[精品]全国2019年中考数学真题分类汇编 第18讲 相似三角形(无答案)
2019年中考数学试题汇编：相似形选择题部分(解析版)
AP 的长度为（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据勾股定理求出 AC ，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠ BDQ，得到 QB＝ QD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【解答】解：∵∠ C＝ 90°， AB＝ 5， BC＝4，
∴ AC＝
＝ 3，
∵ PQ∥ AB， ∴∠ ABD＝∠ BDQ，又∠ ABD ＝∠ QBD， ∴∠ QBD＝∠ BDQ ， ∴ QB＝ QD， ∴ QP＝ 2QB， ∵ PQ∥ AB， ∴△ CPQ∽△ CAB，
于点 O．则下列结论： ① 四边形 ABEC 是正方形； ② CO： BE＝1： 3； ③ DE＝ BC；
④ S 四边形 OCEF＝ S△AOD，正确的个数是（
）
A ．1
B．2
C． 3
D．4
【分析】 ① 先证明△ ABF ≌△ ECF ，得 AB＝ EC，再得四边形 ABEC 为平行四边形，进而
由∠ BAC＝ 90°，得四边形 ABCD 是正方形，便可判断正误；
＝ ， B 项错误
＝ ＝ ， C 项错误
＝ ＝ ， D 项正确
故选： D ．
【点评】此题主要考查相似三角形的性质及平行四边形的性质，本题关键是要懂得找相
似三角形，利用相似三角形的性质求解．
7.（ 2019 年黑龙江省鸡西市）如图，在平行四边形
ABCD 中，∠ BAC＝ 90°， AB＝ AC，过
点 A 作边 BC 的垂线 AF 交 DC 的延长线于点 E，点 F 是垂足，连接 BE、 DF ，DF 交 AC
∴四边形 ABEC 是正方形，故此题结论正确；
② ∵ OC∥AD ， ∴△ OCF∽△ OAD，
广东省2019年中考数学总复习第一部分知识梳理第四章三角形第18讲相似三角形课件
广东省2019年中考数学总复习：教材知 识梳理课件
5. (20分)如图K1-18-4，小明在打网球时，为使球恰 好能过网(网高0.8 m)，且落在 对方区域离网5m的位置上， 已知她的击球高度是2.4 m， 则她应站在离网__1_0__m_处.
6. (40分) 方格纸中每个小正方形的边长都是单位1， △OAB在平面直角坐标系中的位置如图K1-18-5. 解答下列问题：
(3)△OA2B2的面积为______1_0_____.
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解：①如答图1-18-3，△O1A1B1 即为所求； ②如答图1-18-3，△OA2B2 即为所求.
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(1)请按要求对△ABO 作如下变换(画出图形)：
①将△OAB向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到 △O1A1B1 ；
②以点O为位似中心，相似比为2∶1，将△OAB在位似 中心的异侧进行放大得到△OA2B2 .
(2)写出点A1，A2的坐标：__(_0_，__-_1_)___，_(_-_6_，__ห้องสมุดไป่ตู้_2_)_；
第18讲 相似三角形
广东省2019年中考数学总复习：教材知 识梳理课件
1. (10分) 如图K1-18-1，在△ABC中，∠ACB＝90°， CD⊥AB，垂足为点D，则图中与△BCD相似的三角形有 (B) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.(10分)（2018临安）如图K1-18-2，在△ABC中， DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D， E，若AD=4，DB=2，则DE∶BC的值为( A ) A．23 B．12 C．34 D．35
九上数学 第18讲 相似三角形判定定理的证明-专题练习
第18讲 《图形的相似》培优训练三角形相似的证明-专题练习专题(一) 利用平行线求比值1．如图，△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，AD ＝2BD ，AE ＝2CE ，则AD AB ＝___，DEBC＝___．,第1题图) ,第2题图)2．如图，点D 是EC 的中点，点F 是AC 的中点，AD 与EF 交于点O ，则OFOE＝____．3．如图，已知点E 是▱ABCD 中AD 边上一点，且AE ∶DE ＝3∶2，CE 交BD 于点F ，BF ＝15 cm ，则DF 的长为___．4．如图，△ABC 中，∠B 的平分线BD 交AC 于点D ，过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，AB ＝10，BE ＝6，求CE 的长．5．如图，▱ABCD 中，点E 是AB 的中点，在AD 上截取2AF ＝FD ，EF 交AC 于点G ，延长EF 与CD 的延长线交于点H ，求AGGC的值．6．如图，已知△ABC 中，点F 为底边AB 上一点，BF ∶AF ＝3∶2，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E .过点F 作FG ∥AE 交BC 于点G ，求BE ∶EC .7．如图，△ABD 中，点C ，F 分别为BD ，AB 上一点，AC ，DF 交于点E ，且CD ∶BC ＝2，AE ＝2CE .