浙江省七年级第五届“睿达杯”数学能力竞赛一试A卷答案
睿达杯试题答案
睿达杯试题答案睿达杯试题是一项考验学生综合能力的竞赛题目。
它旨在提供一个全面而具有挑战性的考试平台，以评估学生的知识水平、思维能力和解决问题的能力。
本文将针对睿达杯试题答案进行全面解析，帮助读者更好地理解和应对这些题目。
1. 数学题答案题目：计算下列函数的导数：f(x) = 3x^2 + 2x - 1解答：对于给定的函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，我们可以使用导数的定义来计算其导数。
根据导数的定义，导数可以通过求函数在某一点的极限来确定。
对于函数f(x)来说，我们需要计算极限lim(h->0) [f(x + h) - f(x)] / h根据极限的性质，我们可以对函数进行求导。
首先，我们需要展开函数：f(x + h) = 3(x + h)^2 + 2(x + h) - 1接下来，我们可以将这个函数展开并化简：f(x + h) = 3(x^2 + 2xh + h^2) + 2(x + h) - 1= 3x^2 + 6xh + 3h^2 + 2x + 2h - 1然后，将f(x + h)和f(x)代入极限表达式，我们得到：lim(h->0) [(3x^2 + 6xh + 3h^2 + 2x + 2h - 1) - (3x^2 + 2x - 1)] / h化简后得到：lim(h->0) (6xh + 3h^2 + 2h) / h继续化简并除去h，得到：lim(h->0) 6x + 3h + 2由于h趋近于0，那么3h和2h都趋近于0。
因此，最终的导数为：f'(x) = 6x + 2所以，函数f(x)的导数为f'(x) = 6x + 2。
2. 物理题答案题目：一个自行车行驶了3000米，始末速度都是5m/s，加速度为1m/s^2，求自行车的运动时间。
解答：根据匀加速直线运动的基本公式，我们可以得到自行车的运动时间。
根据题目，自行车的初速度v0 = 5m/s，末速度v = 5m/s，加速度a = 1m/s^2，位移s = 3000m。
七年级睿达杯数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，有理数是：（）A. √9B. √-1C. πD. √42. 如果a > b，那么下列不等式中正确的是：（）A. a - b > 0B. a + b < 0C. a - b < 0D. a + b > 03. 下列各组数中，成等差数列的是：（）A. 2, 4, 8, 16B. 1, 3, 5, 7C. 3, 6, 9, 12D. 2, 4, 6, 8, 104. 若x^2 - 5x + 6 = 0，则x的值为：（）A. 2 或 3B. 1 或 4C. 1 或 6D. 2 或 55. 下列函数中，是反比例函数的是：（）A. y = x + 2B. y = 2xC. y = 2/xD. y = x^26. 若一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为8cm，则这个三角形的周长为：（）A. 16cmB. 24cmC. 26cmD. 30cm7. 下列关于平行四边形的说法中，正确的是：（）A. 对边平行且相等B. 对角线相等C. 相邻角互补D. 对角线互相平分8. 若一个圆的半径为r，则其直径为：（）A. 2rB. r/2C. r^2D. 4r9. 下列各数中，无理数是：（）A. √25B. √36C. √-1D. √π10. 若一个长方体的长、宽、高分别为2cm、3cm、4cm，则其体积为：（）A. 6cm^3B. 8cm^3C. 10cm^3D. 12cm^3二、填空题（每题3分，共30分）11. 2的平方根是__________。
12. 若x + 3 = 0，则x = ________。
13. 下列数中，正数是__________。
14. 一个等边三角形的边长为a，则其周长为__________。
15. 下列函数中，是一次函数的是__________。
16. 一个圆的直径为10cm，则其半径为__________。
17. 下列数中，有理数是__________。
第五届“睿达杯”初中生数学能力竞赛答案卷(A卷)九年级
3 a 2 3 b 2 a 6 ( ) 6 ( ) , 得 24a 2 36b 2 , 所以 ． 4 3 4 6 b 2
9． 延长 AE 交 BC 于 F ， 易得等腰 ABF 和□ AFCD ， 则 AD = CF = BC BF = BC AB =
3 ． 2
10．如图，作 GP ⊥ DC ．可得， AFE ≌ PHG ，从而 GP = AE =3, 当 CH 最小时， GHC 面积最小，此时要求 DH 最大， 又 DE 长度固定，则要求 EH 最大，又 EF = EH ， 即要求 EF 最大，又 AE 长度固定，则要求 AF 最大， 显然，当点 F 与点 B 重合时， GHC 面积最小．
