选修4-4坐标系与参数方程-高考文科数学通用讲义

重点增分专题十三选修4－4坐标系与参数方程[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2018极坐标与直角坐标的互化、曲线方程的求解参数方程与直角坐标方程的互化、参数方程的应用参数方程与普通方程的互化、参数方程的应用2017参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法2016参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与圆的位置关系参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值(1)坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．(2)全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．考点一极坐标保分考点·练后讲评1.[极坐标方程化直角坐标方程](2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以|－k＋2|k2＋1＝2，故k＝－43或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－43时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以|k＋2|k2＋1＝2，故k＝0或k＝43.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝43时，l2与C2没有公共点．综上，所求C1的方程为y＝－43|x|＋2.2.[直角坐标方程化极坐标方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝4，直线C2的方程为y＝33x，以O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线C1和直线C2的极坐标方程．解：∵曲线C1的普通方程为(x－3)2＋(y－2)2＝4，即x2＋y2－23x－4y＋3＝0，∴曲线C1的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0.∵直线C2的方程为y＝33x，∴直线C2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．3.[极坐标方程的应用](2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为2，π3，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝4 cos θ.由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB面积S＝12|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·sinα－π3＝2sin2α－π3－32.当α＝－π12时，S取得最大值2＋ 3.所以△OAB面积的最大值为2＋ 3.[解题方略]1．直角坐标与极坐标方程的互化(1)直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入即可．(2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造ρ2，ρsin θ，ρcos θ，常用的技巧有式子两边同乘以ρ，两角和与差的正弦、余弦展开等．2．求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用；(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标.考点二参数方程保分考点·练后讲评1.[普通方程化参数方程]在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－cos θ＝0，M1，π2.以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．斜率为－1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．求曲线C和直线l的参数方程．解：由ρsin2θ－cos θ＝0得ρ2sin2θ＝ρcos θ，∴y2＝x，故曲线C的直角坐标方程为y2＝x.故曲线C的参数方程为x＝t2，y＝t(t为参数)，由题意，M的直角坐标为(0,1)，则直线l的参数方程为x＝tcos3π4，y＝1＋tsin3π4(t为参数)，即x＝－22t，y＝1＋22t(t为参数)．2.[参数方程化普通方程](2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cos θ，y＝4sin θ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝1＋tcos α，y＝2＋tsin α(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tanα·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－42cos α＋sin α1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.[解题方略]参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法．(2)三角恒等式法：利用sin 2α＋cos 2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法．(3)常见消参数的关系式：①t ·1t＝1；②t ＋1t 2－t －1t 2＝4；③2t 1＋t 22＋1－t 21＋t22＝1.考点三极坐标与参数方程的综合应用增分考点广度拓展[分点研究]题型一直线的参数方程中参数几何意义的应用[例1](2019届高三·湖北五校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(a,1)，其参数方程为x ＝a ＋2t 2，y ＝1＋2t2(t 为参数，a ∈R)．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．[解](1)∵曲线C1的参数方程为x＝a＋2t2，y＝1＋2t2(t为参数，a∈R)，∴曲线C1的普通方程为x－y－a＋1＝0.∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0，∴ρ2cos2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，又ρcos θ＝x，ρ2＝x2＋y2，∴x2＋4x－x2－y2＝0，即曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，由y2＝4x，x＝a＋2t2，y＝1＋2t2，得t2－22t＋2－8a＝0.