第28章 圆复习
_冀教新版九年级上册数学《第28章 圆》单元测试卷(有答案)
冀教新版九年级上册数学《第28章圆》单元测试卷【有答案】一．选择题1．下列说法正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B．三点确定一个圆C．同一条弦所对的两条弧一定是等弧D．半圆是弧2．已知⊙O的半径OA长为1，OB＝，则可以得到的正确图形可能是（）A．B．C．D．3．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（）A．3πB．4πC．6πD．9π4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝100°，CE⊥AB交⊙O于点E，连接OB、OE，则∠BOE的度数为（）A．18°B．20°C．25°D．40°5．如图，在⊙O中，弦AC，BD交于点E，连结AB、CD，在图中的“蝴蝶”形中，若AE＝，AC＝5，BE＝3，则BD的长为（）A．B．C．5D．6．如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若＝150°，∠A＝75°，∠D＝60°，则的度数为何？（）A．25°B．40°C．50°D．60°7．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BOC＝70°，则∠A的度数为（）A．35°B．40°C．55°D．70°8．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，∠AOB＝60°，点C是的中点，CD⊥AB，且CD＝5m，则这段弯路所在圆的半径为（）A．（20﹣10）m B．20m C．30m D．（20+10）m 9．如图，△OAC按顺时针方向旋转，点O在坐标原点上，OA边在x轴上，OA＝8，AC＝4，把△OAC绕点A按顺时针方向转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（4，4）则在这次旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为（）A．8πB．πC．2πD．48π10．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D是BC中点，∠CAD＝∠CBE，则AE＝（）A．4B．3C．2D．二．填空题11．如图，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，且E分AB所得线段比为1：3，若AB ＝4，DE﹣CE＝2，则CD的长为．12．一个圆柱体的侧面积是188.4dm2，底面半径是2dm，它的高是dm．（π≈3.14）13．如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝65°．则∠CDB的大小等于．14．如图，O是△ABC的外心，∠ABC＝42°，∠ACB＝72°，则∠BOC＝°．15．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝5cm，则该圆锥的母线长l＝12cm，扇形的圆心角θ＝°．16．为了销售方便，售货员把啤酒捆成如图形状，如果捆一圈，接头不计，问至少用绳子厘米．17．如图，⊙O是ΔABC的外接圆，∠ABC＝30°，AC＝8，则优弧ABC的长为．18．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE 的长为．19．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝12cm，则球的半径为cm．20．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝72°，则∠CAD的度数为．三．解答题21．如图，在⊙O中，若＝，且AD＝3，求CB的长度．22．已知，如图，四边形ABCD的顶点都在同一个圆上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．（1）求∠A、∠B的度数；（2）若D为的中点，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积．23．如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，求此扇形的面积．24．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2．（1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠C＝75°，求∠AEB的度数；（3）若∠AEC＝90°，当△AEC的外心在直线DE上时，CE＝2，求AE的长．25．如图所示，圆柱的高4cm，底面半径3cm，请求出该圆柱的表面积和体积．26．如图，点A、B、C在⊙O上，AB＝CB＝9，AD∥BC，CD⊥AD，且AD＝2．（1）求线段CD、AC的长；（2）求⊙O的半径．27．在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，点P为线段BC上一动点，当点P运动到某一位置时，它到点A，B的距离都等于a，到点P的距离等于a的所有点组成的图形为W，点D为线段BC延长线上一点，且点D到点A的距离也等于a．（1）求直线DA与图形W的公共点的个数；（2）过点A作AE⊥BD交图形W于点E，EP的延长线交AB于点F，当a＝2时，求线段EF的长．参考答案与试题解析一．选择题1．解：A、长度相等的两条弧不一定是等弧，所以A选项错误；B、不共线的三点确定一个圆，所以B选项错误；C、同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，所以C选项错误；D、半圆是弧，所以D选项正确．故选：D．2．解：∵⊙O的半径OA长1，若OB＝，∴OA＜OB，∴点B在圆外，故选：D．3．解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴BD＝CD，AD⊥BC，∵EF是AC的垂直平分线，∴点O是△ABC外接圆的圆心，∵OA＝3，∴△ABC外接圆的面积＝πr2＝π×32＝9π．故选：D．4．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝100°，∴∠ABC＝180°﹣∠D＝80°，∵CE⊥AB，∴∠ECB+∠ABC＝90°，∴∠BCE＝90°﹣80°＝10°，∵在同圆或等圆中，圆周角是所对弧的圆心角的一半，∴∠BOE＝2∠BCE＝20°，故选：B．5．解：EC＝AC﹣AE＝，由相交弦定理得，AE•EC＝DE•BE，则DE＝＝，∴BD＝DE+BE＝，故选：B．6．解：连接OB、OC，∵OA＝OB＝OC＝OD，∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，∵∠A＝75°，∠D＝60°，∴∠1＝180°﹣2∠A＝180°﹣2×75°＝30°，∠2＝180°﹣2∠D＝180°﹣2×60°＝60°，∵＝150°，∴∠AOD＝150°，∴∠3＝∠AOD﹣∠1﹣∠2＝150°﹣30°﹣60°＝60°，则的度数为60°．故选：D．7．解：∵如图，∠BOC＝70°，∴∠A＝∠BOC＝35°．故选：A．8．解：∵点O是这段弧所在圆的圆心，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB ＝OA ＝OB ，设AB ＝OB ＝OA ＝rm ，∵点C 是的中点，∴OC ⊥AB ，∴C ，D ，O 三点共线，∴AD ＝DB ＝rm ，在Rt △AOD 中，∴OD ＝r ，∵OD +CD ＝OC ，∴r +5＝r ，解得：r ＝（20+10）m ，∴这段弯路的半径为（20+10）m 故选：D ．9．解：过O ′作O ′M ⊥OA 于M ，则∠O ′MA ＝90°，∵点O ′的坐标是（4，4）， ∴O ′M ＝4，OM ＝4， ∵AO ＝8，∴AM ＝8﹣4＝4，∴tan ∠O ′AM ＝＝， ∴∠O ′AM ＝60°，即旋转角为60°，∴∠CAC ′＝∠OAO ′＝60°，∵把△OAC 绕点A 按顺时针方向旋转到△O ′AC ′， ∴S △OAC ＝S △O ′AC ′，∴阴影部分的面积S ＝S扇形OAO ′+S △O ′AC ′﹣S △OAC ﹣S 扇形CAC ′＝S 扇形OAO ′﹣S 扇形CAC ′＝﹣＝8π，故选：A ．10．解：如图，连接DE，∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，∴∠C＝∠BAC＝45°，AC＝AB＝4，∵D是BC中点，∴CD＝BC＝2，∵∠CAD＝∠CBE，∴点A，点B，点D，点E四点共圆，∴∠ABD＝∠DEC＝90°，∴∠C＝∠EDC＝45°，∴DE＝CE＝CD＝，∴AE＝AC﹣CE＝3，故选：B．二．填空题11．解：∵E分AB所得线段比为1：3，AB＝4，∴AE＝1，EB＝3，由相交弦定理得，AE•EB＝CE•ED，∴1×3＝CE×（CE+2），解得，CE1＝1，CE2＝﹣3（舍去），则CE＝1，DE＝2，∴CD＝1+3＝4，故答案为：4．12．解：∵底面半径是2dm，∴圆柱的底面周长为：4πdm，∵圆柱体的侧面积是188.4dm2，∴高为：188.4÷4π≈15dm，故答案为：15．13．解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ADC＝∠ABC＝65°，∴∠CDB＝90°﹣65°＝25°．故答案为25°．14．解：∵∠ABC＝42°，∠ACB＝72°，∴∠BAC＝180°﹣42°﹣72°＝66°，∵O是△ABC的外心，∴以O为圆心，OB为半径的圆是△ABC的外接圆，∴∠BOC＝2∠BAC＝132°．故答案为132，15．解：根据题意得＝2π•5，解得θ＝150．故答案为150．16．解：如图所示：圆的直径为：7cm．