2 x， 3
(2 分)
CF=
6 1 2 x ，由 DF：AD=AD：AB，得 x： 1 1：x ，则 x ． 3 3 2
1 1 ，从而 CF= x ， x x
④ 如图 5，DF：AD=AD：AB，易得，DF= 由 CH：CF=AD：AB，易得，CH=1
2
1 ， பைடு நூலகம்2
由 GH：BH=AD：AB，易得，CH= x 1 ， 由 CH+BH=AD，得1
2
2 2
(4 分)
x 2
2
(2 分)
图1
图2 第 3 页 共 4 页
图3
图4
(2) ① 如图 2，由 DF：AD=AD：AB，得 ： 1 1：x ，则 x
x 3
3；
(4 分)
② 如图 3，在图 1 的基础上把矩形 BCFE 自相似 2 分割，此时 x
2；
(4 分)
③ 如图 4，由 AD：CH=DF：CF，得 DF：CF=1：2，又 DF+CF=x，得 DF=
初一下睿达杯试题及答案
初一下睿达杯试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是正确的数学表达式？A. 3 + 5 = 8B. 2 × 3 = 6C. 4 ÷ 2 = 1D. 7 - 4 = 2答案：B2. 以下哪个词组是形容天气的？A. 晴朗B. 快乐C. 聪明D. 快速答案：A3. 根据题目所给的英语单词，选择正确的中文翻译。
A. Apple - 苹果B. Dog - 猫C. Cat - 狗D. Fish - 鸟答案：A二、填空题4. 一个数的平方根是4，这个数是_________。
答案：165. 英语中，“早上好”的表达方式是_________。
答案：Good morning6. 根据题目所给的物理公式，计算出物体的重力。
公式为：F = m × g，其中m是物体的质量，g是重力加速度。
假设物体的质量是5千克，重力加速度是9.8 m/s²。
答案：49N三、简答题7. 请简述什么是光合作用。
答案：光合作用是植物利用光能将二氧化碳和水转化为葡萄糖和氧气的过程。
8. 请描述一下地球的自转和公转。
答案：地球的自转是指地球围绕自己的轴旋转，完成一次自转大约需要24小时，导致了昼夜的变化。
地球的公转是指地球围绕太阳的旋转，完成一次公转大约需要365.25天，导致了季节的变化。
四、计算题9. 一个长方形的长是15厘米，宽是10厘米，请计算它的面积和周长。
答案：面积 = 长× 宽= 15 × 10 = 150平方厘米；周长 = 2× (长 + 宽) = 2 × (15 + 10) = 50厘米。
五、作文题10. 请以“我的家乡”为题，写一篇不少于300字的作文。
答案：（此处应由学生自己创作，以下为示例答案）我的家乡位于中国的一个小镇上，那里风景优美，四季分明。
春天，万物复苏，田野里开满了五颜六色的野花；夏天，绿树成荫，河水清澈见底；秋天，金黄的稻谷铺满田野，硕果累累；冬天，白雪皑皑，银装素裹。
浙江省七年级第五届“睿达杯”数学能力竞赛二试(A卷)
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
2．如图，□ ABCD 中，E, F 分别是 AB, AD 的中点，则图中阴影部分与非阴影部分面积的比值为
(▲) 1
3．若正整数 a ， b 满足 a b 116 b 100 ，则 a 的最大值为 ( ▲ )
A. 27
x1 1 x2 1 的最小值为 ▲ . 14. 如右下图，在 ABC 中， ACB 90 ， BAC 30 ， BC 1, D 为斜边 AB 上一动点 (不
与 A 重合)，以 AD 为边在 ABC 外作正 ADE ，过 D 作 DE 的垂线， F 为垂线上任意一点，
G 为 EF 的中点，则线段 CG 长度的最小值为 ▲ .
15．一列数 a1 ， a2 ，…， an ， an1 ，…，满足： a1 m ( m 为正整数)，
a n1
a
n
2
(an为偶数); 若 a4 7 ，则 m 的所有可能取值为 ▲ .
3an 1 (an为奇数).
(第 14 题)
三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 20 分，共 60 分）
16．已知关于 x 的方程 (m2 1)x 2 3(3m 1)x 18 0 有两个正整数根，其中 m 为整数． (1) 求 m 的值； (2) △ ABC 三边长 a、b、c 满足 c 2 3 ，且 m2 a 2m 8a 0 ， m2 b 2m 8b 0 ， 求△ ABC 的面积．
D. 6
9. 如图，半⊙O 的半径为 1， AC AB ， BD AB ，且 AC 2 ， BD 3 ，
P 是半圆上任意一点，则封闭图形 ABDPC 面积的最大值为 ( ▲ )
7 3
A.
2
5 5
浙江省睿达杯七年级数学竞赛辅导
7. 已知关于 x 的一元一次方程 a(2x+1)=3x-2b 有无数个解,则 ab=______________.
