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江苏省南师大附中树人学校2022-2023学年数学九年级第一学期期末监测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等．小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1m ，则旗杆PA 的高度为( )A ．11sin α-mB ．11sin α+mC ．11cos α- mD ．11cos α+ m 2．下列图形中不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA 'B 'C '与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA 'B 'C '的面积等于矩形OABC 面积的14，那么点B '的坐标是( )A ．(3，2)B ．(－2，－3)C ．(2，3)或(－2，－3)D ．(3，2)或(－3，－2) 42x +有意义的条件是（ ） A ．2x ≠-B ．2x >-C ．2x ≥-D ．0x ≠ 5．抛物线23y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）A ．23(1)2=--y xB ．23(1)2y x =+-C ．23(1)2y x =++D ．23(1)2y x =-+6．下列关于一元二次方程20ax bx +=（a ，b 是不为0的常数）的根的情况判断正确的是（ ）A ．方程有两个相等的实数根B ．方程有两个不相等的实数根C ．方程没有实数根D ．方程有一个实数根7．如图，用菱形纸片按规律依次拼成如图图案，第1个图案有5个菱形纸片，第2个图案有个9菱形纸片，第3个图案有13个菱形纸片，按此规律，第7个图案中菱形纸片数量为（ ）A ．17B ．21C ．25D ．298．下列关系式中，y 是x 的反比例函数的是（ ）A ．5y x =B ．3y x =C ．1y x =-D ．23y x =-9．已知:抛物线y 1=x 2+2x-3与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，抛物线y 2=x 2-2ax-1(a>0)与x 轴交于C 、D 两点(点C 在点D 的左侧)，在使y 1>0且y 2≤0的x 的取值范围内恰好只有一个整数时，a 的取值范围是（ ） A ．0<a≤34 B ．a≥34 C ．34≤a ＜43 D ．34<a≤4310．已知一个几何体如图所示,则该几何体的主视图是( )A ．B ．C ．D ．11．如图，已知菱形OABC ，OC 在x 轴上，AB 交y 轴于点D ，点A 在反比例函数1k y x=上，点B 在反比例函数22k y x =-上，且OD=22，则k 的值为（ ）A ．3B ．22C ．522D ．53312．一5的绝对值是（ ）A ．5B ．15C ．15- D ．－5二、填空题（每题4分，共24分）13．把多项式269x y xy y -+分解因式的结果是__________． 14．如图，平行四边形ABCD 的一边AB 在x 轴上，长为5，且∠DAB ＝60°，反比例函数y ＝23x和y ＝33x -分别经过点C ，D ，则AD ＝_____．15．如图所示，矩形纸片ABCD 中，6AD cm =，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆，恰好能作一个圆锥的侧面和底面，则AB 的长为__________．16．已知二次函数24y x x c =++的图象与x 轴的一个交点为1,0，则它与x 轴的另一个交点的坐标是__________．170119(31)4-⎛⎫--= ⎪⎝⎭__________. 18．如图，在⊙O 中，AB 是直径，点D 是⊙O 上一点，点C 是AD 的中点，CE⊥AB 于点E ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ，分别交CE ，CB 于点P ，Q ，连接AC ，关于下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD ；③点P 是△ACQ 的外心，其中结论正确的是________(只需填写序号)．三、解答题（共78分）19．（8分）用适当的方法解下列一元二次方程：（1）()()2121x x +=+（2）23720x x ++=20．（8分）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A 、B ，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程()cm l 与时间()s t 满足关系()230l t t t =+≥，乙以8cm /s 的速度匀速运动，半圆的长度为42cm ．（1）甲运动4s 后的路程是多少?（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间?（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间?21．（8分）如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一个动点，连接BE ，作点A 关于BE 的对称点F ，且点F 落在矩形ABCD 的内部，连接AF ，BF ，EF ，过点F 作GF ⊥AF 交AD 于点G ，设AD n AE=．（1）求证：AE=GE ；（2）当点F 落在AC 上时，用含n 的代数式表示AD AB的值； （3）若AD=4AB ，且以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形，求n 的值．22．（10分）如图，已知AE 是O 的直径，点C 是AE 延长线上一点过点C 作O 的切线，切点为D .过点D 作DF AE ⊥于点F ，延长DF 交O 于点B .连结AD ，AB ，BC ，DE .若1EF =，DE EC =.（1）求BD的长。

（2）求证：BC是O的切线.（3）试判断四边形ABCD的形状，并求出四边形ABCD的面积.23．（10分）随着技术的发展进步，某公司2018年采用的新型原料生产产品．这种新型原料的用量y（吨）与月份x 之间的关系如图1所示，每吨新型原料所生产的产品的售价z（万元）与月份x之间的关系如图2所示．已知将每吨这种新型原料加工成的产品的成本为20万元．（1）求出该公司这种新型原料的用量y（吨）与月份x之间的函数关系式；（2）若该公司利用新型原料所生产的产品当月都全部销售，求哪个月利润最大，最大利润是多少？24．（10分）如图，AB是O的直径，AE是弦，C是弧AE的中点，过点C作O的切线交BA的延长线于点G，过点C作CD AB⊥于点D，交AE于点F.（1）求证：//GC AE；（2）若3sin5EAB=∠，3OD=，求AE的长.25．（12分）如图，某中学准备建一个面积为300m2的矩形花园，它的一边利用图书馆的后墙，另外三边所围的栅栏的总长度是50m，求垂直于墙的边AB的长度？（后墙MN最长可利用25米）26．如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P．(1)求3m+n的值；(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．(3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【解析】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根据si nα=PCPB'，列出方程即可解决问题．【详解】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，sinα=PC PB'，∴1xx-=sinα，∴x-1=xsinα，∴（1-sinα）x=1，∴x=11sin α-． 故选A ．【点睛】本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．2、B【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【详解】A 、C 、D 都是中心对称图形；不是中心对称图形的只有B ．故选B ．【点睛】本题属于基础应用题，只需学生熟知中心对称图形的定义，即可完成．3、D【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标．【详解】解：∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的14， ∴两矩形面积的相似比为：1：2，∵B 的坐标是（6，4），∴点B′的坐标是：（3，2）或（−3，−2）．故答案为：D ．【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，得出位似图形对应点坐标性质是解题关键．4、B【分析】根据二次根式和分式成立的条件得到关于x 的不等式，求解即可．【详解】解：由题意得20x +≥，解得2x -＞．故选：B【点睛】本题考查了代数式有意义的条件，一般情况下，若代数式有意义，则分式的分母不等于1，二次根式被开方数大于等于1．5、B【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移规律即可解答．【详解】解：抛物线23y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是23(1)2y x =+-， 故答案为：B ．【点睛】本题考查了抛物线的平移，解题的关键是熟知“左加右减、上加下减”的平移规律．6、B【分析】首先用b 表示出根的判别式2b ∆=，结合非负数的性质即可作出判断．【详解】由题可知二次项系数为a ，一次项系数为b ，常数项为0，222440b ac b a b ∴∆=-=-⨯=， b 是不为0的常数，20b ∴∆=>，∴方程有两个不相等的实数根，故选：B.【点睛】本题主要考查了根的判别式的知识，解答此题要掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②△=0⇔方程有两个相等的实数根③△＜0⇔方程没有实数根．7、D【解析】观察图形发现：每增加一个图形，菱形纸片增加4个，从而得到通项公式，代入n=7求解即可．【详解】观察图形发现：第1个图案中有5=4×1+1个菱形纸片； 第2个图案中有9=4×2+1个菱形纸片； 第3个图形中有13=4×3+1个菱形纸片， …第n 个图形中有4n +1个菱形纸片，当n =7时，4×7+1=29个菱形纸片， 故选:D.【点睛】属于规律型：图形的变化类，找出图中菱形纸片个数的变化规律是解题的关键.8、C【解析】根据反比例函数的定义逐一判断即可．【详解】解：A 、是正比例函数，故A 错误；B 、是正比例函数，故B 错误；C 、是反比例函数，故C 正确；D 、是二次函数，故D 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，形如y ＝k x （k≠0）的函数是反比例函数．正确理解反比例函数解析式是解题的关键. 9、C【分析】根据题意可知()22210y x ax a =-->的对称轴为(0)x a a =>可知使y 1>0且y 2≤0的x 的取值范围内恰好只有一个整数时，只要符合将2x =代入()22210y x ax a =-->中，使得20y ≤，且将3x =代入()22210y x ax a =-->中使得20y >即可求出a 的取值范围.【详解】由题意可知()22210y x ax a =-->的对称轴为(0)x a a => 可知对称轴再y 轴的右侧，由2123y x x =+-与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)可知当10y >时可求得31x x <->或使1200y y >≤且的x 的取值范围内恰好只有一个整数时∴只要符合将2x =代入()22210y x ax a =-->中，使得20y ≤，且将3x =代入()22210y x ax a =-->中使得20y >即224109610a a ⎧--≤⎨-->⎩ 求得解集为：3443x ≤< 故选C【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，利用数形结合思想解决二次函数与不等式问题是解题关键.10、A【分析】主视图是从物体正面看，所得到的图形．【详解】该几何体的主视图是：故选：A【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体正面看到的图，掌握定义是关键.11、B，），B（，，求得，【分析】由OD=则点A、B的纵坐标为得到A，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵四边形OABC是菱形，∴AB∥OC，AB=AO，∵OD=，∴点A、B的纵坐标为∴A，，B（-，∴∴在Rt△AOD中，由勾股定理，得222+=，AD OD AO+=，∴222解得：k=故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．12、A【解析】试题分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣5到原点的距离是5，所以﹣5的绝对值是5，故选A．二、填空题（每题4分，共24分）13、2(3)y x -【分析】先提取公因数y ，再利用完全平方公式化简269x x -+即可．【详解】269x y xy y -+ ()269x x y =-+()23x y =-故答案为：2(3)y x -．【点睛】本题考查了多项式的因式分解问题，掌握完全平方公式的性质是解题的关键．14、1【分析】设点C（,x x），则点D （3,2x-x ），然后根据CD 的长列出方程，求得x 的值，得到D 的坐标，解直角三角形求得AD ．【详解】解：设点C（x ，则点D （3,2x-）， ∴CD ＝x ﹣（32x -）＝52x ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝5， ∴52x ＝5，解得x ＝1， ∴D （﹣3，，作DE ⊥AB 于E ，则DE∵∠DAB ＝60°，2sin 60DE AD ∴===︒故答案为：1．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质、反比例性质、特殊角的三角函数值，利用平行四边形性质和反比例函数的性质列出等式是解题的关键．15、4cm.【分析】设AB=xcm ，则DE=（6-x ）cm ，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．【详解】解：设AB=xcm ，则DE=（6-x ）cm ， 根据题意，得90(6)180x x ππ=- 解得x=1．故选：1cm ．【点睛】本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．16、3,0 【分析】确定函数的对称轴2b x a=- =-2，即可求出. 【详解】解：函数的对称轴 2b x a =- =-2，则与x 轴的另一个交点的坐标为（-3,0） 故答案为（-3,0）【点睛】此题主要考查了抛物线与x 轴的交点和函数图像上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数与坐标轴的交点、二次函数的对称轴是解题的关键.17、2-【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简三个考点，在计算时需要针对每个考点分别进行计算，然后再进行加减运算即可. 0119(31)4-⎛⎫--= ⎪⎝⎭3-4-1=-2. 故答案为：-2.【点睛】本题考查的是实数的运算能力，注意要正确掌握运算顺序及运算法则.18、②③【解析】试题分析：∠BAD 与∠ABC 不一定相等，选项①错误；∵GD 为圆O 的切线，∴∠GDP=∠ABD ，又AB 为圆O 的直径，∴∠ADB=90°，∵CF ⊥AB ，∴∠AEP=90°，∴∠ADB=∠AEP ，又∠PAE=∠BAD ，∴△APE ∽△ABD ，∴∠ABD=∠APE ，又∠APE=∠GPD ，∴∠GDP=∠GPD ，∴GP=GD ，选项②正确；由AB 是直径，则∠ACQ=90°，如果能说明P 是斜边AQ 的中点，那么P 也就是这个直角三角形外接圆的圆心了．Rt △BQD 中，∠BQD=90°-∠6， Rt △BCE 中，∠8=90°-∠5，而∠7=∠BQD ，∠6=∠5， 所以∠8=∠7， 所以CP=QP ；由②知：∠3=∠5=∠4，则AP=CP ； 所以AP=CP=QP ，则点P 是△ACQ 的外心，选项③正确．则正确的选项序号有②③．故答案为②③．考点：1．切线的性质；2．圆周角定理；3．三角形的外接圆与外心；4．相似三角形的判定与性质．三、解答题（共78分）19、（1）1211x x =-=，；（2）12123x x =-=-，．【分析】（1）根据因式分解法求解方程即可. （2）根据公式24b b ac x -±-=，将系数代入即可. 【详解】（1）原方程变形 ()()21210x x +-+=，即()()110x x +-=．∴10x +=或10x -=．∴1211x x =-=，．（2）∵372a b c ===，，，∴2247432250b ac -=-⨯⨯=> ∴725x -±=∴12123x x =-=-，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法.20、（1）28cm ；（2）3s ；（3）7s【分析】（1）将t=4代入公式计算即可；（2）第一次相遇即是共走半圆的长度，据此列方程23842t t t，求解即可； （3）第二次相遇应是走了三个半圆的长度，得到238126t t t，解方程即可得到答案. 【详解】解：（1）当 t=4s 时，23161228l t t cm.答：甲运动 4s 后的路程是 28?c m ．（2） 由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆 21?c m ，甲走过的路程为 2t 3t +，乙走过的路程为 4t ，则23842t t t .解得 3t = 或 14t =-（不合题意，舍去）．答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了 3s ．（3） 由图可知，甲乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆 342126cm ，则238126t t t解得 7t = 或 18t =-（不合题意，舍去）．答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了 7s ．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键.21、（1）证明见解析；（2）AD AB =；（3）n=2或8+【分析】（1）因为GF ⊥AF ，由对称易得AE=EF ，则由直角三角形的两个锐角的和为90度，且等边对等角，即可证明E 是AG 的中点；（2）可设AE=a ，则AD=na ，即需要用n 或a 表示出AB ，由BE ⊥AF 和∠BAE==∠D=90°，可证明△ABE~△DAC ，则AB AE DA DC=，因为AB=DC ，且DA ，AE 已知表示出来了，所以可求出AB ，即可解答； （3）求以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形时的n ，需要分类讨论，一般分三个，∠FCG=90°，∠CFG=90°，∠CGF=90°；根据点F 在矩形ABCD 的内部就可排除∠FCG=90°，所以就以∠CFG=90°和∠CGF=90°进行分析解答．【详解】（1）证明：由对称得AE=FE ，∴∠EAF=∠EFA ，∵GF ⊥AE ，∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°，∴∠FGA=∠EFG ，∴EG=EF ，∴AE=EG ．（2）解：设AE=a ，则AD=na ，当点F 落在AC 上时（如图1），由对称得BE ⊥AF ，∴∠ABE+∠BAC=90°， ∵∠DAC+∠BAC=90°，∴∠ABE=∠DAC ，又∵∠BAE=∠D=90°，∴△ABE~△DAC ， ∴AB AE DA DC = ∵AB=DC ，∴AB 2=AD·AE=na·a=na 2， ∵AB>0，∴AB=na ， ∴AD na n AB na== ∴AD n AB =.（3）解：设AE=a ，则AD=na ，由AD=1AB ，则AB=4n a . 当点F 落在线段BC 上时（如图2），EF=AE=AB=a ，此时4n a a =， ∴n=1，∴当点F 落在矩形外部时，n>1．∵点F 落在矩形的内部，点G 在AD 上，∴∠FCG<90°，若∠CFG=90°，则点F落在AC上，由（2）得ADAB=n，∴n=2．若∠CGF=90°（如图3），则∠CGD+∠AGF=90°，∵∠FAG+∠AGF=90°，∴∠CGD=∠FAG=∠ABE，∵∠BAE=∠D=90°，∴△ABE~△DGC，∴AB AE DG DC=，∴AB·DC=DG·AE，即2(2)4na n a a ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭.解得n=842+或n=842-＜1（不合题意，舍去），∴当n=2或842+时，以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形．考点：矩形的性质；解直角三角形的应用；相似三角形的判定与性质；分类讨论；压轴题．22、（1）BD=23；(2)见解析；（3）四边形ABCD是菱形，理由见解析. 菱形ABCD得面积为63. 【分析】（1）根据题意连结BD，利用切线定理以及勾股定理进行分析求值；（2）根据题意连结OB，利用垂直平分线性质以及切线定理进行分析求值；（3）由题意可知四边形ABCD是菱形，结合勾股定理利用菱形的判定方法进行求证.【详解】解：（1）连结BDDE=CE∵⊙O与CD相切于点D，∴OD⊥DC，∠ODC=90°∴∠ODE+∠CDE=90°∠DOC+∠DCO=90°，∠DCE=∠EDC∴∠ODE=∠DOE∴DE=OE∵在⊙O中，OE=OD∴OE=OD=DE∴∠DOE=60°∵在⊙O中，AE⊥DB∴BD=2DF∵在Rt△COE中，∠ODF-90°-∠DOE=90°-60°=30°∴OD=2OF∵EF=1 ,设半径为R,∴OF=OE-FE=R-1∴R=2(R-1),解得R=2∴DF===∴(2)连结OB∵在⊙O中，AE⊥DB∴BF=DF∴AC是DB的垂直平分线∴OD=0B,CD=CB∴∠ODB=∠OBD,∠CDB=∠CBD∴∠ODB+∠CDB=∠OBD+∠CBD即∠ODC=∠OBC由（1）得∠ODC=90°∴∠OBC=90°即OB⊥BC又OB是⊙O的半径∴CB 是⊙O 的切线（3）四边形ABCD 是菱形，理由如下∵ 由（1）得在⊙O 中,∠DOE=60°，∠ODC=90°∴∠DAO=12∠DOE=30° ∵ 由（1）得∠ODC=90°∴∠OCD=90°-∠DOC=90°-60°=30°∴∠DAO=∠OCD∴DA=CD∵ 由（2）得AD=AB,CD=BC∴AD=DC=BC=AB∴四边形ABCD 是菱形∵在Rt △AFD 中，∠DAC=30°∴3AF ===∵四边形ABCD 是菱形∴∴菱形ABCD 得面积为：12×AC×DB=12×6×【点睛】本题考查切线的性质、等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质以及解直角三角形，熟练掌握并综合利用其进行分析是解题关键． 23、（1）1040(16]100(712)x x y x +<⎧=⎨⎩；（2）四月份利润最大，最大为1920元 【分析】（1）根据图象利用待定系数法确定函数的解析式即可；（2）配方后确定最值即可．【详解】解：（1）1﹣6月份是一次函数，设y ＝kx+b ，把点（1，50），（6，100）代入，得：506100k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1040k b =⎧⎨=⎩， ∴1040(16)100(712)x x y x +<⎧=⎨⎩； （2）设利润为w 元，当7≤x≤12时，w ＝100×35＝3500元． 当1≤x≤6时，w ＝（x ﹣20）y ＝﹣30x 2+240x+1440＝﹣30（x ﹣4）2+1920，故当x ＝4时，w 取得最大值1920，即四月份利润最大，最大为1920元．【点睛】本题考查了二次函数的实际问题中最大利润问题，解题的关键是求出函数解析式，熟悉二次函数的性质．24、（1）见解析；（2）8AE =【分析】（1）连接OC ，交AE 于点H ．根据垂径定理得到OC ⊥AE ．根据切线的性质得到OC ⊥GC ，于是得到结论；（2）根据三角函数的定义得到sin ∠OCD=3sin 5EAB =∠．连接BE ．AB 是⊙O 的直径，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接OC ，交AE 于点H .C 是弧AE 的中点，OC AE ∴⊥GC 是O 的切线，OC GC ∴⊥，90OHA OCG ∴∠=∠=︒，//GC AE ∴;（2）OC AE ⊥，CD AB ⊥，OCD EAB ∴∠=∠.3sin sin 5OCD EAB ∴∠=∠=.在Rt CDO ∆中，3OD =，5OC ∴=，10AB ∴=连接BE AB 是O 的直径，90AEB ∴∠=︒.在Rt AEB ∆中，3sin 5BE EAB AB ∠==， 6BE ∴=，在Rt△AEB 中，6BE =，AB=10，8AE ∴==.【点睛】本题考查了切线的性质，三角函数的定义，平行线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．25、垂直于墙的边AB 的长度为15米．【分析】花园总共有三条边组成，可设AB=x ，则BC=（50-2x ）,根据题意有x(50-2x)=300,解得x=10或15，又因为BC 要不大于25m ，可知x=10要舍去，得AB=15m.【详解】解：设AB 为xm ，则BC 为（50﹣2x ）m ，根据题意得方程：x （50﹣2x ）＝300，2x 2﹣50x +300＝0，解得；x 1＝10，x 2＝15，∵50﹣2x ≤25，解得：x ≥12.5，答：垂直于墙的边AB 的长度为15米．【点睛】本题的考点是二次函数的应用.方法是根据题意列出一元二次方程，解出方程即可.易错点在于BC 边不能大于25，这是一个陷阱.26、 (1)9；(2)点Q 的坐标为(2，1﹣或(2，或(2，﹣32)或(2，﹣7)；(3)b ＝﹣3或﹣134． 【分析】(1)求出B 、C 的坐标，将点B 、C 的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解；(2)分CP ＝PQ 、CP ＝CQ 、CQ ＝PQ ，分别求解即可；【详解】解：(1)直线y＝x﹣3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝﹣3，故点B、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：3093nm n=-⎧⎨=-++⎩，解得：43mn=⎧⎨=-⎩，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，则点A坐标为(1，0)，顶点P的坐标为(2，1)，3m+n＝12﹣3＝9；(2) ①当CP＝CQ时，C点纵坐标为PQ中点的纵坐标相同为﹣3，故此时Q点坐标为(2，﹣7)；②当CP＝PQ时，∵PC=2242=25+，∴点Q的坐标为(2，1﹣25)或(2，1+25)；③当CQ＝PQ时，过该中点与CP垂直的直线方程为：y＝﹣12x﹣12，当x＝2时，y＝﹣32，即点Q的坐标为(2，﹣32)；故：点Q的坐标为(2，1﹣25)或(2，1+25)或(2，﹣32)或(2，﹣7)；(3)图象翻折后的点P对应点P′的坐标为(2，﹣1)，①在如图所示的位置时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，此时C、P′、B三点共线，b＝﹣3；②当直线y＝x+b与翻折后的图象只有一个交点时，此时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点；即：x2﹣4x+3＝x+b，△＝52﹣4(3﹣b)＝0，解得：b＝﹣134．即：b＝﹣3或﹣134．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及的知识点有待定系数法求二次函数解析式，一次函数的图像与性质，勾股定理，等腰三角形的定义，二次函数的翻折变换及二次函数与一元二次方程的关系.难点在于(3)，关键是通过数形变换，确定变换后图形与直线的位置关系，难度较大.本题也考查了分类讨论及数形结合的数学思想.。

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2022-2023学年江苏省南京师大附中树人学校九年级数学第一学期期末达标检测试题含解析

