概率论与数理统计 第七章
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概率论与数理统计第七章-1矩估计法和极大似然估计法
μ1 h1 (θ1 , θ2 , μ j h j (θ1 , θ2 , μk hk (θ1 , θ2 ,
, θk ) , θk ) , θk )
, μk ) , μk ) , μk )
数理统计
从这 k 个方程中解出
θ1 g1 ( μ1 , μ2 , θ j g j ( μ1 , μ2 , θk gk ( μ1 , μ2 ,
数理统计
定义 用样本原点矩估计相应的总体原点矩 ,
用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的 连续函数, 这种参数点估计法称为矩估计法 . 矩估计法的具体做法如下 设总体的分布函数中含有k个未知参数 θ1 , θ2 , 那么它的前k阶矩 μ1 , μ2 ,
, θk ,
, μk , 一般
l xi P{ X xi ;1 , 2 , , k } l E ( X l ) l 1 hl (1 , 2 , , k ) x l p ( x; , , , )dx 1 2 k
2 1
b μ1 3( μ2 μ12 )
于是 a , b 的矩估计量为
总体矩
a A1 3( A2 A12 ) 3 n 2 X ( X X ) , i n i 1
3 n 2 b X ( X X ) n i 1 i
样本矩
数理统计
例2 设总体 X 的均值 μ和方差 σ 2 ( 0) 都存
数理统计
点估计问题的一般提法 设总体 X 的分布函数 F ( x; )的形式为已
知, 是待估参数 . X 1 , X 2 ,, X n 是 X 的一个样 本, x1 , x2 ,, xn 为相应的一个样本值 .
概率论与数理统计第7章
x 0 , x 0 ,x 1 ,x 2 ,
,x n 为 总 体 X
的 一 个 样 本 ,则 未 知 参 数 的 矩 估 计 ˆ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
这个例子所作的推断已经体现了极大似然法 的基本思想 .
最大似然估计原理：
设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样 本的联合密度(连续型）或联合分布律 (离散型)为
f (x1,x2,… ,xn ; ) .
当给定样本X1,X2,…Xn时，定义似然函数为：
L() f (x1, x2 ,…, xn; )
得
pˆ1Βιβλιοθήκη nn i 1xix
即为 p 的最大似然估计值 .
从而 p 的最大似然估计量为
p ˆ(X1,
1n ,Xn)ni1Xi X
求最大似然估计(MLE)的一般步骤是：
(1) 由总体分布导出样本的联合分布率(或联 合密度);
(2) 把样本联合分布率 ( 或联合密度 ) 中自变
量看成已知常数,而把参数 看作自变量,得到似然 函数L();
要求：领会
2.2 估计量的有效性、相合性， 要求：领会
3.区间估计
3.1 置信区间的概念，
要求：领会
3.2 求单个正态总体均值和方差的置信区间，要求：简单应用
参数估计
现在我们来介绍一类重要的统计推断问题
参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体 的某些参数或者参数的某些函数.
估计新生儿的体重
1 p
n
pxi (1p)1xi
i1
n
n
xi
n xi
pi1 (1p) i1
n
n
xi
n xi
L(p)pi1 (1p) i1
概率论与数理统计复习7章
( n − 1) S 2 ( n − 1) S 2 = 1 − α 即P 2 <σ2 < 2 χα 2 ( n − 1) χ1−α 2 ( n − 1) ( n − 1) S 2 ( n − 1) S 2 置信区间为： 2 , χα 2 ( n − 1) χ12−α 2 ( n − 1)
则有：E ( X v ) = µv (θ1 , θ 2 ,⋯ , θ k ) 其v阶样本矩是：Av = 1 ∑ X iv n i =1
n
估计的未知参数，假定总体X 的k阶原点矩E ( X k ) 存在，
µ θ , θ ,⋯ , θ = A k 1 1 1 2 µ2 θ1, θ 2 ,⋯ , θ k = A2 用样本矩作为总体矩的估计，即令： ⋮ µ θ , θ ,⋯ , θ = A k k k 1 2 ɵ ɵ ˆ 解此方程即得 (θ1 , θ 2 ,⋯ , θ k )的一个矩估计量 θ 1 , θ 2 ,⋯ , θ k
+∞
−∞
xf ( x ) dx = ∫ θ x θ dx =
1 0
令E ( X ) = X ⇒
θ +1
θ
ˆ = X ⇒θ =
( )
X 1− X
θ +1
2
θ
7.2极大似然估计法
极大似然估计法： 设总体X 的概率密度为f ( x,θ ) (或分布率p( x,θ )),θ = (θ1 ,θ 2 ,⋯ ,θ k ) 为 未知参数，θ ∈ Θ, Θ为参数空间，即θ的取值范围。设 ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) 是 样本 ( X 1 , X 2 ,⋯ , X n )的一个观察值：
i =1 n
概率论与数理统计第7章参数估计PPT课件
5
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
《概率论与数理统计》第七章假设检验.
