2011广工大线性代数试卷
西北工业大学线性代数试题2011_05_
线性代数试题（３４）
(2011.5) 一、 （18 分）选择填空： 1．设 A, B 都是 n 阶矩阵，下面一定成立的结论是（ ） ．
的全体特征值与线性无关的特征向量，以及 A ．
2 八、 （15 分）设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = ax12 + ax 2 + 2 x32 + 2 (2 − a ) x1 x 2 的秩为 2．
1．求 a 的值； 2．求正交变换 x = Q y 将 f ( x1 , x 2 , x3 ) 化为标准形； 3．求方程 f ( x1 , x2 , x3 ) = 0 的解．
求全体表示式． 五、 （12 分） 已知齐次方程组
x1 + 2 x2 + 3 x3 = 0 x1 + b x 2 + 2 x 3 = 0 （Ⅰ） 2 x1 + 3 x2 + 5 x3 = 0 与 （Ⅱ） 2 x + x + ax = 0 2 x1 + b x 2 + 3x 3 = 0 1 2 3
同解，求 a , b 的值． 六、 （10 分） 设 An×n 的两个特征值 λ1 ≠ λ2 ，对应的特征向量分别为 x1 , x 2 ， 方程组 Ax = b 的一个解向量为 x3 ，且 b 不能由 x1 , x 2 , x 3 线性表示，证明：向量组 x1 , x 2 , x 3 线性无关．
− 1 1 1 − 1 七、 （15 分）设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2，且 A 0 − 1 = 0 1 ，求 A 1 1 − 1 − 1
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(广东.文)含详解
绝密★启用前 试卷类型：B2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）线性回归方程 y bxa =+ 中系数计算公式121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑ ， ay bx =- ， 样本数据12,,,n x x x 的标准差，222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- ， 其中x ，y 表示样本均值．n 是正整数，则1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ ．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足1iz =，其中i 为虚数单位，则z =A ．i -B ．iC ．1-D ．1 2．已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且1}x y +=，则A B ⋂的元素个数为A ．4B ．3C ．2D ．1 3．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()λ+a b ∥c ，则λ=A ．14 B ．12C ．1D ．2 4．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-⋃+∞ D ．(,)-∞+∞5．不等式2210x x -->的解集是A ．1(,1)2-B ．(1,)+∞C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞D ．1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ 6．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为(2,1)，则z OM OA=⋅的最大值为A ．3B ．4C ．32D ．4223正视图 图1侧视图 图22 俯视图 2图37．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有A ．20B ．15C ．12D ．10 8．设圆C 与圆22(3)1x y +-=外切，与直线0y =相切，则C 的圆心轨迹为A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆 9．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为 A ．43 B ．4 C ．23 D ．210．设(),(),()f x g x h x 是R 上的任意实值函数，如下定义两个函数()f g ()x 和()f g ()x ：对任意x ∈R ，()f g ()x =(())f g x ；()f g ()x =()()f x g x ，则下列等式恒成立的是A ．(()f g h )()x =(()f h ()g h )()xB ．(()f g h )()x =(()f h ()g h )()xC ．(()f g h )()x =(()f g ()g h )()xD ．(()f g h )()x =(()f g()g h )()x二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（9 ~ 13题）11．已知{}n a 是递增的等比数列，若22a =，434a a -=，则此数列的公比q = ．12．设函数3()cos 1f x x x =+．若()11f a =，则()f a -= ．13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x （单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系：图4BAC DEF时间x 1 2 3 4 5 命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为 ；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 ． （二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为5cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ<≤和254x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩(t ∈)R ，它们的交点坐标为___________．15．