中考数学复习专题三角函数与圆.docx
圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)
圆与相像三角形、解直角三角形及二次函数的综合种类一：圆与相像三角形的综合1．如图， BC 是⊙ A 的直径，△ DBE的各个极点均在⊙ A 上， BF⊥ DE于点 F.求证： BD·BE＝ BC·BF.2．如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB＝ 90°，以 AC为直径的⊙ O 与 AB 边交于点 D，过点 D 作⊙O 的切线，交 BC 于点 E.(1)求证：点 E 是边 BC的中点；求证：2＝BD·BA；(2)BC(3)当以点 O， D， E，C 为极点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解：(1) 连接 OD，∵ DE为切线，∴∠ EDC＋∠ ODC＝90° .∵∠ ACB＝90°，∴∠ ECD＋∠ OCD＝ 90° .又∵ OD＝ OC，∴∠ ODC＝∠ OCD，∴∠ EDC＝∠ ECD，∴ ED＝ EC.∵AC 为直径，∴∠ADC＝ 90°，∴∠ BDE＋∠ EDC＝ 90°，∠ B＋∠ECD＝ 90°，∴∠ B＝∠ BDE，∴ ED＝ EB，∴ EB＝EC，即点 E 为边 BC的中点(2)∵ AC为直径，∴∠ ADC＝∠ ACB＝90° .又∵∠ B＝∠ B，∴△ ABC∽△ CBD，∴ABBC＝ BCBD，∴B C2＝ BDBA(3)当四边形 ODEC为正方形时，∠ OCD＝ 45° .∵AC 为直径，∴∠ ADC＝ 90°，∴∠ CAD＝90°－∠ OCD＝ 90°－ 45°＝ 45°，∴ Rt△ ABC 为等腰直角三角形种类二：圆与解直角三角形的综合3．如图，在△ ABC中，以 AC 为直径作⊙ O 交 BC 于点 D，交 AB 于点 G，且 D 是 BC 的中点，DE⊥ AB，垂足为点 E，交 AC 的延伸线于点 F.(1)求证：直线EF是⊙ O 的切线；(2)已知 CF＝ 5， cosA＝25，求 BE 的长．解： (1)连接 OD.∵ CD＝DB，CO＝ OA，∴ OD 是△ ABC的中位线，∴OD∥ AB， AB＝2OD.∵ DE⊥ AB，∴ DE⊥OD，即 OD⊥ EF，∴直线 EF是⊙ O 的切线(2)∵ OD∥ AB，∴∠ COD＝∠ A，∴ cos∠ COD＝ cosA＝ 25.在 Rt△ DOF中，∵∠ ODF＝ 90°，∴ cos∠ FOD＝ ODOF＝ 25.设⊙ O 的半径为 r，则 rr ＋ 5＝ 25，解得 r＝ 103，∴ AB＝ 2OD＝ AC＝ 203.在 Rt△ AEF中，∵∠ AEF＝ 90°，∴ cosA＝ AEAF＝AE5＋ 203＝25，∴ AE＝ 143，∴ BE＝AB－ AE＝203－ 143＝ 24．(2015 ·资阳 )如图，在△ ABC中， BC是以 AB 为直径的⊙ O 的切线，且⊙ O 与 AC 订交于点D， E 为 BC 的中点，连接 DE.(1)求证： DE 是⊙ O 的切线；(2)连接 AE，若∠ C＝ 45°，求 sin∠ CAE的值．解： (1)连接 OD，BD，∵ OD＝ OB，∴∠ ODB＝∠ OBD.∵ AB 是直径，∴∠ ADB＝ 90°，∴∠ CDB＝ 90° .∵ E为 BC的中点，∴ DE＝BE，∴∠ EDB＝∠ EBD，∴∠ ODB＋∠ EDB＝∠ OBD＋∠ EBD，即∠ EDO＝∠ EBO.∵ BC 是以 AB 为直径的⊙ O 的切线，∴ AB⊥ BC，∴∠ EBO＝90°，∴∠ ODE＝ 90°，∴ DE 是⊙ O 的切线(2)过点 E 作 EF⊥ CD于点 F，设 EF＝ x，∵∠ C＝45°，∴△ CEF，△ABC 都是等腰直角三角形，∴CF＝ EF＝ x，∴ BE＝ CE＝ 2x，∴AB＝ BC＝ 22x.