将军饮马问题

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将军饮马问题的11个模型及例题

将军饮马问题的11个模型及例题将军饮马问题是一个经典的逻辑问题，涉及到将军如何用有限数量的马和酒到达目的地。

本文将介绍将军饮马问题的11个模型及相应的例题。

1. 直线模型将军与目的地之间没有障碍物，可以直线前进。

此时，将军只需将马拉到目的地即可。

例题1：将军与目的地之间距离为10公里，马的速度为每小时5公里，将军能否在2小时内到达目的地？2. 单个障碍物模型在将军与目的地之间存在一个障碍物，将军可以绕过该障碍物。

例题2：将军与目的地之间距离为15公里，马的速度为每小时4公里，障碍物位于距离将军起点5公里处，将军能否在3小时内到达目的地？3. 多个障碍物模型在将军与目的地之间存在多个障碍物，将军需要逐一绕过这些障碍物。

例题3：将军与目的地之间距离为20公里，马的速度为每小时6公里，障碍物位于距离将军起点分别为5公里、10公里和15公里的位置，将军能否在4小时内到达目的地？4. 跳跃模型将军可以让马跳过障碍物，从而直接到达目的地。

例题4：将军与目的地之间距离为12公里，马的速度为每小时8公里，将军在距离起点6公里处设置一个障碍物，将军能否在2小时内到达目的地？5. 限时模型将军需要在规定的时间内到达目的地。

例题5：将军与目的地之间距离为30公里，马的速度为每小时10公里，将军需要在3小时内到达目的地，是否可能？6. 守备模型目标地点有守备军，将军需要巧妙规避守备军。

例题6：将军与目的地之间距离为25公里，马的速度为每小时7公里，目的地有一支守备军位于距离目标地点10公里处，将军能否在4小时内到达目的地？7. 短平快模型将军不借助马匹，直接徒步走到目的地。

例题7：将军与目的地之间距离为8公里，将军的步行速度为每小时2公里，将军能否在4小时内到达目的地？8. 时间窗模型将军只能在规定时间范围内到达目的地。

例题8：将军与目的地之间距离为18公里，马的速度为每小时6公里，将军需要在3小时到4小时之间到达目的地，是否可能？9. 兵变模型将军需要利用敌军马匹达到目的地。

将军饮马18道典型习题

“将军饮马”常见模型及18道典型习题何为将军饮马？2000多年以前。

古希腊的亚历山大城里住着一位睿智的数学家海伦。

一天，城里来了一位将军，听闻海伦盛名，特来向他请教一个问题。

将军说，每天早上，他都骑着马儿从营帐出发，到河边让马儿饮水，然后，再去河岸同一侧的一块草地上带着马儿去吃草，问题时，在河岸的哪个具体位置喝水，行程最短？海伦略做沉思，给出了将军最佳方案。

此之谓“将军饮马”。

最佳方案为何？且阅下文：一、将军饮马常见的5种模型：1、一动两定（和最小）：如图，点A是将军和马居住的营帐，点B是一块指定的草地，一条小河L潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，P点在何处时，将军和马儿走过的路PA+PB的值最小？解析：做A点关于L的对称点A’，连接A’B，与L的交点即为P点。

为什么这时PA+PB最小？假设L上有一点M（与P点不重合）。

∵A点与A’关于L对称∴AP=A’P；AM=A’M；∴AP + BP =A’P +BP =A’B而AM + BM = A’M +MB在△A’MB中，两边之和大于第三边∴A’B < A’M +MB；而M为L上任一点（与P点不重合）。

∴动点P在A’B与L交点处时AP+BP最小。

2、一定两动：如图，点A是将军和马居住的营帐，小河L1依然像上题中一样潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，不同的是，这次吃草的地方不在是一个指定的点，而是L2所代表的一片草地，Q则是将军骑马吃草的地方，水足草饱以后，将军和马儿会再回到营帐。

那么，P点、Q点在何处时，将军走过的路AP+PQ+QA的值最小？解析：做A点关于L1的对称点A’；做A点关于L2的对称点A‘’；连接A’A‘’，与L1和L2的交点即为P、Q。

为什么此时，AP+PQ+AQ的和最小？假设L1上有点M（不与P重合）、L2上有点N（不与Q重合）。

∵A点与A’关于L1对称；A点与A‘’关于L2对称。

∴AP=A’P；AQ=A”Q；AM=A’M；AN=A”N；∴AP+PQ+AQ = A’P+PQ+A”Q =A’A”；AM+MN+AN = A’M+MN+A”N在四边形A’MNA”中：A’M+MN+A”N >A’A”∴P、Q位于A’A”与L1和L2的交点处时，AP+PQ+AQ的和最小。

