2.代数方程的性质
代数式的概念
代数式的概念一、代数式：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。
单独一个数和字母也是代数式。
例如：ax+2b，－2/3，b^2/26，√a+√2等。
二、代数式的性质：(1)单独一个数或一个字母也是代数式，如-3，a.(2)代数式中只能有运算符号，不应含有等于号（=、≡）、不等号（≠、≤、≥、<、>、≮、≮）、约等号≈，也就是说，等式或不等式不是代数式，但代数式中可以含有括号。
可以有绝对值。
例如：|x|，|-2.25| 等。
(3)代数式中的字母表示的数必须使这个代数式有意义，即在实际问题中，字母表示的数要符合实际问题。
三、代数式的分类：在实数范围内,代数式分为有理式和无理式。
一、有理式有理式包括整式(除数中没有字母的有理式)和分式(除数中有字母且除数不为0的有理式)。
这种代数式中对于字母只进行有限次加、减、乘、除和整数次乘方这些运算.整式有包括单项式(数字或字母的乘积或单独的一个数字或字母)和多项式(若干个单项式的和).1.单项式没有加减运算的整式叫做单项式。
单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式(或字母因数)的数字系数，简称系数单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数2.多项式个单项式的代数和叫做多项式；多项式中每个单项式叫做多项式的项。
不含字母的项叫做常数项。
多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
齐次多项式：各项次数相同的多项式叫做齐次多项式。
不可约多项式：次数大于零的有理系数的多项式，不能分解为两个次数大于零的有理数系数多项式的乘积时，称为有理数范围内不可约多项式。
实数范围内不可约多项式是一次或某些二次多项式，复数范同内不可约多项式是一次多项式。
对称多项式：在多元多项式中，如果任意两个元互相交换所得的结果都和原式相同，则称此多项式是关于这些元的对称多项式。
方程的意义等式的性质
方程的意义等式的性质方程是数学中最基本的概念之一，它是一个等式，其中包含未知数。
方程的意义表达了数学中的平衡和关系，它可以帮助我们解决各种实际问题。
本文将介绍方程的意义以及一些重要的性质。
方程可以用来描述两个量之间的关系。
在方程中，左右两边是相等的，表示两个量是平衡的或相同的。
方程中通常包含一个或多个未知数，我们的目标是找到使方程成立的未知数的值。
这些未知数可以是实际问题中的长度、重量、速度等物理量，也可以是数学问题中的变量。
方程的性质：1.变性：方程的两边交换位置不会改变它的意义。
例如，方程a+b=c可以变形为c=a+b。
2.相等性：方程中的两边是相等的。
在解方程时，我们通过找到使两边相等的值来确定未知数的值。
3.传递性：如果a=b且b=c，则a=c。
方程的传递性可以帮助我们在解决问题时进行一系列代数运算。
4.加减性：在方程两边同时加减同一个数不会改变方程成立的性质。
例如，对于方程a=b，如果我们在两边同时加上c，则方程变为a+c=b+c。
5. 乘除性：在方程两边同时乘除同一个非零数不会改变方程成立的性质。
例如，对于方程a = b，如果我们在两边同时乘上c（c≠0），则方程变为ac = bc。
6.可逆性：对方程进行一系列代数运算，可以得到等价的方程。
我们可以使用这些运算来分解复杂的方程，以便更容易地解决问题。
方程的形式：方程可以有不同的形式，包括线性方程、二次方程、指数方程、对数方程等。
每种形式的方程都有其独特的性质和解法。
例如，线性方程的一般形式是ax + b = 0，其中a和b是已知数，x是未知数。
我们可以使用一元一次方程求解线性方程。
对于二次方程，一般形式是ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是已知数，x是未知数。
我们可以使用求根公式或配方法求解二次方程。
方程的解：解是使方程成立的未知数的值。
方程可以有一个或多个解，也可以没有解。
对于线性方程ax + b = 0，如果a≠0，则方程有唯一解x = -b/a。
代数式与多项式
代数式与多项式代数式和多项式是数学中重要的概念，在代数运算和代数方程的研究中起着重要作用。
本文将详细介绍代数式与多项式的基本概念、性质和运算规则，帮助读者深入理解和掌握这一领域的知识。
一、代数式的定义与性质代数式是由数、字母和运算符号按照一定规则写成的算式，可以表示数值和未知数之间的关系。