求DEEF的值．专题(二) 比例线段的证明一、三点定型法1．如图，▱ABCD 中，点E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于点F ，求证：DC AE ＝CFAD.2．如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，点M 是BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于点D ，交AB 于点E .求证：AM 2＝MD ·ME .3．如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠B 的平分线BE 交AC 于点E ，交AD 于点F .求证：BF BE ＝AB BC.二、等线段代换法4．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA＝∠D.求证：AC·BE＝CE·AD.5．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，点P是AD上一点，过点C作CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F.求证：BP2＝PE·PF.三、等比代换法6．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：AB·AF＝AC·DF.专题(三)两次相似问题1．如图，BE，CD是△ABC的高，连接DE.(1)求证：AE·AC＝AB·AD；(2)若∠BAC＝120°，点M为BC的中点，求证：DE＝DM.2．如图，在△PBC中，∠PCB＝90°，DA⊥PB于点A，连接AC，BD相交于点E.求证：(1)△P AD∽△PCB；(2)∠PCA＝∠PBD；(3)△ADE∽△BCE.3．如图，▱ABCD中，点E在直线AB上，EC交AD于点F，交BD于点G，求证：CG2＝FG·EG.4．如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高．(1)求证：CE ·CA ＝CD ·CB ；(2)若EC ＝5，BC ＝13，求DEAB的值．5．如图，延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD ＝BC ，取AB 中点F ，DF 交AC 于点E .求AEAC的值．课后作业相似三角形判定练习1、如图1.已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ：DB=3：5，那么CF ：CB 等于（ ）A 、5：8B 、3：8C 、3：5D 、2：52、Rt △ABC 的面积为120，且∠BAC=90°，AD 是斜边上的中线，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连接CE 交AD 于点F ，则△AFE 的面积等于（ ）A 、18B 、20C 、22D 、242、下列条件中，能判定△ABC ∽△DEF 的有（ ） ①∠A=45°，AB=12，AC=15，∠D=45°，DE=16，DF=20； ②AB=12，BC=15，AC=24，DE=20，EF=25，DF=40； ③∠A=47°，AB=15，AC=20，∠E=47°，DE=28，EF=20.A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个4、如下图，小正方形的边长均为1，则下图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）5、如图2，已知△ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，且31AC AD ，AE=BE ，则有（ ） A 、△AED ∽△BEDB 、△AED ∽△CBDC 、△AED ∽△ABDD 、△BAD ∽△BCD图1 图2 图3 图4 图5 6、如图3，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则图中相似三角形共有（ ）对 A 、1B 、2C 、3D 、47、如图4，已知△ABC 和△ABD 都是⊙O 的内接三角形，AC 和BD 相交于点E ，则与△ADE 相似的三角形是（ ）A 、△BCEB 、△ABEC 、△ABDD 、△ABE8、如图5，等边三角形ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP=2，D 为AC 上一点，若∠APD=60°，则CD 的长为（ ）A 、23 B 、32 C 、21 D 、439、（选做）如图6，P 为线段AB 上一点，AD 与BC 交于点E ，∠PCD=∠A=∠B ， BC 交PD 于点F ，AD 交PC 于点G ，则图中相似三角形有（ ）对A 、1B 、2C 、3D 、4图610、如图7，DE ∥BC ，且DB=AE 。
2019全国中考真题解析考点汇编☆相似三角形
相似三角形（2019，北京）如图，在△ABC 中，点D 、E 分AB 、AC 边上，DE //BC ，若AD ：AB =3：4， AE =6，则AC 等于（ ）D (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8。