将军饮马问题例题

将军饮马问题例题
例题：一个将军饮马，有三个酒坛，其中一个酒坛里装着毒酒，另外两个酒坛里装着普通的酒。

这三个酒坛外观相同，将军无法通过外观来判断哪个酒坛是有毒的。

在喝下一杯毒酒后，将军将会立即死亡。

现在将军有一匹马，这匹马可以闻出毒酒，如果马喝下一杯毒酒，它将会在30分钟后死亡。

将军只有30
分钟的时间来确定哪个酒坛里装着毒酒，并且不允许酒坛之间进行任何类型的测量。

解法：将军可以按照以下步骤确定毒酒所在的酒坛：
1. 为了节省时间，将将军的马分成三组，每组10匹马。

标记
这三组马为A、B、C。

2. 让A组的马尝试第一个酒坛，让B组尝试第二个酒坛，C
组尝试第三个酒坛。

3. 让所有的马者都喝下一杯酒。

4. 等待15分钟。

5. 如果A组的马中有马死亡，那么第一个酒坛是有毒的；如
果B组的马中有马死亡，那么第二个酒坛是有毒的；如果C
组的马中有马死亡，那么第三个酒坛是有毒的。

6. 如果在15分钟内没有任何马死亡，那么第一个酒坛是安全的，因此第二个酒坛是有毒的；如果A和B组的马都没有死
亡，那么第三个酒坛是有毒的。

这样，将军可以在30分钟内确定哪个酒坛里装着毒酒。

专题14 将军饮马问题(解析版)

专题14将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营。

问如何行走才能使总的路程最短。

模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。

方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。

模型二（两点在河的同侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。

方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。

模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。

数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。

方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P’、P’’，连接P’P’’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’P’’的长。

模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。

数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。

方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P’、Q’，连接P’Q’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P’Q’)的长。

模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短。

模型五：已知点P在直线AB、BC的外侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值方法：如右图，过点P作PN⊥BC，垂足为点N，PN与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段PN的长。

将军饮马问题

(二)一次轴对称：两点在一条直线同侧
例2变式1：已知：P、Q是△ABC的边AB、 AC上的点，你能在BC上确定一点R，使△PQR的周长最短吗？
(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部
例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地 OM吃草，再牵马去河边ON喝水，最后回到驻地A，
问：这位将军怎样走路程最短？
将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？
这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。
将军饮马：(一)两点在一条直线两侧
例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？
A
最短路线：
P
A ---P--- B.
M
作法:(1)作点A关于OM的对称点A' ,
点B关于ON的对称点B'.
. (2)连结A'和B'，交OM于C，交ON于D。 A
则点C、D为所求。
B.
.
N
.D
A.' .C
O
B'
将军饮马的实质：（1）求最短路线问题------
通过几何变换找对称图形。
（2）把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，化折线为直线，
（3）可利用“两点之间线段最短” 加以解决。
反
思
我的收获；
是
进
步的
我的疑惑；
阶
梯
面对一个新的求线段最短问题时，
我们可以通过怎样的途径去研究它？
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马, 然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.

将军饮马问题

将军饮马问题起源:古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。

有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：将军从A地出发到河边饮马，然后再到B地军营视察，显然有许多走法。

问走什么样的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答。

这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题。

让我们来看看数学家是怎样解决的。

海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题。

根据公理1连接两点的所有线中，直线段最短。

只知道两点间直线段最短，那么显然要把折线变成直线再解。

如果直接连AB，与I不会相交，怎么办呢？当A、B位于I的异侧时，就有交点了。

于是我们就希望在I的另一侧找一点A '，使得连A ' B与I相交于P点后（这时A ' P+ PB最短）线段A ' P与AP 一样长.由对称的知识可知道，A关于I的对称点就有资格扮演A '的角色。

解：如图1先作A关于I的对称点A '，连接A ' B与I相交于P点，则AP + PB就最小.那么这样作出的AP + PB是否真的最小呢？要证明它只需要在I 上任取一点P',证明AP'+P‘ A >AP + PB就行了。

这点好证明：事实上因为A '、A关于I对称，有AP =A ' P、AP ' = A ' P'，又由公理2:三角形的两边之和大于第三边.AP'+ P‘ B=A ' P'+ P‘ B>A ' B = A ' P+ PB= AP+ PB.原来海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线问题求解的。

