电子科大随机信号分析随机信号分析试题A卷答案

电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____ 分钟课程成绩构成：平时 %， 期中 %， 实验 %， 期末 % 本试卷试题由_____部分构成，共_____页。

计算、简答、论述、证明、写作等试题模板如下一、若信号00()cos()X t X t ω=++Θ输入到如下图所示的RC 电路网络上，其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Θ为[0,2]π上均匀分布的随机变量，并且0X 与Θ彼此独立，Y (t )为网络的输出。

（ 共10分）（1）求Y (t )的均值函数。

(3分)（2）求Y (t )的功率谱密度和自相关函数。

(4分) （3）求Y (t )的平均功率。

(3分)图 RC 电路网路（1）RC 电路的传输函数为()1(1)H j j RC ωω=+()X t 的均值函数为∴ Y (t )的均值函数为 （2）∴()X t 是广义平稳的。

∴()X t 的功率谱为： 功率谱传递函数：221|()|H j RC ωω=1+（）根据系统输入与输出信号功率谱的关系可得： 求()Y S ω的傅立叶反变换，可得：（3）2222011(0)328Y Y P R f R C ==++π二、若自相关函数为()5()X R τδτ=的平稳白噪声X (t )作用于冲激响应为()e ()bt h t u t -=的系统，得到输出信号Y (t )。

（ 共10分）（1）求X (t )和Y (t )的互功率谱()YX S ω和()XY S ω。

(5分) （2）求Y (t )的矩形等效带宽。

(5分)（1）1()() ()bt h t e u t H j b j ωω-=↔=+ （2） 22222552() ()()2Y X bS S H j b b bωωωωω=⋅==⋅++，25(0)Y S b = 求()Y S ω的傅里叶反变换，得到()Y t 的自相关函数为：5()2b Y R e bττ-=，5(0)2Y R b =∴ ()()()()20015/2202025/4Y eq Y Y Y R b bB S d S S b ωωπ∞====⋅⎰ 三、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布的随机变量。

（共10分）（1）确定4t πω=时随机变量()X t 的概率密度函数，并画出其图形；（4分） （2）当2t πω=时，求()X t 的概率密度函数。

（3分）（3）该信号是否严格平稳？（3分）解：（1）随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图(a)所示：随机过程在不同时刻是不同的随机变量，一般具有不同的概率密度函数：当4t πω=时，()4X πω=，0(;)240,X x f x others πω<<=⎪⎩（2分）在,4i t ππωω=各时刻，随机变量()i X t 的概率密度函数图形如题解图(b) 所示：1103ππ0-1（2分）（2）当02t πω=时，()02X πω=，()012P X πω⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，此时概率密度函数为：(;)()2X f x x πδω=（3分） （3）由前面两个小问可知，该信号的一维概率密度与t 有关，故非严格平稳。

（3分） 四. 随机信号()cos X t A t ω=与()()1cos Y t B t ω=-，其中A 与B 同为均值2、方差2σ的高斯随机变量，A 、B 统计独立，ω为非零常数。

（共10分）（1）讨论两个随机信号的正交性、互不相关性、统计独立性；（6分）（2）求22(,;,)XY f x y ππωω。

（4分）解：（1）两个随机信号的均值分别为：()()[]()()(1)cos 1cos cos E Y t E B t E B t t ωωω=-=-⋅=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦（1分）互相关函数为： ()()()()()[][]()()()()1212121212,cos (1)cos 1cos cos 2cos cos XY R t t E X t Y t E A t B t E A E B t t t t ωωωωωω==⨯-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=⨯-⨯⨯=-⨯（2分）互协方差函数为：()()()()121212,,0XY XY C t t R t t E X t E Y t =-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦（1分）()12,XY R t t 不恒为零，故()X t 与()Y t 不正交 ；但()12,0XY C t t =，故()X t 与()Y t 互不相关，又因为()X t 与()Y t 是高斯随机信号，故两者相互独立。