（2019，宁德）图，在□ABCD 中，AE ＝EB ，AF ＝2，则FC 等于_____．（2019，甘肃）在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则这棵树的高度为 米. 9.6(2019,珠海)天，小青在校园内发现：旁边一颗树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点（如图所示）.如果小青的峰高为1.65米，由此可推断出树高是_______米. 3.3（2019，梧州）如图(2)，在Y ABCD 中，E 是对角线BD 上的点，且EF ∥AB ，DE ：EB=2：3， EF=4，则CD 的长为_____________。
ABCD EFA E BCD（2019，桂林）如图，已知△ADE 与△ABC 的相似比为1：2，则△ADE 与△ABC 的面积比为（ ）． A ． 1：2 B ． 1：4C ． 2：1D ． 4：1（2019，黔东南）如图，若CD C ABC Rt ,90,0=∠∆为斜边上的高，ACD n AB m AC ∆==则,,的面积与BCD ∆的面积比SsACDBCD ∆∆的值是 （ ）A. 22mn B. 221m n -C. 122-m nD. 122+mn（2019，河南）如图，△ABC 中，点DE 分别是ABAC 的中点，则下列结论：①BC =2DE ；②△ADE ∽△ABC ；③ACABAE AD =．其中正确的有【 】 （A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个（2019，河南）如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =30°，AB =6．点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），且DA =DE ，则AD 的取值范EDCBA围是___________________．（2019，沈阳）如图，在□ ABCD 中，点E 在边BC 上，BE ：EC =1：2， 连接AE 交BD 于点F ，则△BFE 的面积与△DF A 的面积之 比为 。
2019年全国中考试题解析版分类汇编-相似三角形判定和性质(92页)
2019年全国中考试题解析版分类汇编-相似三角形判定和性质（92页）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！1.〔2017湖北荆州，7，3分〕如图，P为线段AB上一点，AD与BC交干E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于E，AD交PC于G，那么图中相似三角形有〔〕A、1对B、2对C、3对D、4对考点：相似三角形的判定、专题：证明题、分析：根据题目提供的相等的角和图形中隐含的相等的角，利用两对应角对应相等的两三角形相似找到相似三角形即可、解答：解：∵∠CPD=∠A=∠B，∴△PCF∽△BCP△APG∽△BFP△APD∽△GPD应选B、点评：此题考查相似三角形的判定、识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角、2.〔2017江苏无锡，7，3分〕如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形、假设OA：OC=0B：OD，那么以下结论中一定正确的选项是〔〕A、①与②相似B、①与③相似C、①与④相似D、②与③相似考点：相似三角形的判定。
分析：由OA：OC﹣=0B：OD，利用对顶角相等相等，两三角形相似，①与③相似，问题可求、解答：证明：∵OA：OC=0B：OD，∠AOB=∠COD〔对顶角相等〕，∴①与③相似、应选B、点评：此题解答的关键是熟练记住所学的三角形相似的判定定理，此题难度不大，属于基础题、3.〔2017山西，11，2分〕如图，△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G 、F 在BC 边上，四边形DEFG 是正方形、假设DE ＝2㎝，那么AC 的长为〔〕A、B 、4cm C、D、考点：三角形中位线，相似三角形的相似比专题：相似三角形分析：由题意知DE 是等腰△ABC 的中位线，所以DE ∥BC ，DE ＝12BC ，因为DE ＝2㎝，所以BC ＝4㎝、又DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，且相似比为12、过点A 作AM ⊥BC 于点M 、那么MC ＝2㎝，由点E 是边AC 的中点，EF ∥AM ，所以FC ＝1㎝、在△EFC 中，因为正方形DEFG 的边长是2㎝，所以根据勾股定理得ECAC＝)cm ，应选D 、 解答：D点评：此题是三角形中位线，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的相似比等的综合应用、过点A 作AM ⊥BC 于点M ，构造等腰三角形的高学生不易想到、4.〔2017陕西，9，3分〕如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 边上的点，连接BE 、AF ，他们相交于点G ，延长BE 交CD 的延长线于点H ，那么图中的相似三角形共有〔〕A 、2对B 、3对C 、4对D 、5对考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质。
2019相似三角形-基本知识点+经典例题(完美打印版)精品教育.doc(良心出品必属精品)
