4.4.2两个三角形相似判定
两个相似三角形的判定课件(浙教版)
课堂练习
1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。
（1）所有的等腰三角形都类似。 × （2）所有的等腰直角三角形都类似。√ （3）所有的等边三角形都类似。 √
2.如图，将方格纸分成6个三角形，在②，③，④，⑤，⑥ 5个三角形中，与三角形①类似的三角形有_____③_.
3．如图，在矩形ABEF中，四边形ABCH、四边形CDGH和四边形 DEFG都是正方形，图中的△ACD与△ECA类似吗？为什么？
B
C B1
C1
有效利用判定定理一去求证。
A
D
A1 E
B
C B1
C1
证明：在线段 A1B1（或它的延长线）上截
取 A1D AB ，过点D作 DE∥B1C1 ，交 A1C1 于点E 根据前面的定理可得 A1DE∽A1B1C1 .
A1
A
D
E
B
C B1
C1
∴ A1D DE A1E
A1B1 B1C1 A1C1
又
AB A1B1
BC B1C1
AC A1C1
, A1D
AB
∴ DE BC , A1E AC
B1C1 B1C1 A1C1 A1C1
∴ DE BC, A1E AC
∴ A1DE≌ABC（SSS） ∵ A1DE∽A1B1C1
提炼概念
类似三角形的判定方法：三边对应成比例的两个三角形类似.
它的几何格式表示如下：
解：△ACD∽△ECA.设正方形的边长为 1，则 AC ＝ 2，CD＝1，AD＝ 5，EC＝2，EA＝ 10
∵AC∶EC＝CD∶CA＝AD∶EA， ∴△A CD∽△E CA .
4．如图，已知：AABD＝AACE＝BDCE， 求证：AB·CE＝AC·BD.
4.4.2 利用边角关系判定两三角形相似-课件
夯实基础·逐点练
当AADE＝AABC时，∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC. 此时 AE＝ACA·BAD＝5×6 2＝53. 故答案为152或53. 【答案】152或53
整合方法·提升练
10．【2018·上海】已知，如图，正方形 ABCD 中，P 是 BC 上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点 E，F.
整合方法·提升练
(2)连接 BF，如果ABFF＝DADF，求证：EF＝EP. 证明：如图，∵ABFF＝DADF，AF＝BE，
整合方法·提升练
∴BBEF＝DADF， ∴DBEF＝ABDF. 设BBEF＝DADF＝k，则 BE＝kBF，DF＝kAD，∴EF＝ BF2－BE2 ＝ 1－k2BF，AF＝ AD2－DF2＝ 1－k2AD. ∴EAFF＝ABDF.
探究培优·拓展练
13．如图，在矩形 ABCD 中， AB＝10 cm，BC＝20 cm，两 只小虫 P 和 Q 同时分别从 A， B 出发沿 AB，BC 向终点 B， C 方向前进，小虫 P 的速度为 1 cm/s，小虫 Q 的速度为 2 cm/s. 请问：它们同时出发多少秒时，以 P，B，Q 为顶点的三角 形与以 A，B，C 为顶点的三角形相似？
A．1 个 C．3 个
B．2 个 D．4 个
夯实基础·逐点练
5．在等边三角形 ABC 中，D，E 分别在 AC，AB 上，且AADC ＝13，AE＝BE，则有( B ) A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
夯实基础·逐点练
6．【2017·潍坊】如图，在△ABC 中，AB≠AC，D，E 分别 为 AB，AC 上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，点 F 为 BC 边上一点，添加一个条件：_D_F_∥_A_C_(_答_案__不_唯__一_)______，可 以使得△FDB 与△ADE 相似．(只需写出一个)
北师大九年级上册4.4.2 探索三角形相似的条件 教学设计
4.4.2探索三角形相似的条件教学设计问题2 类比三角形全等的判定方法（SAS,SSS ），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？ 相似做一做利用刻度尺和量角器画△ABC 和△A ′B ′C ′，使∠A =∠A ′，ABA ′B′=ACA ′C′，量出∠B 与∠B ′的大小(或∠C 与∠C ′的大小)，△ABC 和△A ′B ′C ′相似吗？两个三角形相似利用刻度尺和量角器画△ABC 和△A ′B ′C ′，使∠B =∠B ′，ABA ′B′=BCB ′C′，量出∠A 与∠A ′的大小(或∠C 与∠C ′的大小)，△ABC 和△A ′B ′C ′相似吗？两个三角形相似猜想：两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似 验证猜想：如图，在△ABC 与△A ′B ′C ′中，已知∠A= ∠A ′，AB A ′B′=ACA ′C′，求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.证明：在 △A ′B ′C ′的边 A ′B ′上截取点D ， 使 A ′D = AB ．过点 D 作DE ∥B ′C ′， 交 A ′C ′于点 E. ∵ DE ∥B ′C ′，∴ △A ′DE ∽△A ′B ′C ′. ∴A ′DA ′B′=A ′EA ′C′∵ A ′D=AB ，ABA ′B′=ACA ′C′ ∴A ′DA ′B′=A ′EA ′C′=AC A ′C′ ∴ A ′E = AC . 又 ∠A ′ = ∠A. ∴ △A ′DE ≌ △ABC ， ∴ △A ′B ′C ′ ∽ △ABC. 