2022-2023学年江苏省南京师大附中树人学校九年级数学第一学期期末达标检测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．若分式21x x +1x x +的运算结果为(0)x x ≠，则在中添加的运算符号为（ ） A ．＋ B ．－ C ．＋或÷ D ．－或×2．如图，在ABC ∆中，2AB =，=3.6BC ，=60B ∠，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转度得到ADE ∆，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为（ ）A ．1.6B ．1.8C ．2D ．2.63．下列二次函数的开口方向一定向上的是（ ）A ．y=-3x 2-1B ．y=-13x 2+1C ．y=12x 2+3D ．y=-x 2-54．在△ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列关系中错误的是（ ）A ．b ＝c•cosB B ．b ＝a•tanBC ．b ＝c•sinBD ．a ＝b•tanA5． 如图，点E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上一点，AC 、BD 交于点O ，且∠EAF ＝45°，AE ，AF 分别交对角线BD 于点M ，N ，则有以下结论：①△AOM ∽△ADF ；②EF ＝BE +DF ；③∠AEB ＝∠AEF ＝∠ANM ；④S △AEF＝2S △AMN ，以上结论中，正确的个数有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．46．在△ABC 中，∠C =90°．若AB =3，BC =1，则sin A 的值为（ ）A ．13B ．22C ．223D ．37．如图，把一张圆形纸片和一张含45°角的扇形纸片如图所示的方式分别剪得一个正方形，如果所剪得的两个正方形边长都是1，那么圆形纸片和扇形纸片的面积比是（ ）A ．4：5B ．2：5C ．5：2D ．5：28．如图，两根竹竿AB 和AD 都斜靠在墙CE 上，测得,CAB CAD αβ∠=∠=，则两竹竿的长度之比AB AD等于（ ）A ．sin sin αβB ．cos cos αβC ．sin sin βα D ．cos cos βα9．下列汽车标志图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．方程()()x 1x 20-+=的两根分别为（ ）A ．1x ＝－1，2x ＝2B ．1x ＝1，2x ＝2C ．1x ＝―l ，2x ＝－2D ．1x ＝1，2x ＝－2二、填空题(每小题3分,共24分)1127﹣tan60°＝_____．12．若m 是方程22310x x -+=的根，则2692019m m ++-的值为__________．13．已知α∠为锐角，且tan 3α=α∠等于_____________．14．当m _____时，2(1)210m x x -+-=是关于x 的一元二次方程. 15．如图，在反比例函数(0)m y m =>位于第一象限内的图象上取一点P 1，连结OP 1，作P 1A 1⊥x 轴，垂足为A 1，在OA 1的延长线上截取A 1 B 1= OA 1，过B 1作OP 1的平行线，交反比例函数(0)m y m x=>的图象于P 2，过P 2作P 2A 2⊥x 轴，垂足为A 2，在OA 2的延长线上截取A 2 B 2= B 1A 2，连结P 1 B 1，P 2 B 2，则121B B OB 的值是 ．16．请写出一个符合以下两个条件的反比例函数的表达式：___________________．①图象位于第二、四象限；②如果过图象上任意一点A 作AB ⊥x 轴于点B ，作AC ⊥y 轴于点C ，那么得到的矩形ABOC 的面积小于1．17．将一元二次方程 2210x x --= 用配方法化成的 ()2x a b += 形式为________________．18．已知O 的半径为10cm ，AB ，CD 是O 的两条弦，//AB CD ，16AB cm =，12CD cm =，则弦AB 和CD 之间的距离是__________cm ．三、解答题(共66分)19．（10分）画出如图几何体的主视图、左视图、俯视图．20．（6分）化简（1）()()()4222x y x y x y x --+-（2）22121124x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭21．（6分）解方程：22710x x -+=（公式法）22．（8分）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M （﹣2，﹣1），且P （﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．23．（8分）如图，抛物线2y a(x 2)1=--过点()C 4,3，交x 轴于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)．()1求抛物线的解析式，并写出顶点M 的坐标；()2连接OC ，CM ，求tan OCM ∠的值；()3若点P 在抛物线的对称轴上，连接BP ，CP ，BM ，当CPB PMB ∠∠=时，求点P 的坐标．24．（8分）如图，AB 是⊙O 的弦，过点O 作OC ⊥OA ，OC 交于AB 于P ，且CP=CB ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）已知∠BAO=25°，点Q 是弧A m B 上的一点.①求∠AQB 的度数；②若OA=18，求弧A m B 的长.25．（10分）化简：（1）24()(2)y y x x y ---；（2）11()122a a a a -÷++--． 26．（10分）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，G 是AC 上一点，AG ，DC 的延长线交于点F ．（1）求证：FGC AGD ∠=∠．（2）当DG 平分AGC ∠，45ADG ∠=︒，6AF =DC 的长．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】解：21x x +＋1x x +＝(1)1x x x x +=+， 21x x +÷1x x +＝211x x xx ⋅++＝x ， 故选：C ．本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．2、A【分析】由将△ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上，可得AD=AB ，又由∠B=60°，可证得△ABD 是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．【详解】由旋转的性质可知，AD AB =，∵60B ∠=，AD AB =，∴ADB ∆为等边三角形，∴2BD AB ==，∴ 1.6CD CB BD =-=，故选A ．【点睛】此题考查旋转的性质，解题关键在于利用旋转的性质得出AD=AB3、C【解析】根据二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系逐一判断即可.【详解】解: A. y=-3x 2-1中,﹣3＜0, 二次函数图象的开口向下,故A 不符合题意; B. y=-13x 2+1中, -13＜0, 二次函数图象的开口向下,故B 不符合题意; C. y=12x 2+3中, 12＞0, 二次函数图象的开口向上,故C 符合题意; D. y=-x 2-5中, -1＜0, 二次函数图象的开口向下,故D 不符合题意;故选:C.【点睛】此题考查的是判断二次函数图像的开口方向，掌握二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系是解决此题的关键. 4、A【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则tanA ＝a b ，tanB ＝b a ，cosB ＝a c ，sin B ＝b c； 因而b ＝c•sinB ＝a•tanB ，a ＝b•tanA ，错误的是b ＝c•cosB ．故选：A ．本题考查三角函数的定义,熟记定义是解题的关键.5、D【解析】如图，把△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ，由旋转的性质得，BH=DF ，AH=AF ，∠BAH=∠DAF ，由已知条件得到∠EAH=∠EAF=45°，根据全等三角形的性质得到EH=EF ，所以∠ANM=∠AEB ，则可求得②正确； 根据三角形的外角的性质得到①正确；根据相似三角形的判定定理得到△OAM ∽△DAF ，故③正确；根据相似三角形的性质得到∠AEN=∠ABD=45°，推出△AEN 是等腰直角三角形，根据勾股定理得到AE ＝2AN ，再根据相似三角形的性质得到EF ＝2MN ，于是得到S △AEF =2S △AMN ．故④正确．【详解】如图，把△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH由旋转的性质得，BH ＝DF ，AH ＝AF ，∠BAH ＝∠DAF∵∠EAF ＝45°∴∠EAH ＝∠BAH +∠BAE ＝∠DAF +∠BAE ＝90°﹣∠EAF ＝45°∴∠EAH ＝∠EAF ＝45°在△AEF 和△AEH 中45AH AF EAH EAF AE AE ⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝∴△AEF ≌△AEH （SAS ）∴EH ＝EF∴∠AEB ＝∠AEF∴BE +BH ＝BE +DF ＝EF ，故②正确∵∠ANM ＝∠ADB +∠DAN ＝45°+∠DAN ， ∠AEB ＝90°﹣∠BAE ＝90°﹣（∠HAE ﹣∠BAH ）＝90°﹣（45°﹣∠BAH ）＝45°+∠BAH ∴∠ANM ＝∠AEB∴∠ANM ＝∠AEB ＝∠ANM ；∴∠AOM ＝∠ADF ＝90°∵∠MAO ＝45°﹣∠NAO ，∠DAF ＝45°﹣∠NAO∴△OAM ∽△DAF故①正确连接NE ，∵∠MAN ＝∠MBE ＝45°，∠AMN ＝∠BME∴△AMN ∽△BME ∴AM MN BM ME＝ ∴AM BM MN ME ＝ ∵∠AMB ＝∠EMN∴△AMB ∽△NME∴∠AEN ＝∠ABD ＝45°∵∠EAN ＝45°∴∠NAE ＝NEA ＝45°∴△AEN 是等腰直角三角形∴AE 2AN∵△AMN ∽△BME ，△AFE ∽△BME∴△AMN ∽△AFE ∴2MN AN EF AE == ∴2EF MN = ∴22212(2)AMN AFE S MN S EF ∆∆=== ∴S △AFE ＝2S △AMN【点睛】此题考查相似三角形全等三角形的综合应用，熟练掌握相似三角形，全等三角形的判定定理是解决此类题的关键．6、A【解析】∵在△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=1，∴sinA=13 BCAB=.故选A.7、A【分析】首先分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可．【详解】如图1，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=1，∵∠AOB=41°，∴OB=AB=1，由勾股定理得：22215OD=+=，∴扇形的面积是245(5)53608ππ⨯=；如图2，连接MB、MC，∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=41°，∵BC=1，∴MC=MB=2，∴⊙M的面积是212ππ⨯=⎝⎭，∴扇形和圆形纸板的面积比是515 824ππ⎛⎫÷=⎪⎝⎭，即圆形纸片和扇形纸片的面积比是4：1．故选：A．【点睛】本题考查了正方形性质，圆内接四边形性质，扇形的面积公式的应用，解此题的关键是求出扇形和圆的面积，题目比较好，难度适中．8、D【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题．【详解】根据题意：在Rt△ABC中，cosACABα=，则cosACABα=，在Rt△ACD中，cosACADβ=，则cosACADβ=，∴coscoscoscosACABACADβααβ==．故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．9、C【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的性质进行判断即可．【详解】A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，错误；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，错误；D.是轴对称图形，不是中心对称图形，错误；故答案为：C ．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的问题，掌握轴对称图形和中心对称图形的性质是解题的关键．10、D【解析】（x －1）（x ＋1）=0，可化为：x －1=0或x ＋1=0，解得：x 1=1，x 1=－1．故选D二、填空题(每小题3分,共24分)11、．【分析】先运用二次根式的性质和特殊角的三角函数进行化简，然后再进行计算即可.﹣tan60°＝＝．故答案为：【点睛】本题考查了基本运算，解答的关键是灵活运用二次根式的性质对二次根式进行化简、牢记特殊角的三角函数值. 12、1【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．【详解】由题意可知：2m 2−3m+1＝0，∴2m 2−3m ＝-1∴原式＝-3（2m 2−3m ）＋2019＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．13、60︒【分析】根据特殊角的三角函数值即可求出答案．【详解】tan 60︒=60α∴∠=︒故答案为：60︒．【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．14、1≠【分析】根据一元二次方程的定义得到m−1≠0，解不等式即可．【详解】解：∵方程2(1)210m x x -+-=是关于x 的一元二次方程，∴m−1≠0，∴m≠1，故答案为：1≠.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程． 151【详解】解：设P 1点的坐标为（,m a a），P 2点的坐标为（b ，b m ） ∵△OP 1B 1，△B 1P 2B 2均为等腰三角形，∴A 1B 1=OA 1，A 2B 2=B 1A 2，∴OA 1=a ，OB 1=2a ，B 1A 2=b-2a ，B 1B 2=2（b-2a ），∵OP 1∥B 1P 2，∴∠P 1OA 1=∠A 2B 1P 2，∴Rt △P 1OA 1∽Rt △P 2B 1A 2，∴OA 1：B 1A 2=P 1A 1：P 2A 2，a ：（b-2a ）=m a b：m 整理得a 2+2ab-b 2=0，解得：a=1）b 或a=（1）b （舍去）∴B 1B 2=2（b-2a ）=（b ，∴1126b -=B B B O 1【点睛】该题较为复杂，主要考查学生对相似三角形的性质和反比例函数上的点的坐标与几何图形之间的关系．16、5yx=-，答案不唯一【解析】设反比例函数解析式为y=kx，根据题意得k<0，|k|<1，当k取−5时,反比例函数解析式为y=−5 x .故答案为y=−5x.答案不唯一.17、()212x-=【分析】把方程常数项移到右边，两边加上1，变形得到结果，即可得到答案.【详解】解：由方程2210x x--=，变形得：221x x-=，配方得：2212x x-+=，即()212x-=；故答案为()212x-=.【点睛】此题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．18、2或1【解析】分析：分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．详解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF-OE=2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，∵AB=16cm ，CD=12cm ，∴AF=8cm ，CE=6cm ，∵OA=OC=10cm ，∴OF=6cm ，OE=8cm ，∴EF=OF+OE=1cm ．∴AB 与CD 之间的距离为1cm 或2cm ．故答案为2或1．点睛：本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．三、解答题(共66分)19、如图所示，见解析.【分析】根据长对正、高平齐、宽相等来画三视图即可.【详解】如图所示：．【点睛】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线.20、（1）28xy y -；（2）21x x -+. 【分析】（1）直接利用乘法公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案；（2）直接将括号里面通分进而利用分式的乘除运算法则计算得出答案.【详解】解：（1）()()()4222x y x y x y x --+-()222844xy x y x =---222844xy x y x =--+28xy y =-（2）22121124x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭ ()()()222121x x x x x +-+=⋅++ 21x x -=+ 【点睛】此题主要考查了分式的混合运算以及整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．21、127744x x == 【分析】先确定a,b,c 的值和判别式，再利用求根公式求解即可.【详解】解：这里2a =，7b =-，1c =，49841∆=-=，∴74x ±=.即127744x x == 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解方程是本题的关键.22、（1）y ＝12x ，2y x=；（2）存在，Q 1（2，1）和Q 2（﹣2，﹣1）；（3）【分析】（1）正比例函数和反比例函数的图象都经过点M （-2，-1），待定系数法可求它们解析式； （2）由点Q 在y ＝12x 上，设出Q 点坐标，表示△OBQ ，由反比例函数图象性质，可知△OAP 面积为1，则根据面积相等可构造方程，问题可解；（3）因为四边形OPCQ 是平行四边形，所以OP=CQ ，OQ=PC ，而点P （-1，-2）是定点，所以OP 的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求OQ 的最小值．【详解】解：（1）设正比例函数解析式为y ＝kx ，将点M （﹣2，﹣1）坐标代入得k ＝12，所以正比例函数解析式为y ＝12x ， 同样可得，反比例函数解析式为2y x=； （2）当点Q 在直线OM 上运动时，设点Q 的坐标为Q （m ，12m ）， 于是S △OBQ ＝12OB •BQ ＝12×12m ×m ＝14m 2， 而S △OAP ＝|12（﹣1）×（﹣2）|＝1， 所以有，14m 2＝1，解得m ＝±2， 所以点Q 的坐标为Q 1（2，1）和Q 2（﹣2，﹣1）；（3）因为四边形OPCQ 是平行四边形，所以OP ＝CQ ，OQ ＝PC ，而点P （﹣1，﹣2）是定点，所以OP 的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求OQ 的最小值，因为点Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点Q 的坐标为Q （n ，2n）， 由勾股定理可得OQ 2＝n 2+24n ＝（n ﹣2n ）2+1， 所以当（n ﹣2n ）2＝0即n ﹣2n ＝0时，OQ 2有最小值1， 又因为OQ 为正值，所以OQ 与OQ 2同时取得最小值，所以OQ 有最小值2，由勾股定理得OP所以平行四边形OPCQ 周长的最小值是2（OP +OQ ）＝2）＝．（或因为反比例函数是关于y ＝x 对称，所以当Q 在反比例函数时候，OQ 最短的时候，就是反比例与y ＝x 的交点时候，联立方程组即可得到点Q 坐标）【点睛】此题考查一次函数反比例函数的图象和性质，解答关键是运用数形结合思想解决问题．23、()1抛物线的解析式为2y (x 2)1=--，顶点M 的坐标为()2,1-；()12tan OCM 2∠=；()3P 点坐标为(2,2或(2,2.【解析】()1根据待定系数法，可得函数解析式；根据顶点式解析式，可得顶点坐标； ()2根据勾股定理及逆定理，可得OMC 90∠=，根据正切函数，可得答案；()3根据相似三角形的判定与性质，可得PM 的值，可得M 点坐标．【详解】()1由抛物线2y a(x 2)1=--过点()C 4,3，得23a(42)1=--，解得a 1=， ∴抛物线的解析式为2y (x 2)1=--，顶点M 的坐标为()2,1-；()2如图1，连接OM ，222OC 3425=+=，222OM 215=+=，222CM 2420=+=，222CM OM OC ∴+=，OMC 90∠∴=，OM 5=，CM 25=，OM 51tan OCM CM 225∠===； ()3如图2，过C 作CN ⊥对称轴，垂足N 在对称轴上，取一点E ，使EN CN 2==，连接CE ，EM 6=．当y 0=时，2(x 2)10--=，解得的1x 1=，2x 3=，()A 1,0，()B 3,0．CN EN =，CEP PMB CPB 45∠∠∠∴===，EPB EPC CPB PMB PBM ∠∠∠∠∠=+=+，EPC PBM ∠∠∴=，CEP ∴∽PMB ，EP CEMB PM∴=，易知MB =CE ==，解得PM 3=±P 点坐标为(2,2或(2,2.【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线面构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．24、（1）见解析；（2）①∠AQB=65°，②l 弧AmB =23π.【解析】(1)连接OB ，根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA ，∠CPB=∠CBP ，再根据∠PAO+∠APO=90°，继而得出∠OBC=90°，问题得证；(2)①根据等腰三角形的性质可得∠ABO=25°，再根据三角形内角和定理可求得∠AOB 的度数，继而根据圆周角定理即可求得答案；②根据弧长公式进行计算即可得.【详解】(1)连接OB ，∵CP=CB ，∴∠CPB=∠CBP ，∵OA ⊥OC ，∴∠AOC=90°，∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA ，∵∠PAO+∠APO=90°，∴∠ABO+∠CBP=90°，∴∠OBC=90°，∴BC 是⊙O 的切线；(2)①∵∠BAO=25° ，OA=OB ，∴∠OBA=∠BAO=25°，∴∠AOB=180°-∠BAO-∠OBA=130°，∴∠AQB=12∠AOB=65°； ②∵∠AOB=130°，OB=18，∴l 弧AmB=36013018018π-⨯（）=23π. 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.25、（1）2x -；（2）1a a - 【分析】（1）由整式乘法进行化简，然后合并同类项，即可得到答案；（2）先通分，然后计算分式乘法，再合并同类项，即可得到答案．【详解】解：（1）24()(2)y y x x y ---=2224444y xy x xy y --+-=2x -；（2）11()122a a a a -÷++-- =2121122a a a a a --+÷+-- =21212(1)a a a a --⨯+-- =111a +- =1a a -； 【点睛】本题考查了分式的化简求值，分式的混合运算，整式的化简求值，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．26、（1）证明见解析；（2）2【分析】（1）根据垂径定理可得AD AC =，即ADC AGD ∠=∠，再根据圆内接四边形的性质即可得证； （2）连接OG ，BG ，OD ，根据等腰直角三角形的性质可得3AE EF ==，利用垂径定理和解直角三角形可得23sin 603DE OD DE ==︒，在Rt DOE △中应用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）弦CD AB ⊥，∴AD AC =，ADC AGD ∴∠=∠， 四边形ADCG 是圆内接四边形，ADC FGC ∴∠=∠，FGC AGD ∴∠=∠；（2）连接OG ，BG ，OD ，，∵45ADG ∠=︒，∴90AOG ∠=︒，∵OA OG =，∴45BAG ∠=︒，∵CD AB ⊥，∴45F BAG ∠=∠=︒，在Rt AEF 中，6AF =45F BAG ∠=∠=︒， ∴3AE EF ==，∵DG 平分AGC ∠，FGC AGD ∠=∠，∴60FGC AGD CGD ∠=∠=∠=︒，∵AB 是直径，∴90AGB ∠=︒，∴30DGB ∠=︒，∴60BOD ∠=︒，∴sin 60DE OD ==︒， 在Rt DOE △中，222OD OE DE =+，即222DE ⎫⎫=+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭， 解得1DE =或3DE =（舍），∴22DC DE ==．【点睛】本题考查垂径定理、圆内接四边形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、解直角三角形等内容，作出辅助线是解题的关键．。

