复杂网络概述
网络科学中的复杂网络研究
网络科学中的复杂网络研究随着互联网技术的不断发展，人们的生活方式和工作方式也在发生着巨大的变化。
同时，人们对于互联网的极度依赖也使得网络科学变得越来越重要。
网络科学是一门研究网络结构、行为和演化的学科，其中复杂网络研究是网络科学中的重要方向之一。
本文将探讨网络科学中的复杂网络研究。
一、复杂网络的定义复杂网络是指由大量节点（node）和连接（link）构成的一种网络结构。
在复杂网络中，节点可以代表不同的事物，如人、公司、物品等，而连接则代表节点之间的关系，如交互、联系、传递等。
复杂网络的结构往往是非常复杂的，节点和连接数量很大，而且连接关系存在着很多的变化和不确定性。
二、复杂网络的特征复杂网络具有许多独特的特征，其中比较重要的特征包括：1.小世界性：复杂网络的节点之间往往会形成一些短路径，这些短路径将整个网络连接在了一起。
这种现象称为小世界性。
小世界性意味着网络的信息传递能力很强。
2.无标度性：复杂网络中的节点往往分布不均匀，只有少数节点连接了大量的其他节点，而大多数节点只连接了少量的节点。
这种现象称为无标度性。
无标度性意味着网络的节点之间存在着重要的枢纽节点。
3.聚集性：复杂网络中的节点往往呈现出聚集集中的现象，这些节点之间存在着很多的三角形连接关系。
这种现象称为聚集性。
聚集性意味着网络的节点之间存在着很多的社区结构。
三、复杂网络的研究方法复杂网络的研究方法主要包括两类，一类是基于统计物理学的方法，另一类是基于图论的方法。
基于统计物理学的方法通常用于描述网络中的相变现象，如网络的阈值、相等温转变等。
而基于图论的方法通常用于描述网络中节点之间的联系和关系，如节点之间的距离、聚集系数等。
四、复杂网络的应用复杂网络的应用非常广泛，其中比较重要的应用包括：1.社交网络分析：通过对社交网络进行复杂网络分析，可以深入了解社交网络中的节点之间的关系、信息传播和社区结构等。
2.互联网搜索引擎：搜索引擎可以通过对互联网进行复杂网络分析，提高搜索的效果和精度。
复杂网络与网络安全
复杂网络与网络安全复杂网络与网络安全引言复杂网络的基本概念和特征复杂网络的定义所谓复杂网络，是指由大量节点和连接构成的网络结构。
节点代表网络中的个体或单位，连接则表示节点之间的关系或交互。
复杂网络可以是物理网络，如互联网；也可以是抽象的概念网络，如社交网络或生物网络。
复杂网络的研究旨在揭示网络中节点间的相互关系和信息流动规律。
复杂网络的特征复杂网络具有许多独特的特征，这些特征使得网络具备了自组织、鲁棒性和复杂性等特点。
1. 小世界效应：复杂网络中，任意两个节点之间的最短路径长度很短，节点之间的联系紧密。
这种联系密集的特点使得信息在网络中迅速传播，形成了“六度分隔”现象。
2. 无标度性：复杂网络中的节点度数呈现幂律分布。
这意味着网络中存在少量的高度连接节点，这些节点是整个网络中信息传播和控制的关键。
3. 群聚效应：复杂网络中的节点往往会组成紧密相连的社区或子图。
这些社区内节点之间的联系紧密，而与社区外的节点联系较弱。
这种群聚效应在社交网络和生物网络中尤为明显。
4. 鲁棒性：复杂网络具备一定的抗毁性。
即使在网络中某些节点或连接被破坏，网络仍然能够维持一定的功能和性能。
复杂网络在网络安全中的应用复杂网络理论在网络安全领域中有着广泛的应用。
以下是几种典型的应用案例：1. 防火墙配置优化：利用复杂网络的群聚效应，可以对网络中的节点进行社区划分，从而更好地配置防火墙，提高网络的安全性。
2. 威胁传播模型：复杂网络的小世界效应可以用来构建威胁传播模型，帮助预测网络中的威胁传播路径，并采取相应的防御措施。
