两圆方程相减的几何意义(可编辑修改word版)
两圆方程相减的几何意义
两圆方程相减的几何意义稿子一：嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊两圆方程相减这个有趣的话题，你知道它有啥几何意义不？想象一下，两个圆摆在那里，它们都有自己独特的方程。
当我们把这两个方程相减的时候，就好像打开了一个神奇的数学魔法盒。
其实呀，两圆方程相减得到的方程，代表的是一条直线哦！这条直线和这两个圆有着很特别的关系。
比如说，如果两个圆相交，那相减得到的直线就通过这两个交点。
就好像这条直线是两个圆相遇时留下的“足迹”，是不是很有意思？要是两个圆相切，那这条直线就和切点以及两个圆心在同一条线上。
就像是一条隐形的纽带，把这些关键的点都连在了一起。
而且哦，如果两个圆相离，相减得到的直线也和这两个圆有着神秘的联系。
虽然它们没有直接接触，但这条直线像是在默默传递着它们之间的某种信息。
怎么样，是不是觉得数学里也有这么多好玩的东西？稿子二：嗨喽！今天咱们来深入探讨一下两圆方程相减的几何意义，准备好跟我一起探索这个奇妙的数学世界了吗？当我们面对两个圆的方程，然后大胆地把它们相减，这可不是简单的数学操作，背后藏着好多有趣的秘密呢！假设这两个圆是两个可爱的小伙伴，它们各自有着自己的位置和特点。
那相减之后得到的直线，就像是它们之间的“友谊线”。
如果这两个圆大小差不多，位置也比较接近，相减得到的直线可能就像是它们互相靠近时的“通道”。
要是一个圆大，一个圆小，那这条直线也许就是它们在比较大小和位置时产生的“裁判线”，能告诉我们很多关于它们之间关系的信息。
有时候，这条直线还能帮助我们判断两个圆是亲密相交，还是保持一定距离的相离。
呢，两圆方程相减得到的直线，就像是数学世界里的一个神奇密码，只要我们用心去解读，就能发现两个圆之间那些隐藏的故事和联系。
是不是超级有趣呀？。
两圆相减的几何意义
两圆相减的几何意义嘿，朋友们！今天咱来聊聊两圆相减这个有趣的几何意义。
你们看啊，这圆啊，就像一个个小世界。
想象一下，一个大一点的圆和一个小一点的圆，它们就像是两个不同的领域。
当我们把这两个圆放在一起，然后去思考它们相减的时候，那可有意思了。
这就好像是在一个大集体中，去掉一个小部分。
比如说，我们把一个大班级看作一个大圆，里面有各种不同性格、不同爱好的同学。
然后呢，有一个小团体，就像是那个小圆。
当我们把这个小团体从整个班级中减去，剩下的是什么呢？是其他那些有着不同特点的同学们呀！或者说，把一个城市看作大圆，其中有一个特定的区域是小圆。
当我们进行两圆相减，得到的就是城市里除了那个特定区域之外的其他地方。
这不就像是我们在生活中，去掉一些特定的元素，然后去观察剩下的部分嘛。
两圆相减也可以让我们看到差异和独特之处。
就好比两个圆，一个代表白天的活动，一个代表夜晚的活动。
它们相减之后，就能清楚地看到白天和夜晚各自独有的那些部分。
这多神奇啊！而且啊，这两圆相减还能让我们更清楚地认识事物的边界呢。
就像两个领域有了明确的划分，减去之后，我们能更准确地知道哪里是属于这个，哪里是属于那个。
在很多实际问题中，两圆相减也有很大的用处呢。
比如说在规划一个区域的时候，我们要去掉一些已经被占用的部分，才能更好地规划剩下的空间。
这不就是在运用两圆相减的道理嘛。
你们想想，是不是这样？两圆相减看似简单，却蕴含着这么多有趣又实用的意义。
它就像一把钥匙，能打开我们对世界更深入理解的大门。
它让我们看到了整体与部分的关系，看到了差异和独特性，也看到了如何更好地去划分和利用空间。
所以啊，可别小看这两圆相减，它真的是几何世界里的一个奇妙之处呢！。
非同心的两圆方程相减的几何意义
两圆方程相减的几何意义
两圆方程相减得：①
当即两圆不同心时，上述方程代表一条直线，记作
将①两边除以2得到：
②
由②可知是的一个法向量，所以，也就是说：
性质，非同心两圆方程相减所得直线必定是连心线的垂线。
另外，注意到对于等圆（），连心线中点满足②，也就是说：
结论甲：非同心等圆方程相减，所得直线为连心线中垂线。
把①变形为
即，即
即③
这里是上的点。
由③我们可以看到，上的点必然同在两圆之外或两圆之内，也就是说如果两圆内含，则必然与两圆相离。
当在两圆之外时，③告诉我们到两圆的切线长相等。
下面我们结合③和性质1来讨论外离内含两种情况下，的位置。
