含有参数的方程的解法及应用题(2)
初一含参方程例题
初一含参方程例题1.阅读下面的材料，解答问题：某中学拟组织七年级全体师生去参观博物馆，在超市购买了27盆花卉，花费150元，其中月季花每盆8元，杜鹃花每盆10元。
（1）设购月季花为x盆，请用x表示出杜鹃花的数量，并求出x的值。
（2）设总费用为y元，请用x表示出y的值，并求出当x为何值时，总费用最大？2.一个容积为50立方米、底面积为10平方米的容器，已知容器内所装液体的密度为，求液体的深度？3.小明用100元钱去购买笔记本，每本售价4元，他买了x本。
（1）请用含x的代数式表示小明剩余的钱数；（2）当x=10时，计算小明剩余的钱数。
4.某纸品加工厂为了制作甲、乙两种无盖的长方体小盒，利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽和正方形的边长相等。
规格分别为：15张正方形硬纸片，30张长方形硬纸片，10张无盖长方体小盒。
问：该怎样设计制作甲、乙两种小无盖长方体小盒？5.某工厂第二车间的人数比第一车间的人多，如果从第一车间调15人到第二车间，那么第一车间的人数就是第二车间的。
（1）求第二车间的人数；（2）求调动后的人数。
6.某制药厂生产某种药品，然后通过市场销售和医院推销。
根据调查预测，药品的销售额与销售量成正比，并且用若干台医用高压锅进行加工，其中药品的加工量与药品的销售量之间的关系为，y2 = a•3x，其中a为正整数。
（1）请用x表示y1；（2）如果市场需求量是7.5万件，制药厂有20台医用高压锅，应怎样确定购进这批药品的数量；（3）市场推销某日上了解了当日的药品销售情况，即药品量是550件，上街收费标准是每台20元，制药厂只有5台高压锅可用，其中从当日起算，每连续多用1台，一天多收5元。
那么用高压锅加工这批药品的价值是多少？7.某校运动会上，七年级（2）班运动员以不变的加速冲刺终点。
（1）已知冲刺开始阶段，某一运动员的位移随时间变化的规律，求该运动员的速度；（2）已知距离终点的距离为，当该运动员到达终点时，另一运动员距离重点还有，并最终和终点用时相同，求另一运动员的加速度大小。
含参方程典型例题
含参方程典型例题含参方程是指方程中含有参数的方程，通常用于描述与某些变量相关的抽象数学模型。
在数学中，含参方程常常用于解决实际问题，并且在各个学科领域都有广泛的应用。
本文将通过典型例题来介绍和探讨含参方程的基本概念、解法和应用。
例题1：求解含参方程已知含参方程：\[x^2 + 2px + p = 0\]其中，\(p\)为参数。
求解该方程并分析其解的性质。
解析：首先，我们可以利用一元二次方程求解公式：\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]将方程表达式化为一元二次方程的标准形式：\(ax^2 + bx + c = 0\)。
对比我们的方程与标准形式，可以得出\(a = 1\)，\(b = 2p\)，\(c = p\)。
将这些值代入求解公式，可以得到：\[x = \frac{-2p \pm \sqrt{(2p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot p}}{2 \cdot 1} = -p \pm \sqrt{p^2 - p}\]我们可以观察到，在求解中含有参数\(p\)。
接下来，我们来分析解的性质。
首先，我们计算判别式：\[\Delta = b^2 - 4ac = (2p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot p = 4p^2 - 4p = 4p(p - 1)\]当判别式大于0时，方程有两个不同实数根；当判别式等于0时，方程有两个相同的实数根；当判别式小于0时，方程没有实数根。
根据上述分析，我们可以得出以下结论：1. 当\(p = 0\)时，方程化为\(x^2 = 0\)，有一个重根\(x = 0\)；2. 当\(p = 1\)时，方程化为\(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 = 0\)，有一个重根\(x = -1\)；3. 当\(p > 1\)时，判别式大于0，方程有两个不同实数根；4. 当\(0 < p < 1\)时，判别式小于0，方程没有实数根。
参数方程解题两例
参数方程解题两例