江苏省南京树人中学2022-2023学年九年级数学第一学期期末质量检测试题含解析

江苏省南京树人中学2022-2023学年九年级数学第一学期期末质量检测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，点A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠A ＝70°，则∠C 为（ ）A ．35°B ．70°C ．110°D ．120°2．如图，在▱ABCD 中，F 为BC 的中点，延长AD 至E ，使DE ：AD ＝1：3，连接FF 交DC 于点G ，则DG ：CG ＝（ ）A ．1：2B ．2：3C ．3：4D ．2：5 3．如图所示，二次函数22y x x k =-++的图像与x 轴的一个交点坐标为(3,0)，则关于x 的一元二次方程220x x k -++=的解为（ ）A ．123,2x x ==-B ．123,1x x ==-C ．121,1x x ==-D ．123,3x x ==-4．下列标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．若关于x 的一元二次方程220x x m --= 有实数根，则m 的值不可能是（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．20186．如图是二次函数y=ax 1+bx+c （a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣1．关于下列结论：①ab<0；②b 1﹣4ac>0；③9a ﹣3b+c>0；④b ﹣4a=0；⑤ 方程ax 1+bx=0的两个根为 x 1=0，x 1=﹣4，其中正确的结论有（ ）A ．②③B ．②③④C ．②③⑤D ．②③④⑤ 7．如图，BC 是A 的内接正十边形的一边，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，则下列结论正确的有（ ）①BC BD AD ==；②2BC DC AC =⋅；③2AB AD =；④512BC AC -=．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数23.5 4.9h t t =-（t 的单位：s ，h 的单位：m ）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）A ．1．71sB ．1．71sC ．1．63sD ．1．36s9．如图，在Rt ABC ∆中，90C CD AB ∠=︒⊥，，垂足为点D ，一直角三角板的直角顶点与点D 重合，这块三角板饶点D 旋转，两条直角边始终与AC BC 、边分别相交于G H 、，则在运动过程中，ADG ∆与CDH ∆的关系是（ ）A ．一定相似B ．一定全等C ．不一定相似D ．无法判断10．已知（﹣1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）在二次函数y ＝﹣x 2+4x +c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 3＜y 2＜y 1 C ．y 3＜y 1＜y 2 D ．y 1＜y 3＜y 211．某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得（ ）A ．168（1﹣x ）2＝108B ．168（1﹣x 2）＝108C ．168（1﹣2x ）＝108D ．168（1+x ）2＝10812．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A(4，4)，B(6，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 和D 的坐标分别为( )A ．(2，2)，(3，2)B ．(2，4)，(3，1)C ．(2，2)，(3，1)D ．(3，1)，(2，2) 二、填空题（每题4分，共24分）13．已知a 、b 、c 满足346a b c ==，a 、b 、c 都不为0，则a b c b+-=_____． 14．如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，将BCE 沿BE 折叠为BFE △，点F 落在边AD 上，若8AB =，10BC =，则CE =________．15．如图，点B 是反比例函数上一点，矩形OABC 的周长是20，正方形BCGH 和正方形OCDF 的面积之和为68，则反比例函数的解析式是_____．16．已知关于x 的一元二次方程2350ax bx --=的一个根是2，则812a b -的值是：______．17．某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦•青春梦”演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是_____．18．已知正方形ABCD 的边长为2，分别以B 、D 为圆心，以正方形的边长为半径在正方形内画弧，得到如图所示的阴影部分，若随机向正方形ABCD 内投掷一颗石子，则石子落在阴影部分的概率为_____．（结果保留π）三、解答题（共78分）19．（8分）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，函数m y x=（m 为常数，1m ，0x >）的图象经过点(),1P m 和()1,Q m ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点.（1）求OCD ∠的度数；（2）如图2，连接OQ 、OP ，当DOQ OCD POC ∠=∠-∠时，求此时m 的值：（3）如图3，点A ，点B 分别在x 轴和y 轴正半轴上的动点.再以OA 、OB 为邻边作矩形OAMB .若点M 恰好在函数m y x=（m 为常数，1m ，0x >）的图象上，且四边形BAPQ 为平行四边形，求此时OA 、OB 的长度. 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点B 在x 轴上，∠ABO ＝90°，AB ＝BO ，直线y ＝﹣3x ﹣4与反比例函数y ＝()0k x x<交于点A ，交y 轴于C 点．（1）求k的值；（2）点D与点O关于AB对称，连接AD、CD，证明△ACD是直角三角形；（3）在（2）的条件下，点E在反比例函数图象上，若S△OCE＝S△OCD，求点E的坐标．21．（8分）某学校从360名九年级学生中抽取了部分学生进行体育测试，并就他们的成绩（成绩分为A、B、C三个层次）进行分析，绘制了频数分布表与频数分布直方图（如图），请根据图表信息解答下列问题：分组频数频率C 10 0.10B 0.50A 40合计 1.00（1）补全频数分布表与频数分布直方图；（2）如果成绩为A层次的同学属于优秀，请你估计该校九年级约有多少人达到优秀水平？22．（10分）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC＝34．（1）写出点B的坐标；（2）在x轴上找一点D，连接BD，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如果点P 从点A 出发，以2cm /秒的速度沿AB 向点B 运动，同时点Q 从点D 出发，以1cm /秒的速度沿DA 向点A 运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t ．问是否存在这样的t 使得△APQ 与△ADB 相似？如存在，请求出t 的值；如不存在，请说明理由．23．（10分）放寒假，小明的爸爸把油箱注满油后准备驾驶汽车到距家300km 的学校接小明，在接到小明后立即按原路返回，已知小明爸爸汽车油箱的容积为70L ，请回答下列问题：（1）写出油箱注满油后，汽车能够行使的总路程()s km 与平均耗油量(/)x L km 之间的函数关系式；（2）小明的爸爸以平均每千米耗油0.1L 的速度驾驶汽车到达学校，在返回时由于下雨，小明的爸爸降低了车速，此时每千米的耗油量增加了一倍，如果小明的爸爸始终以此速度行使，油箱里的油是否够回到家？如果不够用，请通过计算说明至少还需加多少油？24．（10分）如图，二次函数2(2)y x m =-+的图象与一次函数y kx b =+的图象交于点 (1,0)A 及点(,3)B n（1）求二次函数的解析式及B 的坐标（2）根据图象，直按写出满足2(2)kx b x m +≥-+的x 的取值范围 25．（12分）如图，某居民楼AB 的前面有一围墙CD ，在点E 处测得楼顶A 的仰角为25︒，在F 处测得楼顶A 的仰角为45︒，且CE 的高度为2米，CF 之间的距离为20米（B ，F ，C 在同一条直线上）.（1）求居民楼AB 的高度.（2）请你求出A 、E 两点之间的距离.（参考数据：sin 250.42︒≈，cos250.91︒≈，tan 250.47︒≈，结果保留整数）26．如图，已知点D在△ABC的外部，AD∥BC，点E在边AB上，AB•AD＝BC•AE．(1)求证：∠BAC＝∠AED；(2)在边AC取一点F，如果∠AFE＝∠D，求证：AD AF BC AC=．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据圆内接四边形的性质即可求出∠C.【详解】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠C＝180°﹣∠A＝110°，故选：C．【点睛】此题考查的是圆的内接四边形，掌握圆内接四边形的性质：对角互补，是解决此题的关键.2、B【分析】由平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，可证△DEG∽△CFG，可得DG DECG CF=＝23．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵F为BC的中点，∴CF＝BF＝12BC＝12AD，∵DE：AD＝1：3，∴DE：CF＝2：3，∵AD ∥BC ，∴△DEG ∽△CFG ， ∴DG DE CG CF =＝23． 故选：B ．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质. 3、B【分析】先确定抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性确定图象与x 轴的另一个交点，再根据二次函数与一元二次方程的关系解答即可．【详解】解：∵二次函数22y x x k =-++的对称轴是直线1x =，图象与x 轴的一个交点坐标为(3,0)， ∴图象与x 轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），∴一元二次方程220x x k -++=的解为123,1x x ==-．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与一元二次方程的关系，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．4、C【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；C 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．故选：C ．【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5、A【分析】由题意直接根据一元二次方程根的判别式，进行分析计算即可求出答案．【详解】解：由题意可知：△=24b ac -=4+4m ≥0，∴m ≥-1, m 的值不可能是-2.故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式进行分析求解．6、D【分析】根据二次函数的图像与性质即可得出答案.【详解】由图像可知，a ＜0，b ＜0，故①错误；∵图像与x 轴有两个交点∴240b ac =->，故②正确；当x=-3时，y=9a ﹣3b+c ，在x 轴的上方∴y=9a ﹣3b+c>0，故③正确； ∵对称轴22b x a=-=- ∴b-4a=0，故④正确；由图像可知，方程ax 1+bx=0的两个根为 x 1=0，x 1=﹣4，故⑤正确；故答案选择D.【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，难度系数中等，解题关键是根据图像判断出a ，b 和c 的值或者取值范围. 7、C【分析】①③，根据已知把∠ABD ，∠CBD ，∠A 角度确定相等关系，得到等腰三角形证明腰相等即可;②通过证△ABC ∽△BCD ,从而确定②是否正确,根据AD =BD =BC ,即BC AC BC AC BC -=解得AC ，故④正确. 【详解】①BC 是⊙A 的内接正十边形的一边,因为AB =AC ,∠A =36°, 所以∠ABC =∠C =72°, 又因为BD 平分∠ABC 交AC 于点D ,∴∠ABD =∠CBD =12∠ABC =36°=∠A , ∴AD =BD ,∠BDC =∠ABD +∠A =72°=∠C ,∴BC =BD ,∴BC =BD =AD ,正确;又∵△ABD 中，AD+BD ＞AB∴2AD ＞AB, 故③错误.②根据两角对应相等的两个三角形相似易证△ABC ∽△BCD ,∴BC CD AB BC=,又AB =AC , 故②正确, 根据AD =BD =BC ,即BC AC BC AC BC -=,解得AC ,故④正确, 故选C ．【点睛】 本题主要考查圆的几何综合,解决本题的关键是要熟练掌握圆的基本性质和几何图形的性质.8、D【分析】找重心最高点，就是要求这个二次函数的顶点，应该把一般式化成顶点式后，直接解答.【详解】解：h=3.5t-4.9t 2=-4.9（t-514）2+58， ∵-4.9＜1∴当t=514≈1.36s 时，h 最大． 故选D.【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意得出顶点式在解题中的作用是解题关键.9、A【分析】根据已知条件可得出A DCB ∠∠=，ADG CDH ∠∠=，再结合三角形的内角和定理可得出AGD CHD ∠∠=，从而可判定两三角形一定相似．【详解】解：由已知条件可得，ADC EDF CDB C 90∠∠∠∠====︒，∵A ACD ACD DCH 90∠∠∠∠+=+=︒，∴A DCH ∠∠=，∵ADG EDC EDC CDH 90∠∠∠∠+=+=︒，∴ADG CDH ∠∠=，继而可得出AGD CHD ∠∠=，∴ADG ~CDH ．故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，灵活利用三角形内角和定理以及余角定理是解此题的关键．10、D【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为x=1，再根据抛物线的增减性以及对称性可得y1，y1，y3的大小关系．【详解】∵二次函数y=-x1+4x+c=-（x-1）1+c+4，∴对称轴为x=1，∵a＜0，∴x＜1时，y随x增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，∵（-1，y1），（1，y1），（3，y3）在二次函数y=-x1+4x+c的图象上，且-1＜1＜3，|-1-1|＞|1-3|，∴y1＜y3＜y1．故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．11、A【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1-x），第二次后的价格是168（1-x）2，据此即可列方程求解．【详解】设每次降价的百分率为x，根据题意得：168（1-x）2=1．故选A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．12、C【解析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以12得出即可．【详解】解：∵线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，∴端点的坐标为：（2，2），（3，1）．故选C．【点睛】本题考查位似变换；坐标与图形性质，数形结合思想解题是本题的解题关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、72【解析】设,346a b c k ===则3,4,6,a k b k c k ===所以347642a b k k c b k k ++==--,故答案为:7 2. 14、5【分析】由矩形的性质可得AB=CD=8，AD=BC=10，∠A=∠D=90°，由折叠的性质可求BF=BC=10，EF=CE ，由勾股定理可求AF 的长，CE 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB=CD=8，AD=BC=10，∠A=∠D=90°，∵将△BCE 沿BE 折叠为△BFE ，在Rt △ABF 中，=6∴DF=AD-AF=4在Rt △DEF 中，DF 2+DE 2=EF 2=CE 2，∴16+（8-CE ）2=CE 2，∴CE=5故答案为：5【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．15、y=16x． 【详解】解：设矩形OABC 的两边分别为a ,b 则a +b=10，a 2+b 2=68∵(a +b) 2=a 2+b 2+2ab∴2ab =(a +b)2- (a 2+b 2)=32∴ab =16 ∴反比例函数的解析式是16y x=【点睛】本题考查①矩形、正方形面积公式； ②完全平方公式；③反比例函数面积有关的问题．此种试题，相对复杂，需要学生掌握矩形、正方形面积公式，并利用完全平方公式和反比例函数相关的问题．16、1【分析】先将所求式子化成4(23)a b -，再根据一元二次方程的根的定义得出一个a 、b 的等式，然后将其代入求解即可得．【详解】8124(23)a b a b -=-由题意，将2x =代入方程得：223250a b -⨯-=整理得：465a b -=，即5232a b -=将5232a b -=代入得：58124(23)4102a b a b -=-=⨯= 故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义、代数式的化简求值，利用一元二次方程的根的定义得出465a b -=是解题关键． 17、35【解析】结合题意，画树状图进行计算，即可得到答案.【详解】画树状图为：共20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12，∴恰好选中一男一女的概率是123205=， 故答案为：35． 【点睛】本题考查概率，解题的关键是熟练掌握树状图法求概率.18、22π-【分析】先求出空白部分面积，进而得出阴影部分面积，再利用石子落在阴影部分的概率＝阴影部分面积÷正方形面积，进而得出答案．【详解】∵扇形ABC 中空白面积=2290(2)(2)22ππ⨯=-， ∴正方形中空白面积=2×（2﹣2π）＝4﹣π， ∴阴影部分面积=2﹣（4﹣π）＝π﹣2，∴随机向正方形ABCD 内投掷一颗石子，石子落在阴影部分的概率=22π- ．故答案为：22π-．【点睛】 本题主要考查扇形的面积公式和概率公式，通过割补法，求出阴影部分面积，是解题的关键.三、解答题（共78分）19、（1）45OCD ∠=︒；（2）1m ；（3）OA OB == 【分析】（1）根据点P 、Q 的坐标求出直线PQ 的解析式，得到点C 、D 的坐标，根据线段长度得到OCD ∠的度数； （2）根据已知条件求出∠QOP=45︒，再由222DQ PC PQ +=即可求出m 的值；（3）根据平行四边形及矩形的性质得到45BAO DCO ∠=∠=︒，OA OB =，设设OA OB n ==，得到点M 的坐标，又由AB PQ =两者共同求出n ，得到结果.【详解】（1）由(),1P m ，()1,Q m ，得()1PQ y x m =-++，∴()0,1D m +，()1,0C m +∴1OC OD m ==+，∴COD ∆为等腰直角三角形，∴45OCD ∠=︒；（2）∵DOQ OCD POC ∠=∠-∠，∴45DOQ POC OCD ︒∠+∠=∠=，∴90()904545QOP DOQ POC ︒︒︒︒∠=-∠+∠=-=易得222DQ PC PQ +=， ∴2222221111(1)(1)m m +++=-+-，∴1m （舍负）；（3）∵四边形ABPQ 为平行四边形， ∴//AB PQ ，又45DCO ∠=︒，∴45BAO DCO ∠=∠=︒，∴OA OB =.设OA OB n ==.则M 为(),n n 代入m y x =，∴m n n =，∴2m n =， 又AB PQ =，∴()221n m =-，由2m n =，得152n +=（舍负）， ∴当152OA OB +==时，符合题意.【点睛】此题是反比例函数与一次函数的综合题，考查反比例函数的性质，一次函数的性质，勾股定理，矩形的性质，平行四边形的性质.20、（1）-4；（2）见解析；（3）点E 的坐标为（﹣4，1）．【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A 的坐标，利用待定系数法求出k ；（2）先求出点D 的坐标，求出∠ADB=45°，∠ODC=45°，从而得解；（3）设出点E 的坐标，根据三角形的面积公式解答．【详解】（1）设点B 的坐标为（a ，0），∵∠ABO ＝90°，AB ＝BO ，∴点A 的坐标为（a ，﹣a ），∵点A 在直线y ＝﹣3x ﹣4上，∴﹣a ＝﹣3a ﹣4，解得，a ＝﹣2，即点A 的坐标为（﹣2，2），∵点A 在反比例函数y ＝k x上， ∴k ＝﹣4；（2）∵点D 与点O 关于AB 对称，∴点D 的坐标为（﹣4，0）∴OD ＝4，∴DB ＝BA ＝2，则∠ADB ＝45°，∵直线y＝﹣3x﹣4交y轴于C点，∴点C的坐标为（0，﹣4），∴OD＝OC，∴∠ODC＝45°，∴∠ADC＝∠ADB+∠ODC＝90°，即△ACD是直角三角形；（3）设点E的坐标为（m，﹣4m），∵S△OCE＝S△OCD，∴12×4×4＝12×4×（﹣m），解得，m＝﹣4，∴﹣4m=1，∴点E的坐标为（﹣4，1）．【点睛】本题考查的是反比例函数与几何的综合题，掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．21、（2）见解析；（2）244人【分析】（2）首先利用C组的数据可以求出抽取了部分学生的总人数，然后利用频率或频数即可补全频数分布表与频数分布直方图；（2）根据（2）的几个可以得到A等级的同学的频率，然后乘以362即可得到该校九年级约有多少人达到优秀水平．【详解】（2）补全频数分布表如下：补全直方图如下：（2）∵A层次的同学人数为42人，频率为2.42，∴估计该校九年级约有2.4×362=244人达到优秀水平.【点睛】本题考查的知识点是频率分布表及用样本估计总体以及频率分布直方图，解题的关键是熟练的掌握频率分布表及用样本估计总体以及频率分布直方图.22、（1）点B的坐标为（1，3）；（2）点D的坐标为（134，0）；（3）存在，当t＝2514s或12552s时，△APQ与△ADB相似．【分析】（1）根据正切的定义求出BC，得到点B的坐标；（2）根据△ABC∽△ADB，得到ACAB=ABAD，代入计算求出AD，得到点D的坐标；（3）分△APQ∽△ABD、△AQP∽△ABD两种情况，根据相似三角形的性质列式计算即可．【详解】解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵∠ACB＝90°，tan∠BAC＝34，∴BCAC＝34，即4BC＝34，解得，BC＝3，∴点B的坐标为（1，3）；（2）如图1，作BD⊥BA交x轴于点D，则∠ACB＝∠ABD＝90°，又∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，∴ACAB＝ABAD，在Rt△ABC中，AB＝22AC BC+＝2243+＝5，∴45＝5AD，解得，AD＝254，则OD＝AD﹣AO＝134，∴点D的坐标为（134，0）；（3）存在，由题意得，AP＝2t，AQ＝254﹣t，当PQ⊥AB时，PQ∥BD，∴△APQ∽△ABD，∴APAB＝AQAD，即25t＝254254t-，解得，t＝25 14，当PQ⊥AD时，∠AQP＝∠ABD，∠A＝∠A，∴△AQP∽△ABD，∴AP AD ＝AQ AB ，即2254t ＝2545t -， 解得，t ＝12552， 综上所述，当t ＝2514s 或12552s 时，△APQ 与△ADB 相似． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．23、（1）70s x=；（2）不够，至少要加油20L 【分析】（1）根据总路程()s km ×平均耗油量(/)x L km =油箱总油量求解即可；（2）先计算去时所用油量，再计算返回时用油量，与油箱中剩余油量作比较即可得出答案．【详解】解：（1）由题意可得出总路程()s km 与平均耗油量(/)x L km 的函数关系式为：70s x=； （2）小明的爸爸始终以此速度行使，油箱里的油不能够回到家小明爸爸去时用油量是：3000.130⨯=（L ）油箱剩下的油量是：703040-=（L ）返回每千米用油量是：0.120.2⨯=（/L km ）返回时用油量是：3000.260⨯=（L ）40L >.所以，油箱里的油不能够回到家，至少要加油：604020L -=（）【点睛】本题考查的知识点是求反比例函数的解析式，比较基础，易于掌握．24、（1）2(2)1y x =--或2(23)y x x =-+，点B 的坐标为（4，3）；（2）当14x ≤≤时，kx+b≥（x-2）2+m【分析】（1）先将点A （1，0）代入2(2)y x m =-+求出m 的值，即可得出二次函数的解析式，再将(,3)B n 代入二次函数的解析式即可求出B 的坐标；（2）根据图象和A 、B 的交点坐标可直接求出2(2)kx b x m +≥-+的x 的取值范围．【详解】解：（1）∵二次函数y=（x-2）2+m 的图象经过点A （1，0）∴2(12)0m -+=解得：1m =-∴二次函数的解析式为22(2)1(23)y x y x x =--=-+或23(2)13y n =--=当时，解得：14n = 20n =（不合题意，舍去）∴点B 的坐标为（4，3）（2）由图像可知二次函数y=（x-2）2+m 的图像与一次函数y=kx+b 的图象交于点A （1，0）及点B （4,3) ∴当14x ≤≤时，k x+b≥（x-2）2+m【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．25、（1）居民楼的高约为22米；（2）A 、E 之间的距离约为48米【分析】（1）过点E 作EM AB ⊥，垂足为M ，设AB 为x 在Rt ABF ∆中及Rt AEM ∆中，根据三角函数即可求得答案；（2）方法一：在Rt AME ∆中，根据cos 25ME AE ︒=，即可求得AE 的值． 方法二：在Rt AME ∆中，根据sin 25AM AE︒=，即可求得AE 的值． 【详解】（1）如图，过点E 作EM AB ⊥，垂足为M ，∴四边形ECBM 为矩形，∴EM BC =，CE BM =.设AB 为x .在Rt ABF ∆中，45AFB ∠=︒，∴BF AB x ==，∴20BC EM BF FC x ==+=+.在Rt AEM ∆中，25AEM ∠=︒，2AM AB BM AB CE x =-=-=-，∵tan 25AM ME ︒=， ∴20.4720x x -≈+， ∴22x ≈.答：居民楼的高约为22米.（2）方法一：由（1）可得20222042ME BC x ==+≈+=.在Rt AME ∆中，cos 25ME AE ︒=， ∴420.91AE≈， ∴46AE ≈，即A 、E 之间的距离约为46米.方法二：由（1）得22220AM =-=.在Rt AME ∆中，sin 25AM AE ︒=， ∴200.42AE≈， ∴48AE ≈，即A 、E 之间的距离约为48米.（注：此题学生算到46或48都算正确）【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，得出三角函数的关系是解题的关键.26、见解析【解析】（1）欲证明∠BAC ＝∠AED ，只要证明△CBA ∽△DAE 即可；（2）由△DAE ∽△CBA ，可得AD DE BC AC＝，再证明四边形ADEF 是平行四边形，推出DE ＝AF ，即可解决问题； 【详解】证明（1）∵AD ∥BC ，∴∠B ＝∠DAE ，∵AB ·AD ＝BC ·AE ， ∴AB BC AE AD＝， ∴△CBA ∽△DAE ，∴∠BAC ＝∠AE D ．（2）由（1）得△DAE ∽△CBA∴∠D ＝∠C ，AD DE BC AC＝，∵∠AFE＝∠D，∴∠AFE＝∠C，∴EF∥BC，∵AD∥BC，∴EF∥AD，∵∠BAC＝∠AED，∴DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形，∴DE＝AF，∴AD AF BC AC＝．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。

