初中数学青岛版九年级上册第1章 图形的相似1.3 相似三角形的性质-章节测试习题
初中数学青岛版九年级上册第1章 图形的相似1.3 相似三角形的性质-章节测试习题(2)
章节测试题1.【答题】若△ABC∽△DEF，AB：DE＝9：4，则△ABC与△DEF的面积之比为（）A. 3：2B. 9：4C. 4：9D. 81：16【答案】D【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵△ABC∽△DEF，且相似比为9：4，∴其面积之比为81：16．选D．2.【答题】已知△ABC∽△A'B'C，AB＝8，A'B'＝6，则△ABC与△A'B'C的周长之比为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵△ABC∽△A'B'C，AB＝8，A'B'＝6，∴△ABC与△A'B'C的周长之比为8：6＝4：3．选C．3.【答题】已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4．若BC＝1，则EF的长是（）A. B. 2 C. 4 D. 16【答案】B【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4，∴△ABC与△DEF相似比为1：2，即，∵BC＝1，∴EF＝2，选B．4.【答题】两相似三角形的相似比为2：3，它们的面积之差为15cm2，则面积之和是（）A. 39B. 75C. 76D. 40【答案】A【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积比为4：9，设此两个三角形的面积分别为4x cm2，9x cm2，∵它们的面积之差为15 cm2，∴9x﹣4x＝15，解得x＝3，∴它们的面积之和是9x+4x＝13x＝39．选A．5.【答题】两个相似三角形的相似比为1：2，其中一个三角形的面积是4，则另一个三角形的面积是______．【答案】16或1【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵两个相似三角形的相似比为1：2，∴它们的面积面积比为1：4，∵其中一个三角形的面积为4，∴若小三角形的面积为4，则另一个三角形的面积为16；若大三角形的面积为4，则另一个三角形的面积为1．∴另一个三角形的面积为16或1．故答案为16或1．6.【答题】若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为______．【答案】3：5【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵两个相似三角形的面积比是9：25，∴两个相似三角形的相似比是3：5，∴对应边上的中线的比为3：5，故答案为3：5．7.【答题】如果两个相似三角形的面积比为4：9，较小三角形的周长为4，那么这两个三角形的周长和为______．【答案】10【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】设较大三角形的周长为x，∵两个相似三角形相似，两个相似三角形的面积比为4：9，∴两个相似三角形的周长比为2：3，∴，解得x＝6，∴这两个三角形的周长和＝4+6＝10，故答案为10．8.【答题】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是AB中点，连接CE，交BD于点F，若EF＝1，则CF的长是______．【答案】2【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵点E是AB中点，∴BE AB CD，∵BE∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴，∴CF＝2EF＝2．故答案为2．9.【题文】如图，在△ABC中，BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过D作DH∥AB，交BC的延长线于点H．（1）求证：△HCD∽△HDB．（2）求DH长度．【答案】（1）见解答；（2）2.【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】（1）证明：∵DH∥AB，∴∠A＝∠HDC，∵∠CBD＝∠A，∴∠HDC＝∠CBD，又∠H＝∠H，∴△HCD∽△HDB；（2）∵DH∥AB，∴，∵AC＝3CD，∴，∴CH＝1，∴BH＝BC+CH＝3+1＝4，由（1）知△HCD∽△HDB，∴，∴DH2＝4×1＝4，∴DH＝2（负值舍去）．答：DH的长度为2．10.【题文】如图，△ABC的面积为36 cm2，边BC＝12 cm，矩形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，E，F在BC上，若EF＝2DE，求DG的长．【答案】6 cm．【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】作AH⊥BC于H，交DG于Q，如图，易得四边形DEHQ为矩形，∴QH＝DE，∵△ABC的面积为36cm2，∴AH•BC＝36，∴AH6，设DE＝x，则QH＝x，DG＝EF＝2x，AQ＝AH﹣QH＝6﹣x，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴，即，解得x＝3，∴DG＝2x＝6，即DG的长为6cm．11.【答题】如图，在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠B. 若AD＝2，BD＝3，则AC 等于（）A. 5B. 6C.D.【答案】D【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】在△ADC和△ACB中，∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴AC：AB＝AD：AC，∴AC2＝AB•AD，∵AD＝2，AB＝AD+BD＝2+3＝5，∴AC2＝5×2＝10，∵AC＞0，∴AC，选D.12.【答题】已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，△ABC的面积为40，则△DEF的面积为（）A. 60B. 70C. 80D. 90【答案】D【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，∴面积比为4：9，∵△ABC的面积为40，∴△DEF的面积为90，选D.13.【答题】已知两个相似三角形的相似比为4：9，则这两个三角形的对应高的比为（）A. 2：3B. 4：9C. 16：81D. 9：4【答案】B【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵两个相似三角形的相似比为4：9，∴则这两个三角形的对应高的比为4：9．选B.14.【答题】已知两个相似三角形，其中一组对应边上的高分别是2和6，那么这两个三角形的相似比为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵两个相似三角形，其中一组对应边上的高分别是2和6，∴这两个三角形的相似比为：1：3．选B.15.【答题】已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（）A. 5：3B. 25：9C. 3：5D. 9：25【答案】B【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵△ABC∽△A′B′C′，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，∴两三角形的相似比为5：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比是25：9．选B．16.【答题】如图，正方形ABCD，对角线AC，BD交于点O，将一个三角板的直角顶点与点O重合，两直角边分别与BC，CD交于点E，F连接EF交OC于点G，下列3个结论：①△OBE≌△OCF；②△OGF∽△OFC；③BE2+DF2＝2OG•OC.其中正确的结论有（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】D【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】∵四边形ABCD为正方形，∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，∠OBC＝90°，∵∠BOE+∠EOC＝90°，∠EOC+∠COF＝90°，∴∠BOE＝∠COF，在△OBE和△OCF中，，∴△OBE≌△OCF（ASA），∴①正确；∴OE＝OF，∵∠EOF＝90°，∴△OEF为等腰直角三角形，∴∠OFE＝45°，∴∠GOF＝∠FOC，∠OFG＝∠OCF，∴△OGF∽△OFC；∴②正确；∵△OBE≌△OCF，∴BE＝CF，而CB＝CD，∴CE＝DF，∴BE2+DF2＝CF2+CE2＝EF2，∵△OEF为等腰直角三角形，∴EF2＝OE2+OF2＝2OF2，∵△OGF∽△OFC，∴OF2＝OG•OC，∴BE2+DF2＝2OG•OC．∴③正确．选D．17.【答题】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点P是BC边上一点，若△ABP 与△DCP相似，则BP＝______．【答案】2或8或5【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵△ABP与△DCP相似，①当时，AB＝4，AD＝10，∴，解得，BP＝2或BP＝8；②当时，∴BP＝PC＝5，综上所述：BP＝2或BP＝8或BP＝5．故答案为2或8或5．18.【答题】如图，在△ABC中，AC＞AB，点D在BC上，且BD＝BA，∠ABC的平分线BE交AD于点E，点F是AC的中点，连结EF．若四边形DCFE和△BDE的面积都为3，则△ABC的面积为______．【答案】10【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】∵BD＝AB，BE是∠ABC的平分线，∴AE＝DE，∴△BDE的面积与△ABE的面积均为3，又∵点F是AC的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴2EF＝CD，EF∥DC，∴△AEF∽△ADC，∴S△ACD＝4S△AEF，∵四边形CDEF的面积为3，∴△ACD的面积为4，∴△ABC的面积为3+3+4＝10．故答案为10．19.【答题】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E是CD延长线上一点，连接BE 交AD于点F，连接CF，若△ABF与△CEF的面积相等，则DE的长为______．【答案】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】设DE＝x．∵DF∥BC，∴△EFD∽△EBC，∴，∴，∴DF，AF＝4，∵△ABF与△CEF的面积相等，∴•AF•AB•EC•DF，∴（x+2），∴x1，x2（舍去），故答案为．20.【答题】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于______．【答案】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质.【解答】∵，，，∴，∴△ABC∽△DEF，∴，故答案为．。
青岛版九年级数学上册 第一章 图形的相似 检测试题(解析版)
