分析法与综合法
综合法和分析法 课件
设a＋b＞0，n为偶数，求证ban－n1＋abn－n 1≥1a＋1b. [错解] ban－n1＋abn－n 1－1a－1b＝an－bnaabn－n1－bn－1. ∵n为偶数，∴(ab)n＞0. 又∵an－bn和an－1－bn－1同号， ∴ban－n 1＋abn－n1－1a－1b＞0， ∴ban－n 1＋abn－n 1＞1a＋1b.
3．已知 a、b、c∈R＋，求证： a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c.
[解析] 分析法：要证 a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c， 只需证：a2＋b32＋c2≥(a＋3b＋c)2， 只需证：3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca， 只需证：2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ca， 只需证：(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的， 所以 a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c成立．
综合法和分析法
1．根据分析法与综合法的基本概念与推理方式填表
2.当待解决问题，一时打不开思路，不知从何入手时，有 时可以运用_分__析__法__去探求解题思路，特别是对于条件简单而 结论复杂的题目，往往更是行之有效的方法．另外，对于恒等 式的证明，也同样可以运用分析法证明．又如在立体几何证明 题中，将待证结论作为条件和其它已知条件结合起来分析，看 能够得出什么“结论”来逐步探求证题的思路，也是常用方 法．
[辨析] 这里题目中的条件为a＋b>0，而不是a>0，b>0， 因此，应分a＞0且b＞0和a，b有一个为负值两种情况加以讨 论．
[正解] ban－n1＋abn－n 1－1a－1b＝an－bnaabn－n1－bn－1. ①当a＞0，b＞0，a＋b＞0时，(an－bn)(an－1－bn－1)≥0， (ab)n＞0， ∴an－bnaabn－n1－bn－1≥0，∴ban－n 1＋abn－n1≥1a＋1b. ②当a，b有一个为负值时，不妨设a＞0，b<0，且a＋b＞ 0，∴a＞|b|.
【高中数学】综合法与分析法 、反证法
题型 用反证法证明“至多”，“至少”等存在性问题
π
π
若 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋ 2 ，b＝y2－2z＋ 3 ，c＝z2
π －2x＋ 6 ，求证：a，b，c 中至少有一个大于 0.
证明：假设 a，b，c 都不大于 0，即 a≤0，b≤0，c≤0，则 a＋b＋c
≤0.
而 a＋b＋c＝x2－2y＋π2 ＋y2－2z＋π3 ＋z2－2x＋π6 ＝(x－1)2＋(y －1)2＋(z－1)2＋π－3.
a（a－1） ，
所以 a＋1－ a＜ a－1－ aC 成等差数列，且角 A，B，C 的对 边分别为 a，b，c，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
证明：方法一 (分析综合法) 要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1 成立， 即证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c成立，
反证法证明时反设不全面致误.
【典例】 已知a，b，c是互不相等的非零实 数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋ 2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有 两个相异实根．
解析：假设三个方程都没有两个相异实根， 则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0. 相加有 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0， 即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*) 由题意 a，b，c 互不相等，所以(*)式不能成立． 所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实 根．
即a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，化简得a＋c b＋b＋a c＝1， 又需证 c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)， 即 c2＋a2＝b2＋ac. 又△ABC 的三个内角 A，B，C 成等数列，所以 B＝60°. 由余弦定理，得 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝21. 所以 a2＋c2－b2＝ac，所以原命题成立．
分析综合法
提要分析法就是执果索因的解题方法，即首先抓住问题的结论，追索结论成立的条件，该条件找到后，在追索该条件成立的另一个条件，这样一直追索下去，直到最后出现显然成立的条件；综合法是一种由因索果的解题方法，从顺序上看其与分析法恰好相反，是从已知到未知（即从题设到结论）的推理方。
