广东省高一下学期期中数学试卷
广东省广州市禺山高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
广州市禺山高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷注意事项：1、本试卷分第1卷（选择题）和第2卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、座位号、学校、班级等考生信息填在答题卡上．2、回答第1卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3、回答第2卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第1卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 是虚数单位，复数，则的虚部为（）A. 1B. 2C. iD. 2. 已知条件，条件，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知角的终边过点(4，－3)，则＝( )A.B. C.D. 4. 如图，在中，是的中点，若，则实数的值是A.B. 1C.D.5. 若，，，则大小关系是（ ）的2i z =+i z ⋅2i:240p x ->2:560q x x -+<θcos()πθ-3535-4545-ABC ∆12AN AC P = ，BN 14AP mAB AC =+m 1412321.20.9a =0.91.2b = 1.2log 0.9c =,,a b cA. B. C. D. 6. 已知单位向量满足，则与的夹角为A.B.C.D.7. 沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时．当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为（ ）A.小时 B.小时 C.小时 D.小时8. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）A B. C. D. 二、多选题，本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9. 水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是一个（ ）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 三边互不相等的三角形D.10. 的内角A ，B ，C 的对边分别为，则（ ）A. B. .a b c>>c b a >>b a c >>c a b>>,a b3a b +=a b 6π4π3π2π12783423()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩()22()f m f m ->m (2,1)-(,1)(2,)-∞-⋃+∞(,2)(1,)-∞-+∞ (1,2)-ABC V 1B O C O ''''==A O ''=ABC V ABC V π,,,2,3a b c a b A ===3c =sin B =C. D.外接圆的面积为11. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A. 函数的最小正周期为B. 函数的图象关于直线对称C. 函数图象向右平移个单位可得函数图象D. 若方程在上有两个不等实数根，，则．第2卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知，，则______．13. 已知中，，，，则__________．14. 圆锥被一平面所截得到一个圆台，若圆台的上底面半径为2cm ，下底面半径为3cm ，圆台母线长为4cm ，则该圆锥的侧面积为_______cm 2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 在中，角所对边分别为，，，且.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求的面积.16. 已知：向量．的的sin C =ABC V 7π3()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>π2ϕ<()f x π()f x 5π12x =-()f x π62sin y x =()()R f x m m =∈ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1x 2x ()121cos 2x x +=π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭3sin 5α=sin 2α=ABC V 5a =8b =60C = BC CA ⋅=ABC V ,,A B C a b c 222a c b ac +=-B a =3b =ABC V (3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=（1）求；（2）求夹角的余弦值；（3）若，求实数值．17. 已知函数.（1）求的值；（2）判断函数在区间上的单调性，并用定义加以证明.18. 如图，在正四棱柱中，，是的中点.（1）求证：平面；（2）若正四棱柱的外接球的表面积是，求三棱锥的体积.19. 的内角，，的对边分别是，，，已知．（1）求；（2）若是锐角三角形，，求周长的取值范围．的a b c +-,a b()a kb c +∥k 1()2x f x x +=+[(1)]f f ()f x (2,)-+∞1111ABCD A B C D -12AA AD =M 1DD 1//BD MAC 24π1D MAC -ABC V A B C a b c sin cos c B b A =+B ABC V 3b =ABC V广州市禺山高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷简要答案第1卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A二、多选题，本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】AB第2卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】##【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（Ⅰ）【16题答案】【答案】（1（2（3）【17题答案】【答案】（1）（2）函数在区间上单调递增，证明略.【18题答案】【答案】（1）证明略 （2）【19题答案】【答案】（1）（2）2425-0.96-20-36π120B ︒=59k =-58()f x (2,)-+∞433B π=(3,9⎤+⎦。
2023-2024学年广东省广州市高一下学期期中数学质量检测试题(含解析)
2023-2024学年广东省广州市高一下学期期中数学质量检测试题试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分，考试时间为120分钟．第一部分 选择题（共58分）一、单项选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．多选、错选均不得分．1．i 是虚数单位，若复数，则z 的共轭复数（ ）．6i 2i 1i z +=+z =A ．B ．C ．D ．13i 22-13i 22+13i 22-+31i 22-2．已知向量，向量在向量上的投影向量（ ）()()1,1,2,0a b =-= a b c = A ．B ．()2,0-()2,0C ．D ．()1,0-()1,03．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°(如图所示)，若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则形成的旋转体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．92π72π52π32π4．年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵201892489士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科1859学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可x 以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（ ）（素()πln xx x ≈10000数即质数，，计算结果取整数）lg e 0.43≈A ．B ．C ．D ．1079107543425005．在中，角对边为，且，则的形状为（ ）ABC ,,A B C ,,a b c 22cos 2Ac b c ⋅=+ABC A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形6．已知圆锥的底面圆周在球O 的表面上，顶点为球心O ，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O 的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．32π37．已知平行四边形中，，，．若点满足，点ABCD 8AB = 4AD = π3A ∠=M 15AM MB = 为中点，则（ ）N AB ()DM DA DN ⋅+=A ．B ．C ．D ．61224308．是定义在R 上的偶函数，对，都有，且当时，()f x R x ∀∈(2)(2)f x f x -=+[2,0]x ∈-.若在区间内关于x 的方程至少有2个不同的1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2,6]-()log (2)0(1)a f x x a -+=>实数根，至多有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ）aA ．B ．C ．D ．(1,2)(2,)+∞二、多项选择题：本题包括3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）A ．，则()(),R,i 234i 2ix y x y y ∈++=-+5x y +=B ．3i 1i+>+C ．若，则复数z 对应的点位于第四象限2(1)i 2z =+D ．已知复数z 满足，则z 在复平面内对应的点的轨迹为圆|2i |3z -=10．下列说法中正确的有（ ）A ．设正六棱锥的底面边长为1B ．用斜二测法作△ABC 的水平放置直观图得到边长为a 的正三角形，则△ABC 2C ．三个平面可以将空间分成4，6，7或者8个部分D ．已知四点不共面，则其中任意三点不共线．11．给出以下命题正确命题的选项为（ ）A ．要得到的图象，只需将图象沿轴方向向左平移个单位cos 2y x =sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x 12πB ．函数的最大值为2sin cos 36y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．定义运算，则且，设，,:,a a b a b b a b ≤⎧⊗⊗=⎨>⎩()sin f x x =()cos ()g x x x =∈R ()()()F x f x g x =⊗则的值域为()F x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．函数，当等时恒有解，则的范围是2()4sin4cos 1f x x x a =-++-2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()0f x =a [4,5]-第二部分 非选择题（共92分）三、填空题：本题包括3小题，每小题5分，共15分．12．四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，，,,A B C 13i +2i -，则点D 对应的复数为．3i -+13．已知向量满足，则.21,ee 12121e e e e ==-=122e e +=14．如图，直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边、、上，且PQR ABC AB BC CA ，，，则长度的最大值为PQ =2QR =2PQR π∠=AB 四、解答题：本题包括5小题，共77分．15．在锐角中，的对边分别为ABC ,,A B C ,,a b c 2sin c A =(1)确定角的大小；C (2)若，求边.c =6ab =,a b16．已知向量是同一平面内的三个向量，其中．,,a b c(1,1)a =-r(1)若，且，求向量的坐标；c =//c a c (2)若是单位向量，且，求与的夹角.b (2)a a b ⊥- a bθ17．已知.()()sin 0f x x ωω=>(1)函数的最小正周期是，求，并求此时的解集；()y f x =4πω1()2f x =(2)已知，，求函数，的值域.1ω=2π()()()()2g x f x x f x =+--()y g x =π[0,4x ∈18．如图，四边形为梯形，ABCD，，．//AB CD 2AB CD ==tan A =1cos 3ADB ∠=(1)求的值；cos BDC ∠(2)求的长．BC 19．已知函数，．2()lg()1f x a x =+-a R ∈(1)若函数是奇函数，求实数的值；()f x a (2)在(1)的条件下，判断函数与函数的图象公共点个数，并说明理由；()y f x =lg 2xy =(3)当时，函数的图象始终在函数的图象上方，求实数的取[)1,2x ∈(2)x y f =lg(42)xy =-a 值范围．【分析】利用复数的乘方及复数除法运算，结合共轭复数的意义求解即得.【详解】依题意，，12i (12i)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222z -+-+-+====+++-所以.13i22z =-故选：A 2．C【分析】利用平面向量投影向量的定义求解.【详解】解：因为向量，()()1,1,2,0a b =-=所以向量在向量上的投影向量，ab ()21,0a bc b b⋅=⋅=- 故选：C 3．D【分析】由旋转体的概念得旋转是一个大圆锥去掉一个小圆锥，由圆锥体积公式可得．【详解】依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，如图所示，OA ＝AB ·cos 30°＝∴旋转体的体积为π2·(OC －OB )＝.1332π故选：D.4．B 【分析】计算的值，即可得解.()10000π【详解】因为，()1000010000100002500lg 25000.431075ln100004ln10πe ===≈⨯=所以，估计以内的素数个数为.100001075故选：B.【分析】先根据二倍角公式化简，根据余弦定理化简得到即可得到答案.2cos 2A222c a b =+【详解】因为，22cos 2Ac b c⋅=+所以，即，1cos 22Ac b c +⋅=+cos c c A b c +=+所以，cos c A b =在中，由余弦定理：，ABC 222cos 2b c a A bc +-=代入得，，即，2222c b b c a bc +-⋅=22222b c a b +-=所以.222c a b =+所以直角三角形.ABC 故选：B 6．B【分析】根据给定条件，求出圆锥的母线长即得球的半径，再利用球的体积公式计算得解.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，r l 由圆锥的侧面展开图是一个半圆，得，得．π2πl r =2l r =由圆锥的高为3，解得3=3=l =因此球的半径.O R l ==34π3R =故选：B 7．C【分析】将向量、、用基底表示，结合平面向量数量积的运算性质可DM DA DN {},AB AD求得的值.()DM DA DN ⋅+ 【详解】如下图所示：因为，则，又因为点为的中点，则，15AM MB = 16AM AB = N AB 12AN AB=，16DM AM AD AB AD=-=- ，1222DA DN AD AN AD AN AD AB AD+=-+-=-=- 所以，()2211152262126DM DA DN AB AD AB AD AB AB AD AD⎛⎫⎛⎫⋅+=-⋅-=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .222215π151cos 2884242412631262AB AB AD AD =-⋅+=⨯-⨯⨯⨯+⨯= 故选：C.8．C【分析】先根据题意分析函数的对称性及周期性；再利用函数的对称性和周期性作出函()f x 数在上的图象；最后数形结合列出不等式组求解即可.()f x []2,6-【详解】由，可得：.(2)(2)f x f x -=+()()4f x f x -=+又因为是定义在R 上的偶函数，()f x 则，且函数图象关于轴对称.()()f x f x -=()f x y 所以，即的周期为4.()()4f x f x +=()f x 作出函数在上的图象，根据对称性及周期为4，可得出在1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭[2,0]x ∈-()f x ()f x 上的图象.[]2,6-令()log (2)(1)a g x x a =+>若在区间内关于x 的方程至少有2个不同的实数根，至多有(2,6]-()log (2)0(1)a f x x a -+=>3个不同的实数根，则函数与函数在上至少有2个不同的交点，至多有3个不()f x ()log (2)(1)a g x x a =+>(2,6]-同的交点.所以，即.()()()()2266g f g f ⎧≤⎪⎨>⎪⎩()()log 223log 623a a ⎧+≤⎪⎨+>⎪⎩2a ≤<故答案为：C【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质的综合应用，函数与方程的综合应用及数形结合思想.解题关键在于根据题意分析出分析函数的对称性及周期性，并作出和图象；()f x ()f x ()g x 将方程根的问题转化为函数图象交点问题，数形结合解答即可.9．AD【分析】根据复数相等的充要条件即可求解A ，根据复数的性质即可求解B ，根据复数的几何意义即可求解CD.