在 Rt△ ABE中， AE＝ AB2＋ BE2＝ 10x，∴ sin∠ CAE＝ EFAE＝ 10105．如图，△ ABC 内接于⊙ O，直径 BD 交 AC 于点 E，过点 O 作 FG⊥ AB，交 AC 于点 F，交 AB 于点 H，交⊙ O 于点 G.(1)求证： OF·DE＝ OE·2OH；(2)若⊙ O 的半径为12，且 OE∶OF∶ OD＝ 2∶3∶ 6，求暗影部分的面积． (结果保存根号 )解： (1)∵ BD 是直径，∴∠ DAB＝ 90° .∵ FG⊥ AB，∴ DA∥ FO，∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OFDE＝OEAD.∵O 是BD 的中点， DA∥ OH，∴ AD＝ 2OH，∴ OFDE＝ OE2OH(2)∵⊙ O 的半径为12，且 OE∶ OF∶ OD＝2∶ 3∶ 6，∴ OE＝ 4， ED＝8，OF＝ 6，∴ OH＝ 6.在 Rt△OBH 中，OB＝ 2OH，∴∠ OBH＝ 30°，∴∠ BOH＝ 60°，∴ BH＝ BOsin60°＝ 12× 32＝ 63，∴ S 暗影＝ S 扇形 GOB－S△OHB＝60×π× 122360－ 12× 6×63＝ 24π－ 183种类三：圆与二次函数的综合6．如图，在平面直角坐标系中，已知 A(－ 4，0)， B(1，0)，且以 AB 为直径的圆交 y 轴的正半轴于点 C(0，2)，过点 C作圆的切线交 x 轴于点 D.(1)求过 A，B， C 三点的抛物线的分析式；(2)求点 D 的坐标；(3)设平行于 x 轴的直线交抛物线于E，F 两点，问：能否存在以线段EF为直径的圆，恰巧与x轴相切若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明原因．解： (1)y＝－ 12x2－ 32x＋2(2)以 AB 为直径的圆的圆心坐标为O′ (－32，0)，∴O′ C＝ 52， O′ O＝ 32.∵ CD为圆 O′的切线，∴O′ C⊥ CD，∴∠ O′CO＋∠ DCO＝ 90° .又∵∠CO′ O＋∠ O′ CO＝90°，∴∠ CO′ O＝∠DCO，∴△ O′ CO∽△ CDO，∴ O′ OOC＝ OCOD，∴322＝ 2OD，∴ OD＝ 83，∴点 D 的坐标为 (83，0)(3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－ 32，设满足条件的圆的半径为|r| ，则点 E 的坐标为 (－ 32＋ r， r)或 F(－ 32－r ， r)，而点 E 在抛物线y ＝－ 12x2－ 32x＋2 上，∴ r＝－ 12(－ 32＋ |r|)2 － 32(－ 32＋ |r|) ＋ 2，∴ r1＝－ 1＋ 292， r2＝－1－ 292(舍去 )．故存在以线段EF 为直径的圆，恰巧与x 轴相切，该圆的半径为－1＋ 2927．如图，抛物线y＝ax2＋ bx－ 3 与 x 轴交于 A， B 两点，与y 轴交于点C，经过 A，B， C 三点的圆的圆心抛物线的极点为M(1 ，m)恰幸亏此抛物线的对称轴上，E.⊙ M的半径为.设⊙ M与y 轴交于点D，(1)求 m 的值及抛物线的分析式；(2)设∠ DBC＝α，∠ CBE＝β，求 sin( α－β)的值；(3)研究坐标轴上能否存在点 P，使得以 P， A， C 为极点的三角形与△ BCE相像若存在，请指出点 P 的地点，并直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明原因．解： (1)由题意，可知 C(0，－ 3)，－ b2a＝1，∴抛物线的分析式为 y＝ ax2－ 2ax－ 3(a＞ 0)．过点 M 作 MN ⊥y 轴于点 N，连接 CM，则 MN ＝ 1， CM＝ 5，∴ CN＝ 2，于是 m＝－ 1.