2019-2019学年北师大版选修2-2 1.4数学归纳法课件.ppt
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北师大版高中数学选修2-2课件1.4归纳法
1 解： 由a ，a 可得 0 n 1 1 2 a n 1 2 1 1 a3 a 2 1 3 2 0 2 22
3 a4 2 4 23
……
1
4 a5 3 5 24
1
n
( , , )
（1）当 n1时，左
k 1 k时， ak （2）假设 n 成立。 k
n ( 1 ) 1 n ∴
练习
等比数列中
n a ( 1 q ) 1 S n 1 q
这些与正整数 n 有关的命题，是否对于任何一 个正整数 n 都成立呢？怎样证明呢？
我们来学习一种特殊的证明方法----数学归纳法， 它主要用于研究与正整数 n 有关的数学问题。其基本 步骤为： （1）验证 n1 时，命题成立； （2）在假设时命题成立的前提下， n k ( k 1 ) 推出 n 时，命题成立。 k 1 根据（1）（2）可以断定命题对于一切正整数n 都成立。 那么，数学归纳法为什么能够保证命题对所有的 正整数都成立呢？ 多米诺骨牌演示
使得多米诺游戏可以连续运行的条件： （1）第一张骨牌必须能倒下； （1）是游戏基础 （2）假若第 k 张能倒下，必能 压倒其后的第k+1 张牌。 （2）是游戏继续的条件 数学归纳法 第一步 第二步
体现了
两 步 缺 一 不 可
递推思想 递推的基础 递推的依据，是关键
例1 证明：首项为 a 1 ，公差为 d 的等差数列 { a n }
当n 时， a k 1 k1
a 0 右，等式成立； 1
1 1 2ak 2 k 1 k k (k 1) 1 k 1 k 1
n 1 所以通项公式 an 对于任意正整数 n 都成立。 n
1.4 数学归纳法 课件(北师大版选修2-2)
1
1+1 2
= .
1
左边=右边,等式成立.
导.学. 固. 思
②假设当 n=k(k≥1)时等式成立,即 1- + - +„+
2 3 4 1 2������ ������ +1 ������ +2
1 1 1
1 2������ -1
-
=
1
+
1
+„+ ,
2������ 1 1
1
则当 n=k+1 时, (1- + - +„+
【解析】(1)当 n=2 时,
1 2+1 2+2 12 24
1
1
+
1
= > ,不等式成立.
7
13
导.学. 固. 思
(2)假设当 n=k 时原不等式成立, 即
1 ������ +1 ������ +2 1 1
+
1
+„+ > ,则当 n=k+1 时, +„+ +
2������ 24 1 1 2������ 2������ +1 2������ +2 ������ +1 ������ +1 24 2������ +1 2������ +2 1 13
1 ������ +1 ������ +2
+
1
+„+ > (n≥2,n∈N+).
3������ 6
1 1 1 1 5 3 4 5 6 6
1
5
【数学】1.4 数学归纳法 课件(北师大版选修2-2)
n
n
1
证明：（1）当n=1时， 左边 a 1 , 右边 a 0 d a , 1 1
等式是成立的
（2）假设当n=k时等式成立，就是 a k a 1 ( k 1 ) d ,
那么 a a [ a 1 ( k 1 ) d ] d d k 1 k
1
已知数列 a n ,a 1 = 1 ,a n + 1 =
多米诺骨牌游戏的原理 an
an
(n N ),
*
1+a n 1 这个猜想的证明方法 n
（1）第一块骨牌倒下。 （1）当n=1时猜想成立。 （2）若当n=k时猜想成立， （2）若第k块倒下时， 即 a 1 ，则当n=k+1时猜想 k k 则相邻的第k+1块也倒下。 1 也成立，即 ak 1 。
那么,当n=k+1时，有
这就是说，当n=k+1时,等式也成立。 根据①和②，可知对任何nN*等式都成立。
练习2.（2） 用数学归纳法证明：
1 2 2 2
2
n 1
2 1.
n
证明 ①当n=1时，左边＝1 ＝右边,等式显然成立。
②假设当n=k时等式成立，即 2 k 1
1 2 2 2
k 1
根据（1）和 （2），
根据（1）和（2），可 知对任意的正整数n，猜 可知不论有多少块骨牌， 想 都成立。 都能全部倒下。
数学归纳法的概念：
定义：对于某些与正整数n有关的命题常 常采用下面的方法来证明它的正确性：
1.先证明当n取第一个值n0 (n0 N*)时命题成立 (归纳奠基） ； 2.然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，
n
1
证明：（1）当n=1时， 左边 a 1 , 右边 a 0 d a , 1 1
等式是成立的
（2）假设当n=k时等式成立，就是 a k a 1 ( k 1 ) d ,
那么 a a [ a 1 ( k 1 ) d ] d d k 1 k
1
已知数列 a n ,a 1 = 1 ,a n + 1 =
多米诺骨牌游戏的原理 an
an
(n N ),
*
1+a n 1 这个猜想的证明方法 n
（1）第一块骨牌倒下。 （1）当n=1时猜想成立。 （2）若当n=k时猜想成立， （2）若第k块倒下时， 即 a 1 ，则当n=k+1时猜想 k k 则相邻的第k+1块也倒下。 1 也成立，即 ak 1 。
那么,当n=k+1时，有
这就是说，当n=k+1时,等式也成立。 根据①和②，可知对任何nN*等式都成立。
练习2.（2） 用数学归纳法证明：
1 2 2 2
2
n 1
2 1.