8. 若整数 x,y,z 满足方程组
xy z 4 ，则 xyz=_____或_________. x yz 5
9. 若五位数 abcde是 3 的倍数，其中 abcd 是 8 的倍数，则 abcde的最小值是________. 10. 若五位数 abcde是 9 的倍数，其中 abcd 是 4 的倍数，则 abcde的最小值是________. 11. A、B 两辆汽车同时从甲、乙两站相对开出，两车第一次在距甲站 74 公里处相遇，相遇 后两车继续行驶，各自到达乙、甲两站后，立即沿原路返回，第二次在距甲站 128 公里处相 遇．那么甲、乙两站间相距多少公里？
4. 若 2014 x 2014 2014 2014，则 x 的值为________________.
5. 已知 m2+m-1=0,则 m3+2m2+2106=____________.
6. 若关于 x 的方程 x 3 x 6 a 有解，那么 a 的取值范围是______________.
睿达杯提优辅导
1. 方程 3x 6 3x 12 18的整数解共有____________个。
2.
13ab456能被 198 整除，那么 a=________，b=____20152014 20142014 20152015 =_____________.
睿达杯初中数学竞赛试卷
考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列各数中，有理数是（）。
A. √2B. πC. 3/5D. 无理数2. 已知等差数列的前三项分别是2，5，8，则该数列的公差是（）。
A. 3B. 4C. 5D. 63. 下列函数中，是奇函数的是（）。
A. y = x^2B. y = 2xC. y = |x|D. y = 1/x4. 一个等腰三角形的底边长为8cm，腰长为10cm，则该三角形的面积是（）。
A. 32cm²B. 40cm²C. 48cm²D. 56cm²5. 下列命题中，正确的是（）。
A. 任何两个实数都是无理数B. 任何两个有理数都是无理数C. 任何两个无理数都是无理数D. 有理数和无理数不能比较大小二、填空题（每题5分，共20分）6. 已知一元二次方程x² - 4x + 3 = 0的解为x₁和x₂，则x₁ + x₂ = _______。
7. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于原点的对称点是 _______。
8. 若等比数列的首项为2，公比为3，则第n项为 _______。
9. 圆的半径为r，则该圆的周长是 _______。
10. 在直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=3cm，BC=4cm，则AB² = _______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. （10分）已知数列{aₙ}是等差数列，且a₁=2，a₃=10，求该数列的通项公式。
12. （10分）已知函数f(x) = 2x - 3，求函数f(x)的图像与x轴的交点坐标。
13. （10分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，求△ABC的面积。
四、附加题（15分）14. （15分）已知函数f(x) = ax² + bx + c（a≠0），且f(1) = 3，f(2) = 8，求a，b，c的值。
答案：一、选择题：1. C2. A3. B4. C5. D二、填空题：6. 67. (-2,-3)8. 2×3ⁿ⁻¹9. 2πr10. 25三、解答题：11. aₙ = 3n - 112. 函数f(x)的图像与x轴的交点坐标为(3/2, 0)13. △ABC的面积= 3√3 cm²四、附加题：14. a=1，b=4，c=1。
浙教版-学年度七年级数学竞赛试卷1（含解析）
绝密★启用前浙教版2018-2019学年初一数学竞赛试卷1题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．选择题（共8小题，4*8=32）1．小华利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：那么当输入数据是8时，输出的数据是（）输入…12345…输出……A．B．C．D．2．在方格中，每个方格中除9、7外其余字母各表示一个数，已知其中任何3个连续方格中的数之和为19，则A+H+M+O等于（）A．21 B．23 C．25 D．263．如果a、b、c是非零实数，且a+b+c＝0，那么的所有可能的值为（）A．0 B．1或﹣1 C．2或﹣2 D．0或﹣24．在代数式xy2z中，若x与y的值各减少25%，z的值增加25%，则代数式的值（）A．减少B．减少C．减少D．减少5．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A对应的数为a，B对应的数为b，且b﹣2a＝7，那么数轴上原点的位置在（）A．A点B．B点C．C点D．D点6．