与石墨烯相关的特征

1 拓扑绝缘体

自然界的材料根据其电学输运性质，可分为导体，半导体和绝缘体。一般的导体中存在着费米面（如图a所示），半导体和绝缘体的费米面存在于禁带之中（如图b所示）。拓扑绝缘体在边界上存在着受到拓扑保护的稳定的低维金属态，这些无能隙的边缘激发处在禁带之中，并且连接价带顶和导带底（如图c，d所示）。从这个意义上讲，拓扑绝缘体是介于普通绝缘体和低维金属之间的一种新物态。根据能带理论，费米能落在晶体材料的带隙中时，材料表现为绝缘体。拓扑绝缘体的材料的能带结构类似于一般绝缘体，存在全局的能隙。但不同于一般的绝缘体，当考虑存在边界的拓扑绝缘体时，将出现贯穿整个能隙的边界态，这些特殊的边界态和体系的拓扑性质（由体系的拓扑数决定）严格对应，因而只要不改变体系的拓扑性质，这些边界态就不会被破坏。

拓扑绝缘体的典型特征是体内元激发存在能隙，但边界上或表面具有受拓扑保护的无能隙边缘激发。拓扑绝缘体的内部的电子能带结构和一般绝缘体相似，它的费米能级位于导带和价带之间，而在其表面存在一些特殊量子态，这些量子态位于块体能带结构的带隙之中，从而允许导电。拓扑绝缘体表面或边界导电是有材料电子态的拓扑结构决定，与表面的具体结构无关。也正是因为其表面金属态的出现由拓扑结构对称性所决定，所以它的存在非常稳定，基本不会受到杂志与无序的影响。

从广义上讲，可分为两大类：一类是破坏时间反演的量子霍尔体系；另一类是最近发现的时间反演不变的拓扑绝缘体。

2半金属 semimetal halfmetal

半金属：介于金属和非金属之间的物质。从能带结构来看，金属中被电子填充的最高能带是半满的或部分填充的，电子能自由运动，有较高的电导率。绝缘体中被电子填充的最高能带是满带（又称价带），价带与导带之间的禁带宽度较大。

室温下电子不能由价带激发到导带而产生自由运动的电子，因此电导率很低。半导体中电子填充能带的情况与绝缘体相似，但禁带宽度较小。在一定的掺杂浓度下，能产生导电的自由电子或自由空穴。半导体的电导率介于金属和绝缘体之间。另外，金属和半导体之间还有一种中间情况，禁带宽度为零或很小，此时在很低温度下电子就能从价带激发到导带，在导带和价带中同时存在能自由运动的电子和空穴。如碲化汞（HgTe），这种材料称为半金属。

半金属大都是半导体，具有导电性，电阻率介于金属（10－5欧姆.厘米以下）和非金属（1010欧姆·厘米以上）之间。导电性对温度的依从关系大都与金属相反；即其电导率便随温度而上升。

半金属能带的特点，是它的导带与价带之间有一小部分重叠。不需要热激发，价带顶部的电子会流入能量较低的导带底部。因此在绝对零度时，导带中就已有一定的电子浓度，价带中也有相等的空穴浓度。这是半金属与半导体的根本区别。但因重叠较小，它和典型的金属也有所区别。这类材料的禁带宽度很小，因此被用来制作红外探测器件。红外光的波长为10微米左右，对应的光子能量为0.1电子伏。半金属材料被红外光照射以后，电子能迅速从价带激发到导带，引起电导率变化，从而探测到红外光。

半金属材料的一个重要特征为具有高达100%的传导电子自旋极化率。半金属磁性材料是一种具有极大的应用潜能的自旋电子学材料这类材料是一种新型的功能材料。其新颖点在于具有两个不同的自旋子能带。一种自旋取向的电子(设定为自旋向上的电子)的能带结构呈现金属性,即Fermi面处于导带中,具有金属的行为;而另一自旋取向的电子(设定为自旋向下的电子)呈现绝缘体性质或半导体性质,所以半金属材料是以两种自旋电子的行为不同(即金属性和非金属性)为特征的新型功能材料。