青岛版九年级数学上册第一章图形的相似检测题一．选择题1．如图，BD为菱形ABCD的一条对角线，E、F在BD上，且四边形ACEF为矩形，若EF＝BD，则的值为（）A．B．C．D．2．如图，在△ADE中，BC∥DE，AB＝3，BD＝DE＝6，则BC的长是（）A．2B．3C．4D．63．如图，以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的后得到△A'B'O，若B点坐标为（4，﹣5），则B'的坐标为（）A．（2，﹣2.5）B．（﹣2，2.5）C．（2，﹣2.5）或（﹣2，2.5）D．（2，2.5）或（﹣2，2.5）4．如图，点E是▱ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F，则下列结论中一定正确的是（）5．如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标为（）A．（1，0）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（0，﹣1）6．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2.5，5），B（5，0）：以原点为位似中心，将线段AB缩小得到线段CD，若点D的坐标为（2.0），则点C的坐标为（）A．（1，2）B．（1，2.5）C．（1.25，2.5）D．（1.5，3）7．如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的任意一点，E，F分别为PB，PC的中点，四边形BCFE，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2，若S＝12，则S1+S2的值为（）A．12B．14C．16D．188．如图，DE∥AB，下列比例式中不成立的是（）9．如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M则下列结论①∠AME ＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③MD＝2AM＝4EM；④AM＝MF，其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EF⊥BD垂足为F．则下列结论错误的是（）A．B．C．D．11．已知△ABC∼△DEF，且△ABC的面积为2cm2，△DEF的面积为8cm2，则△ABC与△DEF的相似比是（）A．1：4B．4：1C．1：2D．2：112．如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB：DE＝1：2，那么下列等式一定成立的是（）A．BC：DE＝1：2B．△ABC的面积：△DEF的面积＝1：2C．∠A的度数：∠D的度数＝1：2D．△ABC的周长：△DEF的周长＝1：213．如图，已知△ABC，D，E分别是AB，AC边上的点．AD＝3cm，AB＝8cm，AC＝10cm．若△ADE∽△ABC，则AE的值为（）14．△ABC的三边之比为3：4：5，若△ABC∽△A′B′C′，且△A′B′C′的最短边长为6，则△A′B′C′的周长为（）A．36B．24C．18D．1215．下列图形中，一定相似的是（）A．两个正方形B．两个菱形C．两个直角三角形D．两个等腰三角形二．解答题16．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF经过O，分别交AB、CD于点E、F，EF的延长线交CB的延长线于M．（1）求证：OE＝OF；（2）若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，AF平分∠DAC，分别交DC，BC的延长线于点E，F；连接DF，过点A作AH∥DF，分别交BD，BF于点G，H．（1）求DE的长；（2）求证：∠1＝∠DFC．18．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2＝AD•CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：△BDE∽△CAD．（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．20．如图，在正方形ABCD中，H为CD的中点，延长AH至F，使AH＝3FH，过F作FG⊥CD，垂足为G，过F作BC的垂线交BC的延长线于点E．（1）求证：△ADH∽△FGH；（2）求证：四边形CEFG是正方形．青岛版九年级数学上册第一章图形的相似检测题参考答案与试题解析一．选择题1．【分析】由菱形的性质可知对角线垂直且互相平分，由矩形的性质可知对角线又互相平分且相等，再加上EF＝BD，可以得到OA＝OC＝OE＝OF＝OB＝BD，设OA＝x，用勾股定理可以表示出AE、AD，进而求出他们的比值，再做出选择．【解答】解：连接AC交BD于点O，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵AFCE是矩形，∴AC＝EF＝2OF＝2OE，又∵EF＝BD，∴OA＝OF，OB＝2OA，设OA＝x，则OE＝x，OB＝2x，在Rt△AOE和Rt△AOB中，AE＝＝x，AB＝＝x，∴＝＝，故选：A．【点评】考查菱形的性质、矩形的性质、直角三角形的勾股定理等知识，合理的转化以及设参数是解决问题常用方法．2．【分析】根据平行线分线段成比例即可解答．【解答】解：∵BC∥DE，AB＝3，BD＝DE＝6，∴，即，∴BC＝．故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质定理，熟记定理是解答本题的关键．3．【分析】根据位似变换的性质计算．【解答】解：以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的后得到△A'B'O，若B点坐标为（4，﹣5），则B'的坐标为（4×，﹣5×）或（﹣4×，5×），即（2，﹣2.5）或（﹣2，2.5），故选：C．【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．4．【分析】证明△ADF∽△ECF，可得结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥EC，∴△ADF∽△ECF，∴＝，故选：B．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5．【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心即可．【解答】解：如图所示：位似中心的坐标为（0，﹣1）．故选：D．【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．6．【分析】利用点B和点D的坐标之间的关系得到线段AB缩小2.5倍得到线段CD，然后确定C点坐标．【解答】解：∵将线段AB 缩小得到线段CD ，点B （5，0）的对应点D 的坐标为（2.0），∴线段AB 缩小2.5倍得到线段CD ，∴点C 的坐标为（1，2）．故选：A ．【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k ．7．【分析】过P 作PQ 平行于DC ，由DC 与AB 平行，得到PQ 平行于AB ，可得出四边形PQCD 与ABQP 都为平行四边形，进而确定出△PDC 与△PCQ 面积相等，△PQB 与△ABP 面积相等，再由EF 为△BPC 的中位线，利用中位线定理得到EF 为BC 的一半，且EF 平行于BC ，得出△PEF 与△PBC 相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC 的面积，而△PBC 面积＝△CPQ 面积+△PBQ 面积，即为△PDC 面积+△PAB 面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．【解答】解：过P 作PQ ∥DC 交BC 于点Q ，由DC ∥AB ，得到PQ ∥AB ，∴四边形PQCD 与四边形APQB 都为平行四边形，∴△PDC ≌△CQP ，△ABP ≌△QPB ，∴S △PDC ＝S △CQP ，S △ABP ＝S △QPB ，∵EF 为△PCB 的中位线，∴EF ∥BC ，EF ＝BC ，∴△PEF ∽△PBC ，且相似比为1：2，∴S △PEF ：S △PBC ＝＝1：4，S 四边形BCFE ＝12，∴S △PEF ＝4，∴S △PBC ＝S △CQP +S △QPB ＝S △PDC +S △ABP ＝S 1+S 2＝16．故选：C ．【点评】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．8．【分析】由△CDO∽△CAF，△COE∽△CFB，△CDE∽△CAB可依次判断各个选项．【解答】解：∵DE∥AB∴△CDO∽△CAF，△COE∽△CFB，△CDE∽△CAB，∴，＝，∴，∴故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．9．【分析】（1）利用正方形的性质，先证△DAE≌△ABF，推出∠BAF＝∠ADE，再利用外角的性质即可证明①正确；（2）设AF与BD交于点N，先用特殊值法，设出正方形的边长为4，可求出线段AM，NM的长，假设∠BAF＝∠EDB成立，可推出∴△DAM≌△DNM，推出AM＝MN，推出矛盾，所以②错误；（3）证△AME∽△DMA∽△DAE，可推出结论③正确；（4）在（2）的基础上分别求出AM，MF的长度即可推出结论④正确．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝∴BC，∠DAE＝∠ABF＝90°，∵E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，∴AE＝AB，BF＝BC，∴AE＝BF，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAF+∠DAM＝90°，∴∠ADE+∠DAM＝90°，∴∠AME＝∠ADE+∠DAM＝90°，故①正确；（2）设AF与BD交于点N，正方形ABCD的边长为4，则AE＝BE＝BF＝2，∴DE＝AF＝＝2，∵AD∥BF，∴△BFN∽△DAN，∴＝＝，∴FN＝，AN＝，＝AD•AE＝DE•AM，∵S△AED∴AM＝＝＝，∴MN＝AF﹣AM﹣NF＝，∴AM≠MN，若∠BAF＝∠EDB，则∠ADE＝∠EDB，又∵DM＝DM，∠DMA＝∠DMN＝90°，∴△DAM≌△DNM（ASA），∴AM＝MN，不符合题意，故②错误；（3）由（1）知，∠BAF＝∠ADE，又∵∠AME＝∠EAD＝∠AMD＝90°，∴△AME∽△DMA∽△DAE，∴＝＝＝，∴AM＝2EM，DM＝2AM，∴MD＝2AM＝4EM，故③正确；（4）由（2）知AM＝，MN＝，FN＝，∴MF＝MN+FN＝+＝，∴＝，故④正确；故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是能够灵活运用相似三角形的判定与性质．10．【分析】利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，∴AB∥CD∥EF∴△ABE∽△DCE，∴＝，故选项B正确，∵EF∥AB，∴＝，＝，∴＝，故选项C，D正确，故选：A．【点评】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【解答】解：∵△ABC的面积为2cm2，△DEF的面积为8cm2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，∵△ABC∼△DEF，∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．12．【分析】根据相似三角形对应边成比例，相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、BC与EF是对应边，所以，BC：DE＝1：2不一定成立，故本选项错误；B、△ABC的面积：△DEF的面积＝1：4，故本选项错误；C、∠A的度数：∠D的度数＝1：1，故本选项错误；D、△ABC的周长：△DEF的周长＝1：2正确，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．13．【分析】先连接DE，由于△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质，可得AD：AB＝AE：AC，代入数值计算即可．【解答】解：连接DE，∵△ADE∽△ABC，∴AD：AB＝AE：AC∴3：8＝AE：10∴AE＝故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的性质，该题难度较小．14．【分析】根据相似三角对应边成比例，求出△A′B′C′的另两条边，即可得到周长．【解答】解：根据相似三角对应边成比例，得△A′B′C′的三边之比为3：4：5，因为最短边长为6，所以另两边为8，10，所以周长为：6+8+10＝24．故选：B．【点评】本题利用相似三角对应边成比例求解．15．【分析】根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，菱形，直角三角形，等腰三角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法．【解答】解：A、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；C、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；D、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．故选：A．【点评】本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑．二．解答题16．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到OA＝OC，AB∥CD，证明△AOE≌△COF，根据全等三角形的性质证明结论；（2）过点O作ON∥BC交AB于N，根据相似三角形的性质分别求出ON、BN，证明△ONE∽△MBE，根据相似三角形的性质列式计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB∥CD，BC＝AD，∴∠OAE＝∠OVF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF；（2）解：过点O作ON∥BC交AB于N，则△AON∽△ACB，∵OA＝OC，∴ON＝BC＝2，BN＝AB＝3，∵ON∥BC，∴△ONE∽△MBE，∴＝，即＝，解得，BE＝1．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．17．【分析】（1）由AD∥CF，AF平分∠DAC，可得∠FAC＝∠AFC，得出AC＝CF＝5，可证出△ADE ∽△FCE，则，可求出DE长；（2）由△ADG∽△HBG，可求出DG，则，可得EG∥BC，则∠1＝∠AHC，根据DF∥AH，可得∠AHC＝∠DFC，结论得证．【解答】（1）解：∵矩形ABCD中，AD∥CF，∴∠DAF＝∠ACF，∵AF平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF，∴∠FAC＝∠AFC，∴AC＝CF，∵AB＝4，BC＝3，∴＝＝5，∴CF＝5，∵AD∥CF，∴△ADE∽△FCE，∴，设DE＝x，则，解得x＝∴；（2）∵AD∥FH，AF∥DH，∴四边形ADFH是平行四边形，∴AD＝FH＝3，∴CH＝2，BH＝5，∵AD∥BH，∴△ADG∽△HBG，∴，∴，∴DG＝，∵DE＝，∴＝，∴EG∥BC，∴∠1＝∠AHC，又∵DF∥AH，∴∠AHC＝∠DFC，∠1＝∠DFC．【点评】本题考查了矩形的相关证明与计算，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键．18．【分析】（1）通过证明△ABD∽△BCD，可得，可得结论；（2）由平行线的性质可证∠MBD＝∠BDC，即可证AM＝MD＝MB＝4，由BD2＝AD•CD和勾股定理可求MC的长，通过证明△MNB∽△CND，可得，即可求MN的长．【解答】证明：（1）∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，∴△ABD∽△BCD∴∴BD2＝AD•CD（2）∵BM∥CD∴∠MBD＝∠BDC∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA∴BM＝MD＝AM＝4∵BD2＝AD•CD，且CD＝6，AD＝8，∴BD2＝48，∴BC2＝BD2﹣CD2＝12∴MC2＝MB2+BC2＝28∴MC＝2∵BM∥CD∴△MNB∽△CND∴，且MC＝2∴MN＝【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键．19．【分析】（1）想办法证明∠B＝∠C，∠DEB＝∠ADC＝90°即可解决问题；（2）利用面积法：•AD•BD＝•AB•DE求解即可；【解答】解：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD．（2）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，∵•AD•BD＝•AB•DE，∴DE＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用面积法确定线段的长．20．【分析】（1）由正方形的性质以及FG⊥CD得出∠ADH＝∠FGH＝90°，结合对顶角∠AHD＝∠FHG，即可判定△ADH∽△FGH；（2）根据三角形相似的性质得出GF＝CG，再根据已知条件FG⊥CD，DC⊥BE，FE⊥BE，即可判定四边形CEFG是正方形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADH＝90°，AD＝DC，∵FG⊥CD，∴∠ADH＝∠FGH＝90°，∵∠AHD＝∠FHG，∴△ADH∽△FGH；（2）证明：∵△ADH∽△FGH，∴＝＝，∵AH＝3FH，∴＝＝3，∵DH＝3GH，∵DH＝CH，∴CG＝2GH，∴CD＝6GH，青岛版九年级数学上册 第一章 图形的相似 检测试题（解析版）21 / 21 ∴CG ＝CD ，∴GF ＝CG ，∵FG⊥CD ，DC ⊥BE ，FE ⊥BE ，∴四边形CEFG 是正方形．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．。
度第一学期青岛版九年级数学上册_第一章_图形的相似_单元检测试题_
2019-2019学年度第一学期青岛版九年级数学上册第一章图形的相似单元检测试题考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.如果△ABC∽△A1B1C1，AB等5，A1B1等于15，那么△ABC的周长和△A1B1C1的周长之比是（）A.1:3B.2:3C.4:9D.3:22.复印纸的型号有A0、A1、A2、A3、A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸较长边的中点对折后，就能得到两张下一型号(A4)的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似（如图），那么这些型号的复印纸的长宽之比为（）A.2:1B.√2:1C.√3:1D.3:13.如果两个相似三角形对应高的比为3:5，面积之比为2:x，那么x的算术平方根为（）A.5√23B.±5√23C.509D.±5094.如图，∠1=∠2=∠3，则图中相似三角形共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对5.某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．则小鱼上的点(a, b)对应大鱼上的点（）A.(−2a, 2b)B.(−2a, −2b)C.(−2b, −2a)D.(−2a, −b)6.如图，已知O是坐标原点，△OBC与△ODE是以0点为位似中心的位似图形，且△OBC与△ODE的相似比为1:2，如果△OBC内部一点M的坐标为(x, y)，则M在△ODE中的对应点M′的坐标为（）A.(−x, −y)B.(−2x, −2y)C.(−2x, 2y)D.(2x, −2y)7.要做甲乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为：50cm、60cm、80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么符合条件的三角形框架一共有（）A.1种B.2种C.3种D.4种8.在相同时刻，物高与影长成正比．如果高为1.5米的标杆影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高为（）A.20米B.18米C.16米D.15米9.一个多边形的边长分别为2、3、4、5、6，另一个和它相似的多边形的最短边长为6，则这个多边形的最长边是（）A.12B.18C.24D.3010.如图，AEAF =ABAC，∠1=∠2，则对于结论：①△ABE∽△ACF；②△ABC∽△AEF；③S△AEFS△ABC =S△ABES△ACF；④EFBC=BEFC．其中正确的结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）第 1 页11.如果两个三角形的两组________的比相等，并且________相等，那么这两个三角形相似．12.如图，△ABC中，DE // BC，且AD:DB=2:3，则=________．S△ADE:S△梯形DBCE13.如果两个相似三角形的面积比为9:4，那么这两个相似三角形的相似比为________．14.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB和AC上的点，DE // BC，AD=2BD，S△ABC=36，则四边形BCED的面积为________．15.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，那么这个正方形零件的边长应是________mm．16.为了测量学校操场上旗杆的高度，小明请同学帮忙，测量了同一时刻自己的影长和旗杆的影长分别为0.5米和3米，如果小明身高为1.5米，那么旗杆的高度为________米．17.如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA=2AA′，′=________．S△ABC=9，则S△A′B′C18.已知△ABC与△DEF相似且对应高的比为1:3，则△ABC与△DEF的周长比为________．19.若两个相似三角形的周长之比为2:3，较小三角形的面积为8cm2，则较大三角形面积是________cm2．20.△ABC的长分别是6，8，10，与其相似的三角形的两条边长是3和4，那么这个三角形第三边的长是________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.如图，△ABC中，点D、E分别在BC、AB上，连接AD、CE交于点F，点G在CE上，且DF⋅EF=FG⋅AF，找出图中所有的位似三角形并指出位似中心，说明理由．22.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF．(1)直接写出图形中的相似三角形；(2)若点D分AB为3:2两部分，求四边形DECF的面积．23.如图，已知△ABC和△DEF都是等边三角形，O为BC、EF的中点，请找出与△BOE相似的三角形并给出证明．24.如图，有一块三角形土地，它的底边BC=100m，高AH=80m．某单位要沿着底边BC修一座底面积是矩形DEFG的大楼，设DG=xm，DE=ym．(1)求y与x之间的函数关系式．(2)当底面DEFG是正方形时，求出正方形DEFG的面积．25.如图，点F是△ABC的边AC的中点，过点A作BC的平行线，与∠ABC的平分线相交于点D，E是BD的中点，BD与AC相交于点G．(1)探究AE与BD的位置关系，并给予证明；(2)若AG=2GF，求S△GDA:S△GBC的值；(3)自己设计一个与该题相关的问题（可作另外的线段或者添加条件），并解答或证明．26.如图1，A、B两点被池塘隔开，为测量AB两点的距离，在AB外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，则MN是△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，如果测得MN=20m，那么AB=2×20m=40m．(1)小红说：测AB距离也可以由图2所示用三角形全等知识来解决，请根据题意填空：延长AC到D，使CD=________，延长BC到E，使CE=________，由全等三角形得，AB=ED；(2)小华说：测AB距离也可以由三角形相似的知识来设计测量方法，求出AB的长；请根据题意在如图3中画出相应的测量图形：延长AC到H，使CH=2AC，延长BC到Q，使CQ=2BC，连接QH；若测得QH的长是400米，你能测出AB的长吗？若能，请测出；若不能，请说明理由．答案1.A2.B3.A4.D5.B6.B7.C8.B9.B10.B11.对应边夹角12.4:2113.3:214.1615.4816.917.81418.1:319.1820.521.解：图中的位似三角形有△AFE∽△DFG和△CDG∽△CBE，指出位似中心分别为点F和点C，理由如下：∵DF⋅EF=FG⋅AF，∴DF:AF=GF:EF，∵∠EFA=∠GFD，∴△AFE∽△DFG，∴∠EAF=∠GDF，∴DG // AB，∴△CDG∽△CBE．22.解：(1)∵DE⊥AC，第 3 页∴∠AED =90∘∵∠C =90∘，∴DE // BC ，∴△ADE ∽△ABC ，同理：△DBF ∽△ABC∴△ADE ∽△DBF ∽△ABC ，(2)∵AD DB =32，∴AD AB =35，∵BC =4，∵△ADE ∽△ABC ，∴AD AB =DE BC ，∴DE =AD AB ×BC =125， 同理：DF =165，∵DE // BC ，DF // AC ，∴四边形CEDF 是平行四边形，∵∠C =90∘，∴平行四边形CEDF 是矩形，S 矩形CEDF =DE ×DF =19225．23.解：∵△ABC 与△DEF 均为等边三角形，O 为BC 、EF 的中点， ∴AO ⊥BC ，DO ⊥EF ，∠EDO =30∘，∠BAO =30∘， ∴OD:OE =OA:OB =√3:1，∵∠DOE +∠EOA =∠BOA +∠EOA 即∠DOA =∠EOB ， ∴△DOA ∽△EOB ．24.解：(1)∵DG // BC∴△ADG ∽△ABC它们的对应高线比等于对应线段的比，即AM AH =DG BC 设DG =xm ，DE =ym ，那么AM =80−y ， ∴80−y 80=x 100∴y =−45x +80；(2)当x =y 时，x =−45x +80，解得：x =4009 ∴DE =4009，DG =4009，∴正方形DEFG的面积为16000081m2．25.解：(1)AE⊥BD；证明：∵AD // BC，∴∠D=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，则∠D=∠ABD，∴AB=AD，即△ABD是等腰三角形，又∵E是BD的中点，∴AE⊥BD（三线合一）；(2)如图1中，设GF=a．则AG=2a，AF=CF=3a，GC=4a，∵AD // BC，∴△ADG∽△CBG，∴S△ADG S△CBG =(AGCG)2=14，(3)结论：EF=12(BC−AB)；证明：延长AE交BC于点H，（或延长DF）．由(1)知∠D=∠EBH，∵E是BD中点，∴BE=DE，又∵∠AED=∠HEB，∴△AED≅△HEB(ASA)，∴AD=HB，AE=HE，又∵F为AC中点，∴EF是△ACH的中位线，则EF=12HC，∵HC=BC−HB=BC−AD，由(1)知AD=AB，∴HC=BC−AB，∴EF=12(BC−AB)．26.ACBC(2)∵CH=2AC，CQ=2BC，∴CH AC =CQBC=2∵∠ACB=∠QHC ∴△ACB∽△QHC∴AB QH =CHAC=2∵QH=400米，∴AB=800米．第 5 页。