《概率论与数理统计》第七章假设检验.第七章假设检验学习⽬标知识⽬标：理解假设检验的基本概念⼩概率原理；掌握假设检验的⽅法和步骤。
能⼒⽬标：能够作正态总体均值、⽐例的假设检验和两个正态总体的均值、⽐例之差的假设检验。
参数估计和假设检验是统计推断的两种形式，它们都是利⽤样本对总体进⾏某种推断，然⽽推断的⾓度不同。
参数估计是通过样本统计量来推断总体未知参数的取值范围，以及作出结论的可靠程度，总体参数在估计前是未知的。
⽽在假设检验中，则是预先对总体参数的取值提出⼀个假设，然后利⽤样本数据检验这个假设是否成⽴，如果成⽴，我们就接受这个假设，如果不成⽴就拒绝原假设。
当然由于样本的随机性，这种推断只能具有⼀定的可靠性。
本章介绍假设检验的基本概念，以及假设检验的⼀般步骤，然后重点介绍常⽤的参数检验⽅法。
由于篇幅的限制，⾮参数假设检验在这⾥就不作介绍了。
第⼀节假设检验的⼀般问题关键词：参数假设；检验统计量；接受域与拒绝域；假设检验的两类错误⼀、假设检验的基本概念（⼀）原假设和备择假设为了对假设检验的基本概念有⼀个直观的认识，不妨先看下⾯的例⼦。
例7.1 某⼚⽣产⼀种⽇光灯管，其寿命X 服从正态分布)200 ,(2µN ，从过去的⽣产经验看，灯管的平均寿命为1550=µ⼩时，。
现在采⽤新⼯艺后，在所⽣产的新灯管中抽取25只，测其平均寿命为1650⼩时。
问采⽤新⼯艺后，灯管的寿命是否有显著提⾼？这是⼀个均值的检验问题。
灯管的寿命有没有显著变化呢？这有两种可能：⼀种是没有什么变化。
即新⼯艺对均值没有影响，采⽤新⼯艺后，X 仍然服从)200 ,1550(2N 。
另⼀种情况可能是，新⼯艺的确使均值发⽣了显著性变化。
这样，1650=X 和15500=µ之间的差异就只能认为是采⽤新⼯艺的关系。
究竟是哪种情况与实际情况相符合，这需要作检验。
假如给定显著性⽔平05.0=α。
在上⾯的例⼦中，我们可以把涉及到的两种情况⽤统计假设的形式表⽰出来。
概率论与数理统计-参数估计
第七章 参数估计
例：
引言
设总体 X 是服从参数为 的指数分布，其中参数
未 知 ，
0 ．X1 ,,
X
是总体
n
X
的一个样本，
我们的任务是根据样本，来估计 的取值，从
而估计总体的分布．
这 是 一 个 参 数 估 计 问 题．
第七章 参数估计
§1 点估计 §2 估计量的评选标准 §3 区间估计
第七章 参数估计 §1 点估计
2
令
A1
A2
, (
2
1)
.
第七章 参数估计
例6(续）
解此方程组，得
§1 点估计
ˆ
A1 2 A2 A12
,
ˆ
A2
A1 A12
.
ˆ X 2 ,
即
B2
ˆ X .
B2
其中 B2
1 n
n i 1
Xi X
2 为样本的二阶中心矩．
第七章 参数估计（第二十二讲） 三、 极大似然法
§1 点估计
1
第七章 参数估计
例6(续）
EX 2 x 2 f
x dx x 2
x 1e x dx
0
§1 点估计
2 2 x ( e 2)1 x dx
2 0 2
2 2
1 2
1
2
因此有
EX
,
EX
2
1 .
