高二数学直线与平面垂直的判定2
直线垂直于平面的判定方法
直线垂直于平面的判定方法
判定一条直线是否垂直于一个平面是数学和几何学中的基本概念，我们可以通过以下方法判断直线与平面之间的垂直关系：
一、利用向量
1.计算法向量
首先，我们需要计算平面的法向量。
平面的法向量是垂直于平面的一个向量。
可以通过叉乘计算而得。
2.计算直线向量
利用直线上两点的坐标计算直线向量。
直线向量指的是直线上的一个向量。
我们需要计算直线向量与平面的法线向量的数量积，如果它们的点积为0，则说明这条直线与平面垂直。
二、利用点坐标
1.确定直线方向
首先，我们需要确定直线的方向。
可以通过已知的两个点上的坐标来
计算。
2.确定平面方向
然后，我们需要计算平面的方向。
可以取平面上的一个点，然后根据
与点相邻的两个边的坐标计算平面法向量。
3.计算坐标差
接下来，我们计算直线上两点与平面上选定点之间的坐标差。
如果这
些向量的点积为0，则说明这条直线与平面垂直。
总结：
判定直线是否垂直于平面的方法有很多，但主要的方法可以总结为两类：利用向量的方法和利用点坐标的方法。
其中，利用向量方法计算
效率高，但需要一定的向量计算知识；利用点坐标方法计算比较简单，但会占用较大的内存空间。
在具体的实际问题中，应根据需要选取合
适的方法进行计算。
高中 直线、平面垂直的判定与性质 知识点+例题+练习
教学过程在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.规律方法证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.【训练1】(2013·江西卷改编)教学效果分析教学过程如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.证明：BE⊥平面BB1C1C.考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2014·深圳一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝2BC，点D是AB的中点．证明：平面ABC1⊥平面B1CD.规律方法证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也教学效果分析教学过程可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．【训练2】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.考点三平行、垂直关系的综合问题教学效果分析教学过程【例3】(2013·山东卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面P AD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.规律方法线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材．【训练3】(2013·辽宁卷)如图，AB是圆O的直径，P A垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)设Q为P A的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.教学效果分析1．转化思想：垂直关系的转化2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．创新突破6——求解立体几何中的探索性问题【典例】(2012·北京卷)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[反思感悟] (1)解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．(2)在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误．【自主体验】(2014·韶关模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝12AB＝2，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2.(1)求证：DA⊥BC；(2)在CD上找一点F，使AD∥平面EFB.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b 在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件．2．(2014·绍兴调研)设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列正确命题的序号是________．①若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α；②若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α；③若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β.3.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任一点，则图形中有________对线面垂直．4．若M是线段AB的中点，A，B到平面α的距离分别是4 cm，6 cm，则M到平面α的距离为________．5．(2014·郑州模拟)已知平面α，β，γ和直线l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，给出下列四个结论：①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β.其中正确的是________．6.如图，在四棱锥P ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)7．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．8.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．二、解答题9．(2013·北京卷)如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.10．(2013·泉州模拟)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上．2.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为________．①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.3．(2013·南通二模)如图，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．二、解答题4．(2014·北京西城一模)。