解题时，分析法和综合法是交替使用的。
知识全解一．分析法的概念解数学问题，若从命题的结论出发，根据已知的定义、公理和定理逐步寻找这个结论成立的条件，直至这个结论成立的条件就是已知条件，这种方法叫作分析法。
它的思维形式是逆向推理。
对问题的分析过程不能代替解答过程的书写，通常是“倒退着分析”，书写解题过程时则需反过来“顺着书写”。
二．综合法的概念解数学问题，若从已知条件出发，运用已学过的公理、定义和定理逐步推理，直到推出结论为止，这种方法叫作综合法。
用综合法进行推理时，语气是肯定的，且每一步推理都必须是正确的。
书写时应先写原因后写结论，一般都用“因为……，所以……”来表述推理。
在叙述过程中，当前面一步陈述的结论，同时是后面一步陈述的条件时，常把后一步推理的条件省略不写。
三．分析综合法的概念对于比较复杂的数学问题，利用分析法和综合法很难解决问题，常常将分析法和综合法结合起来使用。
一方面从已知条件入手，看能推出什么结论；另一方面从结论着眼，想需要找到什么条件，从而找到解题途径。
这种方法称为分析综合法。
寻求解题要因题而异，有时用分析法，有时用综合法；有时用分析法分析思路，用综合法书写表达；有时分析法，综合法同时并用，一边分析，一边综合或交替使用。
四．分析法，综合法的解题策略应用分析法证明数学问题，尤其是证明几何问题时，语言是假定的；若要证明A成立则先证明B成立，若要证明B成立，则先证明C成立……应用综台法时，语气是肯定的，且每一步的推理都必须是正确的。
解题时，分析是为了综合，综合又必须根据分析。
因而有的题目往往同时应用两种方法：一边分析，一边综合，有时甚至交替运用。
2.2.1 综合法和分析法
a＋b
b＋c
a＋c
∴logx 2 ＋logx 2 ＋logx 2 <logxa＋logxb＋logxc 成立.
达标检测
1.命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明过程为：“cos4θ－ sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”，其应用了 A.分析法
跟踪训练2 已|bb||≤ 2. 证明 a⊥b⇔a·b＝0，要证|a|a|＋＋|bb||≤ 2， 只需证|a|＋|b|≤ 2|a＋b|，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，
思考 1：综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
[提示]综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的 每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同 于合情推理中的“猜想”．
思考2: 综合法与分析法有什么区别？ [提示]综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导 果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．
[思考辨析 判断正误]
1.综合法是执果索因的逆推证法.( × ) 2.分析法就是从结论推向已知.( × ) 3.分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆.
(√)
题型探究
例 1 在△ABC 中，三边 a，b，c 成等比数列.求证：acos2C2＋ccos2A2≥32b.
证明 因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac. a1＋cos C c1＋cos A
因为左边＝ 2 ＋ 2 ＝12(a＋c)＋12(acos C＋ccos A) ＝12(a＋c)＋12a·a2＋2ba2b－c2＋c·b2＋2cb2c－a2 ＝12(a＋c)＋12b≥ ac＋b2 ＝b＋b2＝32b＝右边，
综合法分析法PPT课件
例 3. 已 知 α ,β≠
k π+ π( k 2
Z),且
sinθ+ cosθ = 2sinα
sinθ cosθ = sin 2β
求 证:
1 - tan 2α = 1 - tan 2β . 1 + tan 2α 2(1 + tan 2β )
.
.
用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表 示要证的结论,则上述过程可用框图表示为:
A
C
B
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
.
例3:设a,b,c为一个三角形的三边,且s2=2ab,
s = 1(a + b+c), 试证： s < 2a 2
解:欲证s<2a,只需证
s
s2 b
即证b<s,也即证 b 1 (a bc)
2
即证b<a+c
因为a,b,c为一个三角形的三边,所以 b<a+c成立.
b
ab
(a>0,b>0)的证明.
证明:要证;a
+ 2
b
ab
还原成综合法： 证明:
只需证;a+b2 ab
因为;( a b)2 0
只需证;a+b2 ab0 所以 a+b2 ab0
只需证;( a b)2 0
所以 a+b2 ab
因为;( a b)2 0成立
所以 a
+ 2
b
a b成立
所以
a+b 2
a b 成立
.
小结
1.在数学证明中，综合法和分析法是 两种最常用的数学方法，若从已知入手 能找到证明的途径，则用综合法，否则 用分析法.