参数方程是常见的数学解题方法，本文就将分别介绍参数方程解题的两个实例，以便读者加深对参数方程的理解。
首先，我们来看一个典型的参数方程： f(x) = ax + bx + c。
这个参数方程的参数有三个，a、b和c。
这里可以看出，一般情况下，参数方程有几个参数，就有几个变量，分别为x、a、b和c。
接下来，我们来看一个具体的参数方程求解的实例：f(x) = 3x + 4x + 5，求f(2)的值。
解答：我们将参数方程的各个参数代入，可以得到f(2) = 3(2) + 4(2) + 5 = 23，所以f(2)的值为23。
再来看另一个参数方程解题的实例：求f(x) = x - 3x + 2的根。
解答：参数方程求根的解法是知道参数a、b和c，求出根的方法是用公式：
x1 = [-b +(b - 4ac)]/2a
x2 = [-b -(b - 4ac)]/2a
将参数a、b和c代入，可以得到x1 = [3 +(9-8)]/2=1.5，x2 = [3 -(9-8)]/2=0.5，所以f(x) = x - 3x + 2的根分别为1.5和0.5。
以上就是本文介绍的参数方程解题的两个实例。
从这些实例可以看出，参数方程解题的步骤是很简单的，但是却非常实用，在解决复杂的数学问题时十分有用。
在实际应用中，参数方程作为常见的数学解题方法经常被用到，它也是一个重要的数学理论。
希望本文对读者有所帮助，可以更加了解参数方程，从而更好地
掌握数学的解题窍门。
数学下册综合算式专项练习题解含参数的方程与不等式
数学下册综合算式专项练习题解含参数的方程与不等式数学下册综合算式专项练习题解：含参数的方程与不等式在数学的学习过程中，我们经常会遇到含参数的方程与不等式的问题。
这类问题需要我们通过对参数进行分析，找到参数的取值范围，从而得到方程或不等式的解集。
在本文中，我们将针对数学下册综合算式专项练习题中的含参数的方程与不等式进行详细解答。
一、含参数的一元一次方程的解法1. 题目描述：求参数m使得方程mx - 3 = 7x - 5 成立。
解答：我们将方程两边的x项合并，并将常数项合并，得到(m - 7)x = -2。
为了方程成立，需要使得方程左边的系数等于右边的常数项，即m - 7 = 0。
解得m = 7。
因此，当m = 7时，方程成立。
二、含参数的一元一次不等式的解法1. 题目描述：求参数a使得不等式ax + 8 > 3x + 2 成立。
解答：我们将不等式两边的x项合并，并将常数项合并，得到(ax - 3x) > (2 - 8)，即(a - 3)x > -6。
为了不等式成立，需要使得方程左边的系数大于右边的常数项，即a - 3 > 0。
解得a > 3。
因此，当a大于3时，不等式成立。
三、含参数的一元二次方程的解法1. 题目描述：求参数k使得方程(k + 1)x^2 - (k - 2)x + (k + 1) = 0有两个相等的实根。
解答：根据二次方程的判别式，当判别式D = b^2 - 4ac等于0时，二次方程有两个相等的实根。
将方程中的系数代入判别式得到(k - 2)^2 - 4(k + 1)(k + 1) = 0。
化简得到k^2 - 8k + 4 = 0。
解此方程得到k = 4 ±√12。
因此，当k = 4 + √12或k = 4 - √12时，方程有两个相等的实根。
四、含参数的一元二次不等式的解法1. 题目描述：求参数m使得不等式(m - 2)x^2 - (m + 1)x + 1 > 0成立。
含参一元二次方程计算100题+详解
含参一元二次方程计算100题使用说明：本专题的制作目的是提高学生在含参一元二次方程这一部分的计算能力。
主要有以下几个模块：①公共根；②整数根；③有理根；④已知根的情况求参数；⑤已知根的范围求参数；⑥已知参数范围求根的范围；共100题。
建议先仔细研究方法总结、易错总结和例题解析，再进行巩固练习。
模块一公共根方法总结：①设公共根②代入两方程，联立成方程组③得到新方程④解方程⑤将公共根代入原方程易错总结：最后结果注意代入检验一下是否正确例题解析：已知两方程x2+mx+n=0，x2+nx+m=0有且仅有一个公共根，求m，n的关系．解：设a为两方程的公共根，则……【设公共根】{a2+ma+n=0①a2+na+m=0②，……【将公共根代入两方程，联立】①−②得(m−n)a+(n−m)=0，(m−n)(a−1)=0．……【得到新方程】∵有且只有一个公共根，则m−n≠0．∴a=1，即x=1．……【解出x】将x=1代入原方程得，m+n=−1且m≠n．……【得出m、n关系】巩固练习：1.