安徽省六安市毛坦厂中学2018年高一数学下学期期中试题(含答案)

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2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题-Word版含答案

2017-2018学年第二学期期中考试高一数学试题卷第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：每小题4分，共40分.1.在等差数列{}n a 中，若136,2a a ==，则5a =（） A ．6 B ．4 C ．0 D ．-22.如图，已知向量,,a b c ，那么下列结论正确的是（）A ．a b c +=B ．a b c +=-C ．a b c -=-D ．b c a += 3.用数学归纳法证明11112321nn +++<-（*,1n N n ∈>）时，第一步应验证不等式为（）A ．1122+< B ．111323++< C ．11113234+++< D ．111223++<4.已知平面向量a 和b 的夹角等于3π，2a =，1b =，则2a b -=（）A ．2B C.D5.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若030B =，c =2b =，则C =（） A ．3π B ．3π或23π C. 4π D ．4π或54π6.已知等比数列{}n a 中，12340a a a ++=，45620a a a ++=，则前9项之和等于（） A ．50 B ．70 C. 80 D ．907.已知向量,a b 满足1a =，2b =，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（）AB ．3C. D ．58.已知数列{}n a 满足121a a ==，2111n n n na a a a +++-=，则65a a -的值为（） A ．0 B ．18 C. 96 D ．6009.已知数列{}n a 是各项均不为0的正项数列，n S 为前n项和，且满足1n a =+，*n N ∈128(1)n n a +≤+-对任意的*n N ∈恒成立，求实数λ的最大值为（）A ．-21B ．-15 C.-9 D ．-210.在ABC ∆中，AB AC =，点M 在BC 上，4BM BC =，N 是AM 的中点，1sin 3BAM ∠=，2AC =，则AM CN ∙=（）A ．1B ．2 C. 3 D ．4第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共7小题，第11-14题每小题6分，第15-17题每小题4分，共36分）11.已知向量(2,5)a =，(,2)b x =-，且a b ⊥，则x =_________，a b -= ． 12.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c，若01,30a b C ===，则c =____________，ABC ∆的面积S = ．13.已知等差数列{}n a 中，1013a =，927S =，则公差d =________，100a = ． 14.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若1tan 2A =，1tan 3B =，2b =，则tanC =_________，c = ．15.已知向量3OA =1OB =，0OA OB ∙=，点C 在AOB ∠内，且060AOC ∠=，设OC OA OB λμ=+（,R λμ∈），则λμ= ．16.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-，则1210181818a a a -+-+-= ．17. O 是ABC ∆所在平面上的一点，内角,,A B C 所对的边分别是3、4、5，且3450OA OB OC ++=，若点P 在ABC ∆的边上，则OA OP ∙的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18. 已知向量,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,1)a =-. （1）若32c =，且//c a ，求向量c 的坐标；（2）若1b =，且(2)a a b ⊥-，求a 与b 的夹角θ.19. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知cos (2)cos 0c B b a C ∙+-=. （1）求角C 的大小；（2）若2c =，a b ab +=，求ABC ∆的面积.20. 等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =，数列{}n b 满足31323log log log n n b a a a =+++.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求设1n n nc a b =+（*n N ∈），求数列{}n c 的前n 项和n S . 21. 在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且sin cos 20A a C b c -+-=.（1）求角A 的大小；（2）求cos cos B C +的范围. 22.已知数列{}n a 满足11a =，2114n n a a p +=+. （1）若数列{}n a 就常数列，求p 的值；（2）当1p >时，求证：1n n a a +<；（3）求最大的正数p ，使得2n a <对一切整数n 恒成立，并证明你的结论.2017-2018学年第二学期其中考试高一数学试题卷试卷答案一、选择题1-5:DBDAB 6-10:BACDA 11、12：二、填空题11. 5, 12. 1 ,13. 2 , 193 14. -1 , 15.1316. 961 17. [5,10]- 三、解答题18.解：（1）设(,)c x y =，由=32c ，且//c a 可得2218y x x y +=⎧⎨+=⎩ 所以33x y =-⎧⎨=⎩或33x y =⎧⎨=-⎩故(3,3)c =-，或(3,3)c =-（2）因为=1b ，且()2a a b ⊥-，所以()2=0a a b ⋅- 即220a a b -⋅=，所以220a b -⋅=，=1a b ⋅ 故2cos a b a bθ⋅==⋅，4πθ=19.（1）∵()cos 2cos 0c B b a C ⋅+-=，cos cos 2cos 0c B b C a C +-=，2cos 0a a C -=，∴1cos 2C =，=3C π（2）∵2c =，所以2222cos c a b ab C =+-，()()22423a b ab ab a b ab =+--=+-∴4ab =，1sin 2S ab C ==20.解：（1）因为等比数列{}n a 中23269a a a =，故22349a a =，0n a >，故1=3q 又因为122+31a a =，所以11=3a ，1=3nn a ⎛⎫⎪⎝⎭()313231log log log 122n n n n b a a a n +=+++=----=-（2）因为数列1+n n n c a b =，令数列{}n a 前n 项和n T ，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n Q 则1113311==112313nn n T ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭-()1211=2n n+11n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭111111=212122311n Q n n n ⎛⎫⎛⎫-+-+-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭1113211=1212312123n nn S n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 21.解：（1cos 20A a C b c -+-=， sin sin cos sin2sin 0C A A C B C -+-= 因为()sin =sin sin cos cos sin B A CA C A C +=+， sin cos sin 2sin 0C A A C C +-=sin 0C ≠cos 2A A +=sin()16A π+=，因为ABC ∆是锐角三角形，所以，62A ππ+=，3A π=（2）因为3A π=，所以23B C π+=，2cos cos cos cos =sin 36B C C C C ππ⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为ABC ∆是锐角三角形，所以62C ππ<<，cos cos B C +的范围⎫⎪⎪⎝⎭22.解：（1）若数列{}n a 是常数列，则2111=+144a a p p =+=，34p =；显然，当34p =时，有=1n a （2）由条件得2211113=p 044a a a p a -=+-->得21a a >，又因为2221111,44n n n n a a p a a p +++=+=+，两式相减得()()()222221111111114444n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++++-=-=-=-+ 显然有0n a >，所以21n n a a ++-与1n n a a +-同号，而210a a ->，所以10n n a a +->；从而有1n n a a +<. （3）因为()2211121144k k k k k a a a a p a p p +-=-+=-+-≥-，所以()()()()1211111n n n a a a a a a n p -=+-+->+--，这说明，当1p >时，n a 越来越大，不满足2n a <，所以要使得2n a <对一切整数n 恒成立，只可能1p ≤，下面证明当1p =时，2n a <恒成立；用数学归纳法证明：当1n =时，11a =显然成立；假设当n k =时成立，即2k a <，则当1n k =+时，22111121244k k a a +=+<⨯+=成立，由上可知对一切正整数n 恒成立，因此，正数p 的最大值是1。

安徽省六安市毛坦厂中学高一下学期期中考试数学试题(解析版)

