《空间向量与立体几何》全章复习与巩固

《空间向量与立体几何》全章复习与巩固编稿：李霞审稿：张林娟【学习目标】1.了解空间向量的概念，空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解、线性运算、数量积及其坐标表示；2.运用向量的数量积判断向量的共线与垂直，理解直线的方向向量与平面的法向量；3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理及问题；4.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题及一些简单的距离问题.【知识网络】【要点梳理】要点一：空间向量的有关概念空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；空间向量的表示：一种是用有向线段AB 表示，A 叫作起点，B 叫作终点；一种是用小写字母a （印刷体）表示，也可以用a （而手写体）表示．向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||AB 或||a ．向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a b ,的相等向量OA 和OB ，则∠AOB 叫作向量a b ,的夹角，记作〈〉，a b ，规定0π≤〈〉≤，a b ．如图：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行． 单位向量：长度为1的空间向量，即||1a =． 相等向量：方向相同且模相等的向量． 相反向量：方向相反但模相等的向量．共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．a 平行于b 记作b a//，此时．a b 〈〉，=0或a b 〈〉，=π． 共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 要点诠释：（1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关． 只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移；（2）当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．（3）对于任意一个非零向量a，我们把a a叫作向量a 的单位向量，记作0a ．0a 与a同向．（4）当a b 〈〉，=0或π时，向量a 平行于b ，记作b a //；当 a b 〈〉，=2π时，向量a b ，垂直，记作a b ⊥． 要点二：空间向量的基本运算 空间向量的基本运算： 运算类型几何方法运算性质向 量 的 加 法1平行四边形法则：OC OA ABa b=+=+加法交换率：.a b b a +=+加法结合率： ()()a b c a b c ++=++()a b a b -=+-AB BC=AC + 0AB BA=+2三角形法则：OB OA AB a b=+=+向 量 的 减 法 三角形法则： BA OA OB a b=-=-AB OA OB =-向 量 的 乘 法 a λ是一个向量，满足：λ>0时，a λ与a 同向； λ<0时，a λ与a 异向；λ=0时， a λ=0()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+a ∥b a b λ⇔=向 量 的 数 量 积1．a b 是一个数：||||cos()a b a b a b =，；2．0a =，0b=或a b ⊥ ⇔b a •=0．a b b a =()()()a b a b a b λλλ==()a b c a c b c +=+22||a a =||||||a b a b ≤要点三：空间向量基本定理共线定理：两个空间向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在唯一的实数λ，使b aλ=．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，则向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在唯一的一对实数,x y ，使p xa yb =+．要点诠释：（1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线． （2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面． 空间向量分解定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++.要点诠释：（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；（2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是零向量0．（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． 要点四：空间向量的直角坐标运算 空间两点的距离公式若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则①222111212121(,,)(,,)(,,)AB OB OA x y z x y z x x y y z z =-=-=---； ②2||(AB AB ==；③ AB 的中点坐标为121212222x +x y +y z +z ⎛⎫⎪⎝⎭，，．空间向量运算的的坐标运算设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则 ① 121212(,,)a b x x y y z z +=+++； ② 121212(,,)a b x x y y z z -=---； ③ 111(,,)()a x y z R λλλλλ=∈； ④ 121212a b x x y y z z ⋅=++；⑤ 222111a a a x y z ==++，222222b b b x y z ==++； ⑥ ()121212222222111222cos 00x x y y z z a b a b a b a bx y zx y z++==≠≠++++，，．