则根据题意得：7×4+7π＝28+7π≈49.98（cm）答：捆一圈至少用绳子49.98cm．17．解：如图，连接OA，OC．∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝OC＝AC＝8，∴优弧ABC的长＝＝，故答案为．18．解：连接BE，如图所示：∵OD⊥AB，AB＝8，∴AC＝AB＝4，设⊙O的半径OA＝r，∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，在Rt△OAC中，由勾股定理得：r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5，∴AE＝2r＝10；∵OD＝5，CD＝2，∴OC＝3，∵AE是直径，∴∠ABE＝90°，∵OC是△ABE的中位线，∴BE＝2OC＝6，在Rt△CBE中，CE＝＝＝2，故答案为：2．19．解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN＝CD＝12，设OF＝xcm，则ON＝OF，∴OM＝MN﹣ON＝12﹣x，MF＝6，在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2即：（12﹣x）2+62＝x2解得：x＝7.5，故答案为：7.5．20．解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴点A，点B，点C，点D四点共圆，∴∠ABD＝∠ACD＝72°，∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝18°，故答案为：18°．三．解答题21．解：∵＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴CB＝AD＝3．22．解：（1）设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、4x，∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，即2x+4x＝180°，解得，x＝30°，∴∠A、∠B分别为60°、90°；（2）连接AC，∵∠B＝90°，∴AC为圆的直径，AC＝＝5，△ABC的面积＝×3×4＝6，∠D＝90°，∵点D为的中点，∴AD＝CD＝AC＝，∴△ADC的面积＝××＝，∴四边形ABCD的面积＝6+＝．23．解：连接AC，∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴AC是⊙O的直径，即AC＝2，∴AB＝BC＝，∴扇形的面积为：＝．24．证明：（1）∵∠ADE＝∠1+∠DCE＝∠2+∠BDE，且∠1＝∠2，∴∠DCE＝∠BDE，且∠A＝∠B，AE＝BE，∴△AEC≌△BED（AAS）（2）∵△AEC≌△BED，∴DE＝EC，∠BED＝∠AEC，∴∠EDC＝∠C＝75°，∴∠1＝180°﹣2×75°＝30°，∵∠BED＝∠AEC，∴∠AEB＝∠1＝30°；（3）∵∠AEC＝90°，∴△AEC的外心是斜边AC的中点，∵△AEC的外心在直线DE上，∴点D是AC的中点，∴AD＝CD＝DE，又∵DE＝EC，∴CD＝EC＝DE，∴△ECD是等边三角形，∴∠C＝60°，∴AE＝EC＝2．25．解：根据圆柱表面积的计算公式可得π×2×3×4+π×32×2＝42π（cm2）．体积π×32×4＝36π（cm3）26．解：（1）作AE⊥BC于E，如图1所示：则AE＝DC，EC＝AD＝2，∴BE＝BC﹣EC＝9﹣2＝7，∴CD＝AE＝＝＝4，∴AC＝＝＝6；（2）作BF⊥AC于F，连接OA，如图2所示：则AF＝CF＝AC＝3，∴BF垂直平分AC，∴BF一定过圆心O，BF＝＝＝6，设⊙O的半径为r，则OF＝6﹣r，在Rt△OAF中，由勾股定理得：（6﹣r）2+32＝r2，解得：r＝，即⊙O的半径为．27．解：（1）直线DA与图形W的公共点的个数为1个；∵点P到点A，B的距离都等于a，∴点P为AB的中垂线与BC的交点，∵到点P的距离等于a的所有点组成图形W，∴图形W是以点P为圆心，a为半径的圆，根据题意补全图形如图所示，连接AP，∵∠B＝22.5°，∴∠APD＝45°，∵点D到点A的距离也等于a，∴DA＝AP＝a，∴∠D＝∠APD＝45°，∴∠PAD＝90°，∴DA⊥PA，∴DA为⊙P的切线，∴直线DA与图形W的公共点的个数为1个；（2）∵AP＝BP，∴∠BAP＝∠B＝22.5°，∵∠BAC＝90°，∴∠PAC＝∠PCA＝67.5°，∴PA＝PC＝a，∴点C在⊙P上，∵AE⊥BD交图形W于点E，∴＝，∴AC＝CE，∴∠DPE＝∠APD＝45°，∴∠APE＝90°，∵EP＝AP＝a＝2，∴AE＝，∠E＝45°，∵∠B＝22.5°，AE⊥BD，∴∠BAE＝67.5°，∴∠AFE＝∠BAE＝67.5°．∴EF＝AE＝．。
2023年新高考数学大一轮复习专题28 空间几何体的结构特征、表面积与体积(原卷版)
专题28空间几何体的结构特征、表面积与体积【考点预测】知识点一：构成空间几何体的基本元素—点、线、面（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体．（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）．知识点二：简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台1．棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；（7）正方体：棱长都相等的长方体．2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．知识点三：简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．知识点四：组合体由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．知识点五：表面积与体积计算公式表面积公式体积公式1．斜二测画法斜二测画法的主要步骤如下：（1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox ，Oy ，建立直角坐标系． （2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于''O x ，''O y ，使45'''∠=x O y （或135），它们确定的平面表示水平平面．（3）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于'x 轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于'y 轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．（4）擦去辅助线．图画好后，要擦去'x 轴、'y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线． 注：4． 2．平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点．【题型归纳目录】题型一：空间几何体的结构特征 题型二：空间几何体的表面积与体积 题型三：直观图 题型四：最短路径问题 【典例例题】题型一：空间几何体的结构特征例1．（2022·全国·模拟预测）以下结论中错误的是（ ） A ．经过不共面的四点的球有且仅有一个 B ．平行六面体的每个面都是平行四边形 C ．正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直 D ．棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直例2．（2022·全国·高三专题练习（文））下列说法正确的是（ ） A ．经过三点确定一个平面B ．各个面都是三角形的多面体一定是三棱锥C ．各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱D ．一个三棱锥的四个面可以都为直角三角形例3．（2022·海南·模拟预测）“三棱锥P ABC -是正三棱锥”的一个必要不充分条件是（ ） A ．三棱锥P ABC -是正四面体 B ．三棱锥P ABC -不是正四面体 C ．有一个面是正三角形 D ．ABC 是正三角形且PA PB PC ==例4．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥; ④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3例5．（2022·山东省东明县第一中学高三阶段练习）下列说法正确的是（ ） A ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B ．过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C ．棱锥的所有侧面都是三角形D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台例6．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3例7．（2022·全国·高三专题练习）莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式､定理､解法､函数､方程､常数等是以欧拉名字命名的.欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V ､棱数E ､面数F 之间总满足数量关系2,V F E +-=，此式称为欧拉公式，已知某凸32面体，12个面是五边形，20个面是六边形，则该32面体的棱数为___________；顶点的个数为___________.例8．