【详解】A ：由题意，(i)2(2)i (34i)2i 3(24)i x y x y y y ++=++=-+=+-所以，解得，，所以,故A 正确，2324x y y +=⎧⎨=-⎩1x =4y =5x y +=B ：因为两个复数不能比较大小，所以B 不正确；C ：因为，所以复数z 对应的点位于第二象限，因此C 2(12i)14i 434i z =+=+-=-+()3,4-不正确；D ：因为，所以z 在复平面内对应的点的轨迹为圆心为，半径为3的圆，因此|2i |3z -=()0,2D 正确，故选：AD10．ACD【解析】对A,根据题意求出底面积与高再求体积判定即可.对B,根据斜二测画法前后面积的关系求解判断即可.对C,分析这三个平面的位置关系再逐个讨论即可.对D,利用反证法证明即可.【详解】对于A,正六棱锥的底面边长为1,则S 底面积＝6•1×1×sin60°；12⨯=则棱锥的高h 2,==所以该棱锥的体积为VS 底面积h 2正确；13=13==对于B,水平放置直观图是边长为a 的正三角形,直观图的面积为S ′a 2×sin60°,则原12=⨯2=△ABC 的面积为S ＝′＝a 22,所以B 错误；=对于C,若三个平面互相平行,则可将空间分为4部分；若三个平面有两个平行,第三个平面与其它两个平面相交,则可将空间分为6部分；若三个平面交于一线,则可将空间分为6部分；若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系）,则可将空间分为7部分；若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系）,则可将空间分为8部分；所以三个平面可以将空间分成4,6,7或8部分,C 正确；对于D,四点不共面,则其中任意三点不共线,否则是四点共面,所以D 正确；综上知,正确的命题序号是ACD.故选：ACD.【点睛】本题主要考查了立体几何中的基本性质与空间中线面的关系问题,属于基础题.11．ABD【分析】对于A ，由三角函数的平移变化即可判断A ；对于B ，用正、余弦的和差角公式及辅助角公式化简为，即可判断B ；对于C ，取时，即可判断C ；对于2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x π=D ，将化简，然后用二次函数求最值，即可判断D.()f x 【详解】对于A ，将图象沿轴方向向左平移个单位，则sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x 12π，所以A 正确；sin 2sin 2cos21232y x x xπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于B ，，当时，sin cos sin 2sin 363y x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 13x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以B 正确.max 2y =对于C ，，即，当时，(),()()()()()(),()()f x f x g x F x f x g x g x f x g x ≤⎧=⊗=⎨>⎩sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xF x x x x ≤⎧=⎨>⎩x π=，，所以C 错误.sin 0,cos 1ππ==-()()cos 1F x F ππ===-对于D ，()22()4sin 4cos 1=41cos 4cos 1f x x x a x x a=-++---++-，令，22=4cos 4cos 3,,43x x a x x ππ⎡⎤+--∈∈-⎢⎥⎣⎦12cos 1,t x ⎡⎤-⎢⎥=∈⎣⎦，所以在上单调递增，()221443442f t t t a t a⎛⎫=+--=+-- ⎪⎝⎭()f t 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，()min 142f t f a⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()()max 15f t f a ==-当时恒有解，则2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦()0f x =404505a a a a --≤≥-⎧⎧⇔⎨⎨-≥≤⎩⎩所以的范围是，所以D 正确.a [4,5]-故选：ABD.12．##45i -+54i -【分析】利用复数的几何意义，结合平面向量相等的性质即可得解.【详解】依题意，因为三点对应的复数分别是，，，,,A B C 13i +2i -3i -+所以，()()()1,3,2,1,3,1A B C --因为是平行四边形，所以，设，ABCD AB DC =(),D x y 则，故，解得，()()1,43,1x y -=---3114x y --=⎧⎨-=-⎩45x y =-⎧⎨=⎩所以，则点D 对应的复数为.()4,5D -45i -+故答案为: .45i -+13【分析】由向量的数量积的运算公式，运算求得，结合，1212e e ⋅= 222121212244e e e e e e +=++⋅即可求解.【详解】由向量满足，21,e e12121e e e e ==-=可得，解得，22121212122122221e e e e e e e e e e ==-=+-=-⋅⋅= 1212e e ⋅= 又由，所以.2221212122441427e e e e ee +=++⋅=++=1e + .14【分析】选取角度作为变量，运用正弦定理将线段表示为角度的函数，进而运用三角函数的知识求解最值可得出结果.【详解】正三角形ABC 中，，设 ，则根据题意有：,60AB BC B C =∠=∠=︒QRC θ∠=， 180120RQC C QRC θ∠=︒-∠-∠=︒-9030BQP RQC θ∠=︒-∠=-︒中，BPQ 180150BPQ B BQP θ∠=︒-∠-∠=︒-中，根据正弦定理得：BQP ·sin sin sin sin BQ PQ PQ BPQ BQ BPQ B B∠=∴==∠∠∠中，根据正弦定理得：RQC ·sin 2sin sin sin sin sin 60CQ RQ RQ QRC CQ QRC C C θ∠=∴==∠∠∠︒2sin sin 60AB BC BQ QC θ∴==+=︒化简计算得：（()AB θϕ=+tan ϕ=当时，有最大值 ()sin 1θϕ+=AB .15．(1)π3C =(2)或23a b =⎧⎨=⎩32a b =⎧⎨=⎩【分析】(1)直接由正弦定理可得，从而可得答案.sin sin a A c C =(2)由余弦定理可得，再由可求答案.2213a b +=6ab =【详解】（1及正弦定理得2sinc A =sin sin a A c C ==因为，故sin 0A >sin C =又锐角，所以.ABC π3C =（2）由余弦定理，22π2cos 73a b ab +-=，得6ab =2213a b +=解得:或.23a b =⎧⎨=⎩32a b =⎧⎨=⎩16．(1)或(3,3)c =- (3,3)c =- (2)π4【分析】（1）设，由，列出方程组，求得的值，即可求解；(,)c x y = c = //c a ,x y （2）由，求得，利用向量的夹角公式，求得，即可求解.(2)a a b⊥- 1a b ⋅= cos θ=【详解】（1）解：设，因为，且，(,)c x y = c = //c a 可得，解得或，22018y x x y +=⎧⎨+=⎩3,3x y =-=3,3x y ==-所以或.(3,3)c =- (3,3)c =- （2）解：因为，且，，(1,1)a =-r b 1b = 又因为，可得，所以，(2)a a b ⊥- 2(2)20a a b a a b ⋅-=-⋅=1a b⋅= 则cos a b a b θ⋅=== 因为，所以.[]0,πθ∈π4θ=17．(1)，或；12ω=π{|4π3x x k =+5π4π,Z}3x k k =+∈(2).1[,0]2-【分析】（1）利用正弦函数的周期公式求出，再求出方程的解集即得.ω（2）利用二倍角公式及辅助角公式求出，再利用正弦函数性质求出值域即可.()g x 【详解】（1）依题意，，解得，则，由，得，2π4πω=12ω=1()sin 2f x x =1()2f x =1sin 22x =解得或，即或π2π26x k =+5π2π,Z 26x k k =+∈π4π3x k =+5π4π,Z 3x k k =+∈所以的解集为或.1()2f x =π{|4π3x x k =+5π4π,Z}3x k k =+∈（2）依题意，，()sin f x x =2π11()sin )sin()cos 2cos 222g x x x x x x x =--=-，111πcos 22sin(2)2226x x x =-=-+当时，，则有，，π[0,]4x ∈ππ2π2[,]663x +∈1πsin(2)126x ≤+≤11πsin(20226x -≤-+≤所以函数，的值域为.()y g x =π[0,]4x ∈1[,0]2-18．(2)BC =【分析】（1）计算出，利用两角和的余弦公式可求得sin ,cos ,sin A A ADB ∠的值；cos cos BDC ABD ∠=∠（2）在中，利用正弦定理可求出BD 的长，再在中利用余弦定理可求得BC ABD △BCD △的长.【详解】（1）因为，解得，sin tan cos A A A ==22sin cos 1A A +=sin A cos A =而，所以，1cos 3ADB ∠=sin ADB ∠==所以cos cos()cos()ABD A ADB A ADB π∠=-∠-∠=-∠+∠(cos cos sin sin )A ADB A ADB =-∠-∠13=因为，所以，所以．//AB CD BDC ABD ∠=∠cos cos BDC ABD ∠=∠=（2）在中，由正弦定理得，ABD △sin sin BD AB A ADB =∠因为．AB =sin sin AB A BD ADB ⋅==∠在中，由余弦定理得CBD △2222cos BC BD CD BD CD BDC=+∠-⋅⋅，2718233=+-⨯=所以BC =19．(1) .1a =(2) 函数与函数的图象有2个公共点；说明见解析.()y f x =lg 2x y =(3).(3)-+∞【详解】分析：（1）由题意可得，解出；()()0f x f x +-=1a =（2）要求方程解的个数，即求方程在定义域上的解的个数，1lg lg21x x x +=-22101x x --=-D 令，利用零点存在定理判断即可；()2211x F x x =---（3）要使时，函数的图象始终在函数的图象的上方，[)1,2x ∈()2x y f =()lg 42x y =-必须使在上恒成立，令，则，上式整理得24221x x a +>--[)1,2x ∈2x t =[)2,4t ∈在恒成立，分类讨论即可.()2560t a t a +-+->[)2,4t ∈详解：（1）因为为奇函数，所以对于定义域内任意，都有，()f x x ()()0f x f x +-=即，22lg lg 011a a x x ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭， 22111a a x x ⎛⎫⎛⎫∴+⋅-= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭显然，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有.1x ≠1x ≠-上面等式左右两边同时乘以得()()11x x -+，化简得()()212121a x a x x ⎡⎤⎡⎤-+⋅+-=-⎣⎦⎣⎦，.()()2221430a x a a ---+=上式对定义域内任意恒成立，所以必有，x 2210430a a a ⎧-=⎨-+=⎩解得.1a =（2）由（1）知，所以，即，1a =()2lg 11f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭()1lg 1x f x x +=-由得或，101x x +>-1x <-1x > 所以函数定义域. ()f x ()(),11,D =-∞-⋃+∞由题意，要求方程解的个数，即求方程1lg lg21x x x +=-在定义域上的解的个数.22101x x --=-D 令，显然在区间和均单调递增，()2211x F x x =---()F x (),1-∞-()1,+∞又，()22112210343F --=--=-<-323212105252F -⎛⎫-=--=> ⎪⎝⎭- 且，.32322150122F ⎛⎫=--=-< ⎪⎝⎭()22221101F =--=> 所以函数在区间和上各有一个零点，()F x 32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭即方程在定义域上有2个解，22101x x --=-D 所以函数与函数的图象有2个公共点.()y f x =lg2x y =（附注：函数与在定义域上的大致图象如图所示）11x y x +=-2x y =()(),11,D =-∞-⋃+∞（3）要使时，函数的图象始终在函数的图象的上方，[)1,2x ∈()2x y f =()lg 42x y =-必须使在上恒成立，24221x x a +>--[)1,2x ∈令，则，上式整理得在恒成立.2x t =[)2,4t ∈()2560t a t a +-+->[)2,4t ∈方法一：令，.()()256g t t a t a =+-+-[)2,4t ∈① 当，即时，在上单调递增，522a -≤1a ≥()g t [)2,4所以，恒成立；()()()min 2425610g t g a a a ⎡⎤==+-+-=≥>⎣⎦② 当，即时，在上单调递减，542a -≥3a ≤-()g t [)2,4只需，解得与矛盾.()4320g a =+≥23a ≥-3a ≤-③ 当，即时，5242a -<<31a -<<在上单调递减，在上单调递增，()g t 52,2a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦5,42a -⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以由，解得()2min 561024a a a g t g --+-⎛⎫⎡⎤==> ⎪⎣⎦⎝⎭33a -<<+又，所以31a -<<31a -<<综合①②③得的取值范围是. a ()3-+∞方法二：因为在恒成立. 即，()2560t a t a +-+->[)2,4t ∈()2156t a t t ->-+-又，所以得在恒成立113t ≤-<2561t t a t -+->-[)2,4t ∈令，则，且，1u t =-[)1,3u ∈1t u =+所以， ()()22151656231u u t t u t u u -+++--+-⎛⎫==-+ ⎪-⎝⎭由基本不等式可知时，等号成立.）2u u +≥=[)1,3u =即，min 2u u ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以,2max max 562331t t u t u ⎡⎤⎡⎤-+-⎛⎫=-+=-⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎣⎦所以的取值范围是.a ()3-+∞点睛：函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.。
广东省重点高中高一下学期期中数学试题(解析版)
广东省广州市高一下学期期中数学试题一、单选题1．当m ＜1时，复数m （3+i ）﹣（2+i ）在复平面内对应的点位于（ ）23＜A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【分析】原复数化为（3m ﹣2）+i （m ﹣1），再根据m 的范围确定. 【详解】m （3+i ）﹣（2+i ）化简得（3m ﹣2）+i （m ﹣1）， ∵ 213m ＜＜∴3m ﹣2＞0，m ﹣1＜0 ∴所对应的点在第四象限 故选：D.【点睛】本题主要考查复数的代数形式，考查了复平面内各象限复数的特点，属于基础题.二、多选题2．对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（ ） a bA ．若，且与同向，则B ．||||a b > a ba b > ||||||a b a b ⋅ …C ．D ．||||||a b a b -- …||||||a b a b ++ …【答案】BD【分析】根据向量的性质及数量积的运算、模的运算及比较大小的方法可判断. 【详解】对于A ，由于向量不能比较大小，A 错误； 对于B ，，B 正确；|||||||cos ,|||||a b a b a b a b ⋅=⋅⋅〈〉…对于C ，，可能小于0，C 错误；||0b a - …||||a b -对于D ，因为，所以()(22222()||22a b a b a a b b a a b +-+=++-+⋅+ )22(1cos )0b a b θ=- …，D 正确．||||||a b a b ++…故选：BD三、单选题3．某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上A ．快、新、乐B ．乐、新、快C ．新、乐、快D ．乐、快、新【答案】A【分析】根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③，即可得出结论． 【详解】根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③， 故选A ．【点睛】本题考查四棱锥的结构特征，考查学生对图形的认识，属于基础题. 4．下列命题：①若直线上有无数个点不在平面内，则； l α//l α②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行；l αl α③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ④若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点. l αl α其中正确的个数是（ ） A ． B ．C ．D ．1234【答案】A【分析】利用直线与平面位置关系的定义，逐一分析判断各个命题即可作答. 【详解】对于①，当与相交时，直线上有无数个点不在平面内，①错误； l αl α对于②，当直线与平面平行时，与内的一条直线平行或异面，②错误； l αl α对于③，另一条直线可以在平面内，③错误；对于④，直线与平面平行，则直线与没有公共点，则与平面内的任意一条直线都没有公l αl αl α共点，④正确， 所以正确命题的个数是1. 故选：A5．