空间向量平行和垂直的条件若111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则①12//a b a b x x λλ⇔=⇔=，12y y λ=，12()z z R λλ=∈⇔111222x y z x y z ==222(0)x y z ≠； ②12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=． 要点诠释：（1）空间任一点P 的坐标的确定：过P 作面xOy 的垂线，垂足为'P ，在面xOy 中，过'P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A C 、，则|'|||||x P C y AP z PP ===，，＇＇．如图： （２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：a ba b |a ||b|cos a b cos a b |a ||b|⋅⋅=<⋅>⇒<⋅>=⋅，其中θ的范围是[0,]π．（３）0与任意空间向量平行或垂直． 要点五：用向量方法讨论垂直与平行图示向量证明方法线线平行 （a //b ）a //b（a b ，分别为直线a b ，的方向向量）线线垂直 （a b ⊥）⊥a b（a b ，分别为直线a b ，的方向向量）线面平行 （l //α）⊥a n ，即0=⋅a n（a 是直线l 的方向向量，n 是平面α的法向量）．线面垂直 （l α⊥）a //n（a 是直线l 的方向向量，n 是平面α的法向量） 面面平行 （α//β）//u v（u v ，分别是平面α，β的法向量）面面垂直 （αβ⊥）⊥u v ，即0=u v（u ，v 分别是平面α，β的法向量）要点诠释：（１）直线的方向向量：若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．（２）平面的法向量：已知平面α，直线l α⊥，取l 的方向向量a ，有α⊥a ，则称为a 为平面α的法向量． 一个平面的法向量不是唯一的．要点六：用向量方法求角图示向量证明方法异面直线所成的角||cos ||||AC BD AC BD θ⋅=⋅（A ，C 是直线a 上不同的两点，B ，D 是直线b 上不同的两点）直线和平面的夹角||sin |cos |||||θϕ⋅==⋅a u a u（其中直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的角为ϕ）二面角cos θ（平面α与β的法向量分别为1n 和2n ，平面α与β的夹角为θ）要点诠释：①当法向量1n 与2n 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角θ的大小等于1n ，2n 的夹角12,〈〉n n 的大小。

②当法向量1n ，2n 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角θ的大小等于1n ，2n 的夹角的补角12,π-〈〉n n 的大小。

要点七：用向量方法求距离图示向量证明方法点到平面的距离PAd=AA'=nn（n为平面π的法向量）与平面平行的直线到平面的距离PAd=AA'=nn（n是平面π的公共法向量）两平行平面间的距离PAd=AA'=nn（n是平面α，β的一个公共法向量）要点诠释：（1）在直线上选取点时，应遵循“便于计算”的原则，可视情况灵活选择．（2）空间距离不只有向量法一种方法，比如点面距还有一种重要的求法为等积转化法．（3）各种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离．而且我们在求解时往往又转化为空间向量的处理方法．要点八：立体几何中的向量方法用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”1．建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）2．通过向量运算研究点、线、面之间的位置关系及它们之间的距离和夹角等问题；（进行向量运算）3．把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．（回到图形问题）用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤1．建立适当的空间直角坐标系；2．写出相关点的坐标及向量的坐标；3．进行相关的计算；4．写出几何意义下的结论． 【典型例题】类型一：空间向量的概念及运算例1．在四面体O ABC 中，=OA a ，=OB b ，OC =c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝________(用a ，b ，c 表示)．【思路点拨】将a ，b ，c 看作已知条件，不断的应用向量加法的三角形法则和平行四边形法则、减法的三角形法则、向量的数乘法则，层层推进，最终得到OE 的向量表示． 【答案】111++244a b c【解析】【总结升华】1. 类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途． 用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化．2. 由于A B C E ，，，四点共线，故最后的结果可以用共面向量定理检查，即若OE =++x y z a b c ，则=1x y z ++. 举一反三：【变式1】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式： （1）1CB BA +； （2）112AC CB AA ++； （3）1AA AC CB --． 【答案】（1）11CB BA CA +=；（2）112AC CB AA AM ++=；（3）11AA AC CB BA --=．【变式2】如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点． 若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ． 1122a b c -++ B ．1122a b c ++ C ． 1122a b c --+ D ． 1122a b c -+ 【答案】A 【解析】法一：1111()2BM BB B M AD AB AA =+=-+=1122a b c -++．