结论乙：非同心外离（内含）两圆方程相减，所得直线垂直连心线且直线上的点到两圆切线长相等。
(等切线)
下面结合图形说明结论乙。
如图，只要确定了连心线上的等切点，就可以画出
根据③，及，可以解得的值，然后即有的位置，从而有。
内含的情况与外离类似，前面已经解释过必定与两圆相离，且必定在连心线靠近小圆圆心一侧（证明从略），具体的坐标计算方法与外离情况一样。
结论丙：非同心相交两圆方程相减，所得直线包
含公共弦。
结论丁：非同心相切(内切外切)两圆方程相减，所得直线为过两圆切点的公切线。
结论丙可以用两点确定一条直线来说明，结论丁可以用切点在直线上以及前文性质来说明，较简单，从略。
两圆相减
两圆方程相减与圆的根轴直线与圆这一章有这么一个内容，那就是关于两圆的位置关系，相信很多同学都有印象：已知两圆的方程，求这两圆的公共弦所在直线的方程，只需要把两个圆的方程相减即可，当然前提是x2和y2系数要一样。
并且若两圆相切，则得到的直线方程就是他们内公切线方程，若两圆半径相等，则得到的直线方程就是他们的对称轴方程：圆O1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆O2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0两式相减得：L：(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0当两圆相交时，L为相交弦所在直线方程，若相切，则为他们的内公切线方程，若两圆半径相等，则为他们的对称轴方程。
那么，涉及到两圆位置关系的题目，可以先轻易地将相交弦直线方程求出，然后利用直线与圆的位置关系求解。
我们当然是不能停留在“记住”的层面，我们有两个问题摆在这里：1：为什么如此便能求出两圆的公共弦直线方程？2：当两圆相离半径也不相等的时候，按照上面的方法也能得到一条直线L，这时候的直线L与两圆又有什么关系？我们首先看第一个问题，我们首先看到，L的方程是两圆联立得到的方程，所以两圆的两个交点都在L上，而两点已经可以确定一条直线，故L即为公共弦直线的方程。
当两圆相切时，我们可以从极限的角度去看待这个问题，就跟我们第一次接触“导数”的概念一样，切线就是极限状态下的割线，这样相互联系对学生的学习也是很有好处的。
我们也可以从L与两圆的交点个数看：L与圆O1联立方程的解的个数，与圆O1与圆O2联立出的方程的解的个数是一样的，而O1与O2只有一个解，故L与O1也只有一个交点。
如果你愿意，你还可以从圆心到直线距离等于半径这个角度看。
当两个圆半径相等时，我们可以先求出他们的圆心连线方程，然后观察L与此直线的关系，可以发现他们斜率之间的关系：L： (D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0O1点坐标=(-D1/2，-E1/2);O2点坐标=(-D2/2,-E2/2),简单计算便知，L与O1O2垂直；O1O2的中点坐标为P=(-(D1+D2)/4,-(E1+E2)/4)，结合D12+E12-4F1=D22+E22-4F2(因为两圆半径相等)，便可知P点在L上，从而证明L为两圆的对称轴。
改进学生学习方式的教学尝试——自主探究两圆方程差的几何意义
１ 若 ａ≠ ｃ ｂ≠ｄ， 圆 Ｃ 、 同心 时 ， 、 或 即 。Ｃ 不 方程
③ 是 二 元 一次 方程 ， 示直 线 ， 为 直线 ④ 表 记
当圆 Ｃ 与 圆 Ｃ 。 ：相 交 时 ， 学案 例就 是 笔者进 行 的一 点 尝试 ， 期望 通过 对 教 材 中 的一 个 思 考 题 的探 究 与 拓
展 ， 进学 生 的学 习方 式 ． 改
１ 发 现 问题
程 ① 与 ② ， 以一 定也适 合 方程 ③ ， 以 两交点都 所 所
在直线 ③ 上 ．所以任 意两个相交圆的方程相减， 一 定 是 两 圆公 共 弦所在 直 线 的方程 ．
若Ｒ 。＝ｒ， 圆 ｃ 、： 即 ｃ 重合 时 ， 方程 ③ 化 为 ０＝ ０ 恒成 立 ， 示坐标 平 面上 的任 一点 ； ， 表 若 ≠ ｒ， 即 圆 ｃ 与圆 Ｃ 内含 时 ， 方程 ③ 无 解 ， 不表 示任何 点 ．
师 ： 想到 用方 程 去解 决 问题 ， 明解 析 法 已经 你 说 运 用 自如 ， 同时 利 用分 类讨 论 得 出 的 结 论 也 算 全
一
学生 甲的提 问使 我 意识 到这是 一 个实 施探 究 学