3. 异常检测：通过对复杂网络中节点之间的连接关系进行分析，可以发现异常行为，并及时采取措施进行阻断。
4. 社交网络分析：社交网络中存在着大量的信息传递和交互，复杂网络理论可以用于对社交网络中的信息传播和用户行为进行分析，以识别潜在的安全威胁。
复杂网络理论为网络安全提供了新的思路和方法。
通过深入研究和应用复杂网络理论，我们可以更好地理解网络安全问题的本质，并采取相应的措施来提高网络的安全性。
数学中的复杂网络
数学中的复杂网络在数学领域中，复杂网络是指由大量节点和连接它们的边组成的网络结构。
这些节点和边的关系可以用数学模型来描述和分析，从而揭示网络的特性和行为。
复杂网络广泛应用于各个领域，如社交网络、生物网络、物流网络等。
它们的研究对于了解和解决实际问题具有重要意义。
一、复杂网络的定义和组成1. 节点：复杂网络的节点代表网络中的个体、物体或者事件等，可以是人、动物、物品等。
节点是网络的基本单位，每个节点可以有自己的属性和特征。
2. 边：复杂网络的边代表节点之间的连接关系，可以是直接或间接的连接。
边可以是有向或无向的，代表了节点之间的关系强度和方向性。
3. 度：节点的度是指与该节点相连接的边的数量。
节点的度可以衡量它在网络中的重要性和影响力，具有重要的拓扑属性。
二、复杂网络的特性和行为1. 小世界性：复杂网络具有小世界性质，即任意两个节点之间的平均路径长度较短。
这意味着网络中的节点之间可以通过较短的路径进行传递信息和交流。
2. 无标度性：复杂网络的节点度分布呈幂律分布，即只有少数节点具有非常高的度。
这些高度连接的节点被称为“关键节点”，对网络的鲁棒性和稳定性起到重要作用。
3. 聚类性：复杂网络中存在着节点的聚类现象，即相互连接的节点倾向于形成集群或社区。
这些聚类结构可以揭示网络中节点之间的相似性和密切关系。
4. 随机性：复杂网络中节点和边的连接关系具有一定的随机性，这导致了网络的不确定性和复杂性。
对随机网络的建模和分析有助于理解和预测现实世界中的复杂系统。
三、复杂网络的应用1. 社交网络：复杂网络理论被广泛应用于社交网络的研究中。
通过对社交网络的节点和边进行分析，可以揭示出个人之间的联系和社交群体的结构，对信息传播、社会动态等方面具有重要影响。
2. 生物网络：复杂网络在生物学领域有着广泛的应用。
生物网络可以表示蛋白质相互作用、基因调控等生物系统中的网络结构。
通过研究和模拟生物网络，可以洞察生物系统的功能和演化规律。
复杂网络：探索从信息到生态的深度互联世界
复杂网络：探索从信息到生态的深度互联世界复杂网络是指由大量节点和连接所组成的网络结构，这些节点之间的联系不仅仅是简单的线性连接，而是呈现出一种复杂的非线性关联关系。
复杂网络不仅存在于社会关系网络、通讯网络、互联网等信息网络中，还可以在生态系统中找到许多类似的结构。
本文将探索复杂网络在信息和生态领域的深度互联世界，首先从复杂网络的基本特征开始，然后探讨复杂网络在信息领域的应用以及在生态领域的应用，最后讨论复杂网络在信息和生态之间的相互作用与影响。
一、复杂网络的基本特征1.1节点和连接复杂网络由大量节点和连接组成，节点表示网络中的个体或者元素，连接表示节点之间的关系。
节点和连接的多样性使得复杂网络呈现出多样性和复杂性。
1.2小世界性质复杂网络中存在小世界性质，即网络中的节点之间距离较短，通过较短的路径就可以互相到达。
这种小世界性质使得信息在网络中的传播速度较快。
1.3无标度性质复杂网络的节点度数分布呈现出无标度性质，即存在少数节点的度数非常高，而大多数节点的度数相对较低。
这种无标度性质使得网络中存在着少数节点能够对整个网络产生重要影响的“关键节点”。