高一期中考试数学试题考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A 版必修第一册第五章，必修第二册第六章~第七章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数满足，则的虚部为（）z ()1i 3iz +=-z A. B.C.D. 22-1-2i -【答案】A 【解析】【分析】根据复数除法法则，再结合虚部的概念即可得到答案．【详解】由，则，所以的虚部为． ()1i 3i z +=-3i12i 1iz -==-+z 2-故选：A ．2. 下列说法错误的是（）． A. 向量与向量长度相等 B. 起点相同的单位向量，终点必相同 CD DCC. 向量的模可以比较大小D. 任一非零向量都可以平行移动【答案】B 【解析】【分析】根据向量的定义，相反向量，单位向量，模的定义，判断选项. 【详解】和长度相等，方向相反，故A 正确；CD DC单位向量的方向不确定，故起点相同时，终点不一定相同，故B 错误；向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C 正确；向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D 正确．故选：B3. 函数的最小正周期为，则（） π()tan (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭πω=A. 4 B. 2C. 1D.12【答案】C 【解析】【分析】根据正切型函数最小正周期列方程，由此求得的值. ω【详解】依题意，解得.ππT ω==1ω=故选：C4. 若，，，则m ＝（）(3,1)a = (,5)b m =r (2)a b a -⊥A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B 【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示计算．【详解】，因为，所以，解得m ＝5．2(6,3)a b m -=-- (2)a b a -⊥3(6)30m --=故选：B ．5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（）π3sin 26y x =+⎛⎫ ⎪⎝⎭3sin 2y x =A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 π126πC. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度π126π【答案】A 【解析】【分析】将所给函数化为，根据三角函数相位变换原则可得结果. π3sin 212y x ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】 ππ3sin 23sin 2612y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭只需将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象.∴3sin 2y x =π12π3sin 26y x =+⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：A6. 如图，飞机飞行的航线和地面目标在同一铅直平面内，在处测得目标的俯角为，飞行AB C A C 30︒10千米到达处，测得目标的俯角为，这时处与地面目标的距离为（）．B C 75︒B CA. 5千米B.千米C. 4千米D. 千米【答案】B 【解析】【分析】将题意转化为解三角形问题，利用正弦定理计算即可. 【详解】根据题意可知，.10AB =753045C =︒-︒=︒在中，由正弦定理得,即.ABC A sin sin AB BCC BAC=∠BC ==故选:B7. 已知函数的图象如图所示，则（） π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭(0)f =A.B.C.D. 312【答案】B 【解析】【分析】根据图象求得的解析式，由此求得. ()f x ()0f 【详解】由图可知，，A =， 2ππ2π1π,4π,4332T T ωω⎛⎫=--==== ⎪⎝⎭所以，()12f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由于， 2ππ33f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中， ππππ5π,22636ϕϕ-<<-<+<所以，πππ,326ϕϕ+==所以，()π26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以. ()π06f ==故选：B8. 在中，已知，，则（） ABC A 120B =︒AC =3AB =BC =A. 1B.C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】利用余弦定理得到关于BC 长度的方程，解方程即可求得边长．【详解】设，,,AB c AC b BC a ===结合余弦定理：可得：， 2222cos b a c ac B =+-219923cos120=+-⨯⨯⨯ a a 即：，解得：（舍去）， 23100a a +-=2a =5a =-故. 2BC =故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列结论正确的是（） A. 是第三象限角 5π6-B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 π2ππC. 若角的终边上有一点，则 α()()3,40P m m m -≠3cos 5α=-D. 若角为锐角，则角为钝角 α2α【答案】AB 【解析】【分析】由象限角的概念，扇形面积公式，及三角函数的概念判断选项正误. 【详解】选项A 中，的终边在第三象限，是第三象限角，A 正确； 5π6-5π6-选项B 中，设半径为r ，则，所以，扇形面积，B 正确； ππ2r ⋅=2r =21π2π22S =⨯⨯=选项C 中，P ，当时，，当时，5m =0m >3cos 5α=-0m <，C 错误；3cos 5α=选项D 中，是锐角，但不是钝角，D 错误. 30α=︒260α=︒故选：AB.10. 已知，则的值可以是（） 2sin cos αα-=tan αA.B.C.D. 3133-13-【答案】CD 【解析】【分析】利用平方关系结合已知求出，再根据商数关系即可得出答案.sin ,cos αα【详解】解：由，得， 2sin cos αα-=cos 2sin αα=-又，22sin cos 1αα+=所以， 2225sin 2sin 5sin 12αααα⎛+=-+= ⎝解得， sin α=当时，，则，sin α=cos α=1tan 3α=-当时，，则. sin α=cos α=tan 3α=故选：CD.11. 在平行四边形ABCD 中，E 是BC 上的点，BE =2EC ，F 是CD 的中点，且AE =2，AF =3，∠EAF =60°，则下列说法正确的是（）A.B.3142AC AE AF =+ 1223AC AE AF =+C. D.AC =AC =【答案】AC 【解析】【分析】利用向量对应线段的位置关系及加减数乘的几何意义得、，AC AB AD =+ 3324AD AF AE =-，即可得，再应用向量数量积的运算律求.32AB AE AF =- 1324AC AF AE =+ ||AC 【详解】由题设，①，AC AB AD =+ 12AF AD DF AD AB =+=+②，23AE AB BE AB AD =+=+所以①2②得即，⨯-423AD AF AE =- 3324AD AF AE =- ②①得，故，A 正确、B 错误；32⨯-32AB AE AF =- 1324AC AF AE =+ 所以2221394416AC AF AF AE AE =+⋅+22c 1394416os AF AF AE A FAE E =+∠⋅+， 999274444=++=故C 正确、D 错误.AC = 故选：AC12. 已知函数为偶函数，则（） ()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<A. 的图象关于直线对称 ()f x πx =B. 的最小正周期是()f x πC. 的图象关于点对称 ()f x ()2π,0-D. 在区间上是增函数 ()f x ()2,3【答案】ABD 【解析】【分析】先利用偶函数求出，再利用周期公式求解周期，利用图象的性质求解对称性和单调性.ϕ【详解】因为为偶函数，所以， ()f x ππ,2k k ϕ=+∈Z 又，所以，即.0πϕ<<π2ϕ=()πsin 2cos22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭对于A ，由，得.当时，，故的图象关于直线对2π,x k k =∈Z π,2k x k =∈Z 2k =πx =()f x πx =称，正确；A 对于B ,的最小正周期是B 正确； ()f x 2ππ,2T ==对于C ,图象的对称中心为C 错误； ()()cos2,f x x f x =()ππ,0,42k k ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z 对于D ，令，则，即是的一个单调增2π+π22π+2π,k x k k ≤≤∈Z ππ+π+π,2k x k k ≤≤∈Z π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 区间；由于在上单调递增，D 正确. ()()π2,3,π,2f x ⎛⎫⊆⎪⎝⎭π,π2⎛⎫⎪⎝⎭故选:ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 函数在区间上为增函数，则的取值范围是________． cos y x =[]π,a -a 【答案】 (]π,0-【解析】【分析】根据余弦函数的单调性分析求解.【详解】因为在上是增函数，在上是减函数， cos y x =[]π,0-[]0,π所以只有时满足条件，故． π0a -<≤(,0]πa ∈-即的取值范围为， a (]π,0-故答案为：(]π,0-14. 在中，若，则______ ABC A 22sin (sin sin )sin sin A B C B C --=A =【答案】3π【解析】【分析】先利用正弦定理将，转化为，再利用余22sin (sin sin )sin sin A B C B C --=222b c a bc +-=弦定理求解.