2020年吉林市高三数学上期末一模试题及答案
2024届吉林省吉林市第一中学高三一模数学试题
2024届吉林省吉林市第一中学高三一模数学试题一、单选题1．已知集合{}Z 10A x x =∈+>，{}B x x a =≤，若A B ⋂中有2个元素，则a 的取值范围是（ ） A ．[)2,4B ．[)1,2C ．[]2,4D ．[]1,22．已知向量(3,),(2,6)a x b x ==r r ，则“ 3x =”是 “//a b r r”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．统计学中通常认为服从于正态分布()2,N μσ的随机变量X 只取[]3,3μσμσ-+中的值，简称为3σ原则.假设某厂有一条包装食盐的生产线，正常情况下食盐质量服从正态分布()2500,N σ（单位：g ），某天生产线上的质检员随机抽取了一包食盐，称得其质量小于488g ，他立即判断生产线出现了异常，要求停产检修.由此可以得到σ的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．84．投掷6次骰子得到的点数分别为1，2，3，5，6，x ，则这6个点数的中位数为4的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．235．甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（ ）种不同的情况. A ．18B ．24C ．36D ．486．已知圆22:1O x y +=，过点()2,0A 的直线l 与圆O 交于B ，C 两点，且AB BC =uu u r uu u r，则BC =（ ）A ．2B ．32C D 7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，过坐标原点O 的直线与双曲线C 交于,M N 两点，且点M 在第一象限，满足OM OF =.若点P 在双曲线C 上，且4NP NF =u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．D 8．设函数()π=e cos 2⎛⎫- ⎪⎝⎭x f x x ，则()()()2e1,e ,2f f f 的大小关系是（ ）A ．()()()2e1e 2<<f f f B ．()()()e 212e <<f f f C ．()()()2ee 12<<f f fD ．()()()e 221e <<f f f二、多选题9．已知方程2230z z ++=的两个复数根分别为12,z z ，则（ ） A ．12z z = B ．122z z +=C ．2121z z z =D ．12z z -=10．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若m α⊥，//n α，则m 与n 相交或异面B ．若m α⊥，n β⊥，//m n ，则//αβC ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，//αβ，//n β，则m 与n 平行或相交或异面 11．若x ，0y >．且21x y +=，则（ ）A ．18xy ≤B C ．1210x y+≥D ．22142x y +≥三、填空题12．若231021001210(1)(1)(1)x x x a a x a x a x ++++++=++++L L ，则2a =．13．已知函数()()sin 2(0)f x x ϕϕ=+>图象的一个对称中心为π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭，且()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ϕ的最小值为.14．已知抛物线E ：24y x =的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为C ，过点C 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点（A 点位于B 点右方）.若BF 为AFC ∠的角平分线，则||AF =；直线l 的斜率为.四、解答题15．如图，圆柱1OO 内有一个直三棱柱111ABC A B C -，三棱柱的底面三角形内接于圆柱底面，已知圆柱1OO 的轴截面是边长为6的正方形，AB AC =P 在线段1OO 上运动．(1)证明：1BC PA ⊥；(2)当1PA PB =时，求BC 与平面1A PB 所成角的正弦值．16．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c sin tan cos B A B =⋅. (1)求角A 的大小；(2)若ABC V 为锐角三角形且a =ABC V 面积的取值范围.17．某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关.若从该班级中随机抽取1名学生，设A =“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，B =“抽取的学生建立了个性化错题本”，且2(|)3P A B =，5(|)6P B A =，()23P B =.(1)求()P A 和()P A B .(2)若该班级共有36名学生，请完成列联表，并依据小概率值0.005α=的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关，(3)为进一步验证（2）中的判断，该兴趣小组准备在其他班级中抽取一个容量为36k 的样本（假设根据新样本数据建立的列联表中，所有的数据都扩大为（2）中列联表中数据的k 倍，且新列联表中的数据都为整数）.若要使得依据0.001α=的独立性检验可以肯定（2）中的判断，试确定k 的最小值 参考公式及数据：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++.18．已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点12,F F 在y 轴上，点3,12P ⎛⎫- ⎪⎝⎭在E 上，长轴长与短轴长之比为2 (1)求椭圆E 的方程．(2)设A 为E 的下顶点，过点(0,4)B 且斜率为k 的直线与E 相交于,C D 两点，且点C 在线段BD 上．若点M 在线段CD 上，2AMD BAM ∠=∠，证明：||||||||BC MD BD CM ⋅=⋅．19．点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线C ：3y x =上的点111(,)P x y 作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于222(,)P x y ，过点2P 作曲线C 的切线2l 与曲线C 交于点333(,)P x y ，依此类推，可得到点列：111(,)P x y ，222(,)P x y ，333(,)P x y ，…，(,)n n n P x y ，…，已知11x =． (1)求数列{}n x 、{}n y 的通项公式；(2)记点n P 到直线1n l +（即直线12n n P P ++）的距离为n d ，求证：1211149n d d d +++>L ；。
吉林省长春市2020届高三数学一模考试试题文(含解析)
【分析】
分析每个数的正负以及与中间值1的大小关系.
【详解】因为 a
(1)3 3
(1)0 3
1
，
1
33
30
1
，
log
1 3
3
log1 1
3
0
，
所以 0 a 1,b 1, c 0 ，∴ c a b ，
故选：C. 【点睛】指数、对数、幂的式子的大小比较，首先确定数的正负，其次确定数的大小（很多
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
利用集合间的关系推出 p、q 之间的关系.
【详解】{x | x 1} Ý {x | x 2} ，则 p 是 q的必要不充分条件,
故选：B.
【点睛】 p 成立的对象构成的集合为 A ， q成立的对象构成的集合为 B ： p 是 q的充分不必要条件则有： A Ü B ；
故选：D. 【点睛】对于用符号语言描述的问题，最好能通过一个具体模型或者是能够画出相应的示意 图，这样在判断的时候能更加直观.
9.函数 y 2 sin( x ) ( 0,| | ) 的图象（部分图象如图所示） ，则其解析式为( ) 2
A.
f
(x)
2
sin(2x
)
6
C. f (x) 2sin(4x ) 6
∴ A B {x | x 3, 或 x ≤ -2}
故选：B. 【点睛】本题考查集合间的基本运算，难度容易，求解的时候注意等号是否能取到的问题.