法二：()11111111111=++=++=D+=+=222222a b c AB AD AA BA AD AA B AA B M BB BM -++-； ()11111111111=++=++=+=+=222222a b c AB AD AA AB AD AA AC AA A M AA AM ++； ()11111111=++=+==2222a b c AB AD AA AC AA C M CC CM ++ ； ()11111111=+==+2222a b c AB AD AA DB AA D M DD DM -+-=+=． 故选A ．类型二：空间向量的直角坐标运算例2. 设a ＝(1，5，-1)，b ＝(-2，3，5)． (1)当(λ+a b )∥(3-a b )时，求λ的值；(2)当(a -3b )⊥(λa +b )时，求λ的值．【思路点拨】根据空间向量平行与垂直条件及直角坐标的相关公式进行运算． 【解析】(1)∵ =a (1，5，-1)，=b (-2，3，5)，∴ 3-=a b (1，5，-1)-3(-2，3，5)＝(1，5，-1)-(-6，9，15)＝(7，-4，-16)．λ+=a b (1，5，-1)+(-2，3，5)＝(λ，5λ，λ-)+(-2，3，5)＝(2λ-，53λ+，5λ-+)．∵ ()λ+a b ∥(3-a b )， ∴25357416λλλ-+-+==--，解得13λ=-． (2)由(3-a b )⊥(λ+a b )⇔(7，-4，-16)·(2λ-，53λ+，5λ-+)＝07(2)4(53)16(5)0λλλ⇔--+--+=，解得1063λ=． 举一反三：【变式1】已知12(253)(325)M M ，，－，，－，－，设在线段12M M 上的一点M 满足122=4M M MM ，则向量OM 的坐标为________． 【答案】1119442⎛⎫ ⎪⎝⎭，，【变式2】（2015秋 齐齐哈尔校级期中）已知(221)(101)(314)A B C ，－，，，，，，－，，则向量AB 与AC 夹角的余弦值为________.【变式3】空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝60°，则cos OABC 〈〉，等于( )A ．12 B C ．12- D ．0【答案】D设OA =a ，OB =b ，OC =c ，则||||=b c ， 所以()OABC =-a c b 11||||||||022=-=a c a b ． 所以OA ⊥BC ．所以cos 0OABC 〈〉=，． 类型三：共线和共面向量定理的应用例3．已知平行四边形ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量OE kOA =，OF kOB =，OG kOC =，OH kOD =． 求证：（1）四点E F G H 、、、共面； （2）平面AC //平面EG ．【思路点拨】（1）利用共面向量定理证明四点E F G H 、、、共面； （2）由向量共线得到线线平行，利用平面平行的判定定理证明． 【解析】（1）()()()===OE kOA k OB BA k OB CD k OB OD OC kOB kOD kOC OF OH OG =+=+=+++ ，∵1111+-=，由共线向量定理可知，点E F G H 、、、共面． （2）()EF OF OE kOB kOA k OB OA k AB ==== ，∴EF //AB又∵EF ⊄平面AC ，AB ⊂平面AC ， ∴EF ∥平面AC ． 同理FG ∥平面AC ， ∵=EFFG F ，∴平面AC //平面EG ．【总结升华】在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解． 若要证明两直线平行，只需判断两直线所在的向量是否满足线性关系a b λ=即可．在本题第（1）题的解析中运用了共面向量定理的推论，其实利用共面向量定理也可以给予证明，同学们试一试． 举一反三：【变式1】与向量()=1,1,0a 平行的单位向量的坐标为（ ）A. (1,1,0)B. (0,1,0)C. (1,1,1)D. 22(,,0)22或22(,,0)22--． 【答案】D【变式2】已知A B C ，，三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量1253OP OA OB OC λ=++确定的点P 与A B C ，，共面，那么λ=【答案】215类型四：空间向量在立体几何中的应用例4．如图所示，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AD ＝PD ，E ，F 分别为CD 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥平面PAB ；(2)设AB＝2BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值．【思路点拨】证明线面垂直，求线面所成角的问题，题设中的垂直关系易考虑建立空间直角坐标系，（1）转化为求0,0EF AB EF PB==；（2）先求平面AEF的法向量，再利用公式求解.【解析】(1)建立空间直角坐标系(如图)．设AD＝PD＝1，AB＝2a(a＞0)，则E(a，0，0)，C(2a，0，0)，A(0，1，0)，B (2a，1，0)，P(0，0，1)，1122F a⎛⎫⎪⎝⎭，，．∴1122EF⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，(211)PB a=-，，，(200)AB a=，，．∵110(200)022EF AB a⎛⎫==⎪⎝⎭，，，，，∴EF AB⊥，即EF⊥AB．同理EF⊥PB，又AB∩PB＝B，∴EF⊥平面PAB．(2)由AB2，得22a=22a=，得2002E⎛⎫⎪⎪⎝⎭，211222F⎛⎫⎪⎪⎝⎭，，，200)C，，，有(210)AC=-，，，210AE⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，，1122EF⎛⎫= ⎪⎝⎭，，．设平面AEF的法向量为n＝(x，y，1)，由EFAE⎧=⎪⎨=⎪⎩，，nn得11(1)00222(1)1002x yx y⎧⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪-=⎪⎪⎪⎝⎭⎩，，，，，，，，，11222yx y⎧+=⎪⎪⇒-=，，解得12yx=-⎧⎪⎨=⎪⎩，，于是(211)=--，，n ． 