摩擦力的突变-传送带

相对运动与摩擦力的突变
传送带专题
1.摩擦力产生的条件：
2.摩擦力的方向如何判断：
3.摩擦力的大小：（提示：区分动摩擦还是静摩擦）
4.摩擦力的突变
例1.水平放置的传送带，以10m/s的速度顺时针转动，在传送带的左端轻轻的放一个物体，物体与传送带间的摩擦系数为0.2；如果传带的长度为100m；那么，物体从传送带的左端运动到右端需要多长时间？
续1.如果传送带在物体放上去后10s突然停止运行，物体还能运动多远。

续2.如果传送带在物体放上去后3s突然停止运行，物体还能运动多远。

续3.如果传送带在物体放上去后10s突然反转，物体回到出发点要多长时间。

小结：
1.摩擦力的大小和方向在什么时候发生突变
2.摩擦力的大小和方向为什么发生突变
例2.倾斜放置的传送带，以10m/s的速度顺时针转动（逆时针转动），在传送带的中间轻轻的放一个物体，如果物体与传送带间的摩擦系数为0.2；那么，物体将怎样运动？
提示：
1.假设传送带静止，对物体作受力分析（建坐标系分解重力）
2.试试能不能根据倾斜角的正切值与摩擦系数的关系来判断物体的运动状态
例3.传送带的倾斜角为37︒，以10m/s的速度逆时针转动，在传送带的右端轻轻的放一个物体，物体与传送带间的摩擦系数为0.5；如果传带的长度为16m；那么，物体从传送带的右端运动到左端需要多长时间？
追问：如果上题中的传送带顺时针转会怎样？
水平传送带长为L=10m，以v0=4m/s的速度顺时针匀速转动，将一质量为m=1kg的小物体无初速释放在传送带的左端，小物体与传送带间动摩擦因数μ=0.1。

求物体运动到传送带右端所用时间以及物体与传送带之间产生的热量。

（g=10m/s2）
传送带问题归类导析
一、传送带模型分析
v0<v，先加速再匀速
传送带长度l<，滑块一直减速
到达左端
传送带长度l≥，v0<v，滑块
先减速再向右加速，到达右端速度为
v0
传送带长度l≥，v0>v，滑块
先减速再向右加速，最后匀速，到达
右端速度为v
一直加速
【例1】如图1所示，一水平传送装置由轮半径均为R＝m的主动轮O1和从动轮O2及传送带等构成。

两轮轴心相距8.0 m，轮与传送带不打滑。

现用此装置运送一袋面粉，已知这袋面粉与传送带之间的动摩擦因数为μ＝0.4。

（g取10 m/s2）求：
（1）当传送带以4.0 m/s的速度匀速运动时，将这袋面粉由左端O2正上方的A点轻放在传送带上后（设面粉初速度近似为零），这袋面粉由A端运送到O1正上方的B端所用的时间为多少？
（2）要想尽快将面粉由A端送到B端，主动轮O1的转速至少应为多大？
【解析】设这袋面粉质量为m，其在与传送带产生相对滑动的过程中所受摩擦力f＝μmg。

故其加速
度为a＝＝μg＝4.0 m/s2。

（1）若传送带的速度v带＝4.0 m/s，则这袋面粉加速运动的时间t1＝v带/a＝1.0 s，在t1时间内的
位移x1为x1＝at12＝2.0 m。

其后以v＝4.0 m/s的速度做匀速运动，
x2＝l AB－x1＝vt2，
解得：t2＝1.5 s。

运动的总时间为：t＝t1＋t2＝2.5 s。

（2）要想时间最短，这袋面粉应一直向B端做加速运动，由l AB＝at′2可得t′＝2.0 s。

面粉到达B端时的速度v′＝at′＝8.0 m/s，即传送带运转的最小速度。

由v′＝ωR＝2πnR可得：n＝4 r/s＝240 r/min。

【例2】如图2所示，质量为m的物体从离传送带高为H处沿光滑圆弧轨道下滑，水平滑上长为L的静止的传送带并落在水平地面的Q点，已知物体与传送带间的动摩擦因数为μ，则当传送带转动时，物体仍以上述方式滑下，将落在Q点的左边还是右边?
【解析】物体从P点滑下，设水平滑上传送带时的速度为v0，则由机械能守恒mgH=mv02，可得。

当传送带静止时，分析物体在传送带上的受力知物体做匀减速运动，a=μmg/m=μg。

物体离开传送带时的速度为，
随后做平抛运动而落在Q点。

当传送带逆时针方向转动时，分析物体在传送带上的受力情况与传送带静止时相同，因而物体离开传
送带时的速度仍为，随后做平抛运动而仍落在Q点。

（当v02<2μgL时，物体将不能滑出传送带而被传送带送回，显然不符合题意）
当传送带顺时针转动时，可能出现五种情况：
（1）当传送带的速度v较小，时，分析物体在传送带上的受力可知，物体一直做匀减速运动，离开传送带时的速度为，因而仍将落在Q点。