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））如图，正方体1AC 上、下底面中心分别为1O ，2O ，将正方体绕直线12O O 旋转360︒，下列四个选项中为线段1AB 旋转所得图形是（ ）A ．B ．C ．D ．例9．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）（多选）A ．①是棱台B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④是棱柱例10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））碳60（60C ）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2．则其六元环的个数为__________.【方法技巧与总结】 熟悉几何体的基本概念.题型二：空间几何体的表面积与体积例11．（多选题）（2022·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（ ）A ．高为BC ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22例12．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设一圆锥的侧面积是其底面积的3倍，则该圆锥的高与母线长的比值为（ ）A ．89B C D ．23例13．（2022·云南·二模（文））已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为62，所有棱长之和为40，则线段1AC 的长为（ ）A B C D例14．（2022·福建省福州第一中学三模）已知AB ，CD 分别是圆柱上､下底面圆的直径，且AB CD ⊥，.1O ，O 分别为上､下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥A BCD -的体积为18，则该圆柱的侧面积为（ ） A ．9π B ．12π C ．16π D ．18π例15．（2022·河南·模拟预测（文））在正四棱锥P ABCD -中，AB =P ABCD -的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（ ）AB ．C ．D ．例16．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭ABCD EFHG -，其中上底面与下底面的面积之比为1:4，方亭的高h EF =，BF =，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和 ）A ．24B ．643C ．563D ．16例17．（2022·湖南·高三阶段练习）如图，一种棱台形状的无盖容器（无上底面1111D C B A ）模型其上、下底面均为正方形，面积分别为24cm ，29cm ，且1111A A B B C C D D ===，若该容器模型的体积为319cm 3，则该容器模型的表面积为（ ）A ．()29cmB ．219cmC ．()29cmD ．()29cm例18．（2022·海南海口·二模）如图是一个圆台的侧面展开图，其面积为3π，两个圆弧所在的圆半径分别为2和4，则该圆台的体积为（ ）A B C D例19．（2022·全国·高三专题练习）圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．例20．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知圆柱12O O 的底面半径为1，高为2，AB ，CD 分别为上、下底面圆的直径，AB CD ⊥，则四面体ABCD 的体积为（ ） A ．13B ．23C ．1D ．43例21．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧．图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图．它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为2．若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为________．例22．（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知一个圆柱的体积为2 ，底面直径与母线长相等，圆柱内有一个三棱柱，与圆柱等高，底面是顶点在圆周上的正三角形，则三棱柱的侧面积为__________.例23．（2022·上海闵行·二模）已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的___________倍.例24．（2022·浙江绍兴·模拟预测）有书记载等角半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图，将正四面体沿相交于同一个顶点的三条梭上的3个点截去一个正三棱锥，如此共截去4个正三棱锥，若得到的几何体是一个由正三角形与正六边形围成的等角半正多面体，且正六边形的面积为2，则原正四面体的表面积为_________．例25．（2022·上海徐汇·三模）设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线ABAB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的侧面积为___________.例26．（2022·全国·高三专题练习）中国古代的“牟合方盖”可以看作是两个圆柱垂直相交的公共部分，计算其体积所用的“幂势即同，则积不容异”是中国古代数学的研究成果，根据此原理，取牟合方盖的一半，其体积等于与其同底等高的正四棱柱中，去掉一个同底等高的正四棱锥之后剩余部分的体积（如图1所示）．现将三个直径为4的圆柱放于同一水平面上，三个圆柱的轴所在的直线两两成角都相等，三个圆柱的公共部分为如图2，则该几何体的体积为___________．【方法技巧与总结】熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角. 题型三：直观图例27．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知用斜二测画法画出的ABC 的直观图是边长为a 的正三角形，原ABC 的面积为 __．例28．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）如图，梯形ABCD 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中45ABC ∠=︒，1AB AD ==，DC BC ⊥，则原图形的面积为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．1例29．（2022·全国·高三专题练习）如图，△ABC 是水平放置的△ABC 的斜二测直观图，其中2O C O A O B ''''''==，则以下说法正确的是（ ）A ．△ABC 是钝角三角形B ．△ABC 是等边三角形C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是等腰三角形，但不是直角三角形例30．（2022·全国·高三专题练习）如图，水平放置的四边形ABCD 的斜二测直观图为矩形A B C D ''''，已知2,2A O O B B C =='''''='，则四边形ABCD 的周长为（ ）A ．20B ．12C ．8+D ．8+例31．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，已知等腰直角三角形O A B '''△，O A A B ''''=是一个平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（ ）A B ．1 C D ．例32．（2022·全国·高三专题练习）一个三角形的水平直观图在x O y '''是等腰三角形，底角为30，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B 到x 轴距离是（ ）A ．1B ．2CD ．【方法技巧与总结】斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：S 直原． 题型四：最短路径问题例33．（多选题）（2022·广东广州·三模）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，在轴截面ABCD 中，2cm AB AD BC ===，且2CD AB =，则（ ）A ．该圆台的高为1cmB ．该圆台轴截面面积为2C 3D ．一只小虫从点C 沿着该圆台的侧面爬行到AD 的中点，所经过的最短路程为5cm例34．（2022·河南洛阳·三模（理））在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1CC 上的动点，则1D E EB +的最小值为___________.例35．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,1,90AA AB BC ABC ===∠=︒，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，则下列判断正确的有___________.（填序号）②存在点E ，使得1A EA ∠为钝角③截面1AEC 周长的最小值为例36．（2022·河南·二模（理））在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，P 是线段1BC 上的一动点，则1A P PC +的最小值为________.例37．