同理，可求得 B(3，0)，∴ a× 32－ 2a× 3－ 3＝0，解得 a＝ 1. ∴抛物线的分析式为 y＝ x2－ 2x－3(2)由 (1)得， A(－1 ，0)， E(1，－ 4)， D(0， 1)，∴△ BCE为直角三角形， BC＝32， CE＝ 2，∴OBOD＝31＝ 3， BCCE＝ 322＝3，∴ OBOD＝ BCCE，即 OBBC＝ ODCE，∴ Rt△BOD∽ Rt△BCE，得∠ CBE＝∠ OBD＝β，所以 sin(α－β )＝sin(∠ DBC－∠ OBD)＝ sin∠ OBC＝ COBC＝ 22(3)明显 Rt△ COA∽ Rt△ BCE，此时点 O(0， 0)．过点 A 作 AP2⊥ AC 交 y 轴的正半轴于点 P2，由 Rt△ CAP2∽Rt△ BCE，得 P2(0，13)．过点 C 作 CP3⊥ AC交 x 轴的正半轴于点 P3，由 Rt△P3CA∽ Rt△ BCE，得 P3(9，0)．故在座标轴上存在三个点 P1(0， 0)，P2(0， 13)，P3(9， 0)，使得以 P， A， C为极点的三角形与△ BCE相像。
初三专题：圆与三角函数
BCEBD 圆与三角函数例1.如图，Rt △ABC 中, ∠ACB=90°，AC=4， BC=2,以AB 上的一点0为圆心作⊙O 分别与AC ．BC 相切于点D ，E 。
(1)求⊙O 的半径。
(2)求sin ∠BOC 的值。
例2．如图，等腰△ABC 中，AB=A C ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E 。
(1)求证：DE 为⊙O 的切线(2)若BC=45，AE=1，求cos ∠AEO●专项训练：1．如图，已知Rt△ABC 和Rt△EBC，∠B=90°．以边AC 上的点D 为圆心， OA 为半径的⊙O 与EC 相切于点D ，AD∥BC. (l)求证： ∠E=∠ACB: (2)若AD=1, tan ∠DAC=22，求BC 的长．2．如图，已知点0是Rt △ABC 的直角边AC 上一动点，以D 为圆心，OA 为半径的⊙O 交AB 于D 点， DB 的垂直平分线交BC 于F,交BD 于E 。
(l)连结DF ，请你判断直线DF 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论(2)当点D 运动到OA=2OC 时，恰好有点D 是AE 的中点，求tan ∠B 。
ADDA B3．如图，在△ABC中．AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D．过D作DF⊥BC,交AB的延长线于点E,垂足为F . (1)求证；直线DE是⊙O的切线；(2) 当∠E的值．4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，以AB上一点0为圆心，过B、D两点作⊙O，⊙O交AB于点E EF⊥AC于点F。
(1)求证：⊙O与AC相切：(2)若EF=2，BC =4，求tan∠A的值。
5．如图，△ABP中，∠ABP=90°，以AB为直径作⊙O交AP于点C，在弧AC上取一点F，使弧CF=弧CB，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交BP于D。
(1)求证：CD为⊙O的切线。
(2)连BF交AP于B若BE=6，EF=2．求tan ∠FAE。
九年级数学圆与三角函数
专题复习 圆与三角函数
一、自主探究
△ABC 中，AB=AC
（1）若sin A=
3
5
，求tanC (2)若tanC=3，求cosA
归纳：1.已知等腰三角形 的三角函数，可求 的三角函数 2.已知等腰三角形 的三角函数，可求 的三角函数 二．例题讲解
例1、如图，已知P 为⊙O 外的一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于E ，交PA 、PB 于C 、D ，若⊙O 的半径为r ，△PCD 的周长为3r ， 求:①PA 的长（用r 表示）；
②tan ∠APB 的值.