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，4AB =，2CD =，,E F 分别为,AD BC 上的点，且3EF =， EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数1()2sin()36f x x π=-，x ∈R ．（1）求(0)f 的值；（2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求sin()αβ+的值．17．（本小题满分13分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用n x 表示编号为n (1,2,,6)n = 的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n 1 2 3 4 5 成绩n x7076727072（1）求第6位同学的成绩6x ，及这6位同学成绩的标准差s ；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．18．（本小题满分13分）图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右BAB 'A 'CC 'DD 'EE 'G H '1O2O1O '2O '图5水平平移后得到的．,,,A A B B ''分别为 CD , C D '', DE , D E ''的中点，1122,,,O O O O ''分别为CD ,C D '', DE ,D E ''的中点．（1）证明：12,,,O A O B ''四点共面；（2）设G 为AA '中点，延长1A O ''到H '，使得11O H A O ''''=．证明：2BO '⊥平面H B G ''．19．（本小题满分14分）设0a >，讨论函数2()ln (1)2(1)f x x a a x a x =+---的单调性． 20．（本小题满分14分）设0b >，数列{}n a 满足1a b =，111n n n nba a a n --=+-(n ≥2)．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，2n a ≤11n b ++．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 上，直线l ：2x =-交x 轴于点A ．设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足MPO AOP ∠=∠．（1）当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；（2）已知(1,1)T -，设H 是E 上动点，求HO HT +的最小值，并给出此时点H 的坐标； （3）过点(1,1)T -且不平行于y 轴的直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点，求直线1l 的斜率k 的取值范围．1．（A ）．1()iz i i i i -===-⨯- 2．（C ）．A B ⋂的元素个数等价于圆221x y +=与直线1x y +=的交点个数，显然有2个交点 3．（B ）．(1,2)λλ+=+a b ，由()λ+a b ∥c ，得64(1)0λ-+=，解得λ=124．（C ）．10110x x x -≠⎧⇒>-⎨+>⎩且1x ≠，则()f x 的定义域是(1,1)(1,)-⋃+∞5．（D ）．21210(1)(21)02x x x x x -->⇒-+>⇒<-或1x >，则不等式的解集为1(,)(1,)2-∞-⋃+∞6．（B ）．2z x y =+，即2y x z =-+，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线2y x z =-+经过点(2,2)时，z 取得最大值，max 2224z =⨯+=7．（D ）．正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一个正五棱柱对角线的条数共有5210⨯=条8．（A ）．依题意得，C 的圆心到点(0,3)的距离与它到直线1y =-的距离相等，则C 的圆心轨迹为抛物线 9．（C ）．该几何体是一个底面为菱形的四棱锥，菱形的面积1223232S =⨯⨯=，四棱锥的高为3，则该几何体的体积112332333V Sh ==⨯⨯= 10．（B ）．11．2． 2243224422402(2)(1)0a a a q a q q q q q -=⇒-=⇒--=⇒-+=2q ⇒=或1q =-∵{}n a 是递增的等比数列，∴2q =12．9-3()cos 111f a a a =+=，即3()cos 10f a a a ==，则33()()cos()1cos 11019f a a a a a -=--+=-+=-+=- 13．0.5；0.53小李这5天的平均投篮命中率1(0.40.50.60.60.4)0.55y =++++= 3x =，1222221()()0.2000.1(0.2)0.01(2)(1)012()niii ni i x x y y bx x ==--++++-===-+-+++-∑∑ ， 0.47a y bx =-=∴线性回归方程 0.010.47y x =+，则当6x =时，0.53y = ∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.5314．25(1,)5．5cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩表示椭圆2215x y +=(5501)x y -<≤≤≤且，254x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩表示抛物线245y x =,22221(5501)5450145x y x y x x x y x ⎧+=-<≤≤≤⎪⎪⇒+-=⇒=⎨⎪=⎪⎩且或5x =-（舍去），又因为01y ≤≤，所以它们的交点坐标为25(1,)515．75如图，延长,AD BC ，AD BC P =∵23CD EF =，∴49PCD PEF S S ∆∆= ∵24CD AB =，∴416PCD PEF S S ∆∆= ∴75ABEF EFCDS S =梯形梯形16．解：（1）(0)2sin()16f π=-=-（2）110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==，即5sin 13α= 16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=，即3cos 5β=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴212cos 1sin 13αα=-=，24sin 1cos 5ββ=-= ∴5312463sin()sin cos cos sin 13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯=17．