3.已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ， S5 15 ， a4 5 ，则 S9 ( )
A. 45
B. 63
C. 54
吉林省2020届高三数学质量监测试题理(含解析)
高三数学质量监测试题理（含解析）本试卷共4页，考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2. 选择题必须使用2B铅笔填除；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】直接利用充要条件的判定判断方法判断即可．【详解】因为“”，则“”；但是“”不一定有“”.所以“”，是“”成立的充分不必要条件．故选A.【点睛】充分条件、必要条件的判定主要有以下几种方法：①定义法：若，则是的充分条件，是的必要条件；②构造命题法：“若，则”为真命题，则是的充分条件，是的必要条件；③数集转化法：：，：，若，则是的充分条件，是的必要条件.2.学校先举办了一次田径运动会，某班共有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班总共的参赛人数为（）A. 20B. 17C. 14D. 23【答案】B【解析】【分析】两次运动会总人数减去两次运动会都参加的人数，即为所求结果.【详解】因为参加田径运动会的有8名同学，参加球类运动会的有12名同学，两次运动会都参加的有3人，所以两次运动会中，这个班总共的参赛人数为.故选B【点睛】本题主要考查集合中元素个数的问题，熟记集合之间的关系即可，属于基础题型.3.圆：被直线截得的线段长为（）A. 2B.C. 1D.【答案】C【解析】【分析】先求出圆心到直线的距离，由勾股定理求出弦长。
吉林省吉林市普通中学2024-2025学年高三上学期第一次模拟测试数学试题
吉林省吉林市普通中学2024-2025学年高三上学期第一次模拟测试数学试题一、单选题1．已知复数i 1z =+，则z =（ ） A ．0B ．1CD ．22．“cos 0α<”是“角α为第二象限角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知{}2,1,0,1,2A =--，{}2N B x x A =∈∈，则A B =I （ ）A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}1,0,1-4．已知向量()1,1a t =+-r ，()2,1b =r，则（ ） A ．若//a b r r ，则12t =-B ．若//a b r r，则1t =C ．若a b ⊥r r ，则32t =-D ．若a b ⊥r r ，则12t =-5．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A B =，23a b =，则cos B =（ ）A ．34BC ．23D6．已知等差数列{}3log n a 的公差为1，则8552a a a a -=-（ ） A ．1 B ．3 C ．9 D ．277．设样本数据1x ，2x ，…，2024x 的平均数为x ，标准差为s ，若样本数据141x +，241x +，…，202441x +的平均数比标准差少3，则214s x+⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值为（ ）A ．1BC ．4 D．8．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，π02ϕ<<）的部分图象如图所示，若函数()f x θ+的图象关于y 轴对称，则θ的最小值为（ ）A ．215B ．415 C ．25D ．815二、多选题9．下列不等式成立的是（ ） A ．若22ac bc >，则a b > B ．若a b >，则22ac bc > C ．若22ac bc ≥，则a b ≥D ．若a b ≥，则22ac bc ≥10．如图，在ABC V 中，点D 为BC 的中点，点E 为AC 上靠近点A 的三等分点，2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，点G 为AD 与BE 的交点，则（ ）A ．7BC =u u u r B ．AE u u u r 是AB u u u r在AC u u u r 上的投影向量C ．2136DE BA BC =-u u u r u u u r u u u rD ．35BG BE =u u u r u u u r11．已知函数()sin e x xf x x=-，则（ ） A ．()f x 是周期函数 B ．()11f x -<<C ．()f x 在()0,π上恰有1个极值点D ．关于x 的方程()13f x =有两个实数解三、填空题12．中国成功搭建了国际首个通信与智能融合的6G 外场试验网，并形成贯通理论、技术、标准和应用的全产业链创新环境.某科研院在研发6G 项目时遇到了一项技术难题，由甲、乙两个团队分别独立攻关.已知甲、乙团队攻克该项技术难题的概率分别为0.8和0.7，则该科研院攻克这项技术难题的概率为．13．已知集合{}*2,N A x x n n ==∈，{}*3,N n B x x n ==∈，将A B U 中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{}n a ，则数列{}n a 的前20项和为． 14．已知函数()23e 2x x f x x -=--，()23ln 2x g x x x -=--的零点分别为1x ，2x ，且12x >，22x >，则1212x x -=-；若21a x x <-恒成立，则整数a 的最大值为． （参考数据：ln 20.7≈，ln3 1.1≈，ln 7 1.95≈，ln17 2.8≈．）四、解答题15．在新时代改革开放的浪潮中，吉林省践行习近平总书记“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”的发展理念，绘就了“一山一水一通道”的四季旅游璀璨画卷，形成了“一山两湖三江四季”的旅游IP 矩阵．吉林某校为促进学生对家乡山水人文的了解，组织学生参加知识竞赛，比赛分为初赛和决赛，根据初赛成绩，仅有30%的学生能进入决赛．现从参加初赛的学生中随机抽取100名，记录并将成绩分成以下6组： 40,50 ， 50,60 ， 60,70 ，[)70,80， 80,90 ， 90,100 ，得到如下图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中a 的值，并由此估计进入决赛学生的初赛成绩最低分；(2)从样本成绩在[)60,90内的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中任意抽取2人访谈，求至多有一人成绩在 60,70 内的概率．16．已知幂函数()f x x α=（R α∈）的图象过点()9,3．(1)求关于x 的不等式()()21f x f x -<的解集；(2)若存在x 使得()f x，)f，()ln f x 成等比数列，求正实数t 的取值范围．17．已知等差数列 a n 的前n 项和为n S ，满足2410a a +=，636S =. (1)求数列 a n 的通项公式； (2)求数列(){}11n n S +-的前2n 项和2n H ；(3)求数列12n n n a S S +⎧⎫+⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T .18．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan 3tan A C =． (1)若π4C =，tan b B =，求ABC V 的面积S ； (2)求证：22222a c b -=； (3)当1tan tan A B-取最小值时，求tan C ． 19．已知函数()()32111exf x ax b x =+++-+，a ，b ∈R ． (1)当0a =时，若()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为32y x m =+，求实数m 的值； (2)（ⅰ）证明：曲线y =f x 是中心对称图形； （ⅱ）若()1f x >当且仅当0x >，求a 的取值范围．。
2020-2021长春市高三数学上期末一模试卷(附答案)
2020-2021长春市高三数学上期末一模试卷(附答案)一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意*N n ∈，都有()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（ ）A ．()2,3B ．[]2,3C ．92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x＋1；④y ＝sin44x ππ+（）A ．1B ．2C ．3D ．43．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198B ．199C ．200D ．2014．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积为（ ） AB ．3CD5．数列{}{},n n a b 为等差数列，前n 项和分别为,n n S T ，若3n 22n n S T n +=，则77a b =（ ） A ．4126B ．2314C ．117 D ．1166．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S，且2S =，则A 等于（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 7．数列{}n a 中，对于任意,m n N *∈，恒有m n m n a a a +=+，若118a =，则7a 等于( ) A ．712B ．714C ．74D ．788．设,x y 满足约束条件0,20,240,x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．12D ．139．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（ ） A ．32B ．5C ．5D ．9210．在中，，，，则A ．B ．C ．D ．11．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20B ．