【详解】因为， 22sin (sin sin )sin sin A B C B C --=所以，222b c a bc +-=所以．2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又， ()0,A π∈∴．3A π=故答案为：3π15. 已知函数在区间上的最大值为2，则实数的取值范围为________． 2sin (0)y x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ω【答案】 [)2,+∞【解析】【分析】根据的范围以及函数函数在区间上的最大值列不等式来求得x ω2sin (0)y x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的取值范围.ω【详解】依题意，， 0ω>当时，， ππ34x -≤≤ππ34x ωωω-≤≤所以，解得，0ππ42ωω>⎧⎪⎨≥⎪⎩2ω≥所以的取值范围是. ω[)2,+∞故答案为：[)2,+∞16. 设非零向量和的夹角是，且，则，则的最小值为__________． a b2π3b a = R t ∈2ta b a+【解析】【分析】根据向量数量积的运算，先求的结果，再求最值. 22ta ba ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【详解】∵， ()222222222222244242413ta bt a ta b b t a t a a t t t a a a ⎛⎫++⋅+-+ ⎪===-+=-+ ⎪⎝⎭∴当时，的最小值为3，∴的最小值为． 1t=22ta ba ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭2ta b a + 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在平面直角坐标系中，点，，记，．xOy ()1,2A -()1,1B OA a = OB b=（1）设在上的投影向量为（是与同向的单位向量），求的值； abe λ ebλ（2）若四边形为平行四边形，求点C 的坐标． OABC 【答案】（1 （2） ()2,1C -【解析】【分析】（1）根据投影向量的定义，即可求解；（2）根据平行四边形的性质，得到，转化为坐标运算，即可求解. OA CB=【小问1详解】设与的夹角为，a bθ则． cos a b a b a a a b bλθ⋅⋅==⋅===【小问2详解】设点，因为四边形为平行四边形，所以．(),C x y OABC OA CB =又，， ()1,2OA =- ()1,1CB x y =--所以，解得．1112x y -=-⎧⎨-=⎩21x y =⎧⎨=-⎩故．()2,1C -18. 已知为锐角，． ,αβ()sin παβ=-=（1）求的值； sin2α（2）求的值． ()cos αβ-【答案】（1）45（2 【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的关系和正弦的二倍角公式求解；（2）利用诱导公式，同角三角函数的关系以及两角差的余弦公式求解即可．【小问1详解】因为， πsin 0,2αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭所以， cos α==所以． 4sin22sin cos 25ααα===【小问2详解】因为 ()π,0,,cos πcos 2αβββ⎛⎫∈-=-= ⎪⎝⎭所以， cos ββ===所以 ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+==19. 如图，在四边形中，，，．且．ABCD 2AB =1AC CD ==3sin 5BCD ∠=π3BAC ∠=（1）求四边形的面积； ABCD （2）求的长． AD【答案】（1 25+（2 【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得，由此求得，求得，进而求得四边形的BC ACB ∠sin ACD ∠ABCD 面积.（2）利用余弦定理求得.AD 【小问1详解】在中，由余弦定理得 ABC A BC ==所以，所以， 222BC AC AB +=π2ACB ∠=依题意， π3sin sin cos 025BCD ACD ACD ⎛⎫∠=+∠=∠=> ⎪⎝⎭则为锐角，所以. ACD ∠4sin 5ACD ∠==所以四边形的面积为. ABCD 11421112255+⨯⨯⨯=+【小问2详解】在三角形中，由余弦定理得. ACD AD ==20. 已知内角的对边分别为，且.ABC A A B C ，，a b c ，，2cos cos cos c A a B b A =+（1）求角；A（2）若的周长为外接圆的半径为1，判断的形状，并求的面积.ABC A ABC A ABC A ABC A 【答案】（1） π3（2【解析】【分析】（1）由正弦定理及三角形的性质即可求角；（2）利用正弦定理求出边长a ，然后再根据周长和余弦定理列式解出b 和c ，从而判断性质和求解面积.【小问1详解】由题意，2cos cos cos c A a B b A =+由正弦定理得，2sin cos sin cos sin cos C A A B B A =+因为，sin cos sin cos sin()sin A B B A A B C +=+=所以，因为，所以，所以， 2sin cos sin C A C =()0,πC ∈sin 0C ≠1cos 2A =又，所以. ()0,πA ∈π3A =【小问2详解】设外接圆的半径为，则，由正弦定理得， ABC A R1R =2sin a R A ==因为的周长为ABC A b c +=由余弦定理得，即，所以， ()2222π2cos 33a b c bc b c bc =+-=+-3123bc =-3bc =由为等边三角形，3b c bc ⎧+=⎪⎨=⎪⎩b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩ABC A 所以的面积 . ABC A 11sin 322S bc A ==⨯=21. 已知向量，不共线，，，．a b AP a tb =- 2BP a b =-+ 32BQ a b =- （1）若，，求x ，y 的值；2t =-AP xBP yBQ =+ （2）若A ，P ，Q 三点共线，求实数t 的值．【答案】（1） 53,44x y ==（2）1t =【解析】【分析】（1）根据平面向量的基本定理列方程组来求得的值.,x y （2）根据三点共线列方程来求得的值.,,A P Q t 【小问1详解】当时，，2t =-AP a b =+ 而， ()()()()232322a b y a b xBP yBQ x y a x y x b -++-=-+-=++ 所以，解得. 31221x y x y -+=⎧⎨-=⎩53,44x y ==【小问2详解】，， AP a tb =- ()32244BQ BP a P b a Q b a b -=---+==- 由于三点共线，所以，解得. ,,A P Q 144t -=-1t =22. 已知函数的最小正周期为．()()22sin cos 0f x x x x ωωωω=+>π（1）求的解析式；()f x（2）若关于x 的方程在区间上有相异两解 ()f x a =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦12,x x 求：①实数a 的取值范围；②的值．()12sin x x +【答案】（1） ()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）①，②)212【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换公式将化简，然后由的最小正周期为，解得，即可得到()f x ()f x πω函数的解析式；()f x （2）将方程有两解转化为函数图像有两个交点，然后结合图像即可求得的范围，然后由正弦函数的对a 称性即可得到的值.()12sin x x +【小问1详解】()22sin cos f x x x x ωωω=+πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭因为的最小正周期为，所以，解得． ()f x π2ππ2ω=1ω=所以． ()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【小问2详解】①，即． ()f x a =π2sin 23x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭关于x 的方程在区间上有相异两解，， ()f x a =+π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x 也即函数与的图像在区间上有两个交点， π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y a =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦由，得， π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦在上单调递增，在上单调递减，且， 2sin y x =ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦π24π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦π2sin 3=做出在上的图像如图， 2sin y x =π4π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦由图可知，要使函数与的图像在区间， π2sin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭y a =π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2a ≤<所以实数a 的取值范围为． )2②由（1）和正弦函数的对称性可知与关于直线对称， 1π23x +2π23x +π2x =则有，所以， 12ππ22π33x x +++=12π6x x +=所以的值为． ()12sin x x +12。

