坐标平移法
坐标平移法
坐标平移法是一种数学方法，用于在坐标平面上将图形沿指定的方向平移一定的距离。
平移是指将一个图形在平面上按照指定的方向和距离移动，而不改变其形状和大小。坐标平移法是通过将图形上每个点的坐标按照平移方向和平移距离进行变换来完成平移操作。
平移法的基本思想是首先确定平移矢量，即平移的方向和距离。然后通过坐标变换的方法将图形上每个点的坐标进行平移，从而得到平移后的新图形。
平移矢量通常用一个坐标向量表示，如(v1, v2)，其中v1表示
在x轴方向的平移距离，v2表示在y轴方向的平移距离。
对于任意一个点的坐标（x，y），经过平移操作后的新坐标可以通过以下公式计算得出：
新坐标的x值 = 原坐标的x值 + 平移矢量的v1
新坐标的y值 = 原坐标的y值 + 平移矢量的v2
通过依次对图形上每个点的坐标进行上述计算，即可完成图形的平移操作。
坐标平移法在计算机图形学、几何学、物理学等领域中都有应用。它是进行平移变换的基本方法之一，可以用于平移图形、对象或其他几何结构。
坐标系与形的平移
坐标系与形的平移 平移是几何学中常见的变换方式之一，它可以描述一个图形在平面 上沿着一定方向移动的过程。与之密切相关的是坐标系，它是描述平 面上点位置的一种方式。本文将重点讨论坐标系与形的平移之间的关系，以及如何进行平移操作。 一、坐标系的概念与表示方法 在平面几何中，为了确切描述点的位置，我们需要引入坐标系。坐 标系由两条相互垂直的线，即x轴和y轴组成。通过设定原点和单位 长度，我们可以根据点在x轴和y轴上的位置来确定其坐标。以直角 坐标系为例，点的坐标通常表示为(x, y)的形式。 二、形的平移 形的平移是指图形按照一定距离和方向在平面上移动，保持图形内 部结构不变的过程。平移的关键是平移向量，它描述了平移的方向和 距离。设平移向量为(a, b)，若点P(x, y)平移后的位置为P'(x', y')，则有：x' = x + a y' = y + b 三、平移的性质 1. 平移不改变图形的大小、形状和内部角度。 2. 平移前后的图形对应点之间的距离不变。
3. 平移具有可逆性，即一个图形经过平移后，可以再次回到原来的 位置。 四、常见平移方式 1. 水平平移：在直角坐标系中，若平移向量为(a, 0)，表示图形在x 轴方向上移动a个单位长度。 2. 垂直平移：在直角坐标系中，若平移向量为(0, b)，表示图形在y 轴方向上移动b个单位长度。 3. 斜线平移：在直角坐标系中，若平移向量为(a, b)，表示图形在斜 线方向上同时按照a和b的距离进行平移。 五、平移操作的步骤 进行图形平移操作时，可以按照以下步骤进行： 1. 确定平移向量，即平移的方向和距离。 2. 对于图形中的每个点，根据平移向量的坐标变换公式计算新位置。 3. 连接新位置的点，得到平移后的新图形。 六、应用举例 下面通过一个具体的例子来说明坐标系与形的平移的关系。 假设有一个正方形，其顶点坐标依次为A(1, 1)，B(1, 3)，C(3, 3)， D(3, 1)。现在我们希望将该正方形沿x轴方向平移4个单位长度，即(a, 0) = (4, 0)。
坐标轴平移公式口诀讲解
坐标轴平移公式口诀讲解 在数学中，坐标轴平移是一种常见的操作。通过平移，我们可以将一个点或者一组点沿着坐标轴的方向进行移动，从而改变它们的位置。为了方便计算和描述，数学家们总结出了一套简洁的坐标轴平移公式口诀，下面我们就来详细讲解一下。 我们需要了解一些基本概念。在二维坐标系中，我们用x轴和y轴来表示平面上的点。每个点都可以表示为一个有序对(x, y)，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。而坐标轴平移就是将点沿着x轴或y轴的方向进行移动，改变它们的位置。 接下来，让我们来介绍一下坐标轴平移的具体公式口诀。 1. 沿x轴正方向平移a个单位： 对于点(x, y)，平移后的点坐标为(x+a, y)。 2. 沿x轴负方向平移a个单位： 对于点(x, y)，平移后的点坐标为(x-a, y)。 3. 沿y轴正方向平移b个单位： 对于点(x, y)，平移后的点坐标为(x, y+b)。 4. 沿y轴负方向平移b个单位： 对于点(x, y)，平移后的点坐标为(x, y-b)。
