【数学】黑龙江省哈六中2012-2013学年高一下学期期中

黑龙江省哈六中2012-2013学年高一下学期期中
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项．
1. 已知向量,a b 满足1,4,a b ==且2a b ⋅=,则a 与b 的夹角为( ) A.6π
B.4π
C.3π
D.2
π
2.已知等比数列{}n a 的前n 项和为13n n S a +=+，N *
n ∈，则实数a 的值是( )
A ． 1-
B ． 3
C ．3-
D ．
1 3.与向量a →
=的夹角为30︒的单位向量是（ ）
A ．1(,
22或 B ．
()0,1或1()22C ．()0,1
D ．1
()22
4.在ABC ∆中23
BC B π,=,=,若ABC
∆则tan
C 为( )
B.
1
C.
D.
2
5.已知平面向量),2(),2,1(m -==，且∥，则32+=（ ） A ．(2,4)-- B. (3,6)-- C. (5,10)-- D. (4,8)--
6.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若481
3S S =，则816
S S 等于( )
A.
310 B. 13 C. 19 D. 1
8
7.已知向量等于则垂直与若a b a n b n a
,),,1(),,1(-==（ ） A ．1
B ．2
C ．2
D ．4
8.已知数列121,,,4a a --成等差数列，1231,,,4b b b --成等比数列，则
21
2
a a
b -的值为( ) A.
14 B.12- C.12或12- D. 12
9.ABC ∆中，下列判断正确的是（ ）
A.︒===30,18,7A b a 有两解
B.︒===150,24,28A b a 有一解
C.︒===45,9,6B c b 有两解
D.︒===60,10,9A c a 无解
10.等比数列{}n a 中，已知对任意自然数n ，12321-=+⋅⋅⋅+++n n a a a a ，则
2
232221n a a a a +⋅⋅⋅+++等于 ( )
A.3
14-n B.2)12(-n
C.14-n
D.12-n
11．如图，非零向量OA =a →
，OB b →
=且BC OA ⊥， C 为垂足，设向量OC a λ→
=，
则λ的值为（ ）
A. ||||
⋅⋅a b a b B.||||⋅⋅a b a b C.2
||⋅a b b D. 2||⋅a b a
12．在ABC ∆中，P 是BC 边中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若
0c AC a PA b PB ++=，则ABC ∆的形状为
A. 等边三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形但不是等边三角形. 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．数列{}n a 的通项公式449n a n =-，则{}n a 的前n 项和取得最小值时，n 等于 14．在,,ABC A B C ∆中，的对边分别为,,a b c ，若cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列,则
B =______
15．“嫦娥奔月,举国欢庆”,据科学计算,运载“神八”的“长征”系列火箭,在点火第一秒钟通过的路程为2 km,以后每秒钟通过的路程都增加2 km,在到达离地面240 km 的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程需要的时间大约是 秒钟。

16．给出下列命题：
①常数列既是等差数列，又是等比数列；
②B A B A ABC B A sin sin ,>>∆，则的内角，且是；
③在数列{}n a 中,如果n 前项和2241n S n n =++，则此数列是一个公差为4的等差数列；
④O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足：sin sin AB AC OP OA C B λ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭
，
()0,λ∈+∞，则直线AP 一定通过ABC ∆的内心
⑤{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，则36396,,S S S S S --成等比数列。

则上述命题中正确的有 （填上所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知平面上的三个向量,,a b c 的模均为1，它们之间的相互之间的夹角为120︒。

（1）求证：()a b c -⊥；（2）若1()ka b c k R ++>∈，求k 的取值范围。

18．在四边形ABCD 中，1
12
AC CD AB ===，1AB AC →→⋅=，
3
sin 5
BCD ∠=（12分）
(1)求BC 边的长；
（2）求四边形ABCD 的面积。

19．已知ABC ∆的面积为3，且满足60≤⋅<，设的夹角为θ．（12分） （1）求θ的取值范围； （2）求函数()θθπ
θ2cos 3)4
(sin 22-+=f 的最值．
20．已知正项等比数列{}n a ，1=3a ，24729a a =，（12分）
（1） 求数列
{}n a 的通项公式；
（2） 设31log n n n b a a +=,*
()n N ∈，求数列{}n c 的前n 项和n T C
D
B
A
21.在锐角ABC ∆中，已知角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
tan tan tan tan )3
A B A B -=
+。

（12分） （1）若2
2
2
c a b ab =+-，求角A 、B 、C 的大小；
（2）已知向量(sin ,cos ),(cos ,sin )m A A n B B →→==，求32m n →→
-的取值范围。

22．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且满足11a =，142n n S a +=+ （12分） （1）若12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 （2） 求数列{}n a 的通项公式；
（3）若2(32)
n
n n c a n =+，求数列{}n c 的前n 项和n T
高一数学试题答案
13.12 14.
3
15.15 16.②④⑤
19. （1）60≤⋅<AC AB ⇒0cos 6AB AC θ<⋅≤, 又sin 3ABC S AB AC θ→
→
∆==⇒6cos 06sin θ
θ
<
≤ ⇒tan 1θ≥又0θπ<<⇒
4
2
π
π
θ≤<
——————————6分
（2）()2
2sin (
)212sin(2)43
f ππ
θθθθ=+-=+- 42ππθ≤<⇒212sin(2)163323
ππππθθ≤-<⇒≤-≤ ⇒4
πθ=时()min 2f θ=，512π
θ=时()max 3f θ=——————————6分 20. （1）24
241729a a a q ==，又10,3n a a >=⇒3,q =⇒3n
n a =————4分 （2）1
313log 3log 3
(1)3n
n n n n n b a a n ++===+
23233343(1)3n n T n =⋅+⋅+⋅+++⋅ 23413233343(1)3n T n +=⋅+⋅+⋅+
++⋅
1
321344
n n n T ++=-+⋅——————————12分
21.
132m n →→
<-<——————————12分
（2）11322n n n n b a a -+=⋅=-113
224
n n n n a a ++⇒
-= 2n n
a ⎧⎫
∴⎨⎬⎩⎭
是以12为首项，34为公差的等差数列。

1331(1)2244n n a n n -∴=+-⋅=
3124
n
n n a -∴=
⋅——————————4分 （3）2431(31)(32)2(32)4
n
n n
C n n n n =
=
--+⋅+411
()33132
n n =--+
4111111411()()3255831323232
n T n n n ∴=
-+-+-=--++…+——————————4分。