解：（1）61(7076727072)756x +++++=，解得690x = PBAC DEFxy O2x =-AP l MM标准差22222222212611[()()()](5135315)766s x x x x x x =-+-++-=+++++= （2）前5位同学中随机选出的2位同学记为(,)a b ，,{1,2,3,4,5}a b ∈且a b ≠则基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10种 这5位同学中，编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间（68，75）中设A 表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学，恰有1位同学成绩在区间（68，75）中” 则A 中的基本事件有(1,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)共4种，则42()105P A == 18．证明：（1）连接2,BO 22,O O '依题意得1122,,,O O O O ''是圆柱底面圆的圆心∴,,,CD C D DE D E ''''是圆柱底面圆的直径∵,,A B B ''分别为 C D '', DE , D E ''的中点∴1290A O D B O D ''''''∠=∠=∴1A O ''∥2BO '∵BB '//22O O '，四边形22O O B B ''是平行四边形∴2BO ∥2BO ' ∴1A O ''∥2BO ∴12,,,O A O B ''四点共面（2）延长1A O '到H ，使得11O H AO ''=，连接1,,HH HO HB '' ∵11O H A O ''''=∴1O H ''//2O B ''，四边形12O O B H ''''是平行四边形 ∴12O O ''∥H B ''∵1222O O O O '''⊥，122O O B O ''''⊥，2222O O B O O ''''= ∴12O O ''⊥面22O O B B ''∴H B ''⊥面22O O B B ''，2BO '⊂面22O O B B '' ∴2BO H B '''⊥易知四边形AA H H ''是正方形，且边长2AA '=∵11tan 2HH HO H O H '''∠==''，1tan 2A G A H G A H '''∠==''∴1tan tan 1HO H A H G ''''∠⋅∠=∴190HO H A H G ''''∠+∠= ∴1HO H G ''⊥易知12O O ''//HB ，四边形12O O BH ''是平行四边形∴2BO '∥1HO '∴2BO H G ''⊥，H G H B H ''''= ∴2BO '⊥平面H B G ''21．解：（1）如图所示，连接OM ，则PM OM =∵MPO AOP ∠=∠，∴动点M 满足MP l ⊥或M 在x 的负半轴上，设(,)M x yxy O 2x =-TN l HNH∙H xy O TA 1l 1l1l① 当MP l ⊥时，2MP x =+，22OM x y =+222x x y +=+，化简得244y x =+(1)x ≥-② 当M 在x 的负半轴上时，0y =(1)x <-综上所述，点M 的轨迹E 的方程为244y x =+(1)x ≥-或0y =(1)x <-（2）由（1）知M 的轨迹是顶点为(1,0)-，焦点为原点的抛物线和x 的负半轴0y =(1)x <- ① 若H 是抛物线上的动点，过H 作HN l ⊥于N由于l 是抛物线的准线，根据抛物线的定义有HO HN = 则HO HT HN HT +=+当,,N H T 三点共线时，HN HT +有最小值3TN =求得此时H 的坐标为3(,1)4--② 若H 是x 的负半轴0y =(1)x <-上的动点显然有3HO HT +>综上所述，HO HT +的最小值为3，此时点H 的坐标为3(,1)4-- （3）如图，设抛物线顶点(1,0)A -，则直线AT 的斜率12AT k =-∵点(1,1)T -在抛物线内部，∴过点T 且不平行于,x y 轴的直线1l 必与抛物线有两个交点 则直线1l 与轨迹E 的交点个数分以下四种情况讨论： ① 当12k ≤-时，直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点 ② 当102k -<<时，直线1l 与轨迹E 有且只有三个不同的交点 ③ 当0k =时，直线1l 与轨迹E 有且只有一个交点 ④ 当0k >时，直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点 综上所述，直线1l 的斜率k 的取值范围是1(,](0,)2-∞-+∞。
2011高考广东卷(文科数学)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科） 试卷类型：A参考公式：锥体的体积公式 sh V 31=，其中s 为锥体的底面积，h 为锥体的高 线性回归方程 y bxa =+ 中系数计算公式121()()ˆˆˆ,()nii i nii xx y y b ay b x xx ==--==--∑∑, 样本数据n x x x ,,,21 的标准差])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-=其中y x ,表示样本均值。
n 是正整数，则()n n a b a b -=-12(n n a a b --++…21n n ab b --+）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数z 满足iz=1，其中i 为虚数单位，则z= A .-i B .i C .-1 D .12.已知集合},1,|),{(22=+=y x y x y x A 为实数，且},1,|),{(=+=y x y x y x B 为实数，且则A ∩B 的元素个数为A ．4B .3C .2D .13.已知向量a=（1,2），b=（1,0），c=（3,4）.若λ为实数，()a b λ+∥c ，则λ= A .14 B .12C .1D .2 4.函数)1lg(11)(x xx f ++-=的定义域是 A .)1,(--∞ B .（1，+∞） C . ),1()1,1(+∞⋃- D .（-∞，+∞） 5.不等式0122>--x x 的解集是A .1(,1)2-B .（1，+∞）C .（-∞，1）∪（2，+∞）D .1(,)(1,)2-∞-⋃+∞6.