已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为 a →b →a b λ→→+()21a b λ→→+-λA ．1 B ．C ．1或D ．-1或12-12-12-【答案】B【分析】根据题意，得出且，化简后得出，，()21a b k a b λλ→→→→⎡⎤+=+-⎢⎥⎣⎦0k <()211λλ-=0k λ=<即可求出实数的值.λ【详解】解：由题可知，，不共线，且向量与的方向相反，a →b →a b λ→→+()21a b λ→→+-则，即，()210a b k a b k λλ⎧⎡⎤+=+-⎪⎣⎦⎨<⎪⎩ ()210a b ka k b k λλ⎧+=+-⎪⎨<⎪⎩ 则，即，()1210kk k λλ=⎧⎪=-⎨⎪<⎩()2110k λλλ⎧-=⎨=<⎩解得：或（舍去）.12λ=-1λ=即实数的值为.λ12-故选：B.【点睛】本题考查平面向量共线的定理的应用，属于基础题.6．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向ABC ∆O 2AB AC AO OA AB +== ，BA BC 量为（ ） A ．B14BCC ．D ．14BC -【答案】A【分析】首先根据已知条件的点为中点，又因为点为的外接圆圆2AB AC AO +=O BC O ABC 心，得，再根据得为等边三角形，最后结合投影向量的定义即可求解.90BAC ∠=OA AB =ABO 【详解】已知，故点为中点，2AB AC AO +=O BC又因为点为的外接圆圆心，故为直角三角形，且.O ABC ABC 90BAC ∠= 由于，易知为等边三角形， OA AB =ABO 过点作的垂线，垂足为， A BC D 设，则. 12AB BO BC m ===2m BD =因此可得：向量在向量上的投影向量为.BABC 14BD BC = 故选：A7．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为A ．B ．C ．D ．3500cm 3π3866cm 3π31372cm 3π32048cm 3π【答案】A【分析】根据题意可求出正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm ，再根据截面圆半径，球的半径以及球心距的关系，即可求出球的半径，从而得到球的体积．【详解】设球的半径为cm ，根据已知条件知，正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为R 4cm ，球心到截面圆的距离为cm ，所以由，得，所以球的体积为()2R -()22242R R +-=5R =． ()333445005cm 333V R πππ==⨯=故选：A ．【点睛】本题主要考查球的体积公式的应用，以及球的结构特征的应用，属于基础题．8．已知三棱锥的底面为等腰直角三角形，其顶点P 到底面ABC 的距离为3，体积-P ABC ABC 为24，若该三棱锥的外接球O 的半径为5，则满足上述条件的顶点P 的轨迹长度为（ ） A ．6πB ．30πC ．D ．(9π+(6π+【答案】D【分析】利用三棱锥的体积，求解底边边长，求出的外接圆半径， -P ABC ABC 以及球心到底面的距离，判断顶点的轨迹是两个不同截面圆的圆周， O ABC P 进而求解周长即可．【详解】依题意得，设底面等腰直角三角形的边长为， ABC ()0x x >三棱锥的体积∴-P ABC 21132432V x =⋅⋅⋅=解得：x =的外接圆半径为ABC ∴ 112r ==球心到底面的距离为∴O ABC， 11d ===又顶点P 到底面ABC 的距离为3，顶点的轨迹是一个截面圆的圆周∴P 当球心在底面和截面圆之间时， ABC 球心到该截面圆的距离为，O 2312d =-=截面圆的半径为，2r ==顶点P 的轨迹长度为；∴22r π=当球心在底面和截面圆同一侧时， ABC 球心到该截面圆的距离为，O 3314d =+=截面圆的半径为，33r ===顶点P 的轨迹长度为；∴326r ππ=综上所述，顶点P 的轨迹的总长度为 (6π+故选：D ．【点睛】本题考查空间几何体外接球的问题以及轨迹周长的求法，考查 空间想象能力、转化思想以及计算能力，题目具有一定的难度．四、多选题9．设为复数，则下列命题中正确的是（ ） z A ．B ．2z z z =⋅22z z =C ．若，则的最小值为 D ．若，则1z =i z +011z -=02z ≤≤【答案】ACD【分析】根据复数的概念以及复数的几何意义对每个选项逐个判断即可.【详解】对于A ，不妨设，所以.，所以；i(,)z a b a b R =+∈i z a b =-222z a b =+又因为，所以.故A 正确；22(i)(i)z z a b a b a b ⋅=+-=+2z z z =⋅对于B ，不妨设，则，，和不一定相i(,)z c d c d R =+∈2222(i)2i z c d c d cd =+=-+222z c d =+2z 2z 等，故B 错误；对于C ，根据复数的几何意义可知，表示以原点为圆心，为半径的圆上的点；表示1z =1M i z +点到点的距离，那么点与点重合时距离最小为，故最小值为，故C 正M (0,1)N -M N 0i z +0确；对于D ，根据复数的几何意义可知，可以表示以为圆心，为半径的圆上的点,表11z -=(1,0)1P z 示点到原点的距离，则当点与点重合时距离最小为；当点时距离最大为.故P O O P 0(2,0)P 2，故D 正确.02z ≤≤故选:ACD10．在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，下列说法正确的是（ ） ABC A ．若，则为等腰三角形 cos cos a A b B =ABC B ．若，，，则必有两解 40a =20b =25B =︒ABCC ．若，则角B 的大小为cos a B =sin 3b A =3πD ．若，则为锐角三角形 cos 2cos 2cos 21A B C +-<ABC 【答案】BC【分析】由正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换依次判断4个选项即可.【详解】对于A ，由正弦定理得，即，又，sin cos sin cos A A B B =11sin 2sin 222A B =()0,A B π+∈则，或，22A B =22A B π+=则为等腰三角形或直角三角形，A 错误； ABC 对于B ，由正弦定理得，解得，又，故sin sin a bA B =sin sin 2sin 252sin 301a B A b==<= a b >必有两解，B 正确；ABC对于C ，，由正弦定理得，又，sin 3cos b A B ==sin sin cos B A A B =()sin 0,0,A B π≠∈故，C 正确；tan B =3B π=对于D ，由余弦倍角公式知：，即，22212sin 12sin 12sin 1A B C -+--+<222sin sin sin 0A B C +->由正弦定理得，由余弦定理，即为锐角，不确定是否为2220a b c +->222cos 02a b c C ab+-=>C ,A B 锐角，故D 错误. 故选：BC.11．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是 A ．圆锥 B ．圆柱C ．三棱锥D ．正方体【答案】ACD【分析】根据物体特征分析截面可能的情况即可得解.【详解】圆锥的轴截面是三角形，圆柱的任何截面都不可能是三角形， 三棱锥平行于底面的截面是三角形， 正方体的截面可能是三角形，如图：故选：ACD【点睛】此题考查物体截面辨析，关键在于熟悉常见几何体的几何特征，分析截面可能的情况. 12．下列说法正确的是（ ）A ．若非零向量，且，则为等边三角形 0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭ 12AB AC AB AC ⋅= ABC B ．已知，且四边形为平行四边形，则 ,,,OA a OB b OC c OD d ====ABCD 0a b c d +--=C ．已知正三角形的边长为O是该三角形的内切圆，P 是圆O 上的任意一点，则ABC 的最大值为1PA PB ⋅D ．已知向量，则与夹角的范围是()())2,0,2,2,OB OC CA αα=== OAOB 5,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】AC【分析】利用单位向量以及向量数量积的定义可判断A ；利用向量的加法运算可判断B ；利用向量的加、减运算可判断C ；由题意可得点在以为半径的圆上，由向量夹角定义可A ()2,2判断D.【详解】A ，因为非零向量，所以的平分线与垂直， 0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭BAC ∠BC 为等腰三角形，又，所以， ABC 12AB AC AB AC ⋅=3BAC π∠=所以为等边三角形，故A 正确；ABC B ，, a b c d OA OB OC OD +--=+--，CA DB CD DA DA AB =+=+++在平行四边形中，有，ABCD AB DC =所以原式，故B 错误； 20DA =≠C ，设正三角形内切圆半径，ABC r 由面积相等可得，113sin 223r π⨯⨯=⨯解得，令的中点为，从而1r =AB D DA DC ==则，,2PA PB PD += 2PA PB BA DA -== 两式平方作差可得,22444PA PB PD DA ⋅=- 即，若要使最大，只需最大23PA PB PD ⋅=- PA PB ⋅ 2PD 由于为的中点，也为圆与的切点，所以的最大值为， D AB O AB PD 22r =所以，故C 正确；23431PA PB PD ⋅=-≤-=D ，设，，(),OA x y =())2,2CA OA OC x y αα=-=--=所以，， 2x α-=2y α-=所以，()()22222x y -+-=即在以 A ()2,2如图：，所以， 1sin 2COA ∠=6COA π∠=当与圆在下方相切时，与夹角最小，此时为，OA OA OB 4612πππ-=当与圆在上方相切时，与夹角最大，此时为，OA OA OB 54612πππ+=所以与夹角的范围是，故D 错误.OA OB 5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：AC【点睛】关键点点睛：本题考查了向量的数量积定义、向量的加减法以及向量的夹角，解题的关键是是将向量问题转化为平面几何问题，利用圆的性质求解，考查了转化思想、数学运算、数学建模，此题是向量的综合题目.五、填空题13．已知复数满足，则 _________________； z (12)43i z i +=+z =【答案】2i +【分析】先根据复数除法得，再根据共轭复数概念得. z z 【详解】因为，所以,即 ()1243i z i +=+43212iz i i+==-+2.z i =+【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等，属于基本题.复数的实部为、虚部(,)abi a b R +∈a 为、对应点为、共轭为b (,)a b .-a bi六、双空题14．如图，在中，，点在线段上移动（不含端点），若，ABC 13BD BC = E AD AE AB AC λμ=+则____________，的最小值是____________. λμ=22λμ-【答案】 214-【分析】利用定比分点公式得出，设出得出2133AD AB AC =+ (01)AE x AD x =<< ，则，两问分别代入计算即可.233x x AE AB AC =+ 2=,33x x λμ=【详解】因为在中，，所以.ABC 13BD BC = 2DC BD =u u u r u u u r由向量定比分点公式得,即. 211212AD AB AC =+++2133AD AB AC =+ 因为点在线段上移动（不含端点），所以设.E AD (01)AE x AD x =<<所以，对比可得. 233x x AE AB AC =+ AE AB AC λμ=+ 2=,33x xλμ=代入，得；2=,33x x λμ=2323xx λμ==代入可得，根据二次函数性质知当2=,33x x λμ=2222422=23393(01)x x x x x λμ⎛⎫--⨯= ⎭<-<⎪⎝时，. 2334429x -=-=⨯()22min 432312=94344λμ⎛⎫-⨯-⨯=- ⎪⎝⎭故答案为: 12;4-七、填空题15．某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的表面积为________.50cm 2cm【答案】2(7500cm +【分析】由题意，该几何体是由棱长为的正方体截去八个四面体构成的多面体，截去的八个50cm 四面体是全等的三棱锥，结合三角形和正方形的面积公式，即可求解.【详解】由题意，该几何体是由棱长为的正方体截去八个四面体构成的多面体，截去的八个50cm 四面体是全等的三棱锥，同时几何体是由8个底面边长为的等边三角形和边长为的6个正方形组成的一个14面体，所以该几何体的表面积为：. 218606(75002S cm =⨯⨯+⨯=+故答案为：.2(7500cm +【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及几何体的表面积的计算，其中解答中正确判定几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及计算能力，属于基础题. 16．已知矩形，沿将折起成.若点在平面上的射影落,2,1ABCD AB AD ==BD ABD △A BD ' A 'BCD 在的内部（不包括边界），则四面体的体积的取值范围是___________.BCD △A BCD -'【答案】【分析】由点在平面上的投影落在的内部，可知当在面上的投影在上'A BCD BCD △'A BCD CD 时，四面体的体积最小，当当在面上的投影在上时，四面体的体积最'A BCD 'A BCD BD 'A BCD 大，从而求出四面体的体积的取值范围.'A BCD 【详解】解：根据题意可知：点在平面上的射影落在的内部（不包括边界） A 'BCD BCD △所以当在面上的投影在上时，四面体的体积最大，'A BCD BD 'A BCD由，设到面的距离为，BD =='A BCD 1d则11111222d d ⨯⨯=⇒=所以四面体的体积最大为： 'A BCD 111232⨯⨯⨯=当在面上的投影在上时，四面体的体积最小，'A BCD CD 'A BCD 如图：翻折前翻折后设到面的距离为，其中 'A BCD 2d A E ='1d AF A F =='=所以 DF ==2DF AF EF EF =⋅⇒=所以2d A E ='=所以四面体的体积最小为： 'A BCD 111232⨯⨯⨯=所以四面体的体积的取值范围为.'A BCD故答案为：.八、解答题17．已知()()()()0,0,1,1,1,3,2,5A O B C --(1)判断A ，B ，C 三点之间的位置关系；(2)当为何值时，与垂直．()R λλ∈AB AO λ+ BC 【答案】(1)三点共线(2) 103λ=-【分析】（1）根据向量共线充要条件计算即可；（2）根据向量数量积的坐标表示计算垂直关系求参数即可.【详解】（1）由题意可得：,显然,而有公共点B ，故A ，()()2,4,1,2AB BC == 2AB BC = AB BC 、B ，C 三点共线；（2）易得：， ()24AB AO λλλ+=++ ，当与垂直时有：. AB AO λ+ BC ()()10122403λλλ⨯++⨯+=⇒=-18．设是虚数，且满足. z 1z zω=+12ω-<<(1)求的值及的实部的取值范围；||z z (2)设，求证：为纯虚数； 11z u z-=+u (3)求的最小值.2u ω-【答案】(1)， ||1z =112⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)证明见解析(3)1【分析】（1）根据复数的除法可得，根据其为实数可得，从而的实部的取值范围；ω221a b +=z（2）根据复数的除法可得，从而可证为纯虚数； i 1b u a =-+u （3）根据基本不等式可求最小值.【详解】（1）设，，，i z a b =+a b R ∈、0b ≠则， 22221i i i a b a b a b a b a b a b ω⎛⎫⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∵，∴是实数，又，∴，即，12ω-<<ω0b ≠221a b +=||1z =∴，，，∴的实部的取值范围是； 2a ω=122a ω-<=<112a -<<z 112⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）， ()222211i 12i i 11i 11z a b a b b b u z a b a a b------====-++++++∵，，∴为纯虚数； 1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭0b ≠u （3）， ()()22212122212131111b a u a a a a a a a a ω-⎡⎤-=+=-=-+=++-⎢⎥+++⎣⎦+∵，∴，故， 112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭10a +>223431u ω-≥⨯=-=当，即时，取得最小值. 111a a +=+0a =2u ω-119．如图，某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面．制作时需要将圆锥的顶点剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．24πcm 30cm 20cm(1)求这种“笼具”的体积；(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元?【答案】(1)33552πcm (2)1104π25【分析】（1）求出圆柱的体积和圆锥的体积，相减后得到答案；（2）先求出这种笼具的表面积，从而得到总造价.【详解】（1）设圆柱的半径为，体积为，圆锥的体积为，r 1V 2V 则由得，，2π24πr =12cm r =所以，3211230π2cm 430πV =⨯=设圆锥的高为，其中母线长，则由勾股定理得，h 20cm l=m c 16h ==， 3221π1216768c πm 3V =⋅⨯=故这种“笼具”的体积为；2314320π768π3πcm 552V V -=-=（2）圆柱的侧面积为，圆柱的上底面面积为，圆锥的侧面2124π30=720πcm S =⋅222π=144πcm S r =积为，23π=1220π240πcm S rl =⨯=所以“笼具”的表面积为，2123144π720π240π1104πcm S S S ++=++=故造50个“笼具”，总造价为（元）. 