2017-2018学年高一下学期期中考试数学试卷Word版含答案

2017-2018学年高一下学期期中考试数学试卷一（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1.下列说法中正确的是（）A ．共线向量的夹角为00或0180.B ．长度相等的向量叫做相等向量；C ．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D ．零向量没有方向．2.下列函数中为奇函数的是（）A.sin ||y x =B.sin 2y x =C.sin 2y x =-+D.sin 1y x =+3.已知角的终边经过点(4,3)-，则tan α=（） A.34 B.34- C.43 D.43-4.函数5cos(4)6y x π=-的最小正周期是（）A.4πB.2πC.πD.2π5.在直角坐标系中，直线330x -=的倾斜角是（） A.6π B. 3π C. 56π D. 23π6.函数3sin(2)6y x π=-+的单调递减区间（） A 5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ B ．511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ D ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈7.函数3sin(2)26y x π=++图象的一条对称轴方程是（） A.12x π=- B.0x = C.23x π= D.3π8.下列选项中叙述正确的是（）A.终边不同的角同一三角函数值可以相等B.三角形的内角是第一象限角或第二象限角C.第一象限是锐角D.第二象限的角比第一象限的角大9.如果点)cos 2,cos (sin θθθP 位于第二象限，那么角θ所在象限是（）Ａ.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.向量AB BO OM MB +++ 化简后等于（）A ．ACB ．BC C ．AMD ．AB11.已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如右图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><，则（） A. 4=AB.2ω=C.12πϕ=D.4=B12.给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sin sin A B =，则有A B =；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.以点(0,2)和(4,0)为端点的线段的中垂线的方程是 .14.圆x 2＋y 2＝4上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离最小值为____________．15.已知=,=, =,=,=,则+++-= ．16.三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17（本题满分10分）已知角α的终边经过一点(5,12)(0)P a a a ->，求ααcos sin 2+的值；18．（本题满分12分）已知ABC △的三个顶点(04)A ，，(26)B -，，(82)C ，；（1）求AB 边的中线所在直线方程. （2）求AC 的中垂线方程.19. （本题满分12分）若圆经过点(2,0),(4,0),(1,2)A B C ，求这个圆的方程.20. （本题满分12分）已知54cos ,cos(),01352πααββα=-=<<<且, （1）求α2tan 的值；（2）求cos β的值21（本题满分12分）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>>< 的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．22.（本题满分12分）已知函数2()sin cos 1(0)f x x x x ωωωω=⋅->的周期为π. （1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的取值范围；（2）求函数()f x 的单调递增区间.2017-2018学年高一下学期期中考试数学试卷答案一（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1、A2、B3、B4、D5、D6、C7、C8、A9、D 10、D11、B 12、C二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.230x y --= 14. 3 15. 0 16.17三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17（本题满分10分）.已知角α的终边经过一点(5,12)(0)P a a a ->，求ααcos sin 2+的值；17．1913-；．试题解析：（1）由已知a a a Y 13)12()5(22=-+=………………3分810分18．（本题满分12分）已知ABC △的三个顶点(04)A ，，(26)B -，，(82)C ，；（1）求AB 边的中线所在直线方程.（2）求AC 的中垂线方程.18．（1）3140x y +-=，（2）134-=x y【解析】(1)∵线段AB 的中点为(15)-，，∴AB 边的中线所在直线方程是512581y x -+=-+，，，即3140x y +-=，……6分（2）AC 的中点为（4.3） ∴418024-=--=KAC ∴134)4(43-=-=-x y x y 即∴134-=x y AC 的中垂成方程为……12分19. （本题满分12分）若圆经过点(2,0),(4,0),(1,2)A B C ，求这个圆的方程.19.设圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ……2分∴⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++=++02504160F D 24F E D F D ……8分得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==827-6D F E ……11分 ∴圆的方程为：0827622=+--+y x y x ………12分20. （本题满分12分）已知54cos ,cos(),01352πααββα=-=<<<且, （1）求α2tan 的值；（2）求cos β的值. 20.(1) 120119-;(2). cos β=6556 【解析】（1）由20,135cos π<<=a a 得 1cos ,072παα=<<，得 ∴，于是2）由02παβ<<<，得02παβ<-<又∵，∴由()βααβ=--得： ()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-655613125354135=⨯+⨯=…12分. 21. （本题满分12分）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>>< 的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．21.析：（Ⅰ）由图象可知2A =，125212122ππππω=+= ，所以2ω=；所以()2sin(2)f x x ϕ=+，又图象的一个最高点为(,2)12π-所以2()2()122k k Z ππϕπ⋅-+=+∈，解得22()3k k Z πϕπ=+∈又2||,3πϕπϕ<∴=．所以2()2sin(2)3f x x π=+．………6分（Ⅱ）由)(1222322Z k k X k x ∈-=+=+πππππ得)(x f ∴的对称轴为)(122Z k k x ∈-=ππ 由ππk x =+322得)(32Z k k x ∈-=ππ)0,32)(ππ-∴kx f 的对称中心为（)(Z k ∈……12分22.（本题满分12分）已知函数2()sin cos 1(0)f x x x x ωωωω=⋅->的周期为π. （1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的取值范围；（2）求函数()f x 的单调递增区间. 22．]21,1[-，3,6[ππππ+-K K ，Z K ∈ 【解析】（1）解:.21)62sin(12sin 2322cos 1--=-+-=πωωωx x x y 20,,1,2T ππωπωωω>∴===∴= ∴函数1()sin(2).62f x x π=-- ……3分若6562620ππππ≤-≤-≤≤x x 则1)62sin(21≤-≤-∴πx2121)62sin(1≤--≤-∴πx⎥⎦⎤⎢⎣⎡∴211-、的取值范围为y ……8分（2）令226222πππππ+≤-≤-k x k 得：326+≤≤-πππk x k )(Z k ∈)(]36[)(Z k k k x f ∈+-∴ππππ、的单调递增区间为………12分。

2018-2019学年安徽省毛坦厂中学高一下学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2018-2019学年安徽省毛坦厂中学高一下学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．已知点(2,3)A ，(3,2)B --，则直线AB 的斜率是（） A ．1 B ．-1C ．5D ．-5【答案】A 【解析】由23k 32AB --=--,即可得出结果. 【详解】直线AB 的斜率23132k --==--.【点睛】本题主要考查直线的斜率，属于基础题型.2．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3A π=，4B π=，a =，则b =（） A．B ．2C ．3D．【答案】A【解析】利用正弦定理sin sin a b A B=，可直接求出b 的值. 【详解】在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a bA B=，所以sin sin 4sin sin3a Bb A ππ⋅===故选：A. 【点睛】本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用的基本类型，考查计算能力，属于基础题。