24C ．28D ．3212．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=o ，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（ ）A 25B 5C 310D 10二、填空题13．已知变数,x y 满足约束条件340{210,380x y x y x y -+≥+-≥+-≤目标函数(0)z x ay a =+≥仅在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为_____________．14．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若23sin c ab C =，则当b aa b+取最大值时，cos C =__________；15．设{}n a 是公比为q 的等比数列，1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=L ，若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = .16．已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，45234a a a a +=+，则144S S a +=______． 17．设,x y 满足约束条件0{2321x y x y x y -≥+≤-≤，则4z x y =+的最大值为 .18．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞+++=L ________________.19．若ABC ∆的三个内角45A =︒，75B =︒，60C =︒，且面积623S =+，则该三角形的外接圆半径是______ 20．设()32()lg 1f x x x x =+++，则对任意实数,a b ，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的_________条件．（填“充分不必要”.“必要不充分”.“充要”.“既不充分又不必要”之一）三、解答题21．设数列{}n a 满足()*164n n n a a n a +-=∈-N ，其中11a =. （Ⅰ）证明：32n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列；（Ⅱ）令112n n b a =--，设数列{}(21)n n b -⋅的前n 项和为n S ，求使2019n S <成立的最大自然数n 的值.22．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a 的正三角形ABC 绕其中心O 逆时针旋转θ到三角形A 1B 1C 1，且20,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.顺次连结A ，A 1，B ，B 1，C ，C 1，A ，得到六边形徽标AA 1BB 1CC 1 .(1)当θ＝6π时，求六边形徽标的面积； (2)求六边形徽标的周长的最大值.23．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 114=，公比q >0，S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列.（1）求{a n }；（2）设b n ()()22212n n n n c n b b log a +==+，，求数列{c n }的前n 项和T n .24．如图，在ABC ∆中，45B ︒∠=，10AC =,25cos 5C ∠=点D 是AB 的中点, 求（1）边AB 的长；（2）cos A 的值和中线CD 的长 25．已知0a >，0b >，且1a b +=. （1）若ab m ≤恒成立，求m 的取值范围； （2）)若41212x x a b+≥--+恒成立，求x 的取值范围. 26．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差d ∈N ，25a =，且53545S <<. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}237n S n -的前n 项和为n T ，若m n T T ≤，对n *∈N 恒成立，求m .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】11111444222n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11221244133212nnn n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭()143n p S n ≤-≤Q即22113332n p ⎛⎫⎛⎫≤-⋅-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意*n N ∈都成立，当1n =时，13p ≤≤ 当2n =时，26p ≤≤当3n =时，443p ≤≤ 归纳得：23p ≤≤故选B点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列{}n a 的前n 项和为n S ，为求p 的取值范围则根据n 为奇数和n 为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果2．C解析：C 【解析】①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数； ④y ＝sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数.答案：C.3．A解析：A 【解析】 【分析】先根据10a >，991000a a +>，991000a a ⋅<判断出991000,0a a ><；然后再根据等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，即可求出结果． 【详解】∵991000a a ⋅<， ∴99a 和100a 异号； ∵1991000,0a a a >+>，991000,0a a ∴><， 有等差数列的性质可知，等差数列{}n a 的公差0d <， 当99,*n n N ≤∈时，0n a >；当100,*n n N ≥∈时，0n a <； 又()()119899100198198198022a a a a S +⨯+⨯==> ，()119919910019919902a a S a+⨯==<，由等差数列的前n 项和的性质可知，使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是198. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力．4．D解析：D 【解析】 【分析】三角形的面积公式为1sin 2ABC S bc A ∆=，故需要求出边b 与c ，由余弦定理可以解得b 与c . 【详解】解：在ABC ∆中，2227cos 28b c a A bc +-==将2b c =，a =22246748c c c +-=， 解得：2c =由7cos 8A =得sin A ==所以，11sin 242282ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=故选D. 【点睛】三角形的面积公式常见形式有两种：一是12（底⨯高），二是1sin 2bc A .借助12（底⨯高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1sin 2bc A 时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.5．A解析：A 【解析】依题意，113713113713132412226132a a a S b b b T +⋅===+⋅. 6．C解析：C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式可得2tan 1acsinB 2bc c B +=，结合正弦定理及三角恒等变换知识cosA 1-=，从而得到角A.【详解】∵2tan bc c B S +=∴2tan 1acsinB 2bc c B +=即c tan asinB a b B +==()B sinAcosB sinB sinC sinB sin A B +=+=++ cosA 1-=∴1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴5666A 或πππ-=（舍） ∴3A π=故选C 【点睛】此题考查了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，熟练掌握边角的转化是解本题的关键．7．D解析：D 【解析】因为11,8m n m n a a a a +=+=,所以2112,4a a == 42122a a ==,3123,8a a a =+= 73478a a a =+=.选D.8．C解析：C 【解析】 【分析】由约束条件可得可行域，将问题变成1122y x z =-+在y 轴截距最大问题的求解；通过平移直线可确定最大值取得的点，代入可得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图所示：当2z x y =+取最大值时，1122y x z =-+在y 轴截距最大 平移直线12y x =-，可知当直线1122y x z =-+过图中A 点时，在y 轴截距最大由240y xx y =⎧⎨--=⎩得：()4,4A max 42412z ∴=+⨯=故选：C 【点睛】本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距最值问题的求解，属于常考题型.9．C解析：C 【解析】由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，选C.10．D解析：D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可知，再由正弦定理即可求出AB .【详解】 由内角和定理知，所以，即，故选D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，属于中档题.11．