2018年北京市高考文科数学压轴卷解析版

2018年北京高考压轴卷数学（文）本试卷共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题， 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）设集合2{|20}A x x x =--<，2{|1}B x x =≤，则A B =A. {}21x x -<<B. {}21x x -<≤C. {}11x x -<≤D. {}11x x -<<（2）“3x >且3y >”是“6x y +>”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件（3）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++>--=)0(1)0(2ln )(2x a x x x x x a x f ，且有≤)(x f 2-a 恒成立，则实数a 的取值范围为A .[0，2e 2] B. [0，2e 3] C ．(0，2e 2] D ．(0，2e 3]（4）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1632a a a =，4a 与62a 的等差中项为32，则5S =（ ）A ．553132B ．30 C.31 D ．543132（5）将函数()2cos()6f x x π=+图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图像，则函数()y g x =的图像的一个对称中心是（ ） A ．11(,0)12π B ．(,0)6π C.(,0)12π D ．5(,0)12π（6）在ABC △中，60A ∠=，3AB AC ==，D 是ABC △所在平面上的一点. 若3BC DC =，则DB AD ⋅=A. 1-B. 2-C. 5D.92（7）在ABC ∆中，D 为AB 的中点，点F 在线段CD （不含端点）上，且满足AF xAB yAC =+，若不等式212a at x y+≥+对[2,2]t ∈-恒成立，则a 的最小值为（ ）A ．4-B ．2- C.2 D ．4（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．16243π+ B ．16163π+ C. 883π+ D ．1683π+ 第二部分（非选择题， 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）已知复数z 满足()3443z i i +=+，则z = ．（10）在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，，那么这组数据的方差s 2可能的最大值是 ．（11）已知函数f （x ）=x2e x2e +，f′（x ）为f （x ）的导函数，则f′（0）的值为 ．（12）已知O 为坐标原点，双曲线22221x y a b-= (0,0a b >>)的右焦点为F ，以OF 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于异于原点的A ，若点A 与OF 中点的连线与OF 垂直，则双曲线的离心率e 为 ．（13）已知圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=1和两点 A （﹣m ，0），B （m ，0）（m ＞0），若圆上存在点P ，使得∠APB=90°，则m 的取值范围是 ．（14）已知函数()g x 对任意的x R ∈，有2()()g x g x x -+=．设函数2()()2x f x g x =-，且()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，若()(2)0f a f a +-≤，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题13分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且sin sin sin A B Ca b c+=. (1)求tan C 的值；(2)若2228a b c +-=，求ABC △的面积.（16）（本小题13分）已知在递增等差数列{}n a 中，12a =，3a 是1a 和9a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1(1)n nb n a =+，n S 为数列{}n b 的前n 项和，求100S 的值.（17）（本小题14分）某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选取贷款期限的频数如表：（Ⅰ）若小王准备申请此项贷款，求其获得政府补贴不超过300元的概率（以上表中各项贷款期限的频率作为2017年自主创业人员选择各种贷款期限的概率）；（Ⅱ）若小王和小李同时申请此项贷款，求两人所获得政府补贴之和不超过600元的概率． （18）（本小题13分）如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，BF DE =，点M 为棱AE 的中点.（1）求证：平面//BMD 平面EFC ；（2）若12AB BF ==，,求三棱锥A CEF -的体积.（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2M 40y ++=的距离为3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 过点()4,2-且与椭圆C 相交于,A B 两点， l 不经过点M ，证明：直线MA 的斜率与直线MB 的斜率之和为定值.（20）（本小题13分）已知曲线2()1ln ()y f x x a x a R ==--∈与x 轴有唯一公共点A . （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为27a a --.若两个不相等的正实数1x ，2x 满足12()()f x f x =，求证：121x x <.数学（文）试卷答案及评分参考一、选择题：1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】B4.【答案】.C5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】D二、填空题：9.【答案】110.【答案】36【解析】设这组数据的最后2个分别是：10+x，y，则9+10+11+（10+x）+y=50，得：x+y=10，故y=10﹣x，故S2=[1+0+1+x2+（﹣x）2]=+x2，显然x最大取9时，S2最大是36，故答案为：36．11.【答案】2【解析】=；∴．故答案为：2．12.13.【答案】[4，6]【解析】圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有4≤m≤6，故答案为：[4，6]．a14.【答案】1三、解答题：15．（本小题满分13分） 【答案】(1)∵sin sin cos A B C a b c +=，由正弦定理得sin sin cos sin sin sin A B C A B C +=，∴1tan 2C =. (2)由2228a b c +-=，得2228cos 22a b c C ab ab+-==，∴4cos ab C =，∴114sin sin 2tan 122cos ABC S ab C C C C==创==△. 