要意义。
2. 导数的计算法则微分学中有一系列计算导数的法则，如常数法则、幂函数法则、和差商法则等。
这些法则的灵活应用可以大大简化计算过程。
3. 高阶导数与隐函数求导导数的概念不仅可以推广到高阶导数，还可以应用于隐函数求导的问题。
高阶导数和隐函数求导的应用非常广泛，需要掌握相应的计算方法。
4. 函数的极值与最值导数的概念与函数的极值与最值有着密切的联系。
通过求解导数为零的点或者利用导数的符号变化可以确定函数的极值与最值。
三、不定积分与定积分1. 基本不定积分不定积分是定积分的重要前提，学习基本不定积分的计算方法是掌握定积分的基础。
2. 定积分的概念与性质定积分是对函数在一定区间上的加和操作，可以理解为曲线下的面积。
定积分的计算和性质是学习定积分的重点。
3. 定积分的计算方法定积分的计算可以通过数值积分法、换元积分法、分部积分法等方法进行。
高等数学大一b2知识点
高等数学大一b2知识点高等数学是大学数学的一门重要课程，对于理工类专业的学生来说，它是他们学习专业课程的基础。
其中，高等数学大一B2知识点是在数学分析的基础上进行拓展和延伸，包括了以下几个主要内容：极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学以及微分方程。
一、极限与连续在高等数学中，极限与连续是一个非常重要的概念。
极限是数学中用来描述函数在某一点附近的性质的工具，而连续则是函数在整个定义域内保持一致的性质。
在极限与连续的学习中，我们需要掌握函数极限的定义、极限的性质与运算法则、单侧极限以及无穷大与无穷小的概念。
此外，我们还需要理解连续的定义、连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质等。
二、一元函数微分学一元函数微分学是高等数学中的一个重要组成部分。
它主要研究的是函数的变化率，包括导数、微分以及应用。
在一元函数微分学的学习中，我们需要了解导数的定义、导数的计算方法、导数的运算法则、高阶导数等。
此外，我们还需要掌握微分的定义、微分的计算方法、微分中值定理等。
同时，在学习过程中，我们还需要熟悉函数的凹凸性和拐点的概念，以及对函数进行绘图和分析的技巧。
三、一元函数积分学一元函数积分学也是高等数学中的一个重要内容。
它主要研究的是函数在一个区间上的积分与反函数，包括不定积分、定积分和积分中值定理等。
在一元函数积分学的学习中，我们需要了解不定积分的定义与计算方法、定积分的定义与计算方法、定积分的几何意义以及积分中值定理等内容。
我们还需要学习变量代换法、分部积分法、换元积分法等积分计算的技巧。
同时，掌握应用题中积分的具体应用，如求曲线长度、求曲线面积等。
四、微分方程微分方程是高等数学的又一重要内容，它研究的是含有未知函数及其导数的方程。
在微分方程的学习中，我们需要了解微分方程的基本概念，如一阶微分方程、高阶微分方程、常系数线性微分方程等。
我们还需要学习解微分方程的一般方法，如分离变量法、齐次线性微分方程的解法、非齐次线性微分方程的待定系数法等。
微积分二知识点总结
微积分二知识点总结引言微积分是数学中的重要分支，用于研究函数的变化和曲线的性质。
微积分可以分为微分学和积分学两个部分。
本文将总结微积分二中的一些重要知识点，包括泰勒展开、泰勒级数、函数的傅里叶级数展开、常微分方程等内容。
泰勒展开和泰勒级数泰勒展开是函数在某一点附近用幂级数逼近的方法。
假设函数f(x)在x=a处具有n阶导数，那么泰勒展开可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + Rn(x)其中Rn(x)为余项，它表示当n趋向于无穷大时的误差。
泰勒级数是泰勒展开的一种特殊情况，当a=0时，泰勒展开可以简化为泰勒级数：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + ... + f^n(0)x^n/n! + Rn(x)泰勒级数的应用非常广泛，可以用来近似计算各种函数的值。
傅里叶级数展开傅里叶级数展开是一种将周期函数表示为正弦和余弦函数的线性组合的方法。
假设f(x)是一个周期为2π的函数，傅里叶级数展开可以表示为：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nx) + bn*sin(nx))其中a0、an和bn为函数f(x)的系数。
傅里叶级数展开的基本思想是将一个周期函数分解成多个简单的正弦和余弦函数的叠加。
这种表示方法在信号处理和频谱分析中非常有用。
常微分方程常微分方程是描述函数的变化规律与函数本身及其导数之间的关系的方程。
常微分方程可以分为一阶和二阶常微分方程。
一阶常微分方程可以表示为：dy/dx = f(x, y)其中f(x, y)为已知函数。
二阶常微分方程可以表示为：d^2y/dx^2 = f(x, y, dy/dx)常微分方程在物理学、工程学和经济学等领域中都有着广泛的应用。
总结微积分二是微积分的进阶课程，涵盖了泰勒展开、泰勒级数、函数的傅里叶级数展开、常微分方程等重要知识点。
高等数学b2教材
高等数学b2教材高等数学B2教材是大学数学教学中一门重要的课程，它承接着高等数学A1和A2教材的内容，涵盖了更加深入和高级的数学知识和技能。