已知关于x的方程x2+px+q=0与x2+qx+p=0(p≠q)有一个公共根，求(p+q)2012的值．2.已知方程x2+a1x+a2a3=0与方程x2+a2x+a1a3=0有且只有一个公共根．求证：这两个方程的另两根(除公共根外)是方程x2+a3x+a1a2=0的根．3.若方程x2+bx+1=0与方程x2−x−b=0至少有一个相同的实数根，求实数b的值．4.设c是实数，已知x2−3x+c=0的一个解的相反数是方程x2+3x−c=0的一个解，求方程x2−3x+c=0的解．5.已知a>2，b>2，试判断关于x的方程x2−(a+b)x+ab=0与x2−abx+(a+b)=0有没有公共根，请说明理由．6.当p是什么实数时，方程x2+px−3=0与方程x2−4x−(p−1)=0有一个公共根．7.三个二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有公共根．求证:a+b+ c=0；8.若方程a2x2+ax−1=0和x2−ax−a2=0有公共根，求a的值．9.定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程x2−4x+5m=mx+5与x2+√2x+m−1=0互为“友好方程”，求m的值．10.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于x的一元二次方程x2−2x=0与x2+3x+m−1=0为“友好方程”，求m的值．11.若一元二次方程x2+kx−1=0，x2+x+(k−2)=0有相同的根，求k的值，并求两个方程的根．12.已知m为非负实数，当m取什么值时，关于x的方程x2+mx−1=0与x2+x+m−2=0仅有一个相同的实数根？13.试求满足方程x2−kx−7=0与x2−6x−(k+1)=0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根．模块二整数根方法总结：①讨论二次项系数；（如题干限定为“方程”，则要讨论二次项系数是否为0两种情况；如题干限定为“一元二次方程”，则二次项系数必须不等于0）②根据根的情况确定参数范围及参数的取值；③求出方程的整数解。
含参数的方程问题
含参数的方程问题类型一：一元一次方程的含参问题【例1】2(32)0a b x ax b +++=是关于x 的一元一次方程，且x 有唯一解，则x = .【变式1】若方程22(1)8m x mx x --+=是关于x 的一元一次方程，则代数式20061m m --的值是____________【例2】解关于x 的方程：39932+=+mx x m【变式2.1】如果关于x 的方程(1)2001(2)m x n x -=--有无数个解，那么20012001mn +的值是__________【变式2.2】如果不论k 为何值时，1x =-总是关于x 的方程2123kx a x bk +--=的解，则=a ________,=b _________。
类型二：二元一次方程的含参问题【例3】已知关于x 、y 的方程2)42()3(812=-++--a b y b x a 是二元一次方程，则2010)(b a +的值是_________【变式3】若4322009m n x y --+=是关于x 、y 的二元一次方程，且0mn <，03m n <+≤,则m n -的值是_________【例4】已知a 、b 为整数，关于x 的一元一次方程2])12(2[2-=---a x b x 与]3)2[(73)12(+--=+-x b x b 的解相同，求ab【变式4】已知对任意有理数a 、b ，关于x 、y 的二元一次方程()()a b x a b y a b --+=+有一组公共解，则公共解为_________【例5】解关于x 、y 、z 的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+a cz by b ax cz c by ax 222，其中a 、b 、c 为非零常数【变式5】已知关于x 、y 、z 的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++21k kz y x k z ky x z y kx ，当k 分别取何值时，方程组有唯一解？有无穷多解？无解？