归纳总结相似三角形的判定定理2定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 符号语言：在△ABC 与△DEF 中，∵∠A=∠D ，AB AC =DEDF ， ∴△ABC ∽△DEF.例2 如图，D ，E 分别是△ABC 的边 AC ，AB 上的点，AE =1.5，AC =2，BC =3，且ADAB =34，求 DE 的长.解：∵AE=1.5，AC=2，∴AEAC =34∵ADAB =34∴ADAB=AEAC又∵∠EAD＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC∴DEBC =ADAB=34∵BC =3，∴DE=34BC=34×3=94想一想：在三角形全等的判定中，有两个边和其中一边的对角相等的两个三角形全都吗？那么有两边成比例，其中一边的对角相等的两个三角形相似吗？△ABC与△DEF的两边成比例，其中一边的对角相等，那么，这两个三角形相似吗？下图是小明和小丽画的两个三角形，由此你能得出什么结论？和“有两条边和其中一边的对角相等的两个三角形不一定全都”一样，有两边成比例，其中一边的对角相等的两个三角形也不一定相似.1.下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是( )A.AEAD =ACABB. ∠B＝∠ADEC.AEAC =DEBCD. ∠C＝∠AED2.如图，点D是△ABC的边AC上的一点，根据下列条件，可以得到△ABC∽△BDC的是 ( ) A．AB·CD＝BD·BC B．AC·CB＝CA·CD C．BC2＝AC·DC D．BD2＝CD·DA3.如图，已知ADAE =ACAB，AD＝3 cm，AC＝6 cm，BC＝8 cm，则DE的长为________cm.4.如图所示,在△ABC中,AB=6,AC=4,P是AC的中点,过点P的直线交AB于点Q,若以A,P,Q为顶点的三角形和△ABC相似,则AQ的长为.5. 如图，∠DAB =∠CAE，且AB ·AD = AE·AC，求证△ABC ∽△AED.。
北师大版数学九年级上册4.4.2探索三角形相似的条件教学设计
在情感态度方面，九年级学生正处于青春期，个性鲜明，对新鲜事物充满好奇。教师应充分利用学生的这一特点，设计富有挑战性和趣味性的教学活动，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
北师大版数学九年级上册4.4.2探索三角形相似的条件教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解相似三角形的定义及性质，掌握三角形相似的条件。
2.能够运用三角形相似的条件判断两个三角形是否相似，并求出相似比。
3.能够运用相似三角形的性质解决实际问题，如测量不可到达物体的高度、求解比例问题等。
4.学会使用尺规作图展示相似三角形，并能够通过作图发现相似三角相等、对应边成比例等，通过几何画板展示性质的直观效果。
2.教学目标：
（1）使学生掌握相似三角形的定义和判定条件，理解相似三角形的性质。
（2）培养学生运用几何画板等工具，观察、分析几何图形的能力。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：
（1）将学生分成小组，每组分配一个探究任务，如探讨相似三角形的判定条件、性质和应用。
3.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，实施分层教学，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
（2）注重培养学生的动手操作能力，引导学生通过实践探索几何图形的性质。
（3）结合学生的认知规律，逐步引导学生从具体实例中抽象出一般性规律。
（4）加强师生互动，营造轻松、愉快的学习氛围，提高学生的学习兴趣。
4.教学评价：
（三）情感态度与价值观
相似三角形的判定口诀
相似三角形的判定口诀
两角对应相等，两个三角形相似。
两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
三边对应成比例，两个三角形相似。
三边对应平行，两个三角形相似。
斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
1.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
)
2.如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)
3.如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
)
4.两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
(简叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
)
5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
(简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
)
6.如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似(相似比为1：1)。
(简叙为：全等三角形相似)。
4.4 第2课时 利用两边及夹角判定三角形相似
且
AD = CD ，求证 ∠ACB=90°． CD BD
C
证明：∵ CD 是边 AB 上的高，
∴ ∠ADC =∠CDB =90°.