本教材旨在帮助学生深入理解数学的基本概念和原理，并能够运用这些知识解决实际问题。
第一章：极限理论极限理论是高等数学的基础，它为后续章节的学习打下了坚实的基础。
本章介绍了极限的概念和性质，包括数列极限、函数极限和无穷大量。
通过学习本章内容，学生可以掌握极限的计算方法和应用，提高数学分析和推理的能力。
第二章：导数与微分导数与微分是数学中的重要概念，也是高等数学B2教材的核心内容。
本章介绍了导数的定义和性质，以及常用的导数计算方法，如求导法则、链式法则等。
学生通过学习本章内容，可以理解导数的几何意义，并能够应用导数解决实际问题。
第三章：不定积分与定积分本章介绍了不定积分和定积分的概念和计算方法。
学生通过学习本章内容，可以熟练运用不定积分和定积分的性质和公式，解决各种与积分相关的问题。
另外，本章还引入了曲线的长度、曲线的面积和旋转体的体积等概念，增加了数学知识的应用性。
第四章：微分方程微分方程是高等数学B2教材的重要内容之一。
本章介绍了常微分方程和偏微分方程的基本知识，包括一阶和二阶微分方程的解法、常系数线性微分方程的解法等。
学生通过学习本章内容，可以运用微分方程的方法解决实际问题，如物理、工程等领域的应用问题。
第五章：向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何是高等数学的重要分支，本章介绍了向量的基本概念和性质，以及向量的线性运算、数量积和向量积等相关知识。
此外，本章还介绍了空间解析几何的基本概念和计算方法，如直线、平面、曲面等的方程。
总结高等数学B2教材涵盖了极限理论、导数与微分、不定积分与定积分、微分方程以及向量代数与空间解析几何等重要内容。
通过学习本教材，学生将进一步掌握数学的基本概念和原理，并能够灵活运用数学知识解决实际问题。
高等数学B2教材的学习不仅对数学专业的学生具有重要意义，也对其他理工科专业的学生具有一定的指导作用。
高等数学b2教材内容
高等数学b2教材内容高等数学B2教材是大学高等数学课程的一部分，主要涵盖了微积分学的相关知识和应用。
它适用于理工科及相关专业的学生，并且在大学教育中扮演着重要的角色。
一、导数与微分高等数学B2教材的第一部分是导数与微分。
它介绍了导数的概念、导数的计算方法和一阶导数的应用。
在这一部分中，学生将学会求导法则、隐函数求导、相关变化率、曲线的凸凹性质等。
二、不定积分与定积分不定积分与定积分是高等数学B2教材的第二部分。
在这一部分中，学生将学习到不定积分的概念和计算方法，以及定积分的定义和应用。
同时，教材还会介绍定积分的几何意义和微积分基本定理，使学生能够理解积分与导数的关系。
三、级数与数项级数高等数学B2教材的第三部分是关于级数与数项级数的内容。
这一部分将介绍级数的收敛性与发散性、级数求和的方法和级数的应用。
学生将学会使用比值判别法、根值判别法等方法判断级数的收敛性，并掌握级数运算的基本技巧。
四、函数极值与泰勒展开函数极值与泰勒展开是高等数学B2教材的第四部分。
在这一部分中，学生将学习到函数的极值与最大值最小值、泰勒展开近似计算的方法和应用。
教材还会介绍多元函数的极值与条件极值，使学生能够处理多变量的极值问题。
五、多元函数微分法与多元函数的积分多元函数微分法与多元函数的积分是高等数学B2教材的最后一部分。
通过学习这一部分内容，学生将掌握多元函数的偏导数、全微分的计算和多元函数积分的定义与计算方法。
教材还会介绍重积分与曲线积分，以及它们在物理、几何等领域的应用。
总结：高等数学B2教材内容包括导数与微分、不定积分与定积分、级数与数项级数、函数极值与泰勒展开、多元函数微分法与多元函数的积分。
这些内容旨在帮助学生理解微积分的原理、掌握相关计算方法，并运用于实际问题中。
通过深入学习高等数学B2教材，学生将能够在理工科及相关专业中建立起扎实的数学基础，为未来的学习和研究打下坚实的基础。
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微积分B2复习要点一 题型1.填空题( 3×7=21分)；2.单项选择题(3×6=18分)；3.计算题(51分)；4.解答题(10分)二 知识点第七章 向量代数与空间解析几何空间曲面的方程(平面、球面、柱面、旋转曲面)例 求球心为点),,(0000z y x M ，半径为R 的球面方程 例 平面直角坐标系中 224x z +=的图形是 圆 ，空间直角坐标系中 224x z +=的图形是 圆柱面 。
例 XOZ 面上224x z +=绕x 轴旋转一周后的旋转体方程为 。
第八章 多元函数微分学1.二元函数的定义域；例1 求函数z =的定义域D .解 要使z =有意义, 应有22440x y --?,即2214y x +?.故 22(,)14y D x y x 禳镲镲=+?睚镲镲铪例2 求ln()z x y =-的定义域D .解 要使ln()z x y =-有意义, 应有0x y ->, 故 {}(,)0D x y x y =->. 例3求函数z =的定义域D 。