3．直线:10m x y +-=被圆22:240M x y x y +--=截得的弦长为（） A ．4 B．C．D．【答案】B【解析】先由圆的一般方程写出圆心坐标()1,2，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线m 的距离d ，则弦长等于【详解】∵22240x y x y +--=，∴()()22125x y -+-=，∴圆M 的圆心坐标为()1,2，半又点()1,2到直线10x y +-=的距离d ==∴直线m 被圆M 截得的弦长等于=【点睛】本题主要考查圆的弦长公式的求法，常用方法有代数法和几何法；属于基础题型. 4．若2220x y x y m +-+-=是一个圆的方程，则实数m 的取值范围是（） A ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据22D 4F 0E +->即可求出结果. 【详解】据题意，得()()2211420m -+-⨯->，所以14m >-. 【点睛】本题考查圆的一般方程，属于基础题型.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．13B ．43C ．83D ．103【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱柱截去一个角所得，故体积为11210422143233-⋅⋅⋅⋅=-=.6．如图，若长方体1111ABCD A B C D -的六个面中存在三个面的面积分别是2,3,6，则该长方体中线段1BD 的长是（）A ．B ．C ．28D ．【答案】A【解析】由长方体的三个面对面积先求出同一点出发的三条棱长，即可求出结果. 【详解】设长方体1111ABCD A B C D -从一个顶点出发的三条棱的长分别为,,a b c ，且2ab =，3ac =，6bc =，则1a =，2b =，3c =，所以长方体1111ABCD A B C D -中线段1BD【点睛】本题主要考查简单几何体的结构特征，属于基础题型.7．若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=相切，则实数m =（）A ．9B ．-11C ．-11或-9D ．9或-11【答案】D【解析】分别讨论两圆内切或外切，圆心距和半径之间的关系即可得出结果. 【详解】圆1C 的圆心坐标为()0,0，半径11r =；圆2C 的圆心坐标为()3,4，半径2r =讨论：当圆1C 与圆2C1=，所以9m =；当圆1C 与圆2C1=，所以11m =-，综上，9m =或11m =-. 【点睛】本题主要考查圆与圆位置关系，由两圆相切求参数的值，属于基础题型. 8．已知,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，给出下列命题：①若m α⊥，m β⊥，则//αβ；②若//m α，//m β，则//αβ；③若m α⊥，//m β，则αβ⊥；④若//m α，//n β，//αβ，则//m n .其中正确的命题是（） A ．②③ B ．①③C ．②④D ．①④【答案】B【解析】利用空间中线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定与性质即可作答. 【详解】垂直于同一条直线的两个平面互相平行,故①对；平行于同一条直线的两个平面相交或平行，故②错；若//m α，//n β，//αβ，则//m n 或m 与n 为异面直线或m 与n 为相交直线，故④错；若//m β，则存在过直线m 的平面r ，平面r 交平面β于直线l ，//l m ，又因为m α⊥，所以l α⊥，又因为l ⊂平面β，所以βα⊥，故③对.故选B. 【点睛】本题主要考查空间中，直线与平面平行或垂直的判定与性质,以及平面与平面平行或垂直的判定与性质，属于基础题型.9．若实数x ，y 满足不等式组220,10,2,x y x y y ++⎧⎪+-⎨⎪-⎩………则z x y =-的最大值为（）A ．5-B ．2C ．5D ．7【答案】C【解析】利用线性规划数形结合分析解答. 【详解】由约束条件220,10,2,x y x y y ++⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，作出可行域如图：由210y x y =-⎧⎨+-=⎩得A(3,-2).由z x y =-，化为y x z =-，由图可知，当直线y x z =-过点A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为5. 故选：C . 【点睛】本题主要考查利用线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，18a =，42a =且满足()*212n n n a a a n N ++=-∈，若510S a λ=，则λ的值为（） A ．13- B ．3- C ．12-D ．2-【答案】D【解析】由递推关系可证得数列{}n a 为等差数列，利用等差数列通项公式求得公差2d =-；利用等差数列通项公式和前n 项和公式分别求得10a 和5S ，代入求得结果.【详解】由()*212n n n a a a n N++=-∈得：211n n n n aa a a +++-=-∴数列{}n a 为等差数列，设其公差为d18a =，42a = 3286d ∴=-=-，解得：2d =- 101981810a a d ∴=+=-=-，515454020202S a d ⨯=+=-= 51020210S a λ∴===-- 本题正确选项：D 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，涉及到利用递推关系式证明数列为等差数列、等差数列通项公式和前n 项和公式的应用.11．如图，在正方体1111ABCD A BC D -，点P 在线段1BC 上运动，则下列判断正确的是（）①平面1PB D ⊥平面1ACD ②1//A P 平面1ACD③异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦④三棱锥1D APC -的体积不变 A ．①② B ．①②④C ．③④D ．①④【答案】B【解析】①连接DB 1，容易证明DB 1⊥面ACD 1 ，从而可以证明面面垂直； ②连接A 1B ，A 1C 1容易证明平面BA 1C 1∥面ACD 1，从而由线面平行的定义可得； ③分析出A 1P 与AD 1所成角的范围，从而可以判断真假；④1A D PC V -=1A CD P V -，C 到面 AD 1P 的距离不变，且三角形AD 1P 的面积不变；【详解】对于①，连接DB 1，根据正方体的性质，有DB 1⊥面ACD 1 ，DB 1⊂平面PB 1D ，从而可以证明平面PB 1D ⊥平面ACD 1，正确．②连接A 1B ，A 1C 1容易证明平面BA 1C 1∥面ACD 1，从而由线面平行的定义可得 A 1P ∥平面ACD 1，正确．③当P 与线段BC 1的两端点重合时，A 1P 与AD 1所成角取最小值3π，当P 与线段BC 1的中点重合时，A 1P 与AD 1所成角取最大值2π，故A 1P 与AD 1所成角的范围是32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，错误；④1A D PC V -=1A CD P V -，C 到面AD 1P 的距离不变，且三角形AD 1P 的面积不变． ∴三棱锥A ﹣D 1PC 的体积不变，正确；正确的命题为①②④．故选：B ．【点睛】本题考查空间点、线、面的位置关系，空间想象能力，中档题． 12．设ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，其外接圆半径为2，且有sin sin )A C A C -+-=，则三角形的面积为（）A ．4B C D ．4或5 【答案】C【解析】ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，可得角A 、C 的关系，将已知条件()sin sin cos 22A C A C -+-=中角C 消去，利用三角函数和差角公式展开即可求出角A 的值，再由三角形面积公式即可求得三角形面积. 【详解】ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，则2A C B +=，解得23A C π+=，所以()2,sin sin cos 322C A A C A C π=--+-=，所以21sin 12sin 23A A A π⎤⎛⎫--= ⎪⎥⎝⎭⎣⎦，整理得sin 1033A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则sin 03A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭或103A π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得3A π=或712π.①当3A π=时，211sin 4sin sin 2233ABC S ac B R ππ∆==⋅⋅=②当A = 712π时，2117sin 4sinsin sin 2212123ABC S ac B R πππ∆==⋅⋅⋅=，故选C. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、等差数列性质、三角函数和差角公式、三角函数辅助角公式，综合性较强，属于中档题；解题中主要是通过消元构造关于角A 的三角方程，其中利用三角函数和差角公式和辅助角公式对式子进行化解是解题的关键.二、填空题13．已知不等式20x x a -->的解集为{|3x x >或}2x <-，则实数a =__________. 【答案】6【解析】由题意可知2-，3为方程20x x a --=的两根，利用韦达定理即可求出a 的值. 【详解】由题意可知2-，3为方程20x x a --=的两根，则23a -⨯=-，即6a =. 故答案为：6 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.14．已知点(,)M a b 在直线:3425l x y +=__________. 【答案】5【解析】(0,0)到点(,)a b 的距离，再利用点到直线的距离求解. 【详解】(0,0)到点(,)a b 的距离. 又∵点(,)M a b 在直线:3425l x y +=上，(0,0)到直线34250x y +-=的距离d ，且5d ==.【点睛】本题主要考查点到两点间的距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 15．已知在数列{}n a 中，11a =且11nn n a a a +=+，若1n n n b a a +=，则数列{}n b 的前100项和为__________．【答案】100101【解析】根据递推关系式可证得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，利用等差数列通项公式求得1na ，得到n a ，进而求得nb ；利用裂项相消法求得结果. 【详解】由11n n n a a a +=+得：1111n na a +-= ∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =，公差为1的等差数列()1111n n n a ∴=+-⨯=，即：1n a n= ()11111n b n n n n ∴==-++设{}n b 前n 项和为n S 1001111111100122334*********S ∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-=本题正确结果：100101【点睛】本题考查根据递推关系式证明数列为等差数列、等差数列通项的求解、裂项相消法求数列的前n 项和；关键是能够通过通项公式的形式确定采用的求和方法，属于常考题型. 16．在半径为2的球O 中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是__________．【答案】(16π【解析】根据正四棱柱外接球半径的求解方法可得到正四棱柱底面边长和高的关系，利用基本不等式得到ah ≤，得到侧面积最大值为球的表面积，作差得到结果. 【详解】设球内接正四棱柱的底面边长为a ，高为h则球的半径:2r ==22216h a ∴+=≥ah ∴≤∴正四棱柱的侧面积：4S ah =≤侧球的表面积：24216S ππ=⨯=∴当正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差为：(1616ππ-=本题正确结果：(16π 【点睛】本题考查多面体的外接球的相关问题的求解，关键是能够根据外接球半径构造出关于正棱柱底面边长和高的关系式，利用基本不等式求得最值；其中还涉及到球的表面积公式的应用.三、解答题17．已知函数3()21f x x =-，()1g x x =-. （1）求解不等式()()f x g x …；（2）若12x >，求3()2()y f x g x =+的最小值. 【答案】（1）122x x ⎧<⎨⎩…或12x ⎫-⎬⎭…（2）5【解析】（1）对x 分类讨论解不等式得解；（2）由题得3()2()f xg x +91211222x x ⎛⎫=+-- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求函数的最小值. 【详解】解：（1）当12x >时，()()(21)(1)3f x g x x x ⇔--厔，解得122x <…. 当12x <时，()()(21)(1)3f x g x x x ⇔--厖，解得12x -….所以不等式解集为122x x ⎧<⎨⎩…或12x ⎫-⎬⎭….（2）3()2()f xg x +91211222x x ⎛⎫=+-- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭15=…，当且仅当21492x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即2x =时取等号.【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，考查基本不等式求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.18．如图，在三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，且CA CB =.（1）证明：BC ∥平面PDE ；（2）若平面PCD ⊥平面ABC ，证明：AB PC ⊥. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）先证明||DE BC ，再证明BC ∥平面PDE ；（2）先证明AB ⊥平面PCD ，再证明AB PC ⊥. 【详解】证明：（1）因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以||DE BC .又DE ⊂平面PDE ，BC ⊂/平面PDE ，所以BC ∥平面PDE .（2）因为CA CB =，D 为AB 中点，所以AB CD ⊥. 又平面PCD ⊥平面ABC . 平面PCD平面ABC CD =，所以AB ⊥平面PCD .又PC ⊂平面PCD ，所以AB PC ⊥.【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.19．已知圆()222:0O x y rr +=>与直线34150x y -+=相切（1）若直线:25l y x =-+与圆O 交于,M N 两点，求;MN （2）已知()()9,0,1,0A B --，设P 为圆O 上任意一点，证明：PA PB为定值【答案】（1）4；（2）详见解析.【解析】（1）利用直线与圆相切d r =，结合点到直线距离公式求出半径，从而得到圆的方程；根据直线被圆截得弦长的求解方法可求得结果；（2）设()00,P x y ，则22009x y +=，利用两点间距离公式表示出PA PB，化简可得结果.【详解】（1）由题意知，圆心O 到直线34150x y -+=的距离：3d ==圆O 与直线相切 3r d ∴== ∴圆O 方程为：229x y += 圆心O 到直线:25l y x =-+的距离：d '==4MN ∴==，（2）证明：设()00,P x y ，则22009x y +=3PA PB∴====即PA PB为定值3【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到直线与圆位置关系的应用、直线被圆截得弦长的求解、两点间距离公式的应用、定值问题的求解.解决定值问题的关键是能够用变量表示出所求量，通过化简、消元整理出结果.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为PC 的中点，且3PD =，2AD =，4AB =.（1）求证：PA 平面BDE ；（2）若点F 为线段PC 上一点，且AF BD ⊥，求四棱锥F ABCD -的体积. 【答案】（1）见解析（2）6【解析】（1）连接AC 交BD 于点O ，得出点O 为AC 的中点，利用中位线的性质得出//PA OE ，再利用直线与平面平行的判定定理可得出//PA 平面BDE ；（2）过F 作//FK PD 交CD 于K ，由PD ⊥平面ABCD ，得出FK ⊥平面ABCD ，可而出BD FK ⊥，结合AF BD ⊥，可证明出BD ⊥平面AFK ，可得出AK BD ⊥，并计算出DK ，利用平行线的性质求出FK 的长，再利用锥体的体积公式可计算出四棱锥F ABCD -的体积. 【详解】（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE . 四边形ABCD 为矩形，∴O 为AC 中点. 又E 为PC 中点，∴//OE PA .又PA ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ， ∴//PA 平面BDE ；（2）过F 作//FK PD 交CD 于K .∵PD ⊥平面ABCD ，∴FK ⊥平面ABCD . 又BD ⊂平面ABCD ，∴FK BD ⊥.∵AF BD ⊥，AF FK F ⋂=，AF ，FK ⊂平面AFK ， ∴BD ⊥平面AFK .连接AK ，则AK BD ⊥，又ABCD 是矩形，易证ADK BAD ∆∆∽，而4AB =，2AD =，得1DK =，由//FK PD 得FK CK PD CD=，∴94FK =.又矩形ABCD 的面积为8，∴198634F ABCD V -=⨯⨯=.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，以及锥体体积的计算，直线与平面平行的证明，常用以下三种方法进行证明：（1）中位线平行；（2）平行四边形对边平行；（3）构造面面平行来证明线面平行。

