2019届江西省新余市高三高考全真模拟考试数学(理)试题Word版含解析

2019届江西省新余市高三高考全真模拟考试数学（理）试题一、选择题1．已知集合2{|60}A x x x =+-<，集合1{|21}x B x -=≥，则A B ⋂=（ ）A. [)3,2-B. (]3,1-C. [)1,2 D. ()1,2 【答案】C【解析】集合{|32}A x x =-<<， {|1}B x x =≥，则{|12}A B x x ⋂=≤<，故选择C.2．已知复数201713aiz i +=-是纯虚数（其中i 为虚数单位， a R ∈），则z =（ ）A. 1B. -1C. iD. i -【答案】C 【解析】()()()()()()20171333111333310ai i a a iai ai z i i i i ++-++++====---+，因为z 为纯虚数，所以30{310a a -=+≠，则3a =， z i =，故选择C.3．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x+=求得x =.类似上述过程，则=（ ）C. 6D. 【答案】A【解析】 由题意结合所给的例子类比推理可得：()0x x =≥， 整理得： ()()130x x +-=，则3x =，3=.本题选择A 选项.4．现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不．正确的（ ） A. 样本中的女生数量多于男生数量B. 样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C. 样本中的男生偏爱理科D. 样本中的女生偏爱文科【答案】D【解析】由条形图知女生数量多于男生数量，有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，男生偏爱理科，女生中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，所以选D. 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 483π-B. 883π- C. 24π- D. 24π+ 【答案】A【解析】根据三视图可知，该几何体是棱长为2 的正方体截去以一个以顶点为球心，2为半径的18球，所以该几何体的体积为3144828833V ππ=-⨯⨯=-，故选择A. 6．执行如图所示的程序框图，若输入的16,4a b ==，则输出的n =（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7 【答案】B【解析】 执行该程序框图，可知第1次循环： 1161624,248,22a b n =+⨯==⨯==； 第2次循环： 1242436,2816,32a b n =+⨯==⨯==；第3次循环： 1363654,21632,42a b n =+⨯==⨯==；第4次循环： 1545481,23264,52a b n =+⨯==⨯==；第5次循环： 12438181,26412822a b =+⨯==⨯=，此时a b ≤成立，输出结果5n =，故选B.7．已知实数x ， y 满足不等式2,23,{0,0,x y x y x y +≤+≤≥≥则32x y +的最大值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 5 【答案】B【解析】绘制不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点()1,1B 处取得最大值5.本题选择D 选项.8．已知双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）的左右焦点分别为()1,0F c -， ()2,0F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆E ： 222216c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）A. y x =±B. y =C. y =D. 2y x =± 【答案】D【解析】设切点为M ,则EM ∥PF 1,又22114F E F F =,所以|PF 1|=4r =b ,所以|PF 2|=2a +b ,因此b 2+(2a +b )2=4c 2， 所以b =2a ，所以渐近线方程为y =±2x . 本题选择D 选项.9．已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（ ） A. 1927,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. [)4,6ππ 【答案】C【解析】由01x ≤≤得444x πππωω≤+≤+，若函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，根据正弦函数图像可知，则应满足46242ππππωπ+≤+<+，解得172544ππω≤<，故选择C.10．某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“演讲团”、“吉他协会”等五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中没有人参加“演讲团”的不同参加方法数为（ ）A. 3600B. 1080C. 1440D. 2520 【答案】C【解析】由于每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，因此可以将问题看成是将6名同学分配到除“演讲团”外的四个社团或三个社团，可以分两类：第一类：先将6人分成四组，分别为1人，1人，2人，2人，再分配到四个社团，不同的参加方法数为221146421422221080C C C C A A A ⋅=种， 第二类：将6人平均分成三组，在分配到除“演讲团”外的四个社团中的任意三个社团，不同的参加方法数为2223642433360C C C A A ⋅=， 所以由以上可知，不同的参加方法数共有1440种，故选择C.方法点睛：排列组合中不同元素的分配问题，往往是先分组，再分配.在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组，②均匀分组，③部分均匀分组，由于分组的无序性，所以在均匀分组和部分均匀分组时，要注意解序，即剔除顺序. 