三.练习：
1.已知P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，sin ∠（1） 若AC 为直径，，求tan ∠C 的值
（2） 变式：若点C 为优弧AB 上任一点，求tan ∠C 的值
2、如图，⊙O 中， OA ⊥OE ，弦AB 交OE 的于D 点，过B 做
P
34
⊙O 的切线，交OE 的延长线于C 点，若tan ∠A=
13
(1) 求证：CB=CD (2) 求sin ∠DCB 的值
3、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 切⊙O 与点D ，CF ⊥AB 于E ，
若sin ∠C=45
（1） 求证：∠AOD=∠C （2） 求tan ∠A 的值
4.如图，在⊙O 中，弧AB=弧AC,D 为弧AB 上一点，若cos ∠BDC= ，求tan ∠ADC 的值。
F
O A
D。
2020年中考高频考点——锐角三角函数与圆专题
锐角三角函数与圆专题知识点回顾锐角三角函数知识点：1. 正弦(sinα)、余弦(cosα)、正切(tanα) 特殊角的三角函数值，如30°，45°，60°准确运用特殊三角函 数值计算：2sin 45°-21cos 60°=________．2sin 45°-3tan 60°=________． (sin 30°+tan 45°)·cos 60°=__ _． tan 45°·sin 45°-4sin 30°·cos 45°=__ _．例1.如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长都是1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tanA =（ ） A 、55 B 、510 C 、2 D 、21圆的主要知识点：1. 垂径定理：垂直于弦的直径____________,并且平分弦所对的__________.推论：平分弦（不是直径）的直径________于弦，并且_______弦所对的两条弧 圆的两条平行弦所夹的弧 。
2. 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的__________.推论：1.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角__________________. 2.半圆（或直径）所对的圆周角是_____,90°的圆周角所对的弦是______.3、圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦，所对的弧相等，弦心距4.切线的性质与判定、性质：圆的切线_________于过切点的半径或直径.推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。
判定：1.已知半径，证垂直；2.作垂直，证半径.5.点与圆的位置关系:___________________________________.直线与圆的位置关系:_________________________________.圆与圆的位置关系：__________________________________.6.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长,这点和圆心的连线两条切线的夹角。
九年级数学期末复习(二次函数、圆、三角函数)(2021年整理)
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九年级数学期末复习（二次函数、圆、三角函数)一、选择题(每小题3分,共30分）1．抛物线42-=x y 的顶点坐标是A ．（2,0）B ．（-2,0)C ．（1，-3）D ．（0，—4） 2．已知两圆的半径分别为3cm ，和5cm ， 圆心距是6cm,则两圆的位置关A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切 3．已知圆锥的底面半径为1cm,母线长为3cm ，则圆锥的侧面积是A ． 6cm 2B ． 3πcm 2C ．6πcm 2D ．23πcm 24．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，那么cosA 的值是 CA ．21B ．22C ．23D ．35．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，C 为切点,∠B =25°，则∠D 等于A ．25°B ．50°C ．30°D ．40°6．如图所示，小红同学要用纸板制作一个高4cm 、底面周长是6πcm 的圆锥形漏斗模型， 若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是A ．12πcm 2B ．15πcm 2C ．l8πcm 2D ．24πcm 27．如图,⊙O 的半径为2，直线PA 、PB 为⊙O 的切线，A 、B 为切点，若PA ⊥PB ，则OP 的长为A ．42．4 C ．22．28．两个半径不等的圆相切，圆心距为6cm ，且大圆半径是小圆半径的2倍，则小圆的半径为A ．3B ．4C ．2或4D ．2或6O BxyAC·A BCDOM9．