代数式的基本性质如下：1. 代数式由数、字母和运算符号组成，可以包含加法、减法、乘法、除法等运算符号。
2. 代数式可以包含一个或多个未知数，未知数用字母表示。
3. 代数式可以是一个数，也可以是一个表达式，可以进行各种运算。
4. 代数式可以化简或展开，通过一系列的代数运算可以得到不同形式的代数式。
二、多项式的定义与性质多项式是由数、字母和运算符号按照一定规则写成的代数式，其中包含若干个单项式，并且各个单项式之间可以进行加法和减法运算。
多项式的基本形式如下：$$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x^1 + a_0$$其中，$a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0$ 是常数系数，$x^n, x^{n-1}, ..., x^1, x^0$ 是未知数的幂次，$n$ 是多项式的次数。
多项式的性质如下：1. 多项式的次数由最高次项的指数决定，次数可以是非负整数。
2. 多项式的各个单项式可以按照次数从高到低排列，相同次数的单项式之间可以进行合并。
3. 多项式可以进行加法、减法、乘法运算，满足相应的运算规则。
三、代数式与多项式的运算代数式和多项式的运算是代数学中重要的内容，主要包括加法、减法、乘法、除法等运算。
1. 代数式的加法与减法：将代数式按照各项系数相同的方式进行合并，得到一个化简的代数式。
例如：$$(2x^2 + 3x - 5) + (4x^2 - 2x + 7) = 6x^2 + x + 2$$2. 多项式的加法与减法：将多项式按照各同次项系数相同的方式进行合并，得到一个化简的多项式。
恒等式与代数方程
恒等式与代数方程恒等式和代数方程是数学中常见且重要的概念，在数学的各个领域都有广泛的应用。
它们在解决实际问题、研究数学性质以及发展数学理论中起到了关键的作用。
本文将对恒等式和代数方程进行介绍和探讨。
一、恒等式恒等式是指对于特定的变量取值，两个表达式之间始终成立的等式。
换句话说，恒等式在任何情况下都是真的。
例如，对于任意实数x，恒等式(x+1)^2=x^2+2x+1都是成立的。
无论x取何值，等式都是正确的。
恒等式的证明通常需要运用数学定律和推理方法。
通过逐步转换等式的各个部分，我们可以证明恒等式的正确性。
这需要灵活的思维和对数学性质的深刻理解。
二、代数方程代数方程是含有未知数的等式，通过找到未知数的取值使等式成立，从而解决问题。
一元代数方程是指只涉及一个未知数的方程，多元代数方程则涉及多个未知数。
解代数方程的过程通常包括化简、变形、提取公因式、整理同类项等步骤。
通过逐步推导和运用代数运算性质，我们可以求得方程的解。
代数方程的解可以分为有限解和无限解，也可能无解。
例如，方程x^2-4=0的解为x=±2，有两个有限解；而方程x^2+1=0没有实数解，只有虚数解x=±i。
代数方程在数学中的应用广泛，如解决几何问题、物理问题、经济问题等。
通过建立代数方程，我们可以将实际问题转化为数学问题，并通过解方程来得到问题的解答。
三、恒等式与代数方程的联系恒等式和代数方程都是数学中的基础概念，它们之间有着密切的联系。
具体而言，一些代数方程可以通过变形和推理转化为恒等式，并通过求解恒等式得到方程的解。
例如，考虑方程(x+1)(x-1)=0。
我们可以展开括号得到x^2-1=0，然后进一步变形为x^2=1。
这个方程可以进一步转化为恒等式x^2-1=(x+1)(x-1)=0。
通过求解恒等式，我们可以得到原方程的解x=±1。
恒等式和代数方程也经常在证明数学性质和推导数学定理时相互转化和应用。
通过将问题转化为恒等式或代数方程的形式，我们可以运用数学方法来进行推理和分析，从而得到所需的结论。
代数式与方程
代数式与方程代数式和方程是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
代数式指由数、字母及运算符号组成的符号表达式，而方程则是含有未知数的等式。
本文将介绍代数式和方程的基本概念、性质以及其在数学问题解决中的应用。
一、代数式代数式是由数、字母及运算符号组成的表达式，可以表示数、量、关系或者运算。
代数式中的数称为常数，字母称为未知数或变量，而运算符号则表示各种运算操作。
代数式可以包含加减乘除、指数、根号等运算符号，并且可以通过运算进行简化或转化。
代数式可以由一个或多个代数项相加减而成，其中代数项是由常数和未知数乘积的形式表示，如3x、-5y²等。
代数式的值可以通过给定未知数的值进行求解。
代数式在数学问题的建模和求解中起到重要作用。
通过代数式，可以将实际问题抽象化为符号表达式，便于运用代数运算解决各类问题。
二、方程方程是含有未知数的等式，是一种数学陈述，表示两个代数式相等。
方程中的未知数常用字母表示，通过求解方程，可以确定未知数的值。
方程通常包含已知条件和待求解的未知数，通过解方程可以得到使方程成立的未知数值。
方程分为一元方程和多元方程两种。
一元方程只含有一个未知数，如2x-3=7；而多元方程含有两个或两个以上的未知数，如x+y=10。
解方程的目标是找到满足方程条件的未知数的值，这可以通过运用代数运算对方程进行变形和化简，找到未知数的唯一解或者解的集合。
方程在实际问题中有着广泛的应用，比如物理学中的力学问题、经济学中的供求关系等。
通过建立方程模型，可以对各种现象和规律进行定量描述和求解。
三、代数式与方程的关系代数式与方程之间存在密切的联系。
方程可以看作是等式的拓展，在等式的基础上引入了未知数，求解方程就是要确定未知数的值，使等式成立。
代数式可以作为方程的一部分或者方程的整体。
在解方程的过程中，常常需要将实际问题转化为代数式，然后建立方程求解。
通过代数式和方程的转化和变形，可以得到问题的解答。
同时，代数式和方程也可以相互转化。
代数式相关定义及性质
代数式相关定义及性质一、数与代数：1、有理数有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数。
2、数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。
②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。
④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。
正数大于0，负数小于0，正数大于负数。
3、绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。
两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
4、有理数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。
②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③一个数与0相加不变。
5、减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
6、乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
②任何数与0相乘得0。
③乘积为1的两个有理数互为倒数。
7、除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。
②0不能作除数。
乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A 叫底数，N叫次数。
混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。
8、实数无理数：无限不循环小数叫无理数平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A 的算术平方根。
②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。
③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。
④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。
9、立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。
②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。
代数运算及其性质
群互。为逆元,2,4互为逆元,3的逆元是3,0的逆元是0,(Z6,+6)是 例6:(P(A),),P(A)是A的幂集,是对称差运算。
因BP(A),B=B=B, BB= 所以单位元是,每个元素的逆元就是其本身。
el◦x=x（或x◦er=x） 则称el（er）是A中关于运算◦的一个左单位 元（右单位元） 若元素e既是左单位元，又是右单位元，则称 e是A中关于运算◦的一个单位元，也称幺元。