A解析：A 【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出. 详解：,x y Q 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4x y x y ∴+=+++-116()[(2)(2)]422x y x y =++++-++ 22226(2)46(22)4202222y x y x x y x y ++++=++-≥+⋅-=++++ 当且仅当10x y ==时取等号.x y ∴+的最小值为20. 故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.12．C解析：C 【解析】 【分析】设1BC CD ==，计算出ACD ∆的三条边长，然后利用余弦定理计算出cos DAC ∠． 【详解】如下图所示，不妨设1BC CD ==，则2AB =，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点D ， 易知四边形BCDE 是正方形，则1BE CD ==，1AE AB BE ∴=-=， 在Rt ADE ∆中，222AD AE DE =+=225AC AB BC +在ACD ∆中，由余弦定理得2222521310cos 210252AC AD CD DAC AC AD +-+-∠===⋅⨯⨯， 故选C ．【点睛】本题考查余弦定理求角，在利用余弦定理求角时，首先应将三角形的边长求出来，结合余弦定理来求角，考查计算能力，属于中等题．二、填空题13．【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意知满足条件的线性区域如图所示：点而目标函数仅在点处取得最大值所以考点：线性规划最值问题解析：1(,)3+∞【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意知满足条件的线性区域如图所示：，点(22)A ，，而目标函数(0)z x ay a =+≥仅在点(2,2)处取得最大值，所以1133AB k a a ->=-∴> 考点：线性规划、最值问题.14．【解析】【分析】由余弦定理得结合条件将式子通分化简得再由辅助角公式得出当时取得最大值从而求出结果【详解】在中由余弦定理可得所以其中当取得最大值时∴故答案为：【点睛】本题考查解三角形及三角函数辅助角公 解析：1313【解析】由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，结合条件23sin c ab C =，将式子b aa b+通分化简得3sin 2cos C C +，再由辅助角公式得出b aa b +()13sin C ϕ=+，当2C πϕ+=时，b aa b +取得最大值，从而求出结果. 【详解】在ABC ∆中由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，所以2222cos 3sin 2cos 3sin 2cos b a a b c ab C ab C ab C C C a b ab ab ab++++====+()13sin C ϕ=+，其中213sin ϕ=，313cos ϕ=， 当b a a b +132C πϕ+=，∴213cos cos sin 2C πϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．故答案为：21313. 【点睛】本题考查解三角形及三角函数辅助角公式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.15．【解析】【分析】【详解】考查等价转化能力和分析问题的能力等比数列的通项有连续四项在集合四项成等比数列公比为=-9 解析：9-【解析】 【分析】 【详解】考查等价转化能力和分析问题的能力,等比数列的通项,{}n a 有连续四项在集合{}54,24,18,36,81--，四项24,36,54,81--成等比数列，公比为32q =-，6q = -9. 16．2【解析】【分析】利用已知条件求出公比再求出后可得结论【详解】设等比数列公比为则又数列是递增的∴∴故答案为：2【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式属于基础题【解析】 【分析】利用已知条件求出公比q ，再求出144,,S S a 后可得结论． 【详解】设等比数列{}n a 公比为q ，则2454232(1)4(1)a a a q q a a a q ++===++，又数列{}n a 是递增的，∴2q =，∴44121512S -==-，111S a ==，3428a ==，14411528S S a ++==． 故答案为：2． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题．17．【解析】试题分析：约束条件的可行域如图△ABC 所示当目标函数过点A(11)时z 取最大值最大值为1+4×1=5【考点】线性规划及其最优解解析：【解析】 .试题分析：约束条件的可行域如图△ABC 所示.当目标函数过点A(1，1)时，z 取最大值，最大值为1+4×1=5.【考点】线性规划及其最优解.18．【解析】【分析】求出数列的公比并得出等比数列的公比与首项然后利用等比数列求和公式求出即可计算出所求极限值【详解】由已知所以数列是首项为公比为的等比数列故答案为【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时 解析：323【解析】 【分析】求出数列{}n a 的公比，并得出等比数列{}1n n a a +的公比与首项，然后利用等比数列求和公式求出12231n n a a a a a a ++++L ，即可计算出所求极限值. 【详解】由已知3212a q a ==，23112()()22n n n a --=⨯=，3225211111()()()2()2224n n n n n n a a ----+=⋅==⋅，所以数列{}1n n a a +是首项为128a a =，公比为1'4q =的等比数列， 11223118[(1()]3214[1()]13414n n n n a a a a a a -+-+++==--L ，1223132132lim ()lim [1()]343n n n n n a a a a a a +→+∞→∞+++=-=L . 故答案为323. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了利用定义判定等比数列、等比数列求和以及数列极限的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19．【解析】【分析】设三角形外接圆半径R 由三角形面积公式解方程即可得解【详解】由题：设三角形外接圆半径为R （）根据正弦定理和三角形面积公式：即解得：故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应解析：【解析】 【分析】设三角形外接圆半径R ，由三角形面积公式21sin 2sin sin sin 2S ab C R A B C ==解方程即可得解. 【详解】由题：1sin sin 75sin(4530)222B =︒=︒+︒=+=设三角形外接圆半径为R （0R >），根据正弦定理和三角形面积公式：211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅=即262R +=，解得：R =故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应用，利用正弦定理对面积公式进行转化求出相关量，需要对相关公式十分熟练.20．充要【解析】所以为奇函数又为单调递增函数所以即是的充要条件点睛：充分必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断若则若则的真假并注意和图示相结合例如⇒为真则是的充分条件2等价法：利用⇒与非⇒非⇒与非⇒非解析：充要 【解析】33()()lg(()lg(lg10f x f x x x x x +-=++-+-== ，所以()f x 为奇函数，又()f x 为单调递增函数，所以0()()()()()()0a b a b f a f b f a f b f a f b +≥⇔≥-⇔≥-⇔≥-⇔+≥ ，即“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的充要条件点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．三、解答题21．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）6 【解析】 【分析】（Ⅰ）由递推公式凑出1132n n a a ++--与32n n a a --的关系，即可得证（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2111222n n n n n a b a a --=-==--，即可得到{}(21)n n b -⋅的通项公式，再用错位相减法求和，证明其单调性，可得得解. 【详解】 解：（Ⅰ）()*164n n n a a n a +-=∈-N Q 1163346224n n n n n n a a a a a a ++----∴=---- 6312628n n n n a a a a --+=--+2(3)(2)n n a a --=--322n n a a -=- 32n n a a ⎧⎫-∴⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，322n n n a a -=-， 即2111222n n n n n a b a a --=-==--， 21212n n n b n ∴-⋅=-⋅（）（）123S 123252...(21)2n n n =⋅+⋅+⋅++-⋅① 23412S 123252...(21)2n n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅②，①减②得11231142S 122(22...2)(21)222(21)212n n n n n n n +++--=⋅+++--⋅=+⋅--⋅-1(32)26n n +=-⋅-. 