在平面直角坐标系xoy 上的区域D 由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤yx y x 2220给定.若M(x,y)为D 上的动点，点A 的坐标为)1,2(，则OA OM z ∙=的最大值为A .3B .4CD 7.正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有A .20B .15C .12D .10 8.设圆C 与圆1)3(22=-+y x 外切，与直线y =0相切，则C 的圆心轨迹为A .抛物线B .双曲线C .椭圆D .圆 9.如图1-3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形， 等腰三角形和菱形，则该几何体体积为A .34B .4C .32D .210.设)(),(),(x h x g x f 是R 上的任意实值函数，如下定义两个函数))(())((x g f x g f o ∙和；对任意))(())((,x g f x g f R x o =∈；)()())((x g x f x g f =∙，则下列恒等式成立的是 )))(()(())().((x h g h f x h g f A o o ∙∙=∙ )))(()(())().((x h g h f x h g f B o o o ∙=∙ )))(()(())().((x h g h f x h g f C o o o o o = )))(()(())().((x h g h f x h g f D ∙∙∙=∙∙ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)参考答案
2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）参考答案一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算，共10小题，每小题5分，满分50分 A 卷：1—5DBCBA 6—10CADCB二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性共5小题，每小题5分，满分20分，其中14—15题是选做题，考生只能选做一题11．2 12．-9 13．0.5，0.53 14．1,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭15．7：5 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16．（本小题满分12分）解：（1）(0)2sin 6f π⎛⎫=-⎪⎝⎭2sin16π=-=-；（2）10132sin 32sin ,132326f πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⨯+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭61(32)2sin (32)2sin 2cos ,5362f ππβπβπββ⎛⎫⎛⎫=+=⨯+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭53sin ,cos ,135αβ∴==12cos ,13α∴===4sin ,5β===故5312463sin()sin cos cos sin .13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯= 17．（本小题满分13分）解：（1）611756n n x x ===∑5616675707672707290,n n x x x =∴=-=⨯-----=∑//622222222111()(5135315)4966n n s x x ==-=+++++=∑，7.s ∴=（2）从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法： {1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}， 选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于（68，75）的取法共有如下4种取法： {1，2}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，故所求概率为2.518．（本小题满分13分） 证明：（1）,,A A CD C D '''分别为中点，11//O A O A ''∴连接BO 2直线BO 2是由直线AO 1平移得到12//AO BO ∴12//O A BO ''∴12,,,O A O B ''∴共面（2）将AO 1延长至H 使得O 1H=O 1A ，连接1,,HO HB H H ''∴由平移性质得12O O ''=HB21//BO HO ''∴11,,2A G H O H H A H O H H GA H π''''''''''==∠=∠=1GA H O H H ''''∴∆≅∆12H O H GH A π'''∴∠+=1O H H G ''∴⊥ 2BO H G ''∴⊥12212222222,,O O B O O O O O B O O O O '''''''''''⊥⊥⋂=1222O O B BO O ''''∴⊥平面122O O BO '''∴⊥ 2BO H B '''∴⊥H B H G H ''''⋂=2.BO H B G '''∴⊥平面19．（本小题满分14分）解：函数()f x 的定义域为(0,).+∞22(1)2(1)1(),a a x a x f x x---+'=当212(1)10a a x ≠--+=时,方程2a(1-a)x 的判别式112(1).3a a ⎛⎫∆=-- ⎪⎝⎭①当10,0,()3a f x '<<∆>时有两个零点，12110,22x x a a ≠->=+且当12120,()0,()(0,)(,)x x x x f x f x x x '<<>>+∞或时在与内为增函数； 当1212,()0,()(,)x x x f x f x x x '<<<时在内为减函数；②当11,0,()0,()(0,)3a f x f x '≤<∆≤≥+∞时所以在内为增函数；③当11,()0(0),()(0,)a f x x f x x'==>>+∞时在内为增函数；④当111,0,0,2a x a >∆>=->时210,()2x f x a '=+<所以在定义域内有唯一零点1x ，且当110,()0,()(0,)x x f x f x x '<<>时在内为增函数；当1x x >时，1()0,()(,)f x f x x '<+∞在内为减函数()f x 的单调区间如下表：103a <<113a ≤≤ 1a >1(0,)x12(,)x x2(,)x +∞(0,)+∞1(0,)x1(,)x +∞（其中121122x x a a =-=+）20．