11．已知函数()22,{52,x x af x x x x a+>=++≤，若函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. [)1,1-B. [)1,2-C. [)2,2-D. []0,2 【答案】B 【解析】()22,{32,x x ag x x x x a-+>=++≤，若()0g x =，则应有2x =或1x =-或2x =-，若函数()g x 有三个不同的零点，则应满足12a -≤<，故选择B.方法点睛：函数()y f x =的零点等价于方程()0f x =的实根，等价于函数()y f x =图像与x 轴交点的横坐标.本题先画出函数()g x 的图像，在确定分点a 的取值范围，这里要特别注意端点值能否取得等号.考查数形结合思想在解题中的应用.二、填空题12．平面向量a 与b 的夹角为23π，且()1,0a =， 1b =，则2a b +=__________．【解析】由题1a =， ()222224?414a b a ba ab b ⎛+=+=++=+⨯-= .13．设()()549872899871023x y x y a x a x y a x y a xy a y -+=+++++，则8a =__________．【答案】2【解析】由于8a 是8x y 的系数，所以8a 由两部分构成，一部分是()52x y -展开式中的()11452C x y -与()43x y +展开式中的044C x 相乘所得，另一部分是()52x y -的展开式中的055C x 与()43x y +展开式中的()11343C x y 相乘所得，所以()100185454232a C C C C =⋅-⋅+⋅⋅=. 14．已知点()()121,,9,A y B y 是抛物线22(0)y px p =>上的两点， 210y y >>，点F 是它的焦点，若5BF AF =，则212y y +的值为__________．【答案】10【解析】由抛物线的定义可得1,922p p AF BF =+=+，依据题设可得595222p p p +=+⇒=，则22122414,49366y y y =⨯==⨯=⇒=（舍去负值），故21210y y +=，应填答案10。

15．某沿海四个城市,,,A B C D 的位置如图所示，其中60ABC ∠=， 135BCD ∠=， 80AB nmile =，40BC mile =+， AD =， D 位于A 的北偏东75方向．现在有一艘轮船从A 出发向直线航行，一段时间到达D 后，轮船收到指令改向城市C 直线航行，收到指令时城市C 对于轮船的方位角是南偏西θ度，则sin θ=__________．【答案】2【解析】连接AC，在ABC∆中，根据余弦定理AC ==，再根据正弦定理sin sin AB ACACD B=∠，所以4sin 5ACB ∠=，则显然可求3cos 5ACB ∠=，于是()34sin 135252510ACB ⎛⎫-∠=--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 在ACD ∆中，根据正弦定理()sin sin 135AC AD D ACB =-∠ ，则1sin 2D =，所以30D =，因此根据题意， 753045θ=-=，所以sin 2θ=. 方法点睛：利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解.三、解答题16．已知数列{}n a 满足11a =， 12n n a a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2n n S b =-． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）12362n n n T -+=-【解析】试题分析：（1）本问考查求数列的通项公式，根据12n n a a +=+可知12n n a a +-=，所以{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，可求{}n a 的通项公式，根据11,1{,2n n n b n b S S n -==-≥可求数列{}n b 的通项公式；（2）根据第（1）问可知1212n n n n n c a b --==，求数列{}n c 的前n 项和n T ，用错位相减法，乘公比、错位、相减，化简整理，可以求出n T .试题解析：（Ⅰ）因为11a =， 12n n a a +-=，所以{}n a 为首项是1，公差为2的等差数列， 所以()11221n a n n =+-⨯=-又当1n =时， 1112b S b ==-，所以11b =， 当2n ≥时， 2n n S b =-…① 112n n S b --=-…② 由①-②得1n n n b b b -=-+，即112n n b b -=，所以{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列，故112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由（Ⅰ）知1212n n n n n c a b --==，则 0121135212222n n n T --=++++ ①131113232122222n n n n n T ---=++++ ② ①-②得01211122221222222n n nn T --=+++- 2112111222n n n --=++++- 111212321312212n n nn n ---+=+-=-- 所以12362n n n T -+=-方法点睛：已知数列前n 项和n S ，求通项公式n a 时，注意分类讨论，即利用11,1{,2n n n a n a S S n -==-≥，并进行检验2n ≥是否对1n =适用，从而决定通项公式是否分段.另外对于等差数列与等比数列相乘求和时，采用错误相减法，即和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解.17．如图，三棱柱111ABC A B C -中， 01111160,4B A A C A A AA AC ∠=∠===， 2AB =， ,P Q 分别为棱1,AA AC 的中点.