如图，边长为1的正方形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上,将正方形OABC 绕顶点O 顺时针旋转75°，使点B 落在抛物线y ＝ax 2（a ＜0）的图像上，则该抛物线的解析式为A ．232x y - B ．232x y - C ．y －2x 2D ．221x y -10．如图,已知A 、B 两点的坐标分别为(－2，0)、（0，1),⊙C 的圆心坐标为（0，－1）， 半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E,则△ABE 面积的最大值是A ．3B ．311 C ．310 D ．4 二、填空题(每小题3分，共24分）11．两圆的半径分别为3和7，圆心距为7，则两圆的位置关系是12．已知反比例函数y ＝8x-的图象经过点P （a ＋1，4）， 则a ＝ ;抛物线y ＝7x 2＋28x ＋30的顶点坐标为13．若把函数322--=x x y 化为k m x y +-=2)(的形式，则m k += —314．如图，在直径AB ＝12的⊙O 中，弦CD ⊥AB 于M ，且M 是半径OB 的中点，则弦CD 的长是_______（结果保留根号)15．如图，直线AB 与半径为2的⊙O 相切于点C ，点D 、E 、F 是⊙O 上三个点，EF//AB ， 若EF=32，则∠EDC 的度数为__16．已知扇形的半径为3cm ，面积为3πcm 2，则扇形的圆心角是 _ °，扇形的弧长是_______cm(结果保留π）17．已知一个半圆形工件,未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50米,半圆的直径为4米，则圆心O 所经过的路线长是 米AB C ·D Eyx18．如图，已知⊙O 的半径为2,点A 的坐标为），322(-，直线AB 为⊙O 的一条切线，B 为切点，则B 点的坐标为 三、解答题（共66分） 19．（3分）计算：︒--+--60tan )4(12210x20．(5分）已知:如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，△ABC 的外角平分线BD 交⊙O 于D ，DE 与⊙O 相切,交CB 的延长线于E 。
中考数学专题复习——锐角三角函数与圆的综合
2023年中考数学专题——锐角三角函数与圆的综合一、综合题1．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点 M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM.（1）求证：AM=BM；（2）若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的长.2．如图，D、E是以AB为直径的⊙O上两点，且∠AED＝45°.（1）过点D作DC∥AB，求证：直线CD与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为12，sin∠ADE＝34，求AE的长.3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，点A为BD的中点，切线AE交CB的延长线于点E。
（1）求证：AE∥BD。
（2）若⊙O的半径为2.5，CD=4，求AE的长。
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作CE⊥AC交AD的延长线于点E，F 为CE的中点，连结DB，DF.（1）求∠CDE的度数.（2）求证：DF是⊙O的切线.（3）若tan∠ABD＝3时，求ACDE的值.5．如图，在⊙O中，C，D分别为半径OB，弦AB的中点，连接CD并延长，交过点A的切线于点E.（1）求证：AE⊥CE.（2）若AE＝2，sin∠ADE＝13，求⊙O半径的长.6．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点D，BC是⊙O的切线，E为BC的中点，连接BD、DE．（1）求DE是⊙O的切线；（2）设△CDE的面积为S1，四边形ABED的面积为S2，若S2＝5S1，求tan∠BAC的值；（3）在（2）的条件下，连接AE，若⊙O的半径为2，求AE的长．7．如图，O是ABC∆的外接圆，连接OC，过点A作AD OC交BC的延长线于点D，45ABC∠= .（1）求证：AD是O的切线；（2）若3sin5CAB∠=，O的半径为，求AB的长.8．如图，AB是⊙O的直径， BC交⊙O于点D，E是BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB =2∠EAB.（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若3cos4C=，8AC=，求BF的长.9．如图，以AB为直径的⊙O交△ABC的边AC于D、BC于E，过D作⊙O的切线交BC于F，交BA延长线于G，且DF⊥BC.（1）求证：BA＝BC；（2）若AG＝2，cosB＝35，求DE的长.10．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于E，过点A作AF⊥AC于F交⊙O于D，连接DE，BE，BD（1）求证：∠C＝∠BED；（2）若AB＝12，tan∠BED＝34，求CF的长．11．如图，AB为O的直径，BC为O的切线，AD OC‖，交O于点D，E为弧AB的中点，连接DE，交AB于点F.（1）求证：CD为O的切线；（2）求证：22AD OC OA⋅=；（3）若3cos5A=，求tan E .12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作 O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F.（1）求证：EF是 O的切线；（2）若EB=6，且sin∠CFD= 35，求 O的半径.13．如图，在Rt△ABC中，点在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD。