相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段dc b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即12AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b db d a c=⇔=．（4）合、分比性质：a c a b c db d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． ③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：baf d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,与原三角形．．．．三边．．对应成比例. ②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF =====或或或或等. 注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
2019年中考数学真题知识点分类汇总—相似三角形
2019年中考数学真题知识点分类汇总—相似三角形一、选择题1. （2019广西省贵港市，题号11，分值3分）如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，//DE BC ，ACD B ∠=∠，若2AD BD =，6BC =，则线段CD 的长为( )A ．B ．C ．D ．5 【答案】C ．【思路分析】设2AD x =，BD x =，所以3AB x =，易证ADE ABC ∆∆∽，利用相似三角形的性质可求出DE 的长度，以及23AE AC =，再证明ADE ACD ∆∆∽，利用相似三角形的性质即可求出得出AD AE DE AC AD CD==，从而可求出CD 的长度．【解题过程】解：设2AD x =，BD x =，3AB x ∴=，//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽， ∴DE AD AE BC AB AC==， ∴263DE x x=， 4DE ∴=，23AE AC =， ACD B ∠=∠，ADE B ∠=∠，ADE ACD ∴∠=∠，A A ∠=∠，ADE ACD ∴∆∆∽，∴AD AE DE AC AD CD==， 设2AE y =，3AC y =， ∴23AD y y AD=，AD ∴=， ∴4CD=，CD ∴=，故选：C ．【知识点】相似三角形的判定与性质2. （2019贵州省毕节市，题号15，分值3分）如图，在一块斜边长30cm 的直角三角形木板（Rt △ACB ）上截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若AF ：AC ＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为（ ）A ．100cm 2B ．150cm 2C ．170cm 2D ．200cm 2 【答案】A ．【思路分析】设AF ＝x ，根据正方形的性质用x 表示出EF 、CF ，证明△AEF ∽△ABC ，根据相似三角形的性质求出BC ，根据勾股定理列式求出x ，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【解题过程】解：设AF ＝x ，则AC ＝3x ，∵四边形CDEF 为正方形，∴EF ＝CF ＝2x ，EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴EF BC ＝AF AC ＝13， ∴BC ＝6x ，在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2+BC 2，即302＝（3x ）2+（6x ）2，解得，x＝∴AC＝BC＝∴剩余部分的面积＝12100（cm2），故选：A．【知识点】正方形的性质；相似三角形的应用．3.（2019贵州黔西南州，10，4分）如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．200cm2B．170cm2C．150cm2D．100cm2【答案】D【解析】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC=AFAC=13，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB=√(3x)2+(6x)2=3√5x，∴3√5x＝30，解得x＝2√5，∴AC＝6√5，BC＝12√5，∴剩余部分的面积=12×6√5×12√5−（4√5）2＝100（cm2）．故选：D．【知识点】正方形的性质；相似三角形的应用4.．(2019海南,12题,3分)如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝5,BC＝4,点P是边AC上一动点,过点P作PQ∥AB交BC于点Q,D为线段PQ的中点,当BD平分∠ABC时,AP的长度为( )A.813B.1513C.2513D.3213第12题图【答案】B【思路分析】根据平行和平分线得到等腰三角形,作DE⊥BC,得到相似三角形,结合中点和相似比,得到线段关系,列出方程,进而求得AP长度.【解题过程】在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝5,BC＝4,∴AC＝3,过点D作DE⊥BC于点E,易证△ABC∽△DQE,∵BD平分∠ABC,PQ∥AB,∴BQ＝QD,设QD＝BQ＝4x,则AP＝3x,DP＝4x,∴PQ＝8x,CP＝245x,∴AC＝395x＝3,∴x＝513,AP＝3x＝1513,故选B.第12题答图【知识点】等腰三角形,相似三角形,一元一次方程5.（2019黑龙江哈尔滨，10，3分）如图,在平行四边形ABCD中,点E在对角线BD上,EM∥AD,交AB于点M,EN∥AB,交AD于点N,则下列式子一定正确的是（）。
