空间向量的数乘运算
空间向量及其加减、数乘和数量积运算
8． 6 空间向量及其加减、数乘和数量积运算1．空间向量的有关概念(1) ___________________________________ 空间向量：在空间，我们把具有和的量叫做空间向量．(2) _________________________ 零向量：规定的向量叫做零向量．(3) __________________ 单位向量：的向量称为单位向量．(4) ___________________________________ 相反向量：与向量a 的向量，称为a 的相反向量，记为－a.(5) _________________________ 相等向量：的向量称为相等向量．(6) 空间向量的加法运算满足交换律及结合律：a+ b=__________ ;(a + b) + c = _______________ .2．空间向量的数乘运算⑴向量的数乘：实数入与空间向量a的乘积?a仍然是一个向量，称为向量的数乘.①当X _ 0时，入a与向量a方向相同；当X __ 0时，入a与向量a方向相反.②入a的长度是向量a的长度的________ 倍.(2) 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：①分配律：X(a＋b)= __________ ．②结合律：X宙)= _________ .(3) 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线_____________________ ，则这些向量叫做共线向量或平行向量．⑷共线向量定理：对空间任意两个向量a, b(b z 0), a // b的充要条件是______________________ .⑸空间直线I的方向向量：和直线I _________ 的非零向量a叫做直线I的方向向量.⑹空间直线的向量表示：I为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点0,点P在直线I上的充要条件是___________________________________ ，特别地，如果 a = AB，则上式可以化为OP = 0A + tAB，或_________________ ，这也是空间三点A, B, P共线的充要条件.(7) 共面向量： _______________ 的向量叫做共面向量．(8) 空间共面向量定理：如果两个向量a, b 不共线,那么向量p 与向量a, b 共面的充要条件是推论：对空间任意一点0和不共线的三点A, B, C,满足向量关系式 _______________________________ ，其中__________ ,则点P 与点A, B, C 共面.3.空间向量的数量积运算(1) 空间向量的数量积：已知两个非零向量a, b,则 ___________________ 叫做a, b的数量积，记作a b,通常规定，0w〈a, b〉w n对于两个非零向量a, b, a丄b? ____________ .(2) 空间零向量与任何向量的数量积为.(3) a a = |a||a|cos〈 a, a>= ______ .(4) 空间向量的数量积满足如下的运算律：①(X) • b= __________ ;②ab= __________ (交换律);③ a (b+ c) = ________________ (分配律).自查自纠1. (1)大小方向⑵长度为0 (3)模为1⑷长度相等而方向相反⑸方向相同且模相等(6)b+ a a + (b+ c)2. (1)①〉v ②|入| (2)① 扫+?b ②(入卩)a(3) 互相平行或重合(4)存在实数入使a= ^bO)P= (i-t)oA+to)B (7)平行于同一个平面3. (1)|a||b|cos〈a, b> a b= 0 (2)0⑶|a|1 2 3 (4)① «a b) ② b a ③a b+ a cO 在长方体ABCD-A1BQ1D1 中，BA + Be + D D1=( )A. D1B1B.D1BD.B D1~--> —> —> —> —> —>解：BA+ BC+ DD1=CD + BC + DD1 =BD + DD1=BD1,故选D.电平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若A B = a, AD = b, A A1 =等的是()11 11A . - 2a + 2b+ c B. 2a + ?b—c1 1 1 1C. —?a+ ?b—cD. —2 a—? b+ c解：BlM = B?B + BM = —c+ 1BD = —c+ 2(b—a) = —*a + 2b—c,故选C.nOB = OC,且/ AOB = Z AOC =三贝U cos〈3⑸平行⑹存在实数t,使齐=O +1aC.(8)存在惟一的有序实数对—> —> —> —>OP = xOA + yOB +(x, y),使p= x a + y bx+ y+ z= 1C.DB1c,则下列式子中与B1M相©如图所示，已知空间四边形OABC, ,BC >的值为()o解：设0A = a , OB = b , OC = c ,由已知条件〈a , b 〉=〈 a , c 〉= n 且 |b |= |c |, OA • BC = a (c — b )= a c — a b 3 11 f f=2|a ||c |— 2|a ||b |= 0，所以 cos 〈OA , BC 〉= 0•故选 A.已知空间四边形 OABC ，点M , N 分别是OA , BC 的中点，且OA = a , OB = b , OC = c ,用a , b , c 表示向 量 MN = ________ .解：如图所示，MN = *(MB + MC)= *[(OB — OM)+ (OC — OM)] = ^(OB + OC — 2O)M)= g(OB + OC — OA)=g(b + c —a ).故填 2(b + c — a ).(2017鞍山市育英中学月考)已知在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中，侧面CCQ i D 的中心是F ，若A F = A D + mAB + nAA r ，贝H m = ________ , n = ________ .解：因为A F = A D + D F = A D + ^(D C + D D i )=A D +2(AB + A ^i ) = A D + ~A B + ^A X I ，所以 m = n =*.故填2； 4 5.类型一空间向量的运算GE （20i7枣阳市鹿头中学月考）如图所示，在空间几何体 ABCD-A i B i C i D i 中，各面为平行四边形， 设AA i = a , AB = b , AD = c , M , N , P 分别是AA i , BC , CQ i 的中点，试用 a , b , c 表示以下各向量：4 AP ；5 MP + NC i .解：(i)因为 P 是 C i D i 的中点，所以 AP = AA i + A i D i + D i P = a + AD + 2D i C i = a + c +?AB = a + c +^b. ⑵因为M 是AA i 的中点， 所以 IMP = MA + A P =苏》+A P =—a + a + c + 丁 b = 2a + ；b + c .-f f f i -f f i -f f又 NG = NC + CC i =尹c + AA i = 2AD + AA i方类解析1=2。
空间向量的数乘运算
OE = k OA， = k OB， OF OD。 OE = k OC， = k OD。 OH
由于四边形ABCD是平行四边形, 是平行四边形 由于四边形
所以
AC = AB + AD.