Semi-metal：不同于half-metal，是一种导带底和价带顶发生部分重叠的材料。没有带隙，有较小的电荷载流子，较低的电导率和热导率。

Half-metal：最近新发现的物质性质，主要指半导体和绝缘体。由于上旋和下旋轨道发生劈裂，导致上旋（下旋）能带穿越费米能级，表现为金属性；而下旋（上旋）能带不穿越费米能级，依然为半导体或绝缘体结构；由于上旋和下旋轨道的金属性和非金属性差别，导致材料具有独特的性能，我们把这种材料称作

half metal。

3 拓扑半金属 Dirac and weyl semimetal

拓扑半金属：是不同于拓扑绝缘体的一类全新的拓扑电子态。能带交叉简并点Weyl node恰好坐落在费米面上，就会给出一类非常特殊的电子结构拓扑半金属。这种材料的价带和导带在动量空间某些孤立的点互相接触，使材料整体导电。第一性原理计算指出，这种材料的表面电子态不再是“狄拉克锥”，甚至不形成闭合的曲线，而是一段起始于价带和导带的其中一个接触点，而终结于另一个接触点的“费米弧”。这样的费米弧表面电子态将使材料具有前所未见的新奇量子输运特性。

费米弧表面电子态的动量空间构型

Weyl semimetal：在拓扑狄拉克半金属的电子态中，两个手性相反的Weyl 费米子在动量空间中重叠出现。狄拉克半金属，其费米面由四度简并的狄拉克点构成，是无质量的狄拉克费米子。把狄拉克半金属中重叠的手性相反的Weyl费米子在动量空间中分开就可以实现真正的Weyl半金属态。这需要打破能带的自旋简并，通常可以通过破缺时间反演或中心反演对称来实现。在Weyl半金属中，由于受到拓扑保护，两个具有相反手性的Weyl电子态之间的散射很弱，可以用于实现极低能耗的电子输运。特别是该电子态可以在室温下稳定存在，对室温低能耗电子学器件的应用具有重要价值。

Dirac semimetal：拓扑狄拉克半金属是一种全新的奇特拓扑量子材料。这种材料的体电子形成了三维的狄拉克锥结构，所以可以看作是“三维的石墨烯”。另外，由于这种材料的电子结构具有非平庸的拓扑性质，它也有和拓扑绝缘体类

似的表面态。这些独特的电子结构在最近的高分辨光电子谱实验中得到了证实。下图中是Na3Bi，第一个被实验证实的三维拓扑狄拉克半金属的能带结构：内部的线性色散是由体电子形成的狄拉克锥；

4 金属——绝缘体转变

金属-绝缘体转变：导体与非导体的能带结构不同,而且导体的电导主要决定于Fermi面附近的情况。一定的外界条件如果能够影响到能带结构或Fermi能级,则就可以引起从导体 (金属)向非导体(绝缘体)的转变或相反的转变。即外界条件（如压力、温度）变化时，能引起点阵常数的变化，甚至引起点阵结构的变化，从而改变各个能带的相对位置，使绝缘体的满带和空带发生能量重叠，禁带就不存在了,变成导体；或者相反,使重叠的能带分开，出现禁带，从导体变成绝缘体。这种金属-绝缘体之间的相互转变可以有以下几种类型：

1 Anderson转变：无序固体系统中的电子有扩展态和定域态两种. 处于扩展态的电子导电性能好,材料呈现出金属性质; 处于定域态的电子导电性能差,材料呈现出绝缘体性质. 而材料的总电导主要决定于Fermi面附近电子的贡献,因此,当Fermi能级位于扩展态区域时,即呈现出金属的导电性;当Fermi能级位于定域态区域时,即呈现出绝缘体的导电性.如果改变条件(例如改变电子浓度,使填充能带的Fermi能级位置不同; 或者改变固体的无序度,使迁移率边的位置移动),就可以使Fermi能级从定域态区域进入扩展态区域,致使电导从绝缘体性转变为金属性,反之依然.这就是Anderson转变.

2 Mott转变：孤立原子的电子能级对应于比较狭窄的能带,原子能级理当不导电,但是如果能带是不满的,则仍将可以导电. 这说明这时单电子的能带模型

已经不再适用,需要考虑电子的相关效应~ 两个电子之间的Coulomb排斥能——相关能U (Hubbard能). 当原子靠近组成晶体时,能级展宽为能带,相应有下Hubbard能带和上Hubbard能带. 如果相邻原子电子波函数的重叠很小,则能带宽度窄, 上、下Hubbard能带是分离的, 这时若下Hubbard能带是满的,上Hubbard能带是空的,于是呈现出绝缘体性质; 如果原子靠近,使得相邻原子电子波函数的重叠较大时,则上、下Hubbard能带将发生交叠而都成为不满带,于是呈现出金属的导电性质. 因此,随着原子间距的变化, 由于上、下Hubbard能带的交叠与否,就可以发生金属-绝缘体之间的转变,这称为Mott转变。

3 Wilson转变：对于绝缘体,若满带与空带重叠,即成为不满带,则成为了导体. 实验已经证明: 任何绝缘体在足够大的压强下都可以实现价带和导带的重叠,从而可转变为导体; 电阻率将将变化几个数量级,同时电阻率的温度系数从负变为正. 这种与能带是否交叠有关的金属-绝缘体转变,称为Wilson转变. 从绝缘体态转变为金属态所需要的压强称为金属化压强.