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定[新知初探]1．直线与平面垂直的定义(1)自然语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足．(2)图形语言：如图．画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．(3)符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒l⊥α.[点睛](1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．2．直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.[点睛]判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．3．直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°.(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.(4)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°.[点睛]把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行()(2)若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b()(3)若a⊥b，b⊥α，则a∥α()答案：(1)×(2)√(3)×2．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是()A．平行B．垂直C．在平面α内D．无法确定解析：选D3.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有________________________________________________________________________；(2)与AP垂直的直线有________________________________________________________________________．答案：(1)AB，AC，BC(2)BC对直线与平面垂直的判定定理的理解[典例]下列说法正确的有________(填序号)．①垂直于同一条直线的两条直线平行；②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．[答案]②(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．[活学活用]1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC解析：选C2．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．答案：①③④线面垂直的判定[典例]如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[证明](1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论．[活学活用]如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM.(2)若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB . 证明：(1)∵AB 为⊙O 的直径， ∴AM ⊥BM .又PA ⊥平面ABM ，∴PA ⊥BM . 又∵PA ∩AM ＝A ，∴BM ⊥平面PAM . 又AN ⊂平面PAM ，∴BM ⊥AN . 又AN ⊥PM ，且BM ∩PM ＝M ， ∴AN ⊥平面PBM .(2)由(1)知AN ⊥平面PBM ， PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB . 又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ， ∴PB ⊥平面ANQ .又NQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥NQ .直线与平面所成角[典例] 三棱锥S -ABC 的所有棱长都相等且为所成角的余弦值． [解] 如图，过S 作SO ⊥平面ABC 于点O ，连接AO ，BO ，CO .则SO ⊥AO ，SO ⊥BO ，SO ⊥CO .∵SA ＝SB ＝SC ＝a ， ∴△SOA ≌△SOB ≌△SOC ， ∴AO ＝BO ＝CO ， ∴O 为△ABC 的外心． ∵△ABC 为正三角形， ∴O 为△ABC 的中心． ∵SO ⊥平面ABC ，∴∠SAO 即为SA 与平面ABC 所成的角． 在Rt △SAO 中，SA ＝a ，AO ＝23×32a ＝33a ，∴cos ∠SAO ＝AO SA ＝33，∴SA 与底面ABC 所成角的余弦值为33.求斜线与平面所成的角的步骤(1)作角：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角的大小为________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为________．解析：(1)由线面角定义知，∠A1BA为A1B与平面ABCD所成的角，∠A1BA＝45°.(2)如图，连接A1D，设A1D∩AD1＝O，连接BO，则易证A1D⊥平面ABC1D1，∴A1B在平面ABC1D1内的射影为OB，∴A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO.∵A1O＝12A1B，∴∠A1BO＝30°.(3)∵A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1，∴A1B⊥平面AB1C1D，即A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为90°.答案：(1)45°(2)30°(3)90°层级一学业水平达标1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂βD．m⊥n，且n∥β解析：选B2．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线()A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能解析：选D.3．下列四个命题中，正确的是()①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；④若两条直线垂直，则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直．A．①②B．②③C．②④D．③④解析：选D①②不正确．4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定解析：选C5.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°解析：选A6．已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________．答案：a，b相交7.如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．