D
O
C B
H
G
E
F
空间向量的数乘运算
O
因此
EG = OG OE = k OC k OA
D B H
C
G
= k AC = k( AB + AD )
求证:E,F,G,H四点共面 四点共面 求证
分析: 分析 点共面， 欲证E 点共面， 欲证E，F，G，H四
O
D B H
C
EH EF EG共面。 只需证明 ， ， 共面。 AD AB AC 下面我们利用 ， ， 共面来证明。 共面来证明。
E
G
F
空间向量的数乘运算
证明: 证明 因为
所以
OE OF OG OH = = = = k， OA OB OC OD
②
都称为空间直线的向量表示式。 ①、②都称为空间直线的向量表示式。 即：空间直线由空间一点及直线的方向向 量唯一确定
A L
r a
B
P
空间向量的数乘运算
什么是共面向量？
平行于同一平面的向量，叫做共面向量。 平行于同一平面的向量，叫做共面向量。
空间中任意两个向量总是共面的 空间中任意两个向量总是共面的．但三个 两个向量总是共面 向量就不一定．那么，如何判断三个向量是否 向量就不一定．那么，如何判断三个向量是否 共面呢？ 共面呢？
空间向量的数乘运算
向量 b p 空间任意不共线的两个 a, 如果 = xa + yb ， p a b有什么位置关系？ 那么向量与向量 ， 有什么位置关系？ 反过来，向量 a， 反过来， p 与 b有什么位置关系时，有 xa + yb 有什么位置关系时，p = ？
空间向量的数乘运算-数学选修
在物理学中的应用
数乘运算可以用于描述物体旋转的快慢，即角速度。
在电磁场中，数乘运算可以用于描述电场和磁场的变化。
在物理中，数乘运算可以用于描述力的作用效果和速度的变化。例如，加速度就是速度的数乘运算结果。
在计算机图形学中，数乘运算可以用于实现动画效果，如改变物体的尺寸、旋转角度等。
动画制作
渲染技术
向量表示
空间向量的定义与表示
数乘定义：对于任意实数$k$和向量$overset{longrightarrow}{a}$，数乘运算$koverset{longrightarrow}{a}$表示一个新的向量，其大小是$k$倍的$overset{longrightarrow}{a}$的大小，方向与$overset{longrightarrow}{a}$相同或相反。
分配律
对于任意实数$k$和向量$vec{a},vec{b}$，有$k(vec{a}+vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
举例
若$k=2, vec{a}=(1,2,3), vec{b}=(4,5,6)$，则$2(vec{a}+vec{b}) = 2(1+4,2+5,3+6) = (6,12,18)$。
举例
分配律
03
空间向量的数乘运算应用
80%
80%
100%
在解析几何中的应用
数乘运算可以用于实现向量在坐标系中的线性变换，如平移、旋转等。
数乘运算可以用于实现向量的缩放，即改变向量的长度而不改变其方向。
数乘运算可以用于计算一个向量在另一个向量上的投影长度和方向。
线性变换
缩放
投影
力与速度
角速度
电磁场
空间向量的数乘运算(收藏)
数乘运算与向量方向的关系
总结词
数乘运算不会改变向量的方向。
详细描述
对于任意非零向量$vec{a}$和实数$k$，当$k > 0$时，数 乘后的向量方向与原向量方向相同；当$k < 0$时，数乘后 的向量方向与原向量方向相反。特别地，当$k = 0$时，得 到零向量，没有方向可言。
在线性代数中的应用
矩阵运算
在矩阵运算中，数乘运算是一种基本的操作，它可以用来改 变矩阵的元素值，从而进行矩阵的加法、减法、乘法和转置 等操作。
向量运算
数乘运算可以用来改变向量的长度和方向，从而进行向量的 加法、减法、数乘等基本运算，是线性代数中向量运算的重 要基础。
04
空间向量数乘运算的注意 事项
03
空间向量数乘运算的应用
在物理中的应用
1 2 3
描述速度和加速度的方向变化
在物理中，速度和加速度都是空间向量，通过数 乘运算可以改变这些向量的模长和方向，从而描 述物体运动状态的变化。
解释电磁场中的洛伦兹力
在电磁学中，洛伦兹力是一个空间向量，可以通 过数乘运算来改变其大小和方向，以解释带电粒 子在磁场中的运动。
数乘运算在向量合成与分解中的应用
总结词
数乘运算在向量的合成与分解中具有广泛的应用，它 可以帮助我们更好地理解向量的性质和几何意义一，它在向量的合 成与分解中具有广泛的应用。通过数乘运算，我们可以 改变向量的长度和方向，从而更好地理解和操作向量。 在实际应用中，数乘运算可以帮助我们解决许多与向量 相关的几何问题，例如力的合成与分解、速度和加速度 的计算等。此外，数乘运算还可以与其他向量运算结合 使用，例如向量的点乘和叉乘，以解决更复杂的几何问 题。
空间向量的数乘运算
