北师大版初中数学九年级上册《综合与实践 猜想、证明与拓广》 公开课教案_0
第06章综合与实践猜想、证明与拓广-九年级上册初三数学(北师大版)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与几何证明相关的实际问题，如如何证明等腰梯形的对角线相等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如通过折叠和剪切来验证几何猜想。
五、教学反思
今天我们在课堂上探讨了综合与实践章节中的猜想、证明与拓广。通过这节课的教学，我发现学生们对于几何猜想的提出表现得非常积极，他们能够通过观察和思考，提出一些有创意的猜想。比如，在探讨勾股定理的逆定理时，有学生提出了关于直角三角形边长比例的猜想，这是一个很好的开始。
然而，我也注意到在证明过程中，学生们普遍存在逻辑推理不够严密的问题。他们有时会忽略一些必要的步骤，或者证明过程中逻辑链条不够清晰。这让我意识到，我们需要在接下来的课程中加强逻辑推理的训练，特别是让学生理解每一步证明的必要性。
4.培养学生的数学建模素养，结合实际问题，引导学生运用几何知识构建数学模型，培养学生将现实问题转化为数学问题的能力。
5.培养学生的创新意识，鼓励学生在猜想、证明与拓广的过程中，勇于提出新观点，探索新方法，激发学生的创新思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-几何猜想的提出：重点在于引导学生通过观察特例提出合理的数学猜想，如勾股定理的逆定理。举例：通过观察不同直角三角形的边长关系，引导学生发现并表述勾股定理的逆定理。
最后，我意识到教学过程中要更加注重培养学生的创新意识和解决问题的能力。在今后的课堂中，我会鼓励学生大胆猜想，勇于尝试不同的证明方法，并引导他们在实际情境中发现几何问题的解决之道。通过这样的教学方式，我相信学生们能够更好地理解和掌握几何知识，提高他们的数学素养。
北师大版初三数学上册猜想、证明与拓广
《猜想、证明与拓广》教学设计西街初中柴晓娟教学目标：⑴经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验.⑵在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识.⑶在探究过程中,感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性.学习重点难点1.重点:通过对一个开放性、探究性的课题的探索，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法.2.难点:处理问题的策略和方法.课时引入：世界三大几何难题：化圆为方，三等分任意角，倍立方这些问题困扰数学家一千多年都不得其解,而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的.1637年笛卡儿创建解析几何以后,许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。
1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。
1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根）,化圆为方的不可能性也得以确立 .教学过程：探究活动1：正方形的“倍增”问题问题(1)：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？教学策略：提出问题后引导学生思考，学生会出现的三种解决问题的思路：1、先有具体情况入手研究，得到一个猜想，然后再拓展到一般情况进行证明。
2、因为问题比较简单，有学生可能直接进行一般情况的证明。
3、由于任意两个正方形都是相似的，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 所以周长比和面积比不可能同时为2. 因此这样的正方形不存在. 这三种解决问题的方法都应该给与肯定和表扬。
证明方法：解：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a,面积为a2,周长扩大两倍后为8a,则其边长应为 2a,此时面积应为 4a2，它不是已知给定的正方形的面积的2倍.所以不存在这样的正方形。
或是先考虑面积扩大为原来的两倍为2a2，则边长应为a2，此时周长应为4a2，不是4a的两倍，无论从哪个角度考虑，都不存在这样的正方形。
北师大版九年级(上)猜想证明与拓广教学设计
北师大版九年级（上）猜想、证明与拓广教学设计吕永芳一、内容解析课题学习是初中数学四大领域之一的重要内容，课题学习设计的意图是为了将前面某领域内所学知识进行综合，加深知识间的理解水平，或在数学内部不同领域间建立起联系，或把数学内容与其它学科内容沟通在一起，建立起数学与其它学科的联系。
本节课是北师大版九年级（上）的课题学习《猜想、证明与拓广》的第1课时，它是在学生已经学完证明（二）、证明（三）及一元二次方程和反比例函数的基础上设计的开放性、研究性的课题，主要意图是给学生提供一个思考、研究的平台，在活动中体会和把握猜想、证明与拓广的数学化思维模式，将数学最本质的东西——思想和方法进行汇总和梳理，同时感悟处理问题的策略和方法，积累数学活动经验。
