坐标系与参数方程标准化讲义

坐标系与参数方程标准化讲义目录第一讲：极坐标第二讲：参数方程第三讲：高考对接备注：参考答案第一节 极坐标1．将直角坐标转化为极坐标．(3(5)(3(02)(02)(50)(05)---，，，，，，，，，，，，，A B C D P Q M N ．2．将极坐标转化为直角坐标．7537235,312(3)46436246⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，A B C D P Q M N ππππππππ．3．将下列直角坐标方程转化为极坐标方程．2222221234(1)5((16==+==+=-+=+-=，，，，，，x y x y y x y x y x y ，y 2 = 4x ，2214+=x y ．4．将极坐标方程转化为直角坐标方程．1cos 20sin cos 434⎛⎫⎛⎫==-===+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，ρθρθρθρθρθπππ．5．在极坐标系中，极坐标为26⎛⎫ ⎪⎝⎭，π的点到极点和极轴的距离分别为___________．6．已知曲线C 的极坐标方程为ρ(3cos θ - 4sin θ) = 1，则C 与极轴的交点到极点的距离是___________． 7．在极坐标系中，点26⎛⎫ ⎪⎝⎭，π到直线ρsin 16⎛⎫-= ⎪⎝⎭θπ的距离为_________．8．在极坐标系中，点23⎛⎫ ⎪⎝⎭，π到直线ρ(cos θθ) = 6的距离为_________．9．已知直线l 的极坐标方程为2sin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π，点A 的极坐标为74A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π，求点A 到直线l 的距离．10．在极坐标系中，圆ρ = 8sin θ上的点到直线3θ=π（ρ∈R ）距离的最大值是_________． 11．已知圆的极坐标方程为ρ = 4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为43⎛⎫ ⎪⎝⎭，π，则| CP | =___________．12．在极坐标系中，点23⎛⎫- ⎪⎝⎭，π到圆ρ = -2cos θ的圆心的距离为___________．13．在极坐标系中，O 是极点，设点16A ⎛⎫⎪⎝⎭，π，22⎛⎫ ⎪⎝⎭，B π，则△OAB 的面积是___________．14．在极坐标系中，已知两点23P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π和56⎛⎫ ⎪⎝⎭，Q π，则PQ 的中点M 的极坐标为__________．15．已知M 点的极坐标为26⎛⎫-- ⎪⎝⎭，π，则M 点关于直线2θ=π的对称点坐标为___________．16．在极坐标系(ρ，θ) ρ > 0，0≤θ≤2π中，曲线ρcos θ = -1与曲线ρ = 2sin θ的交点的极坐标为______． 17．在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ = cos θ和ρsin θ = 1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为___________．18．在极坐标系中，直线ρcos θ - sin θ) = 2与圆ρ = 4sin θ的交点的极坐标为___________．19．在极坐标系中，已知圆O ：ρ = cos θ + sin θ 和直线l ：ρsin 4⎛⎫-= ⎪⎝⎭θπ．（1）求圆O 和直线l 的直角坐标方程；（2）当(0)θ∈，π时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．20．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为22cos 24ρρθ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，π． （1）将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．21．在极坐标系中，直线sin 24ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π被圆ρ = 4截得的弦长为_________．22．在极坐标系中，直线ρ = cos θ sin θ - 1 = 0与圆ρ = 2cos θ交于A ，B 两点，则| AB |=_______． 23．（2018·江苏）在极坐标系中，直线l 的方程为sin 26ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．24．在极坐标系中，直线ρ(sin θ - cos θ) = a 与曲线ρ = 2cos θ - 4sin θ相交于A ，B 点，若||=AB a 的值为_________．25在O 为极点的极坐标系中，圆ρ = 4sin θ和直线ρsin θ = a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，则a 的值为_________．26．在极坐标系中，点A 在圆ρ2 - 2ρcos θ - 4ρsin θ + 4 = 0上，点P 的坐标为(1，0)，则| AP |的最小值为_________．27．在极坐标系中，已知点P 为圆07sin 22=-+θρρ上任意一点．求点P 到直线07sin cos =-+θρθρ的距离的最小值与最大值．28.在极坐标系中，P 是曲线θρsin 12=上的动点，Q 是曲线)6cos(12πθρ-=上的动点，试求|PQ |的最大值．29.在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是 .第二节 参数方程1．点P (3，b )在曲线121x y t ⎧⎪=⎨=--⎪⎩（t 为参数）上，则b 的值为（ ）A ．-5B ．3C ．5或-3D ．-5或32．曲线2143x t y t ⎧=+⎨=-⎩（t 为参数）与x 轴的交点坐标是（ ）A ．(1，4)B ．25016⎛⎫⎪⎝⎭，C ．(1，-3)D ．25016⎛⎫± ⎪⎝⎭，3．将参数方程转化为普通方程．