1.4社团结构复杂网络中存在着社团结构，即节点之间存在着密集的内部联系，而不同社团之间的连接较弱。
这种社团结构使得网络中存在着不同的子网络，这些子网络在信息传播和生态交互中扮演着重要的角色。
二、复杂网络在信息领域的应用2.1社交网络社交网络是复杂网络的一个重要应用领域，人们通过社交网络来建立和维护人际关系，进行信息交流和传播。
社交网络中的节点表示个体，连接表示个体之间的社交关系。
研究发现，社交网络中存在少数的“意见领袖”和“信息传播者”，他们能够对整个网络的信息传播产生重要影响。
2.2互联网互联网是大规模复杂网络的代表，互联网中存在着海量的网站和页面，它们之间通过超链接建立了复杂的连接关系。
互联网的无标度性质使得少数的核心网站对整个网络的结构和信息传播产生了重要影响。
复杂网络及其应用分析
复杂网络及其应用分析随着信息科技的快速发展，复杂网络成为了研究者们探究网络结构与行为规律的有力工具。
从物理学到社会学、生态学，从生命科学到信息科学，复杂网络在各领域都是十分重要的研究对象。
本文将介绍复杂网络的概念及其应用分析。
一、复杂网络的概念复杂网络是指由大量节点和链接组成的网络。
网络中的节点代表着各种社会实体（例如人、公司、国家等），链接则表示各个节点之间的互动、联系或者关联。
网络中的节点和链接是互相依存的，两者共同构成了整个网络的结构。
大多数复杂网络具有以下几个特点：1.节点数量众多。
2.节点之间存在复杂的关系，而非简单的线性结构。
3.不同节点之间的联系具有明确的方向性和权重。
4. 网络中的某些节点可能拥有特殊的作用，例如网络中心节点、关键节点等。
5. |网络的结构及其演化可能受到多个因素的影响，例如节点数量、节点连接方式、节点权重、外部环境等。
二、复杂网络的应用1.社会学：复杂网络在社会学领域的应用较为广泛，例如研究人际关系、组织结构、信息传播等。
将人们的社会行为用网络的形式进行建模，可以更加深入地理解人类社会的本质和规律。
2.生命科学：复杂网络在生命科学领域的应用主要包括生物网络和脑神经网络等。
通过对生物网络的研究，可以揭示生命系统的演化与调节机理，为生物工程和医学研究提供新的思路。
而对脑神经网络的研究则有助于我们更加深入地了解人类认知和行为规律。
3.物理学：复杂网络在物理学领域的应用主要包括纳米科学、凝聚态物理学、量子信息等。
例如，通过构建复杂网络来模拟在纳米领域中物质输运和信息传递的规律，有望推动纳米科学和纳米技术的发展。
4.信息科学：网络技术已经成为当代信息科学的核心，而复杂网络则为人们研究网络结构和各类网络问题提供了新的思路。
例如，在互联网中，复杂网络的研究可以帮助我们更好地理解包括搜索引擎优化、社交媒体营销等在内的网络营销策略。
三、信息社会中的复杂网络引发的问题在信息社会中，复杂网络的研究不仅限于理论领域，更是直接涉及到人类社会的稳定和发展。
复杂网络概述
小世界实验—六度分离
• 我们或许有过这样的经历：偶尔碰到一个陌生人，同他聊了一 会后发现你认识的某个人居然他也认识，然后一起发出”这个 世界真小”的感叹。那么对于世界上任意两个人来说，借助第 三者、第四者这样的间接关系来建立起他们两人的联系平均来 说最少要通过多少人呢？ • 美国社会心理学家斯坦利•米尔格伦(Stanley Milgram)在1967 年通过一些实验后得出结论：中间的联系人平均只需要5个。他 把这个结论称为“六度分离”。 • 六度分离: 平均只要通过5个人，你就能与世界任何一个角落的 任何一个人发生联系。这个结论定量地说明了我们世界的”大 小”，或者说人与人关系的紧密程度。 • 30多年来，六度分离理论一直被作为社会心理学的经典范例之 一。 • 尽管如此，实际上这个理论并没有得到严格的证实。美国心理 学教授朱迪斯•克兰菲尔德(Judith Kleinfeld)对米尔格伦最初 的实验提出不同意见，因为她发现实验的完成率极低。