因此本节课是数学学习中非常重要的一节思维训练课。
二、目标与目标解析1、教学目标：（1）经历猜想、证明与拓广的过程，掌握猜想、证明与拓广的方法，培养问题意识和自主探索的能力，获得探索和发现的体验；（2）在问题解决过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体认识；（3）在探索过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性；（4）在合作交流过程中扩展思路，发展学生的推理能力，培养团队合作精神。
2、目标解析：本课题学习整体上是一个开放性、研究性的课题，教学设计依照数学化的进程展开，在围绕“是否存在与已知图形的周长和面积同时倍增的图形”的一系列问题展开的，学生在经历这些问题的探索中加深对数学的领悟，教学实施中对问题的思考以自然的、启发性的方式进行探究，从中学习并感受数学知识的发生历程，其蕴含的“问题情境→猜想→验证→发现规律→证明→拓广”这一数学模式及由特殊到一般、数形结合的思想方法是学生应重点把握的。
本课题学习的目的不在于对某个具体问题的解决，而在于对猜想、证明与拓广能力的培养，因此如何在教学实施中使学生学会猜想，学会证明，学会拓广是本节课的教学重点更是难点，为此我在教学设计中将通过在学生经历猜想、证明与拓广的每一阶段后及时进行反思提炼，总结方法来培养学生猜想、证明与拓广的能力。
北师大版初中数学九年级上册《综合与实践 猜想、证明与拓广》 公开课教案_0
综合与实践猜想、证明与拓广一，教学目标：1.让学生经历探索与证明数学结论的过程，增强问题意识和自主探索的意识，感受由特殊到一般，数形结合的思想方法，体会证明的必要性和不同数学知识领域之间的联系；形成对数学的整体性认识。
2.通过对一个开放性，研究性问题的探索，获得探索和发现的体验，运用归纳，综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法，发展学生的推理探索能力。
3.通过反思自己以及同伴解决问题是过程，使学生提出问题的能力得到发展，在独立思考并与同学合作交流中扩展思路，获得成功的体验和克服困难的经历，增强学习数学的信心。
二、学情分析：学生在经历了两年半的初中学习后，积累了一定的证明的经验，思想和方法，具备了几何证明及探究的能力。
在九上的第二章学习了一元二次方程后，会利用根的判别式判断根的情况，并且积累了列一元二次方程解决几何问题的实际经验。
在学习了一次函数和反比例函数后，能理解应用函数的思想，数形结合的思想解决实际问题。
三、教学重难点：重点：经历猜想、证明、拓广的“数学化”的过程，获得探索和发现的体验，体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法.难点：从特殊到一般，启发学生综合运用一元二次方程，方程组，函数等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法。
四、教学方法：自主学习法，分组讨论法、讲授法、五、教学过程：1，问题提出并解决：问题 1.任意给定一个正方形,是否存在另一个正方形,它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍?探究方案：（1）利用相似知识，相似比是1：2时，面积比是1：4.（2）设给定的正方形边长为a,则其面积是a².若周长倍增,即边长变为2a,则面积应为4a2≠2a2;若面积倍增,即面积变为2a²,则其边长应为 a ≠2a.结论：不存在这样的正方形，它的面积和周长分别是已知正方形的面积和周长的2倍。
（正方形问题的解决为后面矩形问题的解决提供了思想方法。
）问题 2. 任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?探究方案：（1）是否可利用相似知识？（引导学生辨明为什么正方形可以用相似的知识解决而矩形不可以。
北师大版数学九年级上册阅读与思考猜想、证明与拓广优秀教学案例
在作业小结环节，我会布置相关的作业和练习题，让学生进行巩固和应用。我会提醒学生注意作业的完成要求和时间安排，并鼓励他们积极思考和解决问题。同时，我会对学生的作业进行及时的批改和反馈，给予他们鼓励和指导，帮助他们提高解题能力和学习效果。
五、案例亮点
1.情境创设：本案例通过引入具体案例和实际问题，激发了学生的学习兴趣和动力。这种情境创设的方式使得学生能够更好地理解和感受到数学与生活的紧密联系，增强了学生的学习兴趣和积极性。
（二）过程与方法
在本章节的教学中，我期望学生能够达到以下过程与方法目标：
1.自主学习：学生能够独立完成阅读材料的学习，通过自主学习培养自身的数学思维能力和探究能力。
2.合作交流：学生在小组合作中，能够积极与他人交流和分享自己的思考和观点，通过合作交流提高自己的数学理解和解决问题的能力。
3.问题解决：学生能够运用已学的数学知识和方法，解决阅读材料中的数学问题，通过问题解决培养自己的创新能力和实践能力。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会将学生分成小组，并给出具体的讨论题目和问题。我会引导学生进行合作和交流，鼓励他们分享自己的观点和思路。我会巡回指导，给予学生必要的帮助和指导，促进学生的小组合作和问题解决能力的培养。