45081104π1104π1025⨯⨯=20．若函数，的角，，的对边分别为，，，且. 2()2cos2x f x x =+ABC A B C a b c ()3f A =（1）当取最大值时，判断的形状； b c a+ABC （2）在中，为边的中点，且，求的长.ABC D BC AD =2AC =BC【答案】（1）是等边三角形；（2）.ABC BC =【分析】（1）化简，由求得，根据正弦定理得到()f x ()3f A =3A π=，从而判断取最大值时，B 的取值，从而判断三角形形状； sin sin 2sin sin 6b c BC B a A π++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭（2）取边的中点，在中，由余弦定理求得，，从而在中由余弦定理求AB E ADEV AE AB ABC 得.BC 【详解】解：因为 ()+cos 12sin 16f x x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭所以由得， ()2sin 136f A A π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为，所以，所以， 0A π<<7666A πππ<+<62A ππ+=3A π=（1） sin sin 2sin sin 6b c B C B a A π++⎛⎫===+ ⎪⎝⎭因为，，所以， 203B π<<5666B πππ<+<所以当时，取最大值， 3B π=b c a +此时，所以，所以是等边三角形；3C π=A B C ==ABC （2）解：取边的中点，连接，AB E DE 则，且， //DE AC 112DE AC ==23AED π∠=在中，由余弦定理得 ADE V 2222 2cos 133AD AE DE AE DE π=+-⋅⋅=解得，所以3AE =6AB=在中由余弦定理得ABCBC ===【点睛】方法点睛：利用正弦定理进行边角转化，根据三角函数的最值情况来求得原表达式的最值，从而判断三角形形状；利用余弦定理解得三角形各边长.21．在中，满足，M 是中点．ABC AB AC ⊥ BC （1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；AB AC = 2+ AB AC 2AB AC +u u u r u u u r （2）若O 是线段，求的最小值．AM ⋅+⋅ OA OB OC OA 【答案】（1）（2） 4512-【分析】（1）利用平面向量的夹角公式可求得结果；（2）设，将化为的二次函数，利用二次函数知识可求得结OM t AM = (01)t ≤≤⋅+⋅ OA OB OC OA t 果.【详解】（1）因为，所以，AB AC ⊥ 0AB AC ⋅= 设向量与向量的夹角为，2+ AB AC 2AB AC +u u u r u u u r θ则 ()()22cos |2||2|AB AC AB AC AB AC AB AC θ+⋅+=+⋅+==. 45=（2）因为，M 是，AB AC ⊥ BC所以， 1||||2AM BC = 1===设，则，OM t AM = (01)t ≤≤OA OM AM =- (1)t AM AM t AM =-=- 所以 ⋅+⋅ OA OB OC OA ()222(1)OA OB OC OA OM t t AM =⋅+=⋅=- ， 2(1)t t =-2112(22t =--因为，所以当时，取得最小值. 01t ≤≤12t =2112(22t --12-所以的最小值为. ⋅+⋅ OA OB OC OA 12-【点睛】关键点点睛：第（2）问，设，将化为的二次函OM t AM = (01)t ≤≤⋅+⋅ OA OB OC OA t 数，利用二次函数知识求解是解题关键.22．在气象台A 正西方向处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为250km ，距台风中心以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台40km/h 250km 所在地是否会受到台风的影响?如果会，大约多长时间后受到影响?持续时间有多长?（精确到）10min 2.6≈≈【答案】答案见详解.【分析】以气象台为坐标原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴建立平面直角坐标系，则x y 现在台风中心的坐标为，用参数写出小时后的坐标，由求得的范围，从1B ()250,0-t B 250AB ≤t 而得出结论．【详解】以气象台为坐标原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴建立平面直角坐标系， x y 则现在台风中心的坐标为，， 1B ()250,0-145AB B ︒∠=根据题意，可知小时后，的坐标为，t B ()25040cos45,40sin 45t t -+︒︒即，()250,-+因为以台风中心为圆心，以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响，所以在圆上或圆内时，气象台将受台风影响.B所以令，即，250AB ≤222(250))250-≤++整理得，解得 240t -≤0t ≤≤所以，08.75t ≤≤故气象台A 所在地马上将遭受台风影响，大约持续8小时50分钟.。
2023广东省深圳中学高一下学期期中数学试题及答案
深圳中学2022—2023学年度第二学期期中考试试题数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数25ii z -=，则z 的虚部为（ ）A. 2B. 2- C. 5D. 5-2. 下列结论中，正确的是（ ）A. 零向量只有大小，没有方向B. 若//AB CD ，//AB EF，则//CD EFC. 对任一向量a ，0a >总是成立的D. AB BA= 3. 若7cos 225α=-，π02α<<，则cos α等于（ ）A45 B. 45-C.35D. 35-4. 函数()12cos 22f x x x =+的最小正周期和振幅分别是（ ）A. π,1B. π,2C. 2π,1D. 2π,25. 已知,,,M N P Q 是平面内四个互不相同的点，,a b 为不共线向量，5MN a b =+，()24=--NP a b ，()3=- PQ a b ，则（ ）A. M ，N ，P 三点共线B. M ，N ，Q 三点共线C. M ，P ，Q 三点共线D. N ，P ，Q三点共线6. 已知,αβ都锐角，12cos 13α=，()4cos 5αβ+=，则cos β等于（ ）A.6365B. 6365-C. 3365D. 3365-7. 若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）.为A. 65-B.25C. 25-D.65或25-8. 剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形ABCD 的边长为2，点P 在四段圆弧上运动，则AP AB ⋅的取值范围为（ ）A. []1,3-B. []2,6-C. []3,9-D. []3,6-二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知平面向量()()2,2,1,a b m ==，且22a b a b +=- ，则（ ）A. 1m =- B. π,3a b =C. //a bD.b =10. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且π8,6c B ==.若ABC 有两解，则b 的值可以是（ ）A. 4B. 5C. 7D. 1011. 已知()cos ,sin a θθ=，()cos ,sin b ϕϕ= ，则下列选项中可能成立的是（ ）A. a b a b+=- B. 1a b -= C. ()()1a b a b +⋅-= D.2a b ×= 12. 如图，直线12l l ∥，点A 是12,l l 之间的一个定点，点A 到12,l l 的距离分别为1和2.点B 是直线2l 上一个动点，过点A 作AC AB ⊥，交直线1l 于点,0C GA GB GC ++=，则（ ）A. ()12AG AB AC =+B. GAB △面积的最小值是23C. 1AG ≥ D. GA GB ⋅存在最小值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 2cos 15= _____．14. 设,D E 分别是ABC 边,AB BC 上的点，12,23AD AB BE BC ==,若,AB a AC b == ，则DE＝________.（用,a b 表示）15.=________ .16. 如图在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是______________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知复数1i z =-（i 是虚数单位）.（1）求复数z 的模和共轭复数；（2）若(),az b z a b R +=∈，求,a b 的值.18 已知向量a ，b满足()1,1a =- ，1= b ．（1）若a ，b 的夹角为π3，求a b ⋅ ；（2）若()-⊥a b b r r r ，求a 与b的夹角．19. 已知向量()sin ,1a x = ，3cos ,2b x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，函数()()2f x a a b =⋅- .（1）求()f x 的最小正周期以及单调递增区间；（2）将()f x 的图象向左平移π4单位后得到()g x 的图象，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()g x 的值域.的.20. 某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距12km 的观测站A 和B ，观测人员分别在A ，B 处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C 处，观测人员从两个观测站分别测得30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，经过一段时间后，该动物种群出现在点D 处，观测人员从两个观测站分别测得75BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒．（注：点A ，B ，C ，D 在同一平面内）（1）求ABD △的面积；（2）求点C D ，之间的距离．21. 已知tan α，tan β是方程2430x px --=的两个实根，且0p >.（1）若1p =，求()tan αβ+的值；（2）用p 表示()()2tan cos 2cos 2sin αβαβαβ⎡⎤++-⎣⎦，并求其最大值.22. 悬索桥外观大气漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线的方程和双曲余弦函数cos ()h x 以及双曲正弦函数()sin h x 有关.已知()cos ()f x h x =是R 上的偶函数，()()sin g x h x =是R 上的奇函数，满足()()e x f x g x +=，其中e 是自然对数的底数.（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）已知[]0,x π∈，（i ）解不等式cos sin sin cos e e e e x x x x ---≥-；（ii ）设（i ）中不等式的解集为D ，若x D ∀∈，()()2cos cos 10f x ag x -+≥恒成立，求a 的取值范围.（注：1e<+<）.的深圳中学2022—2023学年度第二学期期中考试试题数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数25ii z -=，则z 的虚部为（ ）A. 2B. 2- C. 5D. 5-【答案】B 【解析】【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数，即可得出答案.【详解】()i 25i 25i 52i i 1z ---===--，则z 的虚部为2-．故选：B .2. 下列结论中，正确的是（ ）A. 零向量只有大小，没有方向B. 若//AB CD ，//AB EF，则//CD EFC. 对任一向量a ，0a >总是成立的D. AB BA=【答案】D 【解析】【分析】对于A ，根据零向量的定义可判断；对于B ，根据向量平行的传递性可判断；对于C ，举反例00= ，即可判断；D ，根据AB BA =-即可判断.【详解】对于A ，零向量的方向是任意方向的，A 错误；对于B ，当0AB = 时，CD 与EF可以不平行，B 错误；对于C ，00=，C 错误；对于D ，AB BA BA =-=，D 正确.3. 若7cos 225α=-，π02α<<，则cos α等于（ ）A.45 B. 45-C.35D. 35-【答案】C 【解析】【分析】根据倍角余弦公式可得29cos25α=，再根据π02α<<，开方即可求解.【详解】因为27cos 22cos 125αα=-=-，所以29cos 25α=，又π02α<<，则3cos 5α=.故选：C4. 函数()12cos 22f x x x =+的最小正周期和振幅分别是（ ）A. π,1 B. π,2C. 2π,1D. 2π,2【答案】A 【解析】【分析】利用辅助角公式化简可得()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合最小正周期和振幅的概念即可求解.【详解】()1π2cos2sin 226f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期为2ππT ω==，振幅为1.故选：A.5. 已知,,,M N P Q 是平面内四个互不相同的点，,a b 为不共线向量，5MN a b =+，()24=--NP a b ，()3=- PQ a b ，则（ ）A. M ，N ，P 三点共线B. M ，N ，Q 三点共线C. M ，P ，Q 三点共线D. N ，P ，Q三点共线【解析】【分析】根据共线定理即可判断各项.【详解】对于A ，令tMN NP = ，即()()524b t a b a -+-=，所以258t t =-⎧⎨=⎩，所以不存在t ，使得tMN NP = ，A 错误；对于B ，由于2(4)NP a b =--，3()PQ a b =-，所以5NQ NP PQ a b =+=+ ，所以MN NQ = ，又,MN NQ相交于点N ，故 M 、N 、Q 三点共线.B 正确；对于C ，13MP MN NP a b =+=-+，令mMP PQ = ，即()()133b m b a a -+=-，所以3133m m -=⎧⎨=-⎩，所以不存m ，使得mMP PQ = ，C 错误；对于D ， 令nNP PQ = ，即()()243b n a b a --=- ，所以2383n n -=⎧⎨=-⎩，所以不存在n ，使得nNP PQ = ，D 错误.故选：B6. 已知,αβ都为锐角，12cos 13α=，()4cos 5αβ+=，则cos β等于（ ）A.6365B. 6365-C. 3365D. 3365-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦的差角公式，结合()βαβα=+-,同角三角函数关系求解即可.【详解】解：因为,αβ都为锐角，即π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0,παβ+∈因为12cos 13α=，()4cos 5αβ+=，在所以5sin 13α=，()3sin 5αβ+=，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++⎡⎤⎣⎦124536313513565=⨯+⨯=.故选：A7. 若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A. 65-B.25C. 25-D.65或25-【答案】B 【解析】【分析】利用三角恒等变换和同角三角关系求解即可.【详解】因为tan 2θ=-，所以cos 0θ≠，所以()222sin 1sin 2sin (sin cos 2sin cos )sin (sin cos )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ++++==+++222sin sin cos sin (sin cos )sin cos θθθθθθθθ+=+=+22tan tan 2tan 15θθθ+==+，故选：B8. 剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形ABCD 的边长为2，点P 在四段圆弧上运动，则AP AB ⋅的取值范围为（ ）A. []1,3-B. []2,6-C. []3,9-D. []3,6-【答案】B 【解析】【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求出点P 的横坐标的取值范围，利用平面向量数量积的坐标运算可求得AP AB ⋅的取值范围.【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xAy ，设点(),P x y ，易知，以AD 为半径的左半圆的方程为()()221110x y x +-=-≤≤，以BC 为半径的右半圆的方程为()()()2221123x y x -+-=≤≤，所以点P 的横坐标x 的取值范围是[]1,3-，又因为(),AP x y =，()2,0AB = ，所以，[]22,6AB AP x ⋅=∈- .故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知平面向量()()2,2,1,a b m ==，且22a b a b +=- ，则（ ）A. 1m =- B. π,3a b =C. //a bD.b =【答案】AD 【解析】【分析】因为22a b a b +=-，两边平方可得0a b ⋅= ，即可求得1m =-，从而可判断选项ABC ，进而求得()1,1b =-，从而可判断选项D.【详解】因为22a b a b +=- ，两边平方可得()()2222a ba b +=- ，所以22224444a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，即0a b ⋅= .