4 Perierls转变：对于具有不满带的金属,当晶格常数增大使得能带分裂时,若Brillouin区缩小, 使Brillouin区边界正好落在Fermi面上,则能带即变成了满带和空带,材料就转变为绝缘体.。这种由于晶体结构变化所引起的金属-绝缘体转变就称为Peierls转变。

5 局域化

6 扩展态局域态

扩展态：具有严格周期性格点排列的晶体，电子运动是公有化的，其Bloch 波函数扩展在整个晶体中，这种态被称为扩展态。

局域态:如果存在随机的无序杂质，晶格的周期性被破坏，此时电子波函数不再扩展在整个晶体中，而是局域在杂质周围，在空间中按指数形式衰减，这种态称为局域态。

7 Zeeman effect Hamiltonian(非垂直磁场)

塞曼效应：是物理学史上一个著名的实验。荷兰物理学家塞曼在1896年发现把产生光谱的光源置于足够强的磁场中，磁场作用于发光体使光谱发生变化，一条谱线即会分裂成几条偏振化的谱线，这种现象称为塞曼效应。

若一条谱线分裂成三条、裂距按波数计算正好等于一个洛仑兹单位（L0=eB/4πmc ）的现象称为正常塞曼效应；而分裂成更多条且裂距大于或小于一个洛仑兹单位的现象称为反常塞曼效应。

8 时间、空间反演对称性

时间反演对称性：时间反演是改变时间符号（t →-t ）的对称操作。无磁场时，薛定谔方程对时间反演操作具有不变性。经典力学的方程也具有时间反演不变性。时间反演操作（r →r,k →-k,自旋反向s →-s ），布洛赫波函数()k r n ,ψ↑的时间反演态为()k r n -ψ↓,，量子力学已经证明时间反演对称性要求上述两态满

足同一个H 本征方程，且具有相同的能量本征值。即()()k k n n -=

E E ↓↑ 空间反演对称性：

9 HE 、QHE 、SHE 、QSHE 、QAHE 、AHE

HE(霍尔效应)：霍尔效应是电磁效应的一种，这一现象是美国物理学家霍尔于1879年在研究金属的导电机制时发现的。当电流垂直于外磁场通过导体或半导体时，垂直于电流和磁场的方向会产生一附加电场，从而在导体或半导体的两端产生电势差，这一现象就是霍尔效应，这个电势差也被称为霍尔电势差。产生的霍尔电场与导体通过的电流、外磁场成正比关系（B j R z x H y =E ），比例系

数为霍尔系数，在一种载流子的情况下，霍尔系数与载流子浓度成反比。

SHE(自旋霍尔效应)：电子同时具有电荷和自旋的属性，，在一般电子器件中，导电电子的自旋取向是无规的，从整体上看，电子的自旋并不会产生任何物理效应。即使电子定向运动，其自旋通常是简并的，上下自旋的运动速度相同，总自旋为零，体系并不存在自旋的流动。然而在外加电场中，材料中的自旋向上的电子和自旋向下的电子由于各自形成的磁场方向相反，会各自向相反的两边堆积，这就是自旋霍尔效应。在这种情况下，即使没有磁场也能产生一个与外加电场垂直的自旋向上的电子流和相反方向上的一个自旋向下的电子流，二者合成为一个自旋磁矩的流动，而并没有净的电荷流动，或者称为纯自旋流。自旋流的结果可能在体系的边界产生自旋堆积现象，即自旋霍尔效应。

QHE （量子霍尔效应）：是霍尔效应的量子对应，在正常霍尔效应的基础上，如果外加磁场足够强，温度足够低，材料体内的所有电子都被局域化到了分立的

朗道能级上，形成一个完全绝缘的状态。此时，材料的边界仍然可以导电，形成一些没有背散射的导电通道（也就是不受杂质散射影响的理想导体），从而导致了量子霍尔效应的出现。

包括整数量子霍尔效应和分数量子霍尔效应。1980年，德国物理学家冯克·利青等在极低温和强磁场作用下，在二维体系的霍尔效应实验中，发现霍尔系数随磁场的变化出现了一系列量子电阻化平台，对应的纵向电阻变为零，栅极电压正比于电子浓度，每个朗道能级的简并度正比于磁场。

ie R h H 2=与样品的材料性质无关，这种现象称为整数量子霍尔效应。1982年

在比量子霍尔效应更低的温度和更强的磁场，对具有高迁移率的更纯净的二维电子气体系统样品的测量中，观测到霍尔电阻的平台具有更精细的台阶结构，在v=1/3和v=2/3时，出现霍尔电阻平台ve h xy 2=ρ，同时ρxx