1 1 1 ( 1 )O M O A O B O C ; 3 3 3 (2 )O M2 O AO BO C .
练2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点
1 1 O， , 则x的值为( ) O M x O A ＋ O B ＋ O C 3 3
充要条件是存在实数t,满足等式 若O P O A t A B
P B A
O P O A t a
其中向量 a 叫做直线 的方向向量 . l
a
( 或 A P t A B )
则A、B、P三点共线。
结 论 1 、 若 O Px O A y O B , xy 1 ， A 、 B 、 P 三 点 共 线 .
复习
平面向量基本定理： 如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量， 那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有 一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底．
空间中仍然成立 空 间 中 任 意 两 个 不 共 线 向 量 a , b , 那 么 向 量 p
A
1 （ a b) - c 2
B
a
c
b
G
1 （ a b c) 3
D
M C
练习： 在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
A
( 1 ) AC x ( AB BC CC )
' '
E C
D
B
' ( 2 ) AE AA x AB y AD
_空间向量的数乘运算
F
在三棱锥O－ABC中，点M是△ABC的重心， u u u r 1u u u r u u u r u u u r 求证： .+ O M = ( O A + O B O C )
3
O
A M B D
C
小结作业
1.向量平行、共面与直线平行、共面是 不同的概念，共线向量通过平移可以移 到同一条直线上，共面向量通过平移可 以移到同一个平面上.
2.空间向量共线定理与平面向量共线定 理是一致的，空间向量共面定理是平面 向量基本定理的拓展，是判断空间向量 是否共面的理论依据.
3.利用空间向量共线定理和共面定理， 可以解决立体几何中的共点、共线、共 面和平行等问题，这是一种向量方法.
点P在直线l上
Û
a
A
P
l B
u u u r u u u r r ?O PO At + a u u u r u u u r u u u r O ? O PO A + t A B u u u r u u u r u u u ru u u r ? O P O A + t ( O B O A ) u u u r u u u r u u u r ? O P ( 1) t O A + t O B
u u u ru u u r u u u r u u u r ? O P O A = x A B + y A C
O
u u u r u u u r u u u r u u u r ? O P ( 1 -x y ) O A + x O B + y O C
C P
A
B
P在平面 ABC内（四点共面的证明） (2)OP OA x AB y AC (3)OP xOA yOB zOC ( x y z 1）
空间向量的数乘运算
→ → → 证明】 【证明】 设AB ＝ a，AD＝ b，AA1 ＝ c. ， ， → 2 → 2→ 2 → ∵A1 E＝ 2ED1 ＝ A1 D1 ＝ AD＝ b， ， 3 3 3 → 2→ 2 → 2 → → A1 F＝ FC ＝ A1 C＝ (AC －AA1 ) 3 5 5 2 2 2 2 → → → ＝ (AB ＋AD－AA1 )＝ a＋ b－ c. ＝ ＋ － 5 5 5 5 → → → ∴EF ＝A1 F－A1 E 2 4 2 2 2 ＝ a－ b－ c＝ (a－ b－ c)． － － ＝ － － ． 5 15 5 5 3 2 2 → → → → 又EB ＝EA1 ＋A1 A＋AB ＝－ b－ c＋ a＝ a－ b－ c， － ＋ ＝ － － ， 3 3 → 2→ 所以 ， ， 三点共线． ∴EF ＝ EB .所以 E， F， B 三点共线． 5
→ → 的中点．证明： 向量A 别为 BB1 和 A1 D1 的中点．证明： 向量 1 B、B1 C、 → EF 是共面向量． 是共面向量．
【思路点拨】 思路点拨】 利用向量共面的充要条件 或向量共面的定义来证明． 或向量共面的定义来证明．
【证明】 证明】 → → → → 法一： 法一：EF ＝EB ＋BA1 ＋A1 F 1→ 1 → → ＝ B1 B－A1 B＋ A1 D1 2 2 1 → → → BC)－ ＝ (B1 B＋BC )－A1 B 2 1→ → ＝ B1 C－A1 B. 2 → → → 由向量共面的充要条件知， 由向量共面的充要条件知，A1 B、B1 C、EF 是共面向 量．