初中数学青岛版九年级上册第1章 图形的相似1.3 相似三角形的性质-章节测试习题(4)
章节测试题1.【题文】如图，BE，CD是的高，连接DE．（1）求证：；（2）若，M为BC的中点，连接DM.求证：．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比等于相等，都等于相似比．也考查了直角三角形斜边上的中线性质以及含30°角的直角三角形的性质．（1）由BE、CD是△ABC的高得∠AEB=∠ADC=90°，加上∠EAB=∠DAC，根据相似三角形的判定方法得到△AEB∽△ADC，则AB：AC=AE：AD，利用比例性质即可得到结论；（2）由∠BAC=120°得到∠BAE=60°，则∠EBA=30°，从而，然后证明，可得，根据中，M为BC的中点，可得，∴DE=DM．【解答】（1）∵BE，CD是的高，∴．又∵，∴，∴，∴．（2）∵，∴，∴∠ABE=30°，∴．由（1）得，即，又∵，∴，∴．在中，M为BC的中点，∴，∴．2.【题文】已知：如图，中，，分别在，上，且，连结并延长，交延长线于．求证：．【答案】见解答.【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知作出CG∥AB是解题关键．首先得出∠CEG=∠CGE，进而得出CE=CG，利用CG∥AB，得出，进而得出答案．【解答】证明：过点C作CG∥AB交DF于G，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∵CG∥AB，∴∠ADE=∠EGC，∵∠AED=∠CEG，∴∠CEG=∠CGE，∴CE=CG，∵CG∥AB，∴，∴CF：BF=CE：BD．3.【题文】如图，已知，．（1）若，求的长；（2）求证：．【答案】（1）CD=6；（2）见解答.【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，平行四边形的判定，平行线的性质，解题时要注意识图，灵活应用数形结合思想．（1）由EC∥AB，∠EDA=∠ABF，可证得∠DAB=∠ABF，即可证得AD∥BC，则得四边形ABCD为平行四边形，于是得到结论；（2）由EC∥AB，可得，由AD∥BC，可得，等量代换得出，即OA2=OE•OF．【解答】证明：（1）∵EC∥AB，∴∠EDA=∠DAB，∵∠EDA=∠ABF，∴∠DAB=∠ABF，∴AD∥BC，∵DC∥AB，∴四边形ABCD为平行四边形，∴CD=AB=6；（2）∵EC∥AB，∴△OAB∽△OED，∴，∵AD∥BC，∴△OBF∽△ODA，∴，∴，即OA2=OE•OF．4.【题文】如图，在中，，于点，为的中点，交于点.（1）当时，求的值；（2）当时，求的值；（3）当时，求的值．【答案】（1）=1；（2）；（3）.【分析】本题考查了三角形的中位线，相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，证明过程类似．（1）由，得到AC=2AB，又∵O为AC中点，推出AB=OC，利用AAS得出△ABF≌△COE，推出AF=CE，即可求出所求式子的比值；（2）由，得到AB=AC，过A作AG平行于OE，交BC于点G，求出∠OEC=∠AGC，∠AFB=∠OEC，∠BAD=∠C=45°，利用AAS得出△AFB≌△CGA，推出AF=CG，得到E为CG的中点，即CE为CG的一半，即可求出所求式子的比．（3）过A作AG平行于OE，交BC于点G，证△AFB∽△CGA，推出，再CG=2CE，代入求出即可．【解答】由，得到AC=2AB，又∵O为AC的中点，∴AC=2OC，∴AB=OC，又∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠BAD+∠ABC=90°，∠C+∠ABC=90°，∴∠BAD=∠C，又∵∠AFB=∠OBE+∠ADB，∠OEC=∠OBE+∠BOE，且∠ADB=∠BOE=90°，∴∠AFB=∠OEC，在△ABF和△COE中，，∴△ABF≌△COE（AAS），∴AF=CE，则=1；（2）过A作AG∥OE交BC于G，可得∠OEC=∠AGC，由（1）得∠AFB=∠OEC，∴∠AFB=∠AGC，又∵，即AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠BAD=∠C=45°，在△AFB和△CGA中，，∴△AFB≌△CGA（AAS），∴AF=CG，，，.（3）；过A作AG平行于OE，交BC于点G，由（1）（2）可知∠BAD=∠C，∠AFB=∠CGA，∴△AFB∽△CGA，∵，∴.又∵CG=2CE，∴，∴.5.【题文】如图，已知，在锐角中，于点E，点D在边AC上，联结BD 交CE于点F，且．（1）求证：；（2）连接AF，求证：．【答案】（1）见解答；（2）见解答．【分析】（1）证明△EFB∽△DFC，根据相似三角形对应角相等可得∠EFB=∠FDC，从而证得BD⊥AC；（2）由∽，可得，从而证明∽，根据相似三角形的性质可得，再根据，从而得∽，根据相似三角形的性质即可得．【解答】（1），，，∽，，，，，；（2）∽，，，，∽，，，，∽，，．6.【题文】如图，正方形的边长为，是边的中点，点在射线上，过作于，设．（1）求证：；（2）当也是边中点时，求的值；（3）若以，，为顶点的三角形也与相似，试求的值；（4）当点与点重合时，设交于点，试判断与的大小关系并说明理由．【答案】（1）证明见解答；（2）；（3）或；（4）．【分析】本题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．（1）先证明∠PAF＝∠AEB，再由∠PFA＝∠ABE＝90°，即可证出△PFA∽△ABE．（2）当P是AD的中点时，AP＝2，由△PFA∽△ABE，由相似三角形对应边成比例即可得出结论；（3）分两种情况：当△EFP∽△ABE时，则PE∥AB，得出四边形ABEP为矩形．求出PA＝EB＝2，即x＝2；当△PFE∽△ABE，且∠PEF＝∠AEB时，先求出∠PAF＝∠AEB，得到PE＝PA，再由勾股定理得出AE的长，再得出EF的长，根据相似三角形的性质求出PE的长，即可得出结论；（4）先证明△ECG∽△ABE，求出CG、EG，再证明△AEG∽△ABE，即可得出∠GAE ＝∠BAE．【解答】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4，∴∠ABE＝90°，∠PAF＝∠AEB．又∵PF⊥AE，∴∠PFA＝∠ABE＝90°，∴△PFA∽△ABE．（2）当P是AD的中点时，AP＝2．∵△PFA∽△ABE，∴，即，∴AF；（3）分两种情况：①当△EFP∽△ABE，且∠PEF＝∠EAB时，则有PE∥AB，∴四边形ABEP为矩形，∴PA＝EB＝2，即x＝2．②当△PFE∽△ABE，且∠PEF＝∠AEB时．∵∠PAF＝∠AEB，∴∠PEF＝∠PAF，∴PE＝PA．∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点．∵AE，∴EF，即，∴PE＝5，∴AP=5，即x＝5；∴满足条件的x的值为2或5；（4）∠GAE＝∠BAE．理由如下：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝4，∴∠BAE+∠AEB＝90°．∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝2，∴AE．∵PE⊥AE，∴∠AEP＝90°，∠AEB+∠CEG＝90°，∴∠CEG＝∠BAE，∴△ECG∽△ABE，∴，即，∴CG＝1，∴EG，∴．又∵∠AEP＝∠B＝90°，∴△AEG∽△ABE，∴∠GAE＝∠BAE．7.【答题】已知△ABC与△DEF相似且面积的比为4：25，则△ABC与△DEF周长的比为（）A. 4：25B. 2：5C. 16：25D. 16：625【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．由△ABC与△DEF相似且面积的比为4：9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得△ABC与△DEF的相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案.【解答】∵△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，∴△ABC与△DEF的相似比为，∴△ABC与△DEF的周长比为2：5．故答案是2：5．8.【答题】如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键．【解答】A.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故A错误；B.∵DE∥BC，∴，故B错误；C.∵DE∥BC，∴，故C正确；D.∵DE∥BC，∴△AGE∽△AFC，∴，故D错误；选C.9.【题文】如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB 的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD ＝∠BGC，（1）求证：AD＝BC；（2）求证：△AGD∽△EGF；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值．【答案】（1）见解答；（2）见解答；（3）【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得GA=GB，GD=GC．由“SAS”可判定△AGD≌△BGC根据全等三角形的对应边相等即可得AD=BC；（2）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定△AGB∽△DGC，再由相似三角形对应高的比等于相似比可得，再证得∠AGD=∠EGF，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定△AGD∽△EGF；（3）如图1，延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH．由△AGD≌△BGC可知∠GAD=∠GBC．在△GAM和△HBM中，由∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB可证得∠AGB=∠AHB=90°，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠AGE=45°，即可得出根据相似三角形对应边的比相等即可得【解答】（1）∵GE是AB的垂直平分线，∴GA=GB．同理GD=GC．在△AGD和△BGC中，∵GA=GB，∠AGD=∠BGC，GD=GC，∴△AGD≌△BGC．∴AD=BC．（2）∵∠AGD=∠BGC，∴∠AGB=∠DGC．在△AGB和△DGC中，，∠AGB=∠DGC，∴△AGB∽△DGC．∴，又∠AGE=∠DGF，∴∠AGD=∠EGF，∴△AGD∽△EGF．（3）如图，延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH．由△AGD≌△BGC，知∠GAD=∠GBC，在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB．∴∠AGB=∠AHB=90°，∴∠AGE=∠AGB=45°，∴又△AGD∽△EGF，∴10.【答题】若两个相似三角形的相似比为，面积差是，则它们的面积和为（）A. 60B. 78C. 128D. 150【答案】B【分析】本题考查了对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．先根据相似三角形的性质求出其面积的比，再设较小的三角形的面积为4x，则较大的三角形的面积为9x，由它们面积的差是30即可求出x的值，进而得出问题答案．【解答】∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴其面积的比等于4：9，设较小的三角形的面积为4x，则较大的三角形的面积为9x．∵它们面积的差是30，∴9x﹣4x=30，解得x=6，∴较大三角形的面积=9×6=54，较小的三角形面积=4×6=24，∴它们的面积和为78．选B.11.【答题】如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，BD＝2，则△ADE与四边形DBCE的面积比是（）A. 3：2B. 3：5C. 9：16D. 9：4【答案】C【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．【解答】∵D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴，选C．12.【答题】如图，在中，点，分别在，上且，若，则（）A. 2：3B. 4：9C. 4：25D. 4：19【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．根据题意可以求得△ADE和△ACB相似比，从而可以求得两个三角形的面积之比，本题得以解决．【解答】∵S△ADE：S△BDE=2：3，DE∥BC，设点A到DE的距离为a，点E到BC的距离为b，∴，∴a：b=2：3，∴点A到DE的距离与点A到BC的距离的比值是2：5，∴．选C．13.【答题】如果两个相似三角形的周长分别是、，小三角形的面积是，那么大三角形的面积是______．【答案】54【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．先根据相似三角形的周长得出其相似比，再根据相似三角形的性质即可得出结论．【解答】∵两个相似三角形的周长分别是10cm、15cm，∴其相似比=，∵小三角形的面积是24cm2，∴，解得S大==54．故答案为54．14.【答题】如图，已知中，，连接，的面积是面积的，则______．【答案】1：9【分析】本题考查了三角形的面积，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：①等高的两三角形的面积之比等于对应边之比，②相似三角形的面积之比等于相似比的平方．根据等高的两三角形的面积之比等于对应边之比得出，求出，根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得出即可．【解答】∵△ADE的面积是△BDE面积的，∴，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故答案为1：9．15.【答题】若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A. 1：2B. 2：1C. 1：4D. 4：1【答案】A【分析】本题考查相似三角形的性质.相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长的比等于相似比．【解答】∵两个相似三角形的面积之比为1：4，∴它们的相似比为1：2，（相似三角形的面积比等于相似比的平方），∴它们的周长之比为1：2．选A．16.【答题】如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC两边中线，则=______．【答案】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理．利用三角形中位线的性质定理以及相似三角形的性质即可解决问题.【解答】∵AE=EC，BD=CD，∴DE∥AB，DE=AB，∴△EDC∽△ABC，∴＝，故答案是．17.【答题】若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF 的面积比为______．【答案】1：4【分析】本题考查相似三角形的性质．根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，故答案为1：4．18.【答题】如果两个相似三角形周长的比是2：3，那么它们面积的比是______．【答案】4：9【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵两个相似三角形周长的比是2：3，∴它们的相似比是2：3，∴它们的面积比为4：9，故答案为4：9．19.【答题】已知△ABC与△DEF相似且周长比为2：5，则△ABC与△DEF的相似比为______.【答案】2：5【分析】本题考查相似三角形的性质．【解答】直接根据相似三角形性质进行解答即可．∵△ABC与△DEF相似且周长比为2：5，∴两三角形的形似比为2：5．故答案为2：5．20.【答题】如图，以点O为位似中心，将缩小后得到，已知，则与的面积的比为（）A. 1：3B. 1：4C. 1：5D. 1：9【答案】D【分析】本题考查了位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质．先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．【解答】∵OB=3OB′，∴，∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC，∴．∴，选D．。
【易错题】青岛版九年级数学上册《第一章图形的相似》单元检测试题(教师用).docx
【易错题解析】青岛版九年级数学上册第一章图形的相似单元检测试题一、单选题（共10 题；共 30 分）1. 已知△ ABC∽△ DEF， S△ABC： S△DEF=1： 9，若 BC=1，则 EF 的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 9【答案】 C【考点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：∵△ABC∽△ DEF， S△ABC： S△DEF=1： 9，∴=，∵BC=1，∴EF的长为： 3．故答案为： C．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得出相似比，进而得出答案。
2. 如图 1，△ ABC和△ GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形( 不包括全等 ) 共有（）A. 1对 B. 2对 C.3对 D. 4对【答案】 C【考点】相似三角形的判定，等腰直角三角形【解析】根据已知及相似三角形的判定方法即可找到存在的相似三角形。
【解答】∵△ABC和△ GAF是两个全等的等腰直角三角形∴∠ B=∠ C=∠ FAG=∠ F=45°，∠ BAC=∠ FGA=90°∵∠ ADC=∠ ADE，∠ AEB=∠ C+∠ EAC=∠ DAE+∠ EAC=∠DAC，∴△ ADC∽△ EDA△EDA∽△ EAB△ADC∽△ EAB∴共有 3 对．故选 C．3. 如图， D， E 分别是 AB、 AC的中点，则 S△ADE： S△ABC=（）A. 1 ： 2B. 1 ：3 C.1：4 D.2： 3【答案】 C【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵ D、 E 分别是 AB、 AC的中点，∴ DE是三角形的中位线，∴DE：BC=1：2，∴ S△ADE：S△ABC=1：4．故答案为：C．【分析】由三角形的中位线定理可得DE： BC=1： 2，根据相似三角形的性质可得S△ADE： S△ABC=1： 4。
4.如图，已知点 D、 E 分别在△ ABC的边 AB、 AC上， DE∥ BC，点 F 在 CD延长线上， AF∥ BC，则下列结论错误的是（）A.=B.=C.=D.=【答案】 A【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵AF∥ BC， DE∥ BC，∴ AF∥ DE，∴=，，∴，故 A 错误，∵AF∥DE，∴，故 B 正确，∵DE∥BC，∴，故 C正确，∵AF∥DE，∴，∵AF∥BC，∴，∴，故 D正确，故选 A．【分析】由AF∥ BC， DE∥ BC，得到 AF∥ DE，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．5.如图，在△ ABC中， D是 BC的中点， DE⊥ BC交 AC于点 E，已知 AD=AB，连接 BE 交 AD于点 F，下列结论：① BE=CE；②∠ CAD=∠ ABE；③ S△ABF=3S△DEF；④△ DEF∽△ DAE，其中正确的有（）A.1个 B.4个 C.3个 D.2个【答案】 C【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】∵ D 是 BC的中点，且DE⊥ BC，∴ DE是 BC的垂直平分线，CD=BD，∴ CE=BE，故本答案正确；∴∠ C=∠ 7∵ AD=AB，∴∠ 8=∠ ABC=∠6+∠ 7，∵∠ 8=∠ C+∠ 4，∴∠ C+∠ 4=∠ 6+∠ 7，∴∠ 4=∠ 6，即∠ CAD=∠ ABE，故本答案正确；作AG⊥ BD于点 G，交 BE于点 H，∵AD=AB， DE⊥ BC，∴∠ 2=∠ 3， DG=BG= BD， DE∥ AG，∴CDE△∽△ CGA，△ BGH∽△ BDE， EH=BH，∠ EDA=∠3，∠ 5=∠1，∴CD：CG=DE： AG， HG= DE，设DG=x， DE=y，则 GB=x， CD=2x， CG=3x∴2x：3x=2y ： AG，解得： AG=3y， HG=y∴AH=2y∴DE=AH，且∠ EDA=∠ 3，∠ 5=∠ 1∴DEF△≌△ AHF∴EF=HF= EH，且 EH=BH，∴EF：BF=1： 3，∴S△ABF=3S△AEF，∵S△DEF=S△AEF，∴ S△ABF=3S△DEF，故本答案正确；∵∠ 1=∠ 2+∠ 6，且∠ 4=∠ 6，∠ 2=∠ 3，∴∠ 5=∠ 3+∠ 4，∴∠ 5≠∠ 4，∴△ DEF∽△ DAE，不成立，故本答案错误，综上所述：正确的答案有 3 个，故答案为： C．【分析】①根据线段的垂直评分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=BE；②由三角形外角的性质可得∠8=∠ C+∠ CAD，由角的构成可得∠ABD=∠ EBC+∠ ABE，由①的结论易得∠C=∠ EBC，结合已知条件可得∠CAD=∠ ABE；③作 AG⊥ BD于点 G，交 BE于点 H，由题意和辅助线易证得CDE△∽△ CGA，△ BGH∽△ BDE， DEF△≌△AHF，从而可证得S△ABF=3S△DEF；④根据三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角可得∠DEH∠ EAD，不能找出两个三角形相似的条件。
度第一学期青岛版九年级数学上册_第一章_图形的相似_单元检测试题