新课标版2019年全国各地中考真题分类详解 - ——相似、位似及其应用
新课标版2019年全国各地中考真题分类详解相似、位似及其应用一、选择题 10．（2019·苏州）如图，在△ABC 中，点D 为BC 边上的一点．且AD =AB =2，AD ⊥AB ，过点D 作DE ⊥AD ，DE 交AC 于点F ．若DE =1，则△ABC 的面积为 （ ）A ．B ．4C ．D ．8第10题图【答案】B【解析】∵AB ⊥AD ，AD ⊥DE ，∴∠BAD ＝∠ADE ＝90°，∴DE ∥AB ，∴∠CED ＝∠CAB ，∵∠C ＝∠C ，∴△CED ∽△CAB ，∵DE ＝1，AB ＝2，即DE ∶AB ＝1∶2，∴S △DEC ∶S △ACB ＝1∶4，∴S 四边形ABDE ∶S △ACB ＝3∶4，∵S 四边形ABDE ＝S △ABD +S △ADE 12=⨯2×212+⨯2×1＝2+1＝3，∴S △ACB＝4，故选B ．10．（2019·绍兴 ）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为 ( ) A.524 B.532C.173412D.173420【答案】A【解析】如图所示：设DM ＝x ，则CM ＝8﹣x ， 根据题意得：（8﹣x +8）×3×3＝3×3×5， 解得：x ＝4，∴DM ＝6，∵∠D ＝90°，由勾股定理得：BM=＝5， 过点B 作BH ⊥AH ，∵∠HBA+∠ABM ＝∠ABM+∠ABM ＝90°， ∴∠HBA+＝∠ABM ，所以Rt △ABH ∽△MBD ， ∴BH BD AB BM =，即385BH =，解得BH ＝524，即水面高度为524． 6.（2019·杭州）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB 和AC 边上，DE ∥BC ，M 为BC 边上一点(不与点B ，C 重合)连接AM 交DE 干点N ，则 （ ） A.AD AN AN AE = B. BD MN MN CE = C. DN NE BM MC = D. DN NEMC BM=【答案】C【解析】根据DE ∥BC ，可得△ADN ∽△ABM 与△ANE ∽△AMC ，再应用相似三角形的性质可得结论.∵DN ∥BM ，∴△ADN ∽△ABM ，∴DN ANBM AM=，∵NE ∥MC ，∴△ANE ∽△AMC ，∴NE AN MC AM =，∴DN NEBM MC=．故选C ． 7．（2019·常德）如图，在等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，△ABC 的面积为42，则四边形DBCE 的面积是（ ） A ．20 B ．22 C ．24 D ．26B【答案】D【解析】∵图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，△ABC 的面积为42，∴最小的三角形与△ABCADE ∽△ABC ，∴ADE ABCSS ＝2DE BC ⎛⎫⎪⎝⎭，∵DE BC ＝4ADE ABCSS＝1642＝821， ∴S △ADE ＝821×42＝16，∴四边形DBCE 的面积＝S △ABC －S △ADE ＝26，故选项D 正确． 5．（2019·陇南）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ）A ．平移变换B ．相似变换C ．旋转变换D ．对称变换【答案】B【解析】由图可知，放大前与放大后图形是相似的，故选：B ．1. (2019·枣庄)如图,将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC 的面积为16,阴影部分三角形的面积为9,若AA'＝1,则A'D 等于A.2B.3C.4D.32【答案】B【解析】由平移可得,△ABC ∽△A'MN,设相似比为k,∵S △ABC ＝16,S △A'MN ＝9,∴k 2＝16:9,∴k ＝4:3,因为AD 和A'D 分别为两个三角形的中线,∴AD:A'D ＝k ＝4:3,∵AD ＝AA'+A'D,∴AA':A'D ＝1:3,∵AA'＝1,则A'D ＝3,故选B.2.（2019·淄博）如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD ＝∠B. 若△ADC 的面积为a ，则△ABD 的面积为（）A .2aB .52a C .3a D .72a 【答案】C .【解析】在△BAC 和△ADC 中，∵∠C 是公共角，∠CAD ＝∠B.，∴△BAC ∽△ADC ，∴2BCAC=, ∴2AB DA =()4C CS BC SAC=，又∵△ADC 的面积为a ，∴△ABC 的面积为4a ，∴△ABD 的面积为3a .3. (2019· 巴中)如图，ABCD,F 为BC 中点,延长AD 至E,使DE:AD ＝1:3,连接EF 交DC 于点G,则S △DEG :S △CFG ＝( )A.2:3B.3:2C.9:4D.4:9【答案】D【解析】因为DE:AD ＝1:3,F 为BC 中点,所以DE:CF ＝2:3,ABCD 中,DE ∥CF,所以△DEG ∽△CFG,相似比为2:3,所以S △DEG :S △CFG ＝4:9.