（本小题满分14分）解：（1）由1110,01n n n nba a b a a n --=>=>+-知1111n n n n a b b a --=+令11,,n n n A A a b== 当1112,n n n A A b b -≥=+时 111111n n A b b b --=+++1111.n n b b b-=+++①当11111,1(1)1n n n n b b b b A b b b⎛⎫- ⎪-⎝⎭≠==--时②当1b =时，.n A n =(1),111,1n n n nb b b a b b ⎧-≠⎪∴=-⎨⎪=⎩（2）当12(1)1,(21,1n n n nnb b b a b b +-≠=≤+-时欲证只需112(1))1n nn b nb bb +-≤+-12211121(1)11n n n n n n n b bb b b b b b +-+---+=+++++++-11111n n n n n b b b b b b b --⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭(222)n b >+++2,n nb =12(1)21.1n n n nnb b a b b +-∴=<+-综上所述12 1.n n a b +≤+21．（本小题满分14分） 解：（1）如图1，设MQ 为线段OP 的垂直平分线，交OP 于点Q ， ,,||||.MPQ AOP MP l MO MP ∠=∠∴⊥=且|2|,x =+即24(1)(1).y x x =+≥-①另一种情况，见图2（即点M 和A 位于直线OP 的同侧）MQ 为线段OP 的垂直平分线，.MPQ MOQ ∴∠=∠又,.MPQ AOP MOQ AOP ∠=∠∴∠=∠因此M 在x 轴上，此时，记M 的坐标为(,0).x为分析(,0)M x x 中的变化范围，设(2,)P a -为l 上任意点().a R ∈由||||MO MP =（即||x =211 1.4x a =--≤-故(,0)M x 的轨迹方程为0,1y x =≤-②综合①和②得，点M 轨迹E 的方程为24(1),1,0, 1.x x y x +≥-⎧=⎨<-⎩（2）由（1）知，轨迹E 的方程由下面E 1和E 2两部分组成（见图3）：21:4(1)(1)E y x x =+≥-；2:0, 1.E y x =<-当1H E ∈时，过Ｔ作垂直于l 的直线，垂足为T '，交E 1于3,14D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭再过H 作垂直于l 的直线，交.l H '于 因此，||||HO HH '=（抛物线的性质）||||||||||3HO HT HH HT TT ''∴+=+≥=（该等号仅当H T ''与重合（或H 与D 重合）时取得）当2H E ∈时，则||||||||1 3.HO HT BO BT +>+>+>综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H 的坐标为3,1.4⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）由图3知，直线1l 的斜率k 不可能为零设1:1(1)(0).l y k x k +=-≠故11(1)1,x y E k =++代入的方程得：24480.y y k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭因判别式221644482280.k k k ⎛⎫⎛⎫∆=++=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1l 与E 中的E 1有且仅有两个不同的交点又由E 2和1l 的方程可知，若1l 与E 2有交点，则此交点的坐标为12111,0, 1.0,2k k k l E k k ++⎛⎫<--<<⎪⎝⎭且即当时与有唯一交点1,0k k +⎛⎫⎪⎝⎭，从而1l 表三个不同的交点 因此，直线1l k 斜率的取值范围是1(,](0,).2-∞-⋃+∞。
2010-2011(2)高等数学I2试题(A)
广州大学2010-2011学年第二学期考试卷课 程：高等数学Ⅰ2（90学时） 考 试 形 式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________一．填空题(每小题4分,本大题满分20分)1．已知(1,1,1)AB = ,(2,3,4)AC = ,则AB AC ⨯=____________,三角形ABC 的面积S =______.2．方程2221x y z +-=表示一个______叶双曲面,此曲面是由yOz 面上的双曲线221y z -=绕______轴旋转一周生成.3．曲面222236x y z ++=上点(1,1,1)-处的法向量n =____________,切平面方程为_______________________.4．若曲线积分(1,2)24(0,0)()d d I y f x x x y y =+⎰与路径无关,则()f x =________,积分值I =______.5．将下列函数展开成(1)x -的幂级数:(1) 12x =-________________________________________,(02x <<); (2) 21(2)x =-________________________________________,(02x <<).1．求函数2z x =.2．设vz u =,2u x y =+,v xy =,求z x∂∂.3．在曲线23x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩上求一点,使曲线在此点的切线平行于平面21x y z ++=.1．设D 为半圆:0y ≤≤计算22d d 1DyI x y xy=++⎰⎰.2．已知曲线2:(01)C y x x =≤≤,计算d CI x s =⎰.3．计算220d xI x y =⎰⎰.讨论级数11()(0)nn a a n ∞=+>∑的收敛性.五．(本题满分11分)求幂级数11(1)n nn x n -∞=-∑的收敛域及和函数.设(,)z z x y =是由22222280x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的驻点,并判别它们是否为极值点,是极大值点还是极小值点?一个具有常密度μ,半径为a的半球形物体,占有空间区域Ω≤≤:0z求该物体的质心.。