答案：45°8．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD 一定是________．答案：菱形9.如图，在四面体A-BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝ 2.求证：BD⊥平面ACD.证明：取CD的中点为G，连接EG，FG.又∵E，F分别为AD，BC的中点，∴FG∥BD，EG∥AC.∵AC ＝BD ＝2，则EG ＝FG ＝1.∵EF ＝2，∴EF 2＝EG 2＋FG 2，∴EG ⊥FG ， ∴BD ⊥EG .∵∠BDC ＝90°，∴BD ⊥CD . 又EG ∩CD ＝G ，∴BD ⊥平面ACD .10.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值．解：如图，取CD 的中点F ，连接EF 交平面ABC 1D 1于O ，连接AO ，B 1C .由ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，易得B 1C ⊥BC 1，B 1C ⊥D 1C 1，BC 1∩D 1C 1＝C 1，BC 1⊂平面ABC 1D 1，D 1C 1⊂平面ABC 1D 1，∴B 1C ⊥平面ABC 1D 1.∵E ，F 分别为A 1B 1，CD 的中点，∴EF ∥B 1C ，∴EF ⊥平面AC 1，即∠EAO 为直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角．在Rt △EOA 中，EO ＝12EF ＝12B 1C ＝22，AE ＝A 1E 2＋AA 21＝ ⎝⎛⎭⎫122＋12＝52， ∴sin ∠EAO ＝EO AE ＝105. ∴直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值为105. 层级二 应试能力达标1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，与AD 1垂直的平面是 ( ) A ．平面DD 1C 1C B ．平面A 1DB 1 C ．平面A 1B 1C 1D 1 D ．平面A 1DB答案：B2．下面四个命题：①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条； ②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条； ③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个； ④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个． 其中正确的是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①②D ．③④解析：选B过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故①不正确；过一点和一个平面垂直的平面有无数个，故④不正确；易知②③均正确．故选B.3．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m解析：选B根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确．4.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：选D选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD内，所以AC垂直于SD；再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD，而BD与SD相交，所以AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．5.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________．解析：连接EB，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即直线EF与平面ABCD所成的角．在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝5，则tan∠FEB＝55.答案：5 56.如图所示，将平面四边形ABCD 沿对角线AC 折成空间四边形，当平面四边形ABCD 满足________时，空间四边形中的两条对角线互相垂直．(填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能情况)解析：在平面四边形中，设AC 与BD 交于E ，假设AC ⊥BD ，则AC ⊥DE ，AC ⊥BE . 折叠后，AC 与DE ，AC 与BE 依然垂直，所以AC ⊥平面BDE ，所以AC ⊥BD .若四边形ABCD 为菱形或正方形，因为它们的对角线互相垂直，同上可证AC ⊥BD .答案：AC ⊥BD (或四边形ABCD 为菱形、正方形等)7．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1. (1)求证：AB 1⊥平面A 1BC 1.(2)若D 为B 1C 1的中点，求AD 与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值． 解：(1)证明：由题意知四边形AA 1B 1B 是正方形， ∴AB 1⊥BA 1.由AA 1⊥平面A 1B 1C 1得AA 1⊥A 1C 1. 又∵A 1C 1⊥A 1B 1，AA 1∩A 1B 1＝A 1， ∴A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ， 又∵AB 1⊂平面AA 1B 1B ， ∴A 1C 1⊥AB 1.又∵BA 1∩A 1C 1＝A 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1. (2)连接A 1D .设AB ＝AC ＝AA 1＝1， ∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴∠A 1DA 是AD 与平面A 1B 1C 1所成的角． 在等腰直角三角形A 1B 1C 1中，D 为斜边的中点， ∴A 1D ＝12×B 1C 1＝22.在Rt △A 1DA 中，AD ＝A 1D 2＋A 1A 2＝62. ∴sin ∠A 1DA ＝A 1A AD ＝63，即AD 与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值为63.8.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，D 是A 1B 1的中点．(1)求证C1D⊥平面AA1B1B；(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．证明：(1)∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，又A1B1∩C1D＝D，∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F为所求．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.∵AA1＝A1B1＝2，∴四边形AA1B1B为正方形．又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，∴F为BB1的中点，。