度第一学期青岛版九年级数学上册_第一章_图形的相似_单元检测试题2019-2019学年度第一学期青岛版九年级数学上册第一章图形的相似单元检测试题考试总分：120 分考试时间：120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________考号：__________一、选择题（共10 小题，每小题 3 分，共30 分）1.如图，△ABC中，点D在线段AB上，且△ABC∽△ACD，则下列结论一定正确的是（）A.AC2=AB⋅ADB.AC2=BC⋅ADC.AC⋅CD=AB⋅ADD.AC⋅CD=CD⋅BD2.已知△ABC∽△DEF，AB:DE=1:2，则△ABC与△DEF的周长比等于（）A.1:2B.1:4C.2:1D.4:13.如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形，且PA1=23PA，则AB:A1B1等于（）A.2 3B.32C.35D.534.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（）A.1:3B.1:4C.1:5D.1:95.下列4组条件中，能判定△ABC∽△DEF的是（）A.∠A=45∘，∠B=55∘；∠D=45∘，∠F=75∘B.AB=5，BC=4，∠A=45∘；DE=10，EF=8，∠D=45∘C.AB=6，BC=5，∠B=40∘；DE=5，EF=4，∠E=40∘D.BC=4，AC=6，AB=9；DE=18，EF=8，DF=126.如图，在四边形ABCD中，AD // BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3下面四个结论：①AO:AC=1:3；②△ADO∽△CBO；③S△ADO:S△CBO= 1:9；④若△CBO的周长为m，则△ADO的周长为3m，其中正确的是（）A.①②③④ B.②③④C.②③D.③④7.下列命题中，正确的是（）A.菱形都相似B.等腰直角三角形都相似C.矩形都相似D.梯形都相似8.如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC上，DE、AB的延长线相交于点F，图中相似三角形共有（）A.4对B.3对C.2对D.1对9.如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则DEBC=()25.已知AB、CD是两路灯柱．相距50米，高都是16米，PQ是身高2米的人．在路灯A、C的照射下，头顶P的影子分别落在点R、W处．探究：当人PQ在射线DB 上走时，WR的长度是否会随人与灯柱距离的变化而变化？(1)如图1，当人PQ在DB延长线上走时，WR的长度是否会随人与灯柱距离的变化而变化？试通过计算说明；(2)如图2，当人PQ在BD之间走时，WR的长度随人与灯柱的距离变化而变化吗？试通过计算说明．26.如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：(1)①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；(2)将原题中正方形改为矩形（如图4−6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG= kb(a≠b, k>0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由；(3)在第(2)题图5中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=1，求BE2+DG2的2值．答案1.A2.A3.B4.D5.D6.C7.B8.B9.D10.C11.8或81812.1213.3:514.915.4:316.917.(−2, 0)18.略19.②④20.80∘21.解：根据题意，设运动时间为ts；分两种情况讨论：①当点P在AC上时；若△QPC∽△ABC，则PCBC =QCAC，即2t8=t5，14≠15，显然不成立；②当P在AB上时；根据题意，此时BP=10−2t，BQ=8−t，若△QPC∽△ABC，则BPAB =BQBC，即10−2t5=8−t8，解得：t=4011；此时PQ // AC，是位似图形．22.解：(1)∵△ABC与△ADE是位似三角形，∴BC // DE；(2)∵△ABC与△ADE是位似三角形，∴△ABC∽△ADE，∴AE AC =DAAB，∴2 4=3AB=12，解得：AB=6，∴△ADE与△ABC的相似比为：1:2，AB的长度为6．23.存在，t为2.4；1.5．24.证明：(1)∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∴∠ADC=∠AEB=90∘．∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABE．(2)∵△ACD∽△ABE，∴AD:AE=AC:AB．∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC．25.解：(1)如图1，∵PQ // AB，∴△RPQ∽△RAB，∴PQ AB =RQRB，即RQRB=216=18，∴RB=8RQ，∵PQ // CD，∴△WPQ∽△WCD，∴PQ CD =WQWD，即WQWB+50=216=18，∴8WQ=WB+50，∴8(WR+RQ)=WR+RB+50，∴8WR+8RQ=WR+8RQ+50，∴WR=507，∴当人PQ在DB延长线上走时，WR的长度不会随人与灯柱距离的变化而变化；(2)如图2，∵PQ // AB，∴△RPQ∽△RAB，∴PQ AB =RQRB，即RQRB=216=18，∴RB=8RQ，∵PQ // CD，∴△WPQ∽△WCD，∴PQ CD =WQWD，即WQWD=216=18，∴WD=8WQ，∵BR+RD=BD=50，∴8RQ+WD−WR=50，∴8RQ+8WQ−WR=50，∴8(RQ+WQ)−WR=50，即8WR−WR=50，∴WR=507(m)，∴当人PQ在DB之间走时，WR的长度不会随人与灯柱距离的变化而变化．26.解：(1)①BG=DE，BG⊥DE．②BG=DE，BG⊥DE仍然成立．在图(2)中证明如下∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形，∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90∘，∴∠BCG=∠DCE，∵在△BCG与△DCE中，{BC=CD∠BCG=∠DCE CG=CE，∴△BCG≅△DCE(SAS)，∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90∘，∴∠CDE+∠DHO=90∘，∴∠DOH=90∘，∴BG⊥DE．(2)BG⊥DE成立，BG=DE不成立．简要说明如下：∵四边形ABCD、四边形CEFG都是矩形，且AB =a ，BC =b ，CG =kb ，CE =ka(a ≠b, k >0)， ∴BC DC =CG CE =b a ，∠BCD =∠ECG =90∘，∴∠BCG =∠DCE ，∴△BCG ∽△DCE ，∴∠CBG =∠CDE ，又∵∠BHC =∠DHO ，∠CBG +∠BHC =90∘，∴∠CDE +∠DHO =90∘，∴∠DOH =90∘，∴BG ⊥DE ．(3)∵BG ⊥DE ，∴OB 2+OD 2=BD 2，OE 2+OG 2=GE 2，OB 2+OE 2=BE 2，OG 2+OD 2=DG 2，∴BE 2+DG 2=OB 2+OE 2+OG 2+OD 2=BD 2+GE 2， 又∵a =3，b =2，k =12，∴BD 2+GE 2=22+32+12+(32)2=654， ∴BE 2+DG 2=654．。
初中数学青岛版九年级上册第1章 图形的相似1.3 相似三角形的性质-章节测试习题(5)
章节测试题1.【答题】把一个三角形变成和它相似的三角形，若面积扩大5倍，则边长扩大（）；若边长扩大5倍，则面积扩大（）A. 5倍，10倍B. 10倍，25倍C. 倍，25倍D. 25倍，25倍【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的性质：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答即可．【解答】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得：面积扩大了5倍，则边长扩大了倍；边长扩大5倍，则面积扩大25倍．选C．2.【答题】两个相似三角形的一对对应边长分别为和，它们的面积差为，则较大的三角形面积为______．【答案】700【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方．由两个相似三角形一对对应边长分别为35cm和14cm，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得其面积比为：25：4，又由它们的面积差为，即可求得答案．【解答】∵两个相似三角形的一对对应边长分别为35cm和14cm，∴其相似比为5：2，∴其面积比为25：4，设较大的三角形面积为25x cm2，较小的三角形面积为4x cm2．∵它们的面积差为588 cm2，∴25x−4x=588，解得x=28，∴较大的三角形面积为700cm2．故答案为700cm2．3.【答题】一只蚂蚁沿着直角三角形的边爬行一周需，如果将直角三角形的边长扩大到原来的2倍，那么这只蚂蚁再沿边爬行一周需______s．【答案】6【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键．本题根据放大后的三角形与三角形相似，故可根据相似三角形的性质求解，两个相似三角形对应边之比的比值叫做相似比．【解答】∵将直角三角形的边长扩大到原来的2倍，周长扩大到原来的2倍，∴爬行时间扩大到原来的2倍，3×2=6（秒）．故这只蚂蚁再沿边爬行一周需6秒，故答案为6．4.【题文】如图所示，，、分别是斜边、上的中线，已知，，．（1）求和的长；（2）你发现的值与相似比有什么关系？得到什么结论？【答案】（1）CM=7.5，EN=2.5；（2）相等，相似三角形对应中线的比等于相似比．【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应的中线之比等于相似比．（1）根据相似三角形的判定和性质解答即可；（2）根据相似三角形的性质解答即可．【解答】（1）在中，，∵是斜边的中线，∴，∵，∴，即，∴，∵为斜边上的中线，∴；（2）∵，相似比为，∴相似三角形对应中线的比等于相似比．5.【答题】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AD上，如果∠ABE＝∠C，AE＝2ED，那么△ABE与△ADC的周长比为（）A. 1：2B. 2：3C. 1：4D. 4：9【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，不同底等高的三角形面积的求法等，等量代换是本题的关键．根据已知条件先求得S△ABE：S△BED＝2：1，再根据三角形相似求得S△ACD S△ABE即可求得．【解答】∵AD：ED＝3：1，∴AE：AD＝2：3，∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴L△ABE：L△ACD＝2：3，选B．6.【答题】如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（）A. 16B. 17C. 24D. 25【答案】A【分析】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，相似三角形的周长比等于相似比．先计算出△ABE的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可．【解答】∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD＝15，同理BE＝AB＝10，∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，在Rt△ABG中，AG6，∴AE＝2AG＝12，∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，∴△CEF的周长为16．选A．7.【答题】如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD 的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（）A. 21B. 28C. 34D. 42【答案】C【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答.根据平行四边形的性质得AB∥CD，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得AB，AE，进而根据平行四边形的周长公式求得结果．【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，AB＝CD，∴△ABE∽△DFE，∴，∵DE＝3，DF＝4，∴AE＝6，AB＝8，∴AD＝AE+DE＝6+3＝9，∴平行四边形ABCD的周长为：（8+9）×2＝34．选C．8.【答题】如图，已知平行四边形ABCD，点E在DC上，DE：EC＝2：1，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的周长之比为（）A. 4：9B. 1：3C. 1：2D. 2：3【答案】D【分析】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得出答案．【解答】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC＝2：1，∴DE：DC＝2：3，∴DE：AB＝2：3，∴C△DFE：C△BFA＝2：3．选D．9.