一种“拍7”的游戏规定：把从1起的自然数中含7的数称作“明7”，把7的倍数称作“暗7”，那么在1﹣100的自然数中，“明7”和“暗7”共有（）A．22个B．29个C．30个D．31个7．李红与王英用两颗骰子玩游戏，但是她们别开生面，不用骰子上的数字．这两颗骰子的一些面涂上了红色，而其余的面则涂上了蓝色．两人轮流掷骰子，游戏规则如下：两颗骰子朝上的面颜色相同时，李红是赢家；两颗骰子朝上的面颜色相异时，王英是赢家．已知第一颗骰子各面的颜色为5红1蓝，如果要使两人获胜机会相等，那么第2颗骰子上蓝色的面数是（）A．6 B．5 C．4 D．38．把四张大小相同的长方形卡片（如图①按图②、图③两种放在一个底面为长方形（长比宽多6cm）的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图②中阴影部分的周长C2，图③中阴影部分的周长为C3，则（）A．C2＝C3B．C2比C3大12cmC．C2比C3小6cm D．C2比C3大3cm第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．填空题（共8小题，4*8=32）9．在右图所示的4×4的方格中，记∠ABD＝α，∠DEF＝β，∠CGH＝γ，则α，β，γ从小到大的排列顺序是．10．已知分式，当a、b扩大相同倍数时值不变，请你写出一个符合这一要求且与分母不同、只含字母a、b的分子来：．11．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟．12．已知方程组有正整数解，则整数m的值为．13．一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水（如图所示），请你根据图中标明的数据，则瓶子的容积为cm3．14．若x＞1，y＞0且满足xy＝x y，，则x+y的值为．15．已知甲、乙、丙三个科技攻关小组各有人数若干．现根据不同阶段的工作需要对其人员进行调整，第一次，丙组不动，从剩下两组的一组中调8人到另一组；第二次，乙组不动，从剩下两组的一组中调8人到另一组；第三次，甲组不动，从剩下两组的一组中调7人到另一组．最后甲组有5人，乙组有14人，丙组有6人，那么原来人数最多一组是组，这组原来有人．16．由自然数组成的一列数：a1，a2，a3，…，满足a1＜a2＜a3＜…＜a n＜…，当n≥1时，有a n+2＝a n+1+a n，如果a6＝74，则a7的值为．评卷人得分三．解答题（共6小题，56分）17．（8分）已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，求ab+bc+ca和a4+b4+c4的值．18．（8分）甲、乙、丙、丁四人的年龄的和是108岁，甲50岁时，乙38岁，甲34时，丙的年龄是丁的3倍，求丁现在的年龄．19．（10分）在平面上有9条直线，无任何3条交于一点，则这9条直线的位置关系如何？才能使它们的交点恰好是26个，画出所有可能的情况（要求用直尺画正确）．20．（10分）一个盒子里装有不多于200颗糖，如果每次2颗，3颗，4颗或6颗地取出，最终盒内都只剩一颗糖，如果每次11颗地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少颗糖？21．（10分）某出租汽车停车站已停有6辆出租汽车，第一辆出租车出发后，每隔4分钟就有一辆出租汽车开出，在第一辆汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进站，以后每隔6分钟就有一辆出租汽车回站，回站的出租汽车，在原有的出租汽车依次开出之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：第一辆出租汽车开出后，经过最少多少时间，车站不能正点发车？22．（10分）有一堆糖果平均分给若干个小朋友，规定按下面的规则取，第一个小朋友取10颗，再取余下的；接着第二个小朋友取20颗，再取余下的；如此继续下去，最后糖果被全部取光，问原来有多少颗糖果？小朋友有多少人？参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．小华利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：那么当输入数据是8时，输出的数据是（）输入…12345…输出……A．B．C．D．【分析】根据图表找出输出数字的规律：输出的数字中，分子就是输入的数，分母是输入的数字的平方加1，直接将输入数据代入即可求解．【解答】解：输出数据的规律为，当输入数据为8时，输出的数据为＝，故选：C．【点评】此题主要考查数字的规律性问题，根据已有输入输出数据找出它们的规律，进而求解．2．在方格中，每个方格中除9、7外其余字母各表示一个数，已知其中任何3个连续方格中的数之和为19，则A+H+M+O等于（）A．21 B．23 C．25 D．26【分析】由于任何相邻三个数字的和都是19，可由O+X+7＝19倒推，即可求解．【解答】解：由题意可得：因为O+X+7＝19且M+O+X＝19，所以M＝7；因为A+9+H＝19且9+H+M＝19，所以A＝7；因为H+M+O＝19．