设AC 与平面AEF 所成的角为θ，AC 与n 的夹角为AC 〈〉，n ， 则||sin |cos |||||AC AC AC θ=〈〉=，，n nn |(210)(211)|321021---==++++，，，，． 【总结升华】在空间图形中，如果线段较多，关系较为复杂（如平行、垂直、角和距离等均有涉及），常常需要多种方法灵活使用，合理结合，才能达到较为理想的效果，在建立坐标后，应根据条件确定相应点的坐标，然后通过向量的坐标计算解决相应问题． 举一反三：【变式1】(2015 上海)如图，在长方体中1111ABCD A B C D -，11AA =，2AB AD ==，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，并求直线1CD 与平面11A C FE 所成的角的大小.【答案】如图，以为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为 ，，，，，．因为 ，， 所以 ，因此直线 与直线共面，即，，， 四点共面．设平面 的法向量为 ，则 ，，又，，故ABCDF1A 1B 1C 1D解得取 ，得平面的一个法向量．又，故因此直线与平面所成角的正弦值为．【变式2】如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝AB ＝2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点．(1)求证：PB ⊥DM ；(2)求CD 与平面ADMN 所成的角的正弦值．【答案】如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A -xyz ，设BC ＝1，则A (0，0，0)，P (0，0，2)，B (2，0，0)，C (2，1，0)，M 1112⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，D (0，2，0)．(1)因为3(202)1102PBDM ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，，，，，所以PB ⊥DM ．(2)因为(202)(020)0PBAD =-=，，，，，所以PB ⊥AD ．又因为PB ⊥DM ，所以PB ⊥平面ADMN ．因此PB DC 〈〉，的余角即是CD 与平面ADMN 所成的角．因为10cos5||||PB DCPB DCPB DC〈〉==，，所以CD与平面ADMN所成的角的正弦值为105．例5．如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA＝DA＝AB＝2CB，EA ⊥AB，M是EC的中点．(1)求证：DM⊥EB；(2)求二面角M-BD-A 的余弦值．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，并设EA＝DA＝AB＝2CB＝2，则(1)3112DM⎛⎫=-⎪⎝⎭，，，(220)EB=-，，，所以0DM EB=，从而得DM⊥EB ．(2)设1()x y z=，，n是平面BDM的法向量，则由1DM⊥n，1DB⊥n及3112DM⎛⎫=-⎪⎝⎭，，，(022)DB=-，，，得1132220DM x y zDB y x⎧=+-=⎪⎨⎪=-=⎩，，nn可以取1(122)=，，n．显然，2=n(1，0，0)为平面ABD的一个法向量．设二面角M-BD-A的平面角为θ，则此二面角的余弦值121212||1cos|cos|||||3θ=〈〉==，n nn nn n．【总结升华】本题主要考查空间想象能力及坐标运算能力，若用立体几何逻辑推理的方法也可以证明计算，但适当建系后解题较直观.举一反三：【变式1】过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，如果PA＝AB，那么平面ABP与平面CDP所成的二面角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】B设PA＝AB＝a，则PD＝2a，设二面角为θ，则2cos2ABPCDPSθ==△△S．故选B．【变式2】如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且PD＝a，PA＝PC＝2a，求平面APB与平面PBD夹角的大小．【答案】在△PAD中，PD＝AD＝a，PA＝2a，∴PD⊥AD，同理在△PCD中PD⊥CD．如图分别以DA、DC、DP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系．则A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，P (0，0，a )．∴ AP = (-a ，0，a )，AB =(0，a ，0)，DB =(a ，a ，0)，DP =(0，0，a )． 设平面PAB 的法向量为m =(x ，y ，z )．由00AB AP ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，m m 得00ay ax az =⎧⎨-+=⎩，.令z ＝1，得=m (1，0，1)．同理设平面PDB 的法向量为()x y z '''=，，n ．由00DB DP ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得n =(-1，1，0)， ∴ ||1|cos |||||222〈〉===，m n m n m n ．∴ 平面PAB 与平面PDB 的夹角为60°．【变式3】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =，1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面11A B C ，求线段BM 的长．10 【解析】以B 为原点，1BA BB 、分别为x 轴、y 轴建立空间直角坐标系，由MN ⊥平面111A B C ,得111100MN AC MN A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2325()(2)()(2)50232()(22)0a b a ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩解得24a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故M ，所以线段BM 的长为10||BM =。