线性代数作业
最全线性代数习题及参考答案
第一章：一、填空题：1、若a a D ij n ==||，则=-=||ij a D ；解：a a a a a D aa a a a D n nnn nnnn nn )1(11111111-=----=∴==2、设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式132213321x x x x x x x x x = ； 解：方程023=+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为：a d x x x a c x x x x x x ab x x x ///321133221321-==++-=++所以方程03=++q px x 的三个根与系数之间的关系为：q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210033)(3321221321333231132213321=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x3、行列式1000000019980001997002001000= ；解：原式按第1999行展开：原式=!19981998199721)1(0001998001997002001000219981999-=⨯⨯⨯-=+++4、四阶行列式4433221100000a b a b b a b a = ； 解：原式按第一行展开：原式=))(()()(000004141323243243214324321433221433221b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=-5、设四阶行列式cdb a a cbda dbcd c ba D =4，则44342414A A A A +++= ；解：44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式，44342414A A A A +++=0111111111111==d a c d d c c a bd b a c bdd b c c ba6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为 ；解：n 阶行列式可写成∑-=n np p p ta a aD 2211)1(，其中t 为p 1p 2…p n 的逆序数所以五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为5341352412a a a a a 的符号，为1)1()1(5)3,1,5,4,2(-=-=-t7、在函数xx x xxx f 21112)(---=中3x 的系数是 ； 解：根据行列式结构，可知3x 须由a 11=2x ，a 33=x 和第二行的一个元素构成，但此时第三个元素只能取a 22（行、列数均不可重复），所以此式为3332211)3,2,1(2)1(x a a a t -=-，系数为-2。
线代作业完整版
作业成绩班级 姓名 序号第1次作业 行列式的性质本次作业目的熟悉行列式的性质；会用化三角法计算简单行列式。
1. 用行列式性质证明下列等式：(1) 1111111122222223333333a kb b c c a b c a kb b c c a b c a kb b c c a b c ++++=++23； 证 (2) 2y z z x x y x yz x yy z z x z x y z xx yy z yzx ++++++=+++； 证(3)()()()()()()()()()()()()22222222222222221231230123123a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++=++++++。
证作业成绩班级姓名序号第2次作业行列式展开克莱姆法则本次作业目的熟悉行列式展开法则和克莱姆法则；会熟练应用展开法则计算行列式；会用克莱姆法则解低阶方程组，讨论方程组的解。
1.1121234134124206D−−=−，求3132342A A A++。
解2. 计算下列行列式：(1) 1111 1111 1111 1111xxyy+−+−；解(2)222b c c a a ba b ca b c+++；解作业成绩班级 姓名 序号第3次作业 矩阵及其运算本次作业目的掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置和方阵的行列式及其运算规律。
1. 计算：(1) ；()123223−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎝⎠解(2) 111213112312222321332333()a a a x x x x a a a x a a a x ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎞⎟⎟⎟⎠。
解2. 设，求3111123111,124111051⎛⎞⎛⎜⎟⎜=−=−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−⎝⎠⎝A B AB 解3. 已知11(1,2,3),1,,23⎛⎞==⎜⎝⎠αβ⎟，矩阵=A T αβ，其中T α是α的转置，求(为正整数)。
线性代数练习题(有答案)