（2022·陕西宝鸡·二模（文））如图，在正三棱锥P ABC -中，30APB BPC CPA ∠=∠=∠=，4PA PB PC ===，一只虫子从A 点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A 点，则虫子爬行的最短距离是___________.例38．（2022·安徽宣城·二模（理））已知正四面体ABCD 的棱长为2，P 为AC 的中点，E 为AB 中点，M 是DP 的动点，N 是平面ECD 内的动点，则||||AM MN +的最小值是_____________.例39．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））如图，圆柱的轴截面ABCD 是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A 出发绕圆柱表面爬到BC 的中点E ，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）A ．B ．C ．D例40．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））一竖立在水平地面上的圆锥形物体，一只蚂蚁从圆锥底面圆周上一点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P 点，已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）A ．3B ．C ．πD ．2π【方法技巧与总结】此类最大路径问题：大胆展开，把问题变为平面两点间线段最短问题． 【过关测试】一、单选题1．（2022·河北·高三阶段练习）已知圆锥的高为1，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）A ．2B ．52C D ．32．（2022·全国·模拟预测（文））若过圆锥的轴SO 的截面为边长为4的等边三角形，正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，B ，C ，D 在圆锥底面上，1A ，1B ，1C ，1D 在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（ ）A ．B ．C ．(2D ．(23．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（ ） A ．43 B ．43πC ．83D ．83π4．（2022·广东深圳·高三阶段练习）通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm 和4cm ）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（ ）AB ．1cmCD 5．（2022·全国·高三专题练习）已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC 水平放置的直观图（斜二测画法）为A B C '''，其中1O A O B O C ''''''===，则此三棱柱的表面积为（ ）A．4+B ．8+C ．8+D ．8+6．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）已知某圆锥的侧面积为的半径为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．（2022·山西大同·高三阶段练习）正四棱台的上､下底面的边长分别为2､4，侧棱长为2，则其体积为（ ）A ．56B C ．D ．5638．（2022·江西九江·三模（理））如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r .若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a ，则ra=（ ）A B ．34C ．2D ．)3129．（2022·浙江湖州·模拟预测）如图，已知四边形ABCD ，BCD △是以BD 为斜边的等腰直角三角形，ABD △为等边三角形，2BD =，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △在翻折的过程中，下列结论中不正确．．．的是（ ）A ．BD PC ⊥B ．DP 与BC 可能垂直C ．直线DP 与平面BCD 所成角的最大值是45︒D ．四面体PBCD 10．（2022·全国·高三专题练习）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．2.65≈）（ ） A ．931.010m ⨯ B ．931.210m ⨯C ．931.410m ⨯D ．931.610m ⨯二、多选题11．（2022·河北·高三阶段练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，P 是1A D 上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）A ．BPB ．PA PC +C ．当P 在直线1AD 上运动时，三棱锥1B ACP -的体积不变D ．以点B 1AB C 12．（2022·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V ，则（ ）A ．322V V =B ．31V V =C ．312V V V =+D ．3123V V =13．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1A C 上的动点，点M ，N 分别为线段11A C ，1CC 的中点，则下列说法正确的是（ ） A ．11A P AB ⊥ B ．三棱锥1M B NP -的体积为定值 C ．[]160,120APD ∠∈︒︒D ．1AP D P +的最小值为2314．（2022·湖北·高三阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧,DE AC 所在圆的半径分别是3和9，且120ABC ∠=，则该圆台的（ ）A ．高为B ．体积为3C ．表面积为34πD ．上底面积､下底面积和侧面积之比为1:9:22三、填空题15．（2022·全国·高三专题练习）已知一三角形ABCA B C '''(如图)，则三角形ABC 中边长与正三角形A B C '''的边长相等的边上的高为______．16．（2022·上海·模拟预测）已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为___________；17．（2022·新疆·三模（理））已知一个棱长为a 的正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面半径为1，母线长为2，则a 的最大值为______.18．（2022·吉林长春·高三阶段练习（理））中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，如图（1）（2）.刘徽未能求得牟合方盖的体积，直言“欲陋形措意，惧失正理”，不得不说“敢不阙疑，以俟能言者”.约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等，如图（3）（4）.已知八分之一的正方体去掉八分之一的牟合方盖后的剩余几何体与长宽高皆为八分之一正方体棱长的倒四棱锥“等幂等积”，祖暅由此推算出牟合方盖的体积.据此可知，若正方体的棱长为1，则其牟合方盖的体积为______. 四、解答题19．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）如图，已知四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，且1,4,5AB DC AB DC PM PC ==∥.(1)求证：PA 平面MDB ；(2)当直线,PC PA 与底面ABCD 所成的角都为4π，且4,DC DA AB =⊥时，求出多面体MPABD 的体积.20．（2022·全国·南宁二中高三期末（文））图1是由矩形ABGF ，Rt ADE △和菱形ABCD 组成的一个平面图形，其中2AB =，1==AE AF ，60BAD ∠=︒，将该图形沿AB ，AD 折起使得AE 与AF 重合，连接CG ，如图2.(1)证明：图2中的C ，D ，E ，G 四点共面； (2)求图2中三棱锥C BDG -的体积.21．（2022·全国·高三专题练习）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°．(1)求证：BC 1⊥平面ABC ；(2)E 是棱CC 1上的一点，若三棱锥E －ABC CE 的长．22．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，112224AC AA AB AC BC =====，160BAA ∠=︒．(1)证明：平面ABC ⊥平面11AA B B ．(2)设P 是棱1CC 上一点，且12CP PC =，求三棱锥111A PB C -体积．。
冀教版数学九年级上册第二十八章圆综合测试
