专题49整式的加减-重难点题型(举一反三)(解析版)

专题3.6 整式的加减-重难点题型【知识点1 整式的加减】【题型1 整式的加减（比较大小）】【例1】（2020秋•铜官区期末）设M＝x2+3x+7，N＝﹣x2+3x﹣4，那么M与N的大小关系是（）A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．无法确定【分析】M、N作差，利用整式的加减运算法则计算进而得出答案．【解答】解：M﹣N＝x2+3x+7+x2﹣3x+4＝2x2+11＞0．∴M＞N．故选：C．【变式1-1】（2020秋•澄海区期末）若A＝2x2﹣x+1，B＝x2﹣x﹣m2，则A，B的大小关系是（）A．A＜B B．A＝BC．A＞B D．与x的值有关【分析】将A和B作差，然后化简，即可得到A﹣B的结果与0的大小关系，从而可以解答本题．【解答】解：∵A＝2x2﹣x+1，B＝x2﹣x﹣m2，∴A﹣B＝（2x2﹣x+1）﹣（x2﹣x﹣m2）＝2x2﹣x+1﹣x2+x+m2＝x2+1+m2＞0，∴A＞B，故选：C．【变式1-2】（2020秋•南京期末）若M＝3x2+5x+2，N＝4x2+5x+3，则M与N的大小关系是（）A．M＜N B．M＞N C．M≤N D．不能确定【分析】直接利用整式的加减运算法则结合偶次方的性质得出答案．【解答】解：∵M＝3x2+5x+2，N＝4x2+5x+3，∴N﹣M＝（4x2+5x+3）﹣（3x2+5x+2）＝4x2+5x+3﹣3x2﹣5x﹣2＝x2+1，∵x2≥0，∴x2+1＞0，∴N＞M．故选：A．【变式1-3】（2020秋•广信区期中）设A＝x2﹣4x﹣3，B＝2x2﹣4x﹣1，若x取任意有理数．则A与B的大小关系为（）A．A＜B B．A＝B C．A＞B D．无法比较【分析】把A与B代入A﹣B中，判断差的正负，即可确定出大小关系．【解答】解：∵A＝x2﹣4x﹣3，B＝2x2﹣4x﹣1，∴A﹣B＝（x2﹣4x﹣3）﹣（2x2﹣4x﹣1）＝x2﹣4x﹣3﹣2x2+4x+1＝﹣x2﹣2＜0，则A＜B．故选：A．【题型2 整式的加减（项与系数）】【例2】（2021春•萧山区月考）若P和Q都是关于x的五次多项式，则P+Q是（）A．关于x的五次多项式B．关于x的十次多项式C．关于x的四次多项式D．关于x的不超过五次的多项式或单项式【分析】根据合并同类项法则判断即可．【解答】解：若P和Q都是关于x的五次多项式，则P+Q是关于x的不超过五次的多项式或单项式．故选：D．【变式2-1】（2020秋•射洪市期末）两个三次多项式相加，和的次数是（）A．三B．六C．大于或等于三D．小于或等于三【分析】根据合并同类项法则的即可求出答案．【解答】解：由合并同类项法则可知：两个同类项合并，其次数不能超过该单项式次数，所以两个三次多项式相加，和的次数小于或等于三，故选：D．【变式2-2】（2020秋•凤凰县期末）若A与B都是二次多项式，则关于A﹣B的结论，下列选项中正确的有（）A．一定是二次式B．可能是四次式C．可能是一次式D．不可能是零【分析】多项式相减，也就是合并同类项，合并同类项时只是把系数相加减，字母和字母的指数不变，所以结果的次数一定不高于2次，由此可以判定正确个数．【解答】解：∵多项式相减，也就是合并同类项，而合并同类项时只是把系数相加减，字母和字母的指数不变，∴结果的次数一定不高于2次，当二次项的系数相同时，合并后结果为0，故只有选项C符合题意．故选：C．【变式2-3】（2020秋•铜官区期末）若A是五次多项式，B是三次多项式，则A﹣B一定是次式．【分析】根据合并同类项的法则即可求解．【解答】解：根据题意，五次项没有同类项，所以差的最高次是五次．所以A﹣B的一定是五次多项式或单项式．