所以求A+H+M+O的值为19+7＝26．故选：D．【点评】本题主要考查了数字变化类的一些简单的问题，关键要熟练掌握此类问题的解法．3．如果a、b、c是非零实数，且a+b+c＝0，那么的所有可能的值为（）A．0 B．1或﹣1 C．2或﹣2 D．0或﹣2【分析】根据a、b、c是非零实数，且a+b+c＝0可知a，b，c为两正一负或两负一正，按两种情况分别讨论代数式的可能的取值，再求所有可能的值即可．【解答】解：由已知可得：a，b，c为两正一负或两负一正．①当a，b，c为两正一负时：；②当a，b，c为两负一正时：．由①②知所有可能的值为0．应选A．【点评】本题考查了分式的化简求值，涉及到绝对值、非零实数的性质等知识点，注意分情况讨论未知数的取值，不要漏解．4．在代数式xy2z中，若x与y的值各减少25%，z的值增加25%，则代数式的值（）A．减少B．减少C．减少D．减少【分析】根据题意得出x与y的值都变为原来的75%，即为原来的，z的值变为原来的125%即，然后把它们代入代数式xy2z中即可．【解答】解：由已知条件得：x与y的值都变为原来的75%，即为原来的，z的值变为原来的125%即，∴＝，∴1﹣＝，∴代数式的值减小．故选：D．【点评】本题考查了代数式的求值，解题的关键是找出x、y、z的变化，然后代入代数式再求值．5．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A对应的数为a，B对应的数为b，且b﹣2a＝7，那么数轴上原点的位置在（）A．A点B．B点C．C点D．D点【分析】本题可根据数轴，设出B点坐标，则A点坐标可表示出，然后再与b﹣2a＝7联立，即可求得结果．【解答】解：根据数轴，设出B点坐标（b，0），则表示出A点（b﹣3，0），因此可得b﹣3＝a，联立b﹣2a＝7，解得b＝﹣1，∴原点在C处．故选：C．【点评】本题考查数轴的基本概念，结合题中条件，进行分析，得出a，b之间的关系即可．6．一种“拍7”的游戏规定：把从1起的自然数中含7的数称作“明7”，把7的倍数称作“暗7”，那么在1﹣100的自然数中，“明7”和“暗7”共有（）A．22个B．29个C．30个D．31个【分析】由题意得“明7”和“暗7”各有19个，14个，但既是明7，又是暗7，有3个，7，70，77，即可得出答案．【解答】解：明7一共有10+9＝19个，7，17，27，37，47，57，67，77，87，97，70，71，72，73，74，75，76，78，79；暗7一共有14个，7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98，既是明7，又是暗7，3个，即7，70，77，∴共有19+14﹣3＝30个．故选：C．【点评】本题考查的是有理数，是基础知识比较简单．7．李红与王英用两颗骰子玩游戏，但是她们别开生面，不用骰子上的数字．这两颗骰子的一些面涂上了红色，而其余的面则涂上了蓝色．两人轮流掷骰子，游戏规则如下：两颗骰子朝上的面颜色相同时，李红是赢家；两颗骰子朝上的面颜色相异时，王英是赢家．已知第一颗骰子各面的颜色为5红1蓝，如果要使两人获胜机会相等，那么第2颗骰子上蓝色的面数是（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【解答】解：根据题意列表可得当第2颗骰子上蓝色的面数是3时，两人获胜的机会相等．故选D．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．8．把四张大小相同的长方形卡片（如图①按图②、图③两种放在一个底面为长方形（长比宽多6cm）的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图②中阴影部分的周长C2，图③中阴影部分的周长为C3，则（）A．C2＝C3B．C2比C3大12cmC．C2比C3小6cm D．C2比C3大3cm【分析】本题需先设小长方形的长为acm，宽为bcm，再结合图形分别得出图形②的阴影周长和图形③的阴影周长，比较后即可求出答案．【解答】解：设小长方形的长为acm，宽为bcm，大长方形的宽为xcm，长为（x+6）cm，∴②阴影周长为：2（x+6+x）＝4x+12；∴③上面的阴影周长为：2（x﹣a+x+6﹣a），下面的阴影周长为：2（x+6﹣2b+x﹣2b），∴总周长为：2（x﹣a+x+6﹣a）+2（x+6﹣2b+x﹣2b）＝4（x+6）+4x﹣4（a+2b），又∵a+2b＝x+6，∴4（x+6）+4x﹣4（a+2b）＝4x．∴C2比C3大12cm．故选：B．【点评】本题主要考查了整式的加减运算，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键．二．填空题（共8小题）9．在右图所示的4×4的方格中，记∠ABD＝α，∠DEF＝β，∠CGH＝γ，则α，β，γ从小到大的排列顺序是β＜α＜γ．【分析】根据网格，分别把α，β，γ分成两个角，然后与45°角的大小进行比较，从而即可得解．