（四）总结归纳
在总结归纳环节，我会邀请学生代表或自己进行对本章节的总结和归纳。我会引导学生回顾和梳理所学的内容和知识点，强调重点和难点，并指出学习的意义和应用价值。通过总结归纳，学生能够加深对知识的理解和记忆，形成系统化的知识结构。
我的教学案例主要包括以下几个方面：首先，我会引导学生通过阅读材料，了解和掌握数学问题的背景和情境。其次，我会引导学生运用已学的数学知识和方法，对问题进行猜想和假设。然后，我会引导学生通过逻辑推理和数学证明，验证猜想的正确性。最后，我会引导学生进行拓广和应用，将所学知识和方法应用到其他相关问题中。
《猜想证明及拓广》教学设计
《猜想证明和拓广》（义务教育课程标准北师大版九年级上册课题学习）一、教材分析●（一）教材内容本课题学习是一个开放性、研究性的课题，为学生提供了一个思考、探究的平台，本课题学习的课题背景是：是否存在一个矩形，其周长与面积是已知矩形周长与面积的若干倍，●（二）地位作用本课题学习在学生的学习过程中具有很强的提升作用，让学生在解决问题的过程中去体验和领悟，获得解决问题的方法和途径，让学生通过本课题的学习不仅掌握学习知识的技能，更能够举一反三，培养数学推理能力和逻辑思维能力。
二、学情分析●（一）知识基础在本节课前，学生已初步掌握了一元二次方程的思想，方程的根与系数之间关系，积累了对一些简单方程问题的处理、分析经验。
●（二）认知水平初三的学生已具备一些方程问题的处理能力，由于年龄特点和认知特点，理性认识强于感性认识三、教学目标● （1）知识技能目标在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力。
●(2) 过程与方法在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识 . 在探究过程中 ,感受由特殊到一般、数式结合的思想方法，体会证明的必要性。
● （3）情感态度目标经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验。
四、教学重点难点：● 1. 重点 : 探索“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的 2 倍”，从而获得解决问题的方法和途径．●2．难点 : 从特殊到一般，启发学生综合运用一元二次方程、方程组等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法．●3．突破重点、突破难点的策略：从数学学习的必要性入手，结合多媒体直观演示，并通过学生互动研讨，加深对数学研究思想的理解，并配合由浅入深的练习，使学生掌握猜想、证明、拓广的方法。
五、教学用具多媒体投影仪大屏幕三角板六、教法学法本节采用“探究 -讨论”模式。
教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导，学生的学法突出探究与讨论。
九年级数学上册《猜想证明与拓广》教案、教学设计
1.回顾本节课所学的内容，让学生总结数学猜想的提出、证明方法和拓广应用等方面的重要知识点。
2.学生分享自己的学习心得，讨论在学习过程中遇到的困难和解决方法。
3.教师点评学生在课堂上的表现，鼓励学生积极参与讨论，培养其勇于探索、严谨治学的精神。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，提高学生的数学素养，特布置以下作业：
5.预习新课内容：
-预习下一节课将要学习的内容，为新课的学习做好准备；
-针对新课内容，提出自己的疑问和猜想，培养自主学习能力。
教师在批改作业时，应关注学生的思维过程和解答方法，及时给予评价和指导，鼓励学生发挥潜能，提高作业质量。同时，教师应认真总结学生的作业反馈，为今后的教学提供参考。通过以上作业布置，使学生更好地巩固所学知识，提高数学素养，为未来的学习奠定坚实基础。
3.注重数学思想的渗透，引导学生运用数形结合、化归等数学思想方法，简化问题，提高解题效率。
4.通过拓广练习，培养学生将理论知识应用于实际问题的能力，提高学生的数学素养。
（三）情感态度与价值观
本章节教学应关注以下情感态度与价值观的培养：
1.培养学生勇于探索、敢于质疑的精神，激发学生学习数学的兴趣和热情。
-数形结合、化归等数学思想方法的运用。
2.教学难点：
-学生对数学猜想的提出缺乏创新性，难以跳出传统思维框架；
-学生在证明过程中，逻辑推理能力不足，容易陷入思维误区；
-学生在拓广练习中，难以将所学知识灵活应用于实际问题。
（二）教学设想
1.针对教学重点，设计以下教学策略：
-创设问题情境，引导学生通过观察、思考、讨论等方式提出数学猜想，培养学生创新意识；
（四）课堂练习
《猜想证明与拓广》教学设计
《课题学习——猜想、证明与拓广》教学设计西安交大附中樊丹子一、设计思路《猜想、证明与拓广》是义务教育课程标准实验教科书《数学》北师大版九年级（上）课题学习的内容，教材以两个具体的几何议题（“倍增”和“减半”图形存在性问题），创设了问题情景，其主要意图是引导学生通过自主探索活动，综合运用已学的知识，体验处理问题的策略和方法。
