常微分习题解答
常微分习题解答1
x
20
5） xy′ − y = (x + y) ln x + y x
18
z = 0, z = 1 ⇔ y = 0, y = x ，
或 ln(z −1) − ln z = − ln x + c ， x( y − x) = Cx
3） (x2 + y2 ) dy = 2xy dx
解： dy = 2 y / x ,let z = y , then
dx 1+ ( y / x)2
8
另外，当 y ≠ 0 且 y ≠ 1时 dy = dx 既 dy − dy = dx
y( y −1)
y −1 y
所以 ln y −1 = x + c y
再考虑初始条件，故原初值问题的解为 y = 1
2） (x2 −1) y′ + 2xy2 = 0, y(0) = 1
解： dy + 2xdx = 0 ， − 1 + ln | x2 −1 |= C 得 C = −1
y2 x2 −1
y
9
因此 y(ln | x2 −1 | +1) = 1
3） y′ = 33 y2 , y(2) = 0
解： y = 0 或 y = (x + C)3 得 C = −2 ，
y
=
⎧(x ⎩⎨0
+
C)3, ,
x x
≥ <
《常微分方程》答案_习题4.2
习题4.21. 解下列方程（1）045)4(=+''-x x x 解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=tt t t e c e c e c e c --+++432221 (2)03332=-'+''-'''x a x a x a x 解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ有三重根a =λ故通解为x=at at at e t c te c e c 2321++ （3）04)5(=''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2 故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=-（4）0102=+'+''x x x解：特征方程01022=++λλ有复数根=1λ-1+3i,=2λ-1-3i故通解为t e c t e c x t t 3sin 3cos 21--+= (5) 0=+'+'x x x解：特征方程012=++λλ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i-- 故通解为t ec t ec x t t 23sin 23cos 212211--+=(6) 12+=-''t s a s 解：特征方程022=-a λ有根=1λa,=2λ-a当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=at at e c e c -+21Bt A s +=~代入原方程解得21aB A -== 故通解为s=at at e c e c -+21-)1(12-t a当a=0时,)(~212γγ+=t t s 代入原方程解得21,6121==γγ 故通解为s=t c c 21+-)3(612+t t(7) 32254+=-'+''-'''t x x x x解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1 齐线性方程的通解为x=t t t te c e c e c 3221++又因为=λ0不是特征根，故可以取特解行如Bt A x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1故通解为x=t t t te c e c e c 3221++-4-t (8) 322)4(-=+''-t x x x解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有 故齐线性方程的通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321取特解行如c Bt At x ++=2~代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321+12+t (9)t x x cos =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--取特解行如t B t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=21,21-=B 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--)sin (cos 21t t +-(10) t x x x 2sin 82=-'+''解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1 故齐线性方程的通解为x=t t e c e c 221-+ 因为+-2i 不是特征根取特解行如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=56,52-=-B 故通解为x=t t e c e c 221-+t t 2sin 562cos 52-- （11）t e x x =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=-- =λ1是特征方程的根，故t Ate x =~代入原方程解得A=31故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--+t te 31（12）t e s a s a s =+'+''22解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a 当a=-1时，齐线性方程的通解为s=t tte c e c 21+,=λ1是特征方程的2重根，故t e At x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121t te c e c t t ++,当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=at atte c e c --+21,=λ1不是特征方程的根，故t Ae x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=at at te c e c --+21+te a 2)1(1+ （13）t e x x x 256=+'+''解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5 故齐线性方程的通解为x=tte c e c 521--+=λ2不是特征方程的根，故t Ae x 2~=代入原方程解得A=211 故通解为x=t t e c e c 521--++t e 2211 （14）t e x x x t cos 32-=+'-''解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i故齐线性方程的通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=i ±-1不是特征方程的根, 取特解行如t e t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=414,415-=B 故通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=+t e t t --)sin 414cos 415((15) t t x x 2cos sin -=+''解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i 故齐线性方程的通解为t c t c x sin cos 21+=t x x sin =+'',=1λi,是方程的解 )sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得 A=21- B=0 故t t x cos 21~-=t x x 2cos -=+'' t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得 A=31B=0 故t x 2cos 31~= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-t 2cos 31+习 题 6-11． 求出齐次线性微分方程组y t A dtdy)(=的通解，其中A （t ）分别为：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011)(t A ；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110)(t A ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010100)(t A 。
常微分方程课后习题答案
常微分方程课后习题答案常微分方程课后习题答案在学习常微分方程的过程中，课后习题是巩固知识和提高能力的重要环节。
通过解答习题，我们可以更好地理解和应用所学的概念和方法。
下面是一些常见的常微分方程习题及其答案，供大家参考。
一、一阶常微分方程1. 求解方程：dy/dx = 2x。
解：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。
2. 求解方程：dy/dx = x^2 - 1。
解：对方程两边同时积分，得到y = (1/3)x^3 - x + C，其中C为常数。
3. 求解方程：dy/dx = 3x^2 + 2。
解：对方程两边同时积分，得到y = x^3 + 2x + C，其中C为常数。
二、二阶常微分方程1. 求解方程：d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 4y = 0。
解：首先求解特征方程：r^2 + 4r + 4 = 0，解得r = -2。
因此，方程的通解为y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中C1和C2为常数。
2. 求解方程：d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = x^2。
解：首先求解特征方程：r^2 + 2r + 1 = 0，解得r = -1。
因此，方程的通解为y = (C1 + C2x)e^(-x) + (1/6)x^2 - (1/2)x + (1/2)，其中C1和C2为常数。
3. 求解方程：d^2y/dx^2 + 3dy/dx + 2y = e^(-x)。
解：首先求解特征方程：r^2 + 3r + 2 = 0，解得r = -1和r = -2。
因此，方程的通解为y = (C1e^(-x) + C2e^(-2x)) + (1/3)e^(-x)，其中C1和C2为常数。
三、应用题1. 一个物体在空气中的速度满足以下方程：dv/dt = -9.8 - 0.1v，其中v为速度，t为时间。
求物体的速度随时间的变化情况。
解：这是一个一阶线性常微分方程。
将方程改写为dv/(9.8 + 0.1v) = -dt，再两边同时积分，得到ln|9.8 + 0.1v| = -t + C，其中C为常数。