解要使z =, 应有22224010x y x y ìï--?ïíï+->ïî, 即 2214x y <+?, 故 {}22(,)14D x y x y =<+?2.二元函数的极限的计算；定义 如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当δρ<-+-=<20200)()(y y x x 时，ε<-A y x f ),(恒成立，则称当),(y x 趋于),(00y x 时，函数),(y x f 以A 为极限。
记作 A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00 或 A y x f =→),(lim 0ρ例 求2222001yx y x y x ++→sin)(lim ),(),( 解 当00→→y x ,时022→+y x ，1122≤+yx sin由于无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量，所以2222001yx y x y x ++→sin)(lim ),(),(0= 3.多元函数偏导数计算； （1）一阶偏导数的计算； （2）全微分的计算；概念：函数(,)z f x y =的全微分为z z dz dx dy x y∂∂=+∂∂ 例 求函数2235z x y x y =-+的全微分．解 因为2223,25z zxy x y x y∂∂=-=+∂∂， 所以 22(23)(25)dz xy dx x y dy =-++．（3）多元复合函数的偏导数的计算；概念：设(,),(,),(,)z f u v u x y v x y ϕψ===，若(,),(,)u x y v x y ϕψ==在点(,)x y 处偏导数存在，而(,)z f u v =在对应点(,)u v 处可微，则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 处可导，且z z u z v x u x v xz z u z v y u y v y∂∂∂∂∂⎧=⋅+⋅⎪∂∂∂∂∂⎪⎨∂∂∂∂∂⎪=⋅+⋅∂∂∂∂∂⎪⎩例 已知22153,cos ,cos z u v u x y v y x =-+==，求,z zx y∂∂∂∂． 解 由链式法则有 226cos 2(sin )6cos sin 2z z u z vu y v y x x y y x x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅-=--∂∂∂∂∂． 用同样的方法，可得223sin 22cos zx y y x y∂=+∂ （4）隐函数的偏导数的计算；例：设(,)z z x y =是由方程z x y z e ++=确定的隐函数，试求,.z z x y∂∂∂∂ （5）抽象函数求导例 求复合函数(,)y z f xy x =的一阶偏导数xz∂∂和y z ∂∂。
解 令,y u xy v x ==，则(,)y z f xy x =变为(,)z f u v =，,yu xy v x==复合而成的复合函数。
2()z f u f v f f yy x u x v x u v x∂∂∂∂∂∂∂=+=+-∂∂∂∂∂∂∂ 1z f u f v f f x y u y v y u v x∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 练习：设(2,sin )z f x y y x =-，f 具有一阶连续偏导数，求,z zx y∂∂∂∂ 6.可微、偏导、连续的关系;7.多元函数极值的计算。
概念：设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域内有定义,若对于该邻域内异于0P 的点(),P x y ,有00(,)(,)f x y f x y <(或00(,)(,)f x y f x y >),则称00(,)f x y 为函数(,)f x y 的一个极大值(或极小值).例；求函数22442y xy x y x z ---+=的极值。
解：解3342204220x yz x x y z y x y ⎧=--=⎪⎨=--=⎪⎩，得()(,)(1,1),0,0x y =±。
而22122,2,122xxxy yy z x z z y =-=-=- 对(,)(1,1)x y =±，2212210,2,12210xxxy yy z x z z y =-==-=-=， 知 (,)(1,1)x y =±为极小值点。
且极小值为-2。
第九章 二重积分1.二重积分的计算(直角坐标,极坐标)；例（1）()⎰⎰+Dd y x σ6，其中D 由1,2,===x x y x y 所围成（2）求⎰⎰DD xyd ,σ是由直线3+-=x y 与曲线1212-=x y 所围成 （3）计算⎰⎰=Dy x xy I d d ，其中D 由曲线2y x =及y x 562-=所围成．解 画出积分区域D积分区域D 2:y D ≤x ≤y 56-，2-≤y ≤1， 所以y y y y x xy y I y y d )56(21d d 12456122⎰⎰⎰-----==427613532121632-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-y y y ． （4）()4:2222≤++⎰⎰y x D d y x Dσ(5) 41:)(22522≤+≤+⎰⎰y x D d y x Dσ2. 交换积分次序；例 交换二重积分⎰⎰x edy y x f dx ln ),(01的积分次序。