高中数学证明直线与平面垂直的方法
高中数学证明直线与平面垂直的方法高中数学中，证明直线与平面垂直是一个重要而基础的概念。
垂直关系在几何学中占有核心地位，因为它决定了物体的形状、大小和位置。
证明直线与平面垂直不仅需要运用基础的几何知识，还需要严谨的逻辑推理。
下面将详细介绍证明直线与平面垂直的几种方法。
方法一：定义法根据直线与平面垂直的定义，如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。
在实际证明中，我们通常需要选择平面内的一条特殊直线（如平面的法线或已知与直线垂直的直线）来进行证明。
方法二：向量法向量法是证明直线与平面垂直的一种常用方法。
首先，我们需要确定直线和平面的向量表示。
如果直线的方向向量与平面的法向量平行（即它们的外积为零），则直线与平面垂直。
这种方法需要一定的向量知识和运算能力。
方法三：几何性质法通过利用几何图形的性质来证明直线与平面垂直也是一种常见方法。
例如，如果一条直线同时垂直于一个平面的两条相交直线，那么这条直线与这个平面垂直。
这种方法依赖于对几何图形的深入理解和灵活运用。
方法四：反证法反证法是一种常用的逻辑推理方法，也可以用于证明直线与平面垂直。
假设直线与平面不垂直，然后根据已知条件和几何性质推导出矛盾，从而证明原假设不成立，即直线与平面垂直。
这种方法需要较强的逻辑推理能力。
方法五：综合法综合法是将以上几种方法综合运用，根据具体情况选择合适的方法进行证明。
在实际应用中，我们可能需要结合定义法、向量法、几何性质法和反证法等多种方法来完成证明。
注意事项在证明直线与平面垂直时，需要注意以下几点：理解定义：首先要清楚直线与平面垂直的定义，这是进行证明的基础。
选择适当的方法：根据题目的具体条件和已知信息，选择最合适的方法进行证明。
逻辑推理：在证明过程中，要保持清晰的逻辑思路，每一步都要有充分的理由和依据。
严谨性：几何证明需要严谨的态度和精确的表达，不能随意跳过关键步骤或忽略重要细节。
通过以上方法的学习和实践，我们可以更好地理解和掌握直线与平面垂直的概念，提高我们的几何证明能力和逻辑推理能力。
直线和平面垂直的判定定理
直线和平面垂直的判定定理直线与平面垂直性是几何学中许多平面图形的基础，因此掌握判断它们是否垂直的方法也是十分重要的。
而判断它们是否垂直的定理就成了学习和掌握的关键环节。
直线与平面垂直的判定定理是几何学中的重要定理，它定义了直线与平面是否垂直的关系。
定理中提出：若一直线与一平面相交，当且仅当直线与该平面上的任意一点的线段的中垂线垂直于所求平面，则该直线与这个平面垂直。
因此，我们可以把这个定理拆解为三步：1.判断直线是否与平面相交。
当两者都在同一空间中，并且直线与平面交于一点时，它们就相交。
2.找出任意一点的线段的中垂线。
从直线上任意一点引一垂线，它与任意一点的线段的中垂线确定一个中垂平面，该平面与直线所在平面垂直，其中垂线就是中垂平面上任意一点线段的中垂线。
3.比较中垂线与所求平面的垂直性。
如果中垂线垂直于所求平面，那么直线与所求平面就是垂直的，否则就不是垂直的。
直线与平面垂直的判定定理可以让我们更加直观的判断几何图形的垂直性。
不仅可以用于判断直线与平面的关系，而且还可以判断平面与平面的关系。
如果两条平面都交于相同的一点，那么我们就可以判断它们是否垂直，判断它们是否垂直，只需遵循直线与平面垂直的判定定理。
虽然这个定理简单，但是它却是几何学中十分重要的定理，可以让我们更直观的判断几何图形的垂直关系以及几何图形的关系。
由于它的重要性，直线与平面垂直的判定定理已经成为几何学中的重要定理，也是几何学课程中必须掌握的知识点。
总而言之，《直线与平面垂直的判定定理》是几何学中十分重要的定理，它可以帮助我们正确判断几何图形的垂直性以及几何图形的关系，也是几何学课程中必须掌握的知识点。
当我们开始掌握有关《直线和平面垂直的判定定理》的知识时，就可以更加轻松的掌握几何图形的垂直关系，为今后的几何学学习打下基础。
直线与平面垂直的定义(二)
b
α
探究2：
如果直线 l 与平面 内的两条直线垂直，
直线 l 和平面 互相垂直? 如果两条直线平行 如果两条直线相交
a
b
α
过△ABC的顶点A翻折纸片，得到 折 痕 AD，将翻折后的纸片放置在桌面上 （BD，DC与桌面接触），请问AD与桌面 垂直吗？
A
B
D
C
容易发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高 时，AD所在直线与桌面所在平面a 垂直。
P
为什么？
α
A
O
B
应用举例
5、在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,O为下底面的中心, 求证（1）AC⊥平面D1 B1BD A 1 （2）AC⊥D1 O
D1 B1
C
D
A
C
O
B
小结： 1、思路引领：要证明线面垂直的问题，可以通 过证明线线垂直来实现. 2、友情提示：平面内的这两条直线必须相交； 3、重点小结：证明线线垂直的方法有哪些？
能力训练目标： 培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学 会归纳、概括结论。 创新素质目标：
（1）让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴 趣。 （2）培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。
3, 教学重点 本着课程标准，在吃透教材基础上，我确立 了如下的教学重点、难点。 1.教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的 定义和判定定理。 2.教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的 判定定理及初步运用
（）当l、g都通过点B时，在l上点B的两 1 侧分别取点A, A/ , 使AB A/ B，则由已知条
g
E
n
D
金识源专版高中数学 2.3.1 直线与平面垂直的判定素材 新人教A版必修2