1S (23)26n n n +∴=-⋅+2111S S (21)2(23)22210n n n n n n n n ++++∴-=-⋅--⋅=+>（），S n ∴单调递增.76S 92611582019=⨯+=<Q ， 87S 112628222019=⨯+=>.故使S 2019n <成立的最大自然数6n =. 【点睛】本题考查利用递推公式证明函数是等比数列，以及错位相减法求和，属于中档题.22．(1)234a ；(2) 【解析】 【分析】（1）连接OB ,则123AOB πθ∠=-,由等边三角形ABC 的边长为a ,可得OA OB ==,再利用三角形面积公式求解即可； （2）根据三角形的对称性可得12sin sin 22AA OA θθ==,112sin sin 32222A B OB πθθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,则周长为关于θ的函数,进而求得最值即可 【详解】（1）Q 等边三角形ABC 的边长为a ,3OA OB a ∴==, 连接OB ,123AOB πθ∴∠=-,2123sin sin 236S OA ππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=⨯+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, ∴当6πθ=时,六边形徽标的面积为234S a =（2）在1AOA V 中,12sinsin 232AA OA a θθ==,在1BOA V 中,112sin sin 32222A B OB πθθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,设周长为()f q ,则()()113sin 23f AA A B θπθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,20,3θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,当且仅当232θππ+=,即3πθ=时,()max fθ=【点睛】本题考查三角形面积的应用,考查正弦型函数的最值问题,考查三角函数在几何中的应用,考查数形结合思想 23．（1）a n 11()2n +=；（2）T n 2211311436(2)(3)n n ⎡⎤=--⎢⎥++⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）根据等差中项的性质列方程，并转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值，进而求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列{}n c 的前n 项和n T . 【详解】（1）由S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列， 可得2（S 3+a 3）=S 2+a 2+S 1+a 1， 即有2a 1（1+q +2q 2）=3a 1+2a 1q ， 化为4q 2=1，公比q >0，解得q 12=. 则a n 14=⋅（12）n ﹣111()2n +=； （2）b n 212222111()(2)(1)n n log a log n --===+，c n =（n +2）b n b n +2=（n +2）⋅22221111(1)(3)4(1)(3)n n n n ⎡⎤=-⎢⎥++++⎣⎦， 则前n 项和T n =c 1+c 2+c 3+…+c n ﹣1+c n14=[22222222221111111111243546(2)(1)(3)n n n n -+-+-++-+-+++L ]2211111449(2)(3)n n ⎡⎤=+--⎢⎥++⎣⎦ 2211311436(2)(3)n n ⎡⎤=--⎢⎥++⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列通项公式的基本量计算，考查裂项求和法，属于中档题. 24．（1）2 （2【解析】 【分析】 【详解】（（1）由cos 0ACB ∠=>可知，ACB ∠是锐角，所以，sin 5ACB ∠=== 由正弦定理sin sin AC AB B ACB=∠,sin 2sin 5AC AB ACB B =∠== （2）cos cos(18045)cos(135)A C C ︒︒︒=--=-cos sin )C C =-+= 由余弦定理:CD === 考点：1正弦定理；2余弦定理．25．（1）14m ≥（2）[]6,12- 【解析】 【分析】（1）由已知根据基本不等式得2124a b ab +⎛⎫≤=⎪⎝⎭，再由不等式的恒成立的思想：ab m ≤恒成立，则需()max m ab ≥得所求范围；（2）根据基本不等式得()41419a b a b a b ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭，再根据不等式恒成立的思想得到绝对值不等式2129x x --+≤，运用分类讨论法可求出不等式的解集. 【详解】（1）0a >，0b >，且1a b +=，∴2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时“=”成立，由ab m ≤恒成立，故14m ≥. （2）∵(),0,a b ∈+∞，1a b +=，∴()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，故若41212x x a b+≥--+恒成立，则2129x x --+≤， 当2x -≤时，不等式化为1229x x -++≤，解得62x -≤≤-，当122x -<<，不等式化为1229x x ---≤，解得122x -<<， 当12x ≥时，不等式化为2129x x ---≤，解得1122x ≤≤. 综上所述，x 的取值范围为[]6,12-. 【点睛】本题综合考查运用基本不等式求得最值，利用不等式的恒成立的思想建立相应的不等关系，分类讨论求解绝对值不等式，属于中档题. 26．（1）31n a n =-；（2）11m =或12m = 【解析】 【分析】(1)由5335545S a <=<可解得3d =,进而求出1a ,得到31n a n =-;(2)由(1)可求出n S ,进而求出237n S n -,即可求出其前n 项和的最小值,从而得出结论. 【详解】(1)()()5325555S a a d d ==+=+Q ,()355545d <∴+<,即24d <<, d ∈N Q ,3d ∴=,则122a a d =-=,故()21331n a n n =+-⨯=-; (2)由(1)知,()()2313122n n n n n S +-+==, 则2237336n S n n n -=-,令2370n S n -≤,解得012n ≤≤, 则()1211min n T T T ==, 故11m =或12m =. 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式及其性质的应用,属于中档题.。
吉林省2020版高考数学一模试卷(理科)A卷(新版)
吉林省2020版高考数学一模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·金华期末) 如果全集，，，则A .B .C .D .2. （2分）复数等于（）A . iB . -iC . 1D . -13. （2分） (2017高二下·成都期中) 已知函数f （ x）=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示，则的取值范围是（）A . （﹣，）B . （﹣，1）C . （﹣，）D . （﹣，1）4. （2分）(2018·河北模拟) 已知偶函数在区间上单调递增，且，，，则满足（）A .B .C .D .5. （2分）已知是椭圆C的两个焦点，焦距为4.若P为椭圆C上一点，且的周长为14，则椭圆C的离心率e为（）A .B .C .D .6. （2分）(2020·长春模拟) 在中，，，，则边上的高为（）A .B . 2C .D .7. （2分）下列结论中正确的是（）A . “x≠1”是“x（x﹣1）≠0”的充分不必要条件B . 已知随机变量ξ服从正态分布N（5，1），且P（4≤ξ≤6）=0.7，则P（ξ＞6）=0.15C . 将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化D . 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了解该单位职工的健康情况，应采用系统抽样的方法从中抽取样本8. （2分） (2018高一下·开州期末) 执行如图所示的程序框图，若输出的值在集合中，则输入的实数的取值集合是（）A .B .C .D .9. （2分）某空间几何体的三视图如图所示，该空间几何体的体积是（）A .B . 10C .D .10. （2分）对于使f（x）≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f（x）的上确界，若正数a，b∈R 且a+b=1，则的上确界为（）A .B .C .D . ﹣411. （2分）已知△ABC中AB=6，AC=BC=4，P是∠ACB的平分线AB边的交点，M为PC上一点，且满足=+λ（+）（λ＞0），则的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 412. （2分） (2016高一上·襄阳期中) 设f（x）= +5x+6在区间[1，3]上为单调函数，则实数a 的取值范围是（）A . [﹣，+∞）B . （﹣∞，﹣3]C . （﹣∞，﹣3]∪[﹣，+∞）D . [﹣， ]二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）函数y= （x＞﹣1）的值域是________．14. （1分）(2017·民乐模拟) 若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=0.9544，设ξ～N（1，σ2），且P（ξ≥3）=0.1587，则σ=________．15. （1分） (2016高三上·武邑期中) 已知，则 =________．16. （1分）(2016·海口模拟) 设数列（an}的前n项和为Sn ，且a1=1，an+an+1= （n=1，2，3，…），则S2n+3=________．