2011年高考数学(广东卷,理科)word版(全解全析)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1、 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2、 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求做大的答案无效。
4、 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5、 考生必须保持答题卡得整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高.线性回归方程 y bxa =+ 中系数计算公式121()()()nii i nii xx y y b xx ==--=-∑∑ , ay b x =- . 其中,x y 表示样本均值.n 是正整数，则()n na b a b -=-12(n n a a b --++ (21)n n ab b --+）.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z =A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i - 【解析】B ;依题意得211z i i==-+，故选B .2．已知集合{(,)|A x y =,x y 为实数,且}221x y +=,{(,)|B x y =,x y 为实数,且}y x =,则A B 的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 【解析】C;题意等价于求直线y x =与圆221x y +=的交点个数,画大致图像可得答案为C . 3. 若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则⋅(2)=c a +bA ．4B ．3C ．2D ．0 【解析】D;因为a ∥b 且a ⊥c ,所以b ⊥c ，从而⋅⋅⋅(2)=20c a +b c a +c b =，故选D . 4. 设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A ．()()f x g x +是偶函数B ．()()f x g x -是奇函数C ．()()f x g x +是偶函数D ．()()f x g x -是奇函数 【解析】A;依题意()(),()()f x f x g x g x -=-=-,故()|()|()|()|f x g x f x g x -+-=+,从而()|()|f x g x + 是偶函数，故选A .5. 在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为，则z OM OA =⋅的最大值为A ．B ．C ．4D ．3【解析】C;目标函数即z y =+,画出可行域如图所示，代入端点比较之，易得当2x y ==时z 取得最大值4,故选C ．6. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获 得冠军的概率为A ．12B ．35C ．23D ．34【解析】D;设甲队获得冠军为事件A ,则A 包含两种情况:(1)第一局胜;(2)第一局负但第二局胜;故所求概率1113()2224P A =+⨯=,从而选D ．7. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形， 侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A ．B ．C ．D ．【解析】B ;该几何体是以正视图所在的平行四边形为底面，高为 3的四棱柱，又平行四边形的底边长为3,,所以面积 S=从而所求几何体的体积V Sh ==故选B ． 8.设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的. 若T ,V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V Z = 且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B . ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C . ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D . ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的【解析】A;因为T V Z = ,故必．有．1∈T 或1∈V ,不妨设1∈T ,则令1c =,依题意对,a b T ∀∈,有ab T ∈,从而T 关于乘法是封闭的;(其实到此已经可以选A 了,但为了严谨,我们往下证明可以有一个不封闭以及可以两个都封闭),取T N =,则V 为所有负整数组成的集合,显然T 封闭,但V 显然是不封闭的,如(1)(2)2V -⨯-=∉;同理,若{T =奇数}，{V =偶数}，显然两者都封闭，从而选A ．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
数学真题2011考研试卷
数学真题2011考研试卷数学真题2011考研试卷包含了多个部分，涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计等领域。
以下是2011年考研数学真题的模拟内容：一、选择题（共10题，每题3分，共30分）1. 设函数\( f(x) = x^2 + 2x - 3 \)，求\( f(-1) \)的值。
A. -2B. 0C. 2D. 42. 已知向量\( \vec{a} = (1, 2) \)，\( \vec{b} = (3, 4) \)，求向量\( \vec{a} \)和\( \vec{b} \)的点积。
A. 11B. 14C. 8D. 103. 根据题目所给的线性方程组，判断其解的个数。
A. 唯一解B. 无穷多解C. 无解D. 无法判断...（此处省略其他选择题）二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 若\( e^x = 2 \)，则\( x \)的值为______。
2. 已知矩阵\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵\( A \)的行列式。
3. 若随机变量\( X \)服从正态分布\( N(\mu, \sigma^2) \)，求其期望和方差。
...（此处省略其他填空题）三、解答题（共5题，每题10分，共50分）1. 证明：若\( \lim_{x \to a} f(x) = L \)，则\( \lim_{x \to a} [f(x)]^2 = L^2 \)。
