立体几何大题训练及答案

1、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，（1）线段的中点为，线段的中点为，求证：；（2）求直线与平面所成角的正切值.解：（1）取AB 的中点为N ，连MN ,PN ,则//MN EB ,//PN BC∴PMN EBC ∴//PM BCE 平面FE ⊥EBC FCE ∴∠⊥//AB DE (1)求证：AO ⊥平面CDE ；(2)求直线BD 与平面CBE 所成角的正弦值3、如图，在△ABC 中，︒=∠90C ，a BC AC 3==，点P 在AB 上，BC PE //交AC 于E ，AC PF //交BC 于F ．沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面ABC ；沿PF 将△BPF 翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC ． （1）求证：//'C B 平面PE A '；（2）若PB AP 2=，求二面角E PC A --'的平面角的正切值．解：（1）因为PE FC //，⊄FC 平面PE A '，所以//FC 平面PE A '．因为平面⊥PE A '平面PEC ，且PE E A ⊥'，所以⊥E A '平面ABC ． …2分 同理，⊥F B '平面ABC ，所以E A F B '//'，从而//'F B 平面PE A '． …4分 所以平面//'CF B 平面PE A '，从而//'C B 平面PE A '．…6分（2）因为a BC AC 3==，BP AP 2=，所以a CE =，a A E 2='，a PE 2=，a PC 5=．…8分ABCDE FM .. C BF PAF C'B 'A EABCDEP M过E 作PC EM ⊥，垂足为M ，连结M A '．由（1）知ABC E A 平面⊥'，可得PC E A ⊥'， 所以EM A PC '⊥面，所以PC M A ⊥'．所以ME A '∠即为所求二面角E PC A --'的平面角，可记为θ． …12分在Rt △PCE 中，求得a EM 552=， 所以55522tan =='=a aEM E A θ． …15分4、如图，⊥DA 平面ABC ，⊥ED 平面BCD ，DE=DA=AB=AC.0120=∠BAC ，M 为BC 中点. (1)求直线EM 与平面BCD 所成角的正弦值； (2)P 为线段DM 上一点，且⊥AP DM ，求证：AP解：(1) ED ⊥平面BCD ，为在平面上的射影， 为与平面所成角．……………………2分 DA ⊥Q 平面ABC ，， 设，又=Q DA AB =AC ，． 在△ABC 中，Q ，， 又Q 为中点，∴⊥DM BC ，12==BM BC ，∴．…5分 在Rt △EDM中，EM =32a =， PABF C'B 'A E（第20题）MA BCDE A 1C 1sin EMD ∠=32DE a EM a =23=． ………………………7分 （2）=AB AC ，M 为BC 中点，∴⊥BC AM ．又⊥DA 平面ABC ， ∴⊥BC DA ，平面． ……………………9分又平面，， ……………………11分 又，平面． ……………………13分 又ED ⊥平面BCD ，． ……………………14分5、如图，已知ABCD 是边长为1的正方形，AF⊥平面ABCD ，CE∥AF，)1(>=λλAF CE ．（1）证明：BD⊥EF；（2）若AF ＝1，且直线BE 与平面ACE 所成角的正弦值为1023，求λ的值．解：（1）连结BD 、AC ，交点为Ｏ．∵ABCD 是正方形∵AF⊥平面ABCD ∴AF⊥BD ……4分 ∴BD⊥平面ACEF ……6分 ∴BD⊥EF ……7分（2）连结OE ，由（1）知，BD⊥平面ACEF ，所以∠BEO 即为直线BE 与平面ACE 所成的角． ……10分 ∵AF⊥平面ABCD ，CE∥AF ，∴CE⊥平面ABCD ，CE⊥BC， ∵BC =1，AF ＝1，则CE ＝λ，BE ＝21λ+，BO ＝22， ∴Rt△BEO 中， 1023122sin 2=λ+==∠BE BO BEO ， …13分 因为1>λ，解得34=λ． ……15分6、如图，在几何体中，⊥1AA 平面ABC ，,2,//,111===⊥AA BC AB AA CC BC AB E D CC ,,11=分别是1,AA AB 的中点. (1)求证：//1BC 平面CDE ；(2)求二面角A DC E --的平面角的正切值.解：（1）连接ACR 1R 交EC 于点F ，由题意知四边形ACCR 1RE 是矩形，则F 是ACR 1R 的中点，连接DF ，∵D 是AB 的中点，∴DF 是△ABCR 1R 的中位线，∴ BCR 1R ⊄⊂ 7分 (2) 作AH ⊥直线CD ，垂足为H ，连接HE ， ∵ AAR 1R ⊥平面ABC ，∴ AAR 1R ⊥DC ，∴ CD ⊥平面AHE ， ∴ CD ⊥EH ，∴ ∠AHE 是二面角E – CD – A 的平面角. 11分 ∵ D 是AB 的中点，∴ AH 等于点B 到CD 的距离，在△BCD 中，求得：AH ＝552， 在△AEH 中， 25tan ==∠AH AE AHE 即所求二面角的正切值为25.7、如图，已知平面与直线均垂直于所在平面，且, （1）求证：平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值.解：（1）证明：过点作于点，∵平面⊥平面，∴平面……2分 又∵⊥平面∴∥, ………………2分 又∵平面∴∥平面 ………………6分（2）∵平面 ∴，又∵∴ ∴ ………………8分 ∴点是的中点，连结，则 ∴平面 ∴∥，∴四边形是矩形 ………………10分 设QPABCABCA 1B 1C 1DE 得：， 又∵，∴，从而，过作于点，则：∴是与平面所成角 ………………………………………………12分 ∴，∴与平面所成角的正弦值为…………………………14分8、如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，ABC ∆是等腰直角三角形，090=∠ACB ，侧棱AA 1=2，D ，E 分别为CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心. (1)求证：DE9、如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面△ABC 为等腰直角三角形，∠B=90°,D 为棱BB 1的中点。