三、解答题 (共5题；共40分)17. （5分）已知=（2﹣sin（2x+），﹣2），=（1，sin2x），f（x）=•，（x∈[0，]）（1）求函数f（x）的值域；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若f（）=1，b=1，c=，求a的值．18. （10分）(2013·重庆理) 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．19. （10分） (2020高二下·东阳期中) 在四棱锥中，平面，，， .（1）证明：平面；（2）若二面角的大小为，求的值.20. （5分） (2017高三下·武威开学考) 已知椭圆C： =1，（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+ =0）且不垂直于x轴直线l椭圆C相交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求• 取值范围；（Ⅲ）若B关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．21. （10分）已知函数f（x）= ﹣ax．（1）若a= ，求曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程；（2）若关于x的不等式f（x）≥ax+b≥lnx﹣ax在（0，+∞）上恒成立，求实数a，b的值．四、选做题 (共2题；共10分)22. （5分） (2016高三上·南通期中) 已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的极坐标方程为ρsin （θ+ ）=m．若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值．23. （5分） (2019高三上·哈尔滨月考) 设函数 .（Ⅰ）当时，解不等式：；（Ⅱ）若存在，使得，试求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共40分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、四、选做题 (共2题；共10分) 22-1、23-1、。
吉林省五地六校2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)
2019-2020学年度吉林省五地六校高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则满足条件的集合的个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由集合，由，所以集合的个数，故选C.2.已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵复数∴故选B.3.设，则使成立的必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式可得，然后再结合题意对每个选项进行验证、判断后可得结果．【详解】由可得，解得．选项A中，“”是“”成立的充要条件，所以A不符合题意；选项B中，由“”成立不能得到“”成立，反之，当“”成立时，“”成立，所以“”是“”的必要不充分条件，所以B符合题意；选项C中，“”是“”的既不充分也不必要条件，所以C不符合题意；选项D中，“”是“”的充分不必要条件，所以D不符合题意．故选B．【点睛】解题的关键是正确理解“使成立的必要不充分条件”的含义，即由可得所选结论成立，而由所选的结论不能得到成立．本题考查对充分、必要条件概念的理解，属于基础题．4.已知向量，，若，则A. 0B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，代入共线向量得坐标运算公式求解．【详解】，，，，由，得，即．故选：C．【点睛】本题考查了两向量平行的坐标表示与应用问题，是基础题目．5.已知首项与公比相等的等比数列中，满足（，），则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，即即故选6.已知为第二象限角，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得，所以，所以，又因为为第二象限角，则，所以，所以，故选A.7.在等差数列中，前项和满足，则（）A. 7B. 9C. 14D. 18【答案】B【解析】，所以，选B.8.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则的值为（）A. 16B. 12C. 10D. 8【答案】B【解析】分析：根据条件得到数列是公比 2的等比数列，7项之和为1016，设首项为，和为，进而求出.详解：每上层的数量是下层的2倍，得到数列是公比 2的等比数列，7项之和为1016，设首项为，和为，则=故答案为：B.点睛：本题考查等比数列的通项公式与前n项和的应用，是基础的计算题，对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.9.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.一块“堑堵”型石材表示的三视图如图所示.将该石材切削、打磨，加工成若干个相同的球，并使每个球的体积最大，则所剩余料体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：作三棱柱底面的内切圆，设内接圆的半径为，利用面积相等求出，三棱柱的高为，故共有个球，然后利用几何体的体积减去球的体积，可得结果.详解：如图所示，作三棱柱底面的内接圆，设内接圆的半径为，则，，得，故，又三棱柱的高为，故共有个球，该三棱柱的体积等于，剩余材料的体积为，故选C.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10.如图，在三棱锥中，，平面平面.①；②；③平面平面；④平面平面.以上结论中正确的个数有（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】∵平面平面，平面平面，∴平面，又平面，∴，故①正确．∵平面，∴平面平面，故③正确．∵,∴平面，又平面，∴平面平面，故④正确．综上①③④正确，选C．11.已知函数（e是自然对数的底数），则f（x）的极大值为A. 2e-1B.C. 1D. 2ln2【答案】D【解析】分析：求函数的导数，令，先求出的值再求的极大值为即可得．详解：函数的定义域为，，则令，得令，得，即函数上单调递增，在上单调递减，故函数在出uqude极大值，极大值为故选D.点睛：本题考查导数的运用：求单调区间和求极值，考查运算能力，属于基础题．12.已知双曲线的左，右焦点分别为，，，是双曲线上的两点，且，，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，设，是双曲线左支上的两点，令，由双曲线的定义可得．在中，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去）．∴，∴为直角三角形，且．在中，，即，∴，∴．即该双曲线的离心率为．选B．点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线与圆：相交于，两点，且为等边三角形，则圆的面积为__________．【答案】【解析】圆，化为，圆心，半径，因为直线和圆相交，为等边三角形，所以圆心到直线的距离为，即，解得，所以圆的面积为，故答案为 .14.已知函数是定义在上的奇函数，则__________．【答案】 ,【解析】．15.已知点和抛物线C：，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若，则______．【答案】2【解析】【分析】由已知可求过A，B两点的直线方程为，然后联立直线与抛物线方程组可得，，可表示，，，，由，向量的数量积为0，代入整理可求k．【详解】抛物线C：的焦点，过A，B两点的直线方程为，联立可得，，设，，则，，，，，，，，，整理可得，，，即，．故答案为：2【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用，解题的难点是本题具有较大的计算量．16.a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【答案】②③【解析】由题意，是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线，由，又AC⊥圆锥底面，所以在底面内可以过点B，作，交底面圆于点D，如图所示，连结DE，则DE⊥BD，，连结AD，等腰中，,当直线AB与a成60°角时，，故，又在中，，过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连结AF，由圆的对称性可知,为等边三角形，，即AB与b成60°角，②正确，①错误.由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，则直线与所成角的最大值为90°，④错误.故正确的是②③.【名师点睛】（1）平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，可知当求出的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.（2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在中，若，且．Ⅰ求角B的大小；Ⅱ求面积的最大值．【答案】（I）（II）【解析】【分析】Ⅰ由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，结合，可求的值，进而可求B的值．Ⅱ由余弦定理，基本不等式可得：，进而利用三角形面积公式即可得解面积的最大值．【详解】Ⅰ，可得：，，，由，可得：．Ⅱ，，由余弦定理可得，由基本不等式可得，可得：，当且仅当时，“”成立，从而．故面积的最大值为．【点睛】本题考查解三角形的相关知识，考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．18.已知是数列的前项和，且满足．（1）证明为等比数列；（2）求数列的前项和．【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）当时，，求得首项为3，由题意可得，运用等比数列的定义即可得证；（2）运用等比数列的通项公式可得，再由数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，化简即可得到所求和．