通过上面的四条公式，我们可以实现在二维坐标系中沿着x轴和y 轴进行平移。这些公式口诀非常简洁明了，方便我们进行计算和描述。 除了以上的基本平移方式，我们还可以进行组合和连续的平移操作。下面我们分别来介绍一下。 1. 组合平移： 如果我们需要先沿x轴平移a个单位，再沿y轴平移b个单位，可以使用以下公式口诀： 对于点(x, y)，平移后的点坐标为(x+a, y+b)。 这样就实现了在二维平面上的组合平移。 2. 连续平移： 如果我们需要对同一个点进行多次平移操作，可以使用以下公式口诀： 对于点(x, y)，先沿x轴平移a个单位，再沿y轴平移b个单位，平移后的点坐标为(x+a, y+b)。 这样就实现了在二维平面上的连续平移。 通过上面的介绍，我们可以看到坐标轴平移公式口诀非常简单易懂，方便我们进行计算和描述。在实际应用中，我们可以通过这些公式来解决一些平移相关的问题，比如求解平面上两点之间的距离、求解平面上某点的对称点等等。
图形在坐标中的平移知识讲解
图形在坐标中的平移（提高）知识讲解 【学习目标】 1. 能在直角坐标系中用坐标的方法研究图形的平移变换，掌握图形在平移过程中各点的变化规律，理解图形在平面直角坐标系上的平移实质是点坐标的对应变换. 2. 运用点的坐标的变化规律来进行简单的平移作图. 【要点梳理】 要点一、点在用坐标中的平移 在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)． 要点诠释： （1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减； （2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减； （3）在坐标系内，平移点的坐标规律：沿x轴方向平移纵坐标不变,沿y轴方向平移横坐标不变． 要点二、图形在坐标中的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 要点诠释： （1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决． （2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化. 【典型例题】 类型一、点在用坐标中的平移 1．（2016?藁城区校级模拟）在平面直角坐标系中，将点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点A′，若点A′位于第二象限，则m、n的取值范围分别是（） A．m＜0，n＞0 B．m＜1，n＞﹣2 C．m＜0，n＜﹣2 D．m＜﹣2，m＞﹣4【思路点拨】根据点的平移规律可得向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到（m﹣1+3，n+2+2），再根据第二象限内点的坐标符号可得． 【答案与解析】 解：点A（m﹣1，n+2）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点A′（m+2，n+4），∵点A′位于第二象限， ∴，解得：m＜﹣2，n＞﹣4，故选D． 【总结升华】此题主要考查了点的坐标平移规律，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 2. 如果将点P（3，4）沿x轴方向平移2个单位，再沿y轴方向向下平移3个单位后的坐标是_______． 【答案】（1,1）或（5，1） 【解析】 解：直接利用平移中点的变化规律求解即可．由点P的平移规律可知，此题规律是（x-2，y-3），或（x+2,y-3）
7.2.2用坐标表示平移（第1课时）-公开课-优质课（人教版教学设计精品）
7.2.2用坐标表示平移（第1课时）-公开课-优质课（人教版教 学设计精品） 7.2坐标方法的简单应用(第2课时) -公开课-优质课(人教版教学设计精品) 一、内容和内容解析 1．内容 探究点或图形的平移引起点的坐标的变化规律． 2．内容解析 对于平移，教科书首先在上一章“相交线与平行线”中已有安排，探讨得出平移的基本性质；在本章又安排了一小节“用坐标表示平移”的内容，从坐标的角度进一步认识平移；为后续学习利用平移探索几何性质以及综合运用平移、旋转、轴对称、相似等进行图案设计等打下基础． 用坐标表示平移，从数的角度刻画了第五章有关平移的内容，这就是用代数的方法研究几何问题．用坐标表示平移主要研究两方面问题，一方面是探讨点或图形的平移引起的点与图形顶点坐标的变化规律，另一方面是探讨点或图形顶点坐标有规律的变化引起的点或图形的平移．本节课学生探讨点或图形的平移引起的点与图形顶点坐标的变化规律，进一步体会数形结合的思想． 本节课的教学重点：在平面直角坐标系中，图形平移变化中坐标的变化规律． 二、教材解析 教科书首先设置一个“探究”栏目，在平面直角坐标系中，分析将一个已知点向右或向左平移某个单位长度得到一个新点，这个点的坐标与平移前的点的坐标有什么关系．同样如果将这个点分别向上或向下平移某个单位长度得到新的点，这个点与平移前点的坐标又有什么关系，通过分析平移前后点的坐标的变化，发现坐标的变化规律．这实际上让学生经历一个由特殊到一般的归纳过程． 对于另一个“探究”栏目，让学生确定一个正方形ABCD依次沿