第28章综合测试一、选择题1．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在QO 上，∠B=50 o ，则∠A 等于( )A ．80 oB ．60 oC ．50 oD ．40 o2．如图，OA 、OB 、OC 两两不相交，且半径都是2 cm ，则图中三个扇形(阴影部分)的面积之和为( )A ．12πcm 2B ．4π cm 2C ．π cm 2D ．2 π cm 23．⊙O 的半径为R ，若∠AOB＝α，则弦AB 的长为( )A ．22RsinαB ．2Rsin αC ．22RcosαD ．Rsin α4．使用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆形的凹面，成半圆形的为合格，如图所示的四种情况中合格的是( )A ．B ．C ．D ．5．⊙O 的直径是15cm ，CD 经过圆心O ，与⊙O 交于C 、D 两点，垂直弦AB 于M ，且OM ：OC=3 ：5，则AB=（ ） A ．24cmB ．12cmC ．6cmD ．3cm6．已知一个扇形的圆心角为60°，半径为5，则扇形的周长为( ) A ．53π B ．5103π+C ．56πD ．5106π+7．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=2，分别以点A 、C 为圆心，AD 、CB 为半径画弧，交AB 于点E ，交CD 于点F ，则图中阴影部分的面积是（ ）A．4–2πB．8–π2C．8–2πD．8–4π8．如图，将半径为2，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为，，连接，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．9．如图，⊙的直径垂直于弦，则的大小是（）A．B．C．D．10．如图5，在中，在中，是直径，是弦，，垂足为，连接，则下列说法中正确的是（）A ．B．C．D．11．如图，是的直径，弦于点，若，则弦的长是（）A．B．C．D．12．点为半径是3的圆周上两点，点为的中点，以线段、为邻边作菱形,顶点恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（）A．或B．或C．或D．或13．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45度．给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣弧DE 的2倍；⑤AE=BC．其中正确结论的序号是（）A．①②③B．①②④C．①②⑤D．①②③⑤14．如图，AC⊥BC，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是（）A．B．C．D．15．如右图，内接于⊙O，，，是⊙O的直径，BD交AC于点E，连结DC，则等于（）A．70°B．110°C．90°D．120°16．如图，已知⊙O的半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB＝16Cm，CD＝6Cm，则⊙O的半径为（）A．Cm B．10Cm C．8Cm D．Cm17．如下图，当宽为3 cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为( )A．B．C．5 D．418．如图，O的直径AB的长为10，弦AC长为6，ACB的平分线交O于D，则CD 长为（）A．7B．72 C．82 D．919．如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为（3，－1），AB=22．将⊙P向上平移，当⊙P与x轴相切时平移的距离是（）A．1B．3C．23D．320．如图，已知⊙O 的半径为2，AB是⊙O的弦，将劣弧AB沿弦AB翻折，恰好经过圆心O，连接OA、OB，得到阴影部分的扇形，剪下阴影部分围成圆锥，则圆锥的底面半径是（）A．12B．23C．13D．121．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦AC的长为3，sinB=34，则⊙O的半径为( )A ．4B ．3C ．2D ．322．如图，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上一点，且AC 为半圆的13，设扇形AOC 、△COB、弓形BmC 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则下列结论正确的是（ ）A ．1S <2S <3SB ．3S <2S <1SC ．2S <3S <1SD ．2S <1S < 3S23．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以BC 为直径画半圆交AB 于E ，交AC 于D, , CD 的度数为40°则∠A 的度数是（ ）A ．40°B ．70°C ．50°D ．20°24．如图，90AOB ∠=︒，C ，D 是AB 的三等分点，AB 分别交OC ，OD 于点E ，F ，则下列结论正确的个数有（ ）①2AE BF CD +=; ②AE BF CD ==; ③2AE BF CD =; ④AE BF CD =>. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个25．已知点A ，B ，且4AB <，画经过A ，B 两点且半径为2的圆有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个26．如图，一块边长为8 cm 的正三角形木板ABC ，在水平桌面上绕点B 按顺时针方向旋转至A′BC′的位置时，顶点C从开始到结束所经过的路径长为(点A、B、C′在同一直线上) ( )cmA．16πB．83πC．643πD．163π27．已知半径为5的⊙O中，弦AB=52，弦AC=5，则∠BAC的度数是（）A．15°B．210°C．105°或15°D．210°或30°28．以下命题：①直径相等的圆是等圆；②长度相等弧是等弧；③相等的弦所对的弧也相等；④圆的对称轴是直径；⑤相等的圆周角所对的弧相等；其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．129．如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，则劣弧．．MN的长度为（）A．15πB．25πC．3πD．13π30．如图，已知⊙A在平面直角坐标系中，⊙A与x轴交于点B，C，与y轴交于点D，E，若圆心A的坐标为（-4，6），点B的坐标为（-12，0），则DE的长度为（）A．21B．21C．8D．1631．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，弧AC，弧BC的中点分别是M，N，P，Q. 若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB的长是（）A ．92B ．907C ．13D ．1632．如图AB 为圆O 的直径，过O 作直线OP 交圆O 于C ，且45POB ∠=︒，将射线OP 从点O 沿OA 平移到点A ，设COB x ∠=︒，则x 的取值范围为（ ）A ．4590x ︒≤≤︒B ．45135x ︒≤≤︒C ．45180x ︒≤≤︒D ．90135x ︒≤≤︒33．如图，已知扇形的圆心角为，半径为1，将它沿着箭头方向无滑动滚动到位置，则有:①点到的路径是→→； ②点到的路径是→→；③点在→段上的运动路径是线段；④点到所经过的路径长为；以上命题正确的序号是:( )A ．②③B ．③④C ．①④D ．②④34．如图所示，已知⊙O 的半径为8cm ，把弧A 1mB 1沿A 1B 1翻折使弧A 1mB 1经过圆心O ，这个过程记为第一次翻折；将弧A 2OB 2沿着A 2B 2翻折使弧A 2OB 2经过A 1B 1的中点，其中A 2B 2∥A 1B 1，这个过程记为第二次翻折；……按照这样的规律翻折下去，第4次翻折的折痕A 4B 4长度为（ ）A．31B．312C．D．15二、填空题35．两个同心圆的直径分别为5 cm和3 cm，则圆环部分的宽度为_____ cm.36．如图，三个皮带轮的半径都是1，圆心距AC=3，BC=33．AB=6，则皮带的总长度为_____________．37．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB的度数是20°，AB的长为π，则⊙O的半径是__________．38．如图弦AC，BD相交于E，并且AB BC CD==,∠BEC=110°,则∠ACD的度数是___________.39．如图所示，AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到点D，AD=AB，若∠ADB=35°，则∠BOC=________．40．如图，某传送带的一个转动轮的半径为20cm，当物体从A传送4πcm至B时，那么这个转动轮转了_____________度．( 取3.14，结果保留四个有效数字)41．如图5，在中，，以直角边为直径作半圆交于点，以为边作等边，延长交于点，，则图中阴影部分的面积为．(结果不取近似值)42．如果等边三角形的外接圆的直径为23，那么它的边长为__ .43．如图，Rt△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB=4，⊙O与斜边AB相切于点C，则图中阴影部分的面积为．44．如图，在扇形OAB中，∠AOB=105°，半径OA=10，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕BC交OA于点C，则图中阴影部分面积为．45．如图,AB是⊙O直径,弦AD、BC相交于点E,若CD=5,AB=13,则DEBE=_____．46．高速公路的隧道和桥梁最多．图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA= 米．47．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=25°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于D，若AC=6，则弧AD的长为_________．48．如图（1），水平地面上有一面积为7.5πcm2的灰色扇形AOB，其中OA的长度为3cm，且与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图（1）的扇形向右滚动至OB垂直地面为止，如图（2）所示，则点O移动的距离为cm．49．