例
实数集上加法运算 0是单位元； 乘法运算 则1是单位元； 对于幂集P（A）上的∪运算 是单位元， 而∩运算 则A是单位元。 Mn（R）上的矩阵加法运算，零矩阵是单位元而乘法 运算，单位矩阵是单位元。
（6）求一个数的相反数分别是整数集合，实 数集合，有理数集合上的一元运算。
（7）求一个数的倒数是非零有理数，非零实 数集上的一元运算但其不是非零整数集上的 运算。
2.运算表
在有限集上可以将结果一一列出来定义运算， 简便明了的方法是画出运算表。
例:设A ={1，2} P（A）={Φ，{1}，{2}，{1，2}}
例
四元群。设G={e,a,b,c} 运算*表如下 * eabc eeabc aaecb bbcea ccbae
①xG,x*x=e ②xG,x*e=e*x=x ③x,yG,如 xe,ye,x*y=y*x=Z其中Ze,x,y,z均不相等。
由此可知①G存在单位元e,②运算封闭③*存在结合律④G的每个元 素均存在逆元,逆元是其本身。⑤G存在交换律(这不是群的要求) 称(G,*)为四元群
初中数学知识归纳代数式的概念和性质
初中数学知识归纳代数式的概念和性质代数式是初中数学中非常重要的一个概念。
它可以帮助我们简洁地表达数学问题，并且掌握代数式的概念和性质对于我们解决各类数学问题和应用数学能力的提升非常有帮助。
本文将对初中数学中代数式的概念和性质进行归纳总结，为同学们的学习和理解提供一些指导。
一、代数式的概念代数式是由数字、字母和运算符号通过运算规则相连接而成的数学表达式。
在代数式中，数字称为常数，字母称为变量，运算符号则表示不同的运算。
代数式的构成要素包括常数、变量和运算符号。
常数是代表具体数值的，比如2、3等，它们在代数式中保持不变。
变量则代表着一个未知数，可以是任何数值，通常用字母表示。
运算符号用于表示不同的运算，比如加减乘除等。
例子1：3x + 2y - 5在这个例子中，3、2和5分别是常数，x和y是变量，而+、-则是运算符号。
二、代数式的性质代数式具有一些重要的性质，我们了解这些性质可以帮助我们更好地运用代数式解决问题。
1. 代数式的和差性质代数式的和差性质指的是：在代数式中，可以交换相同类别的项的位置，也可以用项的加法和减法将代数式合并。
例子2：2x + 3y - 4x + 5y按照和差性质，我们可以重新排列代数式的项，得到：2x - 4x + 3y + 5y再通过合并同类项，我们可以得到：-2x + 8y2. 代数式的积性质代数式的积性质指的是：在代数式中，可以交换相同类别项的位置，也可以用项的乘法和除法将代数式合并。
例子3：2xy + 3x - 4xy + 5x按照积性质，我们可以重新排列代数式的项，得到：2xy - 4xy + 3x + 5x再通过合并同类项，我们可以得到：-2xy + 8x3. 代数式的因式分解代数式的因式分解指的是将代数式按照公因式的方式进行拆分。
例子4：2x + 4y通过因式分解，我们可以得到：2(x + 2y)三、代数式的应用代数式在数学中有着广泛的应用，它可以帮助我们解决各类数学问题，计算和推导。
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§ 2代数方程的性质一、多项式与代数方程的一般性质［代数基本定理］每个复数域上n次代数方程f(x)=a o x n+a i x n-1+ + a n_ i x+a n=0 (n _ 1)在复数域中至少有一个根•代数基本定理的推论：每个n次代数方程在复数域中有n个根，而且只有n个根. ［多项式的导数］多项式f(x)的导数为n-1 n—2f (x)=na o x +(n—1)a i x + +a n-1微分学中仅考虑实变数函数的导数，而代数学中必须考虑复系数的复变数多项式的导数，但是它们的定义与计算公式仍然一样.［单根与重根］1°多项式的单根不是它的导数的根.2°多项式的m重根(即有m个根相同)是它的导数的m—1重根(m>1).3° 若X1,x2,…，x k分别为f(X)的久1, a 2,…，a k( a 1+ a 2+ + a k=n)重根，贝Uf (x)=a o(x —x1) 01 (x —X2)Q …(x—X k) s［洛尔定理及其推论］由微分学中的洛尔定理可知，在实系数方程f(x)=O的两个实根之间总有f (x)=0的一个实根.从这个定理可推出下列两个推论：1°若f(x)的一切根都是实的，则「(X)的一切根也是实的.在f(x)的相邻两根之间有f (x) 的一个根并且是一个单根.2°若f(x)的一切根都是实的，且其中有p个(计算重根)是正的，则f (x)有p个或p—1个正根.［多项式的相关］1°若多项式f (x),「(x)的次数都不超过n,而它们对n+1个不同的数a 1,…/m有相等的值，即f( a i)= (a i) (i=1, ,n+1)，则f(x)= (x).2°多项式f (x)和「(x)的根完全相同的充分必要条件是f (x)和「(x)只差一个不等于零的常数因子.［整根与有理根］任意整系数方程f(X)=O,若有一个有理根卫(为既约分数)，则P是a n q的约数，q是a 0的约数.由此可推出：任意整系数方程的整根必为常数项的约数，若整系数方程的首项系数为1，则它的有理根必为整数.［实根与复根，共轭实根与共轭复根］1 °任意有理系数方程f(x)=O，若有一个根a+ . b (a,b是有理数，b是无理数)，则必有另一个根a—- b .这时a+ . b与a—, b称为一对共轭实根.2°任意实系数方程f(x)=0的复根只可能是成对的共轭复根，并且根的重数相同.从而，复根的个数是偶数.3°任意实系数奇数次方程f(x)=0至少有一个实根.4°任意实系数偶数次方程f(x)=0,a°a n<0,则至少有两个实根(一个正根和一个负根) ［根与系数的关系］设f (x)=x n+a1x n…+a n为复数域S上的一元多项式，X1 ,X2/ ,X n为f(x)在S中的n个根，则根与系数的关系为nX 1+X 2+ +X n 二' x i =— a ii 丄nX 1X 2+X 1X 3+ +X n-1X n 八 X i X j =a 2i ，j 丄 (i ::j)nX 1X 2X 3+X 1X 2X 4+ +X n-2X n-1X n = ' X j X k = — a 3i,j,k4 (i ::j :k)X 1X 2 X n =(— 1)na n这就是说，f(X)的X n-k的系数a k 等于从它的根X i ,X 2,…,X n 中每次取k 个(不同的)一切可能乘 积之和，若k 是偶数，则取正号，若k 为奇数，则取负号.［根的范围］设E 为复系数代数方程f(x)=a o x n+a i x n1+ +a n-i x+a n =O(1)的根.1°若所有系数auO(i=O,1,…,n),则円"，其中▽为实系数代数方程F(x)= a 0 x n— a 1 xn1-…-a n =0的一个正实根.a na 。
特别，取 Y i =1(i=1,2, ,n —1)时，有a o方程(1)中作变换X =±,可求出y 的上界，因而得到y> max*a n取J >m ，使得a n -1那末有“半兰p .设丫为任意正数，贝U ©兰®，其中匕兰max“a i；旧。
| i#J4°若所有系数都为正实数，则r1 a 1 .+ a 2+ a nY aaa JT 1=max2°设Y S Y 2,…，丫 n -1为任意正数，则£兰 丫〔，丫 2, ，丫T,其中T 为下列n 个数中最大的一个：an Ja o12…2丄nJ-maxa 1a n Ja oanj更进一步，记(2)式右边为M ，记(3)式右边为m ，如果取pa 。
PT十"2<M ,使得- a2 ° - an >a 。
特别, 取丫 =1，有 11+ —12min <a1 a2…a n、> << max*a1 a2…a n1 9 J Ja1 a nj ’Ja1 a nJ. ”5°若方程(1)的系数满足不等式ao| w|a i - a2 - a3 _an则方程(1)至多有一个绝对值》1的根E 1,而且肾王a i _ a2 _ a n［多项式的分解］1°设f(x)为实数域上的多项式，若有非常数的实系数多项式g(x)和h(x),使得f(x)=g(x)h(x)则称f(x)为实数域上可约(或可化)，否则称f(X)为实数域上的不可约多项式•2°实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只有含(共轭)复根的二次多项式.3°每个实系数多项式都可分解为实系数的一次因式与二次因式之积•有理数域上的多项式的分解见第二十章，§5, 2.［余数定理与综合除法］若c为一常数，则多项式f(x)除以x-c所得的余数等于f(c). 设 f (x)=a o x n+a1x n + …+a n-1x+a n求f(x)除以x-c的商式与余数其计算格式如下：c) a o a1 a2 a n-1 a nb o C b1C … b n-2C b n-1Cb o b1 b2 b n-1 b n 式中b o=a o,b i=a i+b i-1C(i=1,2,…,n).于是得到商式q(x)=b o x一n-+b1X2 .