∵ AD CD， CD BD
AD
B
∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B，
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系， 三角形的高等.
证明：
∵ △ABC 与 △ADE 是等腰三角形，
A
∴ AD =AE，AB = AC，
D
∴ AD AE .
AB AC
又 ∵∠DAB = ∠CAE，
B
E C
∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，
即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE.
例2 如图，D，E分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，
随堂练习
1. 判断
(1) 两个等边三角形相似
(√)
(2) 两个直角三角形相似
(×)
(3) 两个等腰直角三角形相似
(√)
(4) 有一个角是50°的两个等腰三角形相似 (×)
2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使
△ABC ∽ △DBA的条件是
( D)
A
A. AC : BC=AD : BD
A
又∵∠B=∠ACD，
D
∴ △ABC ∽ △DCA，
∴ AC BC 4，∴ AD 25 . B
C
AD AC 5
4
6. 如图，∠DAB =∠CAE，且 AB ·AD = AE·AC， 求证△ABC ∽△AED.
4.4.2相似三角形判定定理(教案)
-难点内容：相似三角形判定定理的深入理解和应用。
-难点识别：
a.学生对于对应角相等和对应边成比例条件的理解可能不够深入，难以在复杂图形中识别和应用。
b.学生在证明过程中，可能忽略定理之间的逻辑关系，导致证明不严密。
c.学生在解决实际问题时，可能难以将问题抽象为相似三角形的模型，从而无法应用相关定理。
然而，我也意识到，在小组讨论的过程中，需要更好地平衡学生的自主性和教师的引导作用。有些小组在讨论时可能会偏离主题，或者讨论不够深入。在未来的教学中，我将更加注意观察每个小组的讨论情况，适时给予引导和帮助，确保讨论能够更加高效和深入。
最后，今天的总结回顾环节，学生们的反馈让我感到他们对相似三角形判定定理的理解已经相当扎实。但是，我也提醒自己，教学是一个不断迭代和改进的过程。我需要根据学生们的学习情况，不断调整教学方法，以确保每个学生都能够真正掌握这些重要的几何概念。
五、教学反思
在今天的相似三角形判定定理的教学中，我发现学生们对于新知识的接受程度整体上是积极的。他们对于相似三角形的概念和判定条件表现出浓厚的兴趣，尤其是当我将理论应用到具体的案例中时，我能看到他们眼中闪烁着理解的光芒。
我觉得在讲授过程中，通过引入日常生活中的实例，确实有助于学生更好地理解抽象的几何概念。例如，当我提到相似三角形在建筑设计中的应用时，学生们明显表现出了更大的兴趣。这种贴近生活的教学方式，使得学生们能够更加直观地感受到数学知识的实用性和趣味性。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的基本概念。相似三角形是指既有相同形状，又有相同比例的两个三角形。它是解决几何问题的重要工具，尤其在比例计算和图形分析中有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示相似三角形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
4.4第2课时 两边一夹角判定两个三角形相似
第2课时 两边一夹角判定两个三角形相似【学习目标】1．理解并掌握三角形相似的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”． 2．会运用三角形相似的判定方法解决简单问题． 【学习重点】掌握“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法． 【学习难点】相似三角形判定定理在实际问题中的灵活运用．情景导入 生成问题1．两角分别相等的两个三角形相似． 2．下列说法中正确的个数是( C )①所有的等腰直角三角形都相似；②有一个角是80°的两个等腰三角形相似；③有一个角是100°的两个等腰三角形相似；④有一个角相等的两个等腰三角形相似．A ．4B ．3C ．2D ．13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别在AB ，AC 上，将△ADE 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为( B )A .12B ．2C ．3D ．4 自学互研 生成能力知识模块一 探索三角形相似的判定定理2先阅读教材P 91页的内容，然后解答下列问题： 1．两角对应相等的两个三角形相似．3．