对于A ，220a b m ⋅=+=，解得1m =-，A 正确；对于B ，因0a b ⋅= ，所以π,2a b =，B 错误；对于C ，因为0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，C 错误；对于D ，由选项A 可知()1,1b =-，所以b == ，D 正确故选：AD10. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且π8,6c B ==.若ABC 有两解，则b 的值可以是（ ）A. 4 B. 5C. 7D. 10【答案】BC 【解析】【分析】由题意画出图形，可知sin c B a c <<，求出a 的范围，根据选项，得出结果即可.【详解】解：如图：要使ABC 有两个解，则sin c B a c <<，即π8sin86a <<，解得：48a <<，故选：BC11. 已知()cos ,sin a θθ=，()cos ,sin b ϕϕ= ，则下列选项中可能成立的是（ ）A. a b a b+=- B. 1a b -= C. ()()1a b a b +⋅-= D.2a b ×= 【答案】AB 【解析】【分析】利用坐标进行向量线性运算，并结合三角恒等变换计算相应数量积和模长，从而判断出答案.为.【详解】因为()cos ,sin a θθ=，()cos ,sin b ϕϕ= ，所以1a == ，1b == ，()cos cos ,sin sin a b θϕθϕ+=++ ，()cos cos ,sin sin a b θϕθϕ-=--，()()222cos cos sin sin a b θϕθϕ+=+++ ()()22cos cos sin sin 22cos θϕθϕθϕ=++=+-，()()222cos cos sin sin a b θϕθϕ-=-+- ()()22cos cos sin sin 22cos θϕθϕθϕ=-+=--，若π2θϕ=+，此时222a b a b +=-= ，故a b a b +=- ，A 可能正确；若π3θϕ=+，此时21a b -= ，1a b -= ，B 选项可能正确；()()()()cos cos ,sin sin cos cos ,sin sin a b a b θϕθϕθϕθϕ+⋅-=++⋅--()()22222222cos cos sin sin cos sin cos sin 110θϕθϕθθϕϕ=-+-=++-+=-=，故C 一定不正确；[]cos ,cos ,1,1a b a b a b a b×=×=Î-，故D 一定不正确.故选：AB12. 如图，直线12l l ∥，点A 是12,l l 之间的一个定点，点A 到12,l l 的距离分别为1和2.点B 是直线2l 上一个动点，过点A 作AC AB ⊥，交直线1l 于点,0C GA GB GC ++=，则（ ）A. ()12AG AB AC =+B. GAB △面积的最小值是23C. 1AG ≥ D. GA GB ⋅存在最小值【答案】BC 【解析】【分析】根据题意建立合适的直角坐标系，设出(),3C m ，(),0B n ，(),G x y ，根据AC AB ⊥及0GA GB GC ++= ，即可找到三个点的坐标关系，分别写出AG ，()13AB AC +，即可判断A ；取AB 中点为F ，连接CF ，根据0GA GB GC ++=，可得,,G C F 三点共线，且G 为CF 靠近F 的三等分点，即可找到GAB △面积与ABC 面积之间比例关系，进而建立GAB △面积等式，根据基本不等式即可判断B ；求出AG ，再根据基本不等式可判断C ；写出GA GB ⋅ 进行化简，根据m 的范围即可得到GA GB ⋅的最值情况.【详解】设AB 中点为F ，连接CF ，以D 为原点，,DB DE 方向分别为,x y 轴建立如图所示的直角坐标系，则()0,2A ，()0,3E ，设(),3C m ，(),0B n ，(),G x y ，,,,R m n x y ∈，且,0m n ≠，所以(),1AC m =，(),2AB n =- ，因为AC AB ⊥，所以0AC AB ⋅=，即20mn -=，故2n m =，即2,0B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以(),2GA x y =-- ，2,GB x y m --⎛⎫= ⎪⎝⎭，(),3m x y GC =--，因为0GA GB GC ++=，所以2230355303m mx m x my y ⎧+⎪⎧=+-=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-=⎩=⎪⎩，因为()211,333m m AB AC ⎛⎫+ ⎪+=- ⎪ ⎪⎝⎭，故()13AG AB AC =+，A 错误；因为0GA GB GC ++= ，所以()GC GA GB =-+ ，即2GC GF =- ，所以,,G C F 三点共线，且G 为CF 靠近F 的三等分点，所以1136GABABC S S AC AB ==⋅==23=≥=，当且仅当221m m =，即1m =±时取等，故B 正确；因为()211,333m m AG AB AC ⎛⎫+ ⎪=+=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以AG =1=≥=，当且仅当224mm =，即m =时取等，故1AG ≥，C 正确；因为32,15,3334,m m m m GA GB ⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎛⎫+- ⎪=- ⎪⎭⎪⎝⎭⎝ ，所以245339m m m m GA GB ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⋅=--⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭222288275999m m m m ----=-=，因为R m ∈且0m ≠，所以20m >，记()87,0f x x x x=-->，()2810f x x'=+>，可知()f x 单调递增，没有最值，即GA GB ⋅没有最值，故D 错误.故选：BC【点睛】关键点睛：本题考查了平面向量数量积的性质以及平面向量在平面几何中的应用，属于较难题目.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 2cos 15= _____．【解析】【分析】利用21cos30cos 152+=即可得到答案.【详解】211cos302cos 1522++===.【点睛】本题主要考查余弦二倍角公式，熟记公式为解题关键，属于简单题.14. 设,D E 分别是ABC 的边,AB BC 上的点，12,23AD AB BE BC ==,若,AB a AC b == ，则DE＝________.（用,a b 表示）【答案】1263a b -+ 【解析】【分析】利用三角形法则，结合12,23AD AB BE BC ==即可.【详解】如图:因为12,23AD AB BE BC ==，所以()12122323DE DB BE AB BC AB AC AB =+=+=+-12212122336363AB AB AC AB AC a b -+=-+=-+，故答案为：1263a b -+15.=________ .【答案】1【解析】【分析】=，再利用差角余弦公式和诱导公式即可求解.=1===故答案为：116. 如图在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD = ，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是______________.【答案】22【解析】【分析】根据基底,AB AD 表示,,AP BP 再根据向量数量积化简2AP BP ⋅=，即得结果.【详解】13()()()()44AP BP AD DP BC CP AD AB AD AB ⋅=+⋅+=+⋅-2231162AD AB AB AD=--⋅ 311256413222.1622AB AD AB AD AB AD =-⨯-⋅=-⋅=∴⋅=【点睛】用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知复数1i z =-（i 是虚数单位）.（1）求复数z 的模和共轭复数；（2）若(),az b z a b R +=∈，求,a b 的值.【答案】（1）z =，1i z =+（2）1,0a b ==【解析】【分析】（1）利用复数模的公式求模，再利用复数的共轭复数的定义求共轭复数；（2）将复数z 代入(),az b z a b R +=∈，利用复数相等求解；【小问1详解】解：因为复数1i z =-（i 是虚数单位），所以z ==，1i z =+；【小问2详解】因为复数1i z =-（i 是虚数单位），且(),az b z a b R +=∈，所以()1i 1i a b -+=-，即i 1i a b a +-=-，则11a b a +=⎧⎨-=-⎩，解得01b a =⎧⎨=⎩.18. 已知向量a ，b满足()1,1a =- ，1= b ．（1）若a ，b 的夹角为π3，求a b ⋅ ；（2）若()-⊥a b b r r r ，求a 与b的夹角．【答案】（1（2）π4【解析】【分析】（1）先算出a r，再按照数量积的公式计算即可（1）根据()-⊥a b b r r r 得到()0a b b -=r r r g ，计算出a b ⋅ ，再根据cos θa b a b=即可【小问1详解】()1,1a =-，所以a =，所以π1cos 132a b a b ⋅==⨯=【小问2详解】因为()a b b -⊥ ，所以()0a b b -⋅=，所以20a b b -= ，所以1a b = ，令θa b ⋅=所以cos θa b a b⋅== 因为[]θ0,π∈，所以πθ4=故a 与b的夹角为π4．19. 已知向量()sin ,1a x = ，3cos ,2b x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，函数()()2f x a a b =⋅- .（1）求()f x 最小正周期以及单调递增区间；（2）将()f x 的图象向左平移π4单位后得到()g x 的图象，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()g x 的值域.【答案】（1）π，增区间为π3ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）⎡-⎣【解析】【分析】（1）求得()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据周期公式可求得最小正周期，令πππ2π22π,Z 242k x k k -≤-≤+∈可求得单调递增区间；（2）由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求得ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，再根据正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】由题意知：()()2π22sin 2sin cos 1sin 2cos 224f x a a b x x x x x x ⎛⎫=⋅-=+-=-=- ⎪⎝⎭ ，所以πT =，令πππ2π22π,Z 242k x k k -≤-≤+∈，则π3πππ,Z88k x k k -≤≤+∈所以()f x 的最小正周期为π，增区间为π3ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】由题意知：()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以()g x ⎡∈-⎣.即()g x的值域为⎡-⎣.20. 某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距12km 的观测站A 和B ，观的测人员分别在A ，B 处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C 处，观测人员从两个观测站分别测得30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，经过一段时间后，该动物种群出现在点D 处，观测人员从两个观测站分别测得75BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒．（注：点A ，B ，C ，D 在同一平面内）（1）求ABD △的面积；（2）求点C D ，之间的距离．【答案】（1）)236km +;（2）．【解析】【分析】（1）由正弦定理求得AD 的长，利用三角形面积公式，即可求得答案；（2）求出AC 和CAD ∠，由余弦定理即可求得答案.【小问1详解】ABD △ 中，75BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒，所以60ADB ∠=︒．由正弦定理：si n si n AD ABABD ADB=∠∠，得sin 45sin 60AD AB =︒︒，所以)sin 4512km sin 60AD AB ︒=⋅==︒,()1sin sin 75sin 45302BAD ⎫∠=︒=︒+︒=+=⎪⎪⎝⎭，所以ABD △的面积为)211sin 1236km 22ABD S AB AD BAD ∆=⋅⋅∠=⨯⨯=+．在【小问2详解】由30BAC ∠=︒，60ABC ∠=︒，得45CAD ∠=︒，且90ACB ∠=︒,12cos30AC ∴== ．在ACD中由余弦定理，得2222cos 3631662602CD AC AD AC AD CAD =+-⋅⋅∠=⨯+⨯-⨯=,所以)km CD =．即点C ，D之间的距离为．21. 已知tan α，tan β是方程2430x px --=的两个实根，且0p >.（1）若1p =，求()tan αβ+的值；（2）用p 表示()()2tan cos 2cos 2sin αβαβαβ⎡⎤++-⎣⎦，并求其最大值.【答案】（1）1 （2）11p p+，最大值为12【解析】【分析】（1）根据韦达定理，结合和角正切公式即可求解；（2）根据韦达定理结合和角正切公式先求得()tan p αβ+=，再利用三角恒等变换结合齐次弦化切得原式为()()22tan 11tan 11p p p pαβαβ+==++++，利用基本不等式即可求得最大值.【小问1详解】当1p =时，2430x x --=由题意知：tan tan 4αβ+=，tan tan 3αβ=-所以()tan tan 4tan 11tan tan 13αβαβαβ++===-+【小问2详解】由题知：tan tan 4p αβ+=，tan tan 3αβ=-，则()tan tan 4tan 1tan tan 13ppαβαβαβ++===-+因为()()()()222222cos 2cos 2sin cos sin cos sin sin cos cos sin αβαβααββαβαβ+-=--+-2222222222cos cos cos sin sin cos sin sin sin cos 2sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβαβ=--++-22cos sin αβ+2222cos cos sin sin 2sin cos cos sin αβαβαβαβ=+-()()2222cos cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ=-+-()()cos cos cos cos sin sin sin sin sin sin cos cos αβαβαβαβαββα=-+-()()()()()22222cos 1cos sin cos tan 1αβαβαβαβαβ+=+==+++++，所以()()()()222tan 1tan cos 2cos 2sin 1tan 11p p p pαβαβαβαβαβ+⎡⎤++-===⎣⎦++++而12p p +≥=，当且仅当1p =时，等号成立，所以当1p =时，取得最大值为12.22. 悬索桥的外观大气漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线的方程和双曲余弦函数cos ()h x 以及双曲正弦函数()sin h x 有关.已知()cos ()f x h x =是R 上的偶函数，()()sin g x h x =是R 上的奇函数，满足()()e x f x g x +=，其中e 是自然对数的底数.（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）已知[]0,x π∈，（i ）解不等式cos sin sin cos e e e e x x x x ---≥-；（ii ）设（i ）中不等式的解集为D ，若x D ∀∈，()()2cos cos 10f x ag x -+≥恒成立，求a 的取值范围.（注：1e<+<）.【答案】（1）()e e 2x x f x -+=，()e e 2x xg x --= （2）（i ）30,,π44ππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（ii ）[]4,4-【解析】【分析】（1）根据()cos ()f x h x =是R 上的偶函数，()()sin g x h x =是R 上的奇函数，由()()()()e e xx f x g x f x g x -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩求解；（2）由（i ）不等式cos sin sin cos cos cos sin sin e e e e e e e e x x x x x x x x -----≥-⇒+≥+，令()e e x x h x -=+，证明其单调性即可；（ii ）令cos t x =，将x D ∀∈，()()2cos cos 10f x ag x -+≥恒成立，转化为()22e e e e 20t t t t a --+--+≥恒成立求解.【小问1详解】解：由()()()()e exx f x g x f x g x -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得：()e e 2x xf x -+=，()2x x e eg x --=；【小问2详解】（i ）不等式cos sin sin cos cos cos sin sin e e e e e e e e x x x x x x x x -----≥-⇒+≥+，令()e exxh x -=+，任取[)12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()121212e eee xx x x h x h x ---=-+-，()12121e e 1ex x x x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为[)12,0,x x ∈+∞，所以12e 1x x +>，则12110e x x +->，因为12x x <，所以12e e x x <，所以()()120h x h x -<，所以函数()h x 在[)0,∞+为增函数，又()()ee e e xx x x h x h x ---=+=+=，所以()h x 是偶函数，则cos sin x x ≥，又因为[]0,πx ∈，所以不等式解集为30,,π44ππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（ii ）令cos t x =，则1,t ⎤⎡∈⋃-⎥⎢⎣⎦⎣⎦，由()()2cos cos 10f x ag x -+≥，得()22e ee e 20ttt t a --+--+≥，当t ⎤∈⎥⎦时，1e e e e t t --⎡⎤-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则问题转化为22e e 2e e t t t ta --++≥-恒成立，因为()2ee44e e 4e e e ett t t t tt t-----+=-+≥≥--，当且仅当e e 2t t --=时，等号成立，所以4a ≤，当1,t ⎡∈-⎢⎣时，1e e e e t t --⎡⎤-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则问题转化为22e e 2e e t t t ta --++≥-恒成立；，()2ee 44e e e e e ett t t t tt ta -----+=-+≥--，因为()2e e 44e e 4e e e e t t t t t tt t-----+⎛⎫=--+≤-=- ⎪--⎝⎭，当且仅当e e 2t t --=-时，等号成立，所以4a ≥-，综上：a 的取值范围是[]4,4-.。