习的不错 素 材 ， 于是 我并 没有 去正 面 回答 他 的问题 ， 而是点拨 几 句让 他 自己去 思 考 ． 师 ： 先， 首 你猜 想 两相 交 圆的 方程 相 减 ， 定 是 一
２、 ａ＝ｃ ｂ＝ｄ 即 圆 Ｃ 、 ： 若 且 ， Ｃ 同心 时 ， 方程 ③
化 简 为 一ｒ ＝ ０ ．
人教 Ａ版 教材必修 ３的４ ２ ２ ． ． 节圆与圆的位置 关系 ， 了如下 例题 ： 给
两圆相减后所得的直线方程的几何意义
方程011122=++++F y E x D y x 与0F y E x D y x 22222=++++两圆相减后所得的直线方程的几何意义在平常的学习中知道，如果把两相交圆 ⊙1O 0F y E x D y x 11122=++++和 ⊙2O ：0F y E x D y x 22222=++++的方程相减所得到的直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两圆公共弦所在直线方程。
但很多同学在用这个结论时没注意到前提条件必须是两圆相交。
如果两圆不相交，两圆相减照样可以得到直线l ，但l 的几何意义就改变了。
因而有必要就两圆的5种位置关系进行讨论直线l 的几何意义。
我就两圆的5种位置关系进行研究。
一．两圆相交设()111y ,x P 、()222y ,x P 是两圆的交点，则有0F y E x D y x 111112121=++++和0F y E x D y x 121212222=++++成立，即()111y ,x P 、()222y ,x P 满足方程-++++)F y E x D y x (222220)F y E x D y x (11122=++++即()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-。
所以直线l 表示两圆相交弦所在直线。
二．两圆相切（内切或外切）当把两相交的圆逐渐往两侧移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆外切，同时与两圆相交的直线l 也就与两圆只有一个公共点，直线l 成为两外切圆的过同一切点的公切线。
因此，直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两外切圆的过同一切点的公切线。
当把两相交的圆逐渐往中间移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆内切，同时，与两圆相交的直线l 也就与两圆只有一个公共点，直线l 成为两内切圆的过同一切点的公切线。
因此，直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两内切圆的公切线。
巧用圆的一般方程解题
巧用圆的一般方程解题圆的一般方程C ：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x .当点),(00y x P 在圆外时，0002020>++++F Ey Dx y x ，该数值的几何意义是什么呢？经过探索，我们发现：结论 1： 已知圆C ：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ，当点),(00y x P 在圆外时，过点P 作圆的切线PA ，切点为A ，则切线长;002020F Ey Dx y x PA ++++=ACccccccc P证明: 由圆C ：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x 可知： 圆心)2,2(E D C --，半径F E D r 42122-+=， 从而222r PC PA -=，即)4(41)2()2(2220202F E D E y D x PA -+-+++= 化简可得.002020F Ey Dx y x PA ++++=已知圆)04(0:12121111221>-+=++++F E D F y E x D y x C ；圆)04(0:22222222222>-+=++++F E D F y E x D y x C .若两圆相交，我们知道两圆方程相减，可得两圆公共弦方程: 0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D .