测量与误差课件
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测量学第3章-测量误差基本知识2
• 第二组：
l l l 5, 6, 10
算术平均值分别为 L1, L2
L l l l l 1( )14
1 41 2
4 4
i
i1
L l l l l 1( )110
2 65 6
6 10
j j5
其中误差分别为：
m L1
m 4
m m ,
L1
L2
m2
4
将上式平方，得 2 z i k 2 2 xi (i 1 ,2 n )
求和，并除以n，得
2z k2 2x
n
n
m z
2z n
m x
2x n
m2z
k
2
m
2 x
mz kmx
结论：观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。
最后答案为SAB=11.7m士0.1m
3、线性函救
设有线性函数： z k 1 x 1 k 2 x 2 k n x n
则有
m 2 z ( k 1 m x 1 ) 2 ( k 2 m x 2 ) 2 ( k n m x n ) 2
例5 设有线性函救
z144x1194x2114x3
(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为 li mli 其中: l 1 l 2 l 3 l 4 l 且 m l 1 m l 2 m l 3 m l 4 m l 求该正方形的周长S和面积A的中误差.
解: (1)周长 S4l , 全微分: dS4dl
周长面的积中误差为, mS 4ml
每个角的测角中误差：m
7.54.3" 3
2
1 3
由于DJ6一测回角度中误差为：
2.1误差的概念与表示方法ppt课件
.
8
⑵ 方法误差
由于测量方法不合理造成的误差称为方法误差。
例如：用普通模拟式万用表测量高阻上的电压。
1mA 100k
100V 50V ?
100k v
电压表 内阻
.
9
习题2.9被测电阻Rx，电压表的内阻为RV，电流表的内阻为RI
I
V
Rx
I
V
Rx
(a)
(b)
对于图(a)：
R'x
=
U I
=
(RV
// Rx I
.
4
② 用“约定真值” 代替“真值”
实际测量中常把高一等级的计量标准测得的实际 值作为真值使用。
“实际值”≈“约定真值”。
在本章第2、3。4。5节中讨论误差时是基 于“约定真值”己知的条件下进行的。
③ 用“不确定度” 评定测量结果
在本章第6节中详细讨论。逆向思维，回避真值，
研究不能确定的程度。例如用卷皮尺量长度，不
)I
=
Rx RV Rx +RV
R =
R'x
-
Rx
=
-Rx2 Rx +RV
对于图（a）当电压表内阻RV很大时可选a方案。
对于图（b）当电流表内阻RI很小时可用b方案。
.
10
⑶ 理论误差
测量方法建立在近似公式或不完整的理论基础上以及用近似值计 算测量结果时所引起的误差称为理论误差。例如，用谐振法测量 频率时，常用的公式为
例：不同人用不同的电压表测量市. 电，都是220v左右。
7
3. 误差的来源
⑴ 仪器误差 指针式仪表的零点漂移、刻度误差以及非线性引起误差；
非线性
工程测量课件第6章测量误差基础知识
DAB DAC
SinCSin61 SinBSi8n9
0.875
DAB C
DASCCinoBsC 5S0Ci8no69s 1 24.244
DAB B
DACSSiinn2C BCosB 50SSin6in218C9o8s9
0.763
利用误差传播定律公式计算
m D A B 0 .82 7 0 .0 5 2 2 2 .2 4 2 4 2 0 4 2 0 .72 6 2 0 3 2 0 .0m 1
计算结果：mA＜mB，表明A组的观测精度比B组高。
二、 相对误差
中误差是一种绝对误差，当观测误差与观测值的大小有关时， 必须用相对误差这一精度指标来衡量。
相对误差：某量观测值中误差与相应观测值的比值。即
K m 1 L
L
m
注意：经纬仪测角，不能用相对误差来衡量测角精度。
三、 极限误差 由于偶然误差的分布服从于正态分布，故它们出现的概率为：
m 2 m 半 2 1 2 1 "7"
（6）上、下半测回角值之差的容许误差
取 △容=2m
2 .4 1 7 4 0"
6.4 等精度直接观测值的最可靠值及其中误差
一、观测值的最可靠值
在相同的观测条件下，对真值为X的某量进行n次观测，其观 测值分别为l1 , l2 ，… ln ，。由真误差计算公式可得：
果误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误 差称为系统误差。 （2）特点：具有积累性，对测量结果的影响大。
（3）处理方法：
1）计算改正；
2）采用一定的观测方法（对称观测）；
3）校正仪器，将系统误差限制在允许范围内。
2.偶然误差 在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如果误差出现 符号和大小均不确定，但从大量的误差总体来看，又符合一定 的统计规律，这类误差称为偶然误差。
沪科版九年级上册数学：22.5 综合与实践 测量与误差(公开课课件)
C 方法2:利用标杆
E
A
M
N
B
F
D
新课讲解
方法要点
运用方法2：观测者的眼在计算
时还要用到观测者E 的眼睛离地面的
高度.