广东省茂名市化州市2023-2024学年高一下学期期中学科素养测评数学试题
广东省茂名市化州市2023-2024学年高一下学期期中学科素养测评数学试题一、单选题1．已知集合{}N 3A x x =∈<，{}22B x x =-<<，则A B =I （ ）A ．{}23x x -<<B ．{}24x x -<<C ．{}0,1D ．{}0,1,22．若复数z 满足(1i)1z -=，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．22i -D ．22i + 3．若2x >，则42y x x =+-的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．84．已知π2cos 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．13BC ．D ．23- 5．设D 为ABC V 所在平面内一点，若3BC CD =u u u r u u u r ，则下列关系中正确的是（ ）A ．1433AD AB AC =-+u u u r u u u r u u u r B ．1344AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r C ．3144AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r D ．4133AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r 6．已知幂函数1()n f x mx +=是定义在区间[2,]n -上的奇函数，设222sin ,cos ,tan 777a f b f c f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c << 7．化橘红具有散寒燥湿，利气消疾，止咳、健脾消食等功效．如图，小明为了测量一棵老橘红树的高度，他选取与树根部C 在同一水平面的A 、B 两点，在A 点测得树根部C 在西偏北30︒的方向上，沿正西方向步行20米到B 处，测得树根部C 在西偏北75︒的方向上，树梢D 的仰角为30︒，则树的高度是（ ）A ．B ．C 米D 8．设函数()22f x x mx n =++，()()22424g x x m x n m =+++++，其中x ∈R ，若对任意t ∈R及任意n ∈R ，f t 和()g t 中至少有一个为非负值，则实数m 的最大值是（ ）A．1 B C ．2 D二、多选题9．已知直线l m ,，平面,αβ，则下列说法错误的是（ ）A ．//,//m l l α，则//m αB ．//,//,,l m l m ββαα⊂⊂，则//αβC ．//,,l m l m αβ⊂⊂，则//αβD ．//,//,,,l m l m l m M ββαα⊂⊂=I ，则//αβ10．已知向量(a =r ，()cos ,sin b αα=r ，则下列结论正确的是（ ） A ．若a r 与b r 的夹角为π3，则3a b -=r rB ．若a b ⊥r r ，则tan αC ．若a b ∥r r ，则tan α=D ．若a r 与b r 方向相反，则b r 在a r 上的投影向量的坐标是1,2⎛- ⎝⎭11．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱11AA =，P 为上底面1111D C B A 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ）A ．若3PD =，则满足条件的P 点有且只有一个B ．若PD P 的轨迹是一段圆弧C ．若PD ∥平面1ACB ，则DP 长的最小值为2D ．若PD ∥平面1ACB ，且PD =BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形的面积为94π三、填空题12．()130.50.2510.2562527--⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.13．定义运算：,,b a b a b a a b≥⎧⊗=⎨<⎩，则函数()33x x f x -=⊗的值域为． 14．在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为a ，b ，c ，其面积S =，这里1()2p a b c =++．已知在ABC V 中，6BC =，2AB AC =，则ABC V 面积的最大值为．四、解答题15．已知三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c o s c o s 2c o s a B b A c B +=．(1)求角B ；(2)若4A π=，角B 的角平分线交AC 于点D ，BD =，求CD 的长．16．已知平面向量()1,a x =r ，()23,b x x =+-r ，x ∈R .(1)若a b ⊥r r ，求a b -r r ；(2)若a r 与b r的夹角为锐角，求x 的取值范围.17．如图：在正方体1111ABCD A B C D -中，边长2AB =，M 为1DD 的中点．(1)求三棱锥D AMC -的体积；(2)求证：1//BD 平面AMC ；(3)若E 为线段1BD 上的动点，则线段1CC 上是否存在点N ，使//EN 平面AMC ？说明理由． 18．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格()P x （元）与时间x （天）的函数关系近似满足()1k P x x=+（k 为正常数）.该商品的日销售量()Q x （个）与时间x （天）部分数据如下表所示：已知第10天该商品的日销售收入为121元.（I ）求k 的值;（II ）给出以下二种函数模型：①()Q x ax b =+，②()|25|Q x a x b =-+，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量()Q x 与时间x 的关系，并求出该函数的解析式;（III ）求该商品的日销售收入()()130,f x x x N +≤≤∈（元）的最小值.（函数()(0,0)k f x x x k x =+>>，在区间(上单调递减，在区间)+∞上单调递增.性质直接应用.）19．已知1x =是函数()232g x ax ax =-+的零点，()()g x f x x=． (1)求实数a 的值；(2)若方程()3213021x x f k k ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．。
广东省广州市高一下学期期中联考数学试题(解析版)
一、单选题1．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则ABCD E BC F AE DF =A ．B ．1324AB AD -+1223AB AD +C ．D ．1132AB AD -1324AB AD -【答案】D【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：，，DF AF AD =- 1=2AF AE=AE AB BE+ ，，，即可得出答案.1=2BE BC =BC AD【详解】利用向量的三角形法则，可得，， DF AF AD =- =AE AB BE +为的中点，为的中点，则， E BC F AE 1=2AF AE 1=2BE BC1111==()=+2224DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+-- 又 =BC AD .1324DF AB AD ∴=- 故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力. 向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是： （１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）； （２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．2．已知m ，n 为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） ,αβA ．若，则 B ．若，则 //,//,//m n αβαβ//m n //,//,m m n αβαβ⋂=//m n C ．若，则 D ．若，则//,//αβn n //αβ//,m n n α⊂//m α【答案】B【分析】A ：结合两直线的位置关系可判断或异面； B ：结合线面平行的性质可判断//m n ,m n； C ：结合线面的位置关系可判断或相交； D ：结合线面的位置关系可判断//m n //αβ,αβ或.//m αm α⊂【详解】A ：若，则或异面，故A 错误；//,//,//m n αβαβ//m n ,m n B ：因为，所以在平面内存在不同于n 的直线l ，使得，则，从而，故//m αα//l m l //β//l n //m n ，故B 正确；C ：若，则或相交，故C 错误； //,//αβn n //αβ,αβD ：若，则或，故D 错误. //,m n n α⊂//m αm α⊂故选：B3．已知梯形ABCD 是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图A′B′C′D′（如图2所示），其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，则直角梯形DC 边的长度是A B ．C ．D【答案】B【详解】由图形可知．故选B ． 02,4,2,90AD BC AB ABC CD ===∠=∴==4．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．16B ．C ．D ．21【答案】D【分析】由祖暅原理知不规则几何体的体积与正六棱台体积相等即可求解. 【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等，故. ()12112133V S S h =+=⨯+⨯=故选：D5．P 是所在平面上一点，满足，则的形状是（ ） ABC A 20PB PC PB PC PA --+-=ABC A A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算、数量积与模长公式，可以得出，由此可判断出0AB AC ⋅=的形状.ABC A 【详解】由，可得，即，20PB PC PB PC PA --+-= 2CB PB PC PA =+-CB AB AC =+u u r u u u r u u u r ，AB AC AC AB -=+等式两边平方，化简得，， AB AC AC AB -=+ 0AB AC ⋅= AB AC ∴⊥ 因此，是直角三角形. ABC A 故选：B.6．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是（ ）A ．平面平面B ． BME //CAN AF CN //C ．平面D ．与相交//BM EFD BE AN 【答案】A【解析】将正方体的平面展开图复原为几何图形，进而判断选项的正误即可. 【详解】解：将正方体的平面展开图复原为几何图形，选项A ，如图可知，且平面，平面，//AN BM BM ⊂BME //AN BME ，且平面，平面，所以平面平面，故正确.NC BE //BE ⊂BME //NC BME BME //CAN选项B，如图，可知与为异面直线，不平行，故错误.AF CN选项C，如图可知平面与会相交，并不平行，故错误.EFD BM选项D，如图可知与为异面直线，不相交，故错误.BE AN故选：A.【点睛】本题考查空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的关系，考查空间想象能力，属于基础题.7．在正三角形ABC 中，AB ＝2，，且AD 与BE 相交于点O ，则＝1,2BD DC AE EC == ·OA OBA ．－B ．－C ．－D ．－45342312【答案】B【分析】根据题意将 用基底向量表示出来，然后通过基底向量进行计算．,OA OB,AB AC【详解】由题意画图如下因为,所以D 时BC 的中点，BD DC =所以,1122AD AB AC =+ 因为，12AE EC = 所以，13AE AC = 设，则,AO AD λ=1122AO AB AC λλ=+ 因为B,O,E 三点共线，所以存在实数 ，使得 μ()()1113AO AB AE AB AC μμμμ=+-=+-所以可得 解得 ()1=211=123λμλμ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩1=21=4λμ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩所以1144AO AB AC =+3144BO BA AO AB AC =+=-+所以11314444OA OB AO BO AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫==+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ A A A2222311=16816311222cos 6021681634AB AB AC AC --+=-⨯-⨯⨯⨯+⨯=-A 故选B【点睛】本题考查向量的运算，解题的关键是找到一组基底，将所求向量用基底表示，然后再进行数量积的运算．8．记内角的对边分别为，点是的重心，若则的ABC A ,,A B C ,,a b c G ABC A ,56BG CG b c ⊥=cos A 取值是（ ） A ．B ．C ．D ．5975577511156175【答案】D【分析】利用平向向量的线性运算得到，再由直角三角形斜边中线是斜边的一()12AM AB AC =+u u u r u u u r u u u r半与三角形重心的性质求得，从而利用平面向量的数量积运算得到32AM a =，结合余弦定理整理得，从而求得. 22292cos a c b bc A =++22225cos 0c b bc A +-=61cos 75A =【详解】依题意，作出图形，因为点是的重心，所以是的中点，故，G ABC A M BC ()12AM AB AC =+u u u r u u u r u u u r由已知得， ,,BC a AC b AB c === 因为，所以， BG CG ⊥1122GM BC a ==又因为点是的重心，所以，则，G ABC A 12GM GA =1322AM a a a =+=又因为，所以，则， ()2214AM AB AC =+ ()222912cos 44a cb bc A =++22292cos a c b bc A =++又由余弦定理得，所以，整理得2222cos a c b bc A =+-()222292cos 2cos c b bc A c b bc A +-=++，22225cos 0c b bc A +-=因为，令，则， 56b c =()60b k k =>5c k =所以， ()()()()222526565cos 0k k k k A ⨯+⨯-⨯⨯=则. 12261cos 15075A ==故选：D..二、多选题9．已知，则下列命题正确的有（ ）((),cos ,sin a b θθ==A ．若，则B ．的最大值为2a b ⊥π3θ=a b ⋅C ．存在，使D ．的最大值为3θ||||||a b a b +=+a b - 【答案】BCD【分析】根据向量的数量积公式即可求解AB ，当同向时，则有，将转化,a b ||||||a b a b +=+a b - 为三角函数的最值问题即可求解.【详解】依题意，对于A ：，0a b a b⊥⇒⋅=即，(()πcos ,sin cos 2sin 06a b θθθθ=θ⎛⎫⋅=⋅=++= ⎪⎝⎭ 所以，故A 错误；()()πππ,Z πZ 66k k k k θθ+=∈⇒=-∈对于B ：由A 知，π2sin 6a b θ⎛⎫⋅=+ ⎪⎝⎭ 所以当时，()()πππ2π,Z 2πZ 623k k k k θθ+=+∈⇒=+∈有最大值2，故B 正确；对于C ：当时，， π3θ=(1,2a b ⎛== ⎝，(1322a b ⎛⎛+=+=⎝⎝所以， ||3a b +==，1=所以，故C 正确；||||||a b a b +=+对于D：，(()()cos ,sin 1cos sin a b θθθθ-=-=- 所以())2221cos sin a b θθ-=-+，=()π52cos 54sin 6θθθ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭当，πsin 16θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭即时， ()()ππ2π2π,Z 2π,Z 623k k k k θθ+=-+∈⇒=-+∈取得最大值9，所以的最大值为3，故D 正确.2a b - a b - 故选：BCD.10．