【详解】解：（1）证明：当时，，，可得，转化为：，即，所以注意到，所以为首项为4，公比为2等比数列；（2）由（1）知：，所以，于是．【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，同时考查等差数列的求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19.如图，在三棱柱中，，平面，侧面是正方形，点为棱的中点，点、分别在棱、上，且，．（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）根据题意，推得，进而得到平面，再利用面面垂直的判定定理，证得平面平面；（2）以为原点，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，求得平面和平面法向量为，，即可利用向量的夹角公式，求解向量的夹角，进而得到二面角的余弦值．试题解析：（1）设，则，，，，，，又，所以，，，，为直三棱柱，∴平面，∴，平面，平面平面．（2）由，以为原点，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，由解得．平面的法向量，设所求二面角平面角为，．20.椭圆（）的左、右焦点分别为，，过作垂直于轴的直线与椭圆在第一象限交于点，若，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ），是椭圆上位于直线两侧的两点.若直线过点，且，求直线的方程.【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题可得，结合可得，进而得方程；（Ⅱ）易知点的坐标为.因为，设直线的斜率为，则直线的斜率为，设，，则直线，与椭圆联立得，，从而得，，利用即可得解.试题解析：（Ⅰ）由题可得，因为，由椭圆的定义得，所以，所以椭圆方程为.（Ⅱ）易知点的坐标为.因为，所以直线，的斜率之和为0.设直线的斜率为，则直线的斜率为，设，，则直线的方程为，由可得，∴同理直线的方程为，可得，∴，，，∴满足条件的直线的方程为，即为.21.函数，．求的单调区间；对，使成立，求实数m的取值范围；设在上有唯一零点，求正实数n的取值范围．【答案】（1）的递增区间是，，的递减区间是，；（2）（3）【解析】【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；问题等价于，，根据函数的单调性求出m的范围即可；求出函数的导数，通过讨论n的范围，得到函数的单调区间，从而确定n的范围即可．【详解】，当，即时，，递增，当，即时，，递减，综上，的递增区间是，，的递减区间是，；，即，设，则问题等价于，，一方面由可知，当时，，故在递增，，另一方面：，，由于，又，当，，在递增，，故，；，，，若，则，递增，无零点，若时，设，则，故递增，，，故存在，使得，故时，，即，递减，时，，即，递增，故时，无零点，当时，，，存在唯一零点，综上，时，有唯一零点．【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.已知直线l的参数方程为为参数），椭圆C的参数方程为为参数）。
吉林吉林市2020届高三上学期第一次调研测试数学理
一、选择题：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
D
B
A
D
B
C
D
D
D
B
C
A
二、填空题：
13.
1
14.
2
3
15.
1.5（注：填 2 也正确）
4
16.
5
三、解答题： 17．（ 10 分）
AE 解： ACE 中， sin45
CE sin(75 45 )
·4·
2sin45 AE
sin30
20．（ 12 分）
xn
解：（ 1）
2(n 1) + ， n 2
N*
-----------------------------------------------------3
分
Sn
(2 2
) (4 2
) 2
[2(n 1)
]
2
2 [1 2 3
n (n 1)]
2
n(n 1) n
2 -----------------------------------------------------------------------6
3
A. (1, ee )
B. (1,e3 )
2
C. (ee , e)
D. (e, e3 )
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案填在答题卡中相应位置。
f (x)
13. 已知函数
ln x, x 0
1
2x 1 ,
x
0 ，则
吉林省吉林市普通高中2020届高三数学上学期第一次调研测试试题文
吉林省吉林市普通高中2020届高三数学上学期第一次调研测试试题文本试卷共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟。
考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.选择题答案使用28铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1.已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{x|x ≤0}，则A ∩B ＝ A.{1，2} B.{－1，0｝ C.{0，1，2} D.{－1}2.函数3sin(4)3y x π=+的最小正周期是A.2πB.2π C.3πD.π 3.己知D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量CD ＝ A.12BC BA -+B.12BC BA --C.12BC BA -D.12BC BA + 4.己知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x(1－x)；则当x<0时，f(x)等于 A.－x(1－x) B.x(1－x) C.－x(1＋x) D.x(1＋x) 5. ＝1，a 5与32a 4的等差中项为12，则a 1的值为 A.4 B.3 C.2 D.16.若cos()23πα+=-，则cos2α＝ A.－23 B.－13 C.13 D.237.己知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b|＝ 。
D.1 8.将函数f(x)＝2sin(2x ＋3π)图象上的每个点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变；再将所得图象向左平移12π个单位得到函数g(x)的图象，在g(x)图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为 A.12x π=B.4x π=C.524x π=D.24x π=- 9.若函数f(x)＝a x(a>0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x|－1)的图象可以是10.在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，∠BAC ＝90°，D 、E 分别为AB 、BC 中点，则AE•CD＝ A.4 B.3 C.2 D.611.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＝3(a 1＋a 3＋a 5＋······＋a 2n －1)(n ∈N*)，a 1a 2a 3＝8，则S 8＝A. 510B. 255C. 127D. 654012.设函数f(x)的定义域为D ，若满足条件：存在[m ，n]⊆D ，使f(x)在[m ，n]上的值域为[km ，kn](k ∈R 且k>0)，则称f(x)为“k 倍函数”，给出下列结论： ①f(x)＝1x是“1倍函数”；②f(x)＝x 2是“2倍函数”；③f(x)＝e x是“3倍函数”。
吉林省长春市普通高中2020届高三上学期质量监测(一) 数学(理) Word版含答案
长春市2020届高三质量监测(一)理科数学本试卷共4页。
考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x||x|>2}，B＝{x|x2－3x>0}，则A∩B＝A.ΦB. {x|x>3或x≤－2}C. {x| x>3或x<0}D. {x| x>3或x<0}2.复数z＝2i2＋i5的共轭复数z在复平面上对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知133131(),3,log33a b c===，则A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a.4.己知直线x＋y＝0与圆(x－1)2＋(y－b)2＝2相切，则b＝A.－3B.1C.－3或1D.5 25.2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013年到2018年六年间我国公共图书馆业机构数(个)与对应年份编号的散点图(为便于计算，将2013年编号为1，2014年编号为22018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从1到6作为自变量进行回归分析)，得到回归直线ˆ13.7433095.7yx =+，其相关指数R 2＝0.9817，给出下列结论，其中正确的个数是①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个 ③可预测2019年公共图书馆业机构数约为3192个 A.0 B.1 C.2 D.36.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴。
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2
2
（1）求 B；
（2）若 c 6 ， a [2,6] ，求 sin C 的取值范围．
25．已知点（1，2）是函数 f (x) ax (a 0, a 1) 的图象上一点，数列{an}的前 n 项和 是 Sn f (n) 1 .
（1）求数列 {an } 的通项公式； （2）若 bn loga an1 ，求数列{an • bn} 的前 n 项和 Tn 26．在四边形 ABCD中， BAD 120 ， BCD 60 ， cos D 1 ， AD DC 2 .
