坐标平移法
数学用坐标表示平移
函数图像的平移
函数图像的平移
在函数图像中，平移可以改变图 像的位置，但不会改变图像的形 状和大小。通过平移，我们可以 更好地理解函数的性质和变化趋
势。
函数图像的对称性
平移可以与函数的对称性相结合， 例如通过平移奇函数或偶函数的 图像，可以更好地理解函数的对
称性质。
函数图像的周期性
在周期函数中，平移可以用于研 究函数的周期性和振幅变化，帮 助我们更好地理解函数的周期性。
平移解释物理现象
在物理现象的解释中，平移可以用来解释物体的运动轨迹 和速度变化的原因，例如在流体动力学中，平移可以用来 解释流体运动的轨迹和速度。
总结与展望
06
平移在数学中的重要地位
基础概念
平移是几何学中的基本概念，是研究图形变换和运动的基础。通过 坐标表示平移，可以更精确地描述图形的位置和方向变化。
数学用坐标表示平移
目录
• 引言 • 平移在坐标系中的表示 • 平移的数学表示 • 平移的性质和定理 • 平移的应用 • 总结与展望
引言
01
平移的定义
01
平移是图形在平面内沿某一方向 移动一定的距离，而不发生旋转 或翻转。
02
平移不改变图形的形状、大小和 方向，只改变其位置。
坐标系简介
坐标系是用来确定点 在平面上的位置的一 组数轴。
物理学
在物理学中，平移可以用于描述物体的位置和速度，特别 是在经典力学和电磁学中，平移是研究物体运动规律和相 互作用的基础。
计算机图形学
在计算机图形学中，平移是计算机图形处理的基础技术之 一，可以用于实现图像的平移、缩放、旋转等变换操作。
经济学
在经济学中，平移可以用于描述经济现象的变化趋势，如 市场供需关系的变化、经济增长率的变动等。
坐标平移变换
展望未来研究方向
进一步研究坐标平移变换的理 论基础，包括变换矩阵的推导 、变换过程的数学描述等方面
。
探索新的坐标平移变换方法， 以适应不同应用场景和需求， 如非线性变换、多维变换等。
研究坐标平移变换与其他图像 处理和计算机视觉技术的结合 ，以提高图像处理和计算机视 觉系统的性能和鲁棒性。
06
总结与展望
总结
坐标平移变换是图像处理和计算机视 觉领域中的一种基本技术，用于将图 像或数据从一种坐标系转换到另一种 坐标系。
坐标平移变换可以通过线性代数和矩 阵运算实现，其中最常用的变换矩阵 是2x2和3x3的变换矩阵。
坐标平移变换通常用于纠正图像的几 何失真、拼接全景图像、增强机器视 觉系统的鲁棒性等方面。
图像旋转
通过坐标平移，可以将图像旋转一 定角度，实现图像的旋转处理。
在物理和工程领域中的应用
物理模拟
在物理模拟中，坐标平移 用于模拟物体在空间中的 运动轨迹和速度。
工程测量
在工程测量中，坐标平移 用于确定物体的位置和尺 寸，如建筑物的位置、桥 梁的长度等。
自动化控制
在自动化控制中，坐标平 移用于调整机器的位置和 方向，如自动化流水线、 机器人手臂等。
三维坐标平移变换的实例
要点一
总结词
三维坐标平移变换是指在空间中的移动，涉及x、y和z三个 坐标轴。
要点二
详细描述
在三维坐标系中，假设有一个点C(x,y,z)在空间中的坐标为 (5,7,9)，现在将点C向右平移3个单位，再向下平移2个单位， 最后向前平移1个单位，新的坐标变为(8,5,8)，即 C'(x',y',z')=C(x,y,z)+(dx,dy,dz)=(5,7,9)+(3,-2,-1)=(8,5,8)。
平移与旋转的坐标变换
平移与旋转的坐标变换在平面几何中，平移和旋转是常见的坐标变换操作。
它们可以通过对坐标系中的点进行一系列运算来实现。
本文将介绍平移和旋转的概念与原理，并详细讨论它们在坐标变换中的应用。
一、平移的概念与原理平移是指在平面上将对象沿着指定的方向移动一定的距离。
在坐标系中，平移可以通过对点的坐标进行简单的加减运算来实现。
假设有一个点P(x, y)，若将其沿着(x轴方向移动a个单位，y轴方向移动b个单位)，则新的坐标P'(x', y')可以表示为：x' = x + ay' = y + b其中，a和b分别表示平移的水平和垂直距离。
二、平移在坐标变换中的应用平移在计算机图形学和计算机视觉等领域有广泛的应用。
在图形学中，平移可以用来实现物体的移动和动画效果。
在计算机视觉中，平移可以用于图像配准和目标跟踪等任务。
三、旋转的概念与原理旋转是指围绕某一点或某一轴线，将对象按一定角度进行转动。
在坐标系中，旋转可以通过对点的坐标进行复杂的数学运算来实现。
假设有一个点P(x, y)，若将其按顺时针方向旋转θ角度，则新的坐标P'(x', y')可以表示为：x' = x * cosθ - y * si nθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，cosθ和sinθ分别表示旋转角度θ的余弦值和正弦值。
四、旋转在坐标变换中的应用旋转在计算机图形学和机器人导航等领域有广泛的应用。
在图形学中，旋转可以用来实现物体的旋转、变形和特效。
在机器人导航中，旋转可以用于定位和路径规划等任务。
五、平移与旋转的联合应用在坐标变换中，平移和旋转通常是同时应用的。
为了实现平移和旋转的组合变换，可以先对点进行旋转变换，然后再进行平移变换。