n
证明 ①当n=1时，左边＝1 ＝右边,等式显然成立。
②假设当n=k时等式成立，即 2 k 1
1 2 2 2
k 1
根据（1）和 （2），
根据（1）和（2），可 知对任意的正整数n，猜 可知不论有多少块骨牌， 想 都成立。 都能全部倒下。
数学归纳法的概念：
定义：对于某些与正整数n有关的命题常 常采用下面的方法来证明它的正确性：
1.先证明当n取第一个值n0 (n0 N*)时命题成立 (归纳奠基） ； 2.然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，
北师大版选修2-2高考数学1.4《数学归纳法》ppt课件
n∈N+).
证明:(1)当 n=2 时,左边=2+f(1)=3,右边=2f(2)=3,等式成立. (2)假设 n=k 时,等式成立,即 k+f(1)+…+f(k-1)=kf(k). 那么当 n=k+1 时, k+1+f(1)+…+f(k-1)+f(k)
=1+f(k)+kf(k)=(k+1)f(k)+1
D 当堂检测 ANGTANG JIANCE
点评
理解等式的特点:在等式左边,当 n 取一个值时,对应两项,即2���1���-1 − 21������; 在等式右边,当 n 取一个值时,对应一项.无论 n 取何值,应保证等式左边有 2n 项,而等式右边有 n 项,然后再按数学归纳法的步骤要求给出证明.
(������ + 1) + 1,
所以当 n=k+1 时,不等式成立.
故由(1)(2)知,对一切 n>2(n∈N+),不等式成立.
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)假设当 n=k 时等式成立,即
1-12
+
1 3
−
14+…+2���1���-1
−
1 2������
=������+1 1 + ������+1 2+…+21������.
那么,当 n=k+1 时,
左边=1-12
+
1 3
−
14+…+2���1���-1
−
1 2������
根据①②可以断定命题对一切从 n0 开始的正整数 n 都成立. (2)数学归纳法能保证命题对所有的正整数都成立.因为根据①,验证了 当 n=1 时命题成立;根据②可知,当 n=1+1=2 时命题成立.由于当 n=2 时命 题成立,再根据②可知,当 n+1=3 时命题也成立,这样递推下去,就可以知道
北师大版选修22高考数学1.4《数学归纳法》ppt课件
§1.4 数学归纳法
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
1
2
3
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2
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1
2
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
1
2
3
4
1
2
3
4
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2
3
4
北师版数学高二选修2-2课件 1.4 数学归纳法
答案
(2)用数学归纳法证明当 n∈N＋时，1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1 ＋n＋1 2＋…＋21n.
证明
反思与感悟
数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础：找准起点,奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的 过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄 清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项. (3)利用假设是核心：在第二步证明当n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假 设，即必须把归纳假设“当n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋ 1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最 后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.
(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通项公式；
解 因为a1＝1，an＋1＝f(an)， a
所以 a2＝f(a1)＝f(1)＝a＋a 1，a3＝f(a2)＝f(a＋a 1)＝aa＋·aa＋＋a11＝a＋a 2， a
a4＝f(a3)＝f(a＋a 2)＝aa＋·aa＋＋a22＝a＋a 3，猜想 an＝a＋an－1(n∈N＋).
跟踪训练1 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n－3)＋(2n－1)＋(2n－3) ＋…＋5＋3＋1＝2n2－2n＋1.
证明
类型二 利用数学归纳法证明不等式 例 2 求证：n＋1 1＋n＋1 2＋…＋31n>56(n≥2，n∈N＋).
证明
引申探究 把本例改为求证：n＋1 1＋n＋1 2＋n＋1 3＋…＋n＋1 n>2114(n∈N＋).
解答
(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明.
(2)用数学归纳法证明当 n∈N＋时，1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1 ＋n＋1 2＋…＋21n.
证明
反思与感悟
数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础：找准起点,奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的 过程中，要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律，弄 清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项. (3)利用假设是核心：在第二步证明当n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假 设，即必须把归纳假设“当n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋ 1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最 后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.
(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通项公式；
解 因为a1＝1，an＋1＝f(an)， a
所以 a2＝f(a1)＝f(1)＝a＋a 1，a3＝f(a2)＝f(a＋a 1)＝aa＋·aa＋＋a11＝a＋a 2， a
a4＝f(a3)＝f(a＋a 2)＝aa＋·aa＋＋a22＝a＋a 3，猜想 an＝a＋an－1(n∈N＋).
跟踪训练1 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n－3)＋(2n－1)＋(2n－3) ＋…＋5＋3＋1＝2n2－2n＋1.
证明
类型二 利用数学归纳法证明不等式 例 2 求证：n＋1 1＋n＋1 2＋…＋31n>56(n≥2，n∈N＋).
证明
引申探究 把本例改为求证：n＋1 1＋n＋1 2＋n＋1 3＋…＋n＋1 n>2114(n∈N＋).
解答
(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明.