综合法和分析法
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法三 1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝1＋ba＋ab＋1≥2＋2 当 a＝b 时，取“＝”号．
ba·ab＝4.当且仅
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题型二 分析法的应用 【例 2】 设 a，b 为实数，求证： a2＋b2≥ 22(a＋b)．
[思路探索] 题目条件要求使用分析法证明不等式，只需要注 意分析法证明问题的格式即可．
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题型一 综合法的应用 【例 1】 设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n
∈N*)，其中 m 为常数，且 m≠－3. (1)求证：{an}是等比数列； (2)若数列{an}的公比 q＝f(m)，数列{bn}满足 b1＝a1，bn＝32f(bn －1)(n∈N*，n≥2)，求证：b1n为等差数列．
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3．分析法 (1)定义：一般地，从要证明的 结论出发 ，逐步寻求使它成立 的 充分条件 ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显 成立的条件(已知条件 、 定理 、 定义 、 公理 等)为止，这种 证明方法叫做分析法． (2)框图表示：用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示 为：
＋2 c·a＋2 c> a2b2c2＝abc.(10 分) 即a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c>abc 成立． ∴logxa＋2 b＋logxb＋2 c＋logxa＋2 c<logxa＋logxb＋logxc 成立．(12 分)
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分析与综合法
AD BD
1
4．前进型分析法 这种分析法，其思路是从整体物中已经成立的某 一部分出发，运用已有的知识逐步寻找并扩展到 其它部分成立的条件，最终挺进到原事物成立的 必要条件，也就是原命题成立的必要条件。
数论常用的方法
例3 设在一个由实数组成的有限数列中，任意7个相继项的 和都是负数，而任意11个相继项的和都是正数，试问，这 样的数列最多能包含多少项。 解：从已经明确的部分出发，即（最小项） ∵a1+…+a7＜0，a1+a2+…+a11＞0， ∴a8+a9+…+a11＞0。（由已知：到11项是已成立的部分） 顺序往前推进，可得a11+a12+…+a14＞0，则有 a8+a9+…+2a11+…+a14＞0。 但∵ a8+a9+…+a14＜0，∴a11＞0。（从11进到14，得a11＞0） 用同样的方法，顺序往前推进，可得a12＞0，a13＞0，因 而a11+a12+a13＞0，(推至16项)但因为a11+a12+…+a17＜0， ∴a14+…+a17＜0。(考察17项) 另一方面，从a7+…+a17＞0及a7+…+a13＜0，可得 a14+…+a17＞0。与前矛盾，因此项数≤16。(从11前进到17项， 第17项不成立，故只能是≤16)
分析与综合法
一、分析法与数学解题的分析法 1、分析法：把研究的对象分为各个组成部分，各个不同的 因素、不同的层次，然后分别地加以研究探索，从而认识 和理解事物的一种方法，这是方法论中的分析法，也是数 学思想方法中的分析法。 2、数学解题中的分析法： 指从结果追溯到其产生的原因的思维方法，它是从所需要 论证的结论出发，以一系列的已知定义、定理为依据逐步 逆推，从而达到已知条件（也叫执果索因）
2.2.1综合法和分析法
分析法 又叫逆推证法或执果索 . , 因法
用Q表示要证明的结论 则分析法可用框图表示 : , 为
Q P1
P1 P2
P2 P3
得到一个明显 成立的条件
例 2 如图 2.2 1 所示 , SA 平面ABC, AB BC, 过A作SB 的垂线, 垂足为E , 过E作SC的 垂线, 垂足为F.求证 AF SC.
a,b, c成等比数列转化为符号语言就是 ac. , b 此时,如果能把角和边统一起 ,那么就可以进一 来 步寻找角和边之间的关 , 进而判断三角形的形 系 状, 余弦定理正好满足要求 .于是,可以用余弦定理 为工具进行证明 .
2
证明 由A,B, C成等差数列有2B A C. , 因为A,B, C为ΔABC的内角 所以A B C π. , π 由 ① ②, 得B . 3 2 由a,b, c成等比数列有b ac. ,
1 即证 cos α sin α cos2 β sin2 β , 2 1 2 即证1 2 sin α 1 2 sin2 β , 2 即证4 sin2 α 2 sin2 β 1.