常微分方程习题及答案
第十二章常微分方程(A)一、就是非题1.任意微分方程都有通解。
()2.微分方程的通解中包含了它所有的解。
()3.函数y=3sin x-4cos x就是微分方程y''+y=0的解。
()4.函数y=x2⋅e x就是微分方程y''-2y'+y=0的解。
()5.微分方程xy'-ln x=0的通解就是y=12(ln x)2+C(C为任意常数)。
(6.y'=sin y就是一阶线性微分方程。
()7.y'=x3y3+xy不就是一阶线性微分方程。
()8.y''-2y'+5y=0的特征方程为r2-2r+5=0。
()9.dydx=1+x+y2+xy2就是可分离变量的微分方程。
()二、填空题1.在横线上填上方程的名称①(y-3)⋅ln xdx-xdy=0就是。
②(xy2+x)dx+(y-x2y)dy=0就是。
③x dydx=y⋅lnyx就是。
④xy'=y+x2sin x就是。
⑤y''+y'-2y=0就是。
2.y'''+sin xy'-x=cos x的通解中应含个独立常数。
3.y''=e-2x的通解就是。
4.y''=sin2x-cos x的通解就是。
5.xy'''+2x2y'2+x3y=x4+1就是阶微分方程。
6.微分方程y⋅y''-(y')6=0就是阶微分方程。
7.y=1x所满足的微分方程就是。
)8.y '=9.2y的通解为。
x dx dy +=0的通解为。
y x5dy 2y 10.-=(x +1)2,其对应的齐次方程的通解为。
dx x +111.方程xy '-(1+x 2)y =0的通解为。
12.3阶微分方程y '''=x 3的通解为。
三、选择题1.微分方程xyy ''+x (y ')-y 4y '=0的阶数就是( )。
常微分方程习题与答案
第十二章常微分方程(A)、是非题1.任意微分方程都有通解。
（）2 •微分方程的通解中包含了它所有的解。
（）3. 函数y =3si nx-4cosx是微分方程y，y=0的解。
（）4. 函数y = x2・e x是微分方程y'；"-2y ' y = 0的解。
（）5. 微分方程xy"T nx=0的通解是y =丄（1 nx）2+C （C为任意常数）。
（）26. y"=siny是一阶线性微分方程。
（）7. / = x3y3 xy不是一阶线性微分方程。
（）8 . /-2/ 5^0的特征方程为『-2—5=0。
（）9. dy = 1 x y2 xy2是可分离变量的微分方程。
（）dx、填空题1 .在横线上填上方程的名称①y _ 3 ln xdx _ xdy 二0 是__________________________ 。
②xy2 x dx y _ x2 y dy = 0 是__________________________ 。
③x-d^ = y l n 丫是。
dx x④xy ：= y x2 sin x 是__________________ 。
⑤y y -2y =0是________________________ 。
2 . y si nxy"-x=cosx的通解中应含____________ 个独立常数。
3. _____________________________________ y “ = e Qx的通解是。
4. ______________________________________ y = sin 2x - cos x 的通解是。
5. _______________________________ x^ 2x2y 2，x3y=x4，1是阶微分方程。
6•微分方程y y - y Q =0是________________ 阶微分方程。
i7. y-丄所满足的微分方程是。
周义仓编常微分方程习题答案
答案 1.1
(2) (x
−
y y'
2
)
+(y
−
xy' )2
=
l2
(3) xy' + y = 0
(4) ( y − xy' )(x − y ) = 2a2 (5) y − xy' = x2 y'
提示：过点 (x,
y) 的切线的横截距和纵截距分别为
不 妨 假 设 x1 是 使 得 h(x) = 0 的 最 靠 近 的 点 ， 则 φ (x1 ) = ψ (x1 ) ， 且
h' (x1 ) ≤ 0 h' (x1 ) = F (x1,ψ (x1 )) − f (x1,φ (x1 )) > 0 ，矛盾，所以当 x > x0 时 h(x) 必
然大于零。
2
2
因此 对任意常数 c y = c 2 + cx + 2c + 1是方程的解，在 C ≤ − 1 时满足 2
把 y = − x(x + 4) 带入方程中易得： y = − x(x + 4) 也是方程的解。
4
4
3.
1) y= x 2 ，2)y= e5x ，3)y=x2/2，4)y=2，5)y=ex，6) y = x
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1 我们还是在以原点为中心的矩形 R={(x,y)| x ≤ 1, y ≤ 1 }内画方程的向量场和积分曲线：
程序如下：DEtools[phaseportrait] ([diff(y(x),x)=x/y],y(x),x= -1..1, [[y(-1)=1],[y(-1)=0],[y(-1)= -1]], dirgrid=[33,33], Arrows=LINE, Axes=NORMAL);#其余三个只需把初值和函数还一下即可
常微分方程第三版课后习题答案
1．Dy/dx=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：dy/y=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e2x .2. y2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。