故选D.4.（2019·乐山）把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（ ） A ．61 B ．31C ．51D ．41B【答案】A第8题答图【解析】∵四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形，∴AD =DC =1，CE =2，AD ∥CE ，∴△ADH∽△ECF ，∴A D D HC E C H=，∴121DH DH =-，解得DH =13，∴阴影部分面积为12×13×1=16，故选A.5.（2019·乐山）如图，在边长为3的菱形ABCD 中，︒=∠30B ，过点A 作BC AE ⊥于点E ，现将△ABE 沿直线AE 翻折至△AFE 的位置，AF 与CD 交于点G .则CG 等于（ ） A ．13-B ．1C ．21D ．23第9题图【答案】A【解析】∵BC AE ⊥，∴∠AEB=90°，菱形ABCD 的边长为3，︒=∠30B ，∴AE=12AB=12，BF=3，CF=BF -BC=3，∵AD ∥CF ，∴△AGD ∽△FGC ，∴D G A DC G C F=，=，解得CG1-，故选A. 6.（2019·凉山）如图，在△ABC 中，D 在AC 边上，AD ∶DC = 1∶2，O 是BD 的中点，连接A 0并延长交BC 于 E ，则BE ∶EC =（ ▲ ） A. 1∶2 B . 1∶3 C . 1∶4 D . 2∶3【答案】B【解析】过点D 作DF ∥AE ，则1==OD BO EF BE ,21==CD AD FC EF ，∴BE ∶EF ∶FC =1∶1∶2，∴BE ∶EC =1∶3.故选B .7.（2019·眉山）如图，一束光线从点A （4，4）出发，经y 轴上的点C 反射后，经过点B （1，0），则点C 的坐标是A ．（0，12）B ．（0，45）C ．（0，1）D ．（0，2）【答案】B【解析】解：过点A 作AD ⊥y 轴于点D ，∵∠ADC=∠COB=90°，∠ACD=∠BCO ，∴△OBA∽△DAC ，∴OC DC OB AD =，∴414OC OC -=，解得：OC=45，∴点C （0，45），故选B.8.（2019·眉山）如图，在菱形ABCD 中已知AB =4，∠ABC =60°，∠EAF =60°，点E 在CB 的延长线上，点F 在DC 的延长线上，有下列结论：①BE =CF ，②∠EAB =∠CEF ；③△ABE ∽△EFC ，④若∠BAE =15°，则点F 到BC 的距离为2，则其中正确结论的个数是A ．1个B ． 2个C ．3个D ． 4个【答案】B 【解析】连接AC ，在菱形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠BAC=60°，∵∠EAF=60°，∴∠EAB+∠BAF=∠CAF+∠BAF=60°，即∠EAB=∠CAF ，∵∠ABE=∠ACF=120°，∴△ABE ≌△ACF ，∴BE=CF ，故①正确；由△ABE ≌△ACF ，可得AE=AF ，∵∠EAF=60°，∴△AEF 是等边三角形，∴∠AEF=60°，∴∠AEB+∠CEF=60°，∵∠AEB+∠EAB=60°，∴∠CEF=∠EAB ，故②正确；在△ABE 中，∠AEB ＜60°，∠ECF=60°，∴③错误；过点A 作AG ⊥BC 于点G ，过点F 作FH ⊥EC 于点H ，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在Rt △AGB 中，∵∠ABC=60°，AB=4，∴BG=12AB=2，，在Rt △AEG 中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=，∴EB=EG-BG=，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF ，∵∠ABC=∠ACD=60°，∴∠ABE=∠ACF=120°在△AEB 和△AFC 中，⎧⎪⎨⎪⎩∠∠∠∠︒EAB FAC AB AC ABE ACF 120＝＝＝＝，∴△AEB ≌△AFC ，∴AE=AF ，EB=CF=，在Rt △CHF 中，∵∠HCF=180°-∠BCD=60°，CF=，∴FH=CF •sin60°=（-2∴点F到BC 的距离为故④错误.故选B.9.（2019·重庆B 卷）下列命题是真命题的是（ ）A.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为2:3B.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9C.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个全角形的面积比为2:3D.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的面积比为4:9 【答案】Ｂ【解析】如果两个三角形相似,那么这两个三角形的周长比等于相似比，面积比是相似比的平方.即如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9；面积比是相似比的平方，即16:81.故选Ｂ．10.（2019·重庆A卷）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C．【解析】∵△ABO∽△CDO，∴AB BOCD DO=．∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，∴623AB=．