2014年武汉市元月调考专题-一元二次方程与几何综合以及_最值问题(教师版)

2014-2015年武汉市中考一元二次方程与几何综合

.例题讲解：

【例1】（2013～2014·江岸九上起点·25）（试题难度：A ）

参考答案：（1）①3

2 b a ；②m =1（2）5000． 分析：（1）①△ABD 的三边分别为a b a 2

52、、，且∠BAD =45°，故过B 点做BF ⊥AD 于F ，在△BFD 中使用勾股定理可以得到a 、b 之间的关系式，因式分解之后得到两个结果，根据条件a

（2）a 、b 、c 长度都未知，只知道BE 的长，直接去求五边形各部分面积肯定行不通．考虑到△ABC 和△ADE 是两个共底角顶点的等腰直角三角形，尝试使用全等将五边形ABCDE 拼接成为一个与BE 相关的三角形．故取CD 中点F ，延长EF 至G ，使FG =EF ，连接BG 、CG ，则△EDF ≌△GCF ，△BAE ≌BFG ，所以五边形ABCDE 的面积就等于△EBG 的面积，而△EBG 又是一个腰长为100的等腰直角三角形，问题解决．

另法：过E 点做AB 的垂线，交BA 延长线于F ，过D 做DG ⊥AC 于G ，设EF =x ，AF =y ，证明△AEF ∽△DAG ，且相似比为2，在△BEF 中使用勾股定理用a 、b 、x 、y 把BE 表示出来，再把五边形ABCDE 的面积表示出来，然后做整体代换，也可以求出结果，此法较复杂．

点评：本题（1）的①②两问都有两个结果，算出答案之后注意结合题目条件验证，排除掉与几何条件不

符的结果；第（2）问考查了两个等腰直角三角形共底角顶点的基本图形．或用等腰直角K 模型

【例2】（2013～2014·黄陂区九上期中·24改编）（试题难度：A）

参考答案：（1）P A=9；（2）10．

分析：（1）这是一个八年级常考的图形，结论是P A=PB+PC，又由韦达定理得到PB+PC=9，问题解决．给出两种证明：①延长PC至D，使CD=BP，证明△ABP≌△ACD；②延长BP至E，使PE=PC，证明△BCE ≌△ACP．

（2）根据韦达定理不能求出p、q，所以先处理第二个式子，去掉绝对值之后可以将其因式分解，得到p=6或q=3，将两种情况都代入到韦达定理中验算，可以排除掉q=3的结果，故p=6，q=8．要使P A+PB+PC 最小，可以将△BPC绕点B顺时针旋转60°至△BED，则P A+PB+PC转化为P A+PE+ED，则当P A、PE、ED共线时有最小值，即最小值为AD，因为AB=6，BD=BC=8，∠ABD=90°，故AD=10．

点评：本题第（1）问考查八年级常考的图形以及韦达定理；第（2）问是一元二次方程与几何最值问题的结合．

阶段性小结：例1例2告诉我们，在做此类题目的时候，常常会得到多解，得到的结果一定要结合题目条件一一验证．

【例3】（2013·武汉元调·25）（试题难度：B）

参考答案：（1）略；（2）2；（3）0＜m ＜1或-2≤m ＜-1

分析：（1）因为AC +CE =AE ，所以只需证明CE =3BC 即可，因为BC ⊥CE ，所以连接BE ，只需证明∠E =30°，因为∠E 是⊙O 的圆周角，所以∠E 是∠O 的一半，问题得证；

（2）取⌒AB

中点F ，连接AF 、BF ，则出现了一个八年级常考的图形，过F 分别向AC 、BC 做垂线，垂足分别为G 、H ，则△AFG ≌△BFH ，故AC +BC =2AG ，又因为AG ≤AF ，故AC +BC ≤2AF =2．或不取中点，直接 延长OD

\

（3）这个关于x 的方程可以因式分解，可以得到x 1 =b 和x 2 =b a --3，所以需要考虑两种情况：b 的范围即AC 的范围，即0到1之间；b a --3的范围可以考虑AE ，当C 在运动过程中，AE 最短为AB ，最长为⊙O 直径，这一点很容易出错，故m 的取值范围有两个．

点评：本题第（2）问将八年级的基本图形隐藏在圆中，同时加入了最值问题；第（3）问是韦达定理与几何最值的结合，

【例4】（2013～2014·六中周练·25）（试题难度：A ）

参考答案：（1）①a +3b =10；②m =3（2）①a =2，b =32；②MN 最大值326+，最小值326- 分析：（1）①过D 点分别向x 轴、y 轴做垂线，垂足分别为E 、F ，则△DEB ∽△DF A ，然后可以得到a 、b 间的关系；②由韦达定理可以得到关于a 、b 、m 的两个关系式，加上①中的关系式，可以把m 求出来，得到两个结果，注意其中一个结果不符合题意要舍掉；

（2）①用因式分解法可以得到这个方程的两根，由于A 在y 轴负半轴上，所以a =-2，b =2

32n n +，将a 、b 代入532

1=+b a 中，可以求出n 、b ，注意舍掉不符合题意的一根； ②在⊙Q 中，MN 所对的圆周角为一定值60°，所以⊙Q 半径越大，MN 越大，⊙Q 半径越小，MN 越小．Q 点为CO 1与⊙O 1的交点时，QC 最小，Q 点为CO 1延长线与⊙O 1的交点时，QC 最大，然后可以求出MN 的长．

点评：本题是韦达定理与几何最值问题的结合．

阶段性小结：熟练掌握含参一元二次方程的做法是这一类题的基础，例2例3例4都涉及到了因式分解，对代数式变形的基本功有一定的要求．

【归纳小结】

本节课你们学到了什么知识？对一元二次方程与几何综合题有什么新的认识？这类题的易错点是什么？

【家庭作业】