7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln x y 令x y =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ x dx du =ulnuln(lnu-1)=-ln|cx|，1+ln x y =cy.10. dx dy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y -，e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dxdy =dxdu -1，dxdu -1=u2，211u +du=dx ，arctgu=x+c ，arctg(x+y)=x+c12. dx dy =2)(1y x +，解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1，dx du -1=21u u-arctgu=x+c ，y-arctg(x+y)=c.13. dx dy =1212+-+-y x y x （x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx ，xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=， xy-y 2+y-x 2-x=c15: dx dy =(x+1) 2+(4y+1)2+8xy1+解dxdy =（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dxdy =41dx du -41，dx du =4 u 2+13，u=23tg(6x+c)-1=tg(6x+c)=32(x+4y+1).，这也就是方程的解。
(完整版)常微分方程基本概念习题及解答
§1.2 常微分方程基本概念习题及解答1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： y y -1dy=-xx 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +ye xy 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 32 e x 3-3e 2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy 令xy =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ x dxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnx y =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u +du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1）y(1+x 2y 2)dx=xdy2）y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明： 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u ，有： u x dx du =f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx 所以原方程可化为变量分离方程。
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《常微分方程》习题解答东北师范大学微分方程教研室(第二版)高等教育出版社习题1 求下列可分离变量微分方程的通解： (1) xdx ydy = 解：积分，得 1222121c x y += 即 c y x =-22 (2)y y dxdyln = 解： 1,0==y y 为特解，当1,0≠≠y y 时，dx yy dy=ln ， 积分，得0ln ,ln ln 11≠=±=+=c ce e e y c x y x x c ，即xce e y =(3)y x e dxdy-= 解： 变形得 dx e dy e xy=积分，得c e e xy =-(4) 0cot tan =-xdy ydx解：变形得xydx dy cot tan =，0=y 为特解，当0≠y 时，dx x x dy y y cos sin sin cos =. 积分，得11cos sin ln ,cos ln sin ln c x y c x y =+-=,即0,cos sin 1≠=±=c c ex y c2．求下列方程满足给定初值条件的解： (1)1)0(),1(=-=y y y dxdy解： 1,0==y y 为特解，当1,0≠≠y y 时，dx dy yy =--)111(， 积分，得 0,1,1ln11≠=±=-+=-c ce e e yy c x y y x x c 将1)0(=y 代入，得 0=c ，即1=y 为所求的解。
(2) 1)0(,02)1(22==+'-y xy y x解： 0,1222=--=y x xy dx dy 为特解，当0≠y 时，dx x xy dy 1222--=， 积分，得 c x y+--=-1ln 12将1)0(=y 代入，得 1-=c ，即11ln 12+-=x y 为所求的解。
(3) 0)2(,332=='y y y 解： 0=y 为特解，当0≠y 时，dx ydy =323，积分，得 331)(,c x y c x y +=+=将0)2(=y 代入，得 2-=c ，即3)2(-=x y 和0=y 均为所求的解。