《线性代数》 练习题一、选择题1、 设A ,B 是n 阶方阵,则必有 ……………………………………………（ A ）A 、|AB |=|BA | B 、2222)(B AB A B A ++=+C 、22))((B A B A B A -=-+D 、BA AB = 2、设A 是奇数阶反对称矩阵，则必有( B ) (A)、1=A (B)、0=A (C)、0≠A (D)、A 的值不确定3、向量组)0,1,1(，)9,0,3(-，)3,2,1(，)6,1,1(--的秩为____2 ________4、向量组)1,3,1,2(-，)4,5,2,4(-，)1,4,1,2(--的秩为______2__ ___.5、设A 是n m ⨯阶矩阵，r A r =)(,则齐次线性方程组O AX =的基础解系中包含解向量的个数为( C )(A)、r (B)、n (C)、r n - (D)、r m - 二、计算与证明题6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221021132B 求（1）32AB A -，（2）.T B A6、解（1）. A AB 23-2202313212120020122--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭2202212020-⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭2223186240-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭2202212020-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭210612622680-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）. 220231231212120120020122122T A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭222186240-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭7、设A ,B 是n 阶方阵满足AB B A =+，证明:E A -可逆. 7、解、1()A E B E --=-8、设方阵A 满足0332=--E A A ，证明:A 可逆,并求1-A .8、解、由2330A A E --=有A (3A E -）=3E ，于是，A [21(3A E -)]=E ,所以A 可逆，且11(3)3A A E -=-.9、计算行列式:1014300211321221---=D9、69D =-.10、计算行列式D =4232002005250230---- 10、解：D =423200200525230----0205252304--=55208---=80-=11、计算n 阶行列式abbb b a bb b a D =11、1[(1)]()n D a n b a b -=+--。
线性代数 课后作业及参考答案
《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。
《线性代数》作业
《线性代数》作业第一章1、求排列(2n)(2n-1)…(n+1)1 2…(n -1)n 的逆序数。
解：后面是正常顺序，逆序出现在前n 个数与后n 个数之间，2n 的逆序数是2n-1，2n-1的逆序数是2n-2，……，n+1的逆序数是n ，所以整个排列的逆序数是(2n-1)＋(2n-2)＋……＋n ＝n(3n-1)/22、求排列246......(2n)135……(2n-1)的逆序数。
解析：后一项比前一项的算逆序一次，246......(2n)无逆序，所以从1开始，有246......(2n)共N 个，3开始有46......(2n)有N-1个，.......，.2n-1有一个，所以，加一起得，逆序数为1+2+......+N=N （N+1）/2N=n+(n-1)+......+2+1=n(n+1)/23、试判断655642312314a a a a a a ，662551144332a a a a a a -，662552144332a a a a a a -是否都是六阶行列式中的项。
解a 14a 23a 31a 42a 56a 65 下标的逆序数为 t （431265）=0+1+2+2+0+1=6所以655642312314a a a a a a 是六阶行列式中的项。
662551144332a a a a a a -下标的逆序数为 t （452316）=8所以662551144332a a a a a a -不是六阶行列式中的项。
662552144332a a a a a a -下标的逆序数为t(452316)=8所以662552144332a a a a a a -不是六阶行列式中的项。
4、已知4阶行列式D 中的第3列上的元素分别是3，-4，4，2，第1列上元素的余子式依次为8，2，-10，X ，求X 。
解：X=205、设15234312a a a a a j i 是5阶行列式的一项，若该项的符号为负，则 i= 5 ,j= 4 。
线性代数作业习题
第一章：行列式1、计算下列行列式1 2 2 … 2 22 2 2 … 2 22 23 … 2 2：：：：：2 2 2 … n-1 22 2 2 … 2 n解：首先利用每一行元素分别减去第二行元素得到：-1 0 0 02 2 2 00 0 1 00 0 0 2 00 0 0.......n-2可利用代数余子式求出：（-1）*2*（n-2）！2、计算下列行列式：|x y x+y||y x+y y||x+y y xl解：|x y x+y||y x+y y||x+y y x|=x|x+y y|+y(-1)| y y|+(x+y)| y x+y|| y x| |x+y x| |x+y y |=x(x²+xy-y²)-y(xy-xy-y²)+(x+y)(y²-x²-2xy-y²)=x(x²+xy-y²)-y(-y²)+(x+y)(-x²-2xy)=x³+x²y-xy²+y³-x³-x²y-2x²y-2xy²=y³-2x²y-3xy²=y(y²-2x²-3xy)3、计算下列行列式：1 2 -5 1-3 1 0 -62 0 -1 24 1 -7 6解：根据行（列）与行（列）之间互换，行列式值改变符号。
所以第一列与第二列互换，得出2 1 -5 11 -3 0 -60 2 -1 21 4 -7 6根据行列式倍加不变原理。
第四列乘以-2加上第一列，第四列乘以-1加上第二列，结果如下。
0 -7 9 -110 -7 7 -120 2 -1 21 4 -7 6根据行列式倍加不变原理。