Δ＝(－22)2－4(2－8a)>0，即a>0，∴t1＋t2＝22，t1·t2＝2－8a，根据参数方程中参数的几何意义可知|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，∴由|PA|＝2|PB|得t1＝2t2或t1＝－2t2，∴当t1＝2t2时，有t1＋t2＝3t2＝22，t1·t2＝2t22＝2－8a，解得a＝136>0，符合题意，当t1＝－2t2时，有t1＋t2＝－t2＝22，t1·t2＝－2t22＝2－8a，解得a＝94>0，符合题意．综上所述，a＝136或a＝94.[变式1]本例(2)的条件变为|PA||PB|＝6.求实数a的值．解：由本例解析知|PA|·|PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝|2－8a|＝6，解得a＝1或－12.又∵a>0，∴a＝1.[变式2]若本例曲线C1变为过点P(0，－1)，其参数方程为x＝2t，y＝－1＋2t(t为参数)，其他条件不变，求|PA|＋|PB|.解：曲线C1的参数方程化为x＝22t，y＝－1＋22t，代入曲线C2的方程y2＝4x得t2－62t＋2＝0.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝62，t1t2＝2，∴t1>0，t2>0.∴|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝6 2.[解题方略]利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcos α，y＝y0＋tsin α(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0＝t1＋t2 2；(2)|PM|＝|t0|＝t1＋t22；(3)|AB|＝|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.题型二极坐标方程中极径几何意义的应用[例2]在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝1＋cos φ，y＝sin φ(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是2ρsinθ＋π3＝33，射线OM：θ＝π3与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段P Q的长．[解](1)由圆C的参数方程为x＝1＋cos φ，y＝sin φ(φ为参数)，可得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0. 由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)由θ＝π3，ρ－2cos θ＝0得P1，π3，由θ＝π3，2ρsinθ＋π3＝33得Q3，π3，结合图可得|P Q|＝|O Q|－|OP|＝|ρQ|－|ρP|＝3－1＝2.[解题方略]极径的几何意义及其应用(1)几何意义：极径ρ表示极坐标平面内点M到极点O的距离．(2)应用：一般应用于过极点的直线与曲线相交，所得的弦长问题，需要用极径表示出弦长，结合根与系数的关系解题．[多练强化]1．(2019届高三·湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3cos α，y＝sin α(α为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝ 2.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2的距离的最大值，并求此时点P的坐标．解：(1)曲线C1的普通方程为x23＋y2＝1，由ρsinθ＋π4＝2，得ρsin θ＋ρcos θ＝2，得曲线C2的直角坐标方程为x＋y－2＝0.(2)设点P的坐标为(3cos α，sin α)，则点P到C2的距离为|3cos α＋sin α－2|2＝2sinα＋π3－22，当sinα＋π3＝－1，即α＋π3＝－π2＋2kπ（k∈Z)，α＝－5π6＋2kπ（k∈Z)时，所求距离最大，最大值为22，此时点P的坐标为－32，－12.2．(2018·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cos t，y＝2sin t＋2(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)若直线l1，l2的极坐标方程分别为θ1＝π6(ρ1∈R)，θ2＝2π3(ρ2∈R)，设直线l1，l2与曲线C的交点分别为O，M和O，N，求△OMN的面积．解：(1)由参数方程x＝2cos t，y＝2sin t＋2得普通方程为x2＋(y－2)2＝4，把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋(y－2)2＝4，得ρ2－4ρsin θ＝0.所以曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)由直线l1：θ1＝π6(ρ1∈R)与曲线C的交点为O，M，得|OM|＝4sinπ6＝2.由直线l2：θ2＝2π3(ρ2∈R)与曲线C的交点为O，N，得|ON|＝4sin2π3＝2 3.易知∠MON＝π2，所以S△OMN＝12|OM|×|ON|＝12×2×23＝2 3.[专题过关检测]1．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈0，π2.(1)求半圆C的参数方程；(2)若半圆C与圆D：(x－5)2＋(y－3)2＝m(m是常数，m＞0)相切，试求切点的直角坐标．解：(1)半圆C的普通方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤y≤2)，则半圆C的参数方程为x＝2＋2cos t，y＝2sin t(t为参数，0≤t≤π）．(2)C，D的圆心坐标分别为(2,0)，(5，3)，于是直线CD的斜率k＝3－05－2＝33.由于切点必在两个圆心的连线上，故切点对应的参数t 满足tan t ＝33，t ＝π6，所以切点的直角坐标为2＋2cos π6，2sin π6，即(2＋3，1)．2．(2018·贵阳摸底考试)曲线C 的参数方程为x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋π4＝ 2.(1)写出C 的普通方程，并用x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(α为直线的倾斜角，t 为参数)的形式写出直线l 的一个参数方程；(2)l 与C 是否相交？若相交，求出两交点的距离，若不相交，请说明理由．解：(1)C 的普通方程为x 24＋y 2＝1，由ρcos θ＋π4＝2得x －y －2＝0，则直线l 的倾斜角为π4，又直线l 过点(2,0)，得直线l 的一个参数方程为x ＝2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入C 的普通方程得5t 2＋42t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－425，显然l 与C 有两个交点，分别记为A ，B ，且|AB|＝|t 1－t 2|＝425.3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为x ＝cos α，y ＝3sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ－π4＝3 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程．