两个坐标轴方向平移所得到的正方形EFGH的顶点的坐标，了解正方形EFGH也可以通过将正方形ABCD作一次平移得到．从而得出有关的结论：将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到． 三、教学目标和目标解析 1．教学目标 1
高中数学知识点--坐标系平移
508 §8-4 坐标系平移 8.4.1★★在直角坐标系中平移坐标轴,把原点O(0,0)移到O '(2,-5),点A 在新坐标系中的坐标为(-3,7),则点A 在原坐标系中的坐标是______. (A)(-1,2) (B)(1,-2) (C)(-5,12) (D)(5,-12) 解析:由已知得???-'=+'=5y y 2x x ,点A 有? ??='-='7y 3x ,所以,点A 在原坐标系中的坐标是(-1,2),答案为A. 8.4.2★★平移坐标系,使原坐标系的原点在新坐标系中的坐标是(3,-2),则原坐标系中坐标为(-2,3)的点在新坐标系中的坐标是______. (A)(1,1) (B)(-1,-1) (C)(-5,5) (D)(5,-5) 解析:在坐标系平移公式???+'=+'=k y y h x x 中,当???==0y 0x 时,???-='='2 y 3x ,解得???=-=2k 3h ,于是,原坐标系中坐标为(-2,3)的点在新坐标系中的坐标是(1,1),答案为A. 8.4.3★★如果坐标平面内的点M(0,m)(m ≠0)经坐标系平移后的坐标是(m,0),则新坐标系的原点O '在原坐标系中的坐标是______. (A)(m,m) (B)(m,-m) (C)(-m,m) (D)(-m,-m) 解析:在坐标系平移公式???+'=+'=k y y h x x 中,当???==m y 0x 时,???='='0y m x ,解得? ??=-=m k m h , 所以,新坐标系的原点O '在原坐标系中的坐标是(-m,m),答案为C. 8.4.4★★平移坐标系,将原点移到O '(-3,1),则曲线(y-3)2=2(x+5)在新坐标系中的方程是______. (A)(y '-2)2=2(x '+2) (B)(y '-6)2=2(x '+6) (C)(y '-6)2=2(x '+8) (D)y '2=2x ' 解析:由已知得???+'=-'=1 y y 3x x ,所以,曲线在新坐标系中的方程是(y '-2)2=2(x '+2),答案为A.
坐标平移与旋转
坐标平移与旋转 坐标平移和旋转是二维坐标系统中常用的操作，无论是在数学、几 何还是计算机图形学领域，它们都占据着重要地位。本文将详细介绍 坐标平移和旋转的概念、原理以及实际应用。 一、坐标平移 坐标平移是指在二维坐标系中将所有点的坐标向某个方向移动固定 的距离，以达到整体平移的效果。这个过程可以简单地理解为，将整 个坐标系沿着某个方向平行移动。 1.1 平移的概念 平移可以用向量表示。设有平面上一点P(x,y)，平移向量为V(a,b)，则平移后的点P'的坐标为P'(x', y')。平移操作的计算公式如下：x' = x + a y' = y + b 其中，x和y是原来点P的坐标，a和b是平移向量的分量。 1.2 平移的原理 平移的原理很简单，即将每个点的坐标分别加上平移向量的分量， 即可得到平移后的坐标。通过改变平移向量的数值，可以实现不同方 向和距离的平移效果。 1.3 平移的应用
平移在实际应用中有着广泛的用途。例如，在计算机图形学中，平移可以用于实现对象的移动效果，比如将一个图形从一个位置平移到另一个位置；在地图导航系统中，平移可以用于地图的拖动功能，使得用户可以自由地浏览地图。 二、坐标旋转 坐标旋转是指围绕某个固定点将二维坐标系中的点按照一定角度进行旋转，以改变它们的位置和方向。旋转是一种常见的几何变换，有着重要的理论和实际应用。 2.1 旋转的概念 旋转可以用矩阵运算来表示。设有平面上一点P(x,y)，以原点为中心进行旋转，旋转角度为θ，则旋转后的点P'的坐标为P'(x', y')。旋转操作的计算公式如下： x' = x * cosθ - y * sinθ y' = x * sinθ + y * cosθ 其中，x和y是原来点P的坐标，θ是旋转的角度。 2.2 旋转的原理 旋转的原理是利用三角函数的性质，通过改变旋转角度θ的数值，可以实现不同角度和方向的旋转效果。当θ为正值时，顺时针旋转；当θ为负值时，逆时针旋转。 2.3 旋转的应用