折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台（ ）120ABC∠=︒A B ．表面积为34π9C D ．上底面积、下底面积和侧面积之比为1:9:24【答案】BCD【分析】求得圆台的上下底面半径，根据圆台的结构特征可求得圆台母线长和高，判断A ；根据圆台的侧面积以及体积公式求得表面积和体积，判断B ，C ；进而求得上底面积、下底面积和侧面积之比，判断D.【详解】对于A ，设圆台的上底面半径为r ，下底面半径为R ，则，112π2π1,2π2π333r R =⋅⋅=⋅⋅解得,所以圆台的母线长为，高为，选项A 错误；1,13r R ==312-=h ==对于B ，圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，1π9π18π(1)2π33⨯+⨯=所以圆台的表面积为，选项B 正确； 1834ππππ939S =++=对于C ，圆台的体积为 ，选项C 正确； 22111π[(11)333V =⋅+⋅+=对于D ，圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为，选项D 正确， 18πππ1:9:2493=∶∶故选：BCD ．11．在中，a ，b ，c 分别为的对边，下列叙述正确的是（ ） ABC A ,,A B C ∠∠∠A ．若有两解 45,A a b =︒==ABC AB ．若，则为等腰三角形 cos cos a bB A=ABC A C ．若为锐角三角形，则ABC A sin cos A B >D ．若，则为锐角三角形 sin :sin :sin 2:3:4A B C =ABC A 【答案】AC【分析】利用正弦定理可判定A ，B 的正误，根据锐角三角形的特点和余弦函数的单调性可得C 的正误，用正弦定理和余弦定理可得D 的正误.【详解】若， 45,A a b =︒==sin sin a bA B=可得或，sin sin b AB a===60B =︒120B =︒此时有两解，A 正确； ABC A 若，则由正弦定理可得，所以, cos cos a b B A=sin sin cos cos A BB A =sin cos sin cos A A B B =即，所以有或， sin 2sin 2A B =22A B =22180A B +=︒即或，B 不正确； A B =90A B +=︒若为锐角三角形，则，， ABC A π2A B +>π2B A >-因为在为减函数，所以，C 正确；cos y x =()0,ππcos cos sin 2B A A ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭若，则由正弦定理可得， sin :sin :sin 2:3:4A B C =::2:3:4a b c =设，其中；2,3,4a k b k c k ===0k >则为最大边，， c 22222249161cos 022234a b c k k k C abk k+-+-===-<⨯⨯为钝角三角形，D 不正确.ABC A 故选：AC.12．如图，在棱长为1的正方体中，P 是上的动点，则（ ）1111ABCD A B C D -11B DA ．直线与是异面直线 DP 1BCB ．平面 //CP 1A BDC ．的最小值是21A P PB +D ．当P 与重合时，三棱锥1B 1P A BD -【答案】ABD【分析】选项A ，利用平面可说明直线与是异面直线；11BB C C DP 1BC 选项B ，先证明平面平面，再由平面，得平面；11//CB D 1A BD CP ⊂11CB D //CP 1A BD 选项C ，通过作辅助线，将的最小值转化为求的值，在中，利用勾股定理求出1A P PB +BM BMN A 的值；BM 选项D ，认识到当P 与重合时，三棱锥的外接球与正方体的外接球是同一个，利用正1B 1P A BD -方体来求外接球半径.【详解】A 选项，因为直线与平面相交于点，直线在平面内，所以由线DP 11BB C C 1B 1BC 11BB C C 线位置关系知，直线与是异面直线，故选项A 正确；DP 1BC B 选项，连接，，由正方体性质，易知，，，所以四边形为平1CB 1CD 11//A D BC 11A D BC =11A BCD 行四边形，有，又平面，平面，所以平面， 11//CD A B 1CD ⊄1A BD 1A B ⊂1A BD 1//CD 1A BD 同理可证平面，1//CB 1A BD 又，都在平面内，且相交于点，所以平面平面， 1CD 1CB 11CB D C 11//CB D 1A BD 又平面，所以平面，故选项B 正确；CP ⊂11CB D //CP 1A BDC 选项，延长到，使得，1BB 2B 1211B B B D =21B D 在上取点，使得，21B D M 11111D M A D ==则，有.111A D P MD P ≅A A 1MP PA =故.1A P PB MP PB BM +=+≥过点作，交于点，M 12MN B B ⊥12B B N在中，因为，所以，又， 121B B D A 1211B B B D =212B D =111D M =所以， MN =1B N =1BN =BM =所以，故选项C 错误；1A P PB +D 选项，当P 与重合时，三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 1B 1P A BD -1111ABCD A B C D -又正方体的棱长为1，故其外接球半径D 正确. 1111ABCD A B C D -R ==故选：ABD.三、填空题13．已知是方向相同的单位向量,且向量在向量方向上的投影向量为,求与||2,||3,a b e == b a b e - a的夹角__________.b θ=【答案】 23π【分析】根据向量在向量上的投影向量为,由求解. a b e - cos ,1a b a b a b b b⋅⋅⋅==- 【详解】因为向量在向量上的投影向量为,a b e - 所以, cos ,1a b a b a b b b⋅⋅⋅==-即, 1cos ,2a b =- 因为,[],0,πa b ∈ 所以, 2π,3a b= 故答案为:. 2π314．已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为________．【分析】设圆柱底面圆的半径，外接球的半径为，得到，结合圆柱和球的体积公式，r R =R 即看求解.【详解】如图所示，作出圆柱与外接球的组合体的轴截面，设圆柱底面圆的半径，外接球的半径为，则，rR 12,2AB r AA r ==所以，可得，2R===R 所以外接球的体积， )333144ππ33V R r ==⋅=圆柱的体积为，232π22πV r r r =⋅=所以该球与圆柱的体积之比为12V V =15．如图所示，为了测量A 、B 两岛屿的距离，小明在D 处观测到A 、B 分别在D 处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶10海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60°方向，则A 、B 两岛屿的距离为__海里．【答案】【分析】先利用正弦定理求解AD 的长，再利用余弦定理求出AB ．【详解】由题意知∠ADB ＝60°，∠ACB ＝60°，∠ADC ＝105°，∠ACD ＝30°，CD ＝10，∠BDC =45°， 在三角形ACD 中，， 10sin 30sin 45AD =∴AD ＝在直角三角形BCD 中，BD ＝，在三角形ABD 中，AB=故答案为：16．如图，中，为中点，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则ABC A M AB 5,3,AB CM EF ==C 的取值范围是__________.⋅BE AF【答案】 1327,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】由向量的运算得出，再由的范围得出的取值范围. 74BE AF CE AB ⋅=⋅+ CE AB ⋅ ⋅BE AF 【详解】 ()()()2BE AF BC CE AC CE BC AC CE AC BC CE ⋅=+⋅-=⋅+⋅--()()()()BC AC BM MC AM MC AM MC AM MC ⋅=+⋅+=-+⋅+ ，且. 222511944MC AM =-=-= 21CE = 即 2579144BE AF CE AB CE AB ⋅=-+⋅-=⋅+ 设与的夹角为，则. CE AB []0,θπ∈77cos 5cos 44BE AF CE AB θθ⋅+=+⋅= 因为，所以. []cos 1,1θ∈-BE AF ⋅∈ 7713275,5,4444⎡⎤⎡⎤-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故答案为： 1327,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题17．已知向量，，． a b ()1,1b =- ()()2a b a b -⊥+ (1)若，求实数的值； //4a b a b λλ++ （）（）λ(2)若设与的夹角为，求的大小．2a b + b θθ【答案】(1) 12λ=±(2)4πθ=【分析】（1）利用向量垂直数量积为，得出，从而确定向量，不共线，可作为一组01a b ⋅=- a b 基底，再根据共线定理得出实数的值；λ（2）根据两向量的夹角公式的需要，首先求出两向量的数量积，再求出的模长，最后代入2a b + 夹角公式即可.【详解】（1）由可得：， ()()2a b a b -⊥+ ()()20a b a b -⋅+=即得，，2220a a b b +⋅-= ()1,1b =- 25a = 22b = 代入解得：，所以，是不共线的向量.1a b ⋅=- a b 由题可设：，因为，是不共线的向量， ()4a b a b λμλ++= a b所以且，解得． λμ=41λμ=12λ=±（2）由于， ()222143a b b a b b +⋅=⋅+=-+=，3a =+= 由与的夹角为：2a b + b θ()2c 2os a b b a b b θ+⋅===+⋅由于，所以．[]0,θπ∈4πθ=18．如图，已知正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高．S ABC -3SO=(1)求此正三棱锥的表面积；(2)求此正三棱锥的体积．【答案】(1)正三棱锥的表面积为(2)正三棱锥的体积为【分析】(1)由条件列方程求底面边长、斜高，进而求三棱锥的表面积；(2)利用锥体体积公式求解.【详解】（1）如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为，侧面积、底面积分别为， h '12,S S 过点O 作，与交于点E ，连接，则．OE AB ⊥AB SE ,SE AB SE h '⊥=由，即，可得. 122S S =21322a h '⋅⋅=⨯a'=由，则， SO OE ⊥222SO OE SE +=1133OE CE ===即．2223h ⎫''+=⎪⎪⎭．h '∴=6a =． 2226S ∴===1S =∴表面积12S S S =+==（2）正三棱锥的体积21113333ABC V S h S SO ==⋅=⨯=A 19．已知，，分别为三个内角，，的对边，且.a b c ABC A A B C 22cos b c a C =+(1)求；A(2)若，求的周长. ABC A 3a =ABC A 【答案】(1)π3A =(2)8【分析】（1）由及正弦定理求解；22cos b c a C =+（2）由面积公式求得，由余弦定理及求得，从而得到的周长.bc 3a =b c +ABC A 【详解】（1）.由正弦定理可得： 22cos b c a C =+ ∴，2sin sin 2sin cos B C A C =+所以，()()2sin π2sin sin 2sin cos A C A C C A C --=+=+所以，2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A C A C C A C +=+， ∴sin 2cos sin C A C =为三角形内角，，解得，， C sin 0C ≠1cos 2A =(0,π)A ∈. π3A ∴=（2），， 11sin 22S bc A bc === 163bc ∴=由余弦定理得，，22222cos ()22cos =+-=+--a b c bc A b c bc bc A 即，解得， 2169()33b c =+-⨯5b c +=的周长为.ABC A ∴8a b c ++=20．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E 为棱的中点，平面与棱P ABCD -ABCD PC ABE 交于点F ． PD(1)求证：平面；//PA BDE (2)求证：F 为的中点；PD 【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；【分析】（1）连接AC 交BD 于点G ，连接GE ，根据ABCD 为平行四边形，得到G 为AC 的中点，再由E 为PC 的中点，得到，再利用线面平行的判定定理证明；//GE PA （2）先由，利用线面平行的判定定理得到 平面ABEF ，再利用线面平行的性质定//AB CD //CD 理得到求解.//CD EF 【详解】（1）证明：如图所示：连接AC 交BD 于点G ，连接GE ，因为ABCD 为平行四边形，所以G 为AC 的中点，又E 为PC 的中点，所以，又平面BDE ，平面BDE ，//GE PA PA ⊄GE Ì所以平面；//PA BDE （2）因为底面为平行四边形，ABCD 所以，//AB CD又 平面ABCD ， 平面ABCD ，AB ⊂CD ⊄所以 平面ABEF ，又平面平面，//CD ABEF ⋂PDC EF =所以，//CD EF 又因为E 为PC 的中点，所以F 为的中点.PD 21．如图，棱长为2的正方体中，P ，Q 分别是棱的中点．1111ABCD A B C D -1,DDAB(1)平面与直线交于R 点，求的值； PQC 1AA 1AR A R(2)在线段上是否存在点M ，使得面，若存在，请求出M 点位置并证明；若不存1CC //BM PQC 在，请说明理由．【答案】(1) 13(2)存在，为线段上靠近点的四等分点M 1CC C【分析】（1）根据题意，延长和交于，连接，交于，即可得到，从CQ DA E PE 1AA R 114AR AA =而得到结果；（2）根据题意，取中点，中点，连接，即可得到四边形为平行四边PC N DC G ,NG NM MNQB 形，从而得到结果. 【详解】（1）延长和交于，连接，交于，CQ DA E PE 1AA R即平面与直线交于点，PQC 1AA R 因为为中点， ，所以为中点，Q AB AQ DC //A ED 于是， 1111111122244AR PD DD DD AA ==⨯==所以. 113AR A R =（2）存在，当为线段上靠近点的四等分点时，面，M 1CC C //BM PQC 取中点，中点，连接，则，且，PC N DC G ,NG NM //MN GC MN GC =所以，且，所以四边形为平行四边形，//MN BQ MN BQ =MNQB 所以，又因为平面，平面，BM NQ //BM ⊄PQC NQ ⊂PQC 所以面.//BM PQC 22．在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与AB 90BAD ∠=︒BC AB 道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知120ABC ∠=︒C ，路宽．设灯柱高，．60ACD ∠=︒12m AD =()m AB h =()3045ACB θθ∠=︒≤≤︒(1)当时，求四边形的面积；30θ=︒ABCD (2)求灯柱的高（用表示）；h θ(3)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出BC AB S S θS 的最小值．【答案】(1)2(2)()8sin23045h θθ=︒≤≤︒(3)，最小值为 ())8sin 2603045S θθ=++≤≤︒︒︒S 24+【分析】（1）由三角形角的关系结合正弦定理可得各边长，再由可得ABC ACD ABCD S S S =+四边形△△解；（2）分别在与中由正弦定理化简即可得解；ACD A ABC A （3）根据正弦定理分别表示各边长及，再根据三角函数求值域的方法可得最值.S 【详解】（1）当时，， 30θ=︒1801203030BAC ︒︒︒︒∠=--=所以，AB BC =又9060CAD BAC ∠︒∠=︒=-所以是等边三角形，所以，ACD A 12AC AD ==所以在中，，即， ABC A sin sin sin AB BC AC ACB BAC ABC==∠∠∠AB BC ==所以； 11sin1201212sin6022ABC ACD ABCD S S S =+=⨯︒+⨯⨯︒⨯=A A 四边形（2），，18012060BAC θθ∠=︒--=︒︒-9030CAD BAC θ∠︒-=+︒=∠，()180630900ADC θθ︒︒∠=-=︒-︒+-在中，由正弦定理得， ACD A sin sin AD AC ACD ADC∠∠=所以 ()12sin60sin 90AC θ=︒︒-所以AC θ=在中，由正弦定理得， ABC A sin sin AC AB ABC ACB =∠∠所以， sin120sin AC h θ=︒所以，所以； AC θ==()8sin23045h θθ=︒≤≤︒（3）在中，由正弦定理得， ABC A sin sin AC BC ABC BAC =∠∠， ()sin 60BC θ=︒-所以()[]216cos sin 6016cos sin60cos cos60sin 8sin cos BC θθθθθθθθ=-=︒︒-︒=-1cos24sin24sin22θθθθ+=-=-所以 ()8sin24sin24sin2S AB BC θθθθθ=+=+-=+， ()18sin28sin 2602θθθ⎛⎫=+=++ ⎭︒⎪⎪⎝因为，所以， 3045θ︒≤≤︒120260150θ︒≤+︒≤︒所以当，即时，取最小值 260150θ+︒=︒45θ=︒S 4+故关于的函数表达式为，最小值为. S θ())8sin 2603045S θθ=++≤≤︒︒︒S 24+。