中考圆,二次函数,三角函数 考点复习
第一章圆圆虽然是最熟悉的几何图形之一，但它有很多新的知识点，尤其是这里重要的知识点，都与前面的知识紧密联系着，解题时必须用到直线型中的定理、法则。
因此，解题时先要由条件对图形有比较好的认识，再联想相关知识，分析隐会条件，将做题过程化解为若干小问题，逐一解决。
圆这章知识重点可以归纳为：1、对称性：a：圆的对称性，虽然其它一些图形也是有，但圆有无数条对称轴这个特性其它图形所没有的，垂径定理，切线长定理，及正n边形的计算都应用到了这个特性。
b：旋转不变性，圆心角、弧、弦、弦心距关系，遇到有关圆习题，要抓住这个特性充分利用，许多问题可以找到解题思路。
2、三个角：圆心角、圆周角，以及圆内接四边形的外角(对角)这是在有关圆的问题中，找角相等必不可少的方法。
3、三个垂直：垂径定理，直径所对的圆周角，切线的性质它可以有效的把许多问题转化到直角三角形中，使问题得以解决。
4、四大关系：点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，圆与正多边形的关系，掌握切线的判定和性质以及有关计算是重点。
5、有关计算问题：有关线段的计算，正多边形的计算，有关扇形及阴影面积的计算，以及圆柱、圆锥侧面展开图的计算。
6、圆中添辅助线一般方法：添与垂径定理相关的辅助线，添与切线有关的辅助线(创造直角的辅助线)，添与圆内接四边形相关的辅助线;两圆相交时作公共弦，两圆相切时作分切线，总之添辅助线时，要构造和完善基本图形，切忌破坏图形的完整性。
考点一、圆的相关概念1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”考点二、弦、弧等与圆有关的定义（1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。
（如途中的CD）直径等于半径的2倍。
（3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
08 专题 三角函数与圆 圆中三角函数的综合运用
专题三角函数与圆圆中三角函数的综合运用1.（2011武汉中考）如图，P A为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，与P A的延长线交于点E.(1)求证：PB为⊙O的切线；（2）若1tan2ABE∠=，求sin E的值.2.（2012武汉中考）在锐角△ABC中，5BC=，4 sin5A=.(1)如图1，求△ABC外接圆的直径；（2）如图2，点I为△ABC的内心，BA BC=，求AI的长.3.(2013武汉4月调考)在⊙O中，AB为直径，PC为弦，且P A＝PC.(1)如图1，求证：OP∥BC；（2）如图2，DE切⊙O于点C，若DE∥AB，求tan∠A的值.4.(2015乌鲁木齐)如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.(1)求证：DC＝DE；（2）若1tan2CAB∠=，3AB=，求BD的长.5.如图，PT是⊙O的切线，T为切点，P AB是经过圆心O的割线.（1）求证：∠PTA＝∠BTO；（2）若4PT=，2PA=，求sin B的值.6.如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，ACD ABC∠=∠.(1)求证：CA是⊙O的切线；（2）若点E是BC上一点，已知6BE=，2tan3ABC∠=，5tan3AEC∠=，求圆的直径.7.如图，AB为⊙O的直径，CD CB=，CE⊥AD于E，连BE.(1)求证：CE为⊙O的切线；（2）若6AE=，⊙O的半径为5，求tan BEC∠的值.。
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2011 中考数学复习专题—三角函数和圆考点 1三角形的边角关系主要考查：三种锐角三角函数的概念，特殊值计算，锐角函数之间的关系，解直角三角形及应用。
1. 如图所示， Rt △ ABC～ Rt △ DEF，则 cosE 的值等于（）A ．1B．2C．3D．3 22232. 如图，已知直角三角形ABC中，斜边 AB的长为 m，∠B=40，则直角边 BC的长是（）A．msin 40B． mcos 40C ． mtan40D．mtan 403. 王师傅在楼顶上的点 A 处测得楼前一棵树CD 的顶端 C 的俯角为 60，又知水平距离BD=10m，楼高 AB=24m，则树高 CD为（）A ． 24 10 3 m B．2410 3 m C ． 24 5 3 m D．9m34. 如图是掌上电脑设计用电来测量某古城墙高度的示意图。