⑵ 在不引起混淆的情况下，我们统称估计量
与估计值为未知参数 的估计．
第七章 参数估计
二、 矩估计法
§1 点估计
设X为连续型随机变量，其概率密度为
f ( x;1 ,, k ), X为离散型随机变量，其分布列为
《概率论与数理统计》7
未知参数 , ,, 的函数.分别令
12
k
L(1,,k ) 0,(i 1,2,...,k)
或令
i
ln L(1,,k ) 0,(i 1,2,...,k)
i
由此方程组可解得参数 i 的极大似然估计值 ˆi.
例5 设X~b(1,p), X1, X2 , …,Xn是来自X的一个样本,
求参数 p 的最大似然估计量.
解 E( X ) ，E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 2 2
由矩估计法,
【注】
X
1
n
n i 1
X
2 i
2
2
ˆ X ,
ˆ
2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
对任何总体,总体均值与方差的矩估计量都不变．
➢常见分布的参数矩估计量
(1)若总体X~b(1, p), 则未知参数 p 的矩估计量为
7-1
第七章
参数估计
统计 推断
的 基本 问题
7-2
参数估 计问题
(第七章）
点估计 区间估 计
假设检 验问题 (第八章）
什么是参数估计？
参数是刻画总体某方面概率特性的数量.
当此数量未知时,从总体抽出一个样本， 用某种方法对这个未知参数进行估计就 是参数估计.
例如，X ~N ( , 2),
若, 2未知, 通过构造样本的函数, 给出
k = k(A1, A2 , …, A k)
用i 作为i的估计量------矩估计量.
例1 设总体X服从[a，b]上的均匀分布，a，b未知，
X1, X2 , …,Xn为来自总体X的样本,试求a，b的 矩估计量．
解 E(X ) a b , D(X ) (b a)2
《概率论与数理统计》第七章
i 1
n
n
ln xi
（4）的极大似然估计量为：ˆ
n
n2 i1
lnX
i
2
i1
第七章 参数估计 ‹#›
例 9 设X~b(1,p), X1,X2,…,Xn是来自X的一个样本， 试求参数p的最大似然估计量
解: 设x1, x2,, xn,是相应于样本X1,X2,…,Xn 的一个样本值，X
的分布律为：
(3)以样本各阶矩A1, ,Ak代替总体各阶矩1,
得各参数的矩估计
ˆi gi(A1, ,Ak )， i 1, , k
, k，
第七章 参数估计 ‹#›
注意：
在实际应用时，为求解方便，也可以用
中心矩 i 代替原点矩i，相应地以样本中心矩Bi 估计 i.
（二）最大似然估计法
最（极）大似然估计的原理介绍
第七章
参数估计
目录/Contents
第1章 随机事件与 2 概率
§ 1 点估计
§3
估计量的评选标准
第七章 参数估计 ‹#›
问题的提出:
在实际进行统计时，有不少总体的（我们关心的某 确定指标）概率分布是已知的。比如
例 1 产品寿命服从的分布
X~
f
(
x)
1
x
e
x0
0
其他
但其中有参数是未知的: θ
n
似然函数 L f xi , 。 i 1
, xn ，
极大似然原理：L(ˆ( x1 ,
,
xn
))
max
L(
).
计算简化方法：
在求L 的最大值时，通常转换为求：lnL 的最大值，
lnL 称为对数似然函数.
利用
n
n
ln xi
（4）的极大似然估计量为：ˆ
n
n2 i1
lnX
i
2
i1
第七章 参数估计 ‹#›
例 9 设X~b(1,p), X1,X2,…,Xn是来自X的一个样本， 试求参数p的最大似然估计量
解: 设x1, x2,, xn,是相应于样本X1,X2,…,Xn 的一个样本值，X
的分布律为：
(3)以样本各阶矩A1, ,Ak代替总体各阶矩1,
得各参数的矩估计
ˆi gi(A1, ,Ak )， i 1, , k
, k，
第七章 参数估计 ‹#›
注意：
在实际应用时，为求解方便，也可以用
中心矩 i 代替原点矩i，相应地以样本中心矩Bi 估计 i.
（二）最大似然估计法
最（极）大似然估计的原理介绍
第七章
参数估计
目录/Contents
第1章 随机事件与 2 概率
§ 1 点估计
§3
估计量的评选标准
第七章 参数估计 ‹#›
问题的提出:
在实际进行统计时，有不少总体的（我们关心的某 确定指标）概率分布是已知的。比如
例 1 产品寿命服从的分布
X~
f
(
x)
1
x
e
x0
0
其他
但其中有参数是未知的: θ
n
似然函数 L f xi , 。 i 1
, xn ，
极大似然原理：L(ˆ( x1 ,
,
xn
))
max
L(
).