故答案为：五、多项或单项【题型3 整式的加减（错看问题）】【例3】（2020秋•来宾期末）小文在做多项式减法运算时，将减去2a2+3a﹣5误认为是加上2a2+3a﹣5，求得的答案是a2+a﹣4（其他运算无误），那么正确的结果是（）A．﹣a2﹣2a+1B．﹣3a2+a﹣4C．a2+a﹣4D．﹣3a2﹣5a+6【分析】直接利用整式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：设原多项式为A，则A+2a2+3a﹣5＝a2+a﹣4，故A＝a2+a﹣4﹣（2a2+3a﹣5）＝a2+a﹣4﹣2a2﹣3a+5＝﹣a2﹣2a+1，则﹣a2﹣2a+1﹣（2a2+3a﹣5）＝﹣a2﹣2a+1﹣2a2﹣3a+5＝﹣3a2﹣5a+6．故选：D．【变式3-1】（2020秋•罗庄区期末）有一道题目是一个多项式减去x2+14x﹣6，小强误当成了加法计算，结果得到2x2﹣x+3，则原来的多项式是．【分析】根据多项式加法的运算法则，用和减去这个多项式，即可求出另外一个．【解答】解：2x2﹣x+3﹣（x2+14x﹣6）＝2x2﹣x+3﹣x2﹣14x+6＝x2﹣15x+9．原来的多项式是x2﹣15x+9．【变式3-2】（2020秋•伊通县期末）某同学做一道数学题，“已知两个多项式A、B，B＝2x2+3x﹣4，试求A﹣2B”．这位同学把“A﹣2B”误看成“A+2B”，结果求出的答案为5x2+8x﹣10．请你替这位同学求出“A﹣2B”的正确答案．【分析】根据题意可以求得A，从而可以求得“A﹣2B”的正确答案．【解答】解：∵B＝2x2+3x﹣4，A+2B＝5x2+8x﹣10，∴A＝5x2+8x﹣10﹣2（2x2+3x﹣4）＝5x2+8x﹣10﹣4x2﹣6x+8＝x2+2x﹣2，∴A﹣2B＝x2+2x﹣2﹣2（2x2+3x﹣4）＝x2+2x﹣2﹣4x2﹣6x+8＝﹣3x2﹣4x+6．【变式3-3】（2020秋•新邵县期末）一位同学做一道题：已知两个多项式A、B，计算A﹣3B他误将“A﹣3B”看成“3A﹣B”，求得的结果为x2﹣14xy﹣4y2，其中B＝2x2+2xy+y2，（1）请你计算出多项式A．（2）若x＝﹣3，y＝2，计算A﹣3B的正确结果．【分析】（1）根据3A﹣B＝x2﹣14xy﹣4y2，先求出3A，然后再求多项式A；（2）先化简A﹣3B，然后代入求值．【解答】解：（1）由题意：3A﹣B＝x2﹣14xy﹣4y2，∴3A＝x2﹣14xy﹣4y2+B，＝x2﹣14xy﹣4y2+2x2+2xy+y2＝3x2﹣12xy﹣3y2，∴A=13（3x2﹣12xy﹣3y2）＝x2﹣4xy﹣y2，即多项式A为x2﹣4xy﹣y2；（2）A﹣3B＝x2﹣4xy﹣y2﹣3（2x2+2xy+y2）＝x2﹣4xy﹣y2﹣6x2﹣6xy﹣3y2＝﹣5x2﹣10xy﹣4y2，当x＝﹣3，y＝2时，原式＝﹣5×（﹣3）2﹣10×（﹣3）×2﹣4×22＝﹣5×9+60﹣4×4＝﹣45+60﹣16＝﹣1．即A﹣3B的正确结果为﹣1．【题型4 整式的加减（遮挡问题）】【例4】（2020秋•海淀区校级期末）下面是小芳做的一道多项式的加减运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面．（﹣x2+3xy−12y2）﹣（−12x2+4xy−32y2）=−12x2+y2，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是（）A．﹣7xy B．+7xy C．﹣xy D．+xy 【分析】根据题意得出整式相加减的式子，再去括号，合并同类项即可．【解答】解：由题意得，被墨汁遮住的一项＝（﹣x2+3xy−12y2）﹣（−12x2+4xy−32y2）﹣（−12x2+y2）＝﹣x2+3xy−12y2+12x2﹣4xy+32y2+12x2﹣y2＝﹣xy．