第四列乘以-2加上第一列，第四列乘以-1加上第二列0 -7 9 -110 -7 7 -12- 0 2 -1 21 4 -7 6根据计算，得出= （-14）+49-62=-274、求二阶行列式1-x^2 2x----- -----1+X^2 1+X^2解：原式＝（[1-x²]²+4x²）/（1+x²）²＝（1+x²）²/（1+x²）²＝15、设A B为n阶方阵，满足ATA=AAT=E,BTB=BBT=E及|A|+|B|=0，求|A+B|解：原式＝（[1-x²]²+4x²）/（1+x²）²＝（1+x²）²/（1+x²）²＝1由已知, |A|^2=|B|^2 = 1所以|A|, |B| 等于1 或-1因为|A|+|B|=0所以|A||B|= -1所以有|A+B|= - |A||A+B||B|= - |A^T||A+B||B^T|= - |A^T AB^T+A^T BB^T|= - |B^T+A^T|= - |(A+B)^T|= - |A+B|.所以|A+B| = 0.第二章：矩阵1、已知矩阵A=[1 1 1][2 -1 0][1 0 1]B=[3 1 1][2 1 2][1 2 3 ] 求：AB解：AB=[1×3+1×2+1×1 1×1+1×1+1×2 1×1+1×2+1×32×3-1×2+0×1 2×1-1×1+0×2 2×1-1×2+0×31×3+0×2+1×1 1×1+0×2+1×2 1×1+0×2+1×3]=[6 4 6][ 4 3 4]2、设A=[2 2 3][1 -1 0][3 1 2] A*为A的伴随矩阵，求A(-1)A*解：AA*=|A|EA* = |A|A^-1所以A^-1A* = |A| (A^-1)^2|A|=4AA*=|A|EA* = |A|A^-1所以A^-1A* = |A| (A^-1)^2|A|=4A^-1=-1/2 -1/4 3/4-1/2 -5/4 3/41 1 -1(A^-1)^2=9/8 19/16 -21/1613/8 39/16 -33/16-2 -5/2 5/2所以A^-1A* = |A| (A^-1)^2 =9/2 19/4 -21/413/2 39/4 -33/4-8 -10 103、判断关于逆矩阵（A+B）的逆等于不等于A的逆加B的逆解：一般不等于，反例：令A=B=E则(A+B)=2E，(A+B)逆=E/2而A逆+B逆=E+E=2E所以不等4、求矩阵的秩[1 3 2 a][2 -4 -1 b]其中a,b,c为任意实数解：r(A)=3因为[1 3 2][2－4－1][3－2 0]的行列式不为0，说明原矩阵有一个3阶子式不为0，秩至少是3；又因为原矩阵是3*4的矩阵，它的秩最多为3，所以答案就是35、一个方程组x+y+z=22x+y+3z=03y+4z=1求方程的解解：设A=[111213034]B=[21]A的逆阵为C=(1/7)*[5,1,-28,-4,1-6,3,1]x=C.B=1/7[817-11]第三章：向量空间1、已知α1=（1,1,2，-1）α2=（-2,1,0,0,）α3=（-1,2,0,1）又β满足3（α1-β）+2（α3+β）=5（α2+β）求β解：由题设，有3α1-3β+2α3+2β=5α2+5β3α1+2α3-5α2=6β(3,3,0,-3)+(-2,4,0,2)-(-10,5,0,0)=6β6β=(11,2,0,-1)β=(11/6,1/3,0,-1/6)2、设数域F上向量空间V的向量组{α1 , α2 , α3}线性无关，向量β1可由α1 , α2 , α3线性表示，而β2不能由α1 , α2 , α3线性表示。
(完整版)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).（A) 24315 （B) 14325 (C) 41523 （D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). （A ）k (B)k n - （C)k n -2! （D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.（A ） 0 (B ）2-n （C) )!2(-n (D ） )!1(-n4．=0001001001001000( )。
（A) 0 (B ）1- (C) 1 （D) 25。
=0001100000100100( ).（A) 0 (B)1- (C) 1 (D ） 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是（ ).(A) 0 （B)1- (C) 1 （D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ）. （A) 4 （B ） 4- （C ） 2 （D ） 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a （ )。
（A ）ka （B)ka - （C ）a k 2 (D ）a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ )。
(A) 0 （B)3- (C) 3 (D) 210。
若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ）。
(A ）1- （B)2- （C)3- （D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).（A)1- （B)2- （C)3- (D ）012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. （ )（A ）1- (B ）2- （C)3- (D)0二、填空题1。
线性代数练习题及答案10套
1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量 ， 的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ． 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 ：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2． 设矩阵 A= （1， 2） ， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 （ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2