（1）4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）；（3）32cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）；（4）x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；（5）5cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（6）3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（7）1221x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）；（8）21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）；（9）1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）；（10）51x ty =+⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数）．(11)．参数方程135x q y q =+⎧⎨=+⎩（q 为参数）化为普通方程是（ ）A ．5x - 3y ＝1B ．5x - y ＝1C ．5x - y ＝2D ．x - 5y ＝2(12)．参数方程cos cos 21x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）表示的曲线是（ ）A ．直线B ．抛物线的一部分C ．圆的一部分D ．椭圆的一部分(11)．将331x t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数），化成普通方程为_______________．(12)．将参数方程12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），化成普通方程为______________．(13)．已知曲线C 1：4cos 3sin x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），C 2：8cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．(14)．若直线l 1：122x t y kt =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）与直线l 2：12x sy s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k =_______．(15)．若直线1223x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k =__________．(16).已知曲线C 的参数方程为13⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩x y t t （t 为参数，t > 0），求曲线C 的普通方程．4．将普通方程化为参数方程． （1）将22194x y +=化为参数方程；（2）已知圆方程222640x y x y ++++=，将它化为参数方程．（3）写出经过点)5,1(0M ，倾斜角是3/π的直线l 的参数方程5. 参数方程与简单的解析几何（1）圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．（2）将曲线C ：=cos ,=1sin x y θθ⎧⎨-+⎩(θ为参数)化为普通方程，如果曲线C 与直线0=++a y x 有公共点，求实数a 的取值范围． （3）点(x ，y )是曲线C ：=2cos ,=sin x y θθ-+⎧⎨⎩(θ为参数，0≤θ＜2π)上任意一点，则yx 的取值范围是__________．（4）若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是()A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定（5）已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．过圆心(6)已知A ，B 分别是椭圆22=1369x y +的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，则△ABC 的重心G 的轨迹的参数方程是__________．6. 参数方程求最值（1）．在平面直角坐标系xOy 中，设()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值（2）．设P 是椭圆2x 2 + 3y 2 = 12上的一个动点，求x + 2y 的最大值和最小值．（3）．已知实数x ，y 满足22(1)(2)25x y -+-=，求222x y x y ++，的最值．（4）.求椭圆22194x y +=上一点P 与定点(1，0)之间距离的最小值．（5）点M (x ，y )在椭圆22=1124x y +上，则点M 到直线x + y - 4 = 0的距离的最大值为__________，此时点M的坐标是__________．7. 参数方程t 的应用（1）若一直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12t ，y ＝y 0－32t(t 为参数)，则此直线的倾斜角为( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．150° （2）已知：直线l 过点)0,2(P ，斜率为34，直线l 和抛物线x y 22=相交于B A ,两点，设线段AB 的中点为M ，求（1）M P ,两点间的距离（2）M 点的坐标（3）线段AB 的长AB（3）(2015·湛江市高三(上)调考)直线⎩⎨⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________．（4）已知直线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝2t ＋1(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为θρsin 4=，设曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．（5）求经过点(1，1)，倾斜角为135°的直线截椭圆1422=+y x 所得的弦长。