【答题】如图，在△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC＝3S△EFD，则S△ADE：S△ABC的值为（）A. 1：3B. 1：8C. 1：9D. 1：4【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形面积比是对应边比例的平方的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．易证△DEF∽△CBF同理可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即可解题．【解答】∵S△EFC＝3S△DEF，∴DF：FC＝1：3（两个三角形等高，面积之比就是底边之比），∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴DE：BC＝DF：FC＝1：3，同理△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝1：9，选C．10.【答题】如图，在平行四边形ABCD中，点E在DA的延长线上，且AE AD，连接CE交BD于点F，交AB于点G，则S△BGC：S四边形ADCG的值是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，再证明△AEG∽△BCG，利用相似的性质得到，证明△EAG∽△EDC，利用相似比得到，∴S四边形ADCG＝15S△EAG，然后计算S△BGC：S四边形ADCG的值．【解答】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，∵AE∥BC，∴△AEG∽△BCG，∴＝＝，即S△BCG＝9S△AEG，∵AG∥CD，∴△EAG∽△EDC，∴＝＝，即S△EDC＝16S△EAG，∴S四边形ADCG＝15S△EAG，∴S△BGC：S四边形ADCG＝9S△AEG：15S△EAG＝3：5．选A．11.【答题】如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△DOE与S△COE的比是（）A. 1：25B. 1：5C. 1：4D. 1：3【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键．通过证明△DOE∽△COA，可得，可求，即可求解．【解答】∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，∴，∴，∴S△DOE与S△COE的比为1：5，选B．12.【题文】如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2．（1）求EB的长；（2）求FG的长．【答案】（1）3；（2）.【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．（1）由EG∥AD可得出△BAD∽△BEF，利用相似三角形的性质可求出EB的长；（2）由EG∥∥BC可得出△AEG∽△ABC，利用相似三角形的性质可求出EG的长，再结合FG＝EG﹣EF可求出FG的长．【解答】（1）∵EG∥AD，∴△BAD∽△BEF，∴，即，∴EB＝3．（2）∵EG∥BC，∴△AEG∽△ABC，∴，即，∴EG，∴FG＝EG﹣EF．13.【题文】如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，．（1）求证：AB∥EF；（2）求S△ABE：S△EBC：S△ECD．【答案】（1）见解答；（2）1：2：4．【分析】本题考查平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题．（1）只要证明，即可推出EF∥CD解决问题；（2）设△ABE的面积为m．利用相似三角形的性质，等高模型求出△BCE，△ECD的面积即可解决问题.【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴，∵，∴，∴EF∥CD，∴AB∥EF．（2）解：设△ABE的面积为m．∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴，∴S△CDE＝4m，∵，∴S△BEC＝2m，∴S△ABE：S△EBC：S△ECD＝m：2m：4m＝1：2：4．14.【答题】如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【分析】本题考查了矩形的性质及相似三角形的判定，能够牢记射影定理的内容对解决本题起到至关重要的作用，难度不大．根据已知条件设AD＝BC＝a，则AB＝CD ＝2a，由勾股定理得到AC a，根据相似三角形的性质得到BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC求得CE，AE，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】∵，∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，∴AC a，∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，∴BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC，∴a2＝CE•a，4a2＝AE•a，∴CE，AE，∴，∵△CEF∽△AEB，∴，选A．15.【答题】如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（）A. 16B. 17C. 24D. 25【答案】A【分析】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，相似三角形的周长比等于相似比，难度较大．先计算出△ABE的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可．【解答】∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD＝15，同理BE＝AB＝10，∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，在Rt△ABG中，AG6，∴AE＝2AG＝12，∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，∴△CEF的周长为16．选A．16.【答题】如图，△ABC中，D，E两点分别在边AB，BC上，若AD：DB＝CE：EB＝3：4，记△DBE的面积为S1，△ADC的面积为S2，则S1：S2＝______．【答案】16：21【分析】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．过点E、C分别作EF⊥AB于点F，CG⊥AB于点G，根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．【解答】如图，过点E、C分别作EF⊥AB于点F，CG⊥AB于点G，∴EF∥CG，∴△BEF∽△BCG，∴，∵CE：EB＝3：4，∴，∴，∴，∴S1：S2＝16：21，故答案为16：21．17.【题文】如图，点为内部一点，点、、分别为线段、、上一点，且，．（1）求证：；（2）当时，求的值．【答案】见解答.【分析】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．（1）先根据相似比的性质得出，，故可得出，由此即可得出结论；（2）先根据得出，再由得出，故可得出，同理可得，，故可得出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出结论．【解答】（1），，，，，；（2），，，，，即，同理可得，，，，，．18.【答题】△ABC与△DEF是相似三角形，且△ABC与△DEF的相似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△DEF的面积是（）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】D【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方．利用相似图形的面积比等于位似比的平方，进而得出答案．【解答】∵△ABC～△DEF，相似比为1：2，∴△ABC的面积与△DEF的面积比为：1：4，∵△ABC的面积是3，∴△DEF的面积为12，选D．19.【答题】如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ACD的面积为1，则△ABC的面积为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．由∠ACD=∠B结合公共角∠A=∠A，即可证出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出结合△ADC的面积为1，即可求出△ABC的面积．【解答】∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴S△ABC=4，选D．20.【答题】如图，在菱形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，交于点O，若S△AOB：S△DOE＝25：9，则CE：BC等于（）A. 2：5B. 3：5C. 16：25D. 9：25【答案】A【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方．相似三角形的面积比等于相似比的平方，平行四边形的对边平行且相等，平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．【解答】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD，CD∥AB，∴△AOB∽△EOD，∴S△AOB：S△DOE=（AB）2：（DE）2=25：9，∴AB：DE=5：3，∴设AB=5a，则DE=3a，∴BC=CD=5a，EC=2a，∴EC：BC=2：5，选A．。
九年级数学上册 第1章 图形的相似 1.3 相似三角形的性质拔高练习(新版)青岛版
相似三角形的性质1、如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m,CD=5m，点P到CD的距离是3m，则P到AB 的距离是（）A.56m B.67m C。
65m D。
103m2、如图，路灯距地面8米,身高1。
6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处,沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度（)A．增大1.5米 B. 减小1.5米C。
增大3.5米D。
减小3。
5米3、如图,△ABC是一块锐角三角形余料，其中BC=12 cm，高AD=8 cm，现在要把它裁剪成一个正方形材料备用，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB。
AC上,问这个正方形材料的边长是多少?4、马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱AB的高度为1.2米．（1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？(2）若吊环高度为3。
6米,在不改变其他条件的前提下移动支柱,当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？5、如图,一电线杆AB的影子分别在地上和墙上．某一时刻，小明竖起1 m高的直杆,量得其影长为0．5 m，此时,他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3 m．若已知电线杆高为8 m，求电线杆的影子落在墙上的影长．体验中考1、（娄底）小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A.目标B在同一条直线上，如图4所示,在射击时，小明有轻微的抖动,致使准星A偏离到A′，若OA=0.2米，OB=40米,AA′=0。
0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为（）A．3米B．0.3米C．0。
03米D．0.2米2、（甘肃白银）如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（）A．12m B．10m C．8m D．7m参考答案,6,..35P AB xm AB CD APBPCD AB x x C CD ∴=∴=1.解：设到的距离是,由可知△△相似三角形对应高的比等于相似比，选 2.,,1.6 1.6,;5, 1.5, 3.5,.82082014AM xm BN ym x y x m y m x y m D x y ==∴====∴-=++-解：设影长由题意可知两对三角形相似，解得选3.,88(),3224.5xm APN ABC PN x x x BC x x --=∴=∴=解：设正方形材料的边长为由△△可得相似三角形对应高的比等于相似比 4.8cm4．（1）狮子能将公鸡送到吊环上．当狮子将跷跷板P 端按到底时可得到Rt△PHQ，AB ＝1.2（米）.∴QH ＝2。