(4) 1)1(,0)()(2222-==+-+y dy yx x dx xy y 解： 0,0==y x 为特解，当0,0≠≠y x 时，01122=+-+dy y ydx x x ， 积分，得 0,,ln 1ln 1111111≠=±==-++---c ce e e yx c y y x x yx y x c将1)1(-=y 代入，得 2--=e c ，即yx e e yx 112---=为所求的解。
4．求解方程 01122=-+-dy x y dx y x 解：)11(1),11(1≤≤-±=≤≤-±=x y y x 为特解， 当1,1±≠±≠y x 时，01122=-+-dy yy dx xx积分，得 )0(1122>=-+-c c y x6．求一曲线，使其具有以下性质：曲线上各点处的切线与切点到原点的向径及x 轴可围成一个等腰三角形(以x 轴为底)，且通过点(1,2).解：设所求曲线为 )(x y y =对其上任一点),(y x 的切线方程：)('x X y y Y -=-于x 轴上的截距为'y y x a -=由题意建立方程：0'-=--x x y yx 即2)1(,'=-=y xy y 求得方程的通解为0,≠=c e xy c再由ce=2得c = ln2 , 得所求曲线为为2=xy7．人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比（1） 如果4小时的细菌数为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少（2） 如果在3小时时的细菌数为得410个，在5小时时的细菌数为得4104⨯个，那么在开始时有多少个细菌解：设t 时刻的细菌数为q (t) , 由题意建立微分方程0>=k kq dtdq求解方程得ktce q = 再设t = 0时，细菌数为0q ,求得方程的解为kt e q q 0=（1） 由02)4(q q = 即0402q eq k= 得42ln =k 042ln 1201208)12(q eq eq q k===（2）由条件 450430104)5(,10)3(⨯====k ke q q eq q比较两式得24ln =k ， 再由4024ln 3030108)3(====q eq e q q k得301025.1⨯=q习题1 解下列方程：(2) 0)2(22=+-dy x dx xy y解：方程改写为 2)()(2xyx y dx dy -= 令 x y u =，有 22u u dx du x u -=+ 整理为 )1,0()111(≠=--u xdxdu u u积分，得 x c u u1ln 1ln=- 即111-=x c xc u代回变量，得通解0,)(==-y cy x y x 也是方程的解(4) x y x y y x tan=-' 解：方程改写为xyx y dx dy tan =- 令 x y u =，有 u u u dx du x cos sin tan == 即)0(sin cot ≠=u xdxudu积分，得 cx u =sin代回变量，得通解cx xy=sin (5) xyx y x y y x ++=-'ln )(解：方程改写为 xyx x y x y dx dy ++=-ln)1( 令 x y u =，有 )1ln()1(u u dxdux ++=当1,0-≠≠u u 时xdxu u du =++)1ln()1(积分，得 cx u =+)1ln( 代回变量，得通解cx xy=+)1ln( (6) y y x y x +-='22解：方程改写为xyx y dx dy +-=2)(1 令 x y u =，有 21u dx dux -= 分离变量)11(12<<-=-u x dx u du积分，得 cx u ln arcsin = 代回变量，得通解xy cx xy±==,ln arcsin 也是方程的解2 解下列方程：(1) 0)3()642(=-+++-dy y x dx y x解：方程改写为3624-+--=y x x y dx dy 令⎩⎨⎧=-+=+-03042βαβα，解得 2,1==βα作变换2,1+=+=ηζy x 有ζηζηζη+-=24d d 再令ζη=u 上方程可化为uu d du u +-=+124ζζ整理为)2,1()2)(1(1≠-=--+u d du u u u ζζ积分，得 c u u u =---ζ2)12)(2( 代回变量，得通解1,)1()2(23+=--=-x y x y c x y 也是方程的解(2) 0)324()12(=-+-++dy y x dx y x解：方程改写为32412-+++=y x y x dx dy 令 y x u +=2，有3255--=u u dx du 分离变量 )1(5132≠=--u dx du u u积分，得 151ln 2c x u u +=--代回变量，得通解xy ce y x -=-+212(4) 2)12(2-+-='y x y y解：令2,1-=+=y v x u 则原方程变为2)(2vu v du dv += 再令 u v z =，则方程化为 2)1(2zz du dz u z +=+ 分离变量 )0()1()1(22≠-=++z u dudz z z z积分，得 c z zu ln arctan 2ln +-= 代回变量，得通解12arctan22+--=-x y cey3 解方程 0)823()732(2222=-+--+ydy y x xdx y x解：方程改写为 823732222222-+-+=y x y x xdx ydy 即 823732222222-+-+=y x y x dx dy 令 v y u x ==22, 则823732-+-+=v u v u du dv 再令 ⎩⎨⎧=-+=-+08230732βαβα 解得1,2==βα作变换 1,2+=+=ηξv u ，则方程化为ηξηξξη2332++=d d 再作变换 ξηω=，则方程化为)1()1(2232±≠=-+ωξξωωωd d积分，得45)1(1ξωωc =-+ 代回原变量，得原方程的通解为)3()1(22522-+=--y x c y x习题1 解下列方程. (1)24dyxy x dx+= 解：原方程对应的齐次方程20dyxy dx+=的通解为2x y Ce -=. 