A
M
N
B
F
D
新课讲解
方法3:利用镜子 C
A
BE
D
新课讲解
方法要点
运用方法3：光线的入射角等于
反射角.
C
A
BE
D
课外实践
任务：全班同学以数学小组为 单位，组长负责，分头到运动场进 行实际的测量，被测物是旗杆,方法 自选。
要求：课外完成，写出实践报 告，计算出旗杆高度。
课堂练习
实践探索： 一油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1米，从桶
盖小口斜插入桶内一端到桶底，另一端到小口，抽出木 棒，量得棒上浸油部分长为0.8m，则桶内油面的高度为 多少米？
A
答案：0.64米
DE
C
B
课堂小结
1.本节课你有哪些收获(知识方面和 操作方面)？
2.在运用科学知识进行实践过程中, 你具有了哪些能力?你是否想到最优的 方法？
思考：
1.你还有哪些测量旗杆高度的方法？ 2.上面所用的三种测量方法各有哪 些优缺点？ 3.这些方法理论上都可以，但测量 肯定会有误差，怎样才能减小误 差？
课堂练习
张明同学想利用树影测校园内的树高. 他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其 影长为1.2米.当他测量教学楼旁的一棵 大树影长时，因大树靠近教学楼，有一 部分影子在教学楼的墙上. 经测量，大 树在地面部分的影长为6.4米，墙上影长 为1.4米，那么这棵大树高约 _____ 米.
第22章 相似形
E
A
M
N
B
F
D
新课讲解
方法要点
运用方法2：观测者的眼在计算
时还要用到观测者E 的眼睛离地面的
高度.
A
M
N
B
F
D
新课讲解
方法3:利用镜子 C
A
BE
D
新课讲解
方法要点
运用方法3：光线的入射角等于
反射角.
C
A
BE
D
课外实践
任务：全班同学以数学小组为 单位，组长负责，分头到运动场进 行实际的测量，被测物是旗杆,方法 自选。
要求：课外完成，写出实践报 告，计算出旗杆高度。
课堂练习
实践探索： 一油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1米，从桶
盖小口斜插入桶内一端到桶底，另一端到小口，抽出木 棒，量得棒上浸油部分长为0.8m，则桶内油面的高度为 多少米？
A
答案：0.64米
DE
C
B
课堂小结
1.本节课你有哪些收获(知识方面和 操作方面)？
2.在运用科学知识进行实践过程中, 你具有了哪些能力?你是否想到最优的 方法？
思考：
1.你还有哪些测量旗杆高度的方法？ 2.上面所用的三种测量方法各有哪 些优缺点？ 3.这些方法理论上都可以，但测量 肯定会有误差，怎样才能减小误 差？
课堂练习
张明同学想利用树影测校园内的树高. 他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其 影长为1.2米.当他测量教学楼旁的一棵 大树影长时，因大树靠近教学楼，有一 部分影子在教学楼的墙上. 经测量，大 树在地面部分的影长为6.4米，墙上影长 为1.4米，那么这棵大树高约 _____ 米.