• 他可以和许多不同领域的数学家合作。数学家常 将本身长久解决不了的问题和他讨论，于是很快 地一篇论文便诞生了。
小世界实验---Erdos数
• 数学家以下述方式来定义Erdos数 (Erdos number) : Erdos本人之Erdos 数为0，任何人若曾与Erdos合写过论文， 则其Erdos数为1。任何人若曾与一位 Erdos数为l(且不曾与有更少的Erdos数) 的人合写过论 文， 则他的Erdos数为2„ • 几乎每一个当代数学家都有一个有限的Erdos数，而且这 个数往往非常小，小得出乎本人的预料。比如说证明 Fermat大定理的Andrew Wiles，他的研究方向与Erdos相 去甚远，但他的Erdos数只有3，是通过这个途径实现的： Erdos--Andrew Odlyzko--Chris M.Skinner--Andrew Wiles.
网络科学中的复杂网络理论
网络科学中的复杂网络理论网络科学是一门涵盖计算机科学、数学、物理学等多个学科的交叉学科，其研究的对象是网络，包括社交网络、物流网络、电力网络、金融网络等。
在网络科学的研究中，复杂网络理论是一个重要的分支，它能够帮助我们理解网络的特性和行为。
本文将从复杂网络的概念、网络拓扑结构、网络动力学、网络优化等方面介绍复杂网络理论。
一、复杂网络的概念复杂网络是由许多节点和边组成的网络，节点和边之间的关系可以是同性的或异性的，也可以是有向的或无向的。
复杂网络中的节点可以是人、公司、电力系统中的发电站等，边可以表示这些节点之间的联系，如社交网络中的朋友关系、电力系统中的输电线路等。
由于网络中的节点和边是多种多样的，所以复杂网络具有超过简单网络的复杂性和多样性。
复杂网络理论研究的是网络的结构和行为，通过分析网络节点和边之间的关系，可以揭示网络中的规律和特性。
复杂网络理论已被应用于许多领域，如社交网络分析、流行病模型、交通优化、生物信息学等。
二、网络拓扑结构网络的拓扑结构是指节点和边之间关系的模式，包括邻接矩阵、度分布、聚类系数、路径长度等几个方面。
1. 邻接矩阵邻接矩阵是一个方阵，其中的行和列分别对应网络的节点，矩阵中的元素为1表示对应节点之间有一条边，为0则表示没有边相连。
邻接矩阵是表示网络拓扑结构最简单的方式，但对于大规模网络，其密集的矩阵往往需要大量的存储空间，使得计算和分析变得困难。
2. 度分布节点的度是指该节点连接的边数。
度分布是一个度数与节点数量或概率的关系图，可以揭示网络节点之间关系的多样性。
常见的度分布包括泊松分布、幂律分布等。
幂律分布是指在一个网络中存在很少的高度连接的节点，多数节点的度数较低，这称为“无标度网络”。
无标度网络中的少数节点有着重要的作用，称为“超级节点”，它们是网络中的枢纽或关键节点。
3. 聚类系数聚类系数是指一个节点的邻居之间相互之间已经连接的比例。
聚类系数越高表示该节点的邻居之间越紧密。
复杂网络
表现
复杂网络复杂网络简而言之即呈现高度复杂性的网络。其复杂性的主要表现以下几个方面：
1）结构复杂的主要表现为节点数目巨大，网络结构呈现多种不同特征。
2）网络进化的主要表现为节点或连接的产生与消失。例如world-wide network，网页或链接随时可能出现 或断开，导致网络结构不断发生变化。
复杂网络
具有自组织、自相似或全部性质的网络
01 概念
03 内容 05 研究方向
目录
02 表现 04 特性