2 2
由于上式与③ 相同,于是问题得证.
用P表示已知条件定义、定 理、公理 等 , 用Q 表示要证明的结论 则上述过 , 程可用框图表示为:
π 例3 已知α, β kπ k Z , 且 2 sin θ cos θ 2 sin α , ① sin θ cos θ sin β ,
2 2 2
②
1 tan α 1 tan β 求证 : . 2 2 1 tan α 2 1 tan β
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分析法与综合法
一、分析法与综合法的定义
1、定义
所谓分析法，是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法． 分析法的思维全貌可概括为下面形式： “结论需知1需知2…已知”．
所谓综合法，是指“由因导果”的思维方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法．
综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式： “已知可知1可知2…结论”．
二 、例题赏析
例1、已知：a b ∈R ，，且a b ≠，求证：3322a b a b ab +>+．
证明一：（分析法）要证3
3
2
2
a b a b ab +>+， 即证22()()()a b a ab b ab a b +-+>+， 因为0a b +>，
故只需证2
2
a a
b b ab -+>， 即证2
2
20a ab b -+>， 即证2
()0a b ->， 因为a b ≠，
所以2
()0a b ->成立， 所以3
3
2
2
a b a b ab +>+成立．
证明二：（综合法）由a b ≠，知2()0a b ->，即2220a ab b -+>，则22a ab b ab -+>．
又0a b +>，则22
()()()a b a ab b ab a b +-+>+，即3322
a b a b ab +>+．
实际证题过程中，分析法与综合法往往是结合起来运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是比较少的．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚好相反，综合法居主导地位，而分析法伴随着它．
特别是，对于那些较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“未知”，或者是由“未知”靠拢“已知”，都有一个比较长的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难．为保证探索方向准确及过程快捷，人们又常常把分析法与综合法两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标．从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径．上面所言的思维模式可概括为如下图所示：
综合法与分析法是逻辑推理的思维方法，它对于培养思维的严谨性极为有用．把分析法与综合法两者并列起来进行思考，寻求问题的解答途径方式，就是人们通常所说的分析、综合法．
下面举一具体例子加以说明：
例2、若a b c ，，是不全相等的正数，求证：
lg lg lg lg lg lg 222
a b b c c a
a b c +++++>
++． 证明：要证lg
lg lg lg lg lg 222a b b c c a
a b c +++++>++ 只需证lg
lg()222a b b c c a
a b c +++>， 只需证
222a b b c c a
abc +++>． 但是，02a b ab +>≥，02b c bc +>≥，02
c a
ca +>≥． 且上述三式中的等号不全成立，所以
222
a b b c c a
abc +++>．
因此lg lg lg lg lg lg 222
a b b c c a
a b c +++++>++． 注：这个证明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法．
例3、例1 如图1，在四面体A VBC -中，
60VA VB VC AVB AVC ==∠=∠=，，90BVC ∠=，
求证：平面VBC ⊥平面ABC ．
分析：要证面面垂直需通过线面垂直来实现，可是哪一条直线是我们所需要的与平面垂直的直线呢？ 我们假设两平面垂直已经知道，则根据两平面垂直的性质定理，在平面VBC 内作VD BC ⊥，则VD ⊥平面ABC ，所以VD 即为我们所要寻找的直线． 要证明VD ⊥平面ABC ，除了已知的VD BC ⊥之外，还需要在平面ABC 内找一条直线与VD 垂直，哪一条呢？ 假设已知知道VD ⊥平面ABC ，则VD 与平面ABC 内的任意直线均垂直，即必有VD AB VD AC ，⊥⊥，但这两个垂直的证明较难入手，还有其他的直线吗？
连结AD 呢？假设已经知道VD ⊥平面ABC ，则必有VD AD ⊥．通过计算可得到
90VDA ∠=，原题得证．
证明：设BC 的中点为D ，连结VD AD ，，因为VB VC =，所以VD BC ⊥；
