等差数列1

唐山海港开发区学校 庞志全
课题：3.2等差数列（一）
教学目标1.能准确理解等差数列的定义；掌握等差数列的通项公式，会运用等差数列求等
差数列的公差及通项公式。

2.学会用定义判断数列是否为等差数列；会运用等差数列通项公式，由a 1,d,n,a n
中的三个量，求另外一个量。

3.培养学生应用数学的意识及函数与方程思想。

教学重点、难点：等差数列的定义的理解及等差数列的通项公式灵活运用。

教学过程： 一知识回顾：
1设f(n)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
2n ，(n ∈N ＋)，则f(n ＋1)－f(n)等于( D )
A ．12n ＋1
B ．12n ＋2
C ．12n ＋1＋12n ＋2
D ．12n ＋1－1
2n ＋2
2数列{a n }的通项公式a n ＝3n 2－28n ，则数列各项中最小项是( B )
A ．第4项
B ．第5项
C ．第6项
D ．第7项
3数列3，5，9，17，33，…的通项公式n a 等于（B
） A ．n 2
B ．12+n
C ．12-n
D ．12+n
4数列{}n a 的通项公式是1
1++
=
n n a n ，若前n 项的和为10，则项数n 为（C ） A ．11
B ．99
C ．120
D ．121
5若数列{}n a 的前n 项和为2
n S n =，则（ A
）
A ．12-=n a n
B ．12+=n a n
C ．12--=n a n
D ．12+-=n a n
6引例：观察下列数列，思考这些数列有何共同特征？
4，5，6，7，8，9，10，……； ① 3，0，3-，6-，……， ②
110
，
210
，
310
，
410
，…… ③
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于1； 对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于3-； 对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于
110
；
规律：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。

二等差数列与通项公式：
1等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥． 思考：下列说法正确吗？ ①数列21，2
121，22，2
122
，23，2
123
，24，2
124
，…因为21-2
121
＝22-2
122
＝23-2
123
＝…＝-2
1，故这个数列是等差数列。

②数列{}n a 中，每一项与前一项的差都是一个常数，则{}n a 是等差数列；
③数列1，2，3，5，7，9，11是等差数列； ④0，0，0，0，……，0，……不是等差数列。

（分析：①说法错误，这个数列是等差数列，但原因不对；②中说法也不对，没有强调等差条件是同一常数；③说法不对；④说法不对，这个数列是等差数列。

） 注意事项：①定义中公差是从第二项起，每一项与它前一项的差，②公差是同一常数。

2等差数列的通项公式的推导：
已知等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，怎样求n a ？
（法一）（归纳法） 由等差数列的定义：21a a d -=，32a a d -=，43a a d -=，……∴21a a d =+，3212a a d a d =+=+，413a a d =+，…… 所以，该等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-．
（法二）（累（叠）加法）21a a d -=①，②32a a d -=②，43a a d -=③，……d a a n n =--1（n-1），①+②+③+……+（n-1）得，d n a a n )1(1-=-，
所以1(1)n a a n d =+-。

（法三）（迭代法）a n =a n-1+d=a n-2+d+d=a n-3+d+d+d=…=a n-(n-1)+d+d+d+…+d=a 1+(n-1)d ； (法四)（累差法）a n =(a n-1-a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1=d+d +…+d+a 1=a 1+(n-1)d ； 等差数列通项公式1(1)n a a n d =+-
3等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：
（1）当d 0>时，等差数列{}n a 为递增数列，（2）当0d =等差数列{}n a 为常数列，（3）当0d <等差数列{}n a 为递减数列。

三典例分析：
例1.已知数列{}n a 中a n =3n-8,(1)这个数列是递增数列还是递减数列？前多少项和小？ 解析：因为数列{}n a 中，a n - a n-1＝3，所以这个数列是递增数列，且前2项和最小。

例2．（1）求等差数列8，5，2，……的第20项；
（2）401-是不是5-，9-，13-，……的项？如果是，是第几项？ 解析：（1）由18a =，3d =-，20n =得 208(201)(3)49a =+-⨯-=- （2）由15a =-，4d =-得这个数列的通项公式：54(1)n a n =---，
由题意知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得40154(1)n -=---成立，
解得100n =，即401-是这个数列的第100项。

点拨：无论是求数列中的某一项，或判断某一些数值是不是数列中的项，或正数项、负数项、以及项的总数，都与通项公式有关，因此求出通项公式是解决这类问题的核心。

例3．在等差数列{}n a 中，已知510a =，1231a =，求首项1a 与公差d ．
解析：由题意可知：11
410
1131a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12a =-，3d =，
即这等差数列的首项是2-，公差是3．
点拨：运用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程思想方法。

例4．梯形的最高一级宽33cm ，最低一级宽110cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。

解：用{}n a 表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列， 由已知得：133a =，12
110a
=，12n =，
由通项公式得：121(121)a a d =+-， 即1103311d =+， ∴7d =，
所以，240a =，347a =，454a =，561a =，668a =，
775a =，882a =，989a =，1096a =，11103a =．
答：梯形中间各级的宽度从上而下依次是40cm ，47cm ，
54cm ，61cm ，68cm ，75cm ，82cm ，89cm ，96cm ，103cm ．
例5．已知数列的通项公式为n a pn q =+，其中p ，q 是常数，且0p ≠，那么这个数列
是否一定是等差数列？若是，求它的首项与公差。

解析：取数列{}n a 中的任意相邻两项1n a -与n a （2n ≥）， 1()[(1)]n n a a pn q p n q --=+--+p =，
∵p 是一个与n 无关的常数，故{}n a 是等差数列，且公差是p ，
所以，这个等差数列的首项是1a p q =+，公差是p ．
例6．在1-与7中间插入三个数a ，b ，c ，使得这5个数成等差数列，求a ，b ，c ． 解：用{}n a 表示这5个数所成的等差数列， 由已知得：57a =，11a =- ， ∴71(51)d =-+-，2d =，
所以，1a =，3b =，5c =．
四小结：1．能准确叙述等差数列的定义； 2．会求等差数列的公差及通项公式； 3．能用
定义判断数列是否为等差数列。

4注意方程思想的运用
五练习与作业：118P 习题3.2 第1，2，4，5题
1在数列{}n a 中，122,211=-=+n n a a a ，则101a 的值为（D ）
A ．49
B ．50
C ．51
D ．52
2若数列{}n a 的前n 项和为2
n S n =，则（ A
） A ．12-=n a n B ．12+=n a n
C ．12--=n a n
D ．12+-=n a n
3等差数列—3，1，5，…的第15项的值是（ B ）
A ．40
B ．53
C ．63
D ．76
4已知等差数列{}n a 满足011321=+++a a a a ，则有（C ）
A ．0111>+a a
B ．0102<+a a
C ．093=+a a
D ．66=a
5在等差数列{}n a 中，已知2054321=++++a a a a a ，那么3a 等于 4 6等差数列{}n a 中，已知33,4,3
1521==+=
n a a a a ，试求n 的值（n=50）
7．已知等差数列{}n a 满足3712a a ⋅=-，464a a +=-，求数列{}n a 的通项公式； （a n =2n-12或a n = -2n+8）
8．在等差数列{}n a 中，已知470a =，21100a =-，（1）首项1a 与公差d ，并写出通项公式；（2）
{}n a 中有多少项属于区间[]18,18-？ ((1)a 1
=100 ,d=-10 , a n
=110-10n
(2)有3项；是第10，11，12项）。