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是⊙O的直径，AB⊥MN 于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为________．三、解答题50．如图，为半圆的直径，是⊙的一条弦，为的中点，作,交的延长线于点,连接.（1）求证：为半圆的切线；（2）若，求阴影区域的面积.（结果保留根号和π）51．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．（1）求证：OF∥BC；（2）求证：△AFO≌△CEB；（3）若EB=5cm，CD=103cm，设OE=x，求x值及阴影部分的面积52．如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=12AB，证明：OM=12CD．53．如图，已知在⊙O中，直径AB为8cm，弦AC为4cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，连接BC，AD．（1）求BC的长．（2）求∠CAD的度数．54．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF是过点C的⊙O的切线，AD⊥EF 于点D．（1）求证：∠BAC=∠CAD；（2）若∠B=30°，AB=12，求弧AC的长．55．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C．D为圆上两点，且，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．（1）试说明：DE＝BF；（2）若∠DAB＝60°，AB＝8，求△ACD的面积．56．在10×10的网格纸上建立平面直角坐标系如图所示．在Rt△ABO中，∠OAB=90°，且点B的坐标为（3，4）．（1）画出△OAB向左平移3个单位后的△O1A1B1，写出点B1的坐标；（2）画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后的△OA2B2，并求点B旋转到点B2时，点B经过的路线长（结果保留π）参考答案1-5.DDACB6-10.BCCBD11-15.BDBAB16-20.AABDB21-25.CDACC26-30.DCDBB31-34.CABA35.136.9+33+237.9 238.75°39.140°40.36°41.3﹣π．42.3.43.8－2π44.45.5 1346.47.5 348.5π49.7250.（1）连接OD，∵D为的中点，∴∠CAD=∠BAD，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO，∴∠CAD=∠ADO，∵DE⊥AC，∴∠E=90°，∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°，∴OD⊥EF，∴EF为半圆O的切线；（2）连接OC与CD，∵DA=DF，∴∠BAD=∠F，∴∠BAD=∠F=∠CAD，又∵∠BAD+∠CAD+∠F=90°，∴∠F=30°，∠BAC=60°，∵OC=OA，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC=60°，∠COB=120°，∵OD⊥EF，∠F=30°，∴∠DOF=60°，在Rt△ODF中，DF=6，∴OD=DF•tan30°=6，在Rt△AED中，DA=6，∠CAD=30°，∴DE=DA•sin30°·，EA=DA•cos30°=9，∵∠COD=180°﹣∠AOC﹣∠DOF=60°，∴CD∥AB，故S△ACD=S△COD，∴S阴影=S△AED﹣S扇形COD=×9×3﹣π×62=﹣6π．51.（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OF⊥AC，∴OF∥BC；（2）∵OF∥BC，∴∠AOF=∠B，∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴∠BEC=90°，∵OF ⊥AC ，∴∠AFO=∠BEC=90°，∵在△AFO 和△CEB 中∠AFO=∠CEB ，OF=BE ，∠AOF=∠B ，∴△AFO ≌△CEB （ASA ）；（3）连接OD ，由垂径定理得：CE=DE=53cm ， ∵EB=5cm ， ∴∠ABC=60°，因为OB=OC ，则△OBC 是等边三角形，∴∠BOC=60°，则弧CD 所对的圆心角是120°，在Rt △OCE 中，由勾股定理得：()()222553x x +=+ ，x=5（cm ）， 则扇形COD 的面积为212010100=3603ππ 2cm . ∵OE=5cm ，∴△COD 的面积为11035=2532⨯⨯ 2cm ； ∴阴影部分面积为：100-2533π ()2cm . 52.设圆的半径是r ，ON=x ，则AB=2x ，在直角△CON 中，CN=2222-OC ON r x -= ，∵ON ⊥CD ，∴CD=2CN=222-r x ，∵OM ⊥AB ，∴AM=AB=x ，在△AOM 中，OM=2222-OA AM r x -=，∴OM=CD ．53.（1）4；（2）105°．54.（1）∵AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF是过点C的⊙O的切线，AD⊥EF于点D，∴∠ACD=∠ABC，∠ACB=∠ADC=90°，∴∠BAC=∠CAD．（2）∵∠B=30°，AB=12，∴∠AOC=60°，r=AB=6，弧AC的长==2π．55.（1）在和中，在和中，是的直径，56.（1）B1（0，4）；（2）52 ．。
第28章《圆》常考题集(35)：28.3 圆中的计算问题
第28章《圆》常考题集（35）：28.3 圆中的计算问题解答题271．已知圆锥的底面半径为r＝20cm，高h＝cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A 出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．272．在圣诞节，小明自己动手用纸板制作圆锥形的圣诞老人帽．圆锥帽底面直径为18cm，母线长为36cm，请你计算制作一个这样的圆锥帽需用纸板的面积．（精确到个位）273．如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为6cm．（1）请用尺规作出扇形的对称轴（不写作法，但应保留作图痕迹）；（2）若将此扇形围成一个圆锥的侧面（不计接缝），求圆锥的高．274．高晗和吴逸君两同学合作，将半径为1m、圆心角为90°的扇形薄铁板围成一个圆锥筒，在计算圆锥的容积（接缝忽略不计）时，吴逸君认为圆锥的高就等于扇形的圆心O 到弦AB的距离OC（如图），高晗说这样计算不正确．你同意谁的说法？把正确的计算过程写出来．275．小丽要制作一个圆锥模型，要求圆锥的母线长为9cm，底面圆的直径为10cm，那么小丽要制作的这个圆锥模型的侧面展开扇形的纸片的圆心角是多少度制成的？圆锥模型的全面积是多少？276．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A，B，C请在网格图中进行下列操作：（1）请在图中确定该圆弧所在圆的圆心D的位置，D点坐标为；（2）连接AD，CD，则⊙D的半径为（结果保留根号），扇形DAC的圆心角度数为；（3）若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为（结果保留根号）．277．如图1，O为圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD，沿母线AB剖开，得剖面矩形ABCD，AD＝24cm，AB＝25cm．若的长为底面周长的，如图2所示．（1）求⊙O的半径；（2）求这个圆柱形木块的表面积．（结果可保留π和根号）278．课堂上，师生一起探究知，可以用已知半径的球去测量圆柱形管子的内径．小明回家后把半径为5cm的小皮球置于保温杯口上，经过思考找到了测量方法，并画出了草图（如图）．请你根据图中的数据，帮助小明计算出保温杯的内径．279．从卫生纸的包装纸上得到以下资料：两层300格，每格11.4cm×11cm，如图甲．用尺量出整卷卫生纸的半径（R）与纸筒内芯的半径（r），分别为5.8cm和2.3cm，如图乙．那么该两层卫生纸的厚度为多少cm？（π取3.14，结果精确到0.001cm）280．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y ＝x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．281．在边长为1的方格纸中建立直角坐标系xoy，O、A、B三点均为格点．（1）直接写出线段OB的长；（2）将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA′B′．请你画出△OA′B′，并求在旋转过程中，点B所经过的路径的长度．282．如图是一个几何体的三视图．（1）写出这个几何体的名称；（2）根据所示数据计算这个几何体的表面积；（3）如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这个线路的最短路程．283．如图，是一个几何体的二视图，求该几何体的体积．（π取3.14）284．如图是某几何体的展开图．（1）这个几何体的名称是；（2）画出这个几何体的三视图；（3）求这个几何体的体积．（π取3.14）第28章《圆》常考题集（35）：28.3 圆中的计算问题参考答案解答题271．；272．；273．；274．；275．；276．；；；；277．；278．；279．；280．；281．；282．；283．；284．圆柱；。
初三数学《圆》全章测试及答案