【解答】解：根据网格结构，∵∠DBM＞45°，∠DFN＝45°，∠ABM＞∠FEN，∴∠DBM+∠ABM＞∠DFN+∠FEN，即β＜α，又∵∠CGH＝90°，α＜90°，∴α＜γ，∴β＜α＜γ．故答案为：β＜α＜γ．【点评】本题利用网格考查了三角形的角的关系，把分成的角与45°角相比较是解题的关键．10．已知分式，当a、b扩大相同倍数时值不变，请你写出一个符合这一要求且与分母不同、只含字母a、b的分子来：ab．【分析】观察分式的分母，若a、b扩大相同倍数时，则分母扩大了这一倍数的平方，要使该分式的值不变，只需保证其分子也能扩大这一倍数的平方即可．【解答】解：根据分式的基本性质，则分子可以是ab．故答案为ab等．【点评】此题考查了分式的基本性质，要看已知的分母实际扩大的倍数．11．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是4分钟．【分析】根据路程＝速度×时间，则此题中需要用到三个未知量：设车的速度是a，人的速度是b，每隔t分发一班车．然后根据追及问题和相遇问题分别得到关于a，b，t的方程，联立解方程组，利用约分的方法即可求得t．【解答】解：设车的速度是a，人的速度是b，每隔t分发一班车．二辆车之间的距离是：at车从背后超过是一个追及问题，人与车之间的距离也是：at那么：at＝6（a﹣b）①车从前面来是相遇问题，那么：at＝3（a+b）②①﹣②，得：a＝3b所以：at＝4at＝4即车是每隔4分钟发一班．【点评】注意：此题中涉及了路程问题中的追及问题和相遇问题．考查了对方程的应用，解方程组的时候注意技巧．12．已知方程组有正整数解，则整数m的值为﹣1或0或5．【分析】先解方程组，用m表示出方程组的解，根据方程组有正整数解得出m的值．【解答】解：方程组，∴x+my﹣x﹣3＝11﹣2y，解得：（m+2）y＝14，y＝，∵方程组有正整数解，∴m+2＞0，m＞﹣2，又x＝，故22﹣3m＞0，解得：m＜，故﹣2＜m＜，整数m只能取﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7．又x，y均为正整数，∴只有m＝﹣1或0或5符合题意．故答案为：﹣1或0或5．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，难度较大，关键是根据已知条件列出关于m的不等式．13．一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水（如图所示），请你根据图中标明的数据，则瓶子的容积为60cm3．【分析】结合图形，知水的体积不变，从而根据第二个图空着的部分的高度是2cm，可以求得水与空着的部分的体积比为4：2＝2：1．结合第一个图中水的体积，即可求得总容积．【解答】解：由已知条件知，第二个图上部空白部分的高为7﹣5＝2cm，从而水与空着的部分的体积比为4：2＝2：1．由第一个图知水的体积为10×4＝40，所以总的容积为40÷2×（2+1）＝60立方厘米．故答案为：60．【点评】此题的关键是解决不同底的问题，能够有机地把两个图形结合起来，求得水与空着的部分的体积比．14．若x＞1，y＞0且满足xy＝x y，，则x+y的值为．【分析】首先将xy＝x y变形，得y＝x y﹣1，然后将其代入，利用幂的性质，即可求得y的值，则可得x的值，代入x+y求得答案．【解答】解：由题设可知y＝x y﹣1，∴x＝yx3y＝x4y﹣1，∴4y﹣1＝1，故y＝，∴x＝，解得x＝4，于是x+y＝4+＝．故答案为：．【点评】此题考查了同底数幂的性质：如果两个幂相等，则当底数相同时，指数也相同，根据将xy ＝x y变形，得y＝x y﹣1是解题关键．15．已知甲、乙、丙三个科技攻关小组各有人数若干．现根据不同阶段的工作需要对其人员进行调整，第一次，丙组不动，从剩下两组的一组中调8人到另一组；第二次，乙组不动，从剩下两组的一组中调8人到另一组；第三次，甲组不动，从剩下两组的一组中调7人到另一组．最后甲组有5人，乙组有14人，丙组有6人，那么原来人数最多一组是乙组，这组原来有15人．【分析】每个组调整了两次，可以发现最后的3个数字都比14小，所以不可能出现一个组增加14人，或者减少14人，根据丙组最后有6人，所以甲组不动时，只能是从丙组调7人到乙组，乙组不动时，只能是从甲组调8人到丙组，丙组不动时，只能是从乙组调8人到甲组，根据此调动方法分别求出甲、乙、丙三组原来的人数即可判断．【解答】解：∵8+8＝16，8+7＝15，而最后最多的乙组只有14人，∴每个组只能调出一次，掉进一次，又∵丙组最后有6人，∴甲组不动时，从丙组调7人到乙组，乙组不动时，从甲组调8人到丙组，丙组不动时，从乙组调8人到甲组，甲组调进8人，调出8人，人数不变，原来有5人，乙组调进7人，调出8人，人数减少1，原来有14+1＝15人，丙组调进8人，调出7人，人数增加1，原来有6﹣1＝5人，∴原来人数最多一组是乙组，这组原来有15人．故答案为：乙，15．【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，正确分析理解题意，找出调整人数的顺序，得到各小组最后的人数与原来人数的变化关系是解题的关键．16．