后来这一方法已形成了思想，它在解决许多问题中都在起作用。

现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理。

将军饮马问题

问：这位将军怎样走路程最短？
A
B
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河
7
(二)一次轴对称：两点在一条直线同侧
例2作法：
（1）作点B关于直线 MN 的对称点 B’ （2）连结B’A，交MN于点 C；
∴ 点C就是所求的点．
B
A
M
N
C
B’
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8
(二)一次轴对称：两点在一条直线同侧
例2证明：在MN 上任取另一点C’， B
A
连结BC、BC’、 AC’ 、 B’C’ ．
(2)连结A'和A''，交OM 于B，交ON于C。
则点B, C为所求。
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12
(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部
例3变式1：已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？
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13
（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部
例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。
（3）可利用“两点之间线段最短” 加以解决。
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反思阶是梯进步的
我的收获；
我的疑惑；
面对一个新的求线段最短问题时，我们可以通过怎样的途径去研究它？
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9
(二)一次轴对称：两点在一条直线同侧
例2变式1：已知：P、Q是△ABC的边AB、 AC上的点，你能在BC上确定一点R，使△PQR的周长最短吗？
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(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部
例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地 OM吃草，再牵马去河边ON喝水，最后回到驻地A，

将军饮马问题

将军饮马1.问题的历史背景：“将军饮马问题”传说早在古罗马时代，亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。

一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：如图，将军从军营A出发先到河边饮马，再去同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它，展现了他的个人智慧。

从此，这个被称为“将军饮马”的问题广为流传。

2.究其本质，巩固模型。

如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线n表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道。

现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短。

图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是A F和C B F和E C D和C D D和E评析：虽然图形略有改变，但是究其本质，它仍然是我们已建立的基本模型。

根据模型易得：输水分管道的连接点是点B 关于a的对称点B′与A的连线的交点F，煤气分管道的连接点是点A关于b的对称点A′与B的连线的交点C，故选A。

此例关键是抓住模型的本质特征，进一步巩固已经建立的模型，从而达到学以致用的效果。

3.一“模”多变，触类旁通。

通过以上模型的建立，我们把题目做一些变式。

模型变式------ 两定点到直线上一动点的线段距离和最短问题变式①：“模型”在三角形中如图，等边△ABC 的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，求EM+BM的最小值_____。

评析：此例是求两个定点到直线上一个动点距离和最短问题。

只要抓住模型的本质特征，作出图形，找到点M的位置并不困难。

例如：解法（一）图形，然后利用等边三角形的特殊性质，结合勾股定理的知识，再求出这条线段CE’的长度。

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河
Q’ Q
• 例题2：（将军饮马问题）将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？
A B
河岸
B'
• 变式2：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再牵着马去草地吃草，最后去B地开会，应该怎样走才能使路程最短？
B' B
A 河岸草地
A'
• 例题3：一只蚂蚁沿着一个圆柱外壁从A点到B点，请问蚂蚁应该怎样走才能使路程最短？
提示：作点C关于OB的对称点C', 连接C'D，C'D与OB相交于点M, 过点D作y轴的垂线，所以
C ' OM与C ' ED相似
B x
所以
C ' O OM C ' E ED
由勾股定理 AC' 5 4 3 35 展开图2：
综合题：
• 例题4（2011年海珠区九年级上学期期末调研测试改编） 3 x 2 的顶点是D，点M（m,0）是线段OB（含两端 • 函数 y 1 x 2 2 点）上的一个动点，求当m取何值时，CM+DM有最小值？
2
y C' M O C E D
将军饮马问题
• 例题1：从A地到B地，哪一条路线最短？
路线1
路线2
A
路线3
B
路线4
定理：在同一平面上，两点之间的距离直线最短
变式1：
• P,Q两地分别位于河的两岸，现在在河上修建一座桥（桥必须垂直于河岸），使得从P地到Q地的距离是最短的，请问桥应该建在哪里？
P
作法： 1.先将Q点沿着垂直于河岸的方向向河岸平移，且平移的距离为河的宽度，得到Q'点 2.连接PQ‘，则PQ’与上侧的河岸相交的点就是桥的位置 3.P地到Q地的最短距离路线图如左
B B
A
A
圆柱侧面展开图
• 变式3：一只蚂蚁在一个AB为5cm，BC为3cm，B'B为4cm的长方体的A点，如果它想爬到C'点，那么这只蚂蚁应该怎样走才能使路程最短？ D' C
D’
A' D A B B ’ C A
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
’ C' A' B' C ’
4
A'
B'
B
3
C
A
B
由勾股定理 AC' 5 3 4 32 展开图1：