第22章 相似形
测量误差基本知识PPT课件
大量的偶然误差具有统计性，或称之为 具有概率论的规律。
（三）误差处理原则
粗差（错误） 测错，记错，算错……可以避免
错误在测量成果中不允许存在，舍弃重测。
防止粗差和提高成果精度（偶然误差方面）
“ 多余观测”发现粗差剔除或重测，由 多余观测产生的往返差、不符值、闭合差， 可根据差值大小评定精度，超限重测，不超 限调整之。
系统误差应尽可能按其产生的原因和 规律加以改正、抵消或削弱，如： 校正 仪器、观测值加改正数、对称观测：水准， 前后视距离相等；测角，盘左盘右取平均 值。
不同时间的多次观测，有可能削弱部 分情况不明的系统误差
四、偶然误差的特性 测量误差理论主要讨论具有偶然误差的
一系列观测值中如何求得最可靠的结果和评 定成果的精度
n
n
可证明其合理性和可靠性
推导过程
设未知量的真值为X，可写出观测值的真 误差公式为
i li X （i=1，2，…，n） 将上式相加得
1 2 n ( l1 l2 ln ) nX
或
[][l]nX
故
X l
nn
观测值的算术平均值 x 算术平均值真误差x
则有
X xx
由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限 增多时，Δx趋近于零，
标准差为
第二节 评定精度的标准
为对观测值的精度作出科学的评定，常 用中误差、极限误差、相对误差为评定精度 的标准。
一.中误差
定义 在相同条件下，对某量（真值为X）
进行n次观测，观测值l1，l2，……，ln，偶然误
差（真误差）Δ1， Δ2，……，Δn，则中误 差M的定义式为：
M 2 lim n n
误差的容许误差，即Δ容=2m 或 Δ容=3m 。
（三）误差处理原则
粗差（错误） 测错，记错，算错……可以避免
错误在测量成果中不允许存在，舍弃重测。
防止粗差和提高成果精度（偶然误差方面）
“ 多余观测”发现粗差剔除或重测，由 多余观测产生的往返差、不符值、闭合差， 可根据差值大小评定精度，超限重测，不超 限调整之。
系统误差应尽可能按其产生的原因和 规律加以改正、抵消或削弱，如： 校正 仪器、观测值加改正数、对称观测：水准， 前后视距离相等；测角，盘左盘右取平均 值。
不同时间的多次观测，有可能削弱部 分情况不明的系统误差
四、偶然误差的特性 测量误差理论主要讨论具有偶然误差的
一系列观测值中如何求得最可靠的结果和评 定成果的精度
n
n
可证明其合理性和可靠性
推导过程
设未知量的真值为X，可写出观测值的真 误差公式为
i li X （i=1，2，…，n） 将上式相加得
1 2 n ( l1 l2 ln ) nX
或
[][l]nX
故
X l
nn
观测值的算术平均值 x 算术平均值真误差x
则有
X xx
由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限 增多时，Δx趋近于零，
标准差为
第二节 评定精度的标准
为对观测值的精度作出科学的评定，常 用中误差、极限误差、相对误差为评定精度 的标准。
一.中误差
定义 在相同条件下，对某量（真值为X）
进行n次观测，观测值l1，l2，……，ln，偶然误
差（真误差）Δ1， Δ2，……，Δn，则中误 差M的定义式为：
M 2 lim n n
误差的容许误差，即Δ容=2m 或 Δ容=3m 。
测量与误差ppt课件
22
R
Rx 1
Rx Rv
1
R
Rx 1
RA Rx
1
电流表外接
电流表内接 23
2. 误差来源
①.仪器误差
②.方一致及其在空间上的梯度随 时间变化，引起测量仪器的量值变化而产 生的误差.
24
2. 误差来源
①.仪器误差 ②.方法误差 ③.环境误差 ④.人员误差
单摆：
g本地 9.79m 2s2
g9 .78 9 .7 29 0 .0 2m 1 s2
三线摆: g9 .79 9 .5 79 0 .2 00 m s2 3
气垫导轨: g9 .8 19 .7 19 0 .0 2m 2 s2
修正值： (修正 )N 值 （真 -N 值 i(测） 量值）
即： N(真值 N） i(测量值 （） 修正值）
15
2. 误差来源
①.仪器误差
由于仪器本身的不完善或调整使 用不当，提供的标准欠准或随时间的 不稳定性等产生的误差.
16
天平测质量
17
砝码准确性
18
标尺刻度准确性
19
天平的不等臂
20
天平的变动性
21
2. 误差来源
①.仪器误差 ②.方法误差
由于实验方法和理论的不完善或测量 所依据的公式的近似性而导致的误差.