故选：C．【变式4-1】（2020秋•卫辉市期末）下面是小明做的一道多项式的加减运算题，但他不小心把一滴墨水滴在了上面．（﹣x2+3xy−12y2）﹣（−12x2+4xy−12y2）=−12x2●，黑点处即为被墨迹弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项应是（）A．﹣xy B．+xy C．﹣7xy D．+7xy 【分析】原式去括号合并得到结果，即可确定出背墨汁遮住的一项．【解答】解：原式＝﹣x2+3xy−12y2+12x2﹣4xy+12y2=−12x2﹣xy，则被墨汁遮住的一项应是﹣xy．故选：A．【变式4-2】（2020秋•喀喇沁旗期末）某天数学课上老师讲了整式的加减运算，小颖回到家后拿出自己的课堂笔记，认真地复习老师在课堂上所讲的内容，她突然发现一道题目：（2a2+3ab﹣b2）﹣（﹣3a2+ab+5b2）＝5a2﹣6b2，空格的地方被墨水弄脏了，请问空格中的一项是（）A．+2ab B．+3ab C．+4ab D．﹣ab【分析】将等式右边的已知项移到左边，再去括号，合并同类项即可．【解答】解：依题意，空格中的一项是：（2a2+3ab﹣b2）﹣（﹣3a2+ab+5b2）﹣（5a2﹣6b2）＝2a2+3ab﹣b2+3a2﹣ab﹣5b2﹣5a2+6b2＝2ab．故选：A．【变式4-3】（2020秋•射洪市期末）印卷时，工人不小心把一道化简题前面一个数字遮住了，结果变成：■x2y−[5xy2−2(−23xy+32x2y)−43xy]+5xy2．（1）某同学辨认后把“■”猜成10，请你帮他算算化简后该式是多少；（2）老师说：“你猜错了，我看到该题目遮挡部分是单项式−4m2n3的系数和次数之积．”遮挡部分是多少？（3）若化简结果是一个常数，请算算遮挡部分又该是多少？【分析】（1）把“■”换成10，原式去括号合并即可得到结果；（2）求出单项式的系数和次数之积，确定出遮挡部分即可；（3）设遮挡部分为a，原式去括号合并后，根据化简结果为常数，确定出a的值即可．【解答】解：（1）根据题意得：原式＝10x2y﹣（5xy2+43xy﹣3x2y−43xy）+5xy2＝10x2y﹣5xy2−43xy+3x2y+43xy+5xy2＝13x2y；（2）是单项式−4m2n3的系数和次数之积为：−43×3＝﹣4，答：遮挡部分应是﹣4；（3）设遮挡部分为a，原式＝ax2y﹣5xy2+3x2y+5xy2＝ax2y+3x2y＝（a+3）x2y，因为结果为常数，所以遮挡部分为﹣3．【题型5 整式的加减（不含某项）】【例5】（2020秋•鹿邑县期末）若多项式2x3﹣8x2+x﹣1与多项式3x3+2mx2﹣5x+3的差不含二次项，则m等于（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【分析】直接利用整式的加减运算法则得出8+2m＝0，进而得出答案．【解答】解：∵多项式2x3﹣8x2+x﹣1与多项式3x3+2mx2﹣5x+3的差不含二次项，∴2x3﹣8x2+x﹣1﹣（3x3+2mx2﹣5x+3）＝﹣x3﹣（8+2m）x2+6x﹣4，∴8+2m＝0，解得：m＝﹣4．故选：D．【变式5-1】已知多项式4x2﹣2kxy﹣3（x2﹣5xy+x）不含xy项，则k的值为．【分析】首先去括号再合并同类项，根据题意可得xy的系数为0，再解即可．【解答】解：原式＝4x2﹣2kxy﹣3x2+15xy﹣3x＝x2+（15﹣2k）xy﹣3x，∵不含xy项，∴15﹣2k＝0，解得：k＝7.5，故答案为：7.5．【变式5-2】（2020秋•九龙坡区校级期末）已知关于x，y的多项式x2+mx﹣2y+n与nx2﹣3x+4y﹣7的差的值与字母x的取值无关，则n﹣m＝．