标准答案 北京大学2016年春季学期线性代数作业

2016年春季学期线性代数作业
一、选择题（每题2分，共36分）
1.（教材§1.1）行列式（B）。

A.6
B.5
C.10
D.7
2.（教材§1.1）行列式（A）。

A. B. C.0 D.
3.（教材§1.2）行列式（D）。

A.40
B.-40
C.10
D.-10
4.（教材§1.3）下列对行列式做的变换中，（A）会改变行列式的值。

A.将行列式的某一行乘以3
B.对行列式取转置
C.将行列式的某一行加到另外一行
D.将行列式的某一行乘以3后加到另外一行
5.（教材§1.3）行列式（2/9）。

(提示：参考教材P32例1.3.3)
A.2/9
B.2/3
C.2/9
D. 3/4
6.（教材§1.4）若线性方程组有唯一解，那么（B）。

A.2/3
B.1
C.-2/3
D.1/3
7.（教材§2.2）矩阵
2110
2311
3441
1132
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
-
⎣⎦
的秩是（D）。

A.1
B.2
C.3
D.4
8.（教材§2.2）若线性方程组无解，则a的值为（C）。

A.-1
B.-2
C.-3
D.0
9.（教材§3.1）已知向量，，
，则向量（B）。

A.
B. C. D.
10.（教材§3.3）已知向量组线性相关，下面说法正确的是（C）。

A.如果，则必有;
B.
矩阵的秩等于向量的个数；
C.元齐次线性方程组有非零解；
D.向量组A 中任何一个向量都不能由其余的个向量线性表示。

11.（教材§3.3）下列向量组中，线性无关的是（C）。

A.
B.
C.
D.
12.（教材§3.3）下列向量组中，线性相关的是（D）。

A.
B.
C.
D.
13.（教材§4.1）已知矩阵，矩阵和矩阵均为n阶矩阵，为实数，则下列结
论不正确的是（C）。

A. B.
C. D.
14.（教材§4.1）已知矩阵，矩阵，则（A）。

A. B.
C. D.
15.（教材§4.1）已知矩阵，为矩阵，矩阵为矩阵，为实数，
则下列关于矩阵转置的结论，不正确的是（D）。

A. B.
C. D.
16.（教材§4.2）已知矩阵，则（A）。

A. B.
C. D.
17.（教材§4.3）下列矩阵中，（B）不是初等矩阵。

A. B. C. D.
18.（教材§5.1）矩阵的特征值是（C）。

A.
B.
C. D.
二、填空题（每题2分，共24分）
19.（教材§1.1）行列式的值是abe 。

20.（教材§1.4）如果齐次线性方程组有非零解，那么的值为1
±。

21.（教材§2.2）线性方程组的增广矩阵是：45-1-6 12-1-3 01-20
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦_______，系数矩阵的秩等于3
22(公式).（教材§2.3）齐次线性方程组
1234
1234
123
1234
320
20
320
3230
x x x x
x x x x
x x x
x x x x
+-+=
⎧
⎪+-+=
⎪
⎨
-+=
⎪
⎪-++=
⎩
没有（填“有”
或“没有”）非零解。

23.（教材§4.1）设，，则_
358 683⎡⎤⎢⎥⎣⎦
_____
24．（教材§3.3）设向量与向量线性相关，则= 4 25.（教材§3.3）向量组是线性无关（填“相关”或“无关”）的。

26. （教材§4.1）已知矩阵，矩阵，那么
9 。

27. （教材§5.2）设矩阵
，写出所有的特征值： 1和-8
28. （教材§4.1）已知上三角矩阵，求
1201601⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦。

29. （教材§4.2）已知矩阵，那么
-12-101-11-22⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

30. （教材§5.1）以下关于相似矩阵的说法，正确的有 1，3，4 （多选）。

① 若，则； ② 若，则； ③ 若，则
； ④ 若，则。

二、解答题（每题8分，共40分） 31.（教材§4.1）已知矩阵
，，求（1）;（2
）。

解：（1）
T 1252135AB =-13132=65114-1013⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
（2）
1
25
2A =8A =8-131=81114
⨯
32.（教材§4.1）已知矩阵，，求。

解：
()2
1-28-49-6A+B=+=9-2-66349-69-663-78A+B ==343439-2⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
33.（教材§1.3）计算行列式。

解：
1+13+13310
141310
01-41
=(-1)3413(-1)11411
4
1-3
682682
0-682
3245616
-⨯⨯-+⨯⨯--- =⨯- =
34.（教材§3.4
）求向量组
的一个极大无关组
和秩数。

解：
设12345A=(,,,,)ααααα，对矩阵A 进行初等行变换
115221
15
2221334011370A=31
4570
219111411210903321815169130431
19311522115220113700113700219111007310332181000000
4
31
19300000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
=---⎢⎥⎢
⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
--⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥ ==---⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
可见125,,ααα是一个极大无关组
352171322αααα=+- 45213711αααα=--+
12345(,,,,)()3r r A ααααα==
35. （教材§5.2）求矩阵的特征值和特征向量。

解：
32211()1
21(2)113(2)
1
1
2(1)(4)
f A E λ
λλλλλλ
λλ-=-=-=-++-⨯-- =---
令()0f λ=
得：1234,1λλλ===
当14λ=时，对应的特征向量为其次线性方程组()A-40E x =的解 得123x x x ==，特征向量为()11,1,1T
α=
当11λ=时，对应的特征向量为其次线性方程组()A-0E x =的解
得1230x x x ++=，当10x =时，特征向量为()20,1,1T
α=- 当10x ≠时，特征向量为()32,-1,-1T
α=。