如图，两个三角形中，其边长已在图上标注，那么这两个三角形是(选填“是”或“不是”)相似三角形．根据是有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．1．情境导入问题：(1)相似三角形的定义是什么？三边成比例，三角分别相等的两个三角形相似． (2)判断两个三角形相似，你有哪些方法？方法1：通过定义(不常用)；方法2：通过平行线(条件特殊，使用起来有局限性)；方法3：判定定理1，两角分别相等的两个三角形相似．2．思考探究完成教材P 91页的做一做．归纳结论：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 知识模块二 三角形相似判定定理2的应用1．自学自研教材P 91页的例2. 2．完成教材P 92页的随堂练习．典例讲解：如图，已知△ABD ∽△ACE .求证：△ABC ∽△ADE .分析：由于△ABD ∽△ACE ，则∠BAD ＝∠CAE ，因此∠BAC ＝∠DAE ，再进一步证明BA AD ＝CAAE，则问题得证．证明：∵△ABD ∽△ACE ，∴∠BAD ＝∠CAE .又∵∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ，∠DAE ＝∠DAC ＋∠CAE ，∴∠BAC ＝∠DAE .∵△ABD ∽△ACE ，∴AB AD ＝AC AE .在△ABC 和△ADE 中，∵∠BAC ＝∠DAE ，AB AD ＝ACAE，∴△ABC ∽△ADE .对应练习：1．下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是( C )A .AE AD ＝AC AB B ．∠B ＝∠ADEC .AE AC ＝DE BCD ．∠C ＝∠AED2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且满足AB 2＝DB ·CE .求证：△ADB ∽△EAC .证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠ABD ＝∠ACE .∵AB 2＝DB ·CE ，∴AB CE ＝DB AB ，即AB CE ＝DBAC，∴△ADB ∽△EAC .交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探索三角形相似的判定定理2 知识模块二 三角形相似判定定理2的应用检测反馈 达成目标1．下列条件能判断△ABC 和△A ′B ′C ′相似的是( C ) A .AB A′B′＝AC A′C′B .AB A′B′＝AC A′C′且∠A ＝∠C ′ C .AB BC ＝A′B′A′C′且∠B ＝∠A ′ D .AB A′B′＝AC A′C′且∠B ＝∠B ′2．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与右图中△ABC 相似的是( B ),A ) ,B ),C ) ,D )3．已知：如图，在△ABC 中，CE ⊥AB ，BF ⊥AC .求证：△AEF ∽△ACB .证明：∵CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，∴∠BF A ＝∠CEA ＝90°，∠A ＝∠A ，∴△AEC ∽△AFB ，∴AE AC ＝AF AB ，∴AE AF＝ACAB，又∵∠EAF ＝∠CAB ，∴△AEF ∽△ACB . 课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。
九年级数学上册第四章图形的相似4.4探索三角形相似的条件4.4.2两边成比例且夹角相等的判定方法课
2018-2019九年级数学上册第四章图形的相似4.4 探索三角形相似的条件4.4.2 两边成比例且夹角相等的判定方法同步课时练习题（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019九年级数学上册第四章图形的相似4.4 探索三角形相似的条件4.4.2 两边成比例且夹角相等的判定方法同步课时练习题（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019九年级数学上册第四章图形的相似4.4 探索三角形相似的条件4.4.2 两边成比例且夹角相等的判定方法同步课时练习题（新版）北师大版的全部内容。
4.4.2 两边成比例且夹角相等的判定方法1. 如图，已知△ABC则下列4个三角形中,与△ABC相似的是（）2．如图，在△ABC中,∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ )3. 如图，点D是△ABC的边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是( ）A．AC∶BC＝AD∶BD B．AC∶BC＝AB∶ADC．AB2＝CD·BC D．AB2＝BD·BC4。