复杂网络（Complex Network），是指具有自组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部分或全部性质的 网络。特征：小世界、集群即集聚程度的概念、幂律的度分布概念。
概念
复杂网络钱学森给出了复杂网络的一个较严格的定义：具有自组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部 分或全部性质的网络称为复杂网络。
第二，集群即集聚程度(clustering coefficient)的概念。例如，社会网络中总是存在熟人圈或朋友圈， 其中每个成员都认识其他成员。集聚程度的意义是网络集团化的程度；这是一种网络的内聚倾向。连通集团概念 反映的是一个大网络中各集聚的小网络分布和相互联系的状况。例如，它可以反映这个朋友圈与另一个朋友圈的 相互关系。
3）连接样性：节点之间的连接权重存在差异，且有可能存在方向性。
4）动力学复杂性：节点集可能属于非线性动力学系统，例如节点状态随时间发生复杂变化。
5）节点多样性：复杂网络中的节点可以代表任何事物，例如，人际关系构成的复杂网络节点代表单独个体， 万维网组成的复杂网络节点可以表示不同网页。
6）多重复杂性融合：即以上多重复杂性相互影响，导致更为难以预料的结果。例如，设计一个电力供应网络 需要考虑此网络的进化过程，其进化过程决定网络的拓扑结构。当两个节点之间频繁进行能量传输时，他们之间 的连接权重会随之增加，通过不断的学习与记忆逐步改善网络性能。
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小世界实验—六度分离
• 我们或许有过这样的经历：偶尔碰到一个陌生人，同他聊了一 会后发现你认识的某个人居然他也认识，然后一起发出‛这个 世界真小‛的感叹。那么对于世界上任意两个人来说，借助第 三者、第四者这样的间接关系来建立起他们两人的联系平均来 说最少要通过多少人呢？ • 美国社会心理学家斯坦利•米尔格伦(Stanley Milgram)在1967 年通过一些实验后得出结论：中间的联系人平均只需要5个。他 把这个结论称为‚六度分离‛。 • 六度分离: 平均只要通过5个人，你就能与世界任何一个角落的 任何一个人发生联系。这个结论定量地说明了我们世界的‛大 小‛，或者说人与人关系的紧密程度。 • 30多年来，六度分离理论一直被作为社会心理学的经典范例之 一。 • 尽管如此，实际上这个理论并没有得到严格的证实。美国心理 学教授朱迪斯•克兰菲尔德(Judith Kleinfeld)对米尔格伦最初 的实验提出不同意见，因为她发现实验的完成率极低。
13
复杂网络的结构
四种结构模型：
–规则网络
–随机网络 –小世界网络 –无标度网络
规则网络
系统中节点及其与边的关系是固定的。
（a）全局耦合网络； （b）最近邻耦合网络；
（c）星形网络
全局耦合网络具有最小的平均路径长度Lgc =1和 最大的聚类系数Cgc =1；
最近邻耦合网络:包含N个围成一个环的点，其中每个
Virginia大学计算机系的科学家建立了一个电影演员的数据库，放在
网上供人们随意查询。网站的数据库里目前总共存有近60万个世界各 地的演员的信息以及近30万部电影信息。通过简单地输入演员名字就
可以知道这个演员的Bacon数。
一个有趣的数学家故事：Erdǒs数证明小世界实验。 4
小世界实验--- 六度分离
3
③ 小世界实验
20世纪60年代美国哈佛大学的社会心理学家Stanley Milgram通过
一些社会调查后给出的推断是：地球上任意两个人之间的平均距离是6。
这就是著名的‚六度分离‛（six degrees of separation）推断。 为了检验‚六度分离‛的正确性，小世界实验—Bacon数。美国