16．（本小题满分13分）【答案】（Ⅰ）由{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1(1)n a a n d =+-.∵3a 是1a 和9a 的等比中项，∴2319a a a =，即2(22)2(28)d d +=+，解之，得0d =（舍），或2d =. ∴1(1)2n a a n d n =+-=. （Ⅱ）11111()(1)2(1)21n n b n a n n n n ===-+++.12100n S b b b =+++=111111(1)2223100101-+-++-1150(1)2101101=-=. 17．（本小题满分13分）【答案】（1）由题意，所求概率为（2）记a ，b ，c ，d ，e 分别为选择6个月、12个月、18个月、24个月、36个月贷款， 由题意知小王和小李的所有选择有：aa ，ab ，ac ，ad ，ae ，ba ，bb ，bc ，bd ，be ，ca ，cb ，cc ，cd ，ce ，da ，db ，dc ，dd ，de ，ea ，eb ，ec ，ed ，ee ，共25种，其中使得小王和小李获补贴之和不超过600的有aa ，ab ，ac ，ad ，ae ，ba ，bb ，bc ，ca ，cb ，cc ，da ，ea ，共13种，所以所求概率为．【解析】（1）由题意，所求概率为P=．（2）记a ，b ，c ，d ，e 分别为选择6个月、12个月、18个月、24个月、36个月贷款，由题意知小王和小李的所有选择有：aa ，ab ，ac ，ad ，ae ，ba ，bb ，bc ，bd ，be ，ca ，cb ，cc ，cd ，ce ，da ，db ，dc ，dd ，de ，ea ，eb ，ec ，ed ，ee ，共25种，得出其中使得小王和小李获补贴之和不超过600的有13种，即可得出所求概率． 18．（本小题满分13分）【答案】（1）证明：设AC 与BD 交于点N ，则N 为AC 的中点，∴//MN EC .∵MN ⊄平面EFC ，EC ⊂平面EFC ，∴//MN 平面EFC .∵BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，且BF DE =，∴//BF DE =， ∴BDEF 为平行四边形，∴//BD EF .∵BD ⊄平面EFC ，EF ⊂平面EFC ，∴//BD 平面EFC . 又∵MN BD N ⋂=，∴平面//BDM 平面EFC .（2）连接,EN FN .在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，又∵BF ⊥平面ABCD ，∴BF AC ⊥.∵BF BD B ⋂=,∴平面BD EF ，且垂足为N ，∴111223323A CEF NEF V AC S -∆=⋅⋅==,∴三棱锥A CEF -的体积为23.19．（本小题满分14分）【答案】（Ⅰ）解:由题可得，2224{3, 2,c e a b a b c ==+==+ ，解得4,2a b ==，所以椭圆C 的方程为221164x y +=. （Ⅱ）易知直线l 斜率恒小于0，设直线l 方程： ()24,0y k x k +=-<，且1k ≠-，()()1122,,,A x y B x y ，联立()2224,{1,164y k x x y +=-+=得()()()221416216410k xk k x k k +-+++=，则()()1212221621641,1414k k k k x x x x k k +++==++，因为()()1221121212444422MA MB kx k x kx k x y y k k x x x x --+----+=+=， 所以()1212244MA MB x x k k k k x x ++=-+ ()()()()16212412211641k k k k k k k k +=-+=-+=-+（为定值）.20．（本小题满分14分）【答案】（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞.(1)0f =. 由题意，函数()f x 有唯一零点1.'()2af x x x=-. （1）若0a ≤，则0a -≥.显然'()0f x >恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数. 又(1)0f =，所以0a ≤符合题意.（2）若0a >，22'()x a f x x -=.'()0f x x >⇔>'()00f x x <⇔<<所以()f x在上是减函数，在)+∞上是增函数.所以min ()f x f =1ln 222a a a =--.由题意，必有0f ≤（若0f >，则()0f x >恒成立，()f x 无零点，不符合题意）①若0f <，则1ln 0222a a a --<.令()1ln (0)222a a a g a a =-->，则11'()ln 222a g a =-111ln 22222a aa -⨯⨯=-. '()002g a a >⇔<<；'()02g a a <⇔>.所以函数()g a 在(0,2)上是增函数，在(2,)+∞上是减函数. 所以max ()(2)0g a g ==.所以()0g a ≤，当且仅当2a =时取等号.所以，00f a <⇔>，且2a ≠.取正数1}a b e -<，则2()1ln 1ln f b b a b a b =-->--11()0a a >--⨯-=；取正数1c a >+，显然c >>而2()1ln f c c a x =--， 令()ln h x x x =-，则1'()1h x x=-.当1x >时，显然1'()10h x x=-<.所以()h x 在[1,)+∞上是减函数.所以，当1x >时，()ln h x x x =-(1)10h <=-<，所以ln x x <. 因为1c >，所以2()1ln f c c a c =--21()1c ac c c a >--=--110c >⨯->.又()f x 在上是减函数，在)+∞上是增函数，则由零点存在性定理，()f x 在、)+∞上各有一个零点. 可见，02a <<，或2a >不符合题意.注：0a >时，若利用00lim ()x f x →+=+∞，0f <，lim ()x f x →+∞=+∞，说明()f x 在、)+∞上各有一个零点.②若0f =1=，即2a =.符合题意. 综上，实数a 的取值范围为{|0,2}a a a ≤=或.（Ⅱ）由题意，2'(1)27f a a a =-=--.所以29a =，即3a =±.由（Ⅰ）的结论，得3a =-.2()13ln f x x x =-+，()f x 在(0,)+∞上是增函数.()001f x x <⇔<<；()01f x x >⇔>.由12()()f x f x =，不妨设12x x <，则1201x x <<<. 从而有12()()f x f x -=，即221122(13ln )13ln x x x x --+=-+.所以2212123ln 20x x x x ++-=121223ln 2x x x x >+-.令()23ln 2p t t t =+-，显然()p t 在(0,)+∞上是增函数，且(1)0p =. 所以()001p t t <⇔<<.从而由121223ln 20x x x x +-<，得121x x <.。