(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|P Q |的最小值及此时点P 的直角坐标．解：(1)曲线C1的参数方程为x＝cos α，y＝3sin α(α为参数)，普通方程为x2＋y23＝1，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ－π4＝32，即ρcos θ＋ρsin θ－6＝0，直角坐标方程为x＋y－6＝0.(2)设P(cos α，3sin α)，则|P Q|的最小值为P到x＋y－6＝0距离，即|cos α＋3sin α－6|2＝2sinα＋π6－3，当且仅当α＝2kπ＋π3(k∈Z)时，|P Q|取得最小值22，此时P 12，32.4．(2018·贵阳适应性考试)在平面直角坐标系xOy中，曲线C：x＝3cos α，y＝sin α(α为参数)，在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为2 2ρcosθ＋π4＝－1.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)过点M(－1,0)且与直线l平行的直线l1交曲线C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之和．解：(1)曲线C的普通方程为x23＋y2＝1，由22ρcosθ＋π4＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.(2)直线l1的参数方程为x＝－1＋22t，y＝22t(t为参数)，将其代入x23＋y2＝1中，化简得2t2－2t－2＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝22，t1t2＝－1，所以|MA|＋|MB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝222－4×－1＝322.5．(2018·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2＋cos α，y＝2＋sin α(α为参数)，直线C2的方程为y＝3x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求1|OA|＋1|OB|.解：(1)由曲线C1的参数方程为x＝2＋cos α，y＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，由于直线C2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)(tan θ＝3)．(2)由ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，∴1|OA|＋1|OB|＝|OA|＋|OB||OA|·|OB|＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27.6．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线C2的参数方程为x＝m＋tcos α，y＝tsin α(t为参数，0≤α＜π），射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C1交于(不包括极点O)三点A，B，C.(1)求证：|OB|＋|OC|＝2|OA|；(2)当φ＝π12时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．解：(1)证明：设点A，B，C的极坐标分别为(ρ1，φ)，ρ2，φ＋π4，ρ3，φ－π4，因为点A，B，C在曲线C1上，所以ρ1＝4cos φ，ρ2＝4cosφ＋π4，ρ3＝4cosφ－π4，所以|OB|＋|OC|＝ρ2＋ρ3＝4cosφ＋π4＋4cosφ－π4＝42cos φ＝2ρ1，故|OB|＋|OC|＝2|OA|.(2)由曲线C2的方程知曲线C2是经过定点(m,0)且倾斜角为α的直线．当φ＝π12时，B，C两点的极坐标分别为2，π3，23，－π6，化为直角坐标为B(1，3)，C(3，－3)，所以tan α＝－3－33－1＝－3，又0≤α＜π，所以α＝2π3.故曲线C2的方程为y＝－3(x－2)，易知曲线C2恒过点(2,0)，即m＝2.7．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝1＋tcos α，y＝3＋tsin α(t为参数)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1：ρ＝4cos θ.直线l 与曲线C1相切．(1)将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，并求α的值．(2)已知点Q(2,0)，直线l与曲线C2：x2＋y23＝1交于A，B两点，求△AB Q的面积．解：(1)曲线C1：ρ＝4cos θ，即ρ2＝4ρcos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝4x，即C1：(x－2)2＋y2＝4，可得圆心(2,0)，半径r＝2，直线l的参数方程为x＝1＋tcos α，y＝3＋tsin α(t为参数)，其中0≤α＜π，由题意l与C1相切，可得普通方程为y－3＝k(x－1)，k＝tan α，0≤α＜π且α≠π2，因为直线l与曲线C1相切，所以|k＋3|k2＋1＝2，所以k＝33，所以α＝π6.(2)直线l的方程为y＝33x＋233，代入曲线C2：x2＋y23＝1，整理可得10x2＋4x－5＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－25，x1·x2＝－12，所以|AB|＝1＋13·－252－4×－12＝625，Q到直线的距离d＝43313＋1＝2，所以△AB Q的面积S＝12×625×2＝625.8．已知直线L的参数方程为x＝2＋t，y＝2－2t(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝21＋3cos2θ.(1)求直线L的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2)过曲线C上任意一点P作与直线L夹角为π3的直线l，设直线l与直线L的交点为A，求|PA|的最大值．解：(1)由x＝2＋t，y＝2－2t(t为参数)，得L的普通方程为2x＋y－6＝0，令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得直线L的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ－6＝0，由曲线C的极坐标方程，知ρ2＋3ρ2cos2θ＝4，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y24＝1.(2)由(1)，知直线L的普通方程为2x＋y－6＝0，设曲线C上任意一点P(cos α，2sin α)，则点P到直线L的距离d＝|2cos α＋2sin α－6|5.由题意得|PA|＝dsin π3＝4152sinα＋π4－315，所以当sinα＋π4＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为4153＋215.。