1736年， 七桥游戏
一笔画问题
2
② 随机图理论
20世纪60年代，由两位匈牙利数学家Erdǒs和Rényi建立的 随机图理论（random graph theory）被公认为是在数学上开创 了复杂网络理论的系统性研究。 Erdǒs和Rényi的最重要的发 现是：ER随机图的许多重要性质都 是突然涌现的。也就是说，对于任 一给定的概率p，要么几乎每一个 图都具有某个性质Q（比如说，连 通性），要么几乎每一个图都不具 有该性质。 在20世纪的后40年中，随机图 理论一直是研究复杂网络的基本理 论。
小世界实验---Erdos数
•
•
Fields奖得主的Erdos数都不超过5，（只有Cohen和 Grothendieck的Erdos数是5，）
Nevanlinna奖得主的Erdos数不超过3，（只有Valiant的 Erdos数是3）
• Wolf数学奖得主的Erdos数不超过6，（只有V.I.Arnold是6， 且只有Kolmogorov是5，）
• Steele奖的终身成就奖得主的Erdos数不超过4. • 在具有有限Erdos数的人名单中往往还能发现一些其他领域 的专家，如: 比尔盖兹(Bill Gates)， 他的Erdos数是4， 通过如下途径实现：Erdos--Pavol Hell--Xiao Tie Deng-Christos H. Papadimitriou--William H. (Bill) Gates.
复杂网络
• 复杂网络概念 • 复杂网络含义 大量真实复杂系统的拓扑抽象； 在感觉上比规则网络和随机网络复杂；
大量复杂系统得以存在的拓扑基础。
• 复杂网络的研究历史 哥尼斯堡七桥——>随机图论——>小世界和无标度网络
复杂网络研究简史
① 格尼斯堡七桥问题
Euler（1707~1783）， 瑞士数学家 ，图论 之父
小世界实验--- Bacon数
• 截止到几天前，世界电影史上共产生了大约23万 部电影，78多万名电影演员（参见互联网电影库 ）. • Kavin Bacon在许多部电影中饰演小角色。 • 几年前,Virginia 大学的计算机专家Brett Tjaden设计了一个游戏，他声称电影演员Kevin Bacon是电影界的中心。 • 在游戏里定义了一个所谓的Bacon数：随便想一 个演员，如果他（她）和Kavin Bacon一起演过 电影，那么他（她）的Bacon数就为1；如果他 （她）没有和Bacon演过电影，但是和Bacon数为 1的演员一起演过电影，那么他的Bacon数就为2； 依此类推。 • 发现: 在曾经参演的美国电影演员中，没有一个 人的Bacon数超过4。
• 他可以和许多不同领域的数学家合作。数学家常 将本身长久解决不了的问题和他讨论，于是很快 地一篇论文便诞生了。
小世界实验---Erdos数
• 数学家以下述方式来定义Erdos数 (Erdos number) : Erdos本人之Erdos 数为0，任何人若曾与Erdos合写过论文， 则其Erdos数为1。任何人若曾与一位 Erdos数为l(且不曾与有更少的Erdos数) 的人合写过论 文， 则他的Erdos数为2… • 几乎每一个当代数学家都有一个有限的Erdos数，而且这 个数往往非常小，小得出乎本人的预料。比如说证明 Fermat大定理的Andrew Wiles，他的研究方向与Erdos相 去甚远，但他的Erdos数只有3，是通过这个途径实现的： Erdos--Andrew Odlyzko--Chris M.Skinner--Andrew Wiles.
• 爱因斯坦的Erdos数是2.