类型三：绝对值方程的含参问题【例6】若0＜x ＜10，则满足条件a x =-3的整数a 的值共有 个，它们的和是【变式6】若关于x 的方程032=+-m x 无解，043=+-n x 只有一个解，054=+-k x 的有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是____________【例7】关于x 的方程x a x a -+=1的解是x =0，则a 的值是 ；关于x 的方程x a x a -+=1的解是x =1，则有理数a 的取值范围是【变式7】当a 满足什么条件时，关于x 的方程a x x =---52有一解？有无数多个解？无解？【例8】若关于x 的方程23x a --=有三个整数解，则a 的值是________【变式8】设a 、b 为有理数，且a ＞0，方程3=--b a x 有三个不相等的解，求b 的值【例9】使关于x 的方程1x ax =+同时有一个正根和一个负根的整数a 的值是___________。
初中数学知识归纳解含有参数的方程
初中数学知识归纳解含有参数的方程参数在数学中是一个非常重要的概念，它可以帮助我们解决各种不确定的情况。
在代数学中，我们经常会遇到一类特殊的方程，即含有参数的方程。
下面我将对初中数学中关于含有参数的方程的解法进行归纳总结。
一、一次方程一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b是已知的参数。
我们可以通过移项，将参数项和常数项分开，然后根据x的系数求解x的值。
例题1：求方程2x + a = 0的解。
解：将参数项和常数项分开，得到2x = -a。
然后将方程两边都除以2，得到x = -a/2。
所以方程的解为x = -a/2。
例题2：求方程3x + 2a = 5的解。
解：将参数项和常数项分开，得到3x = 5 - 2a。
然后将方程两边都除以3，得到x = (5 - 2a)/3。
所以方程的解为x = (5 - 2a)/3。
二、二次方程二次方程的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b和c是已知的参数。
我们可以通过求解方程的根来求得方程的解。
例题3：求方程x² + a² = 0的解。
解：根据平方根的性质，方程的解可以表示为x = ±√(-a²)。
由于在实数范围内，-a²是负数，所以方程的解不存在实数解。
但在复数范围内，我们可以得到x = ±i√(a²)，其中i是虚数单位。
例题4：求方程x² + 2ax + a² = 0的解。
解：根据二次方程的求解公式，可以得到方程的根为x = (-2a ±√(4a² - 4a²))/2，即x = (-2a ± 0)/2，即x = -a。
所以方程的解为x = -a。
三、分式方程分式方程是含有参数的方程中经常遇到的一类。
我们可以通过整理方程，将参数项和常数项整理到一起，然后利用等式两边的性质求解。
例题5：求方程(3/a)x + (3/b) = 1的解。
(完整版)含有参数的分式方程
含有参数的分式方程【问题一】解含有参数的分式方程例如：解关于x 的方程11(1)1a a x +=≠- 分析：解分式方程的一般是方法将分式方程转化为整式方程，通过在等式两边乘以最简公分母达到去分母的效果。
在解决含有参数的分式方程时，将参数看作一个常数进行运算，用含有参数的代数式表示方程的解。
解：去分母，方程两边同时乘以1x -得：1(1)1a x x +-=-整理方程得：(1)2a x a -=-∵1a ≠，∴10a -≠， ∴21a x a -=- 检验，当21a x a -=-时，10x -≠ ∴原分式方程的解为21a x a -=- 小结：将等式中的参数看作常数，用含有参数的代数式表示一个未知数的值，是解决含参问题的基本方法。
练习：解关于x 的方程10(0,1)1m m m x x -=≠≠+且 （1m x m=-） 【问题二】已知含有参数的分式方程有特殊解，求参数的值例如：当a 为何值时，关于x 的方程12325x a x a +-=-+的解为0. 分析：将方程的解代入原方程建立关于参数的方程。
解：当x =0是方程的解时有0123025a a +-=-+，解得 15a = 当15a =时，50a +≠ 所以15a =是方程23152a a -=-+的解. 所以当15a =时，原方程的解为0 . 小结：方程的解是指使得等式两边相等的未知数的值，所以将方程的解代入原式，等式依然成立。