1 3
,
1 5
C．
1 3
,
B．
,
1 3
1 5
,
D．
1 2
,
y x 8．设变量 x, y 、满足约束条件 x y 2 ，则目标函数 z 2x y 的最大值为（ ）
y 3x 6
A．2
B．3
C．4
D．9
9．已知数列{an}满足 log3 an 1 log3 an1(n N ) 且 a2 a4 a6 9 ，则
故选 D. 【点睛】 本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的 一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）； （2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或 最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
7
(1) 求 cos DAC 及 AC 的长； (2) 求 BC 的长.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C 解析：C 【解析】
【分析】
先通过数列性质判断 a6 0 ，再通过数列的正负判断 Sn 的最小值.
【详解】
∵等差数列an中， a3 a9 0 ，∴ a3 a9 2a6 0 ，即 a6 0 .又 a7 0 ，∴an 的
A． 2,3
B． 2, 3
C．
2,
9 2
D．
2,
9 2
3．
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
b
2
，
B
6
，
C
则 ABC 的面积为（ ）
， 4
A． 2 2 3
B． 3 1
C． 2 3 2
D． 3 1
4．在 ABC 中， AC 2 , BC 2 2 , ACB 135 ，过 C 作 CD AB 交 AB 于 D ， 则 CD ( )
【详解】
设等比数列an的公比为 q （公比显然不为 1），则
a1 1 q6
S6 1 q
S3 a1 1 q3
1 1
q6 q3
1 q3
9
，得 q
2，
1 q
a1 1 q10
因此， S10 1 q S5 a1 1 q5
1 q10 1 q5
1 q5
1 25
33 ，故选
C.
1 q
【点睛】 本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一 般在求解等比数列问题时，有如下两种方法： （1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公 式或求和公式来进行计算； （2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用．
log1 (a5 a7 a9 ) 的值是( ) 3
A．－5
B．－ 1 5
C．5
D． 1 5
10．一个递增的等差数列an ，前三项的和 a1 a2 a3 12 ，且 a2 , a3, a4 1成等比数
列，则数列an的公差为 ( )
A． 2
B．3
C．2
D．1
11．如图，为了测量山坡上灯塔 CD 的高度，某人从高为 h=40的楼 AB 的底部 A 处和楼
时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 ab 及 b2 、 a2 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用
正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出 S10 . S5
.
(1)求角 B 的大小； (2)若 a＝ ，b＝1，求 c 的值．
23．在等比数列an中， a1 a2 5 ，且 a2 a3 20 . （1）求 an 的通项公式；
（2）求数列 3an an 的前 n 项和 Sn .
24．已知 a，b，c 分别为 ABC 内角 A，B，C 的对边， 2asin2 B 2bcos2 A b c ．
8．D
解析：D 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方 程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】
y x
画出满足约束条件
x
y
2
的可行域，如图，
y 3x 6
画出可行域 ABC ， A(2, 0) ， B(1,1) ， C(3,3) ， 平移直线 z 2x y ， 由图可知，直线 z 2x y 经过 C(3,3) 时 目标函数 z 2x y 有最大值， z 2x y 的最大值为 9.
A． 2 5 5
B． 2
C． 3
D． 5
5．等比数列
an
的前
n
项和为
Sn
，若 S3 =2，S6 =18
，则
S10 S5
等于(
)
A．－3
B．5
C．33
D．－31
6．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ，点 (n, Sn 3) (n N*) 在函数 y 3 2x 的图象上，等 比数列{bn}满足 bn bn1 an (n N*) ，其前 n 项和为 Tn ，则下列结论正确的是（ ）
A． Sn 2Tn
B．Tn 2bn 1
C．Tn an
D．Tn bn1
y4
7．已知点 P x, y 是平面区域{x y 0 内的动点, 点 A1, 1,O 为坐标原点, 设 x m y 4
OP OA R 的最小值为 M ,若 M 2 恒成立, 则实数 m 的取值范围是（ ）
A．
的可行域如图，则 OP OA R 的最小值为 M 0 ，满足 M 2 ，当 m 0 时，
y4
直线 x m y 4 与 y 轴重合，平面区域{x y 0 为图中 y 轴右侧的阴影区域，则 x m y 4
OP OA R 的最小值为 M 0 ，满足 M 2 ，当 m 0 时，由约束条件
2 AC BC
2
AB= 2 5 ,
再由等面积法得到 1 2 5 CD 1 2 2 2 2 CD 2 5
2
2
2
5
故答案为 A.
【点睛】 这个题目考查了解三角形的应用问题，涉及正余弦定理，面积公式的应用，在解与三角形 有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有
2020 年吉林市高三数学上期末一模试题及答案
一、选择题
1．等差数列an中，已知 a7 0 ， a3 a9 0 ，则an 的前 n 项和 Sn 的最小值为
（）
A． S4
B． S5
C． S6
D． S7
2．已知数列an的前 n
项和为
Sn
，且
an
4
1 2
n1
，若对任意 n N*
，都有
1 pSn 4n 3 成立，则实数 p 的取值范围是（ ）
y4
{x y 0 表示的可行域如图，点 P 与点 B 重合时， OP OA R 的最小值为 x m y 4
yx M OB ，联立{
，解得 B( 4m , 4m ) ，所以 OB 2 4m ，由
x m( y 4)
m 1 m 1
m 1
2 4m 2 ，解得 1 m 1 ，所以 1 m 0 ，综上所述，实数 m 的取值范围是
19．已知数列{an}满足 an
( 1 2
a)n 1, n
6 ，若对任意 n N*
都有 an
an1 ，则实数
an5, n 6
a 的取值范围是_________.
20．若 ABC 的三个内角 A 45 ， B 75 ， C 60 ，且面积 S 6 2 3 ，则该三角
形的外接圆半径是______
m 1
3
5
3
1 3
,
，故选
C.
考点：简单的线性规划. 【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最 值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的
理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数 的最值，试题有一定的难度，属于难题.
16．已知向量 a
1, x,b
x,
y 2
，其中
x
0 ，若
a
与b
共线，则
y x
的最小值为
__________．
17．数列 2n 1 的前 n 项1,3, 7..2n 1组成集合 An 1,3,7, 2n 1 n N* ，从集合 An
中任取 k k 1, 2,3?··n 个数，其所有可能的 k 个数的乘积的和为（若只取一个数，规定
3．B
解析：B 【解析】
试题分析：根据正弦定理，
，解得
，
，并且
，所以
考点：1．正弦定理；2．面积公式．
4．A
解析：A 【解析】 【分析】 先由余弦定理得到 AB 边的长度，再由等面积法可得到结果. 【详解】