若两圆外离，两圆方程相减得到的直线方程：0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D有什么几何意义呢？经过探索，我们发现：结论2： （1）已知圆)04(0:12121111221>-+=++++F E D F y E x D y x C 与圆)04(0:22222222222>-+=++++F E D F y E x D y x C 相离，过直线0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 上任意一点P ，分别向两圆作切线PB PA ,.则 CPB PA =.（2）已知圆)04(0:12121111221>-+=++++F E D F y E x D y x C 与圆)04(0:22222222222>-+=++++F E D F y E x D y x C 相离，过两圆外一点P ，分别向两圆作切线PB PA ,，切点分别为B A ,若PB PA =，则点P 在直线0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 上.PA B证明：（1）设直线0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 上任意一点),(00y x P ，则0)()()(21021021=-+-+-F F y E E x D D .即2020210101F y E x D F y E x D ++=++由结论1得;101012020F y E x D y x PA ++++=;202022020F y E x D y x PB ++++=从而PB PA =（2）设两圆外任意一点),(00y x P ，因为PB PA =，所以101012020F y E x D y x ++++202022020F y E x D y x ++++= 化简并整理得0)()()(21021021=-+-+-F F y E E x D D于是P 点在0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 上.灵活运用上述两个小结论解题，常常能节省思维量和运算量，提高解题速度，节省时间，达到事半功倍的效果，下面举几个例子.例1 （2005年江苏高考题）如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P2C 1C分别作圆1O 与圆2O 的切线PN PM ,（M 、N 分别为切点），使得PN PM 2=.试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.PM N解：以21O O 所在直线为x 轴，21O O 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系.设动点),(y x P ， 则圆1O ：03422=+++x y x ，圆2O ：03422=+-+x y x .根据PN PM 2=及结论1，知 =+++3422x y x 2)34(22+-+x y x ，整理得 031222=+-+x y x点评：本题通常用圆的标准方程来解，运算量大，且易错.用圆的一般方程和结论1来解决，不仅简单方便，而且不宜错，同时还节省了时间.例2（2007年四川高考题）已知圆O 的方程是,0222=-+y x 圆O '的方程是.010822=+-+x y x 由动点P 向圆O 和圆O '所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是解：由结论2(2)得动点P 的轨迹方程0)108()2(2222=+-+--+x y x y x ，整理得23=x 点评：本题通常采用设动点),(y x P ，由圆的基本性质建立等式方程，然后再化简，才能得到.此过程繁琐，且等量关系不易找到，化简容易错.采用本文中的结论2一步就解决了，不仅结果正确，而且提高解题速度.例3（2013年江苏镇江模拟）已知圆422=+y x 与圆0146622=++-+y x y x 关于直线l 对称，则直线l 的方程是解：过直线l 上任意一点分别向两圆作切线PA ，PB ，切点分别为A,B ，由于两圆关于直线l 对称，有对称性可知PB PA =，由结论2可得直线l 的方程为0)4()1466(2222=-+-++-+y x y x y x ，整理得03=--y x .点评：本题通常采用求两圆的圆心的连线段的中垂线方程的来解.此方法不光运算量大，而且斜率容易求错.而巧用结论2很快就能解决.总之，有关圆的一般方程与切线长的问题都可以运用本文的两个小结论，把复杂的问题简单化，达到事半功倍的效果.2O 1O。