【分析】先作差，然后合并同类型，根据差与字母x的取值无关，便可求出m．n的值．【解答】解：x2+mx﹣2y+n﹣（nx2﹣3x+4y﹣7）＝x2+mx﹣2y+n﹣nx2+3x﹣4y+7＝（1﹣n）x2+（m+3）x+n﹣6y+7．∵差与字母x的取值无关．∴1﹣n＝0，m+3＝0．∴n＝1，m＝﹣3．∴n﹣m＝4．故答案为：4．【变式5-3】（2020秋•清涧县期末）已知代数式A＝a4﹣3a2b2﹣ab3+5，B＝2b4﹣2a2b2+ab3，C＝a4﹣5a2b2+2b4﹣2．小丽说：“代数式A+B﹣C的值与a，b的值无关．”她说得对吗？说说你的理由．【分析】把A，B，C代入A+B﹣C中，去括号合并后即可做出判断．【解答】解：小丽的说法正确，理由如下：∵A＝a4﹣3a2b2﹣ab3+5，B＝2b4﹣2a2b2+ab3，C＝a4﹣5a2b2+2b4﹣2，∴A+B﹣C＝（a4﹣3a2b2﹣ab3+5）+（2b4﹣2a2b2+ab3）﹣（a4﹣5a2b2+2b4﹣2）＝a4﹣3a2b2﹣ab3+5+2b4﹣2a2b2+ab3﹣a4+5a2b2﹣2b4+2＝7，则结果为常数，与a，b的值无关．【题型6 整式的加减的应用】【例6】（2020秋•南充期末）计算：（1）3（a+b）﹣（3a﹣2b）；（2）xy2﹣[x+12（6y+2xy2）﹣3x]．【分析】（1）根据去括号法则即可求出答案．（2）根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝3a+3b﹣3a+2b＝5b．（2）原式＝xy2﹣（x+3y+xy2﹣3x）＝xy2﹣（3y+xy2﹣2x）＝xy2﹣3y﹣xy2+2x＝2x﹣3y．【变式6-1】（2020秋•陇县期末）化简：（1）5（3a2b﹣ab2）﹣4（﹣ab2+3a2b）；（2）﹣2（mn﹣3m2）﹣[m2﹣5（mn﹣m2）+2mn]．【分析】（1）先去括号，然后合并同类项即可求解；（2）先去括号，然后合并同类项即可求解．【解答】解：（1）原式＝15a2b﹣5ab2+4ab2﹣12a2b＝3a2b﹣ab2；（2）原式＝﹣2mn+6m2﹣m2+5mn﹣5m2﹣2mn＝mn．【变式6-2】（2020秋•渝中区期末）已知A＝m2﹣3mn+n2，B＝﹣2m2+8mn﹣3n2．计算：（1）B+2A；（2）4A﹣3B．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）∵A＝m2﹣3mn+n2，B＝﹣2m2+8mn﹣3n2∴B+2A＝﹣2m2+8mn﹣3n2+2（m2﹣3mn+n2）＝﹣2m2+8mn﹣3n2+2m2﹣6mn+2n2＝2mn﹣n2，（2）∵A＝m2﹣3mn+n2，B＝﹣2m2+8mn﹣3n2∴4A﹣3B＝4（m2﹣3mn+n2）﹣3（﹣2m2+8mn﹣3n2）＝4m2﹣12mn+4n2+6m2﹣24mn+9n2＝10m2﹣36mn+13n2．【变式6-3】（2021秋•织金县期末）已知：A＝x2﹣2xy+y2，B＝x2+2xy+y2．（1）求﹣A+B；（2）如果2A﹣3B+C＝0，那么C的表达式是什么？【分析】（1）根据整式的运算法则即可求出答案．（2）根据等式的性质以及整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）﹣A+B＝﹣（x2﹣2xy+y2）+（x2+2xy+y2）＝﹣x2+2xy﹣y2+x2+2xy+y2＝4xy（2）因为2A﹣3B+C＝0所以C＝3B﹣2A＝3（x2+2xy+y2）﹣2（x2﹣2xy+y2）＝3x2+6xy+3y2﹣2x2+4xy﹣2y2＝x2+10xy+y2。