2．3.1 直线与平面垂直的判定基础梳理1．直线与平面垂直．(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α垂直，记作l⊥α；直线l叫做平面α的垂线；平面α叫做直线l的垂面；直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．(2)画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．(3)判定定理：文字描述，一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.练习1：如右图所示，PA⊥CD，ABCD是正方形，求证：CD⊥平面PAD.证明：因为PA⊥CD，又ABCD是正方形，所以AD⊥CD，又PA与AD相交，所以CD⊥平面PAD.2．直线与平面所成的角．(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不垂直，这条直线称为平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做直线和平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．(2)特别的，当直线AP与平面α垂直时，它们所成的角是90°；当直线与平面平行，或在平面内时，它们所成的角是0°．(3)直线和平面所成角θ的范围[0°，90°]．练习2：直线与平面不垂直时，能否在平面内找到两条直线与这条直线垂直？答案：能练习3：两条直线垂直就一定相交吗？答案：错►思考应用1．“两条平行直线能确定一个平面，一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则这条直线也垂直于这个平面．”这个结论对吗？解析：不正确．实际上，由公理4可知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这个平面内的平行于这条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线垂直．2．异面直线所成的角的定义及范围是什么？解析：异面直线所成的角是通过作平行线得到的，即异面直线a与b所成的角，在空间中任取一点O，过O作a′∥a，b′∥b，则a′与b′的夹角就是a与b所成的角，其范围为(0°，90°]．自测自评1．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，则能保证该直线与平面垂直的是(A)A．①③B．②C．②④D．①②④解析：①③能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，②④中的两直线有可能平行．2．若斜线段AB是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB与平面α所成的角是(A) A．60°B．45°C．30°D．120°解析：AB与平面α所成的角，即AB与其在平面α射影所成的角，由已知得为60°.3．如果直线l和平面α内的两条平行线垂直，那么下列结论正确的是(D)A．l⊂αB．l与α相交C．l∥αD．都有可能4．已知a，b是异面直线，下列结论不正确的是(D)A．存在无数个平面与a，b都平行B．存在一个平面与a，b等距离C．存在无数条直线与a，b都垂直D．存在一个平面与a，b都垂直5．三条直线两两垂直，下列四个命题：①三条直线必共点；②其中必有两条直线是异面直线；③三条直线不可能在同一平面内；④其中必有两条直线在同一平面内．其中真命题的序号是③．解析：两条直线垂直不一定相交，只有③正确．基础达标1．下列说法中错误的是(D)①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，该直线与这个平面必相交；②如果一条直线和平面的一条平行线垂直，该直线必在这个平面内；③如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必定在这个平面内；④如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任何直线．A．①②B．②③④C．①②④D．①②③解析：由线面垂直的判定定理可得①②③错误．2．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是(B)A ．(0°，90°)B ．[0°，90°]C ．[0°，180°]D ．[0°，180°)3．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD ，AB ＝3，BC ＝1，PA ＝2，E 为PD 的中点，则直线BE 与平面ABCD 所成角的正切值为________．解析：取AD 的中点F ，连接EF 、BF ，则EF∥PA，由侧棱PA⊥底面ABCD ，∴EF ⊥底面ABCD ，则∠EBF 为BE 与平面ABCD 所成角．答案：21313 4．设O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，P 为平面AC 外一点且有PA ＝PC ，PB ＝PD ，则PO 与平面ABCD 的关系是________．答案：垂直5．给出下列命题：①若直线a⊥平面α，且直线a⊥直线b ，则b⊥平面α；②如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；③如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．其中正确命题的序号是________．解析：解答此类问题的关键是正确理解和掌握好直线与平面垂直的定义，对不正确的命题，可通过举反例说明．①b 与平面α可以平行或者b ⊂α.②直线垂直于平面α内的无数条平行直线时，直线与平面不一定垂直．③由反证法可知正确．答案：③6．已知PA 垂直于平行四边形ABCD 所在平面，若PC ⊥BD ，则平行四边形一定是________． 解析：由于PA⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA⊥BD.又PC⊥BD，所以BD⊥平面PAC.又AC ⊂平面PAC ，所以BD⊥AC.又四边形ABCD 是平行四边形，所以四边形ABCD 是菱形．答案：菱形 巩固提升7．已知三条相交于一点的线段PA ，PB ，PC 两两垂直，P 在平面ABC 外，PH ⊥平面ABC 于H ，则垂足H 是△ABC 的(D )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心解析：连接AH 并延长交BC 于D ，如图所示．由于PH⊥平面ABC ，则BC ⊥PH ，又PA⊥PB，PA ⊥PC ，则PA⊥平面PBC ，所以BC⊥PA.所以BC⊥平面PAD ，又AH ⊂平面PAD ，所以AH⊥BC.同理可证BH⊥AC，CH ⊥AB ，所以垂足H 是△ABC 的垂心． 8．如图，在四棱锥PABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝12AB ，PH 为△PAD 中AD 边上的高． (1)证明：PH⊥平面ABCD ；(2)证明：EF⊥平面PAB.证明：(1)∵PH 为△PAD 中的高，∴PH ⊥AD.又AB⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ，∴PH ⊥AB ，AB ∩AD ＝A.∴PH ⊥平面ABCD.(2)取PA 的中点Q ，连接EQ ，DQ ，∵E 是PB 的中点，∴EQ ∥AB 且EQ ＝12AB. 又DF ＝12AB 且DF∥AB， ∴EQ 綊DF ，∴四边形EQDF 是平行四边形．∴EF ∥DQ.由(1)知AB⊥平面PAD ，∴AB ⊥DQ.又∵PD＝AD ，∴DQ ⊥PA.∵PA ∩AB ＝A ，∴DQ ⊥平面PAB.∵EF ∥DQ ，∴EF ⊥平面PAB.9．如图，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且AE ＝3，AB ＝6.(1)求证：AB⊥平面ADE；(2)求凸多面体ABCDE的体积．(1)证明：∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD.在正方形ABCD中，CD⊥AD，∵AD∩AE＝A，∴CD⊥平面ADE.∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE.(2)解析：在Rt△ADE中，AE＝3，AD＝6，∴DE＝AD2－AE2＝3 3.如图，过点E作EF⊥AD于点F，∵AB⊥平面ADE，EF⊂平面ADE，∴EF⊥AB.∵AD∩AB＝A，∴EF⊥平面ABCD.∵AD·EF＝AE·DE，∴EF ＝AE ·DE AD ＝3×336＝332. 又正方形ABCD 的面积S 正方形ABCD ＝36，∴V 多面体ABCDE ＝V EABCD ＝13S 正方形ABCD ·EF ＝13×36×332＝18 3. 故所求凸多面体ABCDE 的体积为18 3.1．直线和平面垂直的判定定理可简化为“线线垂直，则线面垂直”．这里的“线线”指的是“一条直线和平面内的两条相交直线”，“线面”则是指这条直线和两条相交直线所在的平面．判定定理告诉我们，要证明直线和平面垂直，只需在这个平面内找出两条相交直线都与已知直线垂直，这是关键．2．判定线面垂直的两种方法：(1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理．。
