一般周期的函数的傅里叶级数

2
6
2
8
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内容小结
1. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式
f (x) a0 2
(x 间断点)
其中
1 l
l
l
f
(x) cos
n
l
x
d
x
1 l
l
l
f
( x) sin
n
l
x
d
x
(n 0,1,) (n 1, 2,)
当f (x)为奇(偶)函数时, 为正弦(余弦) 级数. 变换
f ( lz)
所以
是以 2 为周期的周期函数 , 且它满足收敛
定理条件, 将它展成傅
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其中
an
1
F(z) cos nz dz
bn
1
F (z)sin nz dz
(n 0, 1, 2,) (n 1, 2, 3,)
令z x
其中
(在 f (x) 的连续点处)
an
1 l
l f (x) cos n x d x
l
l
(n 0, 1, 2,)
bn
1 l
l f (x)sin n x d x
l
l
(n 1, 2,)
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证明: 令 z x , 则
变成
l
令
f (x) f ( lz) , 则
F (z 2 ) f ( l(z 2 )) f ( lz 2l )
l
an
1l
l l
f (x) cos n
l
xdx
(n 0, 1, 2,)
bn
1 l
l f (x)sin n x d x
l
l
(n 1, 2, 3,)
( 在 f (x) 的 连续点处 ) 证毕
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说明: 如果 f (x) 为奇函数, 则有 (在 f (x) 的连续点处)
其中 bn
f (x)sin n x d x
l
(n 1, 2,)
如果 f (x) 为偶函数, 则有
(在 f (x) 的连续点处)
其中 an
f (x) cos n x d x
l
(n 0, 1, 2,)
注: 无论哪种情况 , 在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数
收敛于
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例1. 设f (x) 是周期为4的周期函数，它在[-2,2)上的表达式为
y
试将f (x) 展开成傅里叶级数.
2
解: 当 x 2k（k 0, 1, 2 ) 时 -4 -2 o 2 4 6 x
an
1 2
2 f (x) cos nx dx= 1
2
22
2 2 cos nx dx= 2 sin nx
一般周期的函数的傅里叶级数
一、以2 l 为周期的函数的
傅里叶展开
二、傅里叶级数的复数形式
一、以2 l 为周期的函数的傅里叶展开
周期为 2l 函数 f (x)
变量代换 z x
l
周期为 2 函数 F(z) 将F(z) 作傅氏展开
f (x) 的傅氏展开式
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定理. 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件, 则它的傅里叶展开式为
答: 用系数公式计算 an , bn时,如分母中出现因子n－k 则ak 或 bk 必须单独计算.
作业: P280 3 ; 5
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备用题
期的傅立叶级数, 并由此求级数
解:
为偶函数,
2
n2
2
(1)n
1
因 f (x) 偶延拓后在
展开成以2为周 的和. (91 考研)
y 2 1 o 1 x
2
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例2. 把
展开成
(1) 正弦级数;
(2) 余弦级数.
在 x = 2 k 处级 数收敛于何值?
解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有
y
bn
2 2
2
0 x
sin
n
2
x
d
x
o2
x
2 x cos n x 2 2 sin n x 2
n
2 n
20
4 cos n n
0
2 n 2
2 0
0
a0
1 2
2 f（x）dx 1
2
2
2
2dx 2
0
bn
1 2 f（x）.sin n x d x= 1 2 2.sin n x
2 2
2
cos n x
22
=
20
2
2（1- cosn）
d
x
n
2 0 n
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在 x = 2 k 处级
bn
2 cos n x
f (x) 4
n1
(1)n1 sin n x
n
2
(0 x 2)
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(2) 将 作偶周期延拓, 则有
y
a0
2 2
2
0 x
dx
o2
x
an
2 2
2 x cos n x d x
0
2
2 x sin n x 2 2 cos n x 2
n
2 n
20
4
n2
2
n 2
4
n
n 2k 1
2
=
2（1- cosn）
0 n
k 1, 2
y
2
数收敛于何值?
0 n 2k
-4 -2 o 2 4 6 x
f
(x)
a0 2
n 1
(an
cos
n l
x
bn
sin
n l
x)
(x （- ,+ ）且x 2k , k 0, 1, 2, )
f (x)的傅 里叶级数
当 x 2k 时，f (x) 的傅里叶级数收敛于 f (2 0) f (2 0) 1
故得
x [1,1]
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得
故
1
k 1(2k 1)2
2
8
1 n1 n2
2
6
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2. 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法 延拓
3. 傅里叶级数的复数形式 利用欧拉公式导出
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思考与练习
P280习题1,2
1. 将函数展开为傅里叶级数时为什么最好先画出其 图形?
答: 易看出奇偶性及间断点, 从而便于计算系数和写出
收敛域 .
2. 计算傅里叶系数时哪些系数要单独算 ?
(1)n
1
f
(x)
x
1
8
2
k 1(2k
1 1) 2
cos
(2k
1) x 2 (0
x
2
)
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f
(x)
x
1
8
2
k 1(2k
1 1) 2
cos
(2k
1)
2
x
(0 x2)
说明: 此式对
也成立,
据此有
1 k 1(2k 1)2
2
8
由此还可导出
y
o2
x
1
n1 n2
1 n1 n2