点P 处放一水平的平面镜，光线从点 A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端 C 处，已知 AB⊥ BD， CD⊥BD，且测得 AB=1.2 米， BP=1.8 米， PD=12 米，那么该古城墙的高度是（）A ． 6 米B． 8 米C． 18 米D． 24 米5.如图所示，某河堤的横断面是梯形 ABCD，BC∥ AD，迎水坡 AB长 13 米，且 tan ∠ BAE=12，5 则河堤的高 BE为米。
6．如果，小明同学在东西方向的环海路 A 处，测得海中灯塔P 在北偏东 60 方向上，在A 处东 500 米的 B 处，测得海中灯塔P 在北偏东 30 方向上，则灯塔 P到环海路的距离PC=米（用根号表示）。
7．某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40 千米的 A、 B 两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在 A 地北偏东 45 、B 地北偏西 60方向上有一牧民区C。
一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案 I ：从 A 地开车沿公路到离牧民区 C 最近的 D 处，再开车穿越草地沿DC方向到牧民区 C。
方案Ⅱ：从 A 地开车穿越草沿 AC方向到牧民区 C。
已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的 3 倍。
（ 1）求牧民区到公路的最短距离CD。
（ 2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理并说明理由。
（结果精确到，参考数据： 3 取，2取）年初，我国南方部分省区发生了雪灾，造成通讯受阴。
如图，现有某处山坡上一座发射塔被冰雪从 C 处压折，塔尖恰好落在坡面上的点 B 处，在 B 处测得点C的仰角为 38 8，塔基 A 的俯角为 21 ，又测得斜坡上点 A 到点 B 的坡面距离AB 为 15 米，求折断前发射塔的高。
（精确到 0.1 米）。
9.如图，山脚下有一棵树 AB，小华从点 B 沿山坡向上走 50 米到达点 D，用高为 1.5 米的测角仪CD测得树顶的仰角为 10 ，已知山坡的坡角为 15 ，求树 AB的高。
（精确到 0.1 米）（已知 sin100.17 ， cos100.98 ， tan100.18 ， sin150.26 ， cos150.97 ，tan15 0.27 ）10.阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜。
请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案。
（ 1）所需的测量工具是：；（ 2）请在下图中画出测量示意图；（ 3）设树高AB 的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x。
11.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路 a 经过三个景点A、B、C.景区管委会又开发了风景优美的景点 D.经测量，景点 D位于景点 A 的北偏东 30°方向 8km 处，位于景点 B 的正北方向，还位于景点 C 的北偏西75°方向上 . 已知 AB=5km.（1）景区管委会准备由景点 D 向公路a修建一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到 0.1km）（2）求景点 C 与景点 D 之间的距离 . （结果精确到 1km）（参考数据： 3 1.73, 5 2.24,sin 53cos370.80,sin 37cos53 0.60tan53 1.33, tan370.75, sin38cos520.62,sin 52 cos38 0.79tan380.78, tan52 1.28,sin750.97, cos750.26,tan75 3.73）考点 2圆主要考查：圆的定义，圆的轴对称性、旋转对称性，圆周角；点和圆的位置关系，过三点的圆，直线和圆的位置关系，切线的性质和判定，切线长，三角形的内切圆，圆和圆的位置关系；弧长公式，扇形面积公式，圆柱和圆锥的侧面积和全面积，正多边形的有关计算。
与圆有关的辅助线作法：（1）有弦，可作弦心距；（2）有直径，可作直径所对的圆周角；（3）有切点，可作过切点的半径；（4）两圆相交，可作公共弦；（5）由半圆，可作整圆。