设1VA VB VC ===，因为6090AVB AVC BVC ∠=∠=∠=，，
所以
2
122
AB AC BC VD AD =====
，，，所以90VDA ∠=，即VD AD ⊥，又已知AD BC D =，所以VD ⊥平面ABC ，又VD ⊂平面VBC ，所以平面VBC ⊥平
面ABC ．
例4、如图2，在长方体1111ABCD A BC D -中， 证明：平面1A BD ∥平面11CB D ．
分析：要证明两平面平行，需在一平面内寻找两条相交直线与另一平面平行．
假设两平面平行已知，则一个平面内的任意直线均与另一个平面平行，所以有
11A B A D BD ，，均与平面11CB D 平行，选择任意两条均可，不妨选择11A B A D ，．
要想证明11A B
A D ，与平面11C
B D 平行，需在平面11CB D 内寻找两条直线分别与11A B A D ，平行，假设11A B A D ，与平面11CB D 平行已知，则根据线面平行的性质定理，过1A B 的平面11A BCD 与平面11CB D 相交所得的交线1CD 与1A B 平行；过1A D 的平面
11A DCB 与平面11CB D 相交所得的交线1B C 与1A D 平行．11CD B C ，即为所要寻找的直线．
从而易知11CD B C ，分别与11A B
A D ，平行，原题得证． 证明：因为1111ABCD A BC D -为长方体，所以有11
A D BC ∥，即四边形11A BCD 为平行四边形，从而有11A
B CD ∥，又已知1A B ⊄平面111CB D CD ⊂，平面11CB D ，进而有1A B ∥平面11CB D ；同理有11A D B
C ∥，从而有1A
D ∥平面11CB D ；又已知111A B A D A =，所以
有平面1A BD ∥平面11CB D ．
从上面的两例可以看出，分析法的基本思路是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．同学们可以在学习过程中，沿着这样的解题思路，亲自体验一下分析法在立几证明中的妙用.
例4、 设A 、B 、C 是双曲线xy=1上的三点，求证：△ABC 的垂心H 必在此
双曲线上．
分析：如图1－1，设H 的坐标为(x 0，y 0)，要证H 在此双曲线上，即证x 0y 0=1．而H 是两条高AH 与BH 的交点，因此需求直线AH 、BH 的方程，进而从所得方程组中设法推出x 0y 0=1．
α，证明:如图1－1，由已知可设A、B、C的坐标分别为()β
设点H的坐标为(x0，y0)，则
由①式左乘②式右及①式右乘②式左，得
化简可得x0y0(α-β)=α-β．
∵ α≠β，∴x0y0=1．
故H点必在双曲线xy=1上．
解说:本证法的思考过程中，从分析法入手，得出证点H在双曲线xy=1上就是证x0y0=1．这为综合法证明此题指明了目标．在用综合法证明的过程中，牢牢抓住这个目标，去寻找x0、y0的关系式，用式子①与②相乘，巧妙地消去参数α、β、γ，得到x0y0=1．从而避免了解方程的麻烦，提高了解题速度．
练习：
1、设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是 （ ） A ．22- B ．3
3
5-
C ．－3
D ．27-
2、．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ）
Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形
Ｃ．钝角三角形
Ｄ．不确定
3．观察式子：213122+<，221151233++<，2
221117
12344+++<，，则可归纳出式子为（ ） Ａ．2221111
1(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n ++++<+≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -++++<≥ Ｄ．22
211121(2)2321
n n n n +
+++
<+≥ 4、已知实数0≠a ，且函数)1
2()1()(2a
x x a x f +-+=有最小值1-，则
a =__________。
5、已知b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=
,2
，则y x ,的大小关系是
_________。
6、若正整数m 满足m m 102105121<<-，则)3010.02.(lg ______________
≈=m 7、a,b,c ∈R +，求证：(a+1)(b+1)(a+c)3(b+c)3≥256a 2b 2c 3.
8、x,y,z,a 均大于1，且log a xyz =9，求证：log x a +log y a +log z a ≥1.
9、已知c b a ,,都是互不相等的正数，求证.9))((abc
ca bc ab c b a >++++ 18．如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M N ，分别是AB PC ，的中点．
求证：（1）MN∥平面PAD；（2）MN CD
．
. .
.。