假设有一个点P(x, y)，首先对其进行旋转变换，得到新的坐标P'(x', y')：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ然后，再对新的坐标P'进行平移变换，得到最终的坐标P''(x'', y'')：x'' = x' + ay'' = y' + b其中，a和b分别表示平移的水平和垂直距离，θ表示旋转的角度。
1用坐标表示平移
7.2.2 用坐标表示平移
-
教学新知
点平移与坐标变化规律： 在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得 到对应点的坐标是（x+a ，y） 或（x-a ，y）；将点（x，y）向上（或下） 平移b个单位长度，可以得到对应点的坐标是（x，y+b）或（x，y-b）.
知识梳理
答案：解：由题意可得：（1）平移后点的坐标为：（0，2）；（2）平移 后点的坐标为：（-2，-2）；（3）平移后点的坐标为：（4，9）；（4） 平移后点的坐标为：（-1，1）；（5）平移后点的坐标为：（3，-4）．
中考在线 考点：坐标与图形变化——平移。
【例1】（2015•大连）在平面直角坐标系中，将点P（3，2） 向右平移2个单位，所得的点的坐标是（ D ）.
【例2】（2015•济南）如图7-2-51，在平面直角坐标系中， △ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个 单位长度，再向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，那么点A的 对应点A1的坐标为（ D ）.
A.（4，3） B.（2，4） C.（3，1） D.（2，5）
知识梳理
图7-2-51
课堂练习
6.点P（a，b）向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度， 得到点（3，-4），则a=__4__，b=___-_5__.
讲评：本题考查了图形的平移变换.根据点的坐标的平移规律可得a-1=3， b+1=-4，再解可得a、b的值.
课堂练习
图7-2-54
课堂练习
讲评：考查了坐标与图形性质，坐标与图形变化-平移.（1）根据长方形 形状求出BC到y轴的距离，CD到x轴的距离，然后写出点B、C、D的坐标即 可；（2）根据图形写出平移方法即可.
图形在坐标中的平移(基础)知识讲解
图形在坐标中的平移（基础）知识讲解【学习目标】1. 能在直角坐标系中用坐标的方法研究图形的平移变换，掌握图形在平移过程中各点的变化规律，理解图形在平面直角坐标系上的平移实质是点坐标的对应变换.2. 运用点的坐标的变化规律来进行简单的平移作图.【要点梳理】要点一、点在坐标中的平移在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．要点诠释：（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．要点二、图形在坐标中的平移在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．要点诠释：（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.【典型例题】类型一、点在坐标中的平移1．写出下列各点平移后的点的坐标：（1）将A（-3，2）向右平移3个单位；（2）将B（1，-2）向左平移3个单位；（3）将C（4，7）向上平移2个单位；（4）将D（-1，2）向下平移1个单位．（5）将E（2，-3）先向右平移1个单位，再向下平移1个单位．【思路点拨】根据平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．即可得出平移后点的坐标．【答案与解析】解：由题意可得：（1）平移后点的坐标为：（0，2）；（2）平移后点的坐标为：（-2，-2）；（3）平移后点的坐标为：（4，9）；（4）平移后点的坐标为：（-1，1）；（6）平移后点的坐标为：（3，-4）．【总结升华】本题考查了点的平移及平移特征，掌握平移中点的变化规律是关键．2．（荆门）将点P向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到P′（-1，3），则点P 的坐标是．【思路点拨】在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，本题需注意的是已知新点的坐标，求原来点的坐标，注意平移的顺序的反过来的运用．【答案】（1，2）．【解析】新点P′的横坐标是-1，纵坐标是3，点P′向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到原来的点P，即点P的横坐标是-1+2=1，纵坐标为3-1=2．则点P的坐标是（1，2）．【总结升华】左右平移的单位数是平移后点的横坐标减去平移前对应点的横坐标，上下平移的单位数是平移后点的纵坐标减去对应平移前点的纵坐标．举一反三：【高清课堂：第二讲平面直角坐标系2 369935 练习4 】【变式1】已知：两点A（-4，2）、B（-2，-6），(1)线段AB的中点C坐标是；(2)若将线段AB沿x轴向右平移5个单位，得到线段A1B1，则A1点的坐标是 ,B1点的坐标是．(3)若将线段AB沿y轴向下平移3个单位，得到线段A2B2，则A2点的坐标是 ,B2点的坐标是．【答案】（1）(-3, -2)； (2)(1,2),(3,-6)； (3)(-4,-1),(-2,-9).