例如: 例如:
r 3a
r a r −3a
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 显然 空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
r r r r 即：λ(a +b) = λa + λb r r r a （λ + µ）= λa + µa r r λ(µa) = (λµ)a
空间向量的数乘运算
空间向量的数乘运算
在线性代数中，空间向量的数乘运算是指将一个向量与一个实数（标量）相乘的操作。
数乘是向量运算中最基本的运算之一。
设向量为 v = [x1, x2, ..., xn]，标量为 a。
向量 v 乘以标量 a 的数乘结果记作 av，计算方法如下：
av = [ax1, ax2, ..., a*xn]
即将向量 v 的每个分量与标量 a 相乘得到新的向量 av。
数乘运算改变了向量的长度和方向，当 a > 0 时，数乘会拉长向量的长度，并保持方向不变；当 a < 0 时，数乘会拉长向量的长度，同时改变向量的方向；当 a = 0 时，数乘结果为零向量。
例如，对于向量 v = [2, -3, 4]，标量 a = 3 进行数乘运算：
av = [32, 3(-3), 3*4]
= [6, -9, 12]
因此，数乘运算的结果是 av = [6, -9, 12]。
数乘运算在线性代数中广泛应用，它可以用于调整向量的大小、实现向量的平行移动等操作，同时也是计算矩阵乘法、向量内积、向量投影等许多重要运算的基础。
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回顾 b
b
a
a
结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。
2）涉及空间任意两个向量问题，平 面向量中有关结论仍适用它们。
引入
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数
乘运算,其运算律是否也与平面向量完全 相同呢?
数乘空间向量的运算法则
与平面向量一样,实数 与空间向量a 的乘积
3.1.2空间向量的数乘运算(1)
回顾
b
a
O1
a b
两向量的和与差
a
O2
ab a
b
O3
a b
a b b
三角形法则：和 1）首尾相连；被加向量的起点指向减向量的终点。
差 2）起点重合；减向量的起点指向被减向量的终点。 平行四边形法则：起点重合、表示向量的有向线段为向邻两边；
对角线对应向量为相应和、差。
a 仍然是一个向量.
⑴当 0时, a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 0时, a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 0 时, a 是零向量.
例如:
3a
a
3a
与平面向量一样,空间向量的数乘运算 满足分配律及结合律
即：(a b) a b （ ）a a a
(a) ()a
思考1：已知空间四边形ABCD，连结 AC、BD，E、F分别是BC、CD的中点， 化简下列表达式，并标出化简结果的向量。
(2)
1 3
(AB
AD
AA1 )
(3) AC AB1 AD1
D1 A1
G D
C1 B1
C
A
B
• 三、课堂小结： • 1.空间向量的数乘运算的概念。 • 2.共线向量的概念。
A
2
B
G
M
C
1（a+ 3
b
+
c)
D
向量的平行与重合
定义；表示空间向量的有向线段所在直线 互相平行或重合，则称这些向量叫 共线向量。（或平行向量）
空间向量a//b与重合 ⇔ ∃λ∈R,a =λb
c b
a
如图：L为经过已知点且平行非零向量a的
直线，对空间任意一点O，
点P在直线L上 ⇔ ∃t∈ ，
（1）
非零向量a叫做直线L的方向向量。
点P在直线L上 ⇔ ∃t∈ ，
（2）
O
•
（1）、（2）都称为空间直线的向量表示式。
即：空间直线由空间一点及直线的方向向
L
量唯一确定
•
A
•
P
•
B
a
思考3:
已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1 ，化简下列向 量表达式，并标出化简结果的向量.(如图)
(1) AB AD AA1
（1） AB BC CD
（2）AB
1 2
(BD
BC)
（3）AF 1 (AB AC)
2
A
B
E
D F C
思考2: 如图,已知空间四边形ABCD 中,向量 AB a , AC b , AD c ，若M为BC的中点,G为△BCD 的重心,试用a 、b 、c 表
示下列; b)- c