（1）在平面ABC 内过点A 作//AM 平面1PQB 交BC 于点M ，并写出作图步骤，但不要求证明. （2）若侧面11ACC A ⊥侧面11ABB A ，求直线11A C 与平面1PQB 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）13【解析】（1）如图，在平面11ABB A 内，过点A 作1//AN B P 交1BB 于点N ，连结BQ ，在1BB Q ∆中，作1//NH B Q 交BQ 于点H ，连结AH 并延长交BC 于点M ，则AM 为所求作直线.（2）连结11,PC AC ，∵0111114,60AA AC A C C A A ===∠=，∴11AC A ∆为正三角形. ∵P 为1AA 的中点，∴11PC AA ⊥，又∵侧面11ACC A ⊥侧面11ABB A ，且面11ACC A ⋂面111ABB A AA =，1PC ⊂平面11ACC A ，∴1PC ⊥平面11ABB A ， 在平面11ABB A 内过点P 作1PR AA ⊥交1BB 于点R ，分别以11,,PR PA PC 的方向为x 轴， y 轴， z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系P xyz -，则()()()(10,0,0,0,2,0,0,2,0,0,P A A C --， (1C .∵Q 为AC 的中点，∴点Q 的坐标为(0,-，∴()(110,2,23,0,AC PQ =-=-.∵011112,60A B AB B A A ==∠=，∴)1B ，∴()13,1,0PB =，设平面1PQB 的法向量为(),,m x y z =， 由1·0{·0PQ m PB m ==得30{0y y -+=+=，令1x=，得3y z ==-，所以平面1PQB 的一个法向量为()1,3,3m =--. 设直线11A C 与平面1PQB 所成角为a ，则111111·39sin cos ,13AC m AC m AC mα=〈〉==， 即直线11A C 与平面1PQB 点睛：考察立体几何的线面角，要注意线面角一定是锐角，同时在用向量解决问题时一定要注意点的坐标的准确性.18．某商场拟对某商品进行促销，现有两种方案供选择，每种促销方案都需分两个月实施，且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立.根据以往促销的统计数据，若实施方案1，预计第一个月的销量是促销前的1.2倍和1.5倍的概率分别是0.6和0.4，第二个月的销量是第一个月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；若实施方案2，预计第一个月的销量是促销前的1.4倍和1.5倍的概率分别是0.7和0.3，第二个月的销量是第一个月的1.2倍和1.6倍的概率分别是0.6和0.4.令()1,2i i ξ=表示实施方案i 的第二个月的销量是促销前销量的倍数. （Ⅰ）求1ξ， 2ξ的分布列；（Ⅱ）不管实施哪种方案， i ξ与第二个月的利润之间的关系如下表，试比较哪种方案第二个月的利润更大.【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）实施方案1.【解析】试题分析：（I ）利用两个月销量的倍数两两相乘，求得1ξ， 2ξ的所有取值，再利用相互独立事件概率计算公式求得每个取值对应的概率的值，由此求得分布列.（II ）根据（I ）求得的分布列，求得每个月利润的值和对应的概率，由此求得两个方案利润的分布列，进而求得期望值，比较两个期望值即可得出利润更大的方案. 试题解析：（Ⅰ）依题意， 1ξ的所有取值为1.68，1.92，2.1，2.4，因为()1 1.68P ξ== 0.60.50.30⨯=， ()1 1.92P ξ== 0.60.50.30⨯=，()1 2.1P ξ== 0.40.50.20⨯=， ()1 2.4P ξ== 0.40.50.20⨯=.所以1ξ的分布列为依题意， 2ξ的所有取值为1.68，1.8，2.24，2.4，因为()2 1.68P ξ== 0.70.60.42⨯=， ()2 1.8P ξ== 0.30.60.18⨯=，()2 2.24P ξ== 0.70.40.28⨯=， ()2 2.4P ξ== 0.30.40.12⨯=.所以2ξ的分布列为（Ⅱ）令i Q 表示方案i 所带来的利润，则所以1150.30EQ =⨯ 200.50250.20+⨯+⨯= 19.5，2150.42EQ =⨯+ 200.46250.12⨯+⨯= 18.5.因为12EQ EQ >，所以实施方案1，第二个月的利润更大. 19．已知函数()()sin cos 0f x x x x x =-≥． （1）求函数()f x 的图象在,12π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程； （2）若任意[)0,x ∈+∞，不等式()3f x ax <恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设()2m f x dx π=⎰， ()()()264m g x f x x π=-，证明： ][2111111333n g g g ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦【答案】（1）122y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（2） 13a ≥（3）见解析 【解析】试题分析：（1）本问考查导数的几何意义， ()sin f x x x '=， 22f ππ⎛⎫=⎪⎭'⎝，于是可得切线方程为122y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；（2）本问考查利用导数研究恒成立问题，不等式()3f x ax <恒成立3sin cos 0x x x ax ⇔--≤，设函数()3sin cosg x x x x ax =--，则转化为当[)0,x ∈+∞时， () 0g x ≤恒成立，对函数()g x 求导， ()()2sin 3sin 3g x x x ax x x ax '=-=-，再令()sin 3h x x ax =-，对()h x 求导，()cos 3h x x a ='-，通过对a 分区间讨论，使得() 0g x ≤恒成立，从而得到a 的取值范围；（3）首先通过微积分定理求出22m π=-，则()()23g x f x x =，由（2）知，当13a =时， ()313f x x ≤，即()g x x ≤，构造函数()()ln 1x x x μ=+-，通过证明该函数的单调性，易得出()ln 1x x +<在()0,+∞上恒成立，令111ln 1333n n n x ⎛⎫=⇒+< ⎪⎝⎭，于是通过不等式的放缩，可以得到待证明的结论. 