本例涉及第一课时“倍增问题”.本课题学习是一个开放性、研究性且具有挑战性的课题，为学生提供了一个思考、探究的平台，这样的活动显然不能通过讲解、告知的方法，只能让学生在解决问题的过程中去体验、领悟，获得解决问题的方法和途径，所以我选择了以“自主探索，大胆猜想——启发诱导，数学证明——分组讨论，合理拓广”为主的教学方法．不断经历猜想、判断、证实或修正，综合运用二次方程、方程组、不等式、函数等知识，由特殊到一般地探索与发现的过程，让学生在“做”中“学”，体验以数学的方式来“做数学”，感悟处理问题的策略和方法。
教学时要为学生提供充分思考和交流的空间，鼓励学生在自主探索和猜测的基础上及时交流自己的想法和做法，可以采用小组合作的方法进行教学，注意问题的连贯性和前后内容的一致性，引导学生分类研究，由特殊到一般，启发学生发现更一般性的结论，寻找一般性的解决方法，对不同学生有不同要求，鼓励主动参与、积极思考、让每位学生都获得成功的体验；关注学生活动过程，包括是否能：发现新问题、尝试从不同角度思考，善于归纳总结等。
在学习方法上，应充分发挥学生在教学中的主体作用，采取让学生自己观察、大胆猜想、进行小组讨论和交流、师生共同归纳总结，体验学习的过程．二、教学目标（1）知识与技能目标：探索“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”的议题．（2）过程与方法目标：经历猜想、证明、拓广的数学思考过程，体验相应的数学思想方法，发展学生的推理能力；并在解决问题的过程中综合应用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识．（3）情感态度价值观：通过反思自己及同伴解决问题的过程，使学生提出问题的能力得到发展并在求解相应的“问题串”中，使学生体会到不同数学领域之间的联系．三、教学重点、难点重点：探索“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”，从而获得解决问题的方法和途径．难点：从特殊到一般，启发学生综合运用一元二次方程、方程组、不等式、函数等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法．四、教学程序及设想问题提出看这幅美丽的正方形图片，如果想把它的周长和面积同时扩大为原来的2倍，使它成为一个新的图片，能实现吗？先猜想结论，并尝试用数学的方法，科学的解释你的结论．把教学内容转化为具有潜在意义的问题，让学生产生强烈的问题意识，使学生的整个学习过程成为由知识与经验，同化和索引出当前学习的新知识，这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中．猜想探究转化为数学问题1：任意给定一个正方形，是否存在．．另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形的2倍？(鼓励学生大胆猜想、对研究的问题发表见解，进行探索、合作与交流，对学生涌现出多样化的解题思路，及时予以引导、归纳和总结)得出结论后鼓励学生合理发散思维，提出新的问题……让学生感知到我们不仅解决了问题,而且学会多种方式多种途径思考问题,发散思维.能力拓展问题2-1：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？凸现类比的数学思想方法，以类比引起新的认识冲突，促使学生重新审视，认真探究矩形的形状太多了，我们如何来探索问题2呢？总结出探究问题的方法：从特殊到一般问题2-2：如果已知矩形长和宽分别为2和1，结论会怎样？你是怎么做的？与同伴交流。
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东北育才学校教案
附录：关于本节课的一些说明
《猜想、证明与拓广》是义务教育课程标准实验教科书《数学》北师大版九年级（上）“课题学习”的内容，课堂围绕着中心课题——图形“倍增”，通过一系列具体问题逐渐展开，其主要意图是引导学生通过自主探索活动，综合运用已学的知识，体验处理问题的策略和方法，从而使自身解决问题的能力得到提升。
主体体现：猜想—证明—拓广的思路，在不同层面鼓励同学综合运用多种数学模型解决问题。
（1）内容设计方面：补充了“引例问题”和“正方形到矩形的倍增问题”，使学生的猜想、探索进程更易入手，更加自然；具体倍增问题，使学生不断经历猜想、判断、证实或修正，由特殊到一般地探索与发现的过程，体验以数学的方式来“做数学”，感悟处理问题的策略和方法；
（2）知识储备方面:：以本学期学习的一元二次方程、反比例函数、相似等为基本素材，从
学生的认知水平出发，层层设问、留白，引导学生逐步解决一个个看似简单又具有开放性、研究性的问题；
（3）课堂组织形式方面：本课题学习是一个开放性、研究性且具有挑战性的课题，为学生提供了一个思考、探究的平台，这样的活动显然不能通过讲解、告知的方法，只能让学生在解决问题的过程中去体验、领悟，获得解决问题的方法和途径，所以我选择了以“自主探索，
相似形是否存在“倍增”图形
其他图形（如菱形）是否存在“倍增”问题？
长方形是否存在“减半”问题，“三倍”问题？……。