2022-2023学年江苏省南京市南师附中树人学校数学九上期末学业质量监测试题含解析

2022-2023学年江苏省南京市南师附中树人学校数学九上期末学业质量监测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）1．下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．在△ABC 中，D 是AB 中点，E 是AC 中点，若△ADE 的面积是3，则△ABC 的面积是（ ）A ．3B ．6C ．9D ．123．某河堤横断面如图所示，堤高10BC =米，迎水坡AB 的坡比是1:3（坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是（ ）A ．3B ．20米C ．3D ．30米4．下列运算中，结果正确的是（ ）A ．()222a b a b +=+B ．()3263a b a b -=C ．()236a a =D ．623a a a ÷=5．反比例函数y ＝k x 图象经过A （1，2），B （n ，﹣2）两点，则n ＝（ ） A ．1 B ．3 C ．﹣1 D ．﹣36．下列调查中，最适合采用抽样调查方式的是（ ）A ．对某飞机上旅客随身携带易燃易爆危险物品情况的调查B ．对我国首艘国产“002型”航母各零部件质量情况的调查C ．对渝北区某中学初2019级1班数学期末成绩情况的调查D ．对全国公民知晓“社会主义核心价值观”内涵情况的调查7．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2＝0①有两个不相等的实数根．则k 的取值范围为（ ） A ．k ＞﹣14 B ．k ＞4 C ．k ＜﹣1 D ．k ＜48．在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（ ）A ．12B ．13C ．310D ．15 9．下列函数属于二次函数的是 A ．231y x =-+B ．2x y =C ．2y x =D ．25y x =+10．下列说法正确的是（ ）A ．三角形的外心一定在三角形的外部B ．三角形的内心到三个顶点的距离相等C ．外心和内心重合的三角形一定是等边三角形D ．直角三角形内心到两锐角顶点连线的夹角为125°11．如图，已知,ADE ABC 若:1:3,AD AB ABC =的面积为9，则ADE 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．912．已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，并且关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c －m =0有两个不相等的实数根，下列结论：①b 2﹣4ac ＜0；②abc ＞0；③a -b +c ＞0；④m ＞－2，其中，正确的个数有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，其位似中心为点O ，且43OE EA =，则FG BC=______．14．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米，该轿车可行驶的总路程S 与平均耗油量a 之间的函数解析式（关系式）为________．15．在一个不透明的塑料袋中装有红色白色球共40个．除颜色外其他都相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在20%左右，则口袋中红色球可能有________个．16．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣3x +3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边在第一象限作正方形，点D 恰好在双曲线上k y x=，则k 值为_____．17．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 、D 是半圆O 的三等分点，若弦CD=2，则图中阴影部分的面积为 ．18．若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若5AB =2BD =，求OE 的长．20．（8分）计算：（1）20192(1)sin 30cos 45tan 60-+︒+︒+︒（2）解方程：2232x x -=21．（8分）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点(0,4)C -.已知(2,0)A -，抛物线的对称轴l 交x 轴于点(1,0)D .（1）求出,,a b c 的值；（2）如图1，连接BC ，点P 是线段BC 下方抛物线上的动点，连接,PB PC .点,M N 分别在y 轴，对称轴l 上，且MN y ⊥轴.连接,AM PN .当PBC ∆的面积最大时，请求出点P 的坐标及此时AM MN NP ++的最小值；（3）如图2，连接AC ，把AOC ∆按照直线y x =对折，对折后的三角形记为A OC ∆''，把A OC ∆''沿着直线BC 的方向平行移动，移动后三角形的记为A O C ∆'''''，连接DA ''，DC ''，在移动过程中，是否存在DA C ∆''''为等腰三角形的情形？若存在，直接写出点C ''的坐标；若不存在，请说明理由.22．（10分）如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上A 处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ；再将镜子放到C 处，然后后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （O A B C D ,,,,在同一条直线上），测得2 2.1AC m BD m ==，，如果小明眼睛距地面高度BF ，DG 为1.6m ，试确定楼的高度OE ．23．（10分）定义：如果三角形的两个内角α与β满足290αβ+=︒，那么称这样的三角形为“类直角三角形”． 尝试运用（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3BC =，5AB =，BD 是ABC ∠的平分线．①证明ABD ∆是“类直角三角形”；②试问在边AC 上是否存在点E （异于点D ），使得ABE ∆也是“类直角三角形”？若存在，请求出CE 的长；若不存在，请说明理由．类比拓展（2）如图2，ABD ∆内接于O ，直径13AB =，弦5AD =，点E 是弧AD 上一动点（包括端点A ，D ），延长BE 至点C ，连结AC ，且CAD AOD ∠=∠，当ABC ∆是“类直角三角形”时，求AC 的长．24．（10分）如图，双曲线11k y x=（x ＞0）与直线22y k x b =+交于点A （2，4）和B （a ，2），连接OA 和OB ．（1）求双曲线和直线关系式；（2）观察图像直接写出：当1y ＞2y 时，x 的取值范围；（3）求△AOB 的面积．25．（12分）在直角坐标平面内，直线122y x =+分别与x 轴、y 轴交于点A ，C .抛物线212y x bx c =-++经过点A 与点C ，且与x 轴的另一个交点为B .点D 在该抛物线上，且位于直线AC 的上方.（1）求上述抛物线的表达式；（2）联结BC ，BD ，且BD 交AC 于点E ，如果ABE ∆的面积与ABC ∆的面积之比为4:5，求DBA ∠的余切值； （3）过点D 作DF AC ⊥，垂足为点F ，联结CD .若CFD ∆与AOC ∆相似，求点D 的坐标.26．解方程：（1）2510x x -+=（公式法）（2）()()2322x x x -=-参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义即可判断.【详解】A 既不是轴对称图形也不是中心对称图形；B 是中心对称图形，但不是轴对称图形；C 是轴对称图形，但不是中心对称图形；D 既是轴对称图形，又是中心对称图形,故选D.【点睛】此题主要考察轴对称图形与中心对称图形的定义，熟知其定义是解题的关键.2、D【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．【详解】解：∵D 是AB 中点，E 是AC 中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ，DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴21()4ADE ABC S DE S BC ∆∆==， ∴S △ABC ＝4S △ADE ＝12，故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的面积问题，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．3、A【分析】由堤高10BC =米，迎水坡AB的坡比AC 的长．【详解】∵迎水坡AB 的坡比 ∴BC AC = ∵堤高10BC =米，∴10AC ===米).故选A.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡比的概念是解题的关键4、C【解析】A:完全平方公式: ()222+2a b a ab b +=+,据此判断即可B: 幂的乘方,底数不变,指数相乘,据此判断即可C:幂的乘方,底数不变,指数相乘D:同底数幂相除,底数不变指数相减【详解】()222+2a b a ab b +=+选项A 不正确; ()3263-a b a b -=选项B 不正确; ()236a a =选项C 正确624a a a ÷=选项D 不正确.故选:C【点睛】此题考查幂的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，掌握运算法则是解题关键5、C【解析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到：k=1×2=-2n ，然后解方程即可． 【详解】解：∵反比例函数y ＝k x图象经过A （1，2），B （n ，﹣2）两点， ∴k ＝1×2＝﹣2n ． 解得n ＝﹣1．故选C ．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，进行判断．【详解】A、对某飞机上旅客随身携带易燃易爆危险物品情况的调查适合采用全面调查方式；B、对我国首艘国产“002型”航母各零部件质量情况的调查适合采用全面调查方式；C、对渝北区某中学初2019级1班数学期末成绩情况的调查适合采用全面调查方式；D、对全国公民知晓“社会主义核心价值观”内涵情况的调查适合采用抽样调查方式；故选：D．【点睛】本题主要考查抽样调查的意义和特点，理解抽样调查的意义是解题的关键.7、A【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0；即可得出关于k的一元一次不等式；解之即可得出结论．【详解】∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2=0有两个不相等的实数根，∴△=（2k+1）2﹣4×1×k2=4k+1＞0，∴k＞﹣14．故选A．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．8、D【解析】一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，共有10种等可能的结果，其中摸出白球的所有等可能结果共有2种，根据概率公式即可得出答案.【详解】根据题意：从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为=210=15.故答案为D【点睛】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=m n.9、A【分析】一般地，我们把形如y=ax²+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数. 【详解】由二次函数的定义可知A选项正确，B和D选项为一次函数，C选项为反比例函数. 【点睛】了解二次函数的定义是解题的关键.【分析】分别利用三角形内心以及三角形外心的性质判断得出即可．【详解】A. 因为只有钝角三角形的外心才在三角形的外部，锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边上，该选项错误；B. 三角形的内心到三角形的三边距离相等，该选项错误；C. 若三角形的外心与内心重合，则这个三角形一定是等边三角形，该选项正确；D. 如图，∠C =90︒，∠BAC +∠ABC 18090=︒-︒，AD BE 、分别是角∠BAC 、∠ABC 的平分线，∴∠OAB +∠OBA 190452=⨯︒=︒， ∴∠AOB ()180********OAB OBA ∠∠=︒-+=︒-︒=︒，该选项错误．故选：C【点睛】本题考查三角形的外接圆和外心及三角形的内切圆与内心，正确把握它们的区别是解题的关键.11、A【分析】根据相似三角形的性质得出21=3ADEABC S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入求出即可． 【详解】解：∵△ADE ∽△ABC ，AD ：AB ＝1：3，∴21=3ADEABC S S ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵△ABC 的面积为9，∴1=99ADES ， ∴S △ADE ＝1，故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质定理，能熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题的关键．12、C【详解】解：如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①错误；∵图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，∴b＜0，∵图象与y轴交于x轴下方，∴c＜0，∴abc ＞0，故②正确；当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，故③选项正确；∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为：﹣2，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有两个不相等的实数根，则m＞﹣2，故④正确．故选C．考点：二次函数图象与系数的关系．二、填空题（每题4分，共24分）13、4 7【解析】利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．【详解】四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且OE4 EA3=，OE4 OA7∴=，则FG OE4 BC OA7==，故答案为：47．【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键.14、70 Sa =【分析】根据油箱的总量固定不变，利用每千米耗油0.1升乘以700千米即可得到油箱的总量，故可求解．【详解】依题意得油箱的总量为：每千米耗油0.1升乘以700千米=70升∴轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数解析式（关系式）为70 Sa =故答案为：70Sa =．【点睛】此题主要考查列函数关系式，解题的关键是根据题意找到等量关系列出关系式．15、1【分析】设有红球有x个，利用频率约等于概率进行计算即可．【详解】设红球有x个，根据题意得：40x ＝20%， 解得：x ＝1，即红色球的个数为1个，故答案为：1．【点睛】本题考查了由频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复实验中事件发生的频率等于事件发生的概率． 16、1【解析】作DH ⊥x 轴于H ，如图，当y=0时，-3x+3=0，解得x=1，则A （1，0），当x=0时，y=-3x+3=3，则B （0，3），∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD ，∠BAD=90°，∴∠BAO+∠DAH=90°，而∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠ABO=∠DAH ，在△ABO 和△DAH 中AOB DHA ABO DAH AB DA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABO ≌△DAH ，∴AH=OB=3，DH=OA=1，∴D 点坐标为（1，1），∵顶点D 恰好落在双曲线y=k x上， ∴a=1×1=1．故答案是：1.17、23π.【解析】试题分析：连结OC 、OD ，因为C 、D 是半圆O 的三等分点，所以，∠BOD ＝∠COD ＝60°，所以，三角形OCD 为等边三角形，所以，半圆O 的半径为OC ＝CD ＝2，S 扇形OBDC ＝1204360π⨯=43π，S △OBC ＝12312⨯⨯＝3，S 弓形CD ＝S 扇形ODC －S △ODC ＝6041233602π⨯-⨯⨯＝233π-，所以阴影部分的面积为为S ＝43π－3－（233π-）＝23π.考点：扇形的面积计算.18、150【分析】利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的面积的计算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可【详解】∵圆锥的底面圆的周长是45cm ，∴圆锥的侧面扇形的弧长为5π cm ，65180n ππ⨯∴=， 解得：150n =故答案为150．【点睛】此题考查弧长的计算，解题关键在于求得圆锥的侧面积三、解答题（共78分）19、（1）证明见解析；（2）2.【解析】分析：（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可.（2）根据菱形的性质和勾股定理求出222OA AB OB -=．根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解.详解：（1）证明：∵AB ∥CD ，∴CAB ACD ∠=∠∵AC 平分BAD ∠∴CAB CAD ∠=∠，∴CAD ACD ∠=∠∴AD CD =又∵AD AB =∴AB CD =又∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形又∵AB AD =∴ABCD 是菱形（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 交于点O ．∴AC BD ⊥．12OA OC AC ==，12OB OD BD ==， ∴112OB BD ==． 在Rt AOB 中，90AOB ∠=︒．∴2OA ==．∵CE AB ⊥，∴90AEC ∠=︒．在Rt AEC 中，90AEC ∠=︒．O 为AC 中点． ∴122OE AC OA ===． 点睛：本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键.20、（1（2）1212,2x x ==- 【分析】（1）由题意利用乘方运算法则并代入特殊三角函数值进行计算即可；（2）根据题意直接利用因式分解法进行方程的求解即可.【详解】解：（1）20192(1)sin 30cos 45tan 60-+︒+︒+︒11(1)22=-++=（2）2232x x -=22320x x --=，(2)(21)0x x -+= 解得1212,2x x ==-.【点睛】本题考查实数的混合运算以及解一元二次方程，熟练掌握乘方运算法则和特殊三角函数值以及利用因式分解法解方程是解题的关键.21、（1）1142a b c ==-=-，，；（2）(2,4)P -1；（3）532222C ''⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭或5322C ''⎛-+ ⎝⎭或3522C ''⎛- ⎝⎭或3522C ''⎛- ⎝⎭或(1,5)C ''. 【分析】（1）由抛物线的对称性可得到(4,0)B ，然后将A 、B 、C 坐标代入抛物线解析式，求出a 、b 、c 的值即可得到抛物线解析式；（2）利用待定系数法求出直线BC 解析式，作//PQ y 轴交BC 于点Q ，设(,4)Q x x -，则21,42P x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，表示出PQ 的长度，然后得到△PBC 的面积表达式，根据二次函数最值问题求出P 点坐标，再把A 向左移动1个单位得1(3,0)A -，连接11,A P A N ，易得1+A P MN 即为最小值；（3）由题意可知C ''在直线4y x =+上运动，设(),4''+C m m ，则()4,2''++A m m ，分别讨论：①''''''=A C DC ，②''''''=A C DA ，③''''=D DA C ，建立方程求出m 的值，即可得到C ''的坐标.【详解】解：（1）由抛物线的对称性知(4,0)B ，把(2,0),(4,0),(0,4)--A B C 代入解析式2y ax bx c =++， 得42016404a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩解得：1214a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线的解析式为2142y x x =--. （2）设BC 直线解析式为为y kx b =+将(4,0),(0,4)-B C 代入得，404k b b +=⎧⎨=-⎩，解得14k b =⎧⎨=-⎩∴直线BC 的解析式为4y x =-.作//PQ y 轴交BC 于点Q ，如图，设(,4)Q x x -， 则21,42P x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，2211(4)4222PQ x x x x x ⎛⎫=----=-+ ⎪⎝⎭. 22214224(2)42PBC CPQ BPQ x x S S S x x x ∆∆∆⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭=+==-+=--+ 当2x =时，PBC S ∆取得最大值，此时，(2,4)P -.把A 向左移动1个单位得1(3,0)A -，连接11,A P A N ，如图111411AM MN NP A N MN NP A N NP MN A P MN ++=++=++≥+=.（3）由题意可知C ''在直线4y x =+上运动，设(),4''+C m m ，则()4,2''++A m m ，∴()()22242420''''=+-++--=A m m m m C()()222214261D 7C ''=-++=++m m m m()()22224122101DA 3''=+-++=++m m m m①当''''''=A C DC 时， 22617=20++m m，解得322=-±m此时3522C ''⎛-- ⎝⎭或3522C ''⎛-++ ⎝⎭； ②当''''''=A C DA 时，221013=20++m m，解得52=-m此时5322C ''⎛--- ⎝⎭或5322C ''⎛-++ ⎝⎭ ③当''''=D DA C 时，2221013=2617++++m m m m ，解得1m =，此时(1,5)C ''， 综上所述C ''的坐标为532222C ''⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭或532222C ''⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭352222C ''⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭或3522C ''⎛- ⎝⎭或(1,5)C ''. 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，面积最值与线段最值问题，等腰三角形存在性问题，是中考常考的压轴题，难度较大，采用数形结合与分类讨论是解题的关键.22、32米【分析】设E 关于O 的对称点为M ，根据光线的反射可知，延长GC 、FA 相交于点M ，连接GF 并延长交OE 于点H ，先根据镜面反射的基本性质，得出MAC MFG ∆∆∽，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．【详解】设E 关于O 的对称点为M ，根据光线的反射可知，延长GC 、FA 相交于点M ，连接GF 并延长交OE 于点H ，由题意可知GD FB =且GD DO ⊥、FB DO ⊥∴GF AC∴MAC MFG ∆∆∽ ∴AC MA MO FG MF MH== 即：AC EO EO EO BD MH MO OH EO BF===++ ∴22.1 1.6EO EO =+ ∴32EO =答：楼的高度OE 为32米.【点睛】本题考查了相似三角形的应用、镜面反射的基本性质，准确作出辅助线是关键.23、（1）①证明见解析，②存在，94；（2）1195或845119． 【分析】（1）①证明∠A+2∠ABD=90°即可解决问题．②如图1中，假设在AC 边设上存在点E （异于点D ），使得△ABE 是“类直角三角形”．证明△ABC ∽△BEC ，可得BC AC CE BC=，由此构建方程即可解决问题． （2）分两种情形：①如图2中，当∠ABC+2∠C=90°时，作点D 关于直线AB 的对称点F ，连接FA ，FB ．则点F 在⊙O 上，且∠DBF=∠DOA ．②如图3中，由①可知，点C ，A ，F 共线，当点E 与D 共线时，由对称性可知，BA 平分∠FBC ，可证∠C+2∠ABC=90°，利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵BD 是ABC ∠的角平分线，∴2ABC ABD ∠=∠，∵90C ∠=︒，∴90A ABC ∠+∠=︒，∴290A ABD ∠+∠=︒，∴ABD ∆为“类直角三角形”．②如图1中，假设在AC 边设上存在点E （异于点D ），使得ABE ∆是“类直角三角形”．在Rt ABC ∆中，∵5AB =，3BC =， ∴2222534AC AB BC =-=-=，∵90AEB C EBC ∠=∠+∠>︒，∴290ABE A ∠+∠=︒，∵90ABE A CBE ∠+∠+∠=︒∴A CBE ∠=∠，∴ABC BEC ∆∆∽，∴BC AC CE BC=， ∴294BC CE AC ==， （2）∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，∵5AD =，13AB =，∴222210612BD AB AD =-=-=，①如图2中，当290ABC C ∠+∠=︒时，作点D 关于直线AB 的对称点F ，连接FA ，FB ．则点F 在O 上，且DBF DOA ∠=∠，∵180DBF DAF ∠+∠=︒，且CAD AOD ∠=∠，∴180CAD DAF ∠+∠=︒，∴C ，A ，F 共线，∵90C ABC ABF ∠+∠+∠=︒∴C ABF ∠=∠，∴FAB FBC ∆∆∽，∴FA FB FB FC =，即 ∴1195AC =． ②如图3中，由①可知，点C ，A ，F 共线，当点E 与D 共线时，由对称性可知，BA 平分FBC ∠，∴290C ABC ∠+∠=︒，∵CAD CBF ∠=∠，C C ∠=∠，∴DAC FBC ∆∆∽，∴CD AD CF BF =，即5512CD AC =+，∴5(5)12CD AC =+，且Rt ADC ∆中222AC CD AD =+ 解得845119AC = 综上所述，当ABC ∆是“类直角三角形”时，AC 的长为1195或845119． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，“类直角三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．24、（1）18y x=，26y x =-+；（2）0＜x ＜2 或x ＞4 ；（3）△AOB 的面积是1． 【分析】（1）利用待定系数法先求出反比例函数的解析式，继而求得点B 坐标，再结合A 、B 坐标利用待定系数法即可求出直线解析式；（2）根据图象双曲线在直线上方的部分即可得出答案；（3）过点A 作y 轴的垂线，垂足为D ，过点B 作x 轴的垂线，垂足为E ，两线交于点F ，然后用四边形的面积减去三个三角形的面积即可求得答案．【详解】（1）∵ 点A （2,4）在双曲线11k y x=上 1248k =⨯=∴ 18y x= ∵ 点B （a ，2）也在双曲线11k y x =，∴82a =， ∴ a=4（经检验a=4是方程的解），∵ 点A （2,4）和点B(4，2）在直线22y k x b =+上 ，∴ 222442k b k b +=⎧⎨+=⎩ ，解得：216k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线关系式为26y x =-+；（2）观察图象可得，当 1y ＞2y 时，x 的取值范围是：0＜x ＜2 或x ＞4 ；（3）过点A 作y 轴的垂线，垂足为D ，过点B 作x 轴的垂线，垂足为E ，两线交于点F ，则有OD=4，OE=4， ∴四边形CDFE 是正方形，∴△AOB 的面积是：4×4-11142-42-22222⨯⨯⨯⨯⨯⨯=1．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及了待定系数法，利用函数图象求不等式的解集，求三角形的面积等，正确把握相关知识是解题的关键．25、（1）213222y x x =--+；（2）9cot 8DBA ∠=；（3）D 的坐标为()3,2-或325,28⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）先根据直线表达式求出A,C 的坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式即可；（2）过点E 作EH AB ⊥于点H ，先求出点B 的坐标，再根据面积之间的关系求出点E 的坐标，然后利用余切的定义即可得出答案；（3）若CFD ∆与AOC ∆相似，分两种情况：若DCF CAO ∠=∠，DCF CAO ；若DCF ACO ∠=∠时，DCF ACO ，分情况进行讨论即可.【详解】（1）当0y =时，1202x += ，解得4x =- ，∴()4,0A - 当0x =时，1222y x =+= ，∴()0,2C 把A ，C 两点的坐标代入212y x bx c =-++， 得2840c b c =⎧⎨--+=⎩，解得322b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 213222y x x ∴=--+. （2）过点E 作EH AB ⊥于点H ，当0y =时，213x x 2022--+= 解得124,1x x =-=∴()10B ,， 45ABE ABC S S ∆∆=， 141252AB EH AB OC ∴⋅=⨯⋅， 4855EH OC ∴==， 48,55E ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭， 95HB ∴=. 90EHB ∠=︒，995cot 885HB DBA HE ∴∠===. （3）DF AC ⊥，DFC AOC ∴∠=∠90=︒，①若DCF CAO ∠=∠，DCF CAO ,则CD AO ∥∴点D 的纵坐标为2，把2y =代入213222y x x =--+ 得3x =-或0x =（舍去）， ()3,2D ∴-.②若DCF ACO ∠=∠时，DCF ACO过点D 作DG y ⊥轴于点G ，过点C 作CQ DC ⊥交x 轴于点Q ，90DCQ AOC ∠=∠=︒，DCF ∴∠+90ACQ ACO CAO ∠=∠+∠=︒，ACQ CAO ∴∠=∠，AQ CQ ∴=，设(),0Q m ，则244m m +=+32m ∴=-，3,02Q ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭. ∵90QCO DCG ∠+∠=︒，90QCO CQO ∠+∠=︒∴DCG CQO ∠=∠∴COQ DGC ∆∆∽，24332DG CO GC QO ∴===，设()4,32D t t -+，代入213222y x x =--+ 得0t =（舍去）或者38t =， 325,28D ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭. 综上所述，D 的坐标为()3,2-或325,28⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，待定系数法，三角函数，掌握相似三角形的判定方法和分情况讨论是解题的关键.26、（1）152x +=，252x -= （2）12x =，23x = 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程，即可得到答案；（2）利用因式分解法解一元二次方程，即可得到答案．【详解】解：（1）2510x x -+=，∵1a =，5b =-，1c =，∴2(5)411210∆=--⨯⨯=>，∴521±=⨯x ，∴152x =，252x =；（2）()()2322x x x -=-，∴()()23220x x x ---=，∴()2(26)0x x --=，∴20x -=或260x -=，∴12x =，23x =.【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的方法和步骤.。

2022-2023学年江苏省南京师大附中树人学校数学九年级第一学期期末综合测试模拟试题含解析

2022-2023学年江苏省南京师大附中树人学校数学九年级第一学期期末综合测试模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（ ）A ．∠ABP=∠CB ．∠APB=∠ABC C ．AP AB AB AC =D ．AB AC BP CB = 2．若一元二次方程ax 2+bx +c=0的一个根为﹣1，则（ ）A ．a +b +c=0B ．a ﹣b +c=0C ．﹣a ﹣b +c=0D ．﹣a +b +c=03．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长都为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是( )A ．55B ．105C ．2D ．124．方程x （x ﹣5）=x 的解是（ ）A ．x=0B ．x=0或x=5C ．x=6D ．x=0或x=65．已知二次函数243y x x =--，下列说法正确的是（ ）A ．该函数的图象的开口向下B ．该函数图象的顶点坐标是(2,7)--C ．当0x <时，y 随x 的增大而增大D ．该函数的图象与x 轴有两个不同的交点6．如图，四边形ABCD 中，∠A=90°，AB=8，AD=6，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．57．数据3、3、5、8、11的中位数是( )A ．3B ．4C ．5D ．68．如图，一个半径为r （r ＜1）的圆形纸片在边长为6的正六边形内任意运动，则在该六边形内，这个圆形纸片不能接触到的部分的面积是（ ）A ．πr 2B ．234rC ．2223r r π-D ．221233r r π- 9．已知x ＝3是关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m ＝0的根，则该方程的另一个根是（ ）A ．3B ．﹣3C ．1D ．﹣110．如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AC 与BD 相交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，P 是OD 的中点，过点P 作PM ⊥BC 于点M ，交OC 于点N′，则PN-MN′的值为（ ）A ．1B 2C ．2D ．23二、填空题(每小题3分,共24分)11．函数1x y +=x 的取值范围是________. 12．已知点A 关于原点的对称点坐标为(﹣1，2)，则点A 关于x 轴的对称点的坐标为_________13．不等式42x-＞4﹣x的解集为_____．14．已知点A(－3，m)与点B(2，n)是直线y＝－23x＋b上的两点，则m与n的大小关系是___．15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=14，则线段AC的长为．16．如图，在△ABC中，AC=6，BC=10，3tan4C=，点D是AC边上的动点(不与点C重合)，过点D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为_______________________．17．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙O的半径为10，则AB的长为____．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为．三、解答题(共66分)19．（10分）某商场经销-种进价为每千克50元的水产品，据市场分析，每千克售价为60元时，月销售量为500kg，销售单价每涨1元时，月销售量就减少10kg，针对这种情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为65元时，计算销售量和月销售利润；（2）若想在月销售成本不超过12000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？20．（6分）如图，抛物线2y x bx c =-++经过A （﹣1，0），B （3，0）两点，交y 轴于点C ，点D 为抛物线的顶点，连接BD ，点H 为BD 的中点．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）在y 轴上找一点P ，使PD+PH 的值最小，则PD+PH 的最小值为21．（6分） “校园读诗词诵经典比赛”结束后，评委刘老师将此次所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图，部分信息如下图：扇形统计图 频数直方图（1）参加本次比赛的选手共有________人，参赛选手比赛成绩的中位数在__________分数段；补全频数直方图.（2）若此次比赛的前五名成绩中有2名男生和3名女生，如果从他们中任选2人作为获奖代表发言，请利用表格或画树状图求恰好选中1男1女的概率．22．（8分）（如图 1，若抛物线 l 1 的顶点 A 在抛物线 l 2 上，抛物线 l 2 的顶点 B 也在抛物线 l 1 上（点 A 与点 B 不重合）．我们称抛物线 l 1，l 2 互为“友好”抛物线，一条抛物线的“友 好”抛物线可以有多条．（1）如图2，抛物线 l 3：21(2)12y x =-- 与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称，则点 D 的坐标为 ；（2）求以点 D 为顶点的 l 3 的“友好”抛物线 l 4 的表达式，并指出 l 3 与 l 4 中y 同时随x 增大而增大的自变量的取值范围；（3）若抛物线 y ＝a 1(x －m)2＋n 的任意一条“友好”抛物线的表达式为 y ＝a 2(x －h)2＋k ， 写出 a 1 与a 2的关系式，并说明理由．23．（8分）如图，在一条河流的两岸分别有A 、B 、C 、D 四棵景观树，已知AB //CD ，某数学活动小组测得∠DAB =45°，∠CBE =73°，AB =10m ，CD =30m ，请计算这条河的宽度(参考数值：19sin 7320≈，29cos 73100≈，10tan 733≈)24．（8分）一次函数y =k 1x +b 和反比例函数2k y x=的图象相交于点P （m −1，n +1），点Q （0，a ）在函数y =k 1x +b 的图象上，且m ，n 是关于x 的方程ax 2−（3a +1）x +2（a +1）=0的两个不相等的整数根（其中a 为整数），求一次函数和反比例函数的解析式．25．（10分）某种商品每天的销售利润y （元）与销售单价x （元）之间满足关系：y =ax 2+bx -1．其图象如图所示．⑴a ＝ ；b ＝ ；⑵销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？⑶由图象可知，销售单价x 在 时，该种商品每天的销售利润不低于16元？26．（10分）如图，已知O ，A 是BC 的中点，过点A 作AD BC ∥.求证：AD 与O 相切.参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【解析】试题分析：A．当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B．当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；C．当AP ABAB AC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．故选D．考点：相似三角形的判定．2、B【解析】直接把x＝−1代入方程就可以确定a，b，c的关系．【详解】∵x＝−1是方程的解，∴把x＝−1代入方程有：a−b＋c＝1．故选：B．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，就可以确定a，b，c的值．3、D【解析】首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．【详解】连接BD，则BD＝2，AD＝2，则tanA＝BDAD222＝12．故选D．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．4、D【分析】先移项，然后利用因式分解法解方程．【详解】解：x（x﹣5）﹣x=0，x（x﹣5﹣1）=0，x=0或x﹣5﹣1=0，∴x1=0或x2=1．故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．5、D【分析】根据二次函数的性质解题．【详解】解：A、由于y=x2-4x-3中的a=1＞0，所以该抛物线的开口方向是向上，故本选项不符合题意．B、由y=x2-4x-3=（x-2）2-7知，该函数图象的顶点坐标是（2，-7），故本选项不符合题意．C、由y=x2-4x-3=（x-2）2-7知，该抛物线的对称轴是x=2且抛物线开口方向向上，所以当x＞2时，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意．D、由y=x2-4x-3知，△=（-4）2-4×1×（-3）=28＞0，则该抛物线与x轴有两个不同的交点，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，需要利用二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与x轴交点的求法，配方法的应用等解答，难度不大．6、D【分析】根据三角形中位线定理可知EF=12DN，求出DN的最大值即可．【详解】解：如图，连结DN，∵DE=EM，FN=FM，∴EF=12 DN，当点N与点B重合时，DN的值最大即EF最大，在Rt△ABD中，∵∠A=90°，AD=6，AB=8，∴22228610BD AD AB=+=+=，∴EF的最大值=12BD=1．故选：D．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是中位线定理的灵活应用，学会转化的思想，属于中考常考题型．7、C【解析】根据中位数的定义进行求解即可.【详解】从小到大排序：3、3、5、8、11，位于最中间的数是5，所以这组数据的中位数是5，故选C.【点睛】本题考查了中位数，熟练掌握中位数的定义以及求解方法是解题的关键.①给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n 为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据里的数．8、C【分析】当圆运动到正六边形的角上时，圆与ABC ∠两边的切点分别为E,F ，连接OE,OB,OF ，根据六边形的性质得出120ABC ∠=︒ ，所以60OBF ∠=︒，再由锐角三角函数的定义求出BF 的长，最后利用626BOF EOF SS ⨯-扇形可得出答案．【详解】如图，当圆运动到正六边形的角上时，圆与ABC ∠两边的切点分别为E,F ，连接OE,OB,OF ，∵多边形是正六边形，∴120ABC ∠=︒ ,60OBF ∴∠=︒90,OFB OF r ∠=︒= ,3tan 6033OF r BF ∴===︒ ∴圆形纸片不能接触到的部分的面积是2221360626626232360BOF EOF r r S S r r r ππ⋅⨯-=⨯⨯-⨯=-扇形 故选：C ．【点睛】本题主要考查正六边形和圆，掌握正六边形的性质和特殊角的三角函数值是解题的关键．9、D【分析】设方程的另一根为t ,根据根与系数的关系得到3＋t ＝2,然后解关于t 的一次方程即可.【详解】设方程的另一根为t ,根据题意得3＋t ＝2,解得t ＝﹣1.即方程的另一根为﹣1.所以D 选项是正确的.【点睛】本题考查了根与系数的关系:12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=00a ≠的两根时, 12b x x a +=-,12c x x a =. 10、A【分析】根据正方形的性质可得点O 为AC 的中点，根据三角形中位线的性质可求出PN 的长，由PM ⊥BC 可得PM//CD ，根据点P 为OD 中点可得点N ′为OC 中点，即可得出AC=4CN ′，根据MN ′//AB 可得△CMN ′∽△CBA ，根据相似三角形的性质可求出MN ′的长，进而可求出PN-MN ′的长.【详解】∵四边形ABCD 是正方形，AB=4，∴OA=OC ，AD=AB=4，∵N 是AO 的中点，P 是OD 的中点，∴PN 是△AOD 的中位线，∴PN=12AD=2， ∵PM ⊥BC ，∴PM//CD//AB ，∴点N′为OC 的中点，∴AC=4CN′，∵PM//AB ，∴△CMN′∽△CBA ， ∴''MN CN AB AC =14=， ∴MN′=1，∴PN-MN′=2-1=1，故选：A.【点睛】本题考查正方形的性质、三角形中位线的性质及相似三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；熟练掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定定理是解题关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、x ≥－1且x ≠1.【分析】根据二次根式的被开方数非负和分式的分母不为0可得关于x 的不等式组，解不等式组即可求得答案.【详解】解：根据题意，得1010x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得x ≥－1且x ≠1.故答案为x≥－1且x≠1.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，难度不大，属于基础题型.12、(1，2)【分析】利用平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，求出点A的坐标，再利用平面内两点关于x轴对称时：横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出A点关于x轴的对称点的坐标．【详解】解：∵点A关于原点的对称点的坐标是（-1，2），∴点A的坐标是（1，-2），∴点A关于x轴的对称点的坐标是（1，2），故答案为：（1，2）．【点睛】本题考查的知识点是关于原点对称的点的坐标；关于x轴、y轴对称的点的坐标．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．13、x＞1．【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可.【详解】解：去分母得：x﹣1＞8﹣2x，移项合并得：3x＞12，解得：x＞1，故答案为：x＞1【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键.14、m>n【分析】先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据一次函数的性质即可得出结论．【详解】∵直线y＝−23x＋b中，k＝−23＜0，∴此函数y随着x增大而减小．∵−3＜2，∴m＞n．故填：m>n.【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．【分析】连结CD 如图，根据圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B ，则sinD=sinB=14，然后在Rt △ACD 中利用∠D 的正弦可计算出AC 的长．【详解】解：连结CD ，如图，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B ，∴sinD=sinB=14， 在Rt △ACD 中， ∵sinD=AC AD =14， ∴AC=14AD=14×8=1． 故答案为1．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．16、233252S x x =-+ 【分析】可在直角三角形CED 中，根据DE 、CE 的长，求出△BED 的面积即可解决问题． 【详解】在Rt △CDE 中，34E C C tan DE ==，CD =x ∴34,55DE x CE x == ∴4105BE x =-， ∴211346(10)3225525BDE S DE BE x x x x =⋅=⨯⨯-=-+． ∵点F 是BD 的中点，∴21332252DEF BDE S S S x x ===-+， 故答案为233252S x x =-+．本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17、2π【分析】利用正五边形的性质得出中心角度数，进而利用弧长公式求出即可．【详解】解：如图所示：连接OA 、OB ．∵⊙O 为正五边形ABCDE 的外接圆，⊙O 的半径为10，∴∠AOB ＝3605︒＝72°， ∴AB 的长为：72?102360ππ⨯=． 故答案为：2π．【点睛】本题主要考查正多边形与圆、弧长公式等知识，得出圆心角度数是解题关键．18、2α【解析】分析：由在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=α，可求得：∠B=90°﹣α，由旋转的性质可得：CB=CD ，根据等边对等角的性质可得∠CDB=∠B=90°﹣α，然后由三角形内角和定理，求得答案：∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=α，∴∠B=90°﹣α．由旋转的性质可得：CB=CD ，∴∠CDB=∠B=90°﹣α．∴∠BCD=180°﹣∠B ﹣∠CDB=2α，即旋转角的大小为2α．三、解答题(共66分)19、（1）销售量：450kg ；月销售利润：6750元；（2）销售单价定为90元时，月销售利润达到8000元，且销售成本不超过12000元【分析】（1）利用每千克水产品的销售利润×月销售量=月销售利润列出函数即可；（2）由函数值为8000，列出一元二次方程解决问题．【详解】解：（1）销售量：500(6560)10450()kg --⨯=，月销售利润：450(6550)6750⨯-=（元）；（2）因为月销售成本不超过12000元，∴月销售数量不超过1200050240()kg ÷=；设销售定价为x 元，由题意得：(50)50010(60)[]8000x x ---=，解得1290,70x x ==；当90x =时，月销售量为50010(9060)200240-⨯-=<，满足题意；当70x =时，月销售量为50010(7060)400240-⨯-=>，不合题意，应舍去．∴销售单价定为90元时，月销售利润达到8000元，且销售成本不超过12000元．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：每千克水产品的销售利润×月销售量=月销售利润列函数解析式，用配方法求最大值以及函数与方程的关系．20、（1） 2y x 2x 3=-++，D （1，4）；（2） PD+PH【分析】（1）根据题意把已知两点的坐标代入，求出b 、c 的值，就可以确定抛物线的解析式，配方或用公式求出顶点坐标；（2）由题意根据B 、D 两点的坐标确定中点H 的坐标，作出H 点关于y 轴的对称点点H ′，连接H ′D 与y 轴交点即为P ，求出H ′D 即可.【详解】解：（1）∵抛物线2y x bx c =-++过点A （-1，0），B （3，0）, ∴10930b c b c ⎩--+-++⎧⎨＝＝,解得23b c ⎧⎨⎩=＝, ∴所求函数的解析式为：2y x 2x 3=-++,化为顶点式为：2y x 2x 3=-++=-（x-1）2+4，∴顶点D （1，4）;（2）∵B （3，0），D （1，4）,∴中点H 的坐标为（2，2）其关于y 轴的对称点H ′坐标为（-2，2）,连接H ′D 与y 轴交于点P ，则PD+PH22(12)(42)13++-=.【点睛】本题考查用待定系数法确定二次函数的解析式和最短路径的问题，熟练掌握待定系数法是关键．21、（1）50；79.5~84.5；补图见解析；（2）3 5 .【分析】（1）利用比赛成绩在59.5~69.5的人数除以所占的百分比即可求出参加本次比赛的选手的人数，然后利用总人数乘比赛成绩在79.5~89.5所占的百分比，即可求出成绩在79.5~89.5的人数，从而求出成绩在69.5~74.5的人数和成绩在84.5~89.5的人数，最后根据中位数的定义即可求出中位数；（2）根据题意，画出树状图，然后根据概率公式求概率即可．【详解】解：（1）(23)10%50+÷=，所以参加本次比赛的选手共有50人，频数直方图中“79.5~89.5”这两组的人数为5036%18⨯=人，所以频数直方图中“69.5~74.5”这一组的人数为505818847-----=人“84.5~89.5”这一组的人数为18108-=人中位数是第25和第26位选手成绩的平均值，即在“79.5~84.5”分数段故答案为：50；79.5~84.5；补全条形统计图如下所示：（2）画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为12，所以恰好选中1男1女的概率123205==． 【点睛】 此题考查的是条形统计图、扇形统计图和求概率问题，掌握结合条形统计图和扇形统计图得出有用信息和利用树状图求概率是解决此题的关键．22、（1）()4,1；（2）4l 的函数表达式为()21412y x =--+，24x ≤≤；（3）120a a +=，理由详见解析 【分析】（1）设x=1，求出y 的值，即可得到C 的坐标，根据抛物线L 3：21(2)12y x =--得到抛物线的对称轴，由此可求出点C 关于该抛物线对称轴对称的对称点D 的坐标；（2）由（1）可知点D 的坐标为（4，1），再由条件以点D 为顶点的L 3的“友好”抛物线L 4的解析式，可求出L 4的解析式，进而可求出L 3与L 4中y 同时随x 增大而增大的自变量的取值范围；（3）根据：抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 也在抛物线L 1上，可以列出两个方程，相加可得（a 1+a 2）（h-m ）2=1．可得120a a +=．【详解】解：（1）∵抛物线l 3：21(2)12y x =--， ∴顶点为（2，-1），对称轴为x=2，设x=1，则y=1，∴C （1，1），∴点C 关于该抛物线对称轴对称的对称点D 的坐标为：（4，1）；（2）解：设4l 的函数表达式为()241y a x =-+由“友好”抛物线的定义，过点()2,1- ()21241a ∴-=-+ 12a ∴=- 4l 的函数表达式为()21412y x =--+ 3l ∴与4l 中y 同时随x 增大而增大的自变量的取值范围是24x ≤≤（3）120a a +=理由如下：∵ 抛物线()21y a x m n =-+与抛物线()22y a x h k =+－互为“友好”抛物线，()()2122k a h m n n a m h k ⎧=-+⎪∴⎨=-+⎪⎩①② ①+②得：()()2210+-=a a m h m h ≠120a a ∴+=【点睛】本题属于二次函数的综合题，涉及了抛物线的对称变换、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，解答本题的关键是数形结合，特别是（3）问根据已知条件得出方程组求解，有一定难度．23、4007m 【分析】分别过C ，D 作CF ⊥AE 于F ，DG ⊥AE 于F ，构建直角三角形解答即可．【详解】分别过C ，D 作CF ⊥AE 于F ，DG ⊥AE 于F ，∴∠AGD=∠BFC=90°，∵AB ∥CD ，∴∠FCD=90°，∴四边形CFGD 是矩形，∴CD=FG=30m ，CF=DG ，在直角三角形ADG 中，∠DAG=45°，∴AG=DG ，在直角三角形BCF 中，∠FBC=73°， ∴10373CF tan FBC tan BF ︒∠==∠=， ∴103C G F D B F ==， ∵AG=AB+BF+FG=DG ，即10+BF+30=103BF ， 解得：BF= 1207m ， 则1040037B G F D ==， 答：这条河的宽度为4007m ． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，要求学生能借助辅助线构造直角三角形并解直角三角形．24、一次函数：21y x =-或41y x =--；反比例函数：1y x =或3y x=- 【分析】根据点Q 在一次函数上，可得a 与b 的关系，解一元二次方程，可解得12x =，211x a =+，然后根据方程的两根不等且为整数，可得出2x 的值，从而得出P 的坐标，代入可得解析式．【详解】∵点Q(0，a)在函数y =k 1x +b 的图象上∴代入得：a=ba x 2−（3a+1）x +2（a+1）=0化简得：[ax －(a+1)](x-2)=0∴12x =，2a 111a ax +==+ ∵方程的2个根都是整数∴a=1时，22x =；a=－1时，20x =∵方程的2个根不相等∴12x =，20x =情况一：m=2，n=0则P(1，1)则一次函数为：y=2x －1，反比例函数为：1y x=情况二：m=0，n=2则P(－1，3) 则一次函数为：y=－4x －1，反比例函数为：3y x=-【点睛】 本题考查求一元二次方程的整数解，解题关键是根据2个根为整数且不等分析得出方程的2个根的数值．25、（1）-1，20；（2）当x=10时，该商品的销售利润最大，最大利润是25元；（3）7≤x≤13【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；（2）利用配方法求出二次函数最值即可；（3）根据题意令y=16，解方程可得x 的值，结合图象可知x 的范围．【详解】解：（1）y =ax 2+bx -1图象过点（5，0）、（7，16），∴255750,4977516,a b a b +-=⎧⎨+-=⎩ 解得：1,20.a b =-⎧⎨=⎩故答案为-1，20⑵∵222075(10)25y x x x =-+-=--+∴当x=10时，该商品的销售利润最大，最大利润是25元．⑶根据题意，当y=16时，得：-x 2+20x-1=16，解得：x 1=7，x 2=13，即销售单价7≤x≤13时，该种商品每天的销售利润不低于16元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式等知识，正确利用二次函数图象是解题关键．26、详见解析.【分析】证法一：连接AB ，AC ，OB ，OC ，连接OA 交BC 于点E ，利用线段垂直平分线的性质和垂径定理的推论证明OA 垂直平分BC ，然后利用垂径定理和平行线的性质求得OA AD ⊥，从而使问题得证；证法二：连接OB ，OC ，连接OA 交BC 于点E ，利用垂径定理的推论得到OA BC ⊥，90OEB ∠=︒，然后利用平行线的性质求得OA AD ⊥，从而使问题得证；证法三：过点O 作OF BC ⊥于点F ，延长OF 交O 于点'A ，利用垂径定理的推论得到'A 是BC 的中点，然后判断点A 与点'A 是同一个点，然后然后利用平行线的性质求得OA AD ⊥，从而使问题得证.【详解】证明：证法一：连接AB ，AC ，OB ，OC ，连接OA 交BC 于点E . ∵OB OC =，∴点O 在BC 的垂直平分线上.∵A 是BC 的中点，∴AB AC =，∴AB AC =，∴点A 在BC 的垂直平分线上，∴OA 垂直平分BC ，∴90OEB ∠=︒，∵AD BC ∥，∴90OAD OEB ∠=∠=︒，∴OA AD ⊥，∵点A 为半径OA 的外端点，∴AD 与O 相切.证法二：连接OB ，OC ，连接OA 交BC 于点E .∵A 是BC 的中点，∴AB AC =，∴AOB AOC ∠=∠，∴OA BC ⊥，∴90OEB ∠=︒，∵AD BC ∥，∴90OAD OEB ∠=∠=︒，∴OA AD ⊥，∵点A 为半径OA 的外端点，∴AD 与O 相切.证法三：过点O 作OF BC ⊥于点F ，延长OF 交O 于点'A ，∴''A B AC =，90OFB ∠=︒，∴'A 是BC 的中点，∵点A 是BC 的中点，∴点A 与点'A 是同一个点.∵AD BC ∥，∴90OAD OFB ∠=∠=︒，∴OA AD ⊥，∵点A 为半径OA 的外端点，∴AD 与O 相切.【点睛】本题考查切线的判定及垂径定理的推论，掌握相关定理灵活应用解题是本题的解题关键.。