练习：当a 为何值时，关于x 的方程2334ax a x +=-的解为1. （3a =）【问题三】已知含有参数的分式方程解的范围，求参数的值例如：已知关于x 的方程233x m x x -=--的解为正数，试求m 的取值范围. 分析：将m 看作常数，表示出方程的解，根据方程的解的范围建立关于m 的关系式，注意方程有意义这个前提条件.解：去分母得：2(3)x x m --=解得6x m =-∵原方程的解为正数，∴0x >，即60m ->……………①又∵原方程要有意义 ∴30x -≠，即63m -≠……………②由①②可得6m <且3m ≠所以，当6m <且3m ≠时，方程的解为正数.小结：用含有参数的代数式将方程的解表示出来，进而根据原方程解的范围，建立与参数有关的关系式子。
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含有参数的方程的解法
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1211312)2()2(33)121--+=+-+--=-+x x x x x x 、（、 剖析： 当a ≠0时，方程有唯一的解，x=b/a 解关于x 的方程ax=b 当a=0,b ≠0时，方程无解
当a=0,b=0,方程有无数个解，且解
为任意数
分类讨论：
解关于x 的方程
例如：1、mx-m=nx
移项，得mx-nx=m 当m-n ≠0,即m ≠n 时，x=m/(m-n) 合并，得（m-n ）x=m 当m-n=0,m ≠0时，方程无解
当m-n=0,m=0时，方程有无穷多
解
反之： 有唯一解时，则a ≠0
关于x 的方程ax=b 无解时a=0,b ≠0
无穷多解时a=0,b=0
1、 已知关于x 的方程2a(x-1)=(5-a)x+3b 有无穷多解，则
a,b 的值分别是多少？
2、 已知等式2a(x-1)=(5-a)x+3b,对于任意x 均成立，试求
a,b 的值；
3、 若关于x 的一元一次方程（a+b ）x 2+ax+b=0有唯一解，
则x的值？（提示：a,b互为相反数）
含有绝对值方程的解法：
1、解可化为︱x︱=a(a≥0)的绝对值方程
19-︱x︱=100-10︱x︱
2、解形如︱ax+b︱=c的绝对值方程（讨论：ax+b=c或ax+b=-c）
︱2x+3︱=5
︱3x-1︱-︱2x+1︱=0
︱3x+1︱-︱4x-1︱=0
︱7x-3︱-︱5x+1︱=0
3(-2︱x︱-1)=︱x︱ /5-5
4(︱x︱-1)=︱x︱/2+1
3(︱x︱-1)=︱x︱/5+1
(2︱x︱-1)/3+1=(︱x︱+2)/2
3、解形如︱ax+b︱=cx+d的绝对值方程（检验：x的值要满足cx+d≥0）
︱3x+2︱=5x-10 (提示：x的值要满足5x-10≥0,否舍去)
利用方程的解求字母的值：
1、如果x=-2是方程a(x+3)=1/2a+x的解，求a2/2-a+1的
值；
2、若方程2x+1=3x的解与关于x-3a=4的解相同，求关于
y的方程-1/2ay+1=3/2y+5的解；
讨论题型：若a＞0,b＜0,则使︱x-a︱+︱x-b︱=a-b成立的x的取值范围是（）；（提示，在数轴上分段找x的取值关键点）
一元一次方程应用题
分段收费类型：
1、某城市按一下规定收取每月的水费：
用水量如果不超过6吨，按每吨1.2元收费；如果超过6吨，超过部分则按每吨2元收费。
某用户5月份水费平均为每吨1.8元。
问（1）该用户5月份用去多少吨水？
（2）该用5月份应交水费多少元？
2、国家规定个人发表文章，出版图书所得稿费的纳税计算方法是：
①稿费不高于800元的不纳税
②稿费高于800元，而低于4000元的应缴纳超过800元的那部分稿费的14℅的税，
③稿费为4000元或高于4000元的应缴纳全部稿费的11℅的税。
试根据上述纳税的计算方法作答：
（1）若王老师获得的稿费为2400元，则应纳税多少元？（2）王老师获得的稿费为4000元，则应纳税多少元？
（3）若王老师获稿费后纳税420元，则这笔稿费多少元？（4）若王老师拿到税后稿费为3380元，问王老师的税前稿费是多少？
分段折扣问题：
1、某市百货商场元月一日搞促销活动，购物不超过200
元不给优惠，超过200元，而不足500元的优惠总价的
10℅，超过500元的，其中500元的部分按9折优惠，超过500元部分按8折优惠，某人两次购物分别用了
134元和466元
问（1）此人两次购物其物品如果不打折一共值多少钱？（2）在这次活动中他节省了多少钱?
(3)若此人将两次购物合为一次购物是不是更省钱？为什么？。