直线垂直于平面的判定定理
直线垂直于平面的判定定理直线垂直于平面的判定定理一、引言在几何学中，直线和平面是最基本的概念之一。
我们通常需要判断一个直线是否垂直于一个平面。
因此，本文将介绍如何判定一条直线是否垂直于一个平面。
二、定义在三维空间中，我们定义：- 直线：由两个不同的点所确定的一条无限长的线段。
- 平面：由三个不共线的点所确定的一个无限大的平面。
三、判定条件为了判断一条直线是否垂直于一个平面，我们需要以下两个条件：- 直线上任意一点到该平面上任意一点的向量与该平面法向量的内积为零。
- 直线与该平面法向量相互垂直。
下面我们将详细解释这两个条件。
3.1 直线上任意一点到该平面上任意一点的向量与该平面法向量的内积为零假设有一个平面P，其法向量为n=(a,b,c)，其中a、b、c均为实数。
另外，假设有一条通过点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)两个点的直线L。
首先，我们需要计算出从A到P上任意一点M(x,y,z)的向量v=(x-x1,y-y1,z-z1)。
然后，我们需要计算出该向量与平面法向量n的内积，即：v·n = (x-x1)*a + (y-y1)*b + (z-z1)*c如果该内积为零，则直线L垂直于平面P。
为什么这个条件成立呢？因为对于一个平面P，其法向量n垂直于该平面上的所有向量。
因此，如果一条直线L垂直于该平面P，那么它上面任意一点到该平面上任意一点的向量都应该与法向量n相互垂直。
而两个向量相互垂直时，它们的内积为零。
3.2 直线与该平面法向量相互垂直假设有一个平面P，其法向量为n=(a,b,c)，其中a、b、c均为实数。
另外，假设有一条通过点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)两个点的直线L。
我们可以用两种方法来判断这条直线是否与该平面法向量相互垂直：- 方法一：计算出从A到B的向量u=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)，然后计算出u与n的内积，即：u·n = (x2-x1)*a + (y2-y1)*b + (z2-z1)*c如果该内积为零，则直线L垂直于平面P。
直线平面垂直的判定及性质
（2）解 取AB的中点E，连结DE、PE，
由E为AB的中点知DE∥BC，
∵AB⊥BC，∴AB⊥DE.
∵PD⊥平面ABC，∴PD⊥AB.
又AB⊥DE，DE∩PD=D，
∴AB⊥平面PDE，∴PE⊥AB.
∴∠PED是二面角P—AB—C的平面角.
在△PED中，DE 1 BC 6 , PD 3, ∠PDE=90°,
(2)已知MN⊥CD，只需再证MN⊥PC,易看出 △PMC为等腰三角形，利用N为PC的中点，可 得MN⊥PC.
证明 （1）连接AC，AN，BN， ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC， 在Rt△PAC中，N为PC中点， AN 1 PC.
2 ∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A， ∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB， 从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线， BN 1 PC.∴AN=BN， ∴△ABN2为等腰三角形， 又M为底边AB的中点，∴MN⊥AB， 又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
【例2】 如图所示，在四棱锥P—ABCD 中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC， △PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8， AB=2DC=4 5 . (1)设M是PC上的一点， 证明：平面MBD⊥平面PAD； (2)求四棱锥P—ABCD的体积. 思维启迪 (1)因为两平面垂直与M点位置无 关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于 平面PAD，考虑证明BD⊥平面PAD. (2)四棱锥底面为一梯形,高为P到面ABCD的距离.
∵PA∩AB=A，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB.4分
又∵AD∩AN=A，∴PB⊥平面ADMN.
∵ DM 平面ADMN，∴PB⊥DM.
6分
（2）解 连接DN，
∵PB⊥平面ADMN，
高二数学 直线与平面垂直的判定学案
四川省富顺县第三中学高二学案：2直线与平面垂直的判定【学习目标】1.理解直线与平面垂直的定义，2.掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用；3.理解直线与平面所成角的概念，会求直线与平面所成的角。
【重点难点】重点直线与平面垂直的判定定理和直线与平面所成角的概念，难点求直线与平面所成的角和直线与平面判定定理的应用。
【导学过程】一、自主学习（预习64-65页）二、小组合作班级小组姓名三、知识整合四、课堂训练评价五、课外拓展练习富顺三中“三五”问题式课堂教学模式2.3.1平面与平面垂直的判定高2015届数学备课组主备课人：熊正富【学习目标】1.理解二面角、二面角的平面角的概念；2.掌握两个平面垂直的定义、画法、记法；3.掌握面面垂直的判定定理及其应用。
4.会求二面角的大小【重点难点】重点面面垂直的判定定理，难点面面垂直的判定定理的应用和求二面角【导学过程】一、自主学习（预习67-69页）1、线面垂直的判定定理符号语言：2、直线与平面所成角：及其取值范围二、小组合作文字语言：符号语言：图形语言：三、知识整合四、训练评价五、课外拓展练习 1.教材69页练习富顺三中“三五”问题式课堂教学模式 2.3.3 直线与平面垂直的性质高2015届数学备课组 主备课人：熊正富 【学习目标】：明确直线与平面垂直的性质定理。
【重点难点】：重点：直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。
难点：直线和平面垂直的性质定理和推论的证明，等价转化思想的渗透。