（2）当传送带的速度时，分析物体在传送带上的受力可知，物体将在传送带上先做匀减速运动，后做匀速运动，离开传送带时的速度，因而将落在Q点的右边。

（3）当传送带的速度=v0时，则物体在传送带上不受摩擦力的作用而做匀速运动，离开传送带时的速度，因而将落在Q点的右边。

（4）当传送带的速度时，分析物体在传送带上的受力可知，物体将在传送带上先做匀加速运动，后做匀速运动，离开传送带时的速度，因而将落在Q点的右边。

（5）当传送带的速度v较大时，分析物体在传送带上的受力可知，物体一直做匀加速运动，离开传送带时的速度为，因而将落在Q点的右边。

综上所述：
当传送带逆时针转动或顺时针转动且速度时，物体仍将落在Q点；
当传送带顺时针转动且速度时，物体将落在Q点的右边。

【例3】如图3所示，绷紧的传送带，始终以2 m/s的速度匀速斜向上运行，传送带与水平方向间的夹角θ＝30°。

现把质量为10 kg的工件轻轻地放在传送带底端P处，由传送带传送至顶端Q处。

已知P、
Q之间的距离为4 m，工件与传送带间的动摩擦因数为μ＝，取g＝10 m/s2。

求：
（1）通过计算说明工件在传送带上做什么运动；
（2）求工件从P点运动到Q点所用的时间。

【解析】（1）对工件进行受力分析，由牛顿第二定律得：
μmg cosθ－mg sinθ＝ma，
代入数值得：a＝2.5 m/s2。

则其速度达到传送带速度时发生的位移为x1＝＝0.8 m<4 m。

可见工件先匀加速运动0.8 m，然后匀速运动3.2 m。

（2）匀加速时，由x1＝t1得t1＝0.8 s，
匀速上升时t2＝＝1.6 s，
所以工件从P点运动到Q点所用的时间为t＝t1＋t2＝2.4 s。

【例4】如图4所示，传送带与水平面夹角为37°，并以v=10m/s运行，在传送带的A端轻轻放一个小物体，物体与传送带之间的动摩擦因数μ=0.5，AB长16 m，求：以下两种情况下物体从A到B所用的时间。

（1）传送带顺时针方向转动；
（2）传送带逆时针方向转动。

【解析】（1）传送带顺时针方向转动时受力如图4-1，由牛顿第二定律得
mg sinθ－μmg cosθ=ma，
物体下滑的加速度为a=g sinθ－μg cosθ=2m/s2。

加速的位移为s=at2，故有加速的时间为：。

（2）传送带逆时针方向转动物体受力如图4-2，开始摩擦力方向向下，向下匀加速运动。

a=gsin37°+μgcos37°=10m/s2，
加速的时间为t1=v/a=1s。

加速的位移为s1=a t2 =5m，
还剩位移s2=11m。

由题意，1s后，速度达到10m/s，摩擦力方向变为向上，由牛顿第二定律得
a2=g sin37°-μg cos37°=2 m/s2。

由运动学公式得s2=vt2+a2t22，解得t2=1s，
三、题后反思
在水平方向的传送带问题中物块的受力主要是讨论滑动摩擦力，在存在相对运动时就会存在摩擦力，因此分析问题时以滑块是否与传送带共速为临界进行分析讨论。

在斜面方向上的传送带问题中物块的受力就要复杂些了，物体相对传送带滑动或者有滑动的趋势是判断摩擦力方向的关键，比如滑块受到沿斜面向下的滑动摩擦力作用，这样物体在沿斜面方向上所受的合力为重力的下滑分力和向下的滑动摩擦力，物体要做匀加速运动。

当物体加速到与传送带有相同速度时，摩擦力情况要发生变化，同速的瞬间可以看成二者间相对静止，无滑动摩擦力，但物体此时还受到重力的下滑分力作用，因此相对于传送带有向下的运动趋势。

若重力的下滑分力大于物体和传送带之间的最大静摩擦力，此时有μ＜tanθ，则物体将向下加速，所受摩擦力为沿斜面向上的滑动摩擦力；若重力的下滑分力小于或等于物体和传送带之间的最大静摩擦力，此时有μ≥tanθ，则物体将和传送带相对静止一起向下匀速运动，所受静摩擦力沿斜面向上，大小等于重力的下滑分力。

也可能出现的情况是传送带比较短，物体还没有加速到与传送带同速就已经滑到了底端，这样物体全过程都是受沿斜面向上的滑动摩擦力作用。