（2分）（2）2X A πω⎛⎫=⎪⎝⎭与21Y B πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 于是，根据独立性，可得：2222222(2)(1)(2)(1)2222221(,;,)2x y x y XY f x y e σσσππωωπσ-+-++---==（4分）五、设随机变量Z(t)=Xcost+Ysint, -∞<t<∞，其中X 和Y 为相互独立的随机变量，且都以概率3/4和1/4取值2和-6。

讨论随机过程Z(t)的广义平稳性和严格平稳性。

（是否广义平稳和严格平稳各5分，共10分） 解：（1）首先讨论Z(t)的广义平稳性。

因为Z(t)的均值为其中0)6(41243)]([)]([=-⨯+⨯==t Y E t X E ，故0)]([=t Z E ，为常数。

又因为Z(t)的相关函数为因为[][]12)6(412432222=-⨯+⨯==Y E X E故τcos 12)(=t R z由于Z(t)的均值为常数，相关函数为τ的函数，故Z(t)满足广义平稳。

（2）再分析Z(t)的严格平稳性。

因为即Z(t)的三阶矩与时间t 有关，故Z(t)不是严格平稳过程。

六、对于广义平稳随机过程X(t)，已知均值0=x m ，方差42=Xσ，问下述函数可否作为自相关函数，为什么？（每小题2分，共10分） （1）)(4)(τδτ=X R ； （2）)4cos(42)(ττ+=X R ； （3）()12323)(-+=ττX R ；（4）ττ--=e R X 4)(；（5）2sin 4)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=τττX R 。

解：根据平稳随机信号相关函数的性质，(1)否，4)0(≠∞=X R ，和题意不符合； （2）否，6)0(2==X X R σ，和题意不符合；（3） 否，223)0(X X R σ≠=，不符合题意； （4） 否，1)0(-=X R ，不满足非负性；（5）是，符合相关性质。

七、随机过程()t D t C t X cos sin +=，式中，C 和D 为零均值相互独立的随机变量。

讨论()t X 的均值各态历经性与均方值各态历经性。

解：由题意，首先，()[][][]0cos sin =+=t D E t C E t X E ，()[][][]0][cos sin cos sin =+=+=t DA t CA t D t C A t X A ，()[]()[]t X A t X E =，所以()t X 是均值各态历经的， ()[]()[]t X A t X E 22≠，所以()t X 不是均方值各态历经的。

八、已知零均值平稳高斯噪声000()()cos ()sin ,210X t i t t q t t ωωωπ=-=，其功率谱密度如下图所示，试求：1. 同相与正交分量的自相关函数；（4分）2. 同相与正交分量相同时刻的联合密度函数；（4分）S X (ω)2 0-220π -200π200π 220πω3. X(t)的解析信号ˆ()()()Z t X t jXt =+的功率谱密度，并画出它.（2分） 解：1. 因为X （t ）是零均值平稳随机信号，所以有：2. 式中202=Xσ同相与正交分量在同一时刻独立，其联合概率密度函数为： 3. X(t)的解析信号的功率谱密度为：S Z (?)=4S X (?)u(?)，图形如下九、对于零均值窄带平稳高斯随机过程00()()cos ()sin X t i t t q t t ωω=-，功率谱密度如下图所示，试求：（ 共10分）1．()X t 的一维概率密度； （3分） 2．画出()i t 的功率谱密度的图形； （4分） 3．()i t 与()q t 是否正交或不相关？（设0f =100MHz ） （3分） 解：1．()X t 的平均功率一维概率密度为：2．()i t 的功率谱密度,因为X(t)是零均值平稳窄带随机信号,所以， 其图形如下：3. 由于(),()i t q t 的互相关函数()0iq R τ≠，所以他们不正交，相关。

十 、若随机变量X 和Y 有联合概率密度函数(此题不要求，2016年5月25日注解) 试求：（1）边缘概率密度函数)(x f X ，)(y f Y ； （2）条件概率密度函数)(x y f X Y ，条件均值[]x X Y E =。

解：10π-10π。