1.如图，点 A， B 是⊙ O上两点， AB=10，点 P 是⊙ O上的动点（ P 与 A，B 不重合），连接AP， PB，过点 O分别作 OE⊥AP于 E，OF⊥ PB于 F，则 EF=_________.2. 如图 , 已知 A、 B、 C是⊙ O上的点，且 AB=15cm, AC 3 3cm . ∠ BOC=60° . 若 D 是线段BC上的点，且点 D到直线 AC的距离为 2，则 BD=________cm.3.如图，⊙ O中，弦 AB、 DC的延长线相交于点 P，如果∠ AOD=120°，∠ BDC=25°，那么∠ P=_________.4.已知如图， AB为⊙ O的直径， AB=AC，BC交⊙ O于点 D， AC交⊙ O于点 E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠ EBC=°；② BD=DC；③ AE=2EC；④劣弧 AE是劣弧 DE 的 2 倍；⑤AE=BC.其中正确结论的序号是_________.5.如图，已知⊙ O是△ ABC的内切圆，且∠ ABC=50°，∠ ACB=80°，则∠ BOC=_______° .6.如图，△ ABC内接于⊙ O，∠ A 所对弧的度数为 120° . ∠ ABC、∠ ACB的角平分线分别交AC 、AB 于点 D 、E ，CE 、BD 相交于点 F. 以下四个结论： ① cos ∠ BEF=1；② BC=BD ；③EF=FD ；2④ BF=2FD.其中结论一定正确的序号是__________.7. 已知；如图，边长为 a 的正△ ABC 内有一边为 b 的内接正△ DEF ，则△ AEF 的内切圆半径为 _________.8. 如图一个用来盛爆火花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF 长为 10cm,母线 OE （ OF ）长为10cm. 在母线OF 上的点A 处有一块爆火花残渣，且FA=2cm ，一只蚂蚁从杯口的点 E处沿圆锥表面爬行到A 点，由此蚂蚁爬行的最短距离为 ________cm.9. 分别以梯形 ABCD 的上底 AD ，下底 BC 的长为直径作⊙ O 1 、⊙ O 2 ，若两圆的圆心距等 于这个梯形的中位线长，则这两个圆的位置关系是 ____ ____.10. 善于思考的小迪发现：半径为 a ，圆心在原点的圆（如图 1），如果固定直径 AB ，把圆内的所有与y 轴平行的弦都压缩到原来的b倍，就得到一种新的图形——椭圆（如图a2），她受阻祖冲之“割圆术”的启发，采用“化整为零，积零为整” “化曲为直，以直代曲”的方法 . 正确地求出了椭圆的面积，她求得的结果为 ____ ____.（ 2）小迪把图2 的椭圆绕 x 轴旋转一周得到一个 “鸡蛋型” 的椭球 . 已知半径为 a 的球的体积为42.3 a ，则此椭球的体积为11. 下列结论中，正确的是（ ）A. 圆的切线必垂直于半径B. 垂直于切线的直线必经过圆心C. 垂直于切线的直线必经过切点D. 经过圆心与切点的直线必垂直于切线12. 下列命题中，正确的是（）①顶点在圆周上的角是圆周角; ②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③ 90°的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等.A. ①②③B. ③④⑤C. ①②⑤D. ②④⑤13. 如图， AB 为⊙ O 的直径， AC 交⊙ O 于 E 点， BC 交⊙ OD 点， CD=BD ，∠ C=70°，现给出 2以下四个结论：①∠ A=45°；② AC=AB ；③ AB=BE ；④ CE ·AB=2BD. 其中正确结论的序号是（）A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④14. 如图，AB 是⊙ O 的直径， AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（）个个个个15. 如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型. 若圆的半径为 r ，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则r与R之间的关系是（）A. R 2rB. R3rC. R3rD. R 4r16.如图，点 O在Rt△ ABC的斜边 AB上，⊙ O切 AC边于点 E，切 BC边于点 D，连接 OE.如果由线段 CD、CE及劣弧 ED围成的图形（阴影部分）面积与△ AOE的面积相等 , 那么BCAC 的值约为 (取（）A.2.7 2.5挂钟的分针长10cm，经过 45分钟，它的针尖转过的弧长是（）A. 15cm B. 15 cm C.75cm D. 75 cm 2218.如图，已知 CD是△ ABC中 AB边上的高，以 CD为直径的⊙ O分别交 CA、CB于点 E、F，点 G是 AD的中点 . 求证： GE是⊙ O的切线 .19.如图，在△ ABC中，∠ BAC=90°， BM平分∠ ABC交 AC于 M.，以 A 为圆心， AM为半径作⊙ A 交 BM于 N，AN的延长线交 BC于 D，直线 AB 交⊙ A 于 P、K 两点 . ，作 MT⊥ BC于 T.（1）求证： AK=MT；（2）求证： AD⊥ BC；（3）当 AK=BD时，求证：BN AC .BP BM20.如图①，在⊙ O中， BC=BD，点 M是 CD上任意一点，弦 CD与弦 BM交于点 F，连接 MC、MD、 BD.（ 1）请你在图①中过点 B 作⊙ O的切线 AE，并证明 AE∥ CD（不写作法，作图允许使用三角板）；（2）求证： MC· MD=MF· MB；（3）如图②，若点 BC上任意一点（不与点 B、点 C 重合），弦 BM、DC的延长线交于点 F，连接 MC、 MD、BD，则结论 MC· MD=MF· MB是否仍然成立如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由 .AB 21. 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆。