2017届山东省枣庄市第九中学高三上学期期末考试理科数学试题及答案

山东省枣庄市第九中学2017学年高三上学期期末考试 数学试题（理）本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设全集U 是实数集R ，{|||2},{|13}M x x N x x =≥=<<，则图中阴影部分所表示的集合是A ．{|21}x x -<<B ．{|22}x x -<<C ．{|12}x x <<D ．{|2}x x <2．已知函数2()2f x x x =-，()()20g x ax a =+>，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得()()21x g x f =，则实数a 的取值范围是 A ．1(0,]2B ．1[,3]2C ．(0,3]D ．[3,)+∞3．函数()lg(31)f x x =+的定义域是 （ ） A ．)1,31(-B ．),31(+∞-C ．)31,31(- D ．)31,(--∞4．如果执行如图所示的框图，则输出n 的值为A ．9B ．8C ．7D ．65．若62x ⎛ ⎝展开式中的常数项是60，则实数a 的值是A ．1± B ． C ．2± D ．±6．已知函数()sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<，其部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为A ．2,3πωϕ== B ．2,6πωϕ== C ．1,3πωϕ== D ．1,6πωϕ==7．在等腰ABC ∆中，120,2BAC AB AC ︒∠===，2,3BC BD AC AE == ，则AD BE ⋅ 的值为A ．23- B ．13- C ．13 D ．438．已知某几何体的三视图如图所示（单位cm ），则此几何体的体积为A ．2123cm B ．1523cm C ．163cm D ．123cm 9．对于函数()f x 和()g x ，设(){}0m x R f x ∈∈=，(){}0n x R g x ∈∈=，若存在m 、n ，使得1m n -≤，则称()()f xg x 与互为“零点关联函数”．若函数()12x f x ex -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点关联函数”，则实数a 的取值范围为A ．7[2,]3B ．7[,3]3C ．[2,3]D ．[2,4] 10．过原点的直线交双曲线xy P Q 、两点，现将坐标平面沿x 轴折成直二面角，则折后线段PQ 的长度的最小值等于 A ．4 B． C ．2 D ．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，请按要求作答5小题，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．） 11．已知i 是虚数单位，则复数3+1i i=-________．12．已知实数,x y满足10200,0x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥≥⎩，则2z x y=+的最大值是________．13．假设乒乓球团体比赛的规则如下：进行5场比赛，除第3场为双打外，其余各场为单打，参赛的每个队选出3名运动员参加比赛，每个队员打两场，且第1,2场与第4,5场不能是某个运动员连续比赛．某队有4名乒乓球运动员，其中A 不适合双打，则该队教练安排运动员参加比赛的方法共有________种．考生注意：14~16题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．如图，,PAB PCD 为圆O 的两条割线，若5,7,PA AB ==11,CD =2AC =，则BD 的长为________．15．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为4cos 3ρθ=的直线与曲线1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）相交于A 、B ，则AB =________．16．若存在实数x ，使得13x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本题共13分，第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问8分） 今年3月1日，重庆某中学50位学生参加了“北约联盟”的自主招生考试．这50位同学的数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[)[)60,70,70,80,[)[)[)[]80,90,90,100,100,110,110,120．（Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）从成绩不低于100分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在110分以上（含110分）的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．18．（本题共13分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问7分）已知向量2(cos ,1),,cos )222x x x m n =-= ，函数()1f x m n =⋅+ ．（Ⅰ）若[0,]2x π∈，11()10f x =，求cos x 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足2cos 2b A c ≤，求()f B 的取值范围．19．（本题共13分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问7分） 已知函数()()21()2142ln 2f x x a x a x =-++- ()a R ∈．（Ⅰ）若函数()f x 在3x =处取得极值，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）当32a ≤时，讨论()f x 的单调区间．20．（本题共12分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问6分） 如图所示，已知三棱柱111ABC A B C -，点1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，1190,2,BCA AC BC BA AC ︒∠===⊥．（Ⅰ）求证：1AC ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）求二面角111B A BC --的余弦值．21．（本题共12分，第（Ⅰ）问4分，第（Ⅱ）问8分） 设P 为圆221:2C x y +=上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点MPQ =．（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的方程；（Ⅱ）过直线2x =上的点T 作圆1C 的两条切线，设切点分别为,A B ，若直线AB 与点M 的轨迹2C 交于,CD 两点，若CD AB λ=，求实数λ的取值范围．22．（本题共12分，第（Ⅰ）问4分, 第（Ⅱ）问8分） 已知数列{}na 满足：112k k k aa a -++≥()2,3,k = ．（Ⅰ）若12a =，25a =，411a =，求3a 的值；（Ⅱ）若12014aa a ==，证明：11k k k a aa a k++--≥且k a a ≤，()1,2,,2014k = ． 山东省枣庄市第九中学2017学年高三上学期期末考试数学试题（理）参考答案一、选择题1-5 CDCCC 6-10 CABCC 第10题解析：设0000(,(,P x Q x x x --0(0)x >，则折后有2222000||(2)((PQ x x x =++22044x x =+8≥，所以||PQ 的最小值为， 此时01x =。