∴AB＝4．故选C．二、填空题16．（2019·滨州）在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（－2，4），B（－4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是________________________．【答案】（－1，2）或（1，－2）【解析】点A的对应点C的坐标是（－2×12，4×12）或（－2×（－12），4×（－12）），即（－1，2）或（1，－2）．2.（2019·滨州）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的结论有____________．（填写所有正确结论的序号）【答案】①③④【解析】在Y ABCD中，AB∥DC，∠ABC=60°，∴∠BCD=120°．∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=60°，∴△BCE是等边三角形，∴BE=BC=CE，∠BEC=60°．∵AB=2BC，∴AE=BE=CE，∴∠EAC=∠ACE=30°，∴∠ACB=90°．在Y ABCD中，AO=CO，BO=DO，∴OE是△ACB的中位线，∴OE ∥BC ，∴OE ⊥AC ，故①正确；∵OE 是△ACB 的中位线，∴OE=12BC ，∵OE ∥BC ，∴△OEF ∽△BCF ，∴OF ：BF=OE ：BC=1：2，∴S △AOD =S △BOC =3S △OCF ，故②错误；在Rt △ABC 中，∵AB=2BC ，∴，∴OC=2BC ．在Rt △BCO 中，2BC ，∴BC ，∴AC ：：7，故③正确；∵OF ：BF=1：2，∴BF=2OF ，OB=3OF ，∵OD=OB ，∴DF=4OF ，∴BF 2=（2OF ）2=4OF 2，OF ·DF=OF ·4OF=4OF 2，∴BF 2=OF ·DF ，故④正确．3.（2019·凉山）在□ABCD 中，E 是AD 上一点，且点E 将AD 分为2∶3的两部分， 连接BE 、AC 相交于F ，则S △AEF ∶S △CBF 是▲. 【答案】4：25或9∶25【解析】在□ABCD 中，∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF .如答图1，当AE ∶DE =2∶3时，AE ∶AD =2∶5,∵AD =BC ，∴AE ∶BC =2∶5,∴S △AEF ∶S △CBF =4∶25；如答图2，当AE ∶DE =3∶2时，AE ∶AD =3∶5,∵AD =BC ，∴AE ∶BC =3∶5,∴S △AEF ∶S △CBF =9∶25.故答案为4∶25或9∶25.（第16题图答图1） （第16题图答图2）4. （2019·自贡）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，CD ∥AB ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点E ，DE =.【答案】.【解析】∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD =∠CBD ， ∵AB ∥CD , ∴∠D =∠ABD , ∴∠CBD =∠D ，∴CD=BD=6.在Rt△ABC中，AC==8.∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴,∴CE=AE，DE=BE.即CE=AC=×8=3.在Rt△BCE中，BE=.∴DE=BE=×3=.5.（2019·衢州）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。
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第18讲 相似三角形
知识点1 比例线段
知识点2 平行线分线段成比例 知识点3 相似三角形的性质 知识点4 相似三角形的判定 知识点5 相似多边形
知识点1
比例线段
（2018·白银）已知
(0,0)23
a b
a b =≠≠，下列变形错误的是（ ） A ．23a b = B ．23a b = C ．3
2
b a = D ．32a b =
（2018·成都）已知
，且
，则 的值为___12_____．
知识点2 平行线分线段成比例 （2018·嘉兴）
（2018·哈尔滨）答案：D
知识点3 相似三角形的性质
（2018•内江）已知△ABC 与△A 1B 1C 1相似，且相似比为1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为（ D ）
A ．1：1
B ．1：3
C ．1：6
D ．1：9
（2018·重庆A 卷）要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm ，6cm 和9cm ，另一个三角形的最短边长为2.5cm ，则它的最长边为 C
A. 3cm
B. 4cm
C. 4.5cm
D. 5cm
（2018·铜仁）
（2018·重庆B 卷）
（2018·自贡）如图，在⊿ABC 中，点D E 、 分别是AB AC 、的中点，若⊿ADE 的面积为4，则是⊿ABC 的面积为 （ ）
A. 8
B. 12
C. 14
D. 16 （2018·玉林）
（2018·广东）7.在△ABC 中，D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积之比为（ ） A.