【变式2】（2015•海安县校级二模）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，则点B的坐标是．【答案】（0，﹣3）．解：∵将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，∴点B的坐标是（﹣2+2，3﹣6），即（0，﹣3）．类型二、图形在坐标中的平移3.（2015春•邵阳县期末）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A（﹣3，1），B（1，3）．把线段AB平移后得到线段A′B′，A与A′对应，B与B′对应．若点A′的坐标是（﹣1，﹣1），则点B′的坐标为．【思路点拨】各对应点之间的关系是横坐标加2，纵坐标减2，那么让点B的横坐标加2，纵坐标减2即为点B′的坐标．【答案】（3，1）．【解析】解：由A（﹣3，1）的对应点A′的坐标为（﹣1，﹣1 ），坐标的变化规律可知：各对应点之间的关系是横坐标加2，纵坐标减2，∴点B′的横坐标为1+2=3；纵坐标为3﹣2=1；即所求点B′的坐标为（3，1）．故答案为（3，1）．【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣平移，解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律．举一反三：【变式】按要求平移下面的图形．（1）将图形①先向右平移3个格，再向下平移5个格．（2）将图形②先向左平移2个格，再向上平移3个格．【答案】解：作图如下：4. 如图所示的直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(0，0)，B(6，0)，C(5，5)．(1)求△ABC的面积；(2)如果将△ABC向上平移1个单位长度，得△A1B1C1，再向右平移2个单位长度，得到△A2B2C2，试求A2、B2、C2的坐标；(3)△A2B2C2与△ABC的大小、形状有什么关系．【思路点拨】 (1)已知AB＝6，故只要求得C到x轴距离即可．(2)在平面直角坐标系中，将图形向右(或左)平移a个单位长度，那么图形的点(x，y)向右(或向左)平移a个单位长度，可得对应点(x+a，y)或(x-a，y)，将图形向上(或向下)平移b个单位长度，可得到对应点(x，y+b)或(x，y-b)．(3)可根据平移的性质进行分析和判断．【答案与解析】解：(1)点C到x轴的距离为5，所以11651522ABCS AB h==⨯⨯=△；(2)根据题意求出三角形A2B2C2各顶点的坐标为A2(2，1)，B2(8，1)，C2(7，6)；(3)连接A2B2C2三点可以看出△A2B2C2与△ABC的大小、形状相等或相同．【总结升华】平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．举一反三：【变式】如图，三角形DEF经过平移后得到三角形ABC，则点D坐标为，点E的坐标为．【答案】D（2,2），E（3，-2）．。
平行四边形的存在性——平移坐标法
m1 n1
0 （舍去） 1
m2 -2
n
2
-1
E(-1,0)
第二步情况3平行四边形AECF
F(,m22m3)
C(0,3)
A(1,0)
n01m
030m22m3
E(n,0)
m1 n1
0 （舍去） 1
m2 -2
凤凰中学
——刘远义
平行四边形的存在性
——平移坐标法
平移坐标性质 平移坐标法
平移坐标性质
线段的平移，各个点横坐标的变化对应相同，纵坐标的变化 对应相同。A (a,b) ,B (c,d),若C（c+m,d+n）,则D（a+m,b+n）
例：
二次函数为：yx22x3,抛物线交x轴与
A，与y轴交于C。若E点在x轴上，F点在抛物 线上，如果A、C、E、F构成平行四边形，写 出点E的坐标 .
例：
第一步确定点的坐标及设点坐标
( 0 ,3 )
E(n,0)
F(m,m22m3)
(1,0 )
二次函数为：yx22x3,抛物线交x轴与
A，与y轴交于C。若E点在x轴上，F点在抛物 线上，如果A、C、E、F构成平行四边形，写 出点E的坐标 .
例：
第一步确定点的坐标及设点坐标
F(m,m22m3) ( 0 ,3 )
E(n,0)
(1,0 )
E(n,0)
C(0,3)
F(m,m22m3) A(1,0)
第二步分类平行四边形的情况
A(1,0)
C(0,3)
E(n,0)
F(m,m22m3)
第二步情况1平行四边形ACEF
坐标平移学习
( y k)2 a2
( x h)2 b2
1,(a
b
0)
( x h)2 ( y k )2 a2 b2 1
若焦点在平行于y轴的直线上;则方程为: (3)抛物线顶点(h,k)
( y k )2 ( x h)2
a2
b2
1
焦点在平行于x轴的直线上,开口向右,则方程为: 焦点在平行于x轴的直线上,开口向左,则方程为: 焦点在平行于y轴的直线上,开口向上,则方程为:
解: b=1, c=2 a2=5
故椭圆方程为: ( y 3)2 ( x 2)2 1 5
y F(.2,5) O. .(3,3)
(2,3)
o
x
第12页/共17页
例2: 求焦点为F(3,-3),对称轴在平行于x轴的直线上,且焦点到顶点的 距离为 2 的抛物线方程.