2. 解线性方程组：\[\begin{cases}x + 2y + 3z = 6 \\4x + 5y + 6z = 15 \\7x + 8y + 9z = 24\end{cases}\]3. 证明：若函数\( f(x) \)在区间\( [a, b] \)上连续，则至少存在一点\( c \in [a, b] \)，使得\( \int_{a}^{b} f(x)dx = f(c)(b - a) \)。
10-11第1学期开学初线性代数(工)补考试卷
北京工业大学2010-2011学年第1学期开学初线性代数(工) 补考试卷考试方式：闭卷 考试时间：2010年 08月 日 学号 姓名 成绩 注：本试卷共8大题，满分100分. 得分登记（由阅卷教师填写）一. 填空题（每小题3分，共30 分）.1. 行列式2122103xx x --的完全展开式中，3x 的系数是2. 设n 阶方阵A 满足：20A A E -+=，E 是n 阶单位矩阵，则A E +可逆，且1()A E -+=3. 设A 是3阶实方阵。
,,2A A E A E --均不可逆。
则行列式2A A E -+=4. 010101010011010011101-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭5. 如果三维列向量组123{,,}ααα和12{,}ββ满足11222312223αββαβαββ=-⎧⎪=-⎨⎪=+⎩，则矩阵()123,,ααα的行列式()123,,ααα= （要求填具体数字）6. 设矩阵13101112202A a -⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪⎝⎭，B 是3阶非零矩阵，且0AB =，则=a 7. 设A 为5阶方阵。
若秩()2r A =，则齐次线性方程组0AX =的基础解系中含有解向量的个数为8. 设121,1λλ=-=是实对称矩阵A 的特征值，(1,1,1),(,2,1)T Tt t αβ=-+=- 是分别属于1,1-的特征向量，则t =9. 若矩阵0cos sin sin a b c ed θθθ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是正交矩阵，且0b <，则1A -⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭10. 二次型112323131(,,)512120x x x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭的正、负惯性指数之和=二. 单项选择题（每小题3分，共15分）。
将正确答案的字母填入括号内。
1. 矩阵 011101110--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭ 和100020001⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的关系是 【 】 （A ） 合同但不相似 （B ） 相似但不合同（C ） 合同而且相似 （D ） 既不合同又不相似2. 若0,1-是实对称矩阵A 的特征值，123,,ααα是A 的属于0的一个特征向量组， 12,ββ是A 的属于1-的一个特征向量组， 则 【 】 (A) 121,,ααβ一定是线性无关向量组 （B ） 12,αβ一定正交 （C ） 121,,ααβ一定是线性相关向量组 （D ） 前三个选项都不正确3. 设n 阶实对称矩阵A 满足90A =（其中9n <），那么，下列陈述中不正确的是 【 】（A ） A 的特征值是零 （B ） 0A ≠(C) A 可以相似对角化 （D ） A E +是可逆矩阵4. 下列陈述中不正确的是 【 】 （A ）初等矩阵的行列式都是正数 （B ）若实方阵A 的行列式1A <-，则1T A A -≠ （C ）有些初等矩阵的逆矩阵是其本身（D ）实方阵A 及其伴随矩阵*A 满足*AA A E =5. 如果200001010010010a a ⎛⎫⎪⎪⎪- ⎪-⎝⎭是实正定矩阵，则 【 】 （A ）1a >- （B ） 1a <- （C ）1a = （D ）a 可以是任何负实数三.（10分）记行列式11011111120813027D --=--的第三列元素位置的代数余子式依次是13233343,,,A A A A 。
2010-2011-2线性代数试卷及答案
试卷（A卷）(共2页）┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(15分)设三阶矩阵，,.解因为＝,所以,分）设向量组，，线性相关，向量.解由于所以，分）证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V是R2⨯2的子空间，试在,使V成为欧几里得空间,并给出V的一组正交基.V对线性运算封闭，所以V是R2⨯2的子空间。
［A,B］=，］=［B,A］，［kA，B]=k［A,B］, [A,A］≥0且[A,A］=0当且仅当A=0..四分）已知三阶矩阵的伴随矩阵，求齐次线性方程组的通解。
解R（A)=2，所以，的解空间是1维的。
又由于，所以，的列向量是的解.，3)T是的基础解系，所以，通解为：15分）设三阶实对称矩阵满足,且向量是齐次方程的一个基础解系，解由的基础解系含一个解知A的秩为2.由知A的特征值只能为2或0，所以，A的三个特征值为：2，2，0。
由知是属于特征值0的特征向量.所以，A的属于特征值2的特征向量必与正交，所以，特征值2的特征向量可取为:和，于是，可构造正交矩阵：满足：所以，分) 某仓库有A,B,C三种物品若干件，现按下述方案进行采购:购进原B物品件数30%和原C物品件数50％的A物品;购进原A物品件数30％的B物品;购进原B物品件数60％的C物品。
试建立采购前后仓库A,B,C三种物品件数间的关系式。
若采购后仓库A，B，C三种物品件数分别为290，330,380，求采购前仓库A,B，C三种物品的件数。
解记采购前仓库A，B,C三种物品件数分别为：，采购后仓库A，B，C三种物品件数分别为：，则由已知有：即：所以，若时,有即采购前仓库A，B，C三种物品的件数分别为100，300, 200。
2-2。
重庆大学线性代数期末考试试卷及答案2011年12月