由自然数组成的一列数：a1，a2，a3，…，满足a1＜a2＜a3＜…＜a n＜…，当n≥1时，有a n+2＝a n+1+a n，如果a6＝74，则a7的值为119或120．【分析】设a1＝a，a2＝b，然后根据规律表示出a6与a7，再根据a6＝74求出二元一次方程的解a、b 的值，然后代入a7的表达式计算即可．【解答】解：设a1＝a，a2＝b，则：a3＝a2+a1＝a+b，a4＝a3+a2＝（a+b）+b＝a+2b，a5＝a4+a3＝（a+2b）+（a+b）＝2a+3b，a6＝a5+a4＝（2a+3b）+（a+2b）＝3a+5b＝74，a7＝a6+a5＝（3a+5b）+（2a+3b）＝5a+8b，由3a+5b＝74与a1＜a2，解得a＝3，b＝13或a＝8，b＝10，∴a7＝5a+8b＝5×3+8×13＝119，或a7＝5a+8b＝5×8+8×10＝120．故答案为：119或120．【点评】本题考查了数字变化规律的问题，设出a1与a2是解题的突破口，根据规律表示出a6与a7并求解关于a、b的二元一次方程是解题的难点．三．解答题（共6小题）17．已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，求ab+bc+ca和a4+b4+c4的值．【分析】把a+b+c＝0两边平方，根据多项式乘多项式的法则进行计算，然后再把a2+b2+c2＝1代入即可求出ab+bc+ca＝﹣；把ab+bc+ca＝﹣两边平方并整理求出a2b2+b2c2+c2a2的值，再把a2+b2+c2＝1两边平方并代入计算即可求解．【解答】解：a+b+c＝0，两边平方得：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝0，∵a2+b2+c2＝1，∴1+2ab+2bc+2ca＝0，∴ab+bc+ca＝﹣；ab+bc+ca＝﹣两边平方得：a2b2+b2c2+c2a2+2ab2c+2abc2+2a2bc＝，即a2b2+b2c2+c2a2+2abc（a+b+c）＝，∴a2b2+b2c2+c2a2＝，∵a2+b2+c2＝1，∴两边平方得：a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2c2a2＝1，∴a4+b4+c4＝1﹣2（a2b2+b2c2+c2a2）＝1﹣＝．故答案为：﹣，．【点评】本题考查了完全平方公式的拓广，运用多项式的乘法法则进行计算即可，因运算量较大，要小心仔细运算，以避免出错．18．甲、乙、丙、丁四人的年龄的和是108岁，甲50岁时，乙38岁，甲34时，丙的年龄是丁的3倍，求丁现在的年龄．【分析】设甲、乙、丙、丁的现在年龄分别为a，b，c，d岁，根据甲、乙、丙、丁四人的年龄的和是108岁可得a+b+c+d＝108，根据甲50岁时，乙38岁，可得a﹣b＝12，根据甲34时，丙的年龄是丁的3倍，可得c﹣（a﹣34）＝3[d﹣（a﹣34）]，三式联立，逐步消元分离出d后即可得出答案．【解答】解：设甲、乙、丙、丁的现在年龄分别为a，b，c，d岁，由题意得：，由③得：2a+c﹣3d＝68④，①+②得：2a+c+d＝120⑤，⑤﹣④得：4d＝52，故可得d＝13，答：丁现在13岁．【点评】本题考查了多元一次方程组的知识，年龄问题是此类题目经常涉及的，像这样的含有四个未知元素，只有三个方程时，难点一般不在列方程，而在于通过消元，在消元前要仔细观察，有目的为之．19．在平面上有9条直线，无任何3条交于一点，则这9条直线的位置关系如何？才能使它们的交点恰好是26个，画出所有可能的情况（要求用直尺画正确）．【分析】从平行线的角度考虑，先考虑二条直线都平行，再考虑三条、四条、五条平行，作出草图即可看出．【解答】解：这9条直线的位置关系为：两两相交或平行，有两种情况，分别如下：【点评】本题考查平行线与相交线的综合运用．注意运用分类讨论思想．20．一个盒子里装有不多于200颗糖，如果每次2颗，3颗，4颗或6颗地取出，最终盒内都只剩一颗糖，如果每次11颗地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少颗糖？【分析】根据题意可知盒内糖的颗数是11的倍数，因为如果每次2颗，3颗，4颗或6颗地取出，最终盒内都只剩一颗糖，所以盒内糖的颗数是奇数，分情况讨论是，只讨论11的奇数倍即可，确定最后结果是还要注意要不能被2、3、4、6整除．【解答】解：因为每次取11颗正好取完，所以盒内的糖果数必是11的倍数，而11的偶数倍，都能被2整除，所以不合题意，倍数列表如下：5倍7倍9倍11倍13倍15倍17倍19倍原数11557799121143165187209因为121﹣1＝120，而120都能被2、3、4、6整除，所以盒子里共有121颗糖．【点评】此题主要考查了数的整除性在实际生活中的应用，体现了数学与生活的密切联系，应用了分类讨论思想．21．某出租汽车停车站已停有6辆出租汽车，第一辆出租车出发后，每隔4分钟就有一辆出租汽车开出，在第一辆汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进站，以后每隔6分钟就有一辆出租汽车回站，回站的出租汽车，在原有的出租汽车依次开出之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：第一辆出租汽车开出后，经过最少多少时间，车站不能正点发车？