如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，且将这个四边形分成①，②，③,④四个三角形,若OA·OC＝OB·OD,则下列结论中一定正确的是( ）A．①和②相似 B．②和③相似C．①和④相似 D．②和④相似5. 在△ABC和△A′B′C′中,若∠B＝∠B′,AB＝6，BC＝8,B′C′＝4，则当A′B′＝______时，△ABC∽△A′B′C′。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质一、学习要求1．了解相似多边形的概念，知道相似多边形的性质；2．了解两个三角形相似的概念，会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；3．会利用相似三角形的知识解决一些实际问题；认识现实生活中物体的相似；会运用相似多边形的性质解决简单的问题；利用图形的相似解决一些简单实际问题.二、知识梳理及例题分析1．相似三角形的概念：在和中，如果，，，，我们就说和相似，记作∽，就是它们的相似比(注意：要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上).思考：在中,点是边的中点,，交于点，与有什么关系？猜想：与相似. 证明：在与中，∴，.过点作，交于点在中，，，∴. 又，∴∴，∴∽(对应角相等，对应边的比相等的两三角形相似)，相似比为.改变点在上的位置，可以进一步猜想以上两个三角形依然相似.2．相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.小结：判定三角形相似的方法：(1)相似三角形的定义；(2)由平行线得相似.思考：对比三角形全等判定的简单方法()，看是否也有简便的方法？已知：在和中，.求证：∽.分析：要证明∽，可以先作一个与全等的三角形，证明它与相似，这里所作的三角形是证明的中介，它把与联系起来证明：在线段(或它的延长线)上截取，过点作，交于点，根据前面的结论可得∽. ∴又，∴∴同理：∴≌∴∽相似三角形的判定定理：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似.思考：若，，与是否相似呢？相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.进一步引申：若，，与是否相似呢？不一定问：全等中的边边角不能用，那么边边角也不能证相似，反例同全等.例1.根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：(1)，，；，，.(2)，，；，，.解：(1)，∴又∴∽问：这两个相似三角形的相似比是多少？(答：是)(2)，，∴与的三组对应边的比不等，它们不相似.问：要使两三角形相似，不改变的长，的长应当改为多少？(答：)例2.要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？注：此题没说2与哪条边是对应边，所以要进行分类讨论.可以是：，3；或，；或，.注：当两三角形相似而边不确定时，要注意分类讨论.相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等的，那么这两个三角形相似.简单说成：两角对应相等，两三角形相似.3．三角形相似的判定的应用例3.如图，弦和弦相交于内一点，求证：.分析:题目中求证的是等积式，我们可以转化为比例式，从而找到应证哪两个三角形相似.同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵活应用.证明：连接，.在∴∽∴.例4.已知：如图，在中，于点.(1)求证：∽∽；(2)求证：；；(此结论称之为射影定理)(3)若，求.(4)若，求.分析：(1)利用两角相等证相似；(2)把相似三角形的相似比的比例式改为乘积式即可；(3)利用射影定理和勾股定理直接求；(4)利用上面的定理和方程求.进一步引申：在中，于点，这个条件可以放在圆当中，是直径，是圆上任意一点，于点，则可得到双垂直图形.例.已知：∽，分别是两个三角形的角平分线.求证：.分析：先利用相似三角形的性质得到，，再利用角平分线的定义，得到，从而可证得∽，则比例式可证得得到：相似三角形对应角的平分线的比等于相似比.那么对应中线的比，对应高线的比呢？4．相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，都等于相似比.(2)相似三角形对应高的比，对应角的平分线的比，对应中线的比都等于相似比.(3)相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比.证明：如果∽，相似比为，那么.因此，，.从而，.同理可得相似多边形对应周长的比也等于相似比.如图，已知：∽，相似比为.分别作出与的高和和都是直角三角形，并且，∽相似多边形面积的比等于相似比的平方.对于两个相似多边形，可以把他们分成若干个相似三角形证明.例5.