江苏省南师大附中树人学校2022年九年级数学第一学期期末检测试题含解析

江苏省南师大附中树人学校2022年九年级数学第一学期期末检测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）1．二次函数2y ax bx c =++中x 与y 的部分对应值如下表所示，则下列结论错误的是（ ） x 1-0 1 3 y1- 3 53 A ．0a < B ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小 C ．当0x <时，3y <D ．方程25ax bx c ++=有两个不相等的实数根2．如图，在平面直角坐标系内，四边形ABCD 为菱形，点A ，B 的坐标分别为（﹣2，0），（0，﹣1），点C ，D 分别在坐标轴上，则菱形ABCD 的周长等于（ ）A 5B ．3C ．5D ．203．关于x 的一元二次方程x 2+8x +q =0有两个不相等的实数根，则q 的取值范围是( )A ．q <16B ．q >16C ．q ≤4D ．q ≥4 4．如图，点A ，B 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上，点C ，D 在反比例函数(0)k y k x =>的图象上，AC//BD//y 轴，已知点A ，B 的横坐标分别为1，2，△OAC 与△ABD 的面积之和为32，则k 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．32 5．抛物线223y x x =++与y 轴的交点为（ ）A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0,3)D ．(3,0)6．赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为2125y x =，当水面宽度AB 为20m 时，水面与桥拱顶的高度DO 等于（ ）A ．2mB ．4mC ．10mD ．16m7．如图，平行于x 轴的直线与函数11k y (k 0x 0)x =>>，，22k y (k 0x 0)x=>>，的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若ABC 的面积为4，则12k k -的值为( )A ．8B ．8-C ．4D ．4-8．今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x ，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）A ．2500x 2＝3500B ．2500（1+x ）2＝3500C ．2500（1+x %）2＝3500D ．2500（1+x ）+2500（1+x ）2＝35009．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由520元降为312元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x ，下面所列的方程中正确的是( )A ．2520(1)312x -=B ．2520(1)312x +=C ．2520(12)312x -=D ．2520(1)312x -=10．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 、B 的坐标分别是（0，0），（2，0），则顶点C 的坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（﹣1，﹣1）C ．（1，﹣1）D ．（﹣1，1）11．如图，点P 是以AB 为直径的半圆上的动点，CA AB PD AC ⊥⊥，于点D ，连接AP ，设AP x PAPD y ＝，﹣＝，则下列函数图象能反映y 与x 之间关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．二位同学在研究函数2(3)()y a x x a=+-(a 为实数，且0a ≠)时，甲发现当 0<a <1时，函数图像的顶点在第四象限；乙发现方程2(3)()50a x x a+-+=必有两个不相等的实数根，则( ) A ．甲、乙的结论都错误B ．甲的结论正确，乙的结论错误C ．甲、乙的结论都正确D ．甲的结论错误，乙的结论正确二、填空题（每题4分，共24分） 13．已知直线y=kx （k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m （m ＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O 相交（点O 为坐标原点），则m 的取值范围为_____．14．若关于x 的一元二次方程()2k 1x 4x 10-++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______． 15．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△COD ，若∠AOB=15°，则∠AOD=_____度．16．如图，若一个半径为1的圆形纸片在边长为6的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片能接触到的最大面积为_____．17．如图，矩形ABCD 中，4,6AB AD ==，点E 是边CD 上一点，EF AE ⊥交BC 于点F ，则CF 长的取值范围是____．18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，以点C 为圆心，CB 的长为半径画弧，与AB 边交于点D ，将BD 绕点D 旋转180°后点B 与点A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为_____．三、解答题（共78分）19．（8分）解方程：(1)(23)46x x x -=-(2)(53)17x x x -=-20．（8分）如图．电路图上有四个开关A 、B 、C 、D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时闭合开关A ，B ，C 都可使小灯泡发光．（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于多少；（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．21．（8分）解方程：2x 2﹣5x ﹣7＝1．22．（10分）解方程（1）x 2+4x ﹣3＝0（用配方法）（2）3x （2x +3）＝4x +623．（10分）如图，在平面直角坐标系中，己知二次函数283y ax x c =++的图像与y 轴交于点B (0， 4)，与x 轴交于点A (－1，0)和点D ．(1)求二次函数的解析式；(2)求抛物线的顶点和点D 的坐标；(3)在抛物线上是否存在点P ，使得△BOP 的面积等于52如果存在，请求出点P 的坐标？如果不存在，请说明理由．24．（10分）如图，二次函数22123x y x m m=--（其中0m >）的图象与x 轴分别交于点A 、B （点A 位于B 的左侧），与y 轴交于点C ，过点C 作x 轴的平行线CD 交二次函数图像于点D ．（1）当m =2时，求A 、B 两点的坐标； （2）过点A 作射线AE 交二次函数的图像于点E ，使得∠BAE =∠DAB ．求点E 的坐标（用含m 的式子表示）；（3）在第（2）问的条件下，二次函数22123x y x m m=--的顶点为F ，过点C 、F 作直线与x 轴于点G ，试求出GF 、AD 、AE 的长度为三边长的三角形的面积（用含m 的式子表示）．25．（12分）如图，ABC ∆内接于⊙O ，60BAC ∠=，高AD 的延长线交⊙O 于点E ，6BC =，5AD =．（1）求⊙O 的半径；（2）求DE 的长．26．如图，抛物线y ＝﹣12x 2+2x +6交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），交y 轴于点C ，顶点为D ，对称轴分别交x 轴、线段AC 于点E 、F ．（1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；（2）连结AD ，CD ，求△ACD 的面积；（3）设动点P 从点D 出发，沿线段DE 匀速向终点E 运动，取△ACD 一边的两端点和点P ，若以这三点为顶点的三角形是等腰三角形，且P 为顶角顶点，求所有满足条件的点P 的坐标．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】根据表中各对应点的特征和抛物线的对称性求出抛物线的解析式即可判断.得出c=3,抛物线的对称轴为x=1.5，顶点坐标为（1，5），抛物线开口向下，【详解】解：由题意得出：315c a b c a b c =⎧⎪-=-+⎨⎪=++⎩，解得，133a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为：2y 33x x =-++抛物线的对称轴为x=1.5，顶点坐标为（1，5），抛物线开口向下∵a=-1<0，∴选项A 正确；∵当1x >时，y 的值先随x 值的增大而增大，后随随x 值的增大而增大，∴选项B 错误；∵当0x <时，y 的值先随x 值的增大而增大，因此当x<0时，3y <，∴选项C 正确；∵原方程可化为2320x x -+-=，2341210=-⨯-⨯-=>，∴有两个不相等的实数根，选项D 正确.故答案为B.【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质，根据题目得出抛物线解析式是解题的关键.2、C【分析】根据题意和勾股定理可得AB长，再根据菱形的四条边都相等，即可求出菱形的周长．【详解】∵点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（0，﹣1），∴OA＝2，OB＝1，∴AB===∴菱形ABCD的周长等于4AB＝故选：C．【点睛】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及坐标与图形的性质，得出AB的长是解题关键．3、A【解析】∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，∴△>0，即82-4q>0，∴q<16，故选 A.4、B【分析】首先根据A,B两点的横坐标，求出A,B两点的坐标，进而根据AC//BD// y 轴,及反比例函数图像上的点的坐标特点得出C,D两点的坐标，从而得出AC,BD的长，根据三角形的面积公式表示出S△OAC,S△ABD的面积，再根据△OAC与△ABD的面积之和为32，列出方程，求解得出答案.【详解】把x=1代入1yx=得：y=1,∴A(1,1),把x=2代入1yx=得：y=12,∴B(2, 1 2 ),∵AC//BD// y轴,∴C(1,k),D(2,k 2 )∴AC=k-1,BD=k2-12，∴S△OAC=12（k-1）×1,S △ABD =12 (k 2-12)×1, 又∵△OAC 与△ABD 的面积之和为32， ∴12（k-1）×1＋12 (k 2-12)×1=32，解得：k=3; 故答案为B.【点睛】:此题考查了反比例函数系数k 的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k 的几何意义是解本题的关键.5、C【解析】令x=0，则y=3，抛物线与y 轴的交点为（0，3）．【详解】解：令x=0，则y=3，∴抛物线与y 轴的交点为（0，3），故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数与坐标轴的交点是解题的关键． 6、B【分析】根据题意，水面宽度AB 为20则B 点的横坐标为10，利用B 点是函数为2125y x =图象上的点即可求解y 的值即DO【详解】根据题意B 的横坐标为10，把x ＝10代入2125y x =， 得y ＝﹣4，∴A （﹣10，﹣4），B （10，﹣4），即水面与桥拱顶的高度DO 等于4m ．故选B ．【点睛】本题考查了点的坐标及二次函数的实际应用．7、A【解析】设()A a,h ，()B b,h ，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出1ah k =，2bh k .=根据三角形的面积公式得到()()()ABC A 121111S AB y a b h ah bh k k 42222=⋅=-=-=-=，即可求出12k k 8-=． 【详解】AB//x 轴，A ∴，B 两点纵坐标相同，设()A a,h ，()B b,h ，则1ah k =，2bh k =，()()()ABC A 121111S AB y a b h ah bh k k 42222=⋅=-=-=-=， 12k k 8∴-=，故选A ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键.8、B【分析】根据2013年教育经费额×（1+平均年增长率）2=2015年教育经费支出额，列出方程即可．【详解】设增长率为x ，根据题意得2500×（1+x ）2＝3500，故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用--求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“-”）．9、A【分析】根据题意可得到等量关系：原零售价⨯（1-百分率）（1-百分率）=降价后的售价，然后根据等量关系列出方程即可．【详解】解：由题意得：2520(1)312x -=，故答案选A ．【点睛】本题考查一元二次方程与实际问题，解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程．10、C【详解】解:由图可知，点B 在第四象限．各选项中在第四象限的只有C ．故选C ．11、C【解析】设圆的半径为R ，连接PB ,求出1sin 22AP ABP x R R ∠==，根据CA ⊥AB,求出21122PD APsin x x R R α⨯=＝＝，即可求出函数的解析式为212y PA PD x x R-+＝＝-. 【详解】设：圆的半径为R ，连接PB ，则1sin 22AP ABP x R R∠==， CA AB ⊥，即AC 是圆的切线，则PDA PBA α∠∠＝＝， 则2122x PD APsin x x R R α⨯=＝＝ 则212y PA PD x x R-+＝＝- 图象为开口向下的抛物线，故选：C ．【点睛】本题考查了圆、三角函数的应用,熟练掌握函数图像是解题的关键.12、D【分析】先根据函数的解析式可得顶点的横坐标，结合01a <<判断出横坐标可能取负值，从而判断甲不正确；再通过方程的根的判别式判断其根的情况，从而判断乙的说法.【详解】0a ≠，∴原函数定为二次函数 甲：顶点横坐标为122323132222x x a a a a -+-===- 01a <<，13122a ∴->-，所以甲不正确乙：原方程为2(3)()50a x x a +-+=，化简得：2(32)10ax a x +--= 22420(32)4(3)039a a a ∆=-+=-+> ∴必有两个不相等的实数根，所以乙正确故选：D.【点睛】本题考查二次函数图象的性质、顶点坐标、一元二次方程的根的判别式，对于一般形式20(a 0)++=≠ax bx c 有：（1）当240b ac ∆=->，方程有两个不相等的实数根；（2）当240b ac ∆=-=，方程有两个相等的实数根；（3）当240∆=-<，方程没有实数根.b ac二、填空题（每题4分，共24分）13、0<m＜【解析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．【详解】把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，﹣5=12k，∴k=﹣；由y=﹣x平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣x+m（m＞0），设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如图所示）当x=0时，y=m；当y=0时，x=m，∴A（m，0），B（0，m），即OA=m，OB=m，在Rt△OAB中，AB=，过点O作OD⊥AB于D，∵S△ABO=OD•AB=OA•OB，∴OD•=×m×m，∵m＞0，解得OD=m，由直线与圆的位置关系可知m ＜6，解得m＜，故答案为0<m ＜.【点睛】本题考查了直线的平移、直线与圆的位置关系等，能用含m 的式子表示出原点到平移后的直线的距离是解题的关键.本题有一定的难度，利用数形结合思想进行解答比较直观明了.14、k ＜5且k ≠1．【解析】试题解析：∵关于x 的一元二次方程()21410k x x -++=有两个不相等的实数根， ()2104410.k k -≠⎧∴⎨∆=-->⎩解得：5k <且1k ≠．故答案为5k <且1k ≠．15、30°【分析】根据旋转的性质得到∠BOD=45°，再用∠BOD 减去∠AOB 即可.【详解】∵将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后，得到△COD ，∴∠BOD=45°，又∵∠AOB=15°， ∴∠AOD=∠BOD －∠AOB=45°－15°=30°. 故答案为30°. 16、63+π．【分析】根据直角三角形的面积和扇形面积公式先求出圆形纸片不能接触到的面积，再用等边三角形的面积去减即可得能接触到的最大面积．【详解】解：如图，当圆形纸片运动到与∠A 的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心O 作两边的垂线，垂足分别为D ，E ，连接AO ，则Rt △ADO 中，∠OAD ＝30°，OD ＝1，AD∴S △ADO ＝12OD •AD∴S 四边形ADOE ＝2S △ADO∵∠DOE ＝120°，∴S 扇形DOE ＝3π， ∴纸片不能接触到的部分面积为：3﹣3π）＝π∵S △ABC ＝12×6×∴纸片能接触到的最大面积为：+π＝．故答案为．【点睛】此题主要考查圆的综合运用，解题的关键是熟知等边三角形的性质、扇形面积公式.17、203CF ≤≤ 【分析】证明ADE ECF △∽△，利用相似比列出关于AD ，DE ，EC ，CF 的关系式，从而求出CF 长的取值范围．【详解】∵EF AE ⊥∴90AEF ∠=︒∴90AED FEC +=︒∠∠∵四边形ABCD 是矩形∴90D C ∠=∠=︒∴90DAE AED ∠+∠=︒∴FEC DAE =∠∠∴ADE ECF △∽△ ∴AD EC EC CF= ∴64CE CE CF =-()2224466CE CE CE CF --+-== 因为04CE ≤≤ ∴203CF ≤≤ 故答案为：203CF ≤≤． 【点睛】本题考查了一元二次方程的最值问题，掌握相似三角形的性质以及判定、解一元二次方程得方法是解题的关键．18、83π． 【分析】根据题意，用ABC 的面积减去扇形CBD 的面积，即为所求.【详解】由题意可得， AB ＝2BC ，∠ACB ＝90°，弓形BD 与弓形AD 完全一样，则∠A ＝30°，∠B ＝∠BCD ＝60°，∵CB ＝4，∴AB ＝8，AC ＝2604360π⨯⨯-＝83π，故答案为：83π． 【点睛】本题考查不规则图形面积的求法，属中档题.三、解答题（共78分）19、 (1)1 1.5x =，22x =；(2)115x =，21x =-. 【分析】（1）用因式分解法求解即可；（2）用公式法求解即可.【详解】解：(1)原方程可化为(23)2(23)x x x -=-，移项得(23)2(23)0x x x ---=，分解因式得(23)(2)0x x --=，于是得230x -=，或20x -=，11.5x=，22x=；(2)原方程化简得25410x x+-=，2445(1)360∆=-⨯⨯-=>，∴436462325255x-±-±-±===⨯⨯，11 5x=，21x=-.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.20、（1）14；（2）12.【分析】（1）根据概率公式直接填即可；（2）依据题意分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【详解】解：（1）有4个开关，只有D开关一个闭合小灯发亮，所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是14；（2）画树状图如右图：结果任意闭合其中两个开关的情况共有12种，其中能使小灯泡发光的情况有6种，小灯泡发光的概率是12．【点睛】本题考查的知识点是概率的求法，解题关键是熟记概率=所求情况数与总情况数之比．21、x2＝72，x2＝﹣2．【分析】把方程左边进行因式分解（2x﹣7）（x+2）＝2，方程就可化为两个一元一次方程2x﹣7＝2或x+2＝2，解两个一元一次方程即可．【详解】解：2x2﹣5x﹣7＝2，∴（2x﹣7）（x+2）＝2，∴2x ﹣7=2或x +2＝2，∴x 2＝72，x 2＝﹣2． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，正确使用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键.22、（1）x 1＝﹣2，x 2＝﹣2（2）x 1＝23，x 2＝﹣32． 【解析】（1）原式利用配方法求出解即可；（2）原式整理后，利用因式分解法求出解即可．【详解】（1）方程整理得：x 2+4x ＝3，配方得：x 2+4x+4＝7，即（x+2）2＝7，开方得：x+2＝，解得：x 1＝﹣，x 2＝﹣2；（2）方程整理得：3x （2x+3）﹣2（2x+3）＝0，分解因式得：（3x ﹣2）（2x+3）＝0，可得3x ﹣2＝0或2x+3＝0，解得：x 1＝23，x 2＝﹣32． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 23、（1）248433y x x =-++；（2）D 的坐标为（3，0），顶点坐标为（1，163）；（3）满足条件的点P 有两个，坐标分别为P 1(54，214)、P 2(517,412--)． 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）根据二次函数的解析式得点D 的坐标，将解析式化为顶点式可得顶点的坐标；（3）设P 的坐标为P （x ，y ），到y 轴的距离为|x|，则S △BOP =12•BO•|x|，解出x=±54，进而得出P 点坐标． 【详解】解：(1)把点A (－1，0)和点B (0， 4)代入二次函数283y ax x c =++中得： ()()280=1134a c c⎧-+⨯-+⎪⎨⎪=⎩ 解得：434a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以二次函数的解析式为：248433y x x =-++ ； （2）根据（1）得点D 的坐标为（3，0），248433y x x =-++=()()224416241333x x x --+=--+， ∴顶点坐标为（1，163）； (3)存在这样的点P ，设P 的坐标为P (x ，y )，到y 轴的距离为∣x ∣∵ S △BOP ＝12•BO •∣x ∣ ∴52＝12×4•∣x ∣ 解得：∣x ∣＝54所以x ＝±54把x ＝54代入248433y x x =-++中得： 2458543434y ⎛⎫=-⨯+⨯+ ⎪⎝⎭ 即：y ＝214， 把x ＝－54代入248433y x x =-++中得： 2458543434y ⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即：y ＝－1712∴满足条件的点P 有两个，坐标分别为P 1(54，214)、P 2(517,412--)． 【点睛】 本题考查待定系数法求二次函数解析式、抛物线的顶点坐标以及三角形面积等知识，掌握二次函数的性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．24、（1）(2,0)A -，(6,0)B ；（2）(4,5)E m ；（3）266m +【分析】（1）求图象与x 轴交点，即函数y 值为零，解一元二次方程即可;（2）过D 作DM x ⊥轴，过E 作EN x ⊥轴，先求出D 点坐标为(2,3)D m -，设E 点为2212,3x x x m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即可列等式求m 的值得E 点坐标；（3）由直线FG 的方程：13y x m=--，得G 点坐标，再用m 的表达式分别表达GF 、AD 、AE 即可.【详解】（1） 当m 2=时，2134y x x =--， ∵2134y x x =--图象与x 轴分别交于点A 、B ∴21304x x --=时，2,6x x =-= ∴(2,0)A -，(6,0)B（2）∵(0,3)C -，CDx 轴∴(2,3)D m -过D 作DM x ⊥轴，过E 作EN x ⊥轴∵DAB BAE ∠=∠∴DM AM EN AN= 设E 2212,3x x x m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 2233123m x x m x m m=+--∴4x m = (4,5)E m（3）以GF 、BD 、BE 的长度为三边长的三角形是直角三角形.理由如下：二次函数22123x y x m m=--的顶点为F,则F 的坐标为(−m,4)，过点F 作FH ⊥x 轴于点H. ∵tan ∠CGO=OC OG ，tan ∠FGH=FH GH ，∴OC OG =FH GH ， ∴FH GH =FH OH OG+， ∵OC=3，HF=4，OH=m ， ∴34OG m OG =+， ∴OG=3m.∴(3,0)G m -221616GF m =+2299DA m =+222525AE m =+，∴::5:4:3AE GF DA =∴GF 、DA 、AE 能构成直角三角形面积是()()213344662m m m ⨯+⨯+=+ 所以GF 、DA 、AE 能构成直角三角形面积是266m +【点睛】此题考查二次函数综合题，解题关键在于掌握二次函数图象的问题转换.25、（1）⊙O 的半径为23；（2）523DG =-【分析】（1）作直径BF ，连接CF ，由圆周角定理得60F BAC ∠=∠=︒，根据特殊角的三角函数值，即可求出BF ，然后求出半径；（2）过O 作OG AD ⊥于G ，OH BC ⊥于H ，得到四边形OHDG 是矩形，利用直角三角形的性质求出DG ，由垂径定理得到AG=EG=AD -DG ，然后求出DE 的长度.【详解】解：（1）如图，在⊙O 中，作直径BF ，连接CF ，∴90BCF ∠=︒，∵60F BAC ∠=∠=︒，∴643sin 32BC BF F ===∠， ∴⊙O 的半径为23；（2）如图，过O 作OG AD ⊥于G ，OH BC ⊥于H∴GE GA =，四边形OHDG 是矩形，∴OH DG =， ∵23,30OB FBC =∠=︒，∴3OH DG ==∴53EG AG AD GD ==-=-∴533523DG EG GD =-==-【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，矩形的判定和性质，以及直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题.26、（1）抛物线的对称轴x ＝1，A （6，0）；（1）△ACD 的面积为11；（3）点P 的坐标为（1，1）或（1，6）或（1，3）．【分析】（1）令y=0，求出x ，即可求出点A 、B 的坐标，令x ＝0，求出y 即可求出点C 的坐标，再根据对称轴公式即可求出抛物线的对称轴；（1）先将二次函数的一般式化成顶点式，即可求出点D 的坐标，利用待定系数法求出直线AC 的解析式，从而求出点F 的坐标，根据“铅垂高，水平宽”求面积即可；（3）根据等腰三角形的底分类讨论，①过点O 作OM ⊥AC 交DE 于点P ，交AC 于点M ，根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质即可得出此时AC 为等腰三角形ACP 的底边，且△OEP 为等腰直角三角形，从而求出点P 坐标；②过点C 作CP ⊥DE 于点P ，求出PD ，可得此时△PCD 是以CD 为底边的等腰直角三角形，从而求出点P 坐标；③作AD 的垂直平分线交DE 于点P ，根据垂直平分线的性质可得PD ＝PA ，设PD ＝x ，根据勾股定理列出方程即可求出x ，从而求出点P 的坐标.【详解】（1）对于抛物线y ＝﹣12x 1+1x +6令y ＝0，得到﹣12x 1+1x +6＝0，解得x ＝﹣1或6， ∴B （﹣1，0），A （6，0），令x ＝0，得到y ＝6，∴C （0，6）， ∴抛物线的对称轴x ＝﹣2b a＝1，A （6，0）． （1）∵y ＝﹣12x 1+1x +6＝21(2)82x --+， ∴抛物线的顶点坐标D （1，8），设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，将A （6，0）和C （0，6）代入解析式，得0666k b=+⎧⎨=⎩ 解得：16k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x +6，将x=1代入y ＝﹣x +6中，解得y=4∴F （1，4），∴DF ＝4，∴12ACD S DF OA =⋅＝1462⨯⨯＝11； （3）①如图1，过点O 作OM ⊥AC 交DE 于点P ，交AC 于点M ，∵A （6，0），C （0，6），∴OA ＝OC ＝6，∴CM＝AM，∠MOA=12∠COA=45°∴CP＝AP，△OEP为等腰直角三角形，∴此时AC为等腰三角形ACP的底边，OE＝PE＝1．∴P（1，1），②如图1，过点C作CP⊥DE于点P，∵OC＝6，DE＝8，∴PD＝DE﹣PE＝1，∴PD＝PC，此时△PCD是以CD为底边的等腰直角三角形，∴P（1，6），③如图3，作AD的垂直平分线交DE于点P，则PD＝PA，设PD＝x，则PE＝8﹣x，在Rt△PAE中，PE1+AE1＝PA1，∴（8﹣x）1+41＝x1，解得x＝5，∴PE＝8﹣5=3，∴P（1，3），综上所述：点P的坐标为（1，1）或（1，6）或（1，3）．【点睛】此题考查的是二次函数与图形的综合大题，掌握将二次函数的一般式化为顶点式、二次函数图象与坐标轴的交点坐标的求法、利用“铅垂高，水平宽”求三角形的面积和分类讨论的数学思想是解决此题的关键.。