（二）用算术平均值表示测量结果
n次：N1，N2，．．．Ni，．．．Nn
任一次的测量误差：
'Ni Ni N
n
'Ni 0 （n→ ∞）
i 1
n
(N 1N ) (N 2N ) . .(.N nN ) N i n N 0
1 n
N n
i1
Ni
R
Rx 1
Rx Rv
1
R
Rx 1
RA Rx
1
电流表外接
电流表内接 23
2. 误差来源
①.仪器误差
②.方一致及其在空间上的梯度随 时间变化，引起测量仪器的量值变化而产 生的误差.
24
2. 误差来源
①.仪器误差 ②.方法误差 ③.环境误差 ④.人员误差
单摆：
g本地 9.79m 2s2
g9 .78 9 .7 29 0 .0 2m 1 s2
三线摆: g9 .79 9 .5 79 0 .2 00 m s2 3
气垫导轨: g9 .8 19 .7 19 0 .0 2m 2 s2
修正值： (修正 )N 值 （真 -N 值 i(测） 量值）
即： N(真值 N） i(测量值 （） 修正值）
15
2. 误差来源
①.仪器误差
由于仪器本身的不完善或调整使 用不当，提供的标准欠准或随时间的 不稳定性等产生的误差.
16
天平测质量
17
砝码准确性
18
标尺刻度准确性
19
天平的不等臂
20
天平的变动性
21
2. 误差来源
①.仪器误差 ②.方法误差
由于实验方法和理论的不完善或测量 所依据的公式的近似性而导致的误差.
（二）用算术平均值表示测量结果
n次：N1，N2，．．．Ni，．．．Nn
任一次的测量误差：
'Ni Ni N
n
'Ni 0 （n→ ∞）
i 1
n
(N 1N ) (N 2N ) . .(.N nN ) N i n N 0
1 n
N n
i1
Ni
误差测量基本知识-公路工程测量电子课件
3.880
（1）中误差
中误差——在一定的观测条件下，各个真误 差平方的平均数的平方根
m 21 22 2n []
n
n
例如： 距离观测值： 3.867 距离观测值： 3.860 距离的真值 = 3.866
3.866 3.868 3.862 3.870
3.865 3.877
课堂练习
【例5－1】对三角形的内角进行两组观 测（各测10次），根据两组观测值中的偶然 误差（真误差），分别计算其中误差。
三、测量误差的类型
•系统误差
•误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程 中按照一定的规律变化，或者为一常数。
•偶然误差 如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个 误差看，该误差的大小和符号没有规律
•粗差
•错误
偶然误差的规律性
在相同的观测条件下， 独立的观测360个 三角形的全部内角。
2.用DJ6型光学经纬仪对某水平角进行了五个测回观测, 其角度分别为132°18′12″,132°18′09″, 132°18′18″, 132°18′15″, 132°18′06″。计算其算 术平均值、观测值的中误差和算术平均值的中误差。
3.在一个三角形中, 观测了两个内角α 和β , 其中误差 为mα = ±6″, mβ = ±8″, 求第三个角度γ 的中误差 mγ 。
根据：偶然误差的特性(1)
P(m m) 68.3%
P(2m 2m) 95.5%
P(3m 3m) 99.7%
取极限误差(容许误差)： 或：
容 3m 容 2m
31.7% 4.5% 0.3%
1.误差能避免吗? 产生误差的主要原因是什 么?
2.怎样区分测量工作中的误差和错误? 3.偶然误差和系统误差有什么不同? 偶然误 差有哪些特点? 4.测量误差主要分为几类? 如何消除?