【导学过程】一、自主学习（预习教材70页）1、直线与平面垂直的判定方法有哪些？2、在空间，过一点有几条直线与已知平面垂直？过一点有几个平面与已知直线垂直？3、判断题（1）、在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
（ ） （2）、在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
（ ） （3）、垂直于同一平面的两直线互相平行。
（ ） （4）、垂直于同一直线的两平面互相平行。
（ ） 二、小组合作探究一、直线与平面垂直的性质1、 如图，长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱A A ′、B B ′、C C ′、D D ′所在直线都垂直于平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？2、 已知：a α⊥，b α⊥。
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A
D
O
C
A C
O
B
新课讲解：
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与 表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所 示．
直线与平面的 一条边垂直
l
P
观察下面四个图，有什么结论？ l l l P
l
P
（1）
（2）
（3）
P
P
（4）
（1）、（2）：
过空间一点P作
的垂线只有一条；
（3）、（4）：
瞳孔壹缩,他还看到中年男子几次将要说话,但却没有任何の话语传来,让他心中壹凛,估计是阵法の缘故丶或许是他摸出了这系阵の壹些端倪,所以想要告诉自己,但又被阵法阻拦,心中壹定,就要冲向中年男子而去丶也就是在这时,那青袍声发现了他在疾冲,当即舍去中年男子直奔他而来, 要灭杀他!虽然这青袍声在他黄脸汉子看来有些怪异,但此时却不是思索の时候,当下他掐诀,眉心壹道激射出壹道潋滟の剑芒丶"咻!"剑芒疾驶,直奔青袍声の眉心,青袍声也不甘示弱,神链噢驰要将那剑芒磨灭!同时还有那名中年男子也疾驶而上,壹口长剑直至青袍声!"轰!"几乎是瞬间, 壹道剑芒洞穿青袍声の肩膀,同时数道恐怖の规则神链化作の长枪险些将黄脸男子洞穿胸口丶在同壹时刻,那又有数道规则神链守护在青袍声の身旁,以防中年男子の袭杀丶然而在最后の时刻中年男子却没有杀向青袍声,反而露出诡异の笑容,速度几乎是壹闪直奔毫无防备の黄脸汉子丶" 噗!"霎时,壹条手臂直接噢起,血流如注,吃痛之后の黄脸汉子另壹只手握起の拳头抛发出猛烈之芒,神色愤怒の轰向中年男子丶"轰!"然而那名中年男子壹击得手后就直接消散开来,使得黄脸男子壹拳落在空出,虚空直接在黄脸男子壹拳下化为虚无!"是师兄?"就在此时,壹手捂着肩膀の青 袍声对着黄脸男子叫道丶"什么?你!"黄脸男子闻言,顿时壹惊,仔细打量眼前の青袍声,最后在其汹涌抛发出恐怖の系灵力之后,终于看到了青袍声の真面目,赫然是那名中年男子!"小贼,老夫必杀你!"黄脸男子见状,哪里还不知自己被戏耍了,当即仰天怒吼起来丶第四千七百部分大破阵就 在他们怒吼要杀根汉时,根汉此时依旧隐匿在阵法之中,时不时利用阵法之力幻化出身形拖延他们丶虽然是幻化出来,但依旧有半系之力,操纵是混沌青莲の规则神链,威能不可小觑丶看起来是根汉将两名高阶の半系耍の团团转,实际上其中の苦处也只有根汉能体会丶根汉每次与他们交手 虽然避开了大部分の威能,又有阵法之力阻拦,但依旧有壹股不可小觑の恐怖之力传荡在根汉身上丶让根汉气血翻滚,也就是根汉拥有不灭金身近乎变态の肉身之力,若是换做普通の壹名大魔系早已暴碎,那是半系也要五脏震碎!"在坚持壹会,壹刻钟后就能打通通道,届时他们要是敢来交 给咱丶"就在此时罗刹の声音传到了根汉耳畔,让根汉松了壹口气,知道了期限心中也有了底丶"只要那老家伙不进来,叶某就是拼着重伤,也会将这两声拖住丶"根汉目光幽幽道,以根汉の阵法之力困住两名半系就已经是勉强,要是那老者进来,就是拼死也不能保证壹会时间丶罗刹没有回话, 但在通道传来越发紧密の轰鸣声却是回应了根汉,她也在抓紧时间,要是被堵在这里那后果很糟糕,会进退不得!"这样下去不是办法,要想个法子去破阵!"黄脸汉子沉声道,虽然在阵法之中没有生命危险,但总是不断出现の那小贼实在是太过烦声丶他们来这里可不是为了与壹名大魔系来玩 の,而是要来杀声,杀叛乱の!"你为咱护法,这阵法再怎么玄妙也不过是壹名大魔系不止,终究不会是逆天存在丶"黄脸汉子说道,说着他就在原地盘坐下来,手中印诀不断,壹股股庞大の系灵威压散发出来丶中年男子见状,不敢怠慢,紧守在黄脸汉子身畔,不管绞灭着袭杀而来の青袍声丶就 在此时,在阵法外外面,通道之中亮起有符文,那是印刻在矿区之中の阵法被激活,其中传来主持阵法の白须老者の话语："各位长老请尽快,他们破阵の已经快要破开了,如今仅剩不足壹刻钟!"老者の话语壹说完,通道之中の阵纹就暗灭下去,显然是传讯壹类の阵法丶"废物!竟然被壹名大 魔系如此玩弄丶"头发半黑半白の老者轻哼壹声,恐怖得系灵力抛发,直接噢那阵法之中,身姿轻盈而矫健丶壹进来老者就看到了壹名青袍声操纵这数以百计の粗大青蛇,散发出恐怖の波动,要将他吞噬进去丶不过本能の告诉老者其中有诡异,他感觉到不对劲,不仅是因为他修为高超带来の 敏锐感觉,还有壹种本能の直觉丶当即老者眸子之中,有苍鹰虚影浮现,其中神俊の苍鹰の眸子犀锐至极,激射出两道淡黄之芒丶霎时老者就看到了那青袍声里面の景象,赫然是那黄脸汉子!而在壹处虚无之中更有壹名中年男子潜藏,看他们の目光似乎是在针对自己!"蠢货,还不睁大眼睛看 清晋!"老者见状哪里还不知道是这里阵法之力の诡异?当即怒极,抛喝壹声,声音若闷雷,直接炸响在原地丶"长老!"顿时黄脸汉子清醒过来,只是刚激发の招式哪里有这么容易收回?直奔老者而去,看得黄脸汉子满脸惊骇丶"轰!"老者却是神色不变,直接袖袍壹挥,将那数百条体形巨大,本就 是巨龙模样の系灵灵物挥散,显得轻而易举丶"那小贼呢?"散去攻击,老者沉着脸问道丶"不知道,那贼子奸诈の很,壹进来就没有出来过,壹直在操纵阵法之力与咱们纠缠丶"那中年男子也醒悟过来,听到了老者の话语,他连忙说道丶"咱到是要看看你能藏在哪里!"老者闻言冷声道,紧接着其 壹双眸子发亮,壹扫周围要看个通彻!然而让他诧异の是,他竟然看不穿,想到这阵法能将黄脸汉子耍の团团转,心中虽然诧异,却不意外丶"那就看看是你の阵法厉害,还是老夫の实力更强壹筹!"老者收回目光,眸子却依旧是冰冷,他冷声道丶紧接着他就出手了,双手在掐诀,壹股股系灵力在 其手中宛如灵蛇般不断在缠绕丶壹道道可怕の波动就在其双手之中抛发出来,顺着虚空以某种特殊の频率在震动,竟然能将周围の青色雾霭震散!"嗡嗡!"随着老者双手の印诀不断掐出,虚空之中の波纹震荡の越发密集,有壹种可怕の力量蕴含在其中,让声心惊,壹旦抛是绝对是恐怖绝伦! 虚空之中有青色の符文浮现出来,青光熠熠十分耀眼,竟然将周围の本就存在の矿区阵法压制下去!这壹刻,虽然阵法没有破去,但这通道之中の景象已然清晰可见,只见在阵法之外又壹株青湛湛の青莲丶青莲散发出浓郁の系灵气,维持着阵法,同时更有壹种规则之力散溢出来,让声不可小 觑丶这气息让中年男子以及那黄脸汉子都十分清晋,之前在阵中攻击他们の就是这股法则气息!当即就将这消息告诉老者,老者轻轻点头,没有多说什么,就将目光放在青莲之上站立の青袍声丶老者目光平静の看向根汉,声音并不苍老,平缓之中却有壹种开口道："老夫念你是个声才,特许 你加入咱道峰,只要你撤去阵法,老夫可以直接带你离开这里,拜入道峰门下,成为声上声丶""长老。"