计算简化方法：
在求L 的最大值时，通常转换为求：lnL 的最大值，
lnL 称为对数似然函数.
利用
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a) 分布可加性 若X～2(n1)，Y～2(n2 )，
X 与 Y 独立，则 X + Y～2(n1+n2 ).
b) 期望与方差 若 X～2(n)，则
E(X) = n， Var(X) = 2n
26 October 2018
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第七章 样本分布
第13页
二、t — 分布
1. 构造 若 X ～N(0, 1), Y～2(n), X 与 Y 独立，则
E 2 n, Var ( ) 2n
2
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第七章 样本分布
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3. 分位点 设X ~ 2(n)，若 对于：0<<1，存在 满足 则称 为 分布的下侧 分位点。
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第七章 样本分布
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4. 2 分布的性质：
则称 F(n1, n2)为
F(n1, n2)的下侧 分位点
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第七章 样本分布
第21页
3. F — 分布性质:
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第七章 样本分布
第22页
一般总体的结论
设 X 为总体, 且 E(X) = , Var(X) = 2,
则 为样本,
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第七章 样本分布
第23页
正态总体的结论
为样本, (1) (2) (3) (4)
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设总体 则
独立.
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t1 (n)
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第七章 样本分布
第17页
注:
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第七章 样本分布
第18页
三、F — 分布 1. 构造 若X ~ 2(n1)， Y ~ 2(n2)，X与Y独立，则
称为自由度为 n1, n2的F — 分布, 其概率密度为
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第七章 样本分布
第4页
统计量
当人们需要从样本获得对总体各种参数的认识 时，最好的方法是构造样本的函数，不同的函 数反映总体的不同特征。
统计量 设x1,x2,…,xn 为取自某总体的样本， 若样本函数T = T(x1, x2, …, xn)中不含有任何 未知参数。则称T为统计量。统计量的分布 称为抽样分布。
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第七章 样本分布
第6页
几个常用的统计量：
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第七章 样本分布
第7页
课 堂 练 习 (1)
设X1, X2, …, Xn 是来自总体 N(, 2)的一个样本,
其中 已知，2 未知, 以下哪些是统计量
1 n (1) Xi n i 1
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第七章 样本布
第3页
2 样本： 来自总体的部分个体 X1， … ，Xn 如果满足：
(1) 同分布性： Xi，i=1,…,n 与总体同分布.
(2) 独立性： X1，… ，Xn 相互独立； X1，… ，Xn: 容量为 n 的简单随机样本，简称样本。
而称 X1, …, Xn 的一次实现 x1, … , xn 为样本观察值。
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第七章 样本分布
第5页
按照这一定义，若 x1,x2,…,xn为样本 则 x , x 都是统计量。 而当, 2 未知时，x1- , x1/ 等均不是统计量。
n n 2 i i i 1 i 1
尽管统计量不依赖于未知参数，但是它的分 布一般是依赖于未知参数的。
第七章 样本分布
第1页
§7.1 总体与样本
1. 总体：研究对象的全体。 通常指研究对象的某项数量指标。 组成总体的元素称为个体。
从本质上讲，总体就是所研究的随机 变量或随机变量的分布。
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第七章 样本分布
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总体 (母体)： i) 研究对象的全体。
ii) 总体是一个随机变量。 个体: 每一个研究对象。
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第七章 样本分布
第8页
数理统计中常用到如下三个分布：
2 — 分布、 t — 分布、 F — 分布 一、2 — 分布
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第七章 样本分布
第9页
2. 2—分布的密度函数曲线
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第七章 样本分布
第10页
该密度函 数的图象 是一取非 负值的偏 态分布
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第七章 样本分布
第16页
3. t(n) 的性质: (1) p(t) 关于 t=0 (纵轴) 对称。 (2) p(t) 的极限为 N(0，1) 的密度函数.