（1）求证：面DA 1C⊥面AA 1C 1C ； （2）若1AA AB=A —A 1D —C 的大小。

10、如图，在四棱锥P-ABCD中，PA ⊥平面ABCD ，AB ABCD DC AB //E F AB AB DE ⊥AB CF ⊥2,3===FB EF CF G FBt AE =BCF ADE ∆∆,CF DE ,A B P PEFCD （1）求证：//PD 平面EGC ；（2）当⊥EG 面PFC 时,求DG 与平面A BCA 1B 1C 1D PAC DMCD EFC DPED 所成角的正切值.（1）证明：连接DF 交EC 于点M ，连接MGG M ,Θ为中点 MG PD //∴ 又EGC PD 面⊄ΘEGC MG 面⊂ ∴//PD 平面EGC ———5分（2）当⊥EG 面PFC 时, PF EG ⊥ 又ΘG 为FB 的中点，2==∴EP EF ，2=∴t —————7分过点G 在平面PEF 中作EP 的垂线，垂足为N ，连接DN . ⊥DE Θ面PEF ∴面⊥PED 面PEF ⊥∴GN 面PED GDN ∠∴即为DG 与平面PED 所成角.——————11分易求得221,23==DN GN ,所以DG 与平面PED 所成角的正切值为77.——14分12、如图，在四边形ABCD 中，4==AD AB ，7==CD BC ，点为线段上的一点.现将DCE ∆沿线段EC 翻折到PAC ，使得平面PAC ⊥平面ABCE ，连接PA ，PB .(1)证明：⊥BD 平面PAC ；(2)若︒=∠60BAD ，且点E 为线段的中点，求直线PE 与平面ABCE 所成角的正弦值.解：(1)连接AC ，BD 交于点O ,在四边形ABCD 中， ∵4==AD AB ，7==CD BC∴ADC ABC ∆≅∆，∴BAC DAC ∠=∠,∴BD AC ⊥ 又∵平面PAC ⊥平面ABCE ，且平面PAC I 平面ABCE =AC ∴⊥BD 平面PAC ………… 6分(2)如图，过点P 作AC 的垂线，垂足为H ，连接EH ，EC并取AO 中点F ，连接EF ，∵平面PAC ⊥平面ABCE ，且平面PAC I 平面ABCE =AC ，AC PH ⊥ ∴⊥PH 平面ABCE ，∴PEH ∠即为直线PE 与平面ABCE 的所成角， 由(Ⅰ)可知，BD AC ⊥，且32=AO ，3=CO ，又2=PE ，7=PC ，设x CH =，则有27x PH -=，3222-=-=x PH PE EHBA CDEPABCA 11C 1OPPP 1AA BBCCM又∵F 为AO 的中点，在EFH Rt ∆中，x FH -=32，1=EF由勾股定理得，31)32(22-=+-x x ，解得334=x ， ∴332=EH ，335=PH ∴直线PE 与平面ABCE 的所成角的正弦值即33sin ==∠PE EH PEH .13、在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=AC=AA 1 =2，平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，∠AA 1C 1=∠BAC 1=60°，设AC 1与AC 相交于点O ，如图． （1）求证：BO⊥平面AA 1C 1C ； （2）求二面角B 1—AC 1—A 1的大小。

14、如图1，四面体PABC 中，BC=BP=1，AC=AP=3，AB=2，将PAB ∆沿直线AB 翻折至AB P 1∆，使点C B P A ,,,1在同一平面内(如图2)，点M 为PC 中点. (1)求证：直线//1PP 平面MAB ； (2) 求证：AB PC ⊥；(3)求直线PA 与平面P 1PC 所成角的大小.答案：（3）、3π。