解; y
o
由 p 2, p 4,顶点o’(1,-3) 或(5,-3)
y 解: ∵中心o’(1,-1) , 焦点在平行于 y 轴的直线上,
∴设椭圆方程:
( y 1)2 ( x 1)2 a2 b2 1
F1.
∵2c= F1F2 6∴ c=3
o O’
x
又2a=10∴a=5 从而 b=4 .
F2.
故椭圆方程为:
( y 1)2 (x 1)2
1
25 16
(2) 求中心为(2,3) , 一个顶点(3,3),一个焦点(2,5)的椭圆方程.
16 9
解(1)将x=x’-2, y=y’+3.代入曲线C1:y2-4x-6y+1=0,得 (y’+3)2-4x’-6(y’+3)+1=0
化简得: y’2=4x’.
坐标轴平移公式口诀讲解
坐标轴平移公式口诀讲解在数学中，坐标轴平移是一种常见的操作。
通过平移，我们可以将一个点或者一组点沿着坐标轴的方向进行移动，从而改变它们的位置。
为了方便计算和描述，数学家们总结出了一套简洁的坐标轴平移公式口诀，下面我们就来详细讲解一下。
我们需要了解一些基本概念。
在二维坐标系中，我们用x轴和y轴来表示平面上的点。
每个点都可以表示为一个有序对(x, y)，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
而坐标轴平移就是将点沿着x轴或y轴的方向进行移动，改变它们的位置。
接下来，让我们来介绍一下坐标轴平移的具体公式口诀。
1. 沿x轴正方向平移a个单位：对于点(x, y)，平移后的点坐标为(x+a, y)。
2. 沿x轴负方向平移a个单位：对于点(x, y)，平移后的点坐标为(x-a, y)。
3. 沿y轴正方向平移b个单位：对于点(x, y)，平移后的点坐标为(x, y+b)。
4. 沿y轴负方向平移b个单位：对于点(x, y)，平移后的点坐标为(x, y-b)。
通过上面的四条公式，我们可以实现在二维坐标系中沿着x轴和y 轴进行平移。
这些公式口诀非常简洁明了，方便我们进行计算和描述。
除了以上的基本平移方式，我们还可以进行组合和连续的平移操作。
下面我们分别来介绍一下。
1. 组合平移：如果我们需要先沿x轴平移a个单位，再沿y轴平移b个单位，可以使用以下公式口诀：对于点(x, y)，平移后的点坐标为(x+a, y+b)。
这样就实现了在二维平面上的组合平移。
2. 连续平移：如果我们需要对同一个点进行多次平移操作，可以使用以下公式口诀：对于点(x, y)，先沿x轴平移a个单位，再沿y轴平移b个单位，平移后的点坐标为(x+a, y+b)。
这样就实现了在二维平面上的连续平移。
通过上面的介绍，我们可以看到坐标轴平移公式口诀非常简单易懂，方便我们进行计算和描述。
在实际应用中，我们可以通过这些公式来解决一些平移相关的问题，比如求解平面上两点之间的距离、求解平面上某点的对称点等等。
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坐标平移法
坐标平移法是一种数学方法，用于在坐标平面上将图形沿指定的方向平移一定的距离。
平移是指将一个图形在平面上按照指定的方向和距离移动，而不改变其形状和大小。
坐标平移法是通过将图形上每个点的坐标按照平移方向和平移距离进行变换来完成平移操作。
平移法的基本思想是首先确定平移矢量，即平移的方向和距离。
然后通过坐标变换的方法将图形上每个点的坐标进行平移，从而得到平移后的新图形。
平移矢量通常用一个坐标向量表示，如(v1, v2)，其中v1表示
在x轴方向的平移距离，v2表示在y轴方向的平移距离。
对于任意一个点的坐标（x，y），经过平移操作后的新坐标可以通过以下公式计算得出：
新坐标的x值 = 原坐标的x值 + 平移矢量的v1
新坐标的y值 = 原坐标的y值 + 平移矢量的v2
通过依次对图形上每个点的坐标进行上述计算，即可完成图形的平移操作。
坐标平移法在计算机图形学、几何学、物理学等领域中都有应用。
它是进行平移变换的基本方法之一，可以用于平移图形、对象或其他几何结构。