测量的不确定度及数据处理ppt课件
例如：用天平测量物体质量，当天平不等臂时，测出物 体质量总是偏大或偏小；当我们的手表走的很慢时，测出 每一天的时间总是小于24小时；仪器零点未校正；温度引 起阻值的变化。
第三页，编辑于星期五：十三点 二十六分。
l 系统误差的消除： 由于系统误差主要是由于仪器不完善，方法（或理论）
不完善、环境影响而产生，在实验过程中要不断积累经验， 认真分析系统误差产生的原因，采取适当的措施来消除。
系统误差不能通过多次测量取平均值的方式来减小或消 除，但它可归结为一个或几个因素的函数，并可用解析公式、
曲线或列表的方式表示，这些曲线或表格称为误差修正曲线或 误差修正表，。通过这种方法可研究出系统误差的变化规律， 最终达到修正或消除系统误差的目的。
第四页，编辑于星期五：十三点 二十六分。
2、 随机误差
量的真值是不可测得的。
第一页，编辑于星期五：十三点 二十六分。
4、 误差：测量值和真值之间总会存在或多或少的 偏差，这种偏差就称为测量值的误差。 设被测量的 真值为 X,测量值为x,则测量误差为 △=x－X , 我 所测得的一切数据都毫无例外地包含一定的误差， 因而误差存在于一切测量之中。
5、测量的任务是： （1）设法使测量值中的误差减到最小。 （2）求出在测量条件下被测量的最近真值。 （3）估计最近真值的可靠程度。
由于系统误差主要是由于仪器不完善，方法（或理论）不完善、环境影响而产生，在实验过程中要不断积累经验，认真分析系统误差产生的原 因，采取适当的措施来消除。
l 随机误差的消除： 当我们的手表走的很慢时，测出每一天的时间总是小于24小时；
设被测量的真值为 X,测量值为x,则测量误差为 △=x－X , 我们所测得的一切数据都毫无例外地包含一定的误差，因而误差存在于一切测量之中。
第三页，编辑于星期五：十三点 二十六分。
l 系统误差的消除： 由于系统误差主要是由于仪器不完善，方法（或理论）
不完善、环境影响而产生，在实验过程中要不断积累经验， 认真分析系统误差产生的原因，采取适当的措施来消除。
系统误差不能通过多次测量取平均值的方式来减小或消 除，但它可归结为一个或几个因素的函数，并可用解析公式、
曲线或列表的方式表示，这些曲线或表格称为误差修正曲线或 误差修正表，。通过这种方法可研究出系统误差的变化规律， 最终达到修正或消除系统误差的目的。
第四页，编辑于星期五：十三点 二十六分。
2、 随机误差
量的真值是不可测得的。
第一页，编辑于星期五：十三点 二十六分。
4、 误差：测量值和真值之间总会存在或多或少的 偏差，这种偏差就称为测量值的误差。 设被测量的 真值为 X,测量值为x,则测量误差为 △=x－X , 我 所测得的一切数据都毫无例外地包含一定的误差， 因而误差存在于一切测量之中。
5、测量的任务是： （1）设法使测量值中的误差减到最小。 （2）求出在测量条件下被测量的最近真值。 （3）估计最近真值的可靠程度。
由于系统误差主要是由于仪器不完善，方法（或理论）不完善、环境影响而产生，在实验过程中要不断积累经验，认真分析系统误差产生的原 因，采取适当的措施来消除。
l 随机误差的消除： 当我们的手表走的很慢时，测出每一天的时间总是小于24小时；
设被测量的真值为 X,测量值为x,则测量误差为 △=x－X , 我们所测得的一切数据都毫无例外地包含一定的误差，因而误差存在于一切测量之中。
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需构造角AEM=45度
量出EM,EF的长度。
E 45°MBF源自C? 记录测量数据
测量 方法一 次序
方法二
方法三
方法四
1 2 3 平均值
计算结果
? 思考：
? 1、你觉得哪种测量方法简便，而哪种方法 又更准确呢？为什么？
? 2、在测量中，我们为什么要测量多次？测 量的误差你有说明改进方法吗？
? 3、你还有什么可操作的测量旗杆高度的方 法？
22.5综合与实践
测量与误差
问题：操场上有一根旗 杆，在既不攀爬又不破坏的 情况下，如何测量出旗杆的 高度？
下面有四种方法， 测量中可使用的工具有： 皮尺，测角仪，一米杆， 镜子，长杆（高于人身 高的杆）。
? 方法一 原理：利用影子构造相似三角
形。
A
? 工具：皮尺，一米杆。
? 需测量哪些线段？
? （EF,BC)
? 4、通过本节的学习，你有什么感想和收获？ 试谈一谈。
D
E
FB
C
? 方法二。相似三角形。
A
? △ABC∽△DBE
? 需测量：BE,DE,EF,BC.
D
B
E
C
F
? 方法三 利用入射角等于反射角
A
? 构造相似三角形
? 需测量：DE,EB,BC.
D
B E
C
? 方法四 构造特殊直角三角形
A
? 工具：皮尺，测角仪
? AC=AM+MC=ME+EF
=FC+EF