2017-2018学年高一下学期期中统一考试数学试题Word版含答案

2017-2018学年高一下学期期中统一考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项） 1、经过1小时，时针旋转的角是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 2、已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3tan 4α=-，则sin()απ+=（）A ．35- B ．35 C ．45- D ．45 3、一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（）A ．2π B ．3πC4 ）项. A.21 B.22 C.23 D.245、在四边形ABCD 中，)2,1(=，)2,4(-=，则该四边形的面积为（） A.5 B.52 C.5 D.106、在ABC ∆中1tan tan )tan (tan 3-=+C B C B ，则A 2sin =（）A ．23-B ．23C ．2D ．217、已知函数200f x sin x ωϕωϕπ=+（）（）（＞，＜＜），且函数的图象如图所示，则点（ωϕ，）的坐标是（）A ．B ．C ．D ．8、函数y = ） A ．[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈ B ．[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈C ．2[2,2]()33k k k Z ππππ++∈ D ．22[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈9、记0sin(cos 2016)a =，0sin(sin 2016)b =，0cos(sin 2016)c =，cos(cos 2016)d =︒，则（） A ．d c b a >>> B ．c d b a >>> C ．d c a b >>> D ．a b d c >>> 10、40sin 125cos 40cos -=( )A. 1B.3C.2D.211、已知函数)0)(cos 3(sin cos )(>+=ωωωωx x x x f ，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有)2016()()(00π+≤≤x f x f x f 成立，则ω的最小值为（）A ．40321 B ．π40321 C ．20161 D ．π2016112、已知点O 是锐角ABC ∆的外心，3,12,8π===A AC AB .若y x +=，则=+y x 96( )A.6B.5C.4D.3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知角)(παπα<≤-的终边过点)32cos ,32(sinππP ，则=α ．14、已知向量,a b 满足2,3a b == ，且2a b -=a 在向量b 方向上的投影为．15、已知x ，y 均为正数，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足sin cos x y θθ=，()222222cos sin 174x y x y θθ+=+，则x y 的值为．16、给出下列五个命题：①函数2sin(2)3y x π=-的一条对称轴是512x π=；②函数tan y x =的图象关于点（2π,0）对称； ③正弦函数在第一象限为增函数；④若12sin(2)sin(2)44x x ππ-=-，则12x x k π-=，其中k ∈Z ；⑤函数()sin 2sin [2]0f x x x x π=+∈，，的图像与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围为()1,3.其中正确命题的序号为．三、解答题（本大题共6题，共70分，17题10分，其余5题各12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、已知4π＜α＜4π3，0＜β＜4π，cos （4π+α）=－53，sin （4π3+β）=135，求sin （α+β）的值．18．已知12,e e 是平面内两个不共线的非零向量，122AB e e =+ ，12BE e e λ=-+ ，122EC e e =-+，且,,A E C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)已知12(2,1),(2,2)e e ==-,点(3,5)D ，若,,,A B C D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．19、已知]43,4[,2)26sin(2)(πππ∈++-=x b a x a x f ．（1）若Q b Q a ∈∈,,)(x f 的值域为}133|{-≤≤-y y ，求出a 、b 的值（2）在（1）的条件下，求函数)(x f 的单调区间．20、已知向量)cos 2cos ,sin 2(sin ),sin ,(cos ),sin ,(cos αααα++===x x x x ，其中0πx α<<<．（1）若π4α=，求函数x f ∙=)(的最小值及相应x 的值；（2）若a 与b 的夹角为π3，且a c ⊥ ，求tan2α的值．21、已知函数)22,0()sin()(πϕπωϕω<<->++=b x x f 相邻两对称轴间的距离为2π，若将)(x f 的图像先向左平移12π个单位，再向下平移1个单位，所得的函数)(x g 为奇函数。

安徽省六安市毛坦厂中学2018届高三下学期四月月考数学(理)试题(解析版)