【分析】易得6辆车全部开出需要20分钟的时间，进而得到从第五辆汽车回站就不能正点发车，依此可得最少时间．【解答】解：∵站内原有的6辆车全部开出用时为4×（6﹣1）＝20分钟．此时站内又有出租车（20﹣2）÷6+1＝4（辆）设再经过x分钟站内无车．+4＝x＝4848+20+4＝72（分钟）答：经过至少72分钟站内无车．就不能正点发车．【点评】考查推理与论证；得到从第五辆汽车回站就不能正点发车，是解决本题的突破点．22．有一堆糖果平均分给若干个小朋友，规定按下面的规则取，第一个小朋友取10颗，再取余下的；接着第二个小朋友取20颗，再取余下的；如此继续下去，最后糖果被全部取光，问原来有多少颗糖果？小朋友有多少人？【分析】分别表示出2个小朋友所取走的糖果数，让其相等列式求得糖果数，进而算出每个小朋友获得的糖果数，让490除以每个小朋友获得的糖果数即为小朋友的个数．【解答】解：设共有y颗糖果，则第1个小朋友取走的糖果为10+颗，第二个小朋友取走的糖果为20+[y﹣10﹣（）﹣20]×＝20+颗；（3分）因为糖果是平均分配的，因此可得10+＝20+（7分）解得y＝490，（10分）每个小朋友分得10+60＝70个糖果，有小朋友490÷70＝7个．答：有490个糖果，7个小朋友．【点评】考查一元一次方程的应用；得到两个小朋友所取走的糖果数的关系式是解决本题的关键．。
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第五届“睿达杯”初中生数学能力竞赛（A 卷）
七年级一试参考答案及评分标准
一、填空题(本大题共18小题，每空5分，共90分)
1．原式=2014
20132013201320133
333323-=⨯-=⨯．
2．∵2
126237=⨯⨯，∴126的正约数有：23212⨯⨯=个． 3．55147(1)()12123320
⎡⎤-
÷÷⨯=⎢⎥⎣⎦． 4．等腰三角形的底边可以是1,3,5,7,9,11,13共7种．
5．设542521m m m a -+--=，∵2013m =,∴0a <，∴原式=2012a a --=-2012． 6．∵ a ＋b ＋c ＝0，∴b ＋c ＝a -，a ＋c ＝b -，a ＋b ＝c -，且,,a b c 不可能同号，则
||||||b c a c a b a b c +++++=||||||
a b c
a b c ---++=1±．
7．∵3b =-，∴3(3)b +=36．
8．由角平分线性质和同位角（或外角）可得． 9．∵314,1,2x -=-- ∴1,0,1x =-．
10．65⨯个正方体（缺一面）面积/7个正方体体积． 11．∵ a=54
2=()
18
32
，b=363=()
18
23
，c =185，∴b a c >>．
12．设高为x cm ,则长为5x cm ,宽为3x cm ,则153x =405，3x =cm ，
表面积为()239315915⨯+⨯+⨯=414．
13．当放好1枚硬币后，第2枚硬币在8个位置中有4个位置符合题意，故可能性为41
82
= （或者在总共36种放法中有18种符合要求）
14．∵722x +⎡⎤
=-⎢
⎥⎣⎦
， ∴7212x +-≤<-， ∴ 119x -≤<- 15．
16．设正方形的边长为a ,圆半径为r ,由题意，正方形与圆的面积相等，∴22r a π=，∴a
r
=． 17．∵()42a x b x -+=-+，∴()32a x b -=-，由题意3,2a b ==．
18．最省时的方案：甲用自行车载上乙前进，同时丙步行，一段时间后，甲放下乙，回头接丙，同
时乙步行，当他们同时到达B 地时，用时最少． 设乙、丙步行的路程都是x 千米，则：
1111241216x x x --=+，得72
x =， ∴最快需要时间：
113
4122
x x -+=小时． 二、解答题(本大题共2小题，每小题15分，共30分)
19．昨天爸爸买进的A 、B 两种股票每股分别为x 元、y 元，价格涨跌的百分率为m ，根据题意，
得
501002000
(1)50(1)100(1)2000
(2)
x y x m y m +=⎧⎨
-++=⎩ （5分）
①-②，得 (2)0m x y -=
∵m ≠0， ∴ 20x y -=， 即 2x y =．
把2x y =代入①，得y =10，20x =． （7分） 答：昨天爸爸买进的A 、B 两种股票每股分别为20元和10元． （3分） 20．考虑a ，c ，d 用b 表示，则
23318212a b c b d b =-⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩
， （5分） ∴ a ＋b ＋c +d =53-5b ，又由a ＜b 得，23
4
b >， （5分） ∵b 为整数，所以b 最小值为6， ∴ a ＋b ＋
c +
d 的最大值是23，
此时5,6,6,6a b c d ====． （5分）
a 0 0 -2 2
b -2 2 0 0。