21 B.31 C.41 D.61
（2018·乌鲁木齐）答案：D
（2018·河北）
（2018·兰州）
（2018·宜宾）如图，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A 'B 'C '的位置，已知△ABC 的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若AA '=1,则A 'D 等于（ ）
A. 2
B.3
C. 23
D. 3
2
（2018·随州）答案：C
（2018·荆门）答案：C
（2018·杭州）
（2018·达州）如图，F E ,是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AC CF AE 4
1
==.连接DF DE ,并延长，分别交BC AB ,于点H G ,，连接GH ，则
BGH
ADC
S S ∆∆的值为（ ）
A ．
21 B ．32 C ．4
3
D ．1 （2018·毕节）如图,在平行四边形ABCD 中,
E 是DC 上的点,DE:EC=3:2,连接AE 交BD 于点F,则△DE
F 与△BAF 的面积之比为( )
A.2:5
B.3:5
C.9:25
D.4:25 （2018·包头）
（2018·连云港）
（2018·赤峰）
（2018·资阳）
知识点4 相似三角形的判定（2018·德阳）
（2018·枣庄）答案：A
（2018·泸州）如图4，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，
则AG
GF
的值是（ C ）
A.4
3
B.
5
4
C.
6
5
D.
7
6
（2018·恩施）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点，已知2
FG ，则线段AE的长度为（ D ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
（2018·黄冈）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，2AD =，
5CE =，则CD =（ C ）
A ．2
B ．3 C.4 D ．（2018·扬州）
（2018·永州）
（2018·淄博）如图，在Rt ABC ∆中，CM 平分ACB ∠交AB 于点M ，过点M 作//MN BC 交AC 于点N ，且
MN 平分AMC ∠，若1AN =，则BC 的长为（ ）
A ．4
B ．6 C. ．8
（2018·南通）正方形ABCD 的边长2AB =，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，AF 分别与DE BD 、相交于点M N 、，则MN 的长为（ C ）
A B 1- C D （2018·威海）矩形ABCD 与CEFG 如图放置，点,,B C E 共线，点,,C D G 共线，连接AF ，取AF 的中点H ，连接GH ，若2BC EF ==，1CD CE ==，则GH =( C )
A.1
B.
23
（2018·巴中）
（2018·南充）
（2018·上海）
（2018·柳州）
（2018·盐城）如图，在直角ABC ∆中，90C ∠=，6AC =，8BC =，P 、Q 分别为边BC 、AB 上的两个动
点，若要使APQ ∆是等腰三角形且BPQ ∆是直角三角形，则AQ =
．
（2018·云南）
（2018·北京）如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若4=AB ，3=AD ，则CF 的长为 。
（2018·邵阳）
（2018·岳阳）
知识点5 相似多边形
知识点5 相似三角形的实际应用
（2018·泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”
用今天的话说，大意是：如图，是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门位于的中点，南门位于的中点，出东门15步的处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于处的树木（即点
在直线上）？请你计算的长为__________步．
(2018·临沂)答案：B
（2018·义务）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB BD
⊥，
⊥，CD BD
垂足分别为B，D，4m
CO=，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为( C )
AO=， 1.6m
AB=，1m
A.0.2m
B.0.3m
C.0.4m
D.0.5m
（2018·长春）
（2018·吉林）
（2018·陕西）。