解：由二次积分的上、下限知积分D 的图形是0=y 与x y ln =在],[e 1之间的部分，则 :D x y e x ln ,≤≤≤≤01若先对y 后对x 积分，此时积分区域可表示为:D e x e y y ≤≤≤≤,10因此，我们可以交换积分次序⎰⎰x edy y x f dx ln ),(01=⎰⎰eey dx y xf dy ),(10例（1）⎰⎰-4122),(ydx y x f dyy(2) ⎰⎰x dy y x f dx 010),(+⎰⎰-xdy y x f dx 2021),(3.二重积分的性质与应用。
例 设D 由xy x y y 1,0,2==-=所围成，求平面图形D 的面积。
第十章 微分方程与差分方程1.微分方程的相关概念；2.一阶线性微分方程的通解和特解的计算；方程()()x Q y x P dydx=+ (1) 称为一阶线性微分方程(注意其特点为它对于未知函数y 及其导数dydx是一次方程)当()0≡x θ时，方程(1)为齐次的，当()Q x 不恒等于零时，方程(1)为非齐次的．()0=+y x P dydx(2) 称为方程(1)对应的齐次方程，它是可分离变量型()()()p x dx p x dx y e Q x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎰⎢⎥⎣⎦. 例 求方程()25112+++=x x y dx dy 的通解分析 (常数变易法)这是()()()251.11+=+-=x x Q x x P 的一阶非齐次线性方程．它有两种解法：常数变易法与公式法解法一 (常数变易法)先求对应齐次方程的通解．y x dx dy 12+=,dx x y dy 12+=, c x y ln 1ln 2ln ++=,()21+=x C y ,用常数变易法，把c 换成u ，即令()21+=x u y,()()1212'+++=x u x u dxdy , 代入所给非齐次方程，有()121u x '=+,()()C x dx x u ++=+=⎰23211321,于是()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=C x x y 2321321,解法二 (公式法)直接由()()()p x dx p x dx y e Q x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎰⎢⎥⎣⎦给出，其中 ()()⎰⎰+=+-=21ln 12x dx x dx x p 2.二阶常系数齐次线性微分方程的通解和特解的计算。
二阶常系数齐次线性微分方程求通解,特解概念：若 22()()0d y dyP x Q x y dx dx++=中(),()P x Q x 为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程。
解题步骤：（1）写出微分方程对应的特征方程20r pr q ++=，并求解出特征根12,r r （2）根据特征方程的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程的通解：（3）将初始条件代入（2）中的通解中求解出通解中的12,C C（4）将12,C C 代入到通解里去，得到题目要求的特解。
例题：求微分方程230y y y ''--=‘满足初始条件0|0x y ==，0'|4x y ==的特解。
解： 所给微分方程的特征方程为2230r r --=其根121,3r r =-=是两个不相等的实根，因此所求通解为312x xy C e C e -=+ （1）从而312'3x x y C e C e -=-+ （2） 将初始条件0|0x y ==，0'|4x y ==代入（1）、（2） 得：120C C =+，1243C C =-+ 从而121,1C C =-=所以，原微分方程的特解为3x x y e e -=-+例题：求方程2220d s dss dt dt++=满足初始条件：2..400-=='==s s t t 的特解解 对于求满足初始条件的特解的这类方程，应先求出原方程的通解,然后再求特解：原方程对应的特征方程为：.0122=++r r 即0)1(2=+r2121,.1r r r r Θ-==∴为重根．t e t c c s -+=∴)(21(1)再对(1)的两边关于t 求导:t t t e t c c c e t c c e c dtds-----=-++=)()1)((212212(2) 把40==s t 代入(1)的41=c 把⎪⎩⎪⎨⎧=-==4210c s t 代入(2)得，22=ct e t s -+=∴)24(为所求．例题： 求微分方程：052=+'-''y y y 通解． 解 所给方程的特征方程为：i r r r 2122042,0522,12±=-±==+-为一对共轭复根．).2sin 2cos (21x c x c e y x +=∴(这里2,1==βα) 3. 可降阶的二阶微分方程的通解与特解的计算 类型1：),(y x f y '='' 令 ,p y =' 则 p y '=''，于是可将其化成一阶微分方程。