广东省广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知向量，，则（ ）A. 2B. 3C. 4D. 52（ ）A. B. C. D. 3. 如图，四边形中，，则必有（ ）A. B. C. D. 4. 如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（ ）A. 与互相平行；B. 与是异面直线；C. 与相交，其交点在直线上；D. 与相交，且交点在直线上．5.已知，，且与互相垂直，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. .(2,1)a =(2,4)b =- ||a b -= ()i 13i 1i-=+2i +2i -2i-+2i--ABCD AB DC =AD CB=DO OB=AC DB=OA OC=ABCD E H AB AD F G BC CD EH FG ∥EH FG ≠EF GH EF GH EF GH EF GH BD EF GH AC a = 1b = a b - 2a b + a b30︒45︒60︒90︒6. 已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（ ）A. B. C. D.7. 函数的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 8. 如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过的最大整数，）.若该葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为（ ）A.B.C.D.二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式O O O 12π16π48π96π()()πsin 1002f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭，，()π16g x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭πππ,π,Z 66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ππ2π,2π,Z 66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦π5ππ,π,Z 36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦π,24P ⎛⎫⎪⎝⎭122sin 2πx y x ω⎛⎫⎡⎤=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭0x ≥[]x x 05ω<<M y 4π3M x 1412s t h cm，确定，其中，，．小球从最高点出发，经过后，第一次回到最高点，则（ ）A B.C. 与时的相对于平衡位置的高度D. 与时的相对于平衡位置的高度之比为10. 下列说法正确的是（ ）A. 向量在向量上的投影向量可表示为B. 若，则与的夹角θ的范围是C. 若是等边三角形，则D 已知，，则11. 如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点，，，则下列说法正确的是（ ）A. 直三棱柱的体积为..()sin h A t ωϕ=+[)0,t ∞∈+0A >0ω>(]0,πϕ∈2s π4ϕ=πω=3.75s t =10s t =h 3.75s t =10s t =h 12ab a b b b b⋅⋅0a b ⋅< a bπ,π2⎛⎤⎥⎝⎦ABC V π,3AB BC <>=(1,2)A -(1,1)B ()2AB =-,1111ABC A B C -,E F 11,B B C C 11111224AA A B A C ===111π3A CB ∠=111ABC A B C -B. 直三棱柱外接球的表面积为；C. 若分别是棱的中点，则直线；D. 当取得最小值时，有三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分12. 在复平面内，对应的复数是，对应的复数是，则点之间的距离是______．13. 已知不共线的三个单位向量满足与的夹角为，则实数____________.14. 将函数且的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图形向左平移个单位长度后，得到一个奇函数图象，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. （1）将向量运算式化简最简形式．（2）已知，且复数，求实数的值．16. 如图所示，正六棱锥的底面周长为24，H 是的中点，O 为底面中心，，求：（1）正六棱锥的高；（2）正六棱锥斜高；（3）正六棱锥的侧棱长.17. （1）在三角形中，内角所对的边分别是，其中，，求．（2）热气球是利用加热的空气或某些气体，比如氢气或氦气的密度低于气球外的空气密度以产生浮力飞行．热气球主要通过自带的机载加热器来调整气囊中空气的温度，从而达到控制气球升降的目的．其工作的基本原理是热胀冷缩，当空气受热膨胀后，比重会变轻而向上升起，热气球可用于测量．如图，在离地为的111ABC A B C -64π3,E F 11,B B C C 1A F AE ∥1AE EF FA ++1A F EF=AB1i -AD 1i +,B D ,,a b c0,a b c a λ++=bπ3λ=()sin cos (,R f x a x b x a b =+∈0)b ≠π3ab =AB CB DC DE FA --++x ∈R ()222522i 0x x x x -++--=x BC 60SHO ∠=︒ABC ,,A B C ,,a b c 2c a =1sin sin sin 2b B a A a C -=cos B面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，求山的高度．18. 如图，在梯形中，，，且，，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周．（1）求旋转体的表面积；（2）求旋转体的体积；（3）求图中所示圆锥的内切球体积．19. 如图，在的边上做匀速运动的点，当时分别从点，，出发，各以定速度向点前进，当时分别到达点．（1）记，点为三角形的重心，试用向量线性表示（注：三角形的重心为三角形三边中线的公共点）（2）若的面积为，求的面积的最小值．（3）试探求在运动过程中，的重心如何变化？并说明理由．800m M C 15︒A 45︒60BAC ∠=︒BC ABCD 90ABC ∠=︒AD BC ∥AD a =2BC a =60DCB ∠=︒ABCD C l CB ⊥l ABCD CO ABC V ,,D E F 0=t A B C ,,B C A 1t =,,B C A ,AB a AC b == G ABC ,a bBG ABC V S DEF V DEF V广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷简要答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】AB【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分【12题答案】【答案】2【13题答案】【答案】-1【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）；（2）2.【16题答案】【答案】（1）6；（2）3）【17题答案】【答案】（1）；（2）【18题答案】【答案】（1）（2（3【19题答案】【答案】（1）（2）（3）的重心保持不变，理由略.FE341200m 2(9πa +3a 3πa 1233BG b a =-14S DEF V。
广东省高一下学期期中考试 数学 Word版
数学试题（满分 150分。
考试时间 120分钟。
）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
并用2B 铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回。
第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知集合，，则 {14}A x Nx =∈-<<∣{}2,3B =A B ⋃=A ． B ．C ．D ．{}2{}0,1,2,3{}2,3{}1,2,32．若复数，则 2i1iz +=-z =A ．B C D 13．已知等边三角形的边长为2，且，则 ABC ()12AD AB AC =+ AD AC ⋅=A B C ． D ．234．已知，则 1sin 4π6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ． 127878-5．已知实数满足，则下列各项中一定成立的是 ,a b 22log log 0a b <<A B ．C ．D ．>sin 2sin 2a b <log 2log 2a b <b a a b <6．定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选R ()f x ()()42f x f x -+=()f x 4x =项中一定成立的是 A ．B ．C ．D ．()21f -=()00f =()42f =()61f =-7.珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度．2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作．在测量过程中，已知竖立在点处的测量觇标高10米，攀登者们在处B A 测得到觇标底点和顶点的仰角分别为70°，80°，则、的高度差约为B C A B）1.414==A ．10米B ．9.72米C ．9.40米D ．8.62米8．已知函数在上单调递减，则的取值范围为 ()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭ωA ．B ．C ．D ．17,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦25,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦35,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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广东省高一下学期期中数学试卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)
1. （2 分） (2019 高二上·北京期中) 数列-3，1，5，9，…的一个通项公式
（）
A.
B.
C.
D.
2. （2 分） (2018 高一下·深圳期中) 已知向量
，
，则
（）
A.
B.
C.
D. 3. （2 分） (2018 高二上·惠来期中) 已知 A、B 两地的距离为 10 km,B、C 两地的距离为 20 km,现测得 ∠ABC=120°，则 A、C 两地的距离为 （ ） A . 10 km
B.
km
C.
km
D.
km
4. （2 分） 在等比数列{an}中，S3=3a3 ， 则其公比 q 的值为（ ）
第 1 页 共 20 页
A.﹣
B.
C . 1 或﹣
D . ﹣1 或
5. （2 分） (2020 高三上·厦门期中) 已知函数
的图象与 轴的两个相邻
交点的距离为 ，把
图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，再沿 轴向左平移 个单位长度，然后
纵坐标扩大到原来的 2 倍得到函数
的图象，若
在
上单调递增，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D. 6. （2 分） 已知△ABP 的顶点 A、B 分别为双曲线 的值等于（ ） A.
的左右焦点，顶点 P 在双曲线 C 上，则
B. C.
D.
7. （2 分） (2020 高一下·驻马店期末) 在
且满足
和
，连接
中， 是 边上的一点， 是 上的一点，
并延长交 于 ，若
，则 的值为（ ）
第 2 页 共 20 页
A. B.
C.
D.
8. （2 分） 数列 的通项公式
， 其前项和为 ， 则 等于（ ）
A . 1006
B . 2012
C . 503
D.0
9. （2 分） (2020·奉贤模拟) 如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射
线 ，终边为射线 ，过点 P 作直线 的垂线，垂足为 M，将点 M 到直线 的距离表示成 x 的函数
，
则
在
上的图象大致为（ ）
A.
第 3 页 共 20 页
B.
C.
D. 10. （2 分） (2016 高二下·北京期中) 已知定义在 R 上的函数 y=f（x）满足 f（x+2）=2f（x），当 x∈[0，
2]时，
，则函数 y=f（x）在[2，4]上的大致图象是（ ）
A. B.
第 4 页 共 20 页
C.
D.
11. （2 分） (2019 高二下·富阳月考) 已知向量 ， ， 满足
，若 为 ， 的夹角，则
的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
12.（2 分）(2019·河南模拟) 已知数列 中，
，且对任意的
，且
，都有
，
则
（）
A.
B.
C.
D.
二、 填空题： (共 4 题；共 4 分)
13. （1 分） (2017 高一上·安庆期末) 已知 D 为三角形 ABC 的边 BC 的中点，点 P 满足 ，则实数 λ 的值为________．
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14. （1 分） (2020 高一上·北海期末) 已知函数 ________.
，若
，则实数
15. （1 分） (2020·沈阳模拟) 已知等差数列 的前 n 项和为 ，且
中，
，
.则
________.
，
.数列
16. （1 分） 如图，在河的一侧有一塔 CD=12m，河宽 BC=3m，另一侧有点 A，AB=4m，则点 A 与塔顶 D 的距离 AD=________
三、 解答题 (共 6 题；共 70 分)
17. （10 分） (2020 高一下·宁波期中) 在 .
（1） 求角 B；
中，三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且
（2） 若
，
，求
的面积.
18. （10 分） (2016 高一下·南平期末) 已知向量 =（x，﹣1）， =（x﹣2，3）， =（1﹣2x，6）．
（1） 若 ⊥（2 + ），求| |；
（2） 若 • ＜0，求 x 的取值范围．
19. （10 分） (2019 高三上·衡水月考) 在
知
.
中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已
（1） 若
，
（2） 若
的面积为 ，且
，求 ， 的值； 为钝角三角形，求实数 的取值范围.
20. （15 分） (2019 高一下·广东期中) 已知正项数列 与正项数列
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的前 项和分别为 和 ，
且对任意
，
恒成立.
（1） 若 （2） 在（1）的条件下，若
，求数列 ，求 ；
的通项公式；
（3） 若对任意
，恒有
及
成立，求实数 的取值范围.
21. （10 分） (2017 高一下·景德镇期末) 如图，矩形 ABCD 是一个历史文物展览厅的俯视图，点 E 在 AB 上， 在梯形 BCDE 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观，在 AE 上点 P 处安装一可旋转的监 控摄像头，∠MPN 为监控角，其中 M、N 在线段 DE（含端点）上，且点 M 在点 N 的右下方，经测量得知：AD=6 米，
AE=6 米，AP=2 米，∠MPN= ，记∠EPM=θ（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为 S 平方米．
（1） 求 S 关于 θ 的函数关系式，并写出 θ 的取值范围：（参考数据：tan ≈3） （2） 求 S 的最小值． 22. （15 分） (2017 高一下·南京期末) 已知等差数列{an}和等比数列{bn}，其中{an}的公差不为 0．设 Sn 是数列{an}的前 n 项和．若 a1 ， a2 ， a5 是数列{bn}的前 3 项，且 S4=16． （1） 求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2） 若数列{
}为等差数列，求实数 t；
（3） 构造数列 a1 ， b1 ， a2 ， b1 ， b2 ， a3 ， b1 ， b2 ， b3 ， …，ak ， b1 ， b2 ， …，bk ， …， 若该数列前 n 项和 Tn=1821，求 n 的值．
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一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)
答案：1-1、 考点：
参考答案
解析： 答案：2-1、 考点：
解析： 答案：3-1、 考点：
解析： 答案：4-1、
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考点：
解析： 答案：5-1、 考点： 解析：
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答案：6-1、 考点：
解析： 答案：7-1、 考点： 解析：
第 10 页 共 20 页
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、
考点：
解析：
二、填空题： (共4题；共4分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、
考点：
解析：
三、解答题 (共6题；共70分)答案：17-1、
答案：17-2、考点：
解析：
答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
答案：19-1、
答案：19-2、考点：
解析：
答案：20-1、
答案：20-2、
答案：20-3、考点：
解析：
答案：21-1、答案：21-2、考点：
解析：
答案：22-1、
答案：22-2、答案：22-3、
考点：
解析：。