+ + b n-1余数r=b n=f(c)例 f (x) = x42x3 - 3x2- 5 除以x— 2.列出算式2) 1 2 —3 0 - -52 8 10 201 4 5 10 15= f (2)f x 315所以x 4x25x 10 -x -2 x-2[多项式的泰勒公式(秦九韶法)]n次多项式f (x)=a o x n+a1X n-1+ +a n-1X+a n (a o = o)在任意点c的泰勒展开式为f (x)=b o(x- c)n+b1(x- C)n + +b n-1(X—c)+b n 式中系数b i (o< i< n)按下面的方法计算.首先在(n+2) (n+2)方阵的对角线上列出a o,a1,…,a n,d (d为符号)，在第1列上列出a o(即a,i=a i-1,i=1,2, ,n+1;a n+2,n+2=d;a i,1=a o,i=1,2, ,n+2).然后再按递推公式a i,j c+a i,j+i =a i+ij+i (i=2,…，n+1; j=1,…,i - 1)自上而下，自左而右依次计算出对角线下其余各元素，那末第 n+2行各元素即为所求系数, 即b o =a o , b i =a n+2,i+1(i=1,2, ,n)在X =2处的泰勒展开式.二、多元多项式•对称多项式•结式［多元多项式］设常数C 1,C 2, ,C k 属于一个数域S, a i , B i,…,v i (i=1,2/ ,k)是正整数或零, 则称形如C X 1X ］…■ X 冷亠 C X X 2 ■… X V 2…+ C X 冷 X * …■ X1入12n 2 1 2 nk12n的表达式为数域S 上元素X 1,X 2/ ,X n 的n 元多项式.C i X 1 X 2 1 x/"称为它的项，C i 为它的系数，a i 为项中关于X 1的次数，B i 为项中关于X 2的次数，等等.a i +B i +…+v i 为项的次数.在多项式中系数不为零的任一项关于X i 的最高次数称为多项式关于X i 的次数，系数不为零的任一项的 最高次数叫做多项式的次数.各项次数都相等的多项式称为齐次多项式.c ：0a 0 aa 。
T 1:一a3,2a一:n 1,2 一:n 1,3 I : :a nan 2,n 11〕2 —5 10 -1 df(x)= x - 2 '2+ 6(x —2)十 10(x —求 f(x) = x ‘ -2x -5每个m次多项式f(X1,X2，…,X n)都可唯一地表示成mf(X1,X2, ,X n)=' f j(X1,X2, ,X n)i =0式中f i(X1,X2，…，X n)为i次齐次多项式.为了方便，经常把一个多元多项式按某一个变数，例如X1的降幕排列如下：a0(X2, ,X n)X1 + a1(X2, ,x n)X1 + + a m(x2, ,x n)式中a°(X2，…,X n), a1(X2, ,X n),…,a m(X2, ,X n)为X2, ,X n 的n- 1 元多项式.若f1,f2, ,f k分别为m1,m2, ,m k次的多元多项式，则乘积f1f2 f k为m1+m2+ +m k次.［对称多项式］如果在一个n元多项式f(X1,X2/ ,x n)中，对调任一对X i和X j后,f(X1,X2； ,X n)不变，那末称它为X i ,X 2/ ,X n 的对称多项式.［初等对称多项式］设n二1 =為 X i ,i 4er n =X l X2…X n则称C 1,C 2,…，c n 为初等对称多项式.例如，由多项式的根与系数的关系（本节，一）可知， 多项式的系数除符号外都是根的初等对称多项式.［对称多项式基本定理］在数域S 上，每个n 元对称多项式f （X 1广，X n ）都可唯一地表成 X 1,…,X n 的初等对称多项式（系数在 S 中）的多项式.［牛顿公式］设f （x ）=（x — X i ）（X — X 2）…（X — X n ）=X n— C 伏* *…+（ — if C nk k kS k =X l +X 2 + +X n (k=0,1,2,)则下面牛顿公式成立:k < n 时， S k — C 1S k-l + C 2S k-2+…+( — 1)"1C k-1S l +( — 1)t C k =0k>n 时， S k — c i s k-l + C 2S k-2+…+( — 1)" C n S k-n =0 ［结式］设mf(X)=a o X m+a i Xm—+ +a m =a o|］ (x _片)(m>0) i=1n(x)=b 0x n+b i x n+b n =b °i 丨(x-y 」)(n>0)则a 0 a i ...................... a ma 。