试题解析：（1）()sin f x x x '=， 22f ππ⎛⎫=⎪⎭'⎝，∴切线为122y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ （2）()3f x ax ≤ 3sin cos 0x x x ax ⇔--≤，令()3sin cos g x x x x ax =-- 则()()2sin 3sin 3g x x x ax x x ax '=-=-又令()sin 3h x x ax =- ()cos 3h x x a '⇒=-①当31a ≤-，即13a ≤-时， ()0h x '≥恒成立，∴()h x 递增 ∴()()00h x h ≥=，∴()0g x '≥，∴()g x 递增 ∴()()00g x g ≥=（不合题意） ②当31a ≥即13a ≥时， ()0h x '≤ ()h x ⇒递减， ∴()()00h x h ≤=，∴()0g x '≤，∴()g x 递减∴()()00g x g ≤=（符合题意） ③当131a -<<，即1133a -<<时，由()0130h a =->' ()130h a π=--<'，∴在()0,π上， 0x ∃，使()00h x '=且()00,x x ∈时， ()()00h x g x >⇒'>'，∴()g x 递增，∴()()00g x g >=（不符合题意） 综上： 13a ≥. （3）()()2sin 2cos |222m f x dx x x x πππ==--=-⎰∴()()23g x f x x =，由（2）知，当13a =时， ()313f x x ≤，∴()g x x ≤， 又令()()ln 1x x x μ=+-， 0x > ()01xu x x -⇒=<+'，∴()u x 递减()()00u x u ⇒<=即()ln 1x x +<在()0,+∞上恒成立，令111ln 1333n n n x ⎛⎫=⇒+< ⎪⎝⎭ ∴原不等式][][21111ln 1ln 1ln 13332n g g g ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔++++++< ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴左式2111111111331133323213n n n⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭<+++==-<=⎪⎝⎭-右式 ∴得证.20．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 在直角坐标系xOy 中的参数方程为{x a tcos y tsin θθ=+=（t 为参数， θ为倾斜角），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，在极坐标系中，曲线的方程为2cos 4cos 0ρρθθ--=． （1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）点(),0Q a ，若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求使2211||||QA QB +为定值的a 值．【答案】（1）24y x = （2）14【解析】试题分析：（1）根据极坐标与直角坐标互化公式{x cos y sin ρθρθ==，对曲线方程2cos 4cos 0ρρθθ--=两边同时乘以ρ，得222cos 4cos 0ρρθρθ--=，即x 2+y 2﹣x 2﹣4x=0，所以y 2=4x ；（2）本问考查直线参数方程的几何意义，将直线的参数方程带入曲线y 2=4x 中，得到sin 2θ•t 2﹣4cos θ•t ﹣4a=0，根据韦达定理表示出t 1+t 2 ，t 1t 2，于是()21211222222121221111||||t t t t QA QB t t t t+-+=+=，可以求出a 的值及定值.试题解析：（1）∵ρ﹣ρcos 2θ﹣4cos θ=0，∴ρ2﹣ρ2cos 2θ﹣4ρcos θ=0，∴x 2+y 2﹣x 2﹣4x=0，即y 2=4x ． （2）把为{x a tcos y tsin θθ=+=（t 为参数，θ为倾斜角）代入y 2=4x 得：sin 2θ•t 2﹣4cos θ•t ﹣4a=0， ∴t 1+t 2=24cos sin θθ ，t 1t 2=24sin aθ- ， ∴()2221211222222212122111116cos 8sin ||||16t t t t a QA QB t t t t a θθ+-++=+== ∴当a=2时，为定值14． 21．选修4-5：不等式选讲 设实数,x y 满足14yx +=． （1）若723y x -<+，求x 的取值范围； （2）若0,0x y >>，求证：143x y+≥． 【答案】（1）()3,0.-（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据已知条件14yx +=得44x y +=，则743y x -=+，所以723y x -<+转化为4323x x +-<，于是分34x <-， 304x -≤≤， 0x >去绝对值解不等式，即得到x 的取值范围；（2）当0,0x y >>时，根据均值定理14y x =+≥=，于是141442444y y xx x y x y x y⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以得出143x y +≥，这里两次使用到均值定理，必须要保证取等条件同时满足. 试题解析：（1）解：∵14yx +=，∴44x y +=， 则由723432|3y x x x -+⇒+-<，当34x <-时，由4323x x +-<得3x >-，则334x -<<-； 当304x -≤≤时，由4323x x +-<得0x <，则304x -≤<；当0x >时，由4323x x +-<得0x <， 解集为φ； 综上， x 的取值范围是()3,0-. （2）证明：∵0,0x y >>，∴14y x =+≥=，即1≥-，当且仅当142y x ==时等号成立. 又141442444y y x x x y x y x y⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当44y x x y =，即142y x ==时等号成立，∴143x y+。