2023届江苏省南师大附中树人学校数学九上期末达标检测试题含解析

2023届江苏省南师大附中树人学校数学九上期末达标检测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．若二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的图象与坐标轴只有两个公共点，则c 应满足的条件是（ ）A ．c ＝0B ．c ＝1C ．c ＝0或c ＝1D ．c ＝0或c ＝﹣12．若ABC DEF ∆∆∽，面积之比为9:4，则相似比为（ ）A ．94B ．49C ．32D ．8116 3．如图，在平行四边形ABCD 中，F 是边AD 上的一点，射线CF 和BA 的延长线交于点E ，如果12C EAF C CDF =，那么S EAF S EBC的值是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．194．若方程（m ﹣1）x 2﹣4x ＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≠1B ．m ＝1C ．m ≠0D ．m ≥15．下列几何体的三视图相同的是（ ）A ．圆柱B ．球C ．圆锥D ．长方体6．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A ，点C 是BE 的中点，则下列结论：①OC ∥AE ；②EC ＝BC ；③∠DAE＝∠ABE ；④AC ⊥OE ，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程210x kx +-=的两个根，且满足12112x x +=-，则k 的值为（ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-8．如图，直线y x =-与反比例函数6y x=-的图象相交于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为点C 、D ，连接AD 、BC ，则四边形ACBD 的面积为( )A ．4B ．8C ．12D ．249．某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（ ）A ．12元B ．10元C ．11元D ．9元10．不透明袋子中有除颜色外完全相同的4个黑球和2个白球，从袋子中随机摸出3个球，下列事件是必然事件的是（ ）．A ．3个都是黑球B ．2个黑球1个白球C ．2个白球1个黑球D ．至少有1个黑球二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知关于x 的一元二次方程（a-1）x 2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是_______________． 12．如图，已知二次函数3(1)(4)4y x x =-+-的图象与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点,C P 为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP ，交BC 于点K ，则PK AK 的最大值为__________.13．如图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与原点重合，顶点A ，C 分别在x 轴、y 轴上，双曲线y ＝kx ﹣1（k≠0，x ＞0）与边AB 、BC 分别交于点N 、F ，连接ON 、OF 、NF ．若∠NOF ＝45°，NF ＝2，则点C 的坐标为_____．14．如图，在山坡上种树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为6m ．测得斜坡的斜面坡度为i ＝1：3（斜面坡度指坡面的铅直高度与水平宽度的比），则斜坡相邻两树间的坡面距离为_____．15．在一个不透明的盒子中装有6个白球，x 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率为23，则x=_______． 16．计算：018(2)2⨯+=_____． 17．若某人沿坡度i=3∶4的斜坡前进10m ，则他比原来的位置升高了_________m ．18．如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF 的对称中心与原点O 重合，点A 在x 轴上，点B 在反比例函数k y x=位于第一象限的图象上，则k 的值为 ．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，D 是边BC 上一点，2AB BD BC ,E 为线段AD 的中点，连结CE 并延长交AB 于点F .(1)求证：AD ⊥BC .(2)若AF :BF ＝1:3，求证:CD :DB ＝1:2.20．（6分）如图有A 、B 两个大小均匀的转盘，其中A 转盘被分成3等份，B 转盘被分成4等份，并在每一份内标上数字．小明和小红同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线时视为无效，重转），若将A 转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的k ，将B 转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的b ．（1）请用列表或画树状图的方法写出所有的可能；（2）求一次函数y=kx+b 的图象经过一、二、四象限的概率．21．（6分）央视举办的《主持人大赛》受到广泛的关注.某中学学生会就《主持人大赛》节目的喜爱程度，在校内对部分学生进行了问卷调查，并对问卷调查的结果分为“非常喜欢”、“比较喜欢”、“感觉一般”、“不太喜欢”四个等级，分别记作A 、B 、C 、D .根据调查结果绘制出如图所示的扇形统计图和条形统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次被调查对象共有 人；扇形统计图中被调查者“比较喜欢”等级所对应圆心角的度数为 . （2）将条形统计图补充完整，并标明数据；（3）若选“不太喜欢”的人中有两个女生和两个男生，从选“不太喜欢”的人中挑选两个学生了解不太喜欢的原因，请用列举法（画树状图或列表），求所选取的这两名学生恰好是一男一女的概率.22．（8分）如图，点P为O上一点，点C在直径AB的延长线上，且CPB CAP∠=∠，过点A作O的切线，交CP的延长线于点D.()1判断直线CP与O的位置关系，并说明理由；()2若2,4CB CP==，求:①O的半径，②PD的长.23．（8分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的对称轴为x＝12，请你解答下列问题：（1）m＝，抛物线与x轴的交点为．（2）x取什么值时，y的值随x的增大而减小？（3）x取什么值时，y＜0？24．（8分）如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是BC边上的一个动点(不与点B．C重合)，连结AE，并作EF⊥AE，交CD边于点F，连结AF.设BE=x，CF=y.（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）当x为何值时，y的值为2；25．（10分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，△ABC的顶点都在网格线交点上．（1）图中AC边上的高为个单位长度；（2）只用没有刻度的直尺，在所给网格图中按如下要求画图（保留必要痕迹）：①以点C为位似中心，把△ABC按相似比1:2缩小，得到△DEC；②以AB为一边，作矩形ABMN，使得它的面积恰好为△ABC的面积的2倍．26．（10分）如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，且EB BHBG FH，DG∥AB，求证：DF＝BG．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】根据二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，可知二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点两种情况，然后分别计算出c的值即可解答本题．【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，∴二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点，当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点时，(﹣2)2﹣4×1×c＝0，得c＝1；当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与轴有两个公共点，其中一个为原点时，则c＝0，y＝x2﹣2x＝x(x﹣2)，与x轴两个交点，坐标分别为(0，0)，(2，0)；由上可得，c的值是1或0，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数与坐标的交点问题，掌握解二次函数的方法是解题的关键．2、C【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果．【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为9：4，∴它们的相似比为3：1．故选：C．【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．3、D【解析】分析：根据相似三角形的性质进行解答即可．详解：∵在平行四边形ABCD中，∴AE∥CD，∴△EAF∽△CDF，∵12EAFCDFCC，=∴12 AFDF=，∴11123 AFBC==+，∵AF∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴21139EAFEBCSS⎛⎫==⎪⎝⎭，故选D.点睛：考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.4、A【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得m−1≠0，再解即可．【详解】解：由题意得：m﹣1≠0，解得：m≠1，故选：A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．5、B【解析】试题分析：选项A、圆柱的三视图，如图所示，不合题意；选项B、球的三视图，如图所示，符合题意；选项C、圆锥的三视图，如图所示，不合题意；选项D、长方体的三视图，如图所示，不合题意；．故答案选B.考点：简单几何体的三视图．6、C【分析】由C 为弧EB 中点，利用垂径定理的逆定理得到OC 垂直于BE ，根据等弧对等弦得到BC=EC ，再由AB 为直角，利用圆周角定理得到AE 垂直于BE ，进而得到一对直角相等，利用同位角相等两直线平行得到OC 与AE 平行，由AD 为圆的切线，利用切线的性质得到AB 与DA 垂直，利用同角的余角相等得到∠DAE=∠ABE ，根据E 不一定为弧AC 中点，可得出AC 与OE 不一定垂直，即可确定出结论成立的序号．【详解】解：∵C 为BE 的中点，即=BC CE ，∴OC ⊥BE ，BC ＝EC ，选项②正确；设AE 与CO 交于F ，∴∠BFO ＝90°，∵AB 为圆O 的直径，∴AE ⊥BE ，即∠BEA ＝90°，∴∠BFO ＝∠BEA ，∴OC ∥AE ，选项①正确；∵AD 为圆的切线，∴∠DAB ＝90°，即∠DAE+∠EAB ＝90°，∵∠EAB+∠ABE ＝90°，∴∠DAE ＝∠ABE ，选项③正确；点E 不一定为AC 中点，故E 不一定是AC 中点，选项④错误，则结论成立的是①②③，故选：C ．【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定，以及垂径定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 7、B【分析】根据根与系数的关系，即韦达定理可得，易求,从而可得,解可求,再利用根的判别式求出符合题意的.【详解】由题意可得，a=1，b=k ，c=-1，∵1，2x x 满足12112x x +=-，∴121212x x 11==2x x x x ++- ① 根据韦达定理1212x x =1k x x =-1⎧-⎪⎨+⎪⎩ ②把②式代入①式，可得：k=-2故选B.【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题.8、C【分析】根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=12|k|，得出S △AOC =S △ODB =3，再根据反比例函数的对称性可知：OC=OD ，AC=BD ，即可求出四边形ACBD 的面积． 【详解】解：∵过函数6y x =-的图象上A ，B 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为点C ，D ， ∴S △AOC =S △ODB =12|k|=3， 又∵OC=OD ，AC=BD ，∴S △AOC =S △ODA =S △ODB =S △OBC =3，∴四边形ABCD 的面积为=S △AOC +S △ODA +S △ODB +S △OBC =4×3=1．故选C ．【点睛】 本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，一般的，从反比例函数k y x=（k 为常数，k ≠0）图象上任一点P ，向x 轴和y 轴作垂线你，以点P 及点P 的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数k ，以点P 及点P 的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于12k ． 9、B【分析】设应降价x 元，根据题意列写方程并求解可得答案．【详解】设应降价x 元则根据题意，等量方程为：(65－x －45)(30+5x)=800解得：x=4或x=10∵要尽快较少库存，∴x=4舍去故选：B ． 【点睛】本题考查一元二次方程利润问题的应用，需要注意最后有2个解，需要按照题干要求舍去其中一个解． 10、D【分析】根据白球两个，摸出三个球必然有一个黑球.【详解】解：A 袋子中装有4个黑球和2个白球，摸出的三个球中可能为两个白球一个黑球，所以A 不是必然事件； B ．C ．袋子中有4个黑球，有可能摸到的全部是黑球，B 、C 有可能不发生，所以B 、C 不是必然事件； D ．白球只有两个，如果摸到三个球不可能都是白梂，因此至少有一个是黑球，D 正确． 故选D ． 【点睛】本题考查随机事件，解题关键在于根据题意对选项进行判断即可.二、填空题(每小题3分,共24分) 11、a ＜2且a≠1．【分析】利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出a 的取值范围． 【详解】试题解析：∵关于x 的一元二次方程（a-1）x 2-2x+l=0有两个不相等的实数根， ∴△=b 2-4ac ＞0，即4-4×（a-2）×1＞0， 解这个不等式得，a ＜2， 又∵二次项系数是（a-1）， ∴a≠1．故a 的取值范围是a ＜2且a≠1． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两不等的实数根，得到判别式大于零，求出a 的取值范围，同时方程是一元二次方程，二次项系数不为零． 12、45【分析】由抛物线的解析式易求出点A 、B 、C 的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC 的解析式，过点P 作PQ ∥x 轴交直线BC 于点Q ，则△PQK ∽△ABK ，可得PK PQAK AB =，而AB 易求，这样将求PK AK的最大值转化为求PQ 的最大值，可设点P 的横坐标为m ，注意到P 、Q 的纵坐标相等，则可用含m 的代数式表示出点Q 的横坐标，于是PQ 可用含m 的代数式表示，然后利用二次函数的性质即可求解. 【详解】解：对二次函数2339(1)(4)3444y x x x x =-+-=-++，令x =0，则y =3，令y =0，则3(1)(4)04x x -+-=， 解得：121,4x x =-=，∴C (0，3)，A (－1，0)，B (4，0)， 设直线BC 的解析式为：y kx b =+，把B 、C 两点代入得：340b k b =⎧⎨+=⎩，解得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为：334y x =-+，过点P 作PQ ∥x 轴交直线BC 于点Q ，如图， 则△PQK ∽△ABK ，∴PK PQAK AB=， 设P （m ，239344m m -++），∵P 、Q 的纵坐标相等， ∴当239344y m m =-++时，233933444x m m -+=-++， 解得：23x m m =-，∴()2234PQ m m m m m =--=-+， 又∵AB =5，∴()224142555PK m m m AK -+==--+. ∴当m =2时，PK AK的最大值为45.故答案为：45.【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点、二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定和性质等知识，难度较大，属于填空题中的压轴题，解题的关键是利用相似三角形的判定和性质将所求PKAK的最大值转化为求PQ 的最大值、熟练掌握二次函数的性质. 13、 (0，2+1)【分析】将△OAN 绕点O 逆时针旋转90°，点N 对应N′，点A 对应A′，由旋转和正方形的性质即可得出点A′与点C 重合，以及F 、C 、N′共线，通过角的计算即可得出∠N'OF ＝∠NOF ＝45°，结合ON′＝ON 、OF ＝OF 即可证出△N'OF ≌△NOF （SAS ），由此即可得出N′M ＝NF ＝1，再由△OCF ≌△OAN 即可得出CF ＝N ，通过边与边之间的关系即可得出BN ＝BF ，利用勾股定理即可得出BN ＝BF ＝2，设OC ＝a ，则N′F ＝1CF ＝1（a ﹣2），由此即可得出关于a 的一元一次方程，解方程即可得出点C 的坐标．【详解】将△OAN 绕点O 逆时针旋转90°，点N 对应N′，点A 对应A′，如图所示．∵OA ＝OC ，∴OA′与OC 重合，点A′与点C 重合． ∵∠OCN′+∠OCF ＝180°， ∴F 、C 、N′共线．∵∠COA ＝90°，∠FON ＝45°， ∴∠COF+∠NOA ＝45°． ∵△OAN 旋转得到△OCN′， ∴∠NOA ＝∠N′OC ， ∴∠COF+∠CON'＝45°， ∴∠N'OF ＝∠NOF ＝45°． 在△N'OF 与△NOF 中，ON ON N OF NOF OF OF '∠'∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△N′OF≌△NOF（SAS），∴NF＝N'F＝1．∵△OCF≌△OAN，∴CF＝AN．又∵BC＝BA，∴BF＝BN．又∠B＝90°，∴BF1+BN1＝NF1，∴BF＝BN＝．设OC＝a，则CF＝AN＝a．∵△OAN旋转得到△OCN′，∴AN＝CN'＝a，∴N'F＝1（a），又∵N'F＝1，∴1（a）＝1，解得：a+1，∴C（0+1）．故答案是：（0+1）．【点睛】本题考查了反比例函数综合题，涉及到了全等三角形的判定与性质、旋转的性质以及勾股定理，解题的关键是找出关于a的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键．14、米．【分析】首先根据斜面坡度为i＝16m时的铅直高度，再利用勾股定理计算出斜坡相邻两树间的坡面距离．【详解】由题意水平距离为6米，铅垂高度米，（m），故答案为：43米．【点睛】此题考查解直角三角形的应用，解题关键是掌握计算法则．15、1【分析】直接以概率求法得出关于x的等式进而得出答案．【详解】解：由题意得：6263x=+，解得3x=，故答案为：1．【点睛】本题考查了概率的意义，正确把握概率的求解公式是解题的关键．16、3【解析】根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义运算【详解】原式=182⨯+1=2+1=3.【点睛】本题考查了二次根式的混合计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算．17、1．【详解】解：如图：由题意得，BC：AC=3：2．∴BC：AB=3：3．∵AB=10，∴BC=1．故答案为：1【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题．18、93【解析】试题分析：连接OB ，过B 作BM ⊥OA 于M ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠AOB=10°． ∵OA=OB ，∴△AOB 是等边三角形． ∴OA=OB=AB=1．∴BM=OB•sin ∠BOA=1×sin10°=33，OM=OB•CO S10°=2． ∴B 的坐标是（2，33）． ∵B 在反比例函数位于第一象限的图象上， ∴k=2×33=．三、解答题(共66分) 19、 (1)见解析；（2）见解析.【分析】（1）由等积式转化为比例式，再由相似三角形的判定定理，证明△ABD ∽CBA,从而得出∠ADB=∠CAB=90°； （2）过点D 作DG ∥AB 交CF 于点G ,由E 为AD 的中点，可得△DGE ≌△AFE ，得出AF=DG ，再由平行线分线段成比例可得出结果.【详解】证明：（1）∵AB 2=BD ·BC ， ∴,AB BCBD AB又∠B=∠B, ∴△ABD ∽CBA ， ∴∠ADB=∠CAB=90°， ∴AD ⊥BC.（2）过点D 作DG ∥AB 交CF 于点G , ∵E 为AD 的中点， ∴易得△DGE ≌△AFE ，∴AF=DG，又AF:BF＝1:3,∴DG:BF＝1:3.∵DG∥BF，∴DG：BF=CD:BC=1：3，∴CD:DB＝1:2.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，遇到比例式或等积式就要考虑转化为三角形相似来解决问题.20、（1）答案见解析；（2）13．【分析】（1）k可能的取值为-1、-2、-3，b可能的取值为-1、-2、3、4，所以将所有等可能出现的情况用列表方式表示出来即可．（2）判断出一次函数y=kx+b经过一、二、四象限时k、b的正负，在列表中找出满足条件的情况，利用概率的基本概念即可求出一次函数y=kx+b经过一、二、四象限的概率．【详解】解：（1）列表如下：所有等可能的情况有12种；（2）一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限时，k＜0，b＞0，情况有4种，则P=412=13．21、（1）50；144；（2）详见解析；（3）23.【分析】（1）根据A组的人数及占比即可求解被调查对象的总人数，再求出D，B的占比即可求出被调查者“比较喜欢”等级所对应圆心角的度数；（2）求出各组的人数即可作图；（3）根据题意列表表示出所有情况，再利用概率公式即可求解.【详解】（1）本次被调查对象共有16÷32%=50，D 的占比为4 ÷50=8%， 故B 的占比为1-32%-20%-8%=40%∴扇形统计图中被调查者“比较喜欢”等级所对应圆心角的度数为360°×40%=144°， 故答案为：50；144（2）B 组的人数为50×40%=20（人）， C 组的人数为50×20%=10（人）， ∴补全条形统计图如下：（3）依题意列表： 男1 男2女1女2男1（男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1）（男2，女1） （男2，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2）（女1，女2） 女2（女2，男1）（女2，男2）（女2，女1）∴P （恰好选中一名男生和一名女生）123==. 【点睛】此题主要考查统计调查及概率的求解，解题的关键是根据题意列出表格表示所有情况. 22、 (1) 直线CP 与O 相切；见解析（2）①3；②6.【分析】（1）首先由圆的性质得出PBA BPO ∠=∠，然后由圆内接直角三角形得出90PAB PBA ∠+∠=︒，90CPB BPO ∠+∠=︒，进而得出OP CE ⊥，即可判定其相切；（2）①首先根据根据元的性质得出OPB OBP ∠=∠，BPC PAB ∠=∠，进而可判定CPB CAP ，即可得出半径；②首先由OP 、OB 得出OC ，然后由切线性质得出DA AC ⊥，再由90OPC DAC ∠=∠=︒判定,OCPDCA 进而利用相似性质构建方程，即可得解. 【详解】()1直线CP 与O 相切；理由:连接OP ，OP OB =，PBA BPO ∴∠=∠，AB 是O 的直径，90APB ∴∠=︒，90PAB PBA ∠∴∠+=︒， CPB CAP ∠=∠， 90CPB BPO ∴∠+∠=︒， 90CPO ∴∠=︒即OP CE ⊥，P 为O 上的一点， ∴直线CP 与O 相切；()2①OP OB =，OPB OBP ∴∠=∠，90,90BPC OPB PAB ABP ∠+∠=︒∠+∠=︒，BPC PAB ∴∠=∠， PCB ACP ∠=∠， CPBCAP ∴，2CP CBAC CB CP∴==826AB AC BC ∴=-=-=，∴圆的半径为3;②3OP OB ==，5OC OB BC ∴=+=，∵过点A 作的O 切线交CD 的延长线于点D ，DA AC ∴⊥，,OP CD ⊥90OPC DAC ∴∠=∠=︒,OCP DCA ∠=∠ ,OCPDCA ∴CP OC CA DC ∴=，即458DC= 10,DC ∴=104 6.PD DC CP ∴=-=-=【点睛】此题主要考查直线和圆的位置关系以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握。