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章节测试题1.【答题】如图，在△ABC中E、F分别是AB、AC上的点，EF∥BC，且，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为（）A. 4B. 6C. 16D. 18【答案】C【分析】根据相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】∵，∴，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∵△AEF的面积为2，∴S△ABC=18，则S四边形EBCF=S△ABC-S△AEF=18-2=16．选C.2.【答题】已知△ABC∽△A′B′C′且，则S△A′B′C′∶S△ABC为（）A.1∶2B.2∶1C.1∶4D.4∶1【答案】D【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，解答即可.【解答】选D.3.【答题】如图，在△ABC中，∠AED=∠B，则下列等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】C【分析】根据相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴．选C.4.【答题】已知△ABC∽△DEF，且周长之比为1∶9，则△ABC与△DEF的高的比为（）A.1∶3B.1∶9C.1∶18D.1∶81【答案】B【分析】根据相似三角形的性质解答即可．【解答】∵△ABC与△DEF的周长之比为1：9，∴两三角形的相似比为1：9，∴△ABC与△DEF对应的高的比1：9，选B.5.【答题】如图，若△ADE∽△ACB，且，DE＝10，则BC＝______．【答案】15【分析】根据相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】∵△ADE∽△ACB，且，∴，又∵DE=10，∴，解得：BC=15.故答案为：15.6.【答题】△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为______．【答案】1：4【分析】根据相似三角形的性质解答即可．【解答】∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4．故答案为：1：4．7.【答题】如图，，，且把三角形分成面积为，，三部分，则（）A.B.C.D.无法确定【答案】C【分析】首先根据已知的平行线段，可判定△ADE∽△AFG∽△ABC，进而可由它们的相似比求得面积比，从而得到S1、S2、S3的比例关系．【解答】∵DE∥FG∥BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，∴S△ADE：S△AFG：S△ABC=AD2：（2AD）2：（3AD）2=1：4：9；设S△ADE=1，则S△AFG=4，S△ABC=9，∴S1=S△ADE=1，S2=S△AFG-S△ADE=3，S3=S△ABC-S△AFG=5，即S1：S2：S3=1：3：5.选C.8.【答题】如图，中，，，，，则等于（）A.B.C.D.【答案】C【分析】根据射影定理得到AC2＝AD•AB，然后把AC＝8，AB＝10代入计算即可．【解答】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD•AB，∴AD＝＝6.4．选C.9.【答题】如图，在▱ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，它们相交于点G，延长BE交CD的延长线于点H，下列结论错误的是A.B.C.D.【答案】A【分析】根据平行四边形的性质得到，，根据相似三角形的性质列出比例式，判断即可．【解答】四边形ABCD是平行四边形，，，，A错误、D正确，A符合题意；，B正确，不符合题意；，C正确，不符合题意；选A.10.【答题】如图，AB∥CD，，则△AOB与△DOC的面积比是（）.A. B. C. D.【答案】A【分析】根据相似三角形的判定与性质解答即可。
【解答】解：∵AB∥CD，AD与BC相交于点O∴△AOB∽△DOC∵OA:OD=2:3∴，故选A.11.【答题】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，则DE：EC=______．【答案】3：1【分析】根据平行四边形的性质可得出DE∥AB、DC＝AB，进而可得出△DEF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得出，再结合EC＝CD−DE即可求出结论．【解答】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DE∥AB，DC＝AB，∴△DEF∽△BAF．∵△DEF的面积与△BAF的面积之比为9：16，∴，∵．故答案为：3：1．12.【题文】已知：如图，在中，是边上的中线，点在线段上，且，过点作，交线段的延长线于点．求证：；如果，求证：．【答案】见解析【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理由BF∥AC得BF：AC=BE：EC，再利用BD=CD，BE=DE，得CE=3BE，于是即可得到结论；（2）由AE=ED得AE2=3ED2，把CE=3ED代入得AE2=CE•ED，即AE：ED=CE：AE，根据相似三角形的判定易得△AED∽△CEA，则AD：AC=ED：AE，用EB代替ED即可得到结论．【解答】∵，∴，又∵，，∴，∴；∵，∴，又∵，∴，即，而，∴，∴，又∵，∴，∴．13.【答题】如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一动点（与B，C 不重合）连接AP，作PE⊥AP交∠BCD的外角平分线于E，设BP=，△PCE的面积为，则与的函数关系式是（）A.B.C.D.【答案】C【分析】根据相似三角形的判定与性质及正方形的性质解答即可。
【解答】过点E作EH⊥BC的延长线于点H,因为∠APB+∠EPC=90°,∠BAP+∠APB=90°,所以∠BAP=∠EPH,因为∠B=∠H,所以△ABP∽△PHE,设EH=a,因为∠ECH=45°,∠H=90°,所以CH=EH=a,因为BP=x,所以CP=4-x,根据相似三角形的性质,可知,即,整理得:,解得,所以y与x的函数关系式为:,选C.14.【答题】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A.B.C.D.6【答案】C【分析】本题主要考查的是相似三角形的性质、勾股定理的应用、轴对称图形的性质，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．【解答】解：如图所示：在AB上取点C′，使AC′=AC，过点C′作C′F⊥AC，垂足为F，交AD与点E．在Rt△ABC中，依据勾股定理可知BA=10．∵AC=AC′，∠CAD=∠C′AD，AE=C′E，∴△AEC≌△AEC′，∴CE=EC′，∴CE+EF=C′E+EF，∴当C′F⊥AC时，CE+EF有最小值．∵C′F⊥AC，BC⊥AC，∴C′F∥BC，∴△AFC′∽△ACB，∴，即，解得FC′=．选C.15.【答题】如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，DC与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：∠BDC=∠A；AB=2BC；AD2=3BC2；其中正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【分析】本题主要考查①圆的切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
②三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
由这两个性质可以进行角与角之间的转换以及等量代换，找到角之间的关系。
【解答】AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，所以∠ADB=∠ODC=90°.∠A=30°,∴∠ADO=∠A=30°∴∠DOB=∠ODB=∠OBD=60°，∴∠BDC=∠A=30°,OB=OD=BD,∠OBD=∠BDC+∠DCB,∴∠BDC=∠DCB=30°，∴BD=BC=OB,∴AB=2BC.在直角三角形ABD中，AD2+BD2=AB2,∴AD2= AB2- BD2="3" BC2.选D.16.【答题】如图，在▱ABCD中，∠B＝30°，AB＝AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F，点M是边AB的一个三等分点．连接MF，则△AOE与△BMF的面积比为______．【答案】3∶4【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，是一道几何综合题，本题有一定的难度，能够考查出学生的逻辑思维和推理能力.【解答】设AB=AC=m，则BM=m，∵O是两条对角线的交点，∴OA=OC=AC=m，∵∠B=30°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=30°，∵EF⊥AC，∴cos∠ACB=，即cos30°=，∴FC=m，∵AE∥FC，∴∠EAC=∠FCA，又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF，∴AE=FC=m，∴OE=AE= m，∴S△AOE= OA•OE=×m×m=，作AN⊥BC于N，∵AB=AC，∴BN=CN=BC，∵BN=AB=m，∴BC=m，∴BF=BC﹣FC=m﹣m=m，作MH⊥BC于H，∵∠B=30°，∴MH=BM=m，∴S△BMF=BF•MH=×m×m=m2，∴．17.【题文】如图，正方形中，点、分别在、上，，连接，作垂足为，连接，．求证：．【答案】见解析【分析】利用等角的余角相等得出∠MBP=∠BCM，从而证得△PBM∽△PCB，得出，根据BM=BN，BC=DC，得出，根据同角的余角相等得出∠PCD=∠PBN．进而证得△PBN∽△PCD.得出∠DPC=∠BPN．即可证得PN⊥PD.【解答】解：∵，∴，又∵，∴．∴，∴，∵，，∴，∵，，∴．∴．∴．又∵，∴∴，即∴．18.【题文】矩形中，为中点、为中点，为延长线上一点，连接并延长交与点，连接，求证：．【答案】证明见解析【分析】设AC、EF相交于点K，延长FH与DA的延长线相交于点M，延长GH与AD相交于点N，求出△AMH和△KFH相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，求出△ANH和△KEH相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，然后求出AM=AN，再利用“角边角”证明△AEN和△BEG全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=BG，然后求出DM=CG，再利用“边角边”证明△DFM和△CFG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠M=∠CGF，然后根据平行线的性质可得∠HFE=∠M，∠EFG=∠CGF，再等量代换即可得证．【解答】证明：如图，设、相交于点，延长与的延长线相交于点，延长与相交于点，∵为中点、为中点，∴，∴，，∴，，∴，∵为中点、为中点，是对角线，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，，∴．19.【题文】如图，正方形的边长为，点是的中点，点在上，且，求证：．【答案】证明见解析【分析】先证明，得出，由，证出，从而.【解答】证明：∵四边形是正方形，∴，，∵是的中点，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即．20.【题文】如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点D在射线BC 上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．（1）求证：△EFG∽△AEG；（2）请探究线段AF与FG的倍数关系，并证明你的结论。