评析复习参考对2008年浙江省高考数学卷概率试题的

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对2008年浙江省高考数学卷概率试题的评析
卢 明 甘建飞（海盐元济高级中学 314300）
自2004年高考数学浙江省自主命题以来，概率问题文科有三年考大题（2004年没考），理科有四年考大题，2007年文理科均没有考大题．凡是考的几年中，试题的模型都是摸球，题次都放在17题～19题的位置，分值为12～14分，文理科试题难度差异明显．总体而言概率试题难度比较平稳，难度系数一般在0.4～0.7．从概率试题的数据特点看，2004年和2006年袋（或盒子）中球的数量都是已知的，而2005年和2008年袋（或盒子）中的球的数量都是未知的，似乎很有规律．
连续考了多年的摸球，今年仍然考摸球，这一点大大出乎人们的意料．值得称颂的是今年的理科概率试题，尤其是第二问，命题者的思路不落俗套，一改以往的“计算”为“证明”，给人以全新的感觉．不仅形式上变了脸，而且知识的覆盖上也有了拓展，除了常规考查内容，如排列组合、对立事件、相互独立事件的概率及随机变量的分布列、数学期望等概念外，还将利用函数的单调性求最值、不等式的放缩等解题思想内隐其中，提升了试题的品位． 下面笔者对2008年浙江理科卷概率试题的解法、存在问题等进行评析．
题目 一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑．球的概率是52；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白．球的概率是97
． （Ⅰ）若袋中共有10个球， （i ）求白球的个数；
（ii ）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望ξE ． （Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于
10
7
．并指出袋中哪种颜色的球个数最少． 1．解法探讨 （Ⅰ）解：（i ）设10个球中有n 个白球．
解法一：记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，则
9
7
)(2
1022101101=+=-C C C C C A P n n n ，即 070192
=+-n n ，
所以 5=n ，14=n （舍）．
故袋中有白球5个．
解法二：利用“解法一”中A 事件的对立事件来计算．
记A 的对立事件为B ，即“从袋中任意摸出2个球都不是白球”，则
97
1)(1)(210
2
10=-=-=-C C B P A P n ，解得5=n ．
（ii ）由（i ）知袋中有白球5个，且黑球和红球一共5个．
随机变量ξ的取值为0，1，2，3，分布列是
121)0(31035===C C P ξ， 125
)1(3
102
515===C C C P ξ， 125)2(3101525===C C C P ξ， 121
)3(3
10
3
5===C C P ξ． ξ的数学期望2
3
1213125212511210=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE ． （Ⅱ）证明：
证法一：设袋中共有m 个球，其中y 个黑球．由题意得m y 5
2
=
，且5≥m ，5|m ． 记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球”为事件C ，C 的对立事
件为D ，即“从袋中任意摸出2个球都不是黑球”，则
)
1(256
259)1()
153
(53)(22
52
--=--==
-m m m m m C
C D P m
m m ．
构造函数)
1(256
259)(--
=
x x f )5(≥x ，因为 0)1(256
)(2
/
>-=
x x f ，所以)(x f 在[)+∞,5上单调递增．
故 10
3)15(256259)1(256259)D (=--≥--=
m P ． 等且仅当5=m 时取等号．所以，当5≥m 时总有 10
71031)(1)(=-
=-<D P C P ．
即从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率小于．．10
7
． 又
97107<，所以白球数量多于黑球数量，即白球数量多于m 5
2
，因此红球数量少于m 5
1
，故袋中红球个数最少．
证法二：假设同“证法一”，直接利用对立事件算．
11
52
521111)(1)(---⨯--=---⨯--=-=m m m m m m m y m m y m D P C P )
11(256
5
2)1521(531m
m m
-+=--⨯-=．
构造函数)
11(2565
2)(x
x f -+=
)5(≥x ，易知)(x f 在[)+∞,5上单调