如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.解：在和中，，又∽，相似比为.的周长为，的面积是.例6.已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上.以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点.(1)如图，如果AP=2PB，PB=BO.求证：△CAO∽△B CO；(2)如果AP=m(m 是常数，且)，BP=1，OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O 上运动时，求的值(结果用含m的式子表示)；(3)在(2)的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围.分析：此题第1问：利用两边的比相等，夹角相等证相似. 即，第2问：设∵是的比例中项，∴是的比例中项即∴解得又∵第3问：∵ ，，即当时，两圆内切；当时，两圆内含；当时，两圆相交.例7.如图，已知中，，，，，点在上，(与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.(3)在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？要不存在，请说明理由；若存在，请求出的长.解：(1)，∽(2)∵的周长与四边形的周长相等∽(3)在线段上存在点，使得为等腰直角三角形.过作于，则，设交于若，则.∵∽若，同理可求. 若，∽∴ 在线段上存在点，使得为等腰直角三角形，此时，或.三、总结归纳：1、相似三角形的判定：(1)相似三角形的定义；(2)平行得相似；(3)三边的比相等；(4)两边的比相等，夹角相等；(5)两角对应相等.三角形相似判定的方法较多，要根据已知条件适当选择.3、相似三角形的常见图形及其变换：4、证明四条线段成比例的常用方法：(1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系证明题常用方法归纳：(1)通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(2)若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.(3)若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.。
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解: ∵∠AEB＝∠FEC（对顶角相等）
又∵
AE
54
FE ＝ 36 ＝1.5
BE
CE ＝
45 30
＝1.5
∴ AE ＝ BE
FE
CE
∴ △AEB∽△FEC
A
D
E
B
C
A
A 2
D
3
4
E
1
B
C
D
E
B
C
一般像上面的两个三角形结构，可以用
两边对应成比例，且夹角相等的 两个三角形
相似来证明两个三角形相似．
如图, D为⊿ ABC的边AB上一点若要使 ⊿ ACD与⊿ ABC相似,可以添加什么条 件?你有几种添加条件的不同方法?
AO BO
=
DO CO
AD BC
=
DO CO
即5
BC
=
1 2
∴BC=10cm
△ AOD ∽△ BOC
如图已知点D,E分别在AB,AC上,
AD AB
=
AE AC
求证:DE‖BC.
A
D
E
B
C
如图已知点D,E分别在AC,AB上,
AE=3,AD=2,DB=4,EC=1.你能找到两个三 角形相似吗?说出你的理由.
A D
B C
如图, D为⊿ ABC的边AB上一点若要使 ⊿ ACD与⊿ ABC相似,可以添加什么条 件?你有几种添加条件的不同方法?
A
D
A
D
CA
B
CB
C
两个三角形相似的判定方法：
1. 平行于三角形一边的直线和其他两边相 交，所构成的三角形与原三角形相似。 2.有两个角对应相等的两个三角形相似。 3.两边对应成比例，且夹角相等的两个三 角形相似。
4、定义法
4.4.两个三角形相似的判定
(二)
判定定理2
两边对应成比例,且夹角相等
的两个三角形相似。 A
∵∠A=∠A´,
ABA BFra bibliotek= CA
C A
B
∴△ ABC ∽△ A´B´C´
C A´
B´
C´
例2：如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量
得卡钳上A,D两端的距离为5cm, 求容器内径BC的长。
AO = DO = 1 BO CO 2
A 2
D
3
4
E
1
B
C
如图已知点D,E分别在AC,AB上,
AE=3,AD=2,DB=4,EC=1.你能找到两个三
角形相似吗?说出你的理由.A
2
AD
3 A
E2
6
4
D
3
4
E
1
B
CB
C
如图已知点D在AB上,AC2=AD∙AB 你能说出△ADC∽△ACB的理由吗?
A D
B
C
P136 作业题5
判断图中△AEB和△FEC是否相似？