北京市第八中学分校202010月初三数学总复习圆 全章测试题班级： 姓名： 分数： 一、选择题 （每题4分，共32分）1．如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,AB ⊥CD 于点E, 若AB=10,CD=6,则OE 的长是( ).A.4B.3C.2D.12．半径分别为3和7的两个圆的圆心距为d ，若4＜d≤11，则这两个圆的位置关系一定是（ ）A ．相交B ．相切C ．内切或相交D ．外切或相交 3．如图，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，则下列结论中不正确的是（ ）A ．AB ⊥CD B ．∠AOB=4∠ACDC ．AD=BD D ．PO=PD 4. 一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为( )A ．6cmB ．12cmC ．2cm D ．cm5.O 是△ABC 的外心，且∠ABC+∠ACB=100°，则∠BOC=（ ）． A ．100° B ．120° C ．130° D ．160°6.下列语句中,正确的个数是( )个.①相等的圆心角所对的弧相等；②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等；③一边上的中线等于这条边一半的三角形是直角三角形；第1题第3题④等弧所对的圆周角相等；⑤一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的一半A.2B.3C.4D.57．如图已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，∠AOB ＝45°，点P 在数轴上运动，若过点P 与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设OP ＝x ，则x 的取值范围是（ ）A ．0≤x ≤2B ．－2≤x ≤2C ．－1≤x ≤1D ．x ＞28．设计一个商标图案如图中阴影部分，矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，且AB ＝8cm ，以点A 为圆心，AD 为半径作圆与BA 的延长线相交于点F ，则商标图案的面积等于（ ）A ．(4π＋8)cm 2B ．(4π＋16)cm 2C ．(3π＋8) cm 2D ．(3π ＋16)cm 2 二．填空题（每小题3分，共24分）9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊙AB ，若⊙ABD ＝65°，则⊙ADC ＝__________．10．如图，AB 为半圆O 的直径，∠BAC ＝31°，D 为AC 上任意一点，则∠D的度数为__________．11．圆所在平面上的一点到该圆上的最小距离为4cm ，最大距离为10cm ，则该圆的半径为___________．12. 四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且∠A ∶∠B ∶∠C=2∶3∶4，则 ∠D= 度。
九年级数学下册_第28章《锐角三角函数》导学案(共10课时)人教新课标版
C B ACBC BA课题：28．1锐角三角函数（1）年级：九年级 课 型： 新授课 使用时间：2012-2-7.3 课题：28．1锐角三角函数（1） 执笔人：李玉权 审 核 人： 目标导航： 【学习目标】⑴: 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
⑵: 能根据正弦概念正确进行计算 【学习重点】理解正弦（sinA ）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实． 【学习难点】当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
【导学过程】 一、自学提纲：1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，•求AB2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，•求BC二、合作交流：问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，•在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ ； 结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值 思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边 的比值是一个定值吗？•如果是，是多少？结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值 三、教师点拨：斜边c对边abC B A(2)1353B A(1)34CB A从上面这两个问题的结论中可知，•在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于12，是一个固定值；•当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，•它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°， ∠A=∠A ′=a ，那么''''BC B C AB A B 与有什么关系．你能解释一下吗？结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，•∠A 的对边与斜边的比 正弦函数概念：规定：在Rt △BC 中，∠C=90，∠A 的对边记作a ，∠B 的对边记作b ，∠C 的对边记作c ．在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记作sinA ，即sinA= =ac． sinA ＝A a A c ∠=∠的对边的斜边 例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=； 当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ．四、学生展示：例1 如图，在Rt △ABC 中， ∠C=90°，求sinA 和sinB 的值．随堂练习 （1）： 做课本第79页练习．随堂练习 （2）：1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是﹙ ﹚A ．43B ．34 C ．53 D ．542．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA ＝（ ）A ．35B ．45C ．34D ．433． 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=23，则边AC 的长是( )A ．13B ．3C ．43D ． 54．如图，已知点P 的坐标是（a ，b ），则sin α等于（ ）A ．a bB ．ba CD五、课堂小结：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A•的对边与斜边的比都是 ．在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A•的 ，•记作 ，六、作业设置：课本 第85页 习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与正弦函数有关的部分）七、自我反思：本节课我的收获: 。
《道德经》第28章：知其雄，守其...
《道德经》第28章：知其雄，守其...【原文】知其雄，守其雌，为天下谿（xī）①。
为天下谿，常德不离，复归于婴儿。
知其白，守其黑，为天下式②。
为天下式，常德不忒（tè）③，复归于无极。
知其荣，守其辱，为天下谷。
为天下谷，常德乃足，复归于朴④。
朴散则为器，圣人用之，则为官长⑤，故大制不割。
【注释】①谿（xi:一声）：沟溪，山里的小河沟。
②式：这甩可作“模式”、“楷式”讲。
③忒（tè）：差错。
④朴：素材。
老子有时用“朴”来表示“道”。
⑤官：管理的意思。
长：首长、领导的意思。
【译文】知道什么是雄强，却安于雌弱，甘愿做天下的溪涧。
甘愿做天下的溪涧，永恒的德就不会流失，而回复到婴孩般的纯真柔和的境地。
深知什么是明亮，却安守暗昧，甘愿成为天下的范式。
甘愿做天下的范式，永恒的德就不会出差错，而回复到真朴的状态。
深知什么是荣耀，却安守卑辱，甘愿做天下的川谷。
甘愿做天下的川谷，永恒的德才能充足，而回复到自然本初的纯真状态。
真朴的道分散成宇宙万物，有道的人沿用真朴，就会成为百官之长。
所以，完善的政治制度是一个体系，不可分割。
【导读】保持常德，一方面要“知其雄”、“知其白”、“知其荣”，另-一方面也应“守其雌”、“守其黑”、“守其辱”。
即既要有积极前进的一面，也要有谦虚不争的一面。
只有这样才能归于纯朴，利用万物。
正确的制度也是自然而成、不可分割的。
【解析】道的自然法则是两极相生，物极必反。
有道者深明此理，所以自愿处在世俗认为不好的一面。
这样，就消除掉了因处在“好”的一面产生的负面作用，使自己始终保持合于道的完整状态，即“婴儿”、“无极”、“纯朴”的状态，懂得了这个道理，即使做了官，也会进退自如。
这就是“大制不割”的道理。
“知其雄，守其雌，为天下谿。
为天下谿，常德不离，复归于婴儿。
”“雄”即刚强。
“雌”即柔弱。
“复归于婴儿”，即回复到婴儿般的纯真无邪的状态。
老子认为，刚强是有为的表现形式，是不合于道的；而柔弱是无为的表现形式，是合于道的。
2025年中考数学总复习第一部分考点培优训练第28课时与圆有关的位置关系
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10.如图，P是☉O外一点，PA、PB分别和☉O切于A、B，C是 AB上任意一点，过C作☉O的切线分别交PA、PB于D、E，若 △PDE的周长为20 cm，则PA长为_____1_0_c_m______.