坐标旋转变换和平移变换
坐标旋转变换和平移变换 现代计算机图形学中，坐标旋转变换和平移变换是非常基础的变换操作，也是构建各种图形算法的重要基础。在这篇文章中，我将会从基本概念入手，解析坐标旋转和平移变换的原理、应用和相互关系。 一、坐标旋转变换 坐标旋转变换，简单地说就是将平面或空间中的点围绕某一轴心点旋转一定角度，从而改变其坐标位置。坐标旋转变换可分为二维和三维，下面分别讲解。 1. 二维坐标旋转变换 我们知道，二维坐标系中的每个点都有两个坐标值，分别表示在横轴和纵轴上的位置。以原点 A(x, y) 为中心点，将第一个象限(x>0, y>0) 沿其上对称轴旋转α 角度，可以得到新点 B(x', y')。其中，x' 与 y' 的计算方式如下： x' = xcosα - ysinα
y' = xsinα + ycosα 其中cosα 和sinα 是旋转角度α 对应的余弦值和正弦值。以此类推，对于第二、三、四象限的点坐标变换，只需要考虑对称轴所在的二三象限、一四象限即可。 2. 三维坐标旋转变换 三维坐标旋转变换也是类似的，只是需要绕各个坐标轴进行旋转。以绕 Z 轴正方向为例，点 P(x, y, z) 绕该轴旋转α 角度后，可得到新的点 P'(x', y', z')。其中，x'、y'、z' 的计算方式分别如下： x' = xcosα - ysinα y' = xsinα + ycosα z' = z
其他绕 X 轴和 Y 轴的坐标旋转变换同理，只是需要改变对应的计算公式和旋转轴。 二、平移变换 平移变换是指改变点或图形在坐标系中的位置，其实现方法是通过增加或减少图形的 x、y、z 坐标值来实现。平移变换也分为二维和三维，下面分别讲解。 1. 二维平移变换 在平面中，将坐标点 A(x, y) 沿 x 轴平移 Tx，y 轴平移 Ty，则新坐标点 A'(x', y') 计算方式如下： x' = x + Tx y' = y + Ty 其中，Tx 和 Ty 表示水平和垂直方向的平移距离。
坐标平移规律
坐标平移规律 坐标平移规律是指在几何中，将一个图形的所有点按照一定的规律向某一方向进行位置的变换。它利用了原来 位置的坐标信息，以及新位置的坐标信息，来推导出变换 规律。一般来讲，坐标平移规律有三种形式： 一、直角坐标系下的平移（以水平和竖直方向平移为例）： 对于水平方向而言，新的x坐标 = 传入的x坐标 + 水平平移量； 而对于竖直方向而言，新的y坐标 = 传入的y坐标 + 竖直平移量； 二、极坐标系下的平移： 新的极坐标半径r = 传入的极坐标半径r； 新的极坐标角度α = 传入的极坐标角度α + 极坐标平移量； 三、椭圆坐标系下的平移： 新的椭圆坐标u = 传入的椭圆坐标u + 椭圆坐标平移量； 新的椭圆坐标v = 传入的椭圆坐标v + 椭圆坐标平移量；
无论是直角坐标系、极坐标系还是椭圆坐标系，坐标平移规律都是一样的，都是以原来位置的坐标信息，加上一定的平移量，来确定新位置的坐标信息。 坐标平移是几何变换的一种，也是一种常见的图形变换方法。它可以用来将一个图形从某一位置移动到另一位置，或者将一个图形的某一部分移动到另一位置。坐标平移的基本思想是，将一个图形的所有点按照一定的规律向某一方向进行平移，使得图形的外观不变，只是位置改变了。 坐标平移也可以用来实现多边形的旋转，其思想是，将一个多边形的各个顶点按照一定的规律进行平移，使得多边形的内角不变，只是位置改变了，因此可以实现多边形的旋转。 坐标平移还可以用来实现缩放，其思想是，将一个图形的各个点按照一定的规律进行平移，使得图形的外观不变，但是坐标之间的距离发生变化，从而实现缩放效果。 坐标平移规律可以用来实现各种形状的变换，这在计算机图形学中有重要意义，是计算机图形学中一种重要的算法。它可以用来实现平移、旋转、缩放等几何变换，也可以用来求解各种形状的外观参数。坐标平移规律的应用可谓无处不在，它可以作为一种简单而高效的变换方法，用于处理复杂的几何图形。
平行四边形的存在性——平移坐标法 (2)
平行四边形的存在 ——平移坐标法 存在性问题是近年来各地中考的热点，其图形复杂，不确定因素较多，对学生的知识运用分析能力要求较高，有一定的难度．为此借用简单的平移坐标法来探究平行四边形的存在性问题．而平移则在七年级下就已经学了，我们来运用平移解决二次函数的综合问题。 1.平移坐标法的性质 通过课本习题（人教版《数学》七年级（下）） 例：一个平行四边形视为平移变化。 平移的性质：对一个图形进行平移，图形上所有点的横、纵坐标都要相应发生相同的变化。各个点横坐标的变化对应相同，纵坐标的变化对应相同。A (a,b) ,B (c,d),若C（c+m,d+n）,则D（a+m,b+n）2平移坐标法模型 例，如图，抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B 两点， tan∠OCA＝1/3，S△ABC=6．