有两篇开创性的文章可以看作是复杂网络研究新纪 元开始的标志：
一篇是美国康奈尔（Cornell）大学理论和应用力学 系的博士生Watts及其导师、非线性动力学专家Strogatz教授于 1998年6月在Nature杂志上发表的题为《‚小世界‛网络的集体 动力学》（Collective Dynamics of ‘Small-World’ Networks）的文章； 另一篇是美国Notre Dame大学物理系的Barabāsi教 授及其博士生Albert于1999年10月在Science杂志上发表的题为 《随机网络中标度的涌现》（Emergence of Scaling in Random Networks）的文章。 这两篇文章分别揭示了复杂网络的小世界特征和无 标度性质，并建立了相应的模型以阐述这些特性的产生机理。
个中心点连接，其平均路径长度为
Lstar 2
聚类系数为
C
star
2( N 1) 2 N ( N 1)
N 1 1 N
( N ) ( N )
随机图
• 随机图是与规则网络相反的网络，一个典型模型 是Erdos和Renyi于40多年前开始研究的随机图模 型。 假设有大量的纽扣（N》1）散落在地上，并以相 同的概率p给每对纽扣系上一根线。这样就会得到 一个有N个节点，约pN(N-1)/2条边的ER随机图的 实例。
小世界实验--- Bacon数
• 在网上有一个网页/oracle/。网 站的数据库里总共存有有783940个世界各地的演员的信息以及 231,088部电影信息。 • 通过简单地输入演员名字就可以知道这个演员的bacon数。目 前比如输入Stephen Chow（周星驰）就可以得到这样的结果： 周星驰在1991年的《豪门夜宴(Haomen yeyan)》 中与洪金宝 (Sammo Hung Kam-Bo)合作；而洪金宝又在李小龙的最后一部 电影，即1978年的《死亡的游戏 （Game of Death）》 中与 Colleen Camp 合作；Colleen Camp 在去年的电影《Trapped》 中与Kevin Bacon 合作。这样周星驰的Bacon数为3。 • 对78万个演员所做的统计：演员的最大Bacon数仅仅为8，平均 Bacon数仅为2.948。
1998，Watts和Strogatz：WS小世界网络
D. J. Watts, and S. H. Strogatz, Nature, 393, 440-442 (1998).
18
小世界网络
WS小世界模型 NW小世界模型
C(p) : 平均聚集系数 L(p) : 平均最短路径
小世界网络
作为从完全规则网络向完全随机图的过渡，Watts和Strogtz 于1998年引入了一个小世界网络模型，称为WS小世界模型。 其构造算法如下： ①从规则图开始：考虑一个含有N个点的最近邻耦合网络， 它们围成一个环，其中每个节点都与它左右相邻的各K/2 个节点相连，K是偶数。 ②随机化重连：以概率p随机地重连网络中的每个边，即将 边的一个端点保持不变，而另一个端点取为网络中随机选 择的一个节点。其中规定，任意两个不同节点之-间至多 只能有一条边，并且每一个节点都不能有边与自身相连。
小世界实验---Erdos数
• Paul Erdos((1913-1996)：是出生于匈牙利的犹 太籍数学家，被公认为20世纪最伟大的天才之一。 • Erdos毕生发表的论文超过1500篇（在数学史上 仅次于欧拉(Euler ，1707-1783))，超长的合作 者名单,合作者超过450位。但若加上别人所做但 曾获他关键性提示之论文，则他的论文应有数万 篇。 • 他的研究领域主要是数论和组合数学，但他的论 文中涵盖的学科有逼近论、初等几何、集合论、 概率论、数理逻辑、格与序代数结构、线性代数、 群论、拓扑群、多项式、测度论、单复变函数、 差分方程与函数方程、数列、Fourier分析、泛 函分析、一般拓扑和代数拓扑、统计、数值分析、 计算机科学、信息论等等。 • "Mathematical Reviews" 曾把数学划分为大约 六十个分支，Erdos的论文涉及到了其中的40%.