高三年级四月份月考数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：解不等式得集合A,求函数定义域得集合B，根据交集定义求解集合交集即可.详解：集合，，所以.故选B.点睛：本题主要考查了集合的描述法和集合交集的运算，属于基础题.2. 定义运算，则满足（为虚数单位）的复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：根基题中定义可得，利用除法运算可得，进而得，从而得解.详解：因为.复数在复平面内对应的点为，故选A.点睛：本题主要考查了复数的乘法和除法运算，属于基础题，难度不大，但是注意题中问题是共轭复数，容易出错.3. 某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是（）A. 46,45B. 45,46C. 46,47D. 47,45【答案】A【解析】分析：由茎叶图，根据样本的中位数和众数定义求解即可.详解：由茎叶图可知，出现次数最多的是数，将所有数从小到大排列后，中间两数为，故中位数为，故选A.点睛：本题主要考查众数、中位数求法，属于简单题.要解答本题首先要弄清众数、中数的定义，然后根据定义和公式求解，（1）中位数，如果样本容量是奇数中间的数既是中位数，如果样本容量为偶数中间两位数的平均数既是中位数；（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据.4. 若在区间上随机取一个数，则“直线与圆相交”的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据圆心到直线的距离小于半径求出的范围，利用几何概型概率公式求解即可.详解：若直线与圆相交，则，解得或，又所求概率，故选C.点睛：解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，几何概型问题还有以下几点容易造成失分：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.5. 《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为（）A. 升B. 升C. 升D. 升【答案】D【解析】分析：利用等差数列通项公式，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式，进而可得结果.详解：设竹子自上而下各自节的容积构成数列且，则，竹子的容积为，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.6. 已知是两个不同的平面，是一条直线，给出下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中说法正确的个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】C【解析】分析：①和②可举反例，，即可判断；③运用线面垂直的判定，和面面平行的性质，即可判断；④由线面平行的性质和面面垂直的性质，可举反例或与相交且与不垂直.详解：①若，则，或；②若，则，则，或；③若，则,正确；④若，则，或或与相交且与不垂直.故选C.点睛：本题主要考查线面、面面的位置关系，注意线在面内的反例情况，难度不大.7. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】分析：本题给只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可（注意避免计算错误）．详解：第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，，不成立，此时结束循环，所以输出的的值为，故选C.点睛：解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 已知函数，，且在区间上有最小值，无最大值，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由，结合条件可知直线为的一条对称轴，且，从而可得解.详解：∵,且，在区间上有最小值，无最大值，∴直线为的一条对称轴，∴，∴，又ω>0，∴当时,ω=.易知当时，此时在区间内已存在最大值.故选D.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.9. 已知点是抛物线上的一点，是其焦点，定点，则的外接圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由点是抛物线上的一点可求得抛物线方程，进而可得焦点坐标，利用正弦定理求出外接圆半径，即可得结果.详解：将点坐标代入抛物线方程，得，解得点，据题设分析知，，又为外接球半径），外接圆面积，故选B.点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.10. 在的二项展开式中，各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则二项展开式中常数项的值为（）A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】B【解析】在二项式的展开式中，令得各项系数之和为，二项展开式的二项式系数和为，，解得，的展开式的通项为，令得，故展开式的常数项为，故选B.11. 已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心（三角形内切圆的圆心），若（分别表示的面积）恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用双曲线的定义，由三角形内切圆的性质，结合可得关于半实轴与半焦距的不等式，从而可得结果.详解：如图，设圆与的三边分别相切于点，分别连接，则，，，又，，，，又，故选A.点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.12. 已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：构造函数，利用，判断出的单调性，结合列不等式求解即可.详解：引入函数，则，，，又，函数在区间上单调递增，又，不等式“”等价于“”，即，又，又函数在区间上单调递增，，解得，又函数的定义域为，得，解得，故不等式的解集是，故选D.点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量与的夹角为60°，，则__________．【答案】6【解析】分析：先求出向量与的数量积，把平方后，将，，代入所求数量积代入，即可的结果.详解：与的夹角为，，又，，故答案为.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.14. 若，则__________．【答案】【解析】分析：由，根据同角三角函数之间的关系，求出与的值，利用两角差的余弦公式求解即可.详解：由，可得.又，结合，可得.，故答案为.点睛：本题主要考查两角差的余弦公式以及同角三角函数之间的关系，同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.15. 已知实数满足不等式组则的最大值是__________．【答案】12【解析】分析：画出不等式组表示的可行域，平移，结合所画可行域，可求得的最大值.详解：作出不等式组表示的平面区域如阴影部分，分析知，平移直线，由图可得直线经过点时，取得最大值，且，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.16. 如图，在正方体中，分别为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】分析：取的中点，分别连接，易知（或其补角）是异面直线与所成的角，根据正方体的性质，利用余弦定理可得结果.详解：如图，取的中点，分别连接，易知（或其补角）是异面直线与所成的角，不妨设正方体的棱长为，则，，在中，由余弦定理，得，故答案为.点睛：本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题题.求异面直线所成的角的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到，异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知数列的前项和为，且成等差数列，．（l）求数列的通项公式；（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值.【答案】(1) (2)【解析】分析：（1）由成等差数列，可得，进而得两式相减可化为，由此得数列是首项为2，公比为2的等比数列，从而可得结果；（2）据（1）求解知，，进而可得，利用等差数列与等比数列的求和公式可得结果.详解：（1）因为成等差数列，所以，①所以.②①－②，得，所以.又当时，，所以，所以，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即.（2）据（1）求解知，，，所以，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列.又因为，，，，，，，，，，，所以.点睛：已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.18. 今年，楼市火爆，特别是一线城市.某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有套房源，则设置个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有20户家庭去抽取6套房源．（l）求每个家庭能中签的概率；（2）已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号，目前该小区剩余房源有某单元27、28两个楼层共6套房，其中，第27层有2套房，第28层有4套房．记甲、乙两个家庭抽取到第28层的房源套数为，求的分布列及数学期望.【答案】(1) (2)【解析】分析：(1)直接利用古典概型概率公式求解即可；（2）的所有可能取值是，利用组合知识，由古典概型概率公式可求得，每个随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.详解：(1) 因为共有20户家庭去抽取6套房源且每个家庭中签的概率都是相同的，所以每个家庭能中签的概率.（2）据题意知，的所有可能取值是0，1，2，，的分布列为的数学期望.点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19. 如图，在中，，是的中点，是线段上的一点，且，，将沿折起使得二面角是直二面角．（l）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.【答案】(1)见解析(2)【解析】分析：（l）由勾股定理可得，结合是的中点可得，根据线面平行的判定定理可得平面；（2）据题设分析知，两两互相垂直，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，利用向量垂直数量积为零，列方程求出平面的一个法向量，由空间向量夹角余弦公式求出直线与平面所成角的正弦值，进而可得结果.详解：(1)因为，所以又，，所以又因为所以是的斜边上的中线，所以是的中线，所以是的中点，又因为是的中位线，所以又因为平面，平面，所以平面.（2）据题设分析知，两两互相垂直，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为，且分别是的中点，所以，所以有点，所以，设平面的一个法向量为，则即，所以令，则设直线与平面所成角的大小为，则.又，所以，所以.故直线与平面所成角的正切值为.点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 如图，椭圆经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为.（l）求椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点，为坐标原点，求证：三点共线．【答案】(1) (2)见解析【解析】分析：(1)根据椭经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为，结合性质，，列出关于、的方程组，求出、，即可得椭圆的标准方程；(2)可设直线的方程为，联立得，设点，根据韦达定理可得，所以点在直线上，又点也在直线上，进而得结果.详解：（1）因为点到椭圆的两焦点的距离之和为，所以，解得.又椭圆经过点，所以.所以.所以椭圆的标准方程为.证明：（2）因为线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为-2.所以可设直线的方程为.据得.设点，，.所以，.所以，.因为，所以.所以点在直线上.又点，也在直线上，所以三点共线.点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.21. 已知函数．（1）若函数在区间上单调递增，求实数的最小值；（2）若函数区间上无零点，求实数的取值范围．【答案】(1) 实数的最小值是-1 (2)【解析】分析：(1) 求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，令是所求区间的子集即可得结果；（2）“函数在区间上无零点”等价于“函数与的图象在上没有公共点”，讨论三种情况，分别画出函数的图象，结合直线过定点，即可求得实数的取值范围.详解：（1）函数的定义域为，.讨论：当时，，此时函数在上单调递增，满足题设；当时，令，得；令，得，所以此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.又函数在区间上单调递增，所以，解得.综上，实数的最小值是-1.（2）由，得.设，，则“函数区间上无零点”等价于“函数与函数的图象在上没有公共点”.讨论：当时，在上是单调递增函数，函数在上也是单调递增函数.作出函数与函数满足题意的草图（草图可能有两种情况）如下：（ⅰ）如图1，，即，解得；（ⅱ）如图2，对任意恒成立.又当时，，所以，解得.又，得.综上，或；当时，符合题意；当时，在上是单调递减函数，在上是单调递增函数.作出函数与函数的草图如下：观察图象可知，符合题意.综上，所求实数的取值范围是.点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点的极坐标是．（1）求直线的普通方程，（2）求直线上的点到点距离最小时的点的直角坐标.【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)由直线的参数方程，利用代入法消去参数，即可得到直线的普通方程为；（2）的极坐标是化为直角坐标，过点作直线的垂线，该垂线与直线的交点即为所求点.详解：（1）直线的普通方程为.（2）点的直角坐标是.过点作直线的垂线，垂足为，则点即为所要求的直线上到点距离最小的点.直线的方程是，即.据解得所以直线上到点距离最小的点的直角坐标是.点睛：消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.23. 已知函数.（l）若，解不等式；（2）若，求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：(1)原不等式等价于，从而可得或，进而可得结果；（2）函数解析式化为分段函数形式，分三种情况讨论，分别求出其最大值与最小值即可.详解：（1）若，则为.所以，所以或，所以或.故不等式的解集是.（2）当时，讨论：当即时，，；当时，，，；当且时，，，.。