两圆外切直接相减求的两圆的公切线
两圆外切直接相减求的两圆的公切线
两圆外切时，它们的公切线长度可以通过直接相减两圆的半径来求得。
这是因为两圆外切意味着它们恰好相切于一点，而这一点到两圆心的距离分别是两圆的半径。
因此，两圆的公切线长度等于两圆半径之差。
假设有两个圆，圆A的半径为r1，圆B的半径为r2，且r1>r2。
那么，两圆的公切线长度可以通过以下公式求得：
公切线长度= r1−r2
这个公式是基于两圆外切的定义和性质得出的。
需要注意的是，这个公式只适用于两圆外切的情况，如果两圆内切或相交，那么公切线的长度就不能通过直接相减两圆半径来求得。
此外，还需要注意的是，公切线可能不止一条，具体数量取决于两圆的位置关系。
对于两圆外切的情况，通常会有两条公切线，它们分别位于两圆的两侧。
如果需要求出具体的公切线方程，可以使用点到直线距离公式和两圆心的坐标来求解。
两个圆的方程相减
两个圆的方程相减【原创版】目录1.圆的一般方程介绍2.两个圆的方程相减的意义3.举例说明如何进行两个圆的方程相减4.结论：两个圆的方程相减的意义和应用正文一、圆的一般方程介绍圆是平面上所有到一个固定点的距离相等的点的集合。
在数学中，圆可以用一般方程来表示，即：(x - a) + (y - b) = r。
其中，(a, b) 是圆心的坐标，r 是半径。
二、两个圆的方程相减的意义在数学中，两个圆的方程相减，可以用来找出两个圆的公共部分，即两个圆的交集。
这通常在解决几何问题时非常有用，例如在求解两个圆的交点或者判断两个圆是否相交等问题时。
三、举例说明如何进行两个圆的方程相减假设我们有两个圆的方程：(x - 1) + (y - 1) = 2 和 (x - 2) + (y - 2) = 8。
我们可以通过将两个圆的方程相减，来找出两个圆的公共部分。
首先，将两个圆的方程相减，得到：(x - 1) + (y - 1) - (x - 2) - (y - 2) = 2 - 8。
化简后，得到：2x - 4y + 7 = 0。
然后，我们可以将这个方程转换为标准的圆的一般方程。
首先，将方程移项，得到：2x - 4y = -7。
然后，将两边同时除以 2，得到：x - 2y = -7/2。
最后，将方程两边同时平方，得到：(x - 2y) = (-7/2)。
因此，我们可以得到一个新的圆的方程：(x - 2y + 7/2) = 49/4。
这个新的圆的方程表示的圆，就是两个原圆的公共部分。
四、结论：两个圆的方程相减的意义和应用通过两个圆的方程相减，我们可以找出两个圆的公共部分，这对于解决许多几何问题都非常有用。
两相交圆方程相减得公共弦方程
两相交圆方程相减得公共弦方程两相交圆方程相减得公共弦方程在代数几何中，我们经常遇到求解两个相交圆的公共特性的问题。
其中一个问题是求解两相交圆的公共弦方程。
本文将以深度和广度的方式探讨这个问题，并提供一个有价值的解决方案。
1. 了解圆的方程在开始解决问题之前，我们首先需要了解圆的方程。
一个圆可以由其圆心坐标和半径确定。
给定一个圆心坐标为(x0, y0)且半径为r的圆，其方程可以表示为：(x - x0)² + (y - y0)² = r²2. 两个相交圆的方程我们假设有两个相交的圆，其圆心分别为(x1, y1)和(x2, y2)，半径分别为r1和r2。
我们需要求解这两个圆的公共弦方程。
为此，我们需要找到两个圆的交点坐标。
我们可以将两个圆的方程相减，得到一个含有交点坐标(x, y)的方程：(x - x1)² + (y - y1)² - ((x - x2)² + (y - y2)² = r1² - r2²展开上述方程，我们可以得到如下的表达式：x² - 2x1x + x1² + y² - 2y1y + y1² - (x² - 2x2x + x2² + y² - 2y2y + y2²) = r1² - r2²化简上述表达式，我们可以得到：-2x1x + x1² - 2y1y + y1² + 2x2x - x2² + 2y2y - y2² = r1² - r2²3. 公共弦方程的推导我们希望将上述方程进一步转化为公共弦方程的形式。