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线性代数（经管类）综合试题一（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设D==M≠0，则D1==(B )．A.－2MB.2MC.－6MD.6M2.设 A、B、C为同阶方阵，若由AB = AC必能推出B = C，则A应满足 ( D )．A. A≠ OB. A = OC.|A|= 0D. |A|≠03.设A，B均为n阶方阵，则 ( A )．A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0B.(A+B)2=A2+2AB+B2C.当AB=O时，有A=O或B=OD.(AB)-1=B-1A-14.二阶矩阵A，|A|=1，则A-1= ( B )．A. B.C.D.与，则下列说法正确的是( B )．A.若两向量组等价，则s = t .B.若两向量组等价，则r()=r()C.若s = t，则两向量组等价.D.若r()= r()，则两向量组等价.6.向量组线性相关的充分必要条件是 ( C )．A. 中至少有一个零向量B. 中至少有两个向量对应分量成比例C. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示D. 可由线性表示7.设向量组有两个极大无关组与，则下列成立的是( C )．A. r与s未必相等B. r + s = mC. r = sD. r + s > m8.对方程组Ax = b与其导出组Ax = o，下列命题正确的是( D )．A. Ax = o有解时，Ax = b必有解.B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解.C. Ax = b无解时，Ax = o也无解.D. Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解.9.设方程组有非零解，则k= ( D )．A. 2B. 3C. -1D. 1阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D )．A. |A|>0B.存在n阶方阵C使A=C T CC.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.四阶行列式D中第3列元素依次为 -1，2，0，1，它们的余子式的值依次为5，3，-7，4，则D= -15 ．12.若方阵A满足A2= A，且A≠E，则|A|= 0 .13.若A为3阶方阵，且，则|2A|= 4 ．14.设矩阵的秩为2，则t = -3 ．15.设向量＝(6，8，0)，=(4，–3，5)，则(,)= 0 ．16.设n元齐次线性方程组Ax= o，r(A)= r < n，则基础解系含有解向量的个数为 n-r 个.17.设＝(1，1，0)，＝(0，1，1)，=(0，0，1)是R3的基，则=(1，2，3)在此基下的坐标为(1,1,2) .18.设A为三阶方阵，其特征值为1，-1，2，则A2的特征值为1,1,4 .19.二次型的矩阵A=220 231 011-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎝⎭20.若矩阵A与B=相似，则A 的特征值为 1,2,3 .三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.求行列式的值.解：1111111111111111xxyy+-+-=111100111100xx xyy y+--+--1100110000110011x xyy +=+00011000000011xxy y ==x 2y 2.22.解矩阵方程：.解：令A =111211111-⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭, B =236⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 因为(AE )=111100111100211010031210111001002101--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1110003311101023611001022⎛⎫- ⎪⎪ ⎪→ ⎪⎪⎪-⎝⎭，所以11103311123611022-⎛⎫-⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭A .由AX=B，得：X=A-1B=11331211133 23662 1122⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭.23.求向量组=( 1, 1, 2, 3 )，=(－1,－1, 1, 1 )，=(1, 3, 3, 5 )，=(4,－2, 5, 6 )的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.解：将已知向量按列构成矩阵，并对其进行行变换： 123411141132()21353156T T T T -⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪⎪⎝⎭αααα1114002603130426-⎛⎫ ⎪-⎪→ ⎪-⎪-⎝⎭11141114002601130113001300260000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1007010000130000⎛⎫ ⎪⎪→ ⎪-⎪⎝⎭. 所以，1234(,)=3,r ,,αααα极大无关组为123413;73,,.=-αααααα取何值时，方程组有解并求其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.解：对方程组的增广矩阵施以初等行变换：211111214212142053731741105372a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A若方程组有解，则()()r r =A A ，故a =5. 