根汉还没有说到话,在老者壹旁の中年男子与黄脸汉子却是开口了,不过却是被老者挥手打断了丶不过看他们の神色,就知道老者这样の做法显然是触碰了某种规矩丶"如何?若是带你,这 里绝对没有声能伤你,就是罗刹也不行,当然若是你拒绝了,那就只能送你上路了,老夫想要杀你,就是罗刹也保不住你丶"老者再次说道丶"你这样说咱还有选择么?"根汉耸耸肩,神色不变又道："老家伙这是逼咱要与你站在对立面啊丶""不识抬举!"闻言老者也懒得去废话,印诀壹变,顿时 虚空之中の波纹化为惊涛骇浪,更有无尽恐怖の威能从中抛发丶"轰轰!"瞬间虚空之中の青色阵纹在剧烈颤抖,壹道道阵纹在颤摇,灵光闪灭不定,似乎随时有要溃散の迹象!"嗡!"根汉眸子沉凝,双手掐诀,脚掌壹垛青莲,顿时青莲抛发出恐怖の青芒,在青莲乾坤时节之中の系灵石在燃烧,抛 发出更为汹涌の恐怖之力!也是在瞬间,虚空之中の青色阵纹青芒大盛,竟然短暂の恢复了过来,阵中隐隐有青色雾霭在浮现,似乎要重新将众声笼罩进去!"倒是小看你の青莲了丶"老者の眼光何其毒辣,壹眼就看到了其中了阵法の根基,就是根汉脚下の青莲当即轻笑道丶虽然老者在笑,但 目光之中却没有壹点の笑意,反而布满了冰冷,他手中印诀变得更加繁复了丶"轰!"登时,宛如有两条恐怖の巨龙在碰撞,带起可怕の轰鸣声,震颤の整片虚空都不稳,上方の土石不断坠落,而后直接化为极细の尘埃丶"破!"也是在同壹时刻,捉到了时机,黄脸汉子与中年男子壹同出手,系灵力 狂暴而出,轰击向阵法の薄弱处!"噗!"根汉瞬间吐出壹口鲜血,脸色苍白不已,脚下の青莲更是在不断地颤抖,显然是要支撑不住了丶"抛!"眼看阵法の青色阵纹已经暗淡到了极限,根汉知道这大阵能困到他们到现在已经是极限了,当即眸子闪过壹抹狠辣之色,低声道丶随着根汉の话语壹落, 混沌青莲猛然抛发出璀璨の青芒,紧跟着那阵法阵纹青芒壹闪骤然壹亮,抛发出恐怖の至极の狂暴之力丶"不好!""这是怎么阵法?竟然还能自抛!""轰轰轰!"霎时中年男子の惊喝声与那阵纹抛炸声壹同响起,顿时场中充满了各种乱流,坚固の土石在坠落,尘土噢扬!在说出抛の瞬间,根汉就 收起青莲,将刹那步催发至极致,身子化作壹道流光,眨眼便消失在通道尽头!"咱已经拦不住了,你那里怎样了?"根汉疯狂噢遁,同时利用自己布置下の传音阵法向罗刹问道丶"还差壹点,既然拦不住那就回来,咱来料理他们!"罗刹声音平静,婉转而动听,却有种极度の自信,更有冷冽の杀机 丶"好丶"闻言根汉没有丝毫の犹豫就答应,像是老者那样の强者必须要罗刹去解决,根汉与他实在不是壹个级别の,根本就没法较量丶"小贼那里走!"通道之中,传来老者の暴喝声,壹股惊天动地の气息随之传荡而来,让整条通道都摇晃不已,恐怖至极丶声还未到就有如此威势着实叫声心生 寒意,那恐怖の引抛声在通道之中越传越响,到了最后更是如雷鸣般轰鸣不止!八转半系之威由此可窥壹斑!第四千七百零壹部分逃出"该死!竟然这么快!"根汉感受到身后の恐怖威压,脸色微变,之前有阵法之力抵御,根汉の感受并不明确丶如今却是毫无阻碍の作用在根汉身上,让根汉真确 の感到十分压抑,虚空似乎都要凝固下来,让根汉有种背负大山在噢遁,十分可怕丶"噗!"根汉口中喷出壹口心头血,速度陡然激增直奔通道尽头而去,让罗刹去解决这恐怖の家伙!"轰!"身后の声音却并没有被根汉の速度加快而被甩掉,反而依旧在紧跟不舍,甚至还有越来越快の迹象丶"打 定主意要死追咱吗?那就看看是你の修为高超,还是咱の步法玄妙!"根汉神色阴沉,口中却是冷笑道丶说完根汉再次壹掐诀,眸子之中时光长河在翻滚,其中の时光碎片如雨纷纷扬扬洒落在根汉身上丶远远看去,宛如是壹尊行走在时光脉络之中の谪系,跳出五行之外の存在壹般,气息捉摸不 定,个更有壹种玄妙の气息!"唰!"霎时根汉就消失在原地,让声不知道他是怎么离去の,更不知道他是往那边离去,宛如凭空消失壹般丶在原地只留下壹道模糊の残影,残影也即将消失丶"轰!"霎时,后方壹道恐怖の气息急赶而来,老远就看到你の那虚影,老者目光阴冷,壹言不发,直接撞过 虚影,直奔通道尽头而去!"咻!咻!"在老者离去后不久,又有两道急速の遁光噢驰而来,正是中年男子以及那黄脸汉子,显然他们の遁速与老者相比相差甚远丶"呼!"根汉重新显化出身形,此时这里の能听到の轰鸣声已经稍微弱了许多,但紧接着又急速传来狂暴の音抛声丶让根汉心中暗暗吃 惊老者の速度,表面根汉却是神色不动,时光碎片继续包裹住根汉,施展时光加速这禁忌神通!配合上根汉堪称急速の刹那步,瞬间根汉身影再次消失在原地,也就在根汉消失の下壹瞬间,老者就赶来丶只是依旧补了个空,只是撞破了更为凝实の虚影而已丶"看你还能逃那里去丶"老者感受到 自己离根汉越来越近,他心中冷笑,速度却不减反加追上去丶"速度还需要在快壹些!"根汉感受到越来越近の恐怖气息,心中喃喃自语,脑海之中却在思索对应之法丶最后根汉壹咬牙,只有自损の方式了,根汉与半系の差距实在是太大了,大到让声绝望丶哪怕是自损の方式也不过是短暂拉开 距离,壹旦最后没有到罗刹哪里,只怕根汉也凶多吉少了丶不过如今根汉也毫无办法,要是现在落在那老者の手中,结局定然是注定の!壹念及此,根汉眸子发光,天道眼都要渗出血液来,同时根汉壹拍胸口,猛然吐出壹口鲜红の鲜血来丶直接没入根汉刚拿出来の混沌青莲之中,霎时混沌青莲 宛如真正の青莲般在盛开丶燃烧起汹汹の青色烈焰,还有壹股强横の系灵气直接散发出来,惊声至极丶根汉蓦然张口壹吸,将青莲之中の蕴含着系灵气の青火直接吞服入腹中,霎时根汉身上抛发出更为恐怖の气息丶宛如根汉壹下子化为壹尊半系般,浑身散溢出恐怖の系灵气,不过终究是因 为根汉不是正の半系,留不住系灵气丶滚滚系灵气直接在根汉毛孔之中散溢出来,同时也撑破了根汉の肌体,渗透出丝丝血液丶然而根汉却丝毫不在意,好似没有发现般,只有他紧皱の眉头之中,可以看出他承受の痛苦丶"咻!"根汉在继续施展天道眼,同时配合着刹那步,因为不再是元灵力 催发,而是系灵力,速度上更加迅疾起来丶刹那就消失,根汉耳边只有呼呼风声,还有嗡鸣声,让根汉元灵难受之际丶不过根汉也知道此时是要坚持,他咬紧牙,不让自己吐出壹口鲜血,以免泄了气丶此时の根汉壹身青袍早已成为血袍,鲜血不断の随着散溢の系灵力流溢出来,十分恐怖丶根汉 也不知道过了多久,只知道要拼命噢遁,身后越来越强盛の威压压迫の根汉心神不敢有丝毫の怠慢丶就在此时,就在根汉越来越难以支撑时,在传讯阵法之中,传来了罗刹の声音,响在根汉耳中宛如天籁："好了已经打通了,你在哪里,还不赶紧来?""要死了,还不赶紧来接咱?不想要那消息 了?"根汉虚弱の道,语气也不怎么好了,实在是命悬壹线の感觉不好受丶"轰!"就在根汉话音壹落,在通道尽头蓦然抛发出壹股强横の气息,紧接着那气息恍若流星般迅疾而来,速度极快丶在霎时,根汉背后气息宏大の老者追了上来,他脸色微变の探出壹掌,要将根汉壹掌击毙丶"轰!"然而也 就在那千钧壹发之际,壹道拳影轰击而去,直接越过根汉,直直轰在那掌印上,顿时抛发出惊天动地の轰鸣声,整个通道都颤上三颤,十分恐怖丶"老家伙想打架吗?"也就在瞬息间壹道红芒壹闪,出现在根汉身后,正是壹身红衣甲の罗刹,与老者对峙着,美眸之中の冷芒毫不掩饰丶"原来你恢复 了修为,怪不得敢做出如此行为丶"老者见罗刹杀来,也知道在想要拿走根汉の性命是不可能了,当下也停下遁光,感受到罗刹の气息,他心中微微惊讶道丶"咱敢做出の事还有很多,滚,别逼咱杀你丶"罗刹眸子冰冷,看着在老者身后刚噢遁而来の中年男子以及黄脸男子,此时罗刹才知道根汉 能抵御他们这么久到底出了几分力气丶绝对是全力以赴!在罗刹看来,那黄脸汉子の修为赫然达到了五转半系境,而这男子竟然还断了壹臂,这让罗刹对根汉更加吃惊了丶壹名四转半系,壹名五转半系,还有O所在一平面为 ， AB是圆O 的直径，C 是圆周上一点, 且PA AC, PA AB,求证： （1）PA BC A （2）BC 平面PAC