（1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式及顶点坐标； （3）设点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，如果A 、C 、E 、F 构成平行四边形，请写出点E 的坐标 2. 接下来我们一起来研究第三问 分析：使用平移坐标法则需要把各个点的坐标表示出来，所以先把能够球出来的坐标写出来，再对于未知的坐标，则需要进行相关的设未知点。 第一步：确定点的坐标和设点的坐标。 )0,1(A )3,0(C )0,(n E )32, (2+--m m m F 。 分析：因为是A 、C 、E 、F 构成平行四边形，构成的方法非常多，如果去一一的画图，则分为AC 为边和AC 为对角线的四边形，应为涉及到把平行四边形视为线段的平移，则需要把能够构成的平行四边形都给分情况写出来。AC 为边的就只有□ACEF 和□ACFE 这两种情况，以AC 为对角线的就有□AECF 和□AFCE 虽然写法不同，可能存在画法不同，但是用□AECF 也能表达出这两种情况，所涉及到平移坐标法，主要是对应点的变化关系，所以无论这两种怎么写，所计算的答案也
用平移坐标法探究平行四边形的存在问题
用平移坐标法探究平行四边形的存在问题 存在性问题是近年来各地中考的热点，其图形复杂，不确定因素较多，对学生的知识运用分析能力要求较高，有一定的难度．为此借用简单的平移坐标法来探究平行四边形的存在性问题．解平行四边形的存在性问题一般分三步： 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算． 如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点． 如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．更为通用的方法是 灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便．假定一个点为顶点，然后在按照已知的三点来确定。 平移坐标法的思路：先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设一个动点的坐标）． 再画出以三点为顶点的平行四边形，根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标．最后根据题目的要求（动点在什么曲线上），判断平行四边形的存在性． 1、平移坐标法的探究 图1 图2 如图1，点A 、B 、C 是坐标平面内不在同一直线上的三点． （1）画出以A 、B 、C 三点为顶点的平行四边形． （2）若A 、B 、C 三点的坐标分别为()11,x y 、()22,x y 、()33,x y ，写出第四个顶点D 的坐标． 解：（1）如图3， 过A 、B 、C 分别作BC 、AC 、AB 的平行线，则以A 、B 、C 三点为顶点的平行四边形有三个：以BC 为对角线，有□CABD1；以AC 为对角线，有□ABCD2；以AB 为对角线，有□ACBD3． （2）在□CABD1中，线段AC 平移到BD1，因A →B 横坐标增加（21x x -）、纵坐标增加（21y y -），根据坐标平移的性质得D1（321x x x +-，321y y y +-）． 同理得D2（312x x x +-，312y y y +-）、D3（213x x x +-，213y y y +-）． 结论：以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个．由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标．称之为平移坐标法． 2. 平移坐标法的运用 2.1. 三个定点，一个动点，探究平行四边形的存在性． 例1 如图4，抛物线 23y ax bx =+-与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，且经过点（2，3a -），对称轴是直线1x =，顶点是M ．