由常数变易法得原方程的一个特解为2y =. 则原方程的通解为$y=Ce^{-x^2}+2$. (2) 21'2(2)2y y x x -=-- 解： 原方程对应的齐次方程1'02y y x -=-的通解为(2)y C x =-. 由常数变易法得原方程的一个特解为3(2)y x =-. 则原方程的通解为2(2)(4)y x x x C =--+. (3)32d d ρρθ+= 解： 原方程对应的齐次方程30d d ρρθ+=的通解为3Ce θρ-=. 由常数变易法得原方程的一个特解为23ρ=.则原方程的通解为323Ce θρ-=+, 或者332Ce θρ-=+.2 求曲线,使其切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标.解：设所求曲线为()y y x =,则它在曲线上任一点的斜率'k y =. 过点(,)x y 的方程为'()Y y y Z x -=-. 依题意得'y xy x -=, 即'1yy x=-. 它对应的齐次方程'yy x=的通解为y Cx =. 它的一个特解为ln ||y x x =. 因此,所求曲线为ln ||y x x Cx =+. 3 解下列伯努利方程(2)4'20y xy xy ++= 解：原方程可化为43'2y y xy x --+=-.令$z=y^{-3}$, 则有63dzxz x dx-=. 它对应的齐次线性方程为6dzxz dx=. 当0z =时,有30y -=,得0y =;当0z ≠时,有6dzxdx z =,得23x z Ce =. 令23()x z C x e =为方程63dzxz x dx-=的一个解, 则有23'()3x C x xe -=.两边积分得2311()2x C x e C -=+,带回得原方程的通解为2312x z Ce =-,即23312x y Ce -=-.(4)2(cos sin )dy y y x x dx+=-解：方程两边同乘以2y --得21sin cos dy y y x x dx----=-.令1z y -=,则2dz dy y dx dx -=. 于是sin cos dz z x x dx-=-.该方程对应的齐次方程0dzz dx-=的通解为x z Ce =.由常数变易法得一个特解为sin z x =-.则它的通解为sin xz Ce x =-. 于是原方程的通解为1sin x yCe x -=-.另外，0y =也是原方程的解.6. 设()y x 在[0,)+∞上连续可微, 且 lim['()()]0x y x y x →+∞+=, 证明 lim ()0x y x →+∞=.证明：设 '()()()y x y x f x +=,则lim ()0x f x →+∞=,()()xs x xC f s e dsy x e+=⎰0ε∀>, 对充分大的1x , 当1x x >时, 有|()|f x ε<. 故11x xx x x|||()|()||+|()| e(x +)xs x xs s C f s e dsy x e C f s e ds e dsεε+≤≤→→∞⎰⎰⎰＋由ε的任意性有 lim ()0x y x →+∞=.习题1 (1) 222()0xydx x y dy +-= 解：因为2M N x y x∂∂==∂∂,所以方程是全微分方程. 于是方程的通解为233x y y C -=. (2)(2)0yye dx y xe dy ---+= 解：y M N e y x-∂∂=-=∂∂,所以方程是全微分方程. 于是方程的通解为2y xe y C --=. 2. 求下列方程的积分因子和积分. (1)22()0x y x dx xydy +++= 解：由于2M y y ∂=∂,Ny x∂=∂,所以方程不是全微分方程. 而11()M N N y x x∂∂-=∂∂只与x 有关,故可得积分因子为()x x μ=. 以积分因子乘以原方程两端,得全微分方程：3222()0x xy x dx x ydy +++=.则原方程的的通解为4223364x x y x C ++=.(2) 432422(22)(3)0yyxy e xy y dx x y e x y x dy +++--= 解：由于3428261y y M xy e xy e xy y ∂=+++∂, 42223y Nxy e xy x ∂=--∂, 所以方程不是全微分方程. 而14()M N M y x y ∂∂-=--∂∂只与y 有关,故可得积分因子为41()y yμ=. 以积分因子乘以原方程两端,得全微分方程：22324213(2)()0yyx x x xe dx x e dy y y y y+++--=.则原方程的的通解为223yx xx e C y y++=.(3)443()0x y dx xy dy +-= 解：因为34M y y ∂=∂,3Ny x∂=-∂,所以方程不是全微分方程. 而15()M N N y x x ∂∂-=-∂∂只与x 有关,用积分因子5x -乘以原方程两端，得全微分方程：15443()0x x y dx x y dy ---+-=.于是原方程的通解为444ln .x x y C --=(4)3222432(2422)2()0x y x y xy xy y dx y x y x dy +++++-+= 解：由于32344442M x y x xy xy y ∂=++++∂,42Nxy x∂=+∂,所以方程不是全微分方程.