为此，我们需要找到公共弦的特征。
由于公共弦是两个圆的一个公共部分，我们可以将公共弦的两个端点表示为坐标(x, y)和(x', y')。
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1 方程 x
2 + y 2 + D x + E y + F = 0 与x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0
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相减后所得的直线方程的几何意义
在平常的学习中知道，如果把两相交圆 ⊙ O 1 x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 和⊙ O 2 ：
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x 2 + y 2 + D x + E 2 y + F 2 = 0 的 方 程 相 减 所 得 到 的 直 线 l ：
(D 1 - D 2 )x + (E 1 - E 2 )y + F 1 - F 2 = 0 表示两圆公共弦所在直线方程。
但很多同学在用这
个结论时没注意到前提条件必须是两圆相交。
如果两圆不相交，两圆相减照样可以得到直线 l ，但l 的几何意义就改变了。
因而有必要就两圆的5 种位置关系进行讨论直线l 的几何意义。
我就两圆的 5 种位置关系进行研究。
一．两圆相交
设 P (x , y )、 P 2 (x 2 , y 2 )是两圆的交点， 则有 x 2 + y 2 + D x
+ E y + F = 0 和
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x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 成 立 ， 即
P (x , y )、 P (x , y
) 满 足 方 程
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(x 2 + y 2 + D x + E y + F ) - (x 2 + y 2 + D x + E y + F ) = 0
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即(D 1 - D 2 )x + (E 1 - E 2 )y + F 1 - F 2 = 0 。
所以直线 l 表示两圆相交弦所在直线。
二．两圆相切（内切或外切）
当把两相交的圆逐渐往两侧移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆外切， 同时与两圆相交的直线 l 也就与两圆只有一个公共点，直线 l 成为两外切圆的过同一切点的公
切线。
因此，直线 l ：
(D 1 - D 2 )x + (E 1 - E 2 )y + F 1 - F 2 = 0 表示两外切圆的过同一切 点的公切线。
当把两相交的圆逐渐往中间移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆内切，同时，与两圆相交的直线 l 也就与两圆只有一个公共点，直线 l 成为两内切圆的 过同一切点的公切线。
因此，直线 l： (
D 1 - D 2 )x + (
E 1 - E 2 )y +
F 1 - F 2 = 0 表示两内
切圆的公切线。
例如，圆O ：
(x - a )
2
+ y 2
= a
2
与圆O ： (x - b
)
2
+ y 2
= b 2 相切
于原点，那么两圆相减得： x = 0 ，该直线与两圆相切于原点。
下面就两圆外切情况加以证
明。
D 2 +
E 2 - 4
F D 2 + E 2
- 4F 设圆O ，圆O 的半径分别为 r , r ，则 r 2 = 1 1 1 ， r 2 = 2 2 2 。
1 2 1 2 1 4 2 4
由 两 圆 外 切 得 ：
=r +r ， 化 简 得 ：
1 2
4r r = -D D
-E E + 2(F + F )即