二、填空题11．12i + 12．7213．48 14．6 15．16．[]2,4a ∈- 三、解答题17．【解析】（Ⅰ）由()0.00630.0180.054101a ⨯+++⨯=，得0.01a =…….5分（Ⅱ）成绩在100分以上的人数为8人，成绩在110分以上的人数为3人，由题意：X 的可能取值是0,1,2.则()()()21125533222888101530,1,2282828C C C C P X P X P X C C C =========故X 的分布列为：从而()0122828284E X =⨯+⨯+⨯= (13)分18．【解析】（Ⅰ）()21cos cos cos 112222x x x x f x x +=-+=-+ ()111cos sin 2262x x x π-+=-+ ………2分 ()()311,sin 1065f x x π=∴-= ，又()40,,,,cos 266365x x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈∴-∈-∴-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦4分()()()cos cos cos cos sin sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤∴=-+=---⎢⎥⎣⎦ (6)分（Ⅱ）由2cos 2b A c ≤-得2sin cos 2sin B A C A ≤-，()2sin cos 2sin B A A B A ∴≤+()2sin cos 2sin cos cos sin B A A B A B A ∴≤+ (10)分(2sin cos ,cos 0,6A B A B B π⎤∴∴∴∈⎥⎦， ()(()()(111sin ,0,sin 0,62622B f B B ππ⎤⎤∴-∈-∴=-+∈⎥⎥⎦⎦………13分 19．【解析】（Ⅰ）()()()()2214242'21x a x a a f x x a x x-++--=-++=， ()f x 在3x =处取得极值，()'30,2,f a ∴=∴=()2156ln 2f x x x x ∴=-+， ()256'x x f x x-+∴=，()()91,'122f f ∴=-=，故曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()9212y x +=-，即42130x y --= (6)分（Ⅱ）()()()()()()2221214242'21x x a x a x a a f x x a x x x---⎡⎤-++--⎣⎦=-++==当32a =时，()'0f x ≥，()f x ∴在()0,+∞上单调递增； 当210212a a ->⎧⎨-<⎩，即1322a <<时，()f x 在()0,21a -上是增函数，在()21,2a -上是减函数，在()2,+∞上是增函数；当210212a a -≤⎧⎨-<⎩，即12a ≤时，()f x 在()0,2上是减函数，在()2,+∞上是增函数 13分20．【解析】解：如图所示，取AB的中点E，则//,,DE BC BC AC ⊥ DE AC ∴⊥.又1A D ⊥平面ABC ，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设1DA t =，则()()0,1,0,2,1,0,A B -()()()()110,1,0,0,0,,0,2,C A t C t t R +∈ 2分（Ⅰ）证明：()()()1110,3,,2,1,,2,0,0AC t BA t CB ==--=，由10AC CB = ，知1AC CB⊥，又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC (6)分（Ⅱ）因为()12,1,BA t =-- ，()10,3,AC t =，由11BA AC ⊥得t =((()111112,,,0,2,0BA BB AA AC ∴=--=== ,设平面11A BB 的一个法向量为(),,m x y z =，则11200m BA x y m BB y ⎧=--+=⎪⎨==⎪⎩ ，可取)m = ，同理，可求得平面11A BC的一个法向量为)n =，5cos ,7m n m n m n ∴〈〉==.所以，二面角111B A B C --的余弦值为57.…………….12分 21．【解析】（Ⅰ）设点(),M x yPQ =，知点()P x ，因为点P 在圆221:2C x y +=上，所以2222x y +=，即点M 的轨迹方程是2212x y += (4)分（Ⅱ）设点()2,T t ，则切点弦AB 的方程为22x ty +=.设点()()1122,,,C x y D x y ，则圆心O到AB的距离d =.故AB ==由222222x ty x y +=⎧⎨+=⎩得()228440t y ty +--=，则12122244,88t y y y y t t +==-++，故12CD y =-=，从而281tλ+=. 设24t s+=，则4s ≥.于是1λ==，设11,0,4m m s ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦， 于是1λ=设()31632f m m m =+-，则()2'696f m m =-，令()'0f m =，得14m =.于是()f m 在10,4⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，()(f m ∴∈，即实数λ的取值范围是,12⎫⎪⎪⎣⎭.…………….12分22．【解析】（Ⅰ）由条件知：112k k k aa a +-≥-，从而32128aa a ≥-=，432211a a a ≥-≥又411a =，∴32211a a -=，38a =． ………………………………….4分（Ⅱ）201420132013201220122011113221k k k k a a a a a a a a a a a a a a +--≥-≥-≥≥-≥-≥≥-≥- ，前2014k-项相加，得：()()201412014k k k k a a a a k a a +-=-≥--，- 11 -① …………….6分 后k项相加，得：()1111k k k k k a a a a a a+++-≥-=-．从而11k k k a aa a k++--≥……………….8分后1k -项相加，得：()()111kk k k aa a a ---≥-．②从而，1111nk k k k k k aa a aa a a a n k k +---≥-≥-≥--()()()()111n k k k a k a n k a n k a ⇒---≥--- ()()()111n k k a n k a n a ⇒-+-≥-1111k n k n ka a a n n --⇒≤+--．③……………………….11分 因为1n a a a==，代入③得：k a a≤． …………………………………….12分。