而1()2M N x N y x∂∂-=∂∂只与x 有关, 故积分因子为2()x x e μ=. 用积分因子乘以原方程两端，得全微分方程：223222432(2422)2()0x x x y x y xy xy y e dx y x y x e dy +++++-+=.于是原方程的通解为2224(24)x x y xy y e C ++=.习题1. 求解下列方程. (1)22'0y y -=解：因为(')(')0y y y y +-=,所以'y y =-或'y y =. 由'y y =-得xy Ce -=; 由'y y =得xy Ce =.因此原方程的通解为xy Ce ±=.(2) 38'27y y =解：令'p y =, 可得3827p y =. 此式关于x 求导数整理得2427dpp dx=. 于是22712p x C =+.从而原方程的通解为23()y x C =+. 另外,0y =也是原方程的解. (3) 22('1)1y y +=解：首先, 1y =±是方程的解. 令y t =,则'y t=. 于是dx ==,从而x C C =+=.由此可得原方程的通解为x C y t ⎧⎪+=⎨=⎪⎩即22()1x C y ++=. （4）22''(')x yy y xy =-解：方程关于,',''y y y 是齐次的,作代换zdxy e ⎰=可把方程降一阶，其中z 是x 的新的未知函数.故2',''(')zdx zdxy ze y z z e ⎰⎰==+.把,',''y y y 的表达式代入方程并消去2zdxy e ⎰=,得222(')(1)x z z xz +=-,或 2'21x z xz +=，这是线性方程,它的左边可以写成2()'1x z =,由此得21x z x C =+，或 121C z x x=+， 11221()ln ln C C zdx dx x C x x x=+=-+⎰⎰. 原方程的通解是 12ln /ln zdxx C x C y e e-+⎰==或 1/2C xy C xe-=．此外,方程还有解0y =.习题1.试绘出下列各方程的积分曲线图:(1) ay='(a为常数); (2) ;2xy='(3) yy='; (4) ;12xdxdy-=(5) .xdxdy=解：(1) 由于ayxf=),(, 不依赖于x和y,所以线素场的线素均平行, 其斜率为a. 从而可以根据线素场线素的趋势, 大体描出积分曲线.如图(1)所示.(2) 由于2),(xyxf=, 不依赖于y, 因而, 在直线kx=±上线素场的线素都平行, 其斜率为右端函数),(yxf横坐标的平方. 于是, 横坐标的绝对值越大, 线素场的方向越陡. 从而, 可以根据线素场线素的趋势, 大体上描出积分曲线. 如图(2)所示.(3) 由于yyxf=),(, 不依赖于x, 因而在直线ky=(k为常数)上, 线素场的线素都平行, 斜率为纵坐标的绝对值, 故当y>0时, 其积分曲线如图(3)所示; 当y<0时, 其积分曲线如图(4)所示.(4) 由于21),(xyxf-=, 不依赖于y, 所以, 可知在直线kx12-=上线素场的线素都平行, 其斜率为右端函数),(yxf横坐标平方的倒数的相反数. 于是, 横坐标越大,线素场的方向越平缓. 从而, 可以根据线素场线素图 (2)图(3)图(4)图 (5)图 (1)的趋势, 大体上描出积分曲线. 如图(5)所示.(5) 由于xyxf=),(, 不依赖于y, 因而在直线kx=(k为常数)上,线素场的线素都平行, 故当x>0时, 其积分曲线如图(6)所示; 当x<0时, 其积分曲线如图(7)所示.2. 试画出方程22yxdxdy-=在xoy平面上的积分曲线的大致图像.解：这个方程是不可积的, 但易于画出它的线素场. 在同一以原点为对称中心的双曲线上,线素场的线素都平行. 其斜率等于双曲线实半轴长的平方. 于是, 实半轴越长, 线素场的方向越陡. 从而,根据线素场线素的趋势, 大体上可以描出积分曲线.如图(8)所示.3. 试用欧拉折线法,取步长1.0=h,求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=1)1(,22yyxdxdy的解在4.1=x时的近似值.解令1=x,1=y.则,1.11.01=+=xx;2.11.0211=⋅+=y,2.11.012=+=xx;465.11.065.22.12=⋅+=y,3.11.023=+=xx;824.11.0586.3465.13=⋅+=y,4.11.034=+=xx.326.21.0017.5824.14=⋅+=y图 (8)图 (7)图(6)习题1. 试判断方程x x dxdytan =在区域 (1);0,11:1π≤≤≤≤-y x R(2)44,11:2ππ≤≤-≤≤-y x R上是否满足定理2.2的条件解：(1) 不满足. 因为在区域1R 上,右端函数y x y x f tan ),(=当2π=y 时不连续.(2) 满足. 因为在区域2R 上,右端函数y x y x f tan ),(=连续且2cos ),(2≤='yxy x f y 有界.2. 判断下列方程在什么样的区域上保证初值解存在且唯一 (1) 22y x y +='; (2) y x y sin +='; (3) 31-='xy ; (4) y y ='.解：(1) 因为22),(y x y x f +=及y y x f y 2),(='在整个xoy 平面上连续, 所以在整个xoy 平面上满足存在唯一性定理条件. 进而在xoy 平面上保证初值解存在且唯一.(2) 因为y x y x f sin ),(+=及y y x f y cos ),(='在整个xoy 平面上连续, 所以在整个xoy 平面上满足存在唯一性定理条件. 进而在xoy 平面上保证初值解存在且唯一.