：
D 1D 2 +
E 1E 2 =
F + F
- 2r r 又
1 2
1
2
1 2
1
2
2 2
1 2 1 2
2 2
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F (x - x ) + (y - y ) - r
2
2
2
0 0 x 2 + y 2
+ D x + E y + F 1 1 1 2 0 ⎝ ⎭ D 2 + E 2 - 4F D 2 + E 2
- 4F D 2 E 2 r 2 = 1 1 1 ， r 2 = 2 2 2 ， 即 ： - 1 - 1 = -2r 2 - 2F ， 1 4 2 4 2 2
1 1
D 2 +
E 2
= + ( ) ( ) 2 2 2 2 2r 2
2F 2 。
利用直线 Ax+By+C=0 分线段A x 1 ,
y 1
B x 2 , y 2 的比为
= - Ax 1 + By 1 + C ， 那 么 直 线 l 分 O O 的 比 为
Ax 2 + By 2 + C
(D - D )⎛- D 1 ⎫ + (E
- E )⎛- E
1 ⎫ + F - F
1 2 2 ⎪ 1 2 2 ⎪ 1 2 = - ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ (D - D )⎛- D 2 ⎫ + (E - E )⎛- E 2 ⎫ + F - F
1 2
D 2
E 2 ⎪ 1 ⎝ 2 ⎭
D D
E E 2 2 ⎪ 1 2
- 1 - 1 + 1 2 + 1 2 + F - F - 2r 2 - 2F + F + F - 2r r + F - F = - 2 2 2 2 1 2
= - 1 1 1 2 1 2 1 2
D 2
E 2 D D E E 2r 2 + 2
F - F - F + 2r r + F - F
2 + 2 - 1 2 - 1 2 + F - F 2 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2
2 1 2
= r 1。
又k r 2
O 1O 2
⋅ k l = -1 ，所以O 1O 2 ⊥l （当直线O 1 O 2 与直线 l 的斜率不存在时也成立）；
且 O 1O 2 = r 1 + r 2 ，所以点O 1 到直线 l 的距离为 r 1 ，点O 2 到直线 l 的距离为 r 2 。
所以直线 l
与两圆相切。
三．两圆相离
这里首先得了解式子 的含义。
因为圆的方程有两种表示，即
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = (x - x )2 + (y - y )2 - r 2
= 0 。
当点 P （x ，y ）在圆外时，式
子
对直线方程(x 2 + y 2
+ D
= 表示点 P 到圆的切线长。
因而， x + E y + F ) - (x 2 + y 2 + D x + E y + F ) = 0 可以变形为：
2
2
2
1
1
1
= ，
即点 P 到两圆的切线长相等。
因此，直线 l 的几何意义是：到两相离圆的切线长相等的点的集合。
更进一步，如果两圆的半径相等，直线 l 就是两圆的对称轴。
四．两圆内含
同“三”易知，直线 l 上的点到两圆的切线长相等。
（注：以上两圆非同心圆） 五．范例
例：已知圆O 1 与圆O 2 ： x + y = 1 外切于点 O ，且两圆的过点 O 的公切线为 y = x + b ， 2 2
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F x 2 + y 2 + D x + E y + F 2 2 2 1 2
2 2 1 2 已知圆O 1 的圆心落在直线上 x - y = 4 ，求圆O 1 的方程。
解 ： 易 得
b = -。
设 圆
O 1 ： x 2 + y 2 - 1 + (x - y - 2 )
= 0 ， 即 ：
x 2 + y 2 + x - y - 2- 1 = 0 ，圆心坐标⎛
-
⎫ 落在直线 x - y = 4 ，解得= -4 。
, ⎪
⎝ ⎭
所以圆O 的方程为x 2 + y 2
- 4x + 4y + 4 -
1 = 0 。
最后，利用《几何画版》动画演示圆O 1 ，圆O 2 ，直线 l 的位置关系。
2。