递减．于是
10
7)
5
11(2565
2)11(2565
2)(=
-+≤
-
+=
m
C P ． 等且仅当5=m 时取等号． 评注：“证法一”的结论“
107”是取不到的，而“证法二”的结论至此却无法排除“10
7
”． 分 析：从袋中任意摸出2个球有三种情况：（黑，黑）、（黑，非黑）、（非黑，非黑）． 证法三：设袋中共有m 个球，其中y 个黑球．由题意得m y 5
2
=
，且5≥m ，5|m ．记“任意摸出2个球，第一次摸到黑球”为事件D ，“任意摸出2个球，恰好第二次摸到黑球”为事件E ，则D 与E 互斥．于是
））E P D P C P (()(+=
153153)111(-⨯+=-⨯+--+--=
m y m y m y m y m m y m y 107
5
11125652111256521525352=-⨯+≤-⨯+=-⨯+=m m m
m m ．
评注：“证法三”的结论同样无法排除“10
7
”．
证法四：（试题标准答案的解法）设袋中共有n 个球，其中y 个黑球．
由题意得n y 52
=
， 所以 n n y <=5
4
2， （1）
即 12-≤n y ， （2） 所以
2
11≤-n y ． 记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球”为事件C ，则
10
7
215352153525352)(111
=⨯+≤-⨯+=⨯+=-m y C C C P m y ．
评注：“证法四”无法排除“10
7”，原因是由于从（1）式推到（2）式时出现的“等号”而引起的．事实上，当等号取到时，515
4
=⇒-=n n n 只有唯一解，因此（2）式中当5
>n 时等号不可能成立．）
2．错误归纳
学生在解本题过程中出现的主要错误和思维障碍是：
一是不能准确地完成数学建模，即在古典概型问题中不能准确地把握“符合限制条件的所有基本事件的数量”的求法．二是不能熟练运用对立事件，使解题过程未能达到最优化．三是遇到用分式表述、含有参数的概率证明题学生觉得无从下手，没有联想到可以利用函数的单调性求最值和不等式放缩等方法来予以解决，导致思维搁浅．四是虽能判断出袋中红球的个数最少，但是在解题过程中没有进行具体的说明或推演．
3．解题回顾 3．1 命题背景
与本题背景相似的命题是：
一个袋中装有10个大小相同的小球，其中4个黑球，5个白球，1个红球．求： （Ⅰ）从袋中随机摸出1 个球是黑球的概率；
（Ⅱ）从袋中随机摸出2个球，至少有1个是白球的概率．
将以上命题的条件和结论互换，使袋中球的数量变成未知，再进行适当的改造，并推广到一般，便成为本题的模型．特别是本题第二问的证明，把概率问题与函数方法、不等式方法相联系，体现了在多种知识的交汇点处命题的思想，突出了对学生分析问题、解决问题和知识的综合应用能力的考查，与往年的试题相比，“熟”中有“新”．
3．2 反思与探讨
笔者认为以下二个问题值得探讨．
第一，袋中球的总数最少应该是几个？试题的第二问要求证的结论“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于．．．107”，从逻辑上讲“小于．．107”或“等于107
”两个
结论中只要有一个成立即结论成立．但是在这个概率模型中，当且仅当5=m 时才能取到“
107”．事实上袋中球的总数必须满足5|m 且10≥m ，即“10
7”是取不到的．下面给出证明：
假设5=m ，则由“从袋中任意摸出1个球，得到黑．球的概率是5
2
”知，袋中有2个黑球，于是袋中白球和红球总数为3个．设白球为x 个，则从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白．
球的概率为 9
72
52
25151=+-C C C C C x
x x 即 01408192
=+-x x ．
显然，1、2、3都不是上述一元二次方程的根，矛盾．故5≠m ，所以10≥m ．易知，10
=m 符合题意．
第二，除了10以外，袋中第二个符合题意的球的总数是几？为了搞清这个问题，笔者编了以下程序： input x n=5 do c=2 Do
a=2*n*(n-1) b=9*c*(c-1) if a=b then print n en dif c=c+1
loop until c>n-1 print n n=n+5
loop until n>x end
输入 n=70000，经运行后得到如下十一组解：
10，10990，25835，34770，37725，46660，49615，52570，55525，64460，67415．
可见，袋中第二个符合题意的球的总数是10990．鉴于此，如果在本题条件中加上“袋中球的总数不少于10个”的限制条件，并将第二问的求证结论加强为“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率小于．．
10
7
”，那么命题将更加严谨、完美． 执笔：卢明。