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安徽省六安市毛坦厂中学2018年高一下学期期中考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) 1.下面几何体中，过轴的截面一定是圆面的是（） A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.圆台2.某几何体的三视图如右图所示，那么这个几何体是（）A ．三棱锥B ．四棱锥C ．四棱台D ．三棱台3．在空间直角坐标系中，yOz 平面上的点的坐标形式可以写成（） A ．)0,,( b a B ．)0,0( ，a C ．),,(c b a D ．),,0(c b 4．如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则（） A ．k 1<k 2<k 3 B ．k 1<k 3<k 2 C ．k 3<k 2<k 1D ．k 3<k 1<k 25. 下列说法正确的是( )A. 垂直于同一条直线的两条直线平行B. 平行于同一个平面的两条直线平行C. 平行于同一个平面的两个平面平行D. 平行于同一条直线的两个平面平行6．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( ) A.12＋22B ．2＋ 2C ．1＋ 2D ．1＋227．正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为( ) A. 3B.62C. 2D.2338．若直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线l 的斜率为 ( )A ．1B ．－1C ．－2或1D ．－1或2x9．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为 ( )A ．24B ．20C ．0D ．－411A.31+ B.102+ C.23 D.3212.在空间给出下面四个命题(其中m ，n 为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面)：①m⊥α，n∥α⇒m⊥n ②m∥n，n∥α⇒m∥α ③m∥n，n⊥β，m∥α⇒α⊥β ④m∩n＝A ，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β⇒α∥β. 其中正确的命题个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13. 把球的表面积扩大到原来的4倍,那么体积扩大到原来的倍.14．已知点P(0，－1)，点Q 在直线x －y ＋1＝0上，若直线PQ 垂直于直线x ＋2y －5＝0，则点Q 的坐标是________．15. 圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9与圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4相内切，则m 的值为________．16．如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为4，高为8，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好为中截面（即过AC,BC,A 1C 1, B 1C 1的中点），则图1中容器内水面的高度是_________.图1 图2三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18. (本小题满分12分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S.19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,D是AC中点，平面SAC⊥平面ABC, SA=SC=23,M, N分别是AB, SB的中点.(1) 求证:AC⊥SB. (2) 求三棱锥N-CMB的体积.20. (本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形, PD=DC ,PD⊥平面ABCD,点E是PC的中点,点F在PB上,EF⊥PB.(1) 求证: PA∥平面EDB. (2) 求证: PB⊥DF.21. (本小题满分12分)△ABC中，A(0,1)，AB边上的高CD所在直线的方程为x＋2y－4＝0，AC边上的中线BE 所在直线的方程为2x＋y－3＝0.(1)求直线AB的方程； (2)求直线BC的方程。

22. (本小题满分12分)已知方程:x2+y2-2x-4y+m=0.(1) 若此方程表示圆,求m的取值范围.(2) 若(1)中的圆与直线x+y-4=0相交于M, N两点,且CM⊥CN(C为圆心),求m.(3) 在(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程.高一数学期中考试试卷参考答案一、选择题1.C2.B3.D 4．B 5. C 6.B 7.A 8.D 9.B 10.A 11. C 12. C二、填空题13. 8 14．(2,3) 15.－1或－2 16.6三、解答题18.解：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6、8的矩形，高为4的四棱锥.设底面矩形为ABCD.如图3所示，AB=8，BC=6，高VO=4.（1）V=31×(8×6)×4=64. ---------- 6分 (2)四棱锥侧面VAD 、VBC 是全等的等腰三角形，侧面VAB 、VCD 也是全等的等腰三角形，在△VBC 中，BC 边上的高为h 1=24)28(4)2(2222=+=+AB VO ,---- 8分在△VAB 中，AB 边上的高为h 2=2222)26(4)2(+=+BC VO =5. ---- 10分所以此几何体的侧面积S=)582124621(2⨯⨯+⨯⨯=40+224.---- 12分 19．解 (1) 因为SA=SC , AB=BC ,所以AC ⊥SD 且AC ⊥BD ,所以AC ⊥平面SDB. 又SB ⊂平面SDB ,所以AC ⊥SB. ------------ 6分(2) 因为SD ⊥AC ,平面SAC ⊥平面ABC ,平面SAC ∩平面ABC=AC , SD ⊂平面SAC ,所以SD ⊥平面ABC.又SD=2, N 是SB 的中点,所以,N 到平面ABC 的距离为,又S △MBC =12×2×2=2.所以36223231=⨯⨯=V ---------- 12分 20. 证明 (1) 如图,连结AC , AC 交BD 于点G ,连结EG.∵ 底面ABCD 是正方形,∴ G 为AC 的中点. 又E 为PC 的中点,∴ EG ∥PA.∵ EG ⊂平面EDB , PA ⊄平面EDB ,∴ PA ∥平面EDB. --------------6分 (2) 证明 ∵ PD ⊥底面ABCD , ∴ PD ⊥BC , PD ⊥DC , PD ⊥DB. 又∵ BC ⊥DC , PD ∩DC=D , ∴ BC ⊥平面PDC. ∴ BC ⊥DE.∵ PD=DC ,点E 是PC 的中点,∴ DE ⊥PC. ∴ DE ⊥面PBC , DE ⊥PB.∵ DE ⊥PB , EF ⊥PB , DE ∩EF=E , ∴ PB ⊥平面EFD. ∴ PB ⊥DF. -------------- 12分 21. 解 (1)由已知得直线AB 的斜率为2，∴AB 边所在的直线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0. -------------- 6分(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝02x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝2.即直线AB 与直线BE 的交点为B (12，2)． -------------- 8分设C (m ，n )，则由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n －4＝02·m 2＋n ＋12－3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝1，∴C (2,1)． -------------- 10分∴BC 边所在直线的方程为y －12－1＝x －212－2，即2x ＋3y －7＝0. -------------- 12分22.解 (1) 由22+42-4m>0,得m<5. ----------- 2分(2) ∵ CM ⊥CN , ∴ △CMN 为等腰直角三角形.则CM=CN=r , MN=r ,圆心到MN 的距离d 为MN 边上的高,即r d 22=圆x 2+y 2-2x-4y+m=0的圆心为C (1, 2),半径m m r -=-+=54422122因为圆心(1, 2)到直线x+y-4=0的距离为222|421|=-+所以m-=52222， m=4. ----------- 7分 (3) MN 为直径的圆的圆心为MN 的中点,不妨设为P (a , 4-a ).∵ CP ⊥MN , ∴ k CP =1, ∴1124=---a a ,得23=a 。

∴ MN 为直径的圆的圆心为)25,23(,半径为2222121==r MN 。

所以MN 为直径的圆的方程为: 21)25()23(22=-+-y x . ----------- 12分。