2022年江苏省南京树人中学数学九上期末质量跟踪监视试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列事件中是不可能事件的是（ ）A ．三角形内角和小于180°B ．两实数之和为正C ．买体育彩票中奖D ．抛一枚硬币2次都正面朝上 2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=32，则∠A 的度数是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°3．若点B 是直线2y x =-+上一点，已知()0,2A -，则AB OB +的最小值是（ ）A ．4B ．25C ．23D ．24．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，若AC ＝8，CE ＝12，BD ＝6，则BF 的值是（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17 5．已知tan 3a =a =（ ） A ．60︒ B ．30 C ．45︒ D ．90︒6．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A 18B 13C 10D 0.37．如图，在Rt OAB 中，OA AB =，90OAB ∠=︒，点P 从点O 沿边OA ，AB 匀速运动到点B ，过点P 作PC OB ⊥交OB 于点G ，线段22AB =OC x =，POC S y =△，则能够反映y 与x 之间函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．关于反比例函数2y x =-图象，下列说法正确的是( ) A ．必经过点()2,1 B ．两个分支分布在第一、三象限C ．两个分支关于x 轴成轴对称D ．两个分支关于原点成中心对称 9．如图，以点O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF ，若AD ＝OA ，则△ABC 与△DEF 的面积之比为 ( )A ．1:2B ．1:4C ．1:5D ．1:610．已知M(1，2)，则M 关于原点的对称点N 落在（ ）A ．2y x =的图象上B ．2y x 的图象上C ．22y x =的图象上D ．2y x =+的图象上二、填空题(每小题3分,共24分)11．在平面直角坐标系中，点,A B 的坐标分别是()()4,25,0A B ,，以点O 为位似中心，相们比为12，把ABO 缩小，得到11A B O ，则点A 的对应点1A 的坐标为_____．12．已知二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象如图所示，有下列结论：abc 0<①，2a b 0+=②，a b c 0-+=③；24ac b 0->④，4a 2b c 0++>⑤，其中正确的结论序号是______13．阅读对话，解答问题：分别用、表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，则在（，）的所有取值中使关于的一元二次方程220x ax b -+=有实数根的概率为_________．14．如图，四边形ABCD 是矩形，4AB =，22AD =，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交CD 于点E ，交AD 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是________．15．如图所示，在△ABC 中，BC=6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ=13CE 时，EP+BP= ．16．若23a b =，则a b b +＝_____． 17．已知x ＝﹣1是方程x 2﹣2mx ﹣3＝0的一个根，则该方程的另一个根为_____．18．利用标杆CD 测量建筑物的高度的示意图如图所示，使标杆顶端的影子与建筑物顶端的影子恰好落在地面的同一点E ．若标杆CD 的高为1.5米，测得DE ＝2米，BD ＝16米，则建筑物的高AB 为_____米．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，一面利用墙，用篱笆围成的矩形花圃ABCD 的面积为Sm 2，垂直于墙的AB 边长为xm ．（1）若墙可利用的最大长度为8m ，篱笆长为18m ，花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形．①求S 与x 之间的函数关系式；②如何围矩形花圃ABCD 的面积会最大，并求最大面积．（2）若墙可利用最大长度为50m ，篱笆长99m ，中间用n 道篱笆隔成（n +1）小矩形，当这些小矩形都是正方形且x 为正整数时，请直接写出所有满足条件的x 、n 的值．20．（6分）如图，边长为3正方形OACD 的顶点O 与原点重合，点,D A 在x 轴，y 轴上。

2022年江苏省南京市树人中学数学九上期末监测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每题4分，共48分）1．已知如图，ABC 中，AB AC =，点D 在AB 边上，且AD BD BC ==，则A ∠的度数是（ ）．A ．18︒B ．36︒C ．54︒D ．72︒2．关于抛物线y ＝x 2﹣6x +9，下列说法错误的是（ ）A ．开口向上B ．顶点在x 轴上C ．对称轴是x ＝3D ．x ＞3时，y 随x 增大而减小 3．点P (-6，1)在双曲线k y x=上，则k 的值为( ) A ．-6 B ．6 C ．16- D ．164．国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意列方程得（ ）A ．()9121x -=B ．()2911x -=C ．()9121x +=D ．()2911x += 5．在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，现给出以下结论：①0abc >；②20b a +=；③930a b c -+=；④2a b c am bm c -+++（m 为实数）其中结论错误的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．2(1)x x x -=B ．x 2=0C ．x 2-2y=1D ．11x x=- 7．如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab ＜0；②2a+b=0；③3a+c ＞0；④a+b≥m （am+b ）（m 为实数）；⑤当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①②⑤C ．②③④D ．③④⑤8．抛物线y =x 2+bx +c 过(-2，0)，(2，0)两点，那么抛物线对称轴为（ ）A ．x =1B ．y 轴C ．x = -1D ．x =-29．如图，四边形ABCD 中，90BAD ACB ∠=∠=，AB AD =，4AC BC =，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ）A ．2225y x =B ．2425y x =C ．225y x =D ．245y x = 10．下列成语描述的事件为随机事件的是（ ）A ．水涨船高B ．守株待兔C ．水中捞月D ．缘木求鱼11．已知正方形的边长为4cm ，则其对角线长是（）A ．8cmB ．16cmC ．32cmD ．4212．若关于x 的一元二次方程2740x x ++=的两根是12x x 、，则1211+x x 的值为( ) A ．74- B ．74 C ．7332-+ D ．7332-- 二、填空题（每题4分，共24分）13．某一建筑物的楼顶是“人”字型，并铺上红瓦装饰．现知道楼顶的坡度超过0.5时，瓦片会滑落下来．请你根据图中数据判断这一楼顶铺设的瓦片是否会滑落下来？________．（填“会”或“不会”）14．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上，点A 、B 的度数分别为86︒、30，则ACB ∠的大小为___________15．如图,利用标杆BE 测量建筑物的高度,已知标杆BE 高1.2m ,测得 1.6,12.4AB m BC m ==,则建筑物CD 的高是__________m ．16．如图，在矩形ABCD 中，2,3AB BC ==，点E F G H 、、、分别在矩形ABCD 的各边上，//// ,////EF HG AC EH FG BD ，则四边形EFGH 的周长是______________．17．已 知二次函数 y =ax 2－bx ＋2(a ≠0) 图象的顶点在第二象限，且过点（1，0），则a 的取值范围是 _________；若a ＋b 的值为非零整数，则 b 的值为 _________．18．若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m ＝0没有实数根，则m 的取值范围是_____．三、解答题（共78分）19．（8分）学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A ：特别好，B ：好，C ：一般，D ：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图1,2）．请根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，王老师一共调查了 名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，王老师从被调查的A 类和D 类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．20．（8分）京剧脸谱是京剧艺术独特的表现形式．京剧表演中，经常用脸谱象征人物的性格，品质，甚至角色和命运．如红脸代表忠心耿直，黑脸代表强悍勇猛．现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红脸”，另外一张卡片的正面图案为“黑脸”，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率．（图案为“红脸”的两张卡片分别记为A 1、A 2，图案为“黑脸”的卡片记为B ）21．（8分）已知抛物线245y x x --＝与y 轴交于点C ． (1)求点C 的坐标和该抛物线的顶点坐标；(2)若该抛物线与x 轴交于,A B 两点，求ABC 的面积S ；(3)将该抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，求平移后的抛物线的解析式（直接写出结果即可）．22．（10分）如图，小明在地面A 处利用测角仪观测气球C 的仰角为37°，然后他沿正对气球方向前进了40m 到达地面B 处，此时观测气球的仰角为45°．求气球的高度是多少？参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.7523．（10分）某居民小区要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为32m 的栅栏围成（如图所示）．如果墙长16m ，满足条件的花园面积能达到120m 2吗？若能，求出此时BC 的值；若不能，说明理由．24．（10分）小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做掷骰子（质地均匀的正方体）实验．()1他们在一次实验中共掷骰子60次，试验的结果如下： 朝上的点数1 2 3 4 5 6 出现的次数 7 9 6 8 20 10 ①填空：此次实验中“5点朝上”的频率为________；②小红说：“根据实验，出现5点朝上的概率最大．”她的说法正确吗？为什么？()2小颖和小红在实验中如果各掷一枚骰子，那么两枚骰子朝上的点数之和为多少时的概率最大？试用列表或画树状图的方法加以说明，并求出其最大概率．25．（12分）已知关于x 的方程()23220x k x k -+++= （1）求证：方程总有两个实数根（2）若方程有一个小于1的正根，求实数k 的取值范围26．. 在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同．（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为；（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M 所有可能的坐标，并求出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理可列出方程求解.【详解】设∠A=x．∵AD=BD，∴∠ABD=∠A=x；∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x；∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCD=2x，∴∠DBC=x；∵x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠A=36°故选：B【点睛】考核知识点：等腰三角形性质.熟练运用等腰三角形基本性质是关键.2、D【分析】直接利用二次函数的性质进而分别分析得出答案．【详解】解：22693y x x x ， 则a=1＞0，开口向上，顶点坐标为：（3，0），对称轴是x=3，故选项A ，B ，C 都正确，不合题意；x ＞3时，y 随x 增大而增大，故选项D 错误，符合题意．故选：D ．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握相关性质是解题关键．3、A【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可直接得到答案．【详解】解：∵点P （61-，）在双曲线k y x =上， ∴616k =-⨯=-；故选：A.【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ． 4、B【分析】等量关系为：2016年贫困人口()212018⨯-=下降率年贫困人口，把相关数值代入计算即可．【详解】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意得：()2911x -=，故选B ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．5、B【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由抛物线可知： 0a >，0c <， 对称轴02b x a=-<， ∴0b >，∴0abc <，故①错误；②由对称轴可知： 12b a -=-， ∴2b a =， 20b a ∴-=，故②错误；③()1,0关于1x =-的对称点为()3,0-，∴3x =-时，930y a b c =-+=，故③正确；④当1x =-时，y 的最小值为a b c -+，∴x m =时， 2y am bm c =++， ∴2a b c am bm c -+≤++，故④正确故选：B.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，结合图象得出系数之间的关系是解题的关键.6、B【解析】利用一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，可求解．【详解】解：A ：()21x x x -=，化简后是：x 0-=，不符合一元二次方程的定义，所以不是一元二次方程； B ：x 2=0，是一元二次方程；C ：x 2-2y=1含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，所以不是一元二次方程；D ：11x x=-，分母含有未知数，是一元一次方程，所以不是一元二次方程； 故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．7、A【分析】由抛物线的开口方向判断a 与2的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与2的关系，然后根据对称轴判定b 与2的关系以及2a+b=2；当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ；然后由图象确定当x 取何值时，y ＞2．【详解】①∵对称轴在y 轴右侧，∴a 、b 异号，∴ab ＜2，故正确； ②∵对称轴1,2b x a=-= ∴2a+b=2；故正确；③∵2a+b=2，∴b=﹣2a ，∵当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＜2，∴a ﹣（﹣2a ）+c=3a+c ＜2，故错误；④根据图示知，当m=1时，有最大值；当m≠1时，有am 2+bm+c≤a+b+c ，所以a+b≥m （am+b ）（m 为实数）．故正确．⑤如图，当﹣1＜x ＜3时，y 不只是大于2．故错误．故选A ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当a ＞2时，抛物线向上开口；当a ＜2时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞2），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜2），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于（2，c ）． 8、B【分析】由二次函数图像与x 轴的交点坐标，即可求出抛物线的对称轴．【详解】解：∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴的交点是（-2，0）和（2，0），∴这条抛物线的对称轴是：x=(2)202-+=， 即对称轴为y 轴；故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题．对于求抛物线的对称轴的题目，可以用公式法，也可以将函数解析式化为顶点式求得，或直接利用公式x=122x x +求解． 9、C【分析】四边形ABCD 图形不规则，根据已知条件，将△ABC 绕A 点逆时针旋转90°到△ADE 的位置，求四边形ABCD 的面积问题转化为求梯形ACDE 的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE ，下底AC ，高DF 分别用含x 的式子表示，可表示四边形ABCD 的面积．【详解】作AE ⊥AC ，DE ⊥AE ，两线交于E 点，作DF ⊥AC 垂足为F 点，∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE∴∠BAC=∠DAE又∵AB=AD ，∠ACB=∠E=90°∴△ABC ≌△ADE （AAS ）∴BC=DE ，AC=AE ，设BC=a ，则DE=a ，DF=AE=AC=4BC=4a ，CF=AC-AF=AC-DE=3a ，在Rt △CDF 中，由勾股定理得，CF 1+DF 1=CD 1，即（3a ）1+（4a ）1=x 1，解得：a=5x ， ∴y=S 四边形ABCD =S 梯形ACDE =12×（DE+AC ）×DF=12×（a+4a）×4a=10a1=25x1．故选C．【点睛】本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，勾股定理在解题中的作用．10、B【解析】试题解析：水涨船高是必然事件，A不正确；守株待兔是随机事件，B正确；水中捞月是不可能事件，C不正确缘木求鱼是不可能事件，D不正确；故选B．考点：随机事件.11、D【分析】作一个边长为4cm的正方形，连接对角线，构成一个直角三角形如下图所示：由勾股定理得AC2=AB2+BC2，求出AC的值即可．【详解】解：如图所示：四边形ABCD是边长为4cm的正方形，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=2244=42cm．所以对角线的长：AC=42cm．故选D．12、A【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系即可求解.【详解】由题意可得：121274x x x x +=-⎧⎨⋅=⎩则2112121174x x x x x x =+⋅+=- 故选：A. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，对于一般形式20(a 0)++=≠ax bx c ，设其两个实数根分别为12,x x ，则方程的根与系数的关系为：1212,b c x x x x a a+=-⋅=.二、填空题（每题4分，共24分） 13、不会【分析】根据斜坡的坡度的定义，求出坡度，即可得到答案． 【详解】∵∆ABC 是等腰三角形，AB=AC=13m ，AH ⊥BC ， ∴CH=12BC=12m ， ∴5=m ， ∴楼顶的坡度=50.512AH CH =<， ∴这一楼顶铺设的瓦片不会滑落下来． 故答案是：不会． 【点睛】本题主要考查斜坡坡度的定义，掌握坡度的定义，是解题的关键． 14、28︒【分析】设半圆圆心为O ，连OA ，OB ，则∠AOB ＝86°−30°＝56°，根据圆周角定理得∠ACB ＝12∠AOB ，即可得到∠ACB 的大小．【详解】设半圆圆心为O ，连OA ，OB ，如图， ∵∠ACB ＝12∠AOB ， 而∠AOB ＝86°−30°＝56°， ∴∠ACB ＝12×56°＝28°． 故答案为：28°．【点睛】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半． 15、10.5【解析】先证△AEB ∽△ABC ，再利用相似的性质即可求出答案. 【详解】解：由题可知，BE ⊥AC ，DC ⊥AC ∵BE //DC ， ∴△AEB ∽△ADC ， ∴BE ABCD AC=， 即：1.2 1.61.612.4CD =+， ∴CD ＝10.5（m ）. 故答案为10.5. 【点睛】本题考查了相似的判定和性质.利用相似的性质列出含所求边的比例式是解题的关键. 16、13【分析】根据矩形的对角线相等，利用勾股定理求出对角线的长度，然后根据平行线分线段成比例定理列式表示EF 、EH 的长度之和，再根据四边形EFGH 是平行四边形，即可得解． 【详解】解：∵矩形ABCD 中，2,3AB BC ==， 由勾股定理得：22222313=+=+=AC BD AB AC∵EF ∥AC ， ∴=EF EBAC AB， ∵EH ∥BD ，∴=EH AEBD AB， ∴1+=+=EF EH EB AEAC BD AB AB，∴+==EF EH AC ∵EF ∥HG ，EH ∥FG ， ∴四边形EFGH 是平行四边形，∴四边形EFGH 的周长=2()+=EF EH故答案为： 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、矩形的对角线相等和勾股定理，根据平行线分线段成比例定理得出1+=EF EHAC BD是解题的关键，也是本题的难点． 17、20a -<< 3CAB π∠=【分析】根据题意可得a <0，再由02ba>可以得到b >0，把（1，0）函数得a −b +2=0，导出b 和a 的关系，从而解出a 的范围，再根据a ＋b 的值为非零整数的限制条件，从而得到a,b 的值. 【详解】依题意知a <0,02ba> ，a −b +2=0， 故b >0，且b =a +2，a =b −2，a +b =a +a +2=2a +2， ∴a +2>0， ∴−2<a <0， ∴−2<2a +2<2， ∵a +b 的值为非零实数， ∴a +b 的值为−1，1， ∴2a +2=−1或2a +2=1，32a ∴=- 或12a =- ，∵b =a +2，12b ∴=或32b =18、m ＞4【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：△＜0， ∴()2=441640m m ∆--=<﹣， ∴m ＞4故答案为：m＞4【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式．三、解答题（共78分）19、（1）20；（2）作图见试题解析；（3）12．【分析】（1）由A类的学生数以及所占的百分比即可求得答案；（2）先求出C类的女生数、D类的男生数，继而可补全条形统计图；（3）首先根据题意列出表格，再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况，继而求得答案．【详解】（1）根据题意得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%=20（名）；故答案为20；（2）∵C类女生：20×25%﹣2=3（名）；D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1=1（名）；如图：（3）列表如下：A类中的两名男生分别记为A1和A2，男A1男A2女A男D 男A1男D 男A2男D 女A男D女D 男A1女D 男A2女D 女A女D共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为：62．20、4 9【分析】根据题意画出树状图，求出所有的情况数和两次抽取的卡片上都是“红脸”的情况数，再根据概率公式计算【详解】画树状图为：由树状图可知，所有可能出现的结果共有9种，其中两次抽取的卡片上都是“红脸”的结果有4种，所以P (两张都是“红脸”)49=， 答：抽出的两张卡片上的图案都是“红脸”的概率是49． 【点睛】本题考查了概率的求法．用到的知识点为数状图和概率，概率=所求情况数与总情况数之比，关键是根据题意画出树状图．21、（1）（0，5）；2,9（﹣）；（2）15；（3）226y x x --＝【分析】(1)令x=0即可得出点C 的纵坐标，从而得出点C 的坐标；利用配方法将抛物线表达式进行变形即可得出顶点坐标(2)求出A ，B 两点的坐标，进而求出A 与B 的距离，由C 点坐标可知OC 的长，即可得出答案 (3)根据平移的规律结合原抛物线表达式 ()224529y x x x ＝﹣﹣＝﹣﹣即可得出答案.【详解】解：（Ⅰ）当0x ＝时，5y =-，故点0,5C （），则抛物线的表达式为：()224529y x x x ＝﹣﹣＝﹣﹣，故顶点坐标为：2,9（﹣）； (2)令0y ＝，解得：1x =-或5， 则6,5AB OC ＝＝，则11651522S AB OC ⨯⨯⨯⨯＝＝＝； (3)∵()224529y x x x ＝﹣﹣＝﹣﹣∴平移后的抛物线表达式为：()22219226y x x x +-+--＝﹣＝ 【点睛】本题考查的知识点是二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，此题较为基础，易于掌握.【分析】在Rt △ACD 和Rt △BCD 中，设CD ＝x ，分别用x 表示AD 和BD 的长度，然后根据已知AB ＝40m ，列出方程求出x 的值，继而可求得气球离地面的高度． 【详解】设CD ＝x ， 在Rt △BCD 中， ∵∠CBD ＝45°， ∴BD ＝CD ＝x ， 在Rt △ACD 中， ∵∠A ＝37°， ∴tan37°＝CDAD， ∴AD ＝0.75x， ∵AB ＝40m ， ∴AD ﹣BD ＝0.75x﹣x ＝40， 解得：x ＝120，∴气球离地面的高度约为120（m ）． 答：气球离地面的高度约为120m ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形． 23、花园的面积能达到20m 2，此时BC 的值为2m ．【分析】设AB =xm ，则BC =(32﹣2x )m ，根据矩形的面积公式结合花园面积为20m 2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，结合墙的长度可确定x 的值，进而可得出BC 的长度． 【详解】设AB =xm ，则BC =(32﹣2x )m ， 依题意，得：x (32﹣2x )=20， 整理，得：x 2﹣16x +60=0， 解得：x 1=6，x 2=1． ∵32﹣2x ≤16， ∴x ≥8，∴x =1，32﹣2x =2．答：花园的面积能达到20m 2，此时BC 的值为2m ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 24、（1）①13；②说法是错误的．理由见解析；(2)16．【解析】（1）①让5出现的次数除以总次数即为所求的频率；②根据概率的意义，需要大量实验才行； （2）列举出所有情况，比较两枚骰子朝上的点数之和的情况数，进而让最多的情况数除以所有情况数的即可． 【详解】解：()1①120603÷=； ②说法是错误的．在这次试验中，“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大．因为当试验的次数较大时，频率稳定于概率，但并不完全等于概率．()2由表格可以看出，总情况数有36种，之和为7的情况数最多，为6种， 所以P （点数之和为7）61366==． 【点睛】考查用列表格的方法解决概率问题及概率的意义;用到的知识点为:概率是大量实验下一个稳定的值;数学中概率等于所求情况数与总情况数之比.25、（1）证明见解析；（2）10k -<<【分析】（1）证出根的判别式240b ac ∆=-≥即可完成； （2）将k 视为数，求出方程的两个根，即可求出k 的取值范围. 【详解】（1）证明：1,(3),22a b k c k ==-+=+22224[(3)]41(22)21(1)0b ac k k k k k ∆=-=-+-⨯⨯+=-+=-≥∴方程总有两个实数根（2）()23220x k x k -+++=∴3(1)2k k x +±-=∴121,2x k x =+= ∵方程有一个小于1的正根 ∴011k <+< ∴10k -<< 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键. 26、（1）；（2）列表见解析，.【解析】试题分析：（1）一共有3种等可能的结果总数，摸出标有数字2的小球有1种可能，因此摸出的球为标有数字2的小球的概率为；（2）利用列表得出共有9种等可能的结果数，再找出点M 落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数，可求得结果.试题解析：（1）P （摸出的球为标有数字2的小球）=；（2）列表如下： 小华 小丽 -12-1 （-1，-1）（-1，0） （-1，2） 0 （0，-1）（0，0） （0，2） 2（2，-1）（2，0）（2，2）共有9种等可能的结果数，其中点M 落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数为6， ∴P （点M 落在如图所示的正方形网格内）==.考点：1列表或树状图求概率；2平面直角坐标系.。