(3) 因为方程右端函数=),(y x f 31-x在除去y 轴外的整个xoy 平面上连续且0),(='y x f y , 所以在除去y 轴外的整个xoy 平面上初值解存在且唯一.(4) 因为方程右端函数=),(y x f y =⎪⎩⎪⎨⎧<-≥0,,0,y y y y 在整个xoy 平面上连续, 而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->='0,21,0,21),(y yy y y x f y 在除去x 轴外的整个xoy 平面上连续, 所以在除去x 轴外的整个xoy 平面上初值解存在且唯一.3. 讨论方程3123y dx dy = 在怎么样的区域中满足定理2.2的条件. 并求通过)0,0(的一切解.解：右端函数对y 的偏导数3221-=∂∂y y f , 显然它在任何一个不包含x 轴)0(=y 上的点的有界闭区域中是有界的, 因此在这种区域中解是存在唯一的. 即, 只有通过 0=y 上的点可能出现多个解的情况(方程右端的连续性保证在任何有界区域中,解是存在的).原方程分离变量得dx dy y 2331=-上式两端取积分得C x y 23232332-= 23)(C x y -±=其中.0)(≥-C x 此外有特解0=y . 因此过点)0,0(有无穷多个解(如图(9)所示) .0=y ,⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=Cx C x C x y ,)(,023 ⎪⎩⎪⎨⎧>--≤=.,)(,023C x C x C x y4. 试用逐次逼近法求方程2y x dx-=满足初值条件0)0(=y 的近似解: )(),(),(),(3210x x x x ϕϕϕϕ图(9)解：0)0()(0==y x ϕ 20121)0(0)(x ds s x x⎰=-+=ϕ52022220121])21([0)(x x ds s s x x-=-+=⎰ϕ.44001160120121])20121([0)(1185202523x x x x ds s s s x x -+-=--+=⎰ϕ5. 试用逐次逼近法求方程22x y dxdy-=满足初值条件1)0(=y 的近似解:)(),(),(210x x x ϕϕϕ解：1)0()(0==y x ϕ301311)1(0)(x x ds s x x-+=-+=⎰ϕ.631152611])311[1)(754202232x x x x x ds s s s x x+--++=--++=⎰ϕ6. 试证明定理2.2中的n 次近似解)(x n ϕ与精确解)(x ϕ有如下的误差估计式:1)!1()()(+-+≤-n nn x x n MN x x ϕϕ证：由⎰+=xx ds s s f y x 0))(,()(0ϕϕ 及迭代列00)(y x =ϕ,,2,1))(,()(010=+=⎰-n dss s f y x xx n n ϕϕ得000))(,()()(x x M ds s s f x x xx -≤≤-⎰ϕϕϕ设10)!1()()(+-+≤-n n n x x n MN x x ϕϕ则21111)!2()!1())(,())(,()()(00+++++-+≤-+≤-≤-⎰⎰n n x x n n zx n n x x n MN dsx s n MN dss s f s s f x x ϕϕϕϕ由归纳法可知,对任意n 次近似解, 估计式1)!1()()(+-+≤-n nn x x n MN x x ϕϕ 成立.7. 利用上面的估计式, 估计:(1) 4题中的三次近似)(3x ϕ 在21=x 和1=x 时的误差; (2) 5题中的二次近似)(2x ϕ在41=x 时的误差. 解：(1) 显然初值问题2y x dxdy-=, 0)0(=y 在区域1,1:≤≤y x R上存在唯一解, 由解的存在唯一性定理知,解的定义区间为0h x ≤其中),min(0Mba h =, =-=∈2),(m ax y x M R y x 2. 这里,1,1==b a 从而210=h ,即得解的定义区间为21≤x .则由误差估计公式1)!1()()(+-+≤-n nn x x n MN x y x y其中N 是李普希兹常数. 因为,22≤-=∂∂y yf可取 ,2=N 当21=x 时, 有 241)21(!422)()(433=⋅≤-x y x y .当1=x 时, 有32)1(!422)()(433=⋅≤-x y x y .(2) 显然初值问题22x y dxdy-=,1)0(=y 在区域11,1:≤-≤y x R 上存在唯一解, 由解的存在唯一性定理知, 解的定义区间为:0h x ≤其中),min(0Mba h =, =-=∈22),(m ax x y M R y x 4. 这里,1,1==b a 从而410=h ,即得解的定义区间为41≤x .则由误差估计公式1)!1()()(+-+≤-n nn x x n MN x y x y其中N 是李普希兹常数. 因为,22≤=∂∂y yf可取,2=N 则有 241)41(!324)()(322=⋅≤-x y x y .8. 在条形区域b x a ≤≤, +∞<y 内, 假设方程 的所有解都唯一, 对其中任意两个解)(),(21x y x y , 如果有)()(0201x y x y <, 则必有)()(21x y x y <, b x x ≤≤0.证：令=)(x ϕ)()(21x y x y -,由于)()(0201x y x y <,故0)()()(02010<-=x y x y x ϕ.用反证法 若在)(),(21x y x y 共同的存在区间内)()(21x y x y <不成立, 由)(x ϕ的连续性, 必存在点],[b a x ∈, 使得0)(=x ϕ. 从而0)()(21=-x y x y , 即)()(21x y x y =. 这于假设矛盾, 故必有)()(21x y x y <.。