有极小值，接着v 的各种分数值相继被发现，这就是分数量子霍尔效应。

QSHE （量子自旋霍尔效应）：在量子自旋霍尔效应体系中，每个边界上存在两个自旋相反的边界态，体系具有时间反演对称性，因其边界态受时间反演对称性的保护而具有抗杂质背散射能力。上边界是自旋向上传播方向向右和自旋向下传播方向向左的两个边缘态，下边界是自旋向上向左传播和自旋向下向右传播的两个边缘态。没有净电流，没有霍尔电导，但沿相反方向传播的电子的自旋方向相反，因此有一个净的自旋流，而且类似于霍尔效应，因此称为量子自旋霍尔效应。

图（a）普通绝缘体的能带结构（b）拓扑绝缘体的能带结构，能隙内两条近似线性的色散曲线对应拓扑绝缘体的边界态（c）量子霍尔效应边界态示意图（d）拓扑绝缘体（量子自旋霍尔效应）边界态示意图

在量子霍尔效应中，由于每个边界上只存在单向传播的解，边界态不会被杂质反射。在量子自旋霍尔效应中，每个边界上有一对自旋和传播方向都相反的边界态，在保持时间反演对称性时，边界态仍能够抵抗杂质散射和边界的不平整等微扰，是反局域化的。

假设向右传播的边界态遇到杂质发生背散射，由于只存在自旋向下的左向传播解，原来的电子自旋必须发生旋转。对于自旋旋转的方式存在两个时间反演路

径：一个顺时针旋转π和一个逆时针旋转-π，见下图。

下面从能带角度分析量子自旋霍尔效应 系统的哈密顿量为C C C C H j z i ij j i j i i t βαβαααασνλ+++-=∑3

30

上述为一维能带图，边缘态是自旋简并的，但从图中无法区分自旋向上和自旋向下的边缘态。为了能清晰的看见边缘态的结构，需要把自旋简并打开。如下图：

QAHE（量子反常霍尔效应）：。量子反常霍尔效应不同于量子霍尔效应，它不依赖于强磁场而由材料本身的自发磁化产生。在零磁场中就可以实现量子霍尔态，更容易应用到人们日常所需的电子器件中。量子霍尔效应是一种可以在宏观尺度出现的量子现象,由二维电子系统在强磁场下所具有的独特拓扑性质所引起。长期以来人们一直希望能够实现不需外磁场的量子霍尔效应,以便将其应用于低能耗电学器件。磁性拓扑绝缘体薄膜可能具有的量子化的反常霍尔效应即是一种可以在零磁场下出现的量子霍尔效应。

AHE（反常霍尔效应）：1881年，霍尔在研究磁性金属的霍尔效应时发现，即使不加外磁场也可以观测到霍尔效应，这种零磁场中的霍尔效应就是反常霍尔效应。反常霍尔效应与普通的霍尔效应在本质上完全不同，因为这里不存在外磁场对电子的洛伦兹力而产生的运动轨道偏转。反常霍尔电导是由于材料本身的自发磁化而产生的，因此是一类新的重要物理效应。反常霍尔效应的出现直接与材料中的自旋轨道耦合及电子结构的berry相位有关。在具有自旋轨道耦合并破坏时间反演对称性的情况下，材料的特殊电子结构会导致动量空间中非零berry相位的出现，而该相位的存在将会改变电子的运动方程，从而导致反常霍尔效应的出现。

10 Dirac fermion 、Weyl fermion 、Majorana fermion

狄拉克费米子：

外尔费米子：是具有确定手征性（即确定的自旋角动量指向）的零静止质量费米子。既具有右手手性，也具有左手手性，这就使其拥有很高的流动性。当两

者相遇时，会像物质和反物质一样相互湮灭。Weyl费米子还具有拓扑稳定性马约喇纳费米子：是一种费米子，它的反粒子就是它本身。与此相反，狄拉克费米子则是指反粒子与自身不同的费米子。埃托雷·马约拉纳对狄拉克方程式改写得到了马约拉纳方程式，可以描述中性自旋1/2粒子，因而满足这一方程的粒子为自身的反粒子。

马约拉纳费米子与狄拉克费米子之间的区别可以用二次量子化的产生及湮没算符表示。产生算符γ?j产生量子态为j的费米子，湮没算符γj则将其湮没（或者说产生相应的反粒子）。狄拉克费米子的γ?j与γj不同，而马约拉纳费米子中两者相同。

11 Chiral and helical edge states