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11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是AC边上一点， 以OA为半径的☉O与AB相交于点P，已知CP＝CB. (1)求证：直线CP是☉O的切线.
证明：如图，连接OC. ∵CE是☉O的切线，∴OC⊥CE. ∵AE⊥CE，∴OC∥AE，∴∠EAC＝∠OCA. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠EAC＝∠OAC， ∴DC＝BC，∴BC＝CD.
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(2)若∠CAB＝40°，求∠DCA的度数.
解：∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵∠CAB＝40°，∴∠ABC＝90°－∠CAB＝50°. ∵四边形ABCD是☉O的内接四边形， ∴∠EDC＝∠ABC＝50°. ∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°， ∴∠ECD＝90°－∠EDC＝90°－50°＝40°. 由 (1) 可 得 ∠ EAC ＝ ∠ CAB ＝ 40° ， ∴ ∠ ECA ＝ 90° － ∠ EAC ＝ 50° ， ∴∠DCA＝∠ECA－∠ECD＝50°－40°＝10°.
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C.点P在☉O外
第28章 锐角三角函数 复习学案
第28章锐角三角函数复习学案一、课程学习目标1、了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆0°、30°、45°、60°、90°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；2、能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；3、理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；4、通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受。
二、本章知识结构框图三、知识点与方法（一）正弦、余弦、正切的意义【第1课时】（1）在Rt△ABC中，∠C=90度，则锐角A的与的比叫做∠A的正弦，记作；则锐角A的与的比叫做∠A的余弦，记作；则锐角A的与的比叫做∠A的正切，记作。
（2）锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的。
【练习】1、把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A，A′的余弦值的关系为（）A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′ C．3cosA=cosA′ D．不能确定2、如图1，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且PM：OM=3：4，则cos α的值等于（ ）A ．34B ．43C ．45D ．35图1 图2 图3 3、在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列各项中正确的是（ ）A ．a=c ·sinB B ．a=c ·cosBC ．a=c ·tanBD ．以上均不正确 4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，32cos =A ，则tanB 等于（ ）A ．35B ．C ．25．5、、如图2，在△ABC 中，∠C=90°，BC ：AC=1：2，则sinA=_______，cosA=______，tanB=______．6、如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，b=20，c=220，则∠B 的度数为_______．7、已知：α是锐角，247tan =α，则sin α=_____，cos=_______． 8、如图，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x 轴上，•另一边经过点P ()32,2，求角α的三个三角函数值．9、（2013•自贡）如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O 的圆心在格点上，则∠AED 的余弦值是 。
《第28章圆》知识点复习(华东师大版)
O A
D
C
O A
B
A
O
切线的性质与判定定理
（1）判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵MN⊥OA且MN过半径OA外端
∴MN是⊙O的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心
C
即：∵∠AOB和∠ACB是 A所B 对的圆心角和圆周角
B
∴∠AOB=2∠ACB
或：在⊙O中，∵∠C、∠D都是 AB所对的圆周角
∴∠C=∠D
B
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。
即：在⊙O中，∵AB是直径 ∴∠C=90°
90°的圆周角所对的弦是圆的直径
即：∵∠C=90°∴AB是直径
C
有两个交点 R-r<d<R+r
有一个交点 d=R-r
无交点
d<R-r
d
R
r
图1
d
R
r
图2
d
R
r
图3
d Rr
图4
d
r
R
图5
垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分 弦所对的（两条）弧；平分弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：过圆心 过切点 垂直切线中知道其中两个条件推出最后
一个条件
∵MN是切线
O
∴MN⊥OA
M
A
N
切线长定理
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第28章 圆
复习目标：
1、理解圆的有关性质。
2 掌握与圆有关的位置关系的判定及性质。
3、会进行圆的有关计算和证明。
复习重难点：
重点：掌握与圆有关的位置关系的判定及性质。
难点：会根据不同题目特点选用恰当计算和证明。
复习方法：读---考---改---练 复习过程：
一、板题示标：
二、自学指导：认真阅读教材34----61页的内容，熟记圆的有关性质，
掌握与圆有关的位置关系的判定及性质，认真看课本的例题。
（5分钟之后进行检测）。
三、 考 测试一 （满分50分 ，时间15分钟）
1．在⊿ABC 中，∠C=90°，AB ＝3cm ，BC ＝2cm,以点A 为圆心，以2.5cm 为半径作圆，则点C 和⊙A 的位置关系是（ ）
(A)C 在⊙A 上 (B)C 在⊙A 外 (C)C 在⊙A 内 (D)C 在⊙A 位置不能确定。
2．一个点到圆的最大距离为11cm ，最小距离为5cm,则圆的半径为( ) (A)16cm 或6cm, (B)3cm 或8cm (C)3cm （D ）8cm
3．AB 是⊙O 直径，AB=4，F 是OB 中点，弦CD ⊥AB 于F ，则CD=_________ 4．⊿ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC ，∠BOD ＝36°，则∠A ＝＿＿＿＿
5．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P=40°，则∠BAC=_____．
6．如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于点E ，交AM 于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF ，
（1）求证：OD ∥BE ；
（2）猜想：OF 与CD 有何数量关系？并说明理由．
（第5题图）
第6题
四、出示答案，学生互评，分组讨论、更正，师归纳总结注意事项。
五、练 相信你一定能行！
测试二（每小题5分，满分50分，时间15分钟）
1、在⊿ABC 中，∠C=90°，O 是BC 上的一点，以OB 为半径作
⊙O 交于AB 于D ，交BC 于E ，∠A=30°BD=6，则⊙O 的直径是( ) (A)12 (B) 9 (C) 6 （D)3 2、如图2，AB 切⊙O 于点B ，OA =23，AB =3，弦BC ∥OA ，则劣弧 ⌒BC
的弧长为 3、一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆
锥的全面积是（ ）
4、如图，AB 是半圆的直径，点O 是圆心，点C 是OA 的中点，CD ⊥OA 交半圆于点D ，点E 是
BD 的中点，连接OD 、AE ，过点D 作DP ∥AE 交BA 的延
长线于点P ，
（1）求∠AOD 的度数；
（2）求证：PD 是半圆O 的切线；
A。