当a =5时，继续施以初等行变换得：164105553730155500000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪→-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，原方程组的同解方程组为： 13434234416555,,337555x x x x x x x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩为自由未知量，令x 3=x 4=0,得原方程组的一个特解：453500⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 与导出组同解的方程组为：134342341655,,3755x x x x x x x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为自由未知量，令34x x ⎛⎫⎪⎝⎭分别取10,01⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到导出组的基础解系：165537,551001⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，方程组的全部解为：12416555337555010001c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭v ，其中，c 1 ，c 2为任意常数.25.已知,求A 的特征值及特征向量，并判断A 能否对角化，若能，求可逆矩阵P ，使P –1AP =Λ（对角形矩阵）．解：矩阵A 的特征多项式为：2200|121(2)(1)101λλλλλλ--=--=----|E A ， 所以，A 的特征值为：1232,1λλλ===.对于122λλ==，求齐次线性方程组(2)-=E A x o 的基础解系，0001012101000101000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭E A ，得基础解系：011,001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而矩阵A 的对应于特征值122λλ==的全部特征向量为：12120110,.01c c c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不全为零对于31λ=，求齐次线性方程组()-=E A x o 的基础解系，100100111011100000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭E A ，得基础解系：011⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，从而矩阵A 的对应于特征值31λ=的全部特征向量为：01(0)1c c ⎛⎫⎪≠ ⎪ ⎪⎝⎭. 因为三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以， A 相似于对角矩阵，且010200101,020011001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P Λ.26.用配方法将下列二次型化为标准形：解：222123123121323()2444f x ,x ,x x x x x x x x x x =+-+--=22222112323232323[4()4()]4()+24x x x x x x x x x x x x +-+----- =2221232233(22)245x x x x x x x +--+- =222212322333(22)2(2)3x x x x x x x x +---+- =222123233(22)2()3x x x x x x +----.令11232233322y x x x y x x y x ⎧=+-⎪=-⎨⎪=⎩，即112223332x y y x y y x y ⎧=-⎪=+⎨⎪=⎩，得二次型的标准形为：22212323y y y --. 四、证明题（本大题共6分）27.设向量，证明向量组是R 3空间中的一个基.证：因为11011011002020111001-==≠，所以123,,ααα线性无关（方法多样），所以向量组123,,ααα是R 3空间中的一个基.线性代数（经管类）综合试题二（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.若三阶行列式=0, 则k = ( C ).A．1 B．0 C．-1 D．-22.设A、B为n阶方阵,则成立的充要条件是 ( D ).A．A可逆 B．B可逆 C．|A|=|B| D．AB=BA3.设A是n阶可逆矩阵, A*是A的伴随矩阵, 则( A ).A．B．C．D．4.矩阵的秩为2，则λ =(B ).A． 2 B． 1 C．0D．5.设3×4矩阵A的秩r(A)=1，是齐次线性方程组Ax=o的三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为 ( D ).A．B．C．D．6.向量线性相关,则( C ).A．k =-4 B．k = 4 C．k =-3 D．k = 37.设u1, u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解, 若是其导出组Ax=o的解, 则有( B ).A．c1+c2 =1 B．c1= c2 C．c1+ c2 = 0 D．c1= 2c28.设A为n(n≥2)阶方阵，且A2=E，则必有( B ).A．A的行列式等于1 B．A的秩等于nC．A的逆矩阵等于E D．A的特征值均为19.设三阶矩阵A的特征值为2, 1, 1，则A-1的特征值为( D ).A．1, 2 B．2, 1, 1 C．, 1 D．, 1, 110.二次型是(A ).A．正定的 B．半正定的 C．负定的 D．不定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。