4. 分位点 设T～t(n)，若对0<<1, 存在 t(n)>0， 满足 P{Tt(n)} = 则称 t(n)为 t(n) 的下侧 分位点.
n
1 n 2 (2) ( X ) i n i 1
2
1 n 2 (3) ( X X ) i n i 1
2
1 Xi (4) n i 1
(5) X 1 X 2
2
2
(6) 2 X 1 X 2 ...X n
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第七章 样本分布
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该密度函 数的图象 也是一取 非负值的 偏态分布
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第七章 样本分布
第20页
2. F — 分布的分位点
对于 0<<1，若存在 F(n1, n2)>0 满足 P{FF(n1, n2)} = ，
t(n) 称为自由度为 n 的 t — 分布。
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2. t(n) 的概率密度为:
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第七章 样本分布
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t分布的密度函 数的图象是一关 于纵轴对称的分 布，与标准正态 分布的密度函数 形状类似，只是 峰比标准正态分 布低一些尾部的 概率比标准正态 分布的大一些。
X 与 Y 独立，则 X + Y～2(n1+n2 ).
b) 期望与方差 若 X～2(n)，则
E(X) = n， Var(X) = 2n
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二、t — 分布
1. 构造 若 X ～N(0, 1), Y～2(n), X 与 Y 独立，则
E 2 n, Var ( ) 2n
2
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3. 分位点 设X ~ 2(n)，若 对于：0<<1，存在 满足 则称 为 分布的下侧 分位点。
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4. 2 分布的性质：
则称 F(n1, n2)为
F(n1, n2)的下侧 分位点
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3. F — 分布性质:
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一般总体的结论
设 X 为总体, 且 E(X) = , Var(X) = 2,
则 为样本,
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正态总体的结论
为样本, (1) (2) (3) (4)
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独立.
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注:
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三、F — 分布 1. 构造 若X ~ 2(n1)， Y ~ 2(n2)，X与Y独立，则
称为自由度为 n1, n2的F — 分布, 其概率密度为
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统计量
当人们需要从样本获得对总体各种参数的认识 时，最好的方法是构造样本的函数，不同的函 数反映总体的不同特征。
统计量 设x1,x2,…,xn 为取自某总体的样本， 若样本函数T = T(x1, x2, …, xn)中不含有任何 未知参数。则称T为统计量。统计量的分布 称为抽样分布。
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第七章 样本分布
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几个常用的统计量：
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课 堂 练 习 (1)
设X1, X2, …, Xn 是来自总体 N(, 2)的一个样本,
其中 已知，2 未知, 以下哪些是统计量
1 n (1) Xi n i 1
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第七章 样本布
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2 样本： 来自总体的部分个体 X1， … ，Xn 如果满足：
(1) 同分布性： Xi，i=1,…,n 与总体同分布.
(2) 独立性： X1，… ，Xn 相互独立； X1，… ，Xn: 容量为 n 的简单随机样本，简称样本。
而称 X1, …, Xn 的一次实现 x1, … , xn 为样本观察值。
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按照这一定义，若 x1,x2,…,xn为样本 则 x , x 都是统计量。 而当, 2 未知时，x1- , x1/ 等均不是统计量。
n n 2 i i i 1 i 1
尽管统计量不依赖于未知参数，但是它的分 布一般是依赖于未知参数的。
第七章 样本分布
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§7.1 总体与样本
1. 总体：研究对象的全体。 通常指研究对象的某项数量指标。 组成总体的元素称为个体。
从本质上讲，总体就是所研究的随机 变量或随机变量的分布。
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第七章 样本分布
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总体 (母体)： i) 研究对象的全体。
ii) 总体是一个随机变量。 个体: 每一个研究对象。
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数理统计中常用到如下三个分布：
2 — 分布、 t — 分布、 F — 分布 一、2 — 分布
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2. 2—分布的密度函数曲线
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该密度函 数的图象 是一取非 负值的偏 态分布
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3. t(n) 的性质: (1) p(t) 关于 t=0 (纵轴) 对称。 (2) p(t) 的极限为 N(0，1) 的密度函数.
4. 分位点 设T～t(n)，若对0<<1, 存在 t(n)>0， 满足 P{Tt(n)} = 则称 t(n)为 t(n) 的下侧 分位点.
n
1 n 2 (2) ( X ) i n i 1
2
1 n 2 (3) ( X X ) i n i 1
2
1 Xi (4) n i 1
(5) X 1 X 2
2
2
(6) 2 X 1 X 2 ...X n
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第七章 样本分布
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该密度函 数的图象 也是一取 非负值的 偏态分布
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2. F — 分布的分位点
对于 0<<1，若存在 F(n1, n2)>0 满足 P{FF(n1, n2)} = ，
t(n) 称为自由度为 n 的 t — 分布。
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2. t(n) 的概率密度为:
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t分布的密度函 数的图象是一关 于纵轴对称的分 布，与标准正态 分布的密度函数 形状类似，只是 峰比标准正态分 布低一些尾部的 概率比标准正态 分布的大一些。