江苏省南京师范大附属中学2022-2023学年九年级数学第一学期期末复习检测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．2020年的除夕是晴天B ．太阳从东边升起C ．打开电视正在播放新闻联播D ．在一个都是白球的盒子里，摸到红球2．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，且90ABC ∠=︒，CA x ⊥轴，点C 在函数()0k y x x =>的图象上，若1AB =，则k 的值为( )A ．2B ．1C ．2D ．223．二次函数y ＝ax 2+bx+4（a≠0）中，若b 2＝4a ，则（ ）A ．y 最大＝5B ．y 最小＝5C ．y 最大＝3D ．y 最小＝34．如图，BC 是⊙O 的直径，点A 、D 在⊙O 上，若∠ADC ＝48°，则∠ACB 等于（ ）度．A ．42B ．48C ．46D ．505．如图，将Rt △ABC （其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A 按顺时针方向旋转到△AB 1C 1的位置，使得点C 、A 、B 1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）A ．55°B ．70°C ．125°D ．145° 6．若反比例函数1y x =的图象上有两点P 1（1，y 1）和P 2（2，y 2），那么（ ） A ．y 1＞y 2＞0 B ．y 2＞y 1＞0 C ．y 1＜y 2＜0 D ．y 2＜y 1＜07．一个圆柱和一个正方体按如图所示放置，则其俯视图为（ ）A ．B ．C ．D ．8．某水库大坝高20米，背水坝的坡度为1:3 ）A ．40米B ．60米C ． 33D ． 2039．一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：()1将圆形纸片左右对折，折痕为AB ，如图()2．()2将圆形纸片上下折叠，使A 、B 两点重合，折痕CD 与AB 相交于M ，如图()3．()3将圆形纸片沿EF 折叠，使B 、M 两点重合，折痕EF 与AB 相交于N ，如图()4．()4连结AE 、AF 、BE 、BF ，如图()5．经过以上操作，小芳得到了以下结论：CD //EF ①；②四边形MEBF 是菱形；AEF ③为等边三角形；AEBF S 四边形④：BEMF S 33=扇形π．以上结论正确的有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，在ABC 中，DE BC ∥，若4=AD ，6BD =，则ADE S 与ABC S 的比是（ ）A ．2:3B ．2:5C ．4:9D ．4:25二、填空题(每小题3分,共24分)11．某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC 的高度，在点F 处竖立一根长为1．5米的标杆DF ，如图所示，量出DF 的影子EF 的长度为1米，再量出旗杆AC 的影子BC 的长度为6米，那么旗杆AC 的高度为_______米．12．如果x ：y ＝1：2，那么x y y+＝_____． 13．若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____． 14．若x 1，x 2是一元二次方程2x 2＋x －3＝0的两个实数根，则x 1＋x 2＝____．15．如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，则AE 的长为 ．16．一元二次方程x 2＝2x 的解为________．1721x -x 的取值范围为_____．18．如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，若AB∥CD，AOB与COD面积分别为8和18，若双曲线y＝kx恰好经过BC的中点E，则k的值为_____．三、解答题(共66分)19．（10分）新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某市某品牌新能源汽车经销商1至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售150辆，3月份销售216辆．（1）求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率；（2）若该品牌新能源汽车的进价为6.3万元/辆，售价为6.8万元/辆，则该经销商1至3月份共盈利多少万元？20．（6分）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D．连接AD，BD．求四边形ABCD的面积.21．（6分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0），B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．（1）求抛物线的表达式；（2）求△ABC的面积；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．22．（8分）如图，一次函数y kx b =+与反比例函数m y x=的图象交于A （2，1），B （-1，n ）两点．（1）求m 、k 、b 的值；（2）连接OA 、OB ，计算三角形OAB 的面积；（3）结合图象直接写出不等式的解集．23．（8分）小明想要测量一棵树DE 的高度，他在A 处测得树顶端E 的仰角为30°，他走下台阶到达C 处，测得树的顶端E 的仰角是60°．已知A 点离地面的高度AB ＝2米，∠BCA ＝30°，且B ，C ，D 三点在同一直线上．求树DE 的高度；24．（8分）已知：在⊙O 中，弦AC ⊥弦BD ，垂足为H ，连接BC ，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，DE 交AC 于点F（1）如图1，求证：BD 平分∠ADF ；（2）如图2，连接OC ，若AC ＝BC ，求证：OC 平分∠ACB ；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB ，过点D 作DN ∥AC 交⊙O 于点N ，若AB ＝10，DN ＝1．求sin ∠ADB 的值．25．（10分）如图，一次函数y ＝﹣2x +8与反比例函数k y x=(x ＞0)的图象交于A (m ，6)，B (3，n )两点，与x 轴交于D 点．（1）求反比例函数的解析式．（2）在第一象限内，根据图象直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x 的取值范围．26．（10分）已知一次函数()21y kx k =-+的图象与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数1k y x+=-的图象分别交于C 、D 两点． （1）如图，当1k =，点P 在线段AB 上（不与点A 、B 重合）时，过点P 作x 轴和y 轴的垂线，垂足为M 、N ．当矩形OMPN 的面积为2时，求出点P 的位置；（2）如图，当1k =时，在x 轴上是否存在点E ，使得以A 、B 、E 为顶点的三角形与BOC ∆相似？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，说明理由；（3）若某个等腰三角形的一条边长为5，另两条边长恰好是两个函数图象的交点横坐标，求k 的值．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】根据必然事件和随机事件的概念进行分析．【详解】A选项：2020年的元旦是晴天，属于随机事件，故不合题意；B选项：太阳从东边升起，属于必然事件，故符合题意；C选项：打开电视正在播放新闻联播，属于随机事件，故不合题意；D选项：在一个都是白球的盒子里，摸到红球，属于不可能事件，故不合题意．故选：B．【点睛】考查了确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件；注：事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．2、B【分析】根据题意可以求得OA和AC的长，从而可以求得点C的坐标，进而求得k的值，本题得以解决．【详解】解：∵三角形ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，CA⊥x轴，AB=1，∴∠BAC=∠BAO=45°，∴OA=OB= AC==∴点C的坐标为(2∵点C在函数kyx=（x＞0）的图象上，∴k=2故选：B．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3、D【分析】根据题意得到y＝ax2+bx+4＝2244bx bx++，代入顶点公式即可求得．【详解】解：∵b2＝4a，∴24ba=，∴222444by ax bx x bx=++=++∵20 4b>，∴y最小值＝222224434344bb bb b⨯⨯-==⨯，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数最值问题，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质，准确表达出二次函数的顶点坐标.4、A【分析】连接AB，由圆周角定理得出∠BAC=90°，∠B=∠ADC=48°，再由直角三角形的性质即可得出答案．【详解】解：连接AB，如图所示：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∵∠B=∠ADC=48°，∴∠ACB=90°-∠B=42°；故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．5、C【解析】试题分析：∵∠B=35°，∠C=90°，∴∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣35°=55°．∵点C、A、B1在同一条直线上，∴∠BAB′=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°．∴旋转角等于125°．故选C．6、A【详解】∵点P1（1，y1）和P2（2，y2）在反比例函数1yx的图象上，∴y1=1，y2=12，∴y1＞y2＞1．故选A．7、D【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【详解】解：一个圆柱和一个正方体按如图所示放置，则其俯视图为左边是一个圆，右边是一个正方形．故选：D．【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．8、A【解析】坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或坡比)，我们把斜坡面与水平面的夹角叫做坡角，若用α表示，可知坡度与坡角的关系式，tanα(坡度)=垂直距离÷水平距离，根据公式可得水平距离，依据勾股定理可得问题的答案．【详解】∵大坝高20米，背水坝的坡度为1:∴水平距离米．根据勾股定理可得背水面的坡长为40米．故选A．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度、坡角的有关知识，熟悉且会灵活应用坡度公式是解此题的关键.9、D【分析】根据折叠的性质可得∠BMD=∠BNF=90°，然后利用同位角相等，两直线平行可得CD∥EF，从而判定①正确；根据垂径定理可得BM垂直平分EF，再求出BN=MN，从而得到BM、EF互相垂直平分，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形求出四边形MEBF是菱形，从而得到②正确；根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求出∠MEN=30°，然后求出∠EMN=60°，根据等边对等角求出∠AEM=∠EAM，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEM=30°，从而得到∠AEF=60°，同理求出∠AFE=60°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠EAF=60°，从而判定△AEF是等边三角形，③正确；设圆的半径为r，求出EN=2r，则可得，即可得S四边形AEBF：S扇形BEMF的答案，所以④正确．【详解】解：∵纸片上下折叠A 、B 两点重合，∴∠BMD=90°，∵纸片沿EF 折叠，B 、M 两点重合，∴∠BNF=90°，∴∠BMD=∠BNF=90°，∴CD ∥EF ，故①正确；根据垂径定理，BM 垂直平分EF ，又∵纸片沿EF 折叠，B 、M 两点重合，∴BN=MN ， ∴BM 、EF 互相垂直平分，∴四边形MEBF 是菱形，故②正确；∵ME=MB=2MN ，∴∠MEN=30°，∴∠EMN=90°-30°=60°，又∵AM=ME （都是半径），∴∠AEM=∠EAM ，∴∠AEM=12∠EMN=12×60°=30°， ∴∠AEF=∠AEM+∠MEN=30°+30°=60°，同理可求∠AFE=60°， ∴∠EAF=60°，∴△AEF 是等边三角形，故③正确；设圆的半径为r ，则EN=2r ， ∴，∴S 四边形AEBF ：S 扇形BEMF =21120(2):(),2360r r ππ⨯= 故④正确， 综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选：D ．【点睛】本题圆的综合题型，主要考查了翻折变换的性质，平行线的判定，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，等边三角形的判定与性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是关键．10、D【分析】根据平行即可证出△ADE ∽△ABC ，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结论．【详解】解：∵//DE BC ∴△ADE∽△ABC∴22444625 ADEABCS ADS AB⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭故选D．【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握利用平行判定两个三角形相似和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决此题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、2【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．【详解】解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴△DEF∽△ABC，∴DF EF AC BC=，即1.516AC=，∴AC=6×1.5=2米．故答案为：2．【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．12、3 2【分析】根据合比性质，可得答案．【详解】解：1112xy+=+，即32x yy+=．故答案为32．【点睛】考查了比例的性质，利用了和比性质：a c a b c db d b d++=⇒=．13、150【分析】利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的面积的计算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可【详解】∵圆锥的底面圆的周长是45cm ，∴圆锥的侧面扇形的弧长为5π cm ，65180n ππ⨯∴=， 解得：150n =故答案为150．【点睛】此题考查弧长的计算，解题关键在于求得圆锥的侧面积14、12- 【分析】直接利用根与系数的关系求解． 【详解】解：根据题意得x 1+x 2═12b a -=- 故答案为12-． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=b a -，x 1•x 2=c a ． 15、7【解析】试题分析：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC ．∴CD=BC －BD=9－3=6，；∠BAD+∠ADB=120°．∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°．∴∠DAB=∠EDC ．又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD ∽△DCE ． ∴AB DC BD CE =，即96CE 23CE=⇒=． ∴AE AC CE 927=-=-=．16、x 1＝0，x 1＝1【解析】试题分析：移项得x 1-1x=0，即x （x-1）=0，解得x=0或x=1．考点：解一元二次方程17、12x ≥ 【分析】根据二次根式有意义的条件得出210x -≥即可求解.【详解】若代数式21x -有意义， 则210x -≥，解得：12x ≥， 即实数x 的取值范围为12x ≥. 故填：12x ≥【点睛】 本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义即根号内的式子要大于等于零是关键. 18、1【分析】由平行线的性质得∠OAB ＝∠OCD ，∠OBA ＝∠ODC ，两个对应角相等证明OAB ∽OCD ，其性质得OB OA OD OC =，再根据三角形的面积公式，等式的性质求出m ＝23，线段的中点，反比例函数的性质求出k 的值为1． 【详解】解：如图所示：∵AB ∥CD ， ∴∠OAB ＝∠OCD ，∠OBA ＝∠ODC ，∴OAB ∽OCD ，∴OB OA OD OC=， 若OB OA OD OC =＝m ， 由OB ＝m •OD ，OA ＝m •OC ，又∵12OAB S OA OB =⋅⋅△，12OCD S OC OD =⋅⋅△， ∴1212OABOCD OA OB S OA OB S OC ODOC OD ⋅⋅==⋅⋅△△＝22m OC OD m OC OD ⋅⋅=⋅， 又∵S △OAB ＝8，S △OCD ＝18，∴2818m =，解得：m ＝23或m ＝23- (舍去)， 设点A 、B 的坐标分别为(0，a )，(b ，0)， ∵23OA OB OC OD ==， ∴点C 的坐标为(0，﹣32a )， 又∵点E 是线段BC 的中点，∴点E 的坐标为(3,24b a -)， 又∵点E 在反比例函数(0)k y k x =>上， ∴324b k a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭＝﹣38ab ＝3(16)68-⨯-=， 故答案为：1．【点睛】本题综合考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的中点坐标，反比例函数的性质，三角形的面积公式等知识，重点掌握反比例函数的性质，难点根据三角形的面积求反比例函数系数的值．三、解答题(共66分)19、（1）品牌新能源汽车月均增长率为20%；（2）经销商1至3月份共盈利273万元．【分析】（1）设新能源汽车销售量的月均增长率为x ，根据3月份销售216辆列方程，再解方程即可得到答案； （2）利用1至3月份的总销量乘以每辆车的盈利，即可得到答案．【详解】解：（1）设新能源汽车销售量的月均增长率为x ，根据题意得150（1＋x ）2＝216（1＋x ）2＝1.44解得：10.2x =，2 2.2x =-（不合题意、舍去）0.2＝20%答：该品牌新能源汽车月均增长率为20%（2）2月份销售新能源汽车150×（1+20%）＝180辆（150+180+216）×（6.8－6.3）＝273答：该经销商1至3月份共盈利273万元．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决增长率问题是解题的关键．20、S 四边形ADBC ＝49（cm 2）．【分析】根据直径所对的角是90°，判断出△ABC 和△ABD 是直角三角形，根据圆周角∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，判断出△ADB 为等腰直角三角形，根据勾股定理求出AD 、BD 、AC 的值，再根据S 四边形ADBC =S △ABD +S △ABC 进行计算即可.【详解】∵AB 为直径，∴∠ADB=90°，又∵CD 平分∠ACB ，即∠ACD=∠BCD ，∴AD BD =，∴AD=BD ，∵直角△ABD 中，AD=BD ，AD 2+BD 2=AB 2=102，则，则S △ABD =12AD•BD=12××=25(cm 2)，在直角△ABC 中，=， 则S △ABC =12AC•BC=12×6×8=24(cm 2)， 则S 四边形ADBC =S △ABD +S △ABC =25+24=49(cm 2)．【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的面积等，正确求出相关的数值是解题的关键.21、（1）y ＝16x 2﹣56x ﹣4；（2）10；（3）存在，M 1（52，11），M 2（52，﹣223），M 3（52﹣2），M 4（52，﹣2﹣2）. 【分析】（1）将点A ，B 代入y ＝ax 2+bx ﹣4即可求出抛物线解析式；（2）在抛物线y ＝16x 2﹣56x ﹣4中，求出点C 的坐标，推出BC ∥x 轴，即可由三角形的面积公式求出△ABC 的面积； （3）求出抛物线y ＝16x 2﹣56x ﹣4的对称轴，然后设点M （52，m ），分别使∠AMB ＝90°，∠ABM ＝90°，∠AMB ＝90°三种情况进行讨论，由相似三角形和勾股定理即可求出点M 的坐标．【详解】解：（1）将点A （﹣3，0），B （5，﹣4）代入y ＝ax 2+bx ﹣4，得934025544a b a b --=⎧⎨+-=-⎩，解得，1656ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为：y＝16x2﹣56x﹣4；（2）在抛物线y＝16x2﹣56x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∵B（5，﹣4），∴BC∥x轴，∴S△ABC＝12 BC•OC＝12×5×4＝10，∴△ABC的面积为10；（3）存在，理由如下：在抛物线y＝16x2﹣56x﹣4中，对称轴为：522bxa=-=，设点M（52，m），①如图1，当∠M1AB＝90°时，设x 轴与对称轴交于点H ，过点B 作BN ⊥x 轴于点N ，则HM 1＝m ，AH ＝112，AN ＝8，BN ＝4， ∵∠AM 1H+∠M 1AN ＝90°，∠M 1AN+∠BAN ＝90°，∴∠M 1AH ＝∠BAN ，又∵∠AHM 1＝∠BNA ＝90°，∴△AHM 1∽△BNA ，∴1HM AH BN NA=， 即11248m =，解得，m ＝11，∴M 1（52，11）； ②如图2，当∠ABM 2＝90°时，设x 轴与对称轴交于点H ，BC 与对称轴交于点N ，由抛物线的对称性可知，对称轴垂直平分BC ，∴M 2C ＝M 2B ，∴∠BM 2N ＝∠AM 2N ，又∵∠AHM 2＝∠BNM 2＝90°，∴△AHM 2∽△BNM 2，∴22HM AH BN NM =， ∵HM 2＝﹣m ，AH ＝112，BN ＝52，M 2N ＝﹣4﹣m ， ∴112542m m-=--， 解得，223m =-， ∴M 2（52，﹣223）； ③如图3，当∠AMB ＝90°时，设x 轴与对称轴交于点H ，BC 与对称轴交于点N ，则AM 2+BM 2＝AB 2，∵AM 2＝AH 2+MH 2，BM 2＝BN 2+MN 2，∴AH 2+MH 2+BN 2+MN 2＝AB 2，∵HM ＝﹣m ，AH ＝112，BN ＝52，MN ＝﹣4﹣m ， 即()22222211544822m m ⎛⎫⎛⎫+++--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得，m 155﹣2，m 255﹣2，∴M3（52，552﹣2），M4（52，﹣552﹣2）；综上所述，存在点M的坐标，其坐标为M1（52，11），M2（52，﹣223），M3（52，552﹣2），M4（52，﹣552﹣2）．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，直角三角形的存在性，相似三角形的判定与性质等，解题关键是注意分类讨论思想在解题中的运用．22、（1）m=1，k=1，b=-1；（1）32；（3）－1＜x＜0或x＞1．【解析】试题分析：（1）先由反比例函数myx=上的点A（1，1）求出m，再由点B（﹣1，n）求出n，则由直线y kx b=+经过点A、B，得二元一次方程组，求得m、k、b；（1）△AOB的面积=△BOC的面积+△AOC的面积；（3）由图象直接写出不等式的解集．试题解析：（1）由题意得：，m=1，当x=-1时，，∴B（-1，-1），∴，解得，综上可得，m=1，k=1，b=-1；（1）如图，设一次函数y kx b=+与y轴交于C点，当x=0时，y=－1，∴C（0，-1），∴；（3）由图可知，－1＜x＜0或x＞1．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．23、树DE的高度为6米．【分析】先根据∠ACB=30°求出AC=1米，再求出∠EAC=60°，解Rt△ACE得EC的长，依据∠DCE=60°，解Rt△CDE 得的长．【详解】∵∠B=90°，∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=1．又∵∠DCE=60°，∴∠ACE=90°．∵AF∥BD，∴∠CAF=∠ACB=30°，∴∠EAC=60°．在Rt△ACE中，∵EC tan EACAC∠=，∴43EC=，在Rt△DCE中∵∠DCE=60°，DE sin DCECE∠=，∴34362DE=⨯=．答：树DE的高度为6米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形．24、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）sin∠ADB的值为35．【分析】(1)根据等角的余角相等即可证明；(2)连接OA、OB．只要证明△OCB≌△OCA即可解决问题；(3)如图3中，连接BN，过点O作OP⊥BD于点P，过点O作OQ⊥AC于点Q，则四边形OPHQ是矩形，可知BN是直径，则HQ=OP=12DN=92，设AH=x，则AQ=x+92，AC=2AQ=2x+1，BC=2x+1，CH=AC﹣AH=2x+1﹣x=x+1，在Rt△AHB中，BH2=AB2﹣AH2=(310)2﹣x2．在Rt△BCH中，BC2=BH2+CH2即(2x+1)2=(310)2﹣x2+(x+1)2，解得x=3，BC=2x+1=15，CH=x+1=12求出sin∠BCH，即为sin∠ADB的值．【详解】(1)证明：如图1，∵AC⊥BD，DE⊥BC，∴∠AHD=∠BED=10°，∴∠DAH+∠ADH=10°，∠DBE+∠BDE=10°，∵∠DAC=∠DBC，∴∠ADH=∠BDE，∴BD平分∠ADF；(2)证明：连接OA、OB．∵OB=OC=OA，AC=BC，∴△OCB≌△OCA(SSS)，∴∠OCB=∠OCA，∴OC平分∠ACB；(3)如图3中，连接BN，过点O作OP⊥BD于点P，过点O作OQ⊥AC于点Q．则四边形OPHQ是矩形，∵DN∥AC，∴∠BDN=∠BHC=10°，∴BN是直径，则OP=12DN=92，∴HQ=OP=92，设AH=x，则AQ=x+92，AC=2AQ=2x+1，BC=AC=2x+1，∴CH=AC﹣AH=2x+1﹣x=x+1在Rt△AHB中，BH2=AB2﹣AH2=(2﹣x2．在Rt△BCH中，BC2=BH2+CH2，即(2x+1)2=(2﹣x2+(x+1)2，整理得2x2+1x﹣45=0，(x﹣3)(2x+15)=0，解得：x=3(负值舍去)，BC=2x+1=15，CH=x+1=12，BH=1∵∠ADB=∠BCH，∴sin∠ADB=sin∠BCH=BHBC=915=35．即sin∠ADB的值为35．【点睛】本题考查了圆的垂径定理、锐角三角函数、勾股定理、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．25、（1）6yx=(x＞0)；（2）1＜x＜1．【分析】（1）把A(m，6)，B(1，n)两点分别代入y＝﹣2x+8可求出m、n的值，确定A点坐标为(1，6)，B点坐标为(1，2)，然后利用待定系数法求反比例函数的解析式；（2）观察函数图象得到当1＜x＜1，一次函数的图象在反比例函数图象上方．【详解】（1）把A(m，6)，B(1，n)两点分别代入y＝﹣2x+8得6＝﹣2m+8，n＝﹣2×1+8，解得m＝1，n＝2，∴A点坐标为(1，6)，B点坐标为(1，2)，把A(1，6)代入y＝kx(x＞0)求得k＝1×6＝6，∴反比例函数解析式为6yx=(x＞0)；（2）在第一象限内，一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围是1＜x＜1．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察图象的能力．26、（1）()1,2P -或()2,1-；（2）存在，()1,0E 或()6,0E -；（3）14k = 【分析】（1）根据已知条件先求出函数解析式，然后根据平行得到∽∆∆PBN ABO ，得出=PN BN AO BO，又结合矩形面积=2⋅=PM PN ，可求出结果； （2）先由已知条件推到出点E 在A 点左侧，然后求出C,D 两点坐标，再分以下两种情况：①当∽∆∆ABE BOC ；②当∽∆∆ABE BCO ，得出=AE AB BC BO，进而可得出结果； （3）联立一次函数和反比例函数的解析式得出方程组，消去y 得出关于x 的一元二次方程，解出x 的值，再分以下两种情况结合三角形的三边关系求解：①5为等腰三角形的腰长；②5为等腰三角形底边长.进而得出k 的值.【详解】解：（1）当1k =时，3y x =-，如图，由PM x ⊥轴，PN y ⊥轴，易得∽∆∆PBN ABO ．∴=PN BN AO BO ，即333-=PN PM①，而矩形面积为2，∴2⋅=PM PN ②.∴由①②得PN 为1或2.∴()1,2P -或()2,1-.（2）∵1k =，∴2y x =-，45OAB OBA ∠=∠=︒，∴135∠+∠=︒BOC OCB ，而135BOx ∠=︒，∴E 点不可能在A 点右侧，当E 在A 点左侧时，2y x =-，3y x =-联立1131,22y x x y y x =-⎧=⎧⎪∴⎨⎨=-=-⎩⎪⎩或2221x y =⎧⎨=-⎩即()1,2C -，()2,1D -.①当∽∆∆ABE BOC ，∴=AE AB BC BO .而AB =BC =3OB =，=OC23AE ==. ∴()1,0E .②当∽∆∆ABE BCO ，∴=AB AE BC OB．93AE AE ==，∴，∴()6,0E -. 综上所述，()1,0E 或()6,0E -.（3）当()21y kx k =-+和1k y x+=-时， 联立()211y kx k k y x ⎧=-+⎪⎨+=-⎪⎩， 得()22110-+++=kx k x k ， ()()110-+-=⎡⎤⎣⎦kx k x ，11x =，21+=k x k. ①当5为等腰三角形的腰长时，1154k k k +==，∴. ②当5为等腰三角形底边长时，121x x ==．而115+<，∴舍去. 因此，综上，14k =. 【点睛】本题是一次函数和反比例函数的综合题，主要考查一次函数和反比例函数解析式的求法，图象与性质，两函数交点问题以及相似的判定与性质，综合性较强，有一定的难度.。

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