线性代数11A201106试卷答案一、填空题（每小题3分，共18分）1．设,,x y z 互不相同，行列式222xy zD x y z y zz xx y=+++，则0D =的充要条件是 . 0x y z ++=（第1行加到第3行，提取公因式，可变为范得蒙行列式）2．设,A B 是5阶方阵，且0,()2AB R A ==，则()R B ≤ . 33．已知2112A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，方阵B 满足23BA B E =+，则B = . 94．设三阶矩阵122212,13041x A α-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，如果A α与α线性相关，则x = . 1- 5．设123,,ηηη是非齐线性方程Ax b =的三个解向量，如果112233k k k ηηη++是该方程的解，则123,,k k k 满足条件 . 1231k k k ++=6．若三阶方阵A 满足2,20A A E =+=，则A *有一个特征值为 1- 二、单项选择题（每小题３分，共18分） 1．设,A B 均为n 阶方阵，则必有【 C 】A ．AB A B -=-; B ．AB BA =;C ．AB BA = ;D ．111()A B A B ---+=+.2．以下结论正确的是【 Ｄ 】A ．若0A =，则0A =；B ．若0AB =，则0A =或0B =;Ｃ.若20A =，则0A =; D ．若A 为对称阵，则2A 为对称阵．3．设,A B 均为n 阶方阵，()()R A R B =，则必有【 A 】A ．A 等价于B ; B ．0Ax =与0Bx =有相同的解空间;C ．A 相似于B ;D ．A 合同于B ．4．设,,A B C 为n 阶方阵，A BC =，则必有【 C 】A ． ()()R A RB ≥; B ．()()R B RC ≥; C ．()()R C R A ≥ ;D ．()()R C R B ≥5．齐次线性方阵0Ax =有非零解的充要条件是【 B 】A ．A 的行向量组线性相关；B ．A 的列向量组线性相关；C ．A 的行向量组线性无关；D ．A 的列向量组线性无关. 6．设n 方阵,A B 有相同的特征值，则必有【 Ａ 】A ．AB =； B ．()()R A R B =；C ．T A 相似于T B ；D ．AE B E λλ-=-三、计算题（一）（每小题8分，共24分）1．计算行列式2132333231123131D --=----的值．解：70D =-2．已知向量组1234(1,1,2,0),(1,2,3,2),(2,2,4,4),(2,1,5,6),αααα=-==-=5(4,1,9,14)α=-．()1说明13,αα线性无关。
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广东工业大学试卷用纸，共4页，第1页
学
院
：
专
业
：
学
号
：
姓
名
：
装
订
线
广东工业大学考试试卷 (A卷 )
课程名称: 线性代数 试卷满分 100 分
考试时间: 2011年10月28日 (第 周 星期 )
题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分
评卷得分
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复核得分
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一、 填空题（每小题3分，共24分）
1.设A、B是n阶方阵，下列等式正确的是 .
（A）AB=BA （B）))((22BABABA
（C）22AA （D）111)(BABA
2.
设A为n阶方阵，则0A的必要条件是 .
(A) A中有两行（列）元素对应成比例；
(B) A中必有一行为其余行的线性组合；
(C) A中有一行元素全为零；
(D) A中任意一行为其余行的线性组合.
3. 设有向量组
1
α＝(1,-1,2,4)
，2α＝(0,3,1,2)，3α＝(3,0,7,14)，
4
α＝(1,-2,2,0)
与
5
α＝(2,1,5,10)
，则向量组的极大线性无关组是（ ）
（A）
231
ααα，，
； (B) 241ααα，，；
(C) 251ααα，，； (D)
2451
αααα，，，
.
41,31,2
1
)(det*B
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4.
对非齐次线性方程组bAx及其导出组0Ax, .
(A) 若0Ax仅有零解，则bAx无解；
(B) 若0Ax有非零解，则bAx有无穷多解；
(C) 若bAx有无穷多解，则0Ax有非零解；
(D) 若bAx有惟一解，则0Ax有非零解.
5.设3阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为41,31,21，则)det(1IB（ ）
(A) 6； (B) 61 (C) 4 (D) 41
6.设A为三阶矩阵，将A的第二行加到第一行得B，再将B的第一列的－1倍加到第
二列得C ，记100010011P，则（ ）
(A) APPC1 (B) 1PAPC (C)APPCT (D)TPAPC
7..设A为非退化矩阵，则下列等式正确的是（ ）
（A）1111])[(])[(TTAA；（B）TTTAA])[(])[(111；
（B）113)3(AA； （D）11)2()2(TTAA.
8.对任意n阶方阵A、B，下列命题正确的是（ ）.
（A） 若|AB|=0，则A=0或B=0 （B） 若|AB|=0，则|A|=0或|B|=0
（C） 若AB=0， 则A=0或B=0 （D） 若0,|0|0ABAB则|或|
二、填空题（每小题4分，共24分）
1. 设0111,300121AA，21A00AA，则1A
2. 如果矩阵 1400040004xxxxAxx 是不可逆的， 则 x
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3. 设1011A，则10A=
4.设48464232kA的秩为1
，则k
5. 设 44 矩阵 234234(,,,),(,,,),AB 且已知行列式 1A，4.B
则行列式 AB
6.设
4322
3211
4311
3151
A
，则4443424132AAAA=
三、
（8分）设方阵A满足方程OIAA1032，证明A – 4 I是可逆矩阵，并求它
的逆矩阵。
四、
（12分）讨论为何值时，方程组
321321321)1(3)1(0)1(xxx
xxx
xxx
(1) 有唯一解？ (2) 无解？ (3) 有无穷多解？并在此时求出其通解。
五、（10分）
设
k,,,21
是0Ax的一个基础解系，是非齐次线性方程
bAx
的解，
证明：向量组
k,,,,21
是bAx的线性无关解。
六、（10分）
设矩阵X满足关系2AXAX，其中423110123A，求X.
七、（12分）设矩阵324010223A，试判断它是否可对角化？若可以，写出可逆
阵P及相应的对角阵.
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广东工业大学考试试卷 (A卷 )