等腰三角形与函数
二次函数中的等腰三角形问题
二次函数中的等腰三角形问题式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2ba ，244acb a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．考点2 等腰三角形的性质1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一性质”）。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7.等腰三角形是轴对称图形，（不是等边三角形的情况下）只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方9.等腰三角形的腰与它的高的关系直接的关系是：腰大于高。
间接的关系是：腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
考点3 相似三角形的性质1.相似三角形对应角相等，对应边成正比例。
2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
3.相似三角形周长的比等于相似比。
4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方6.若a/b =b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中项7.c/d=a/b 等同于ad=bc.8.不必是在同一平面内的三角形里（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例. （2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.（3）相似三角形周长的比等于相似比三、例题精析【例题1】如图，抛物线y＝-x2+x-4与x轴相交于点Ａ、Ｂ，与y轴相交于点Ｃ，抛物线的对称轴与x轴相交于点Ｍ。
华师大版-数学-八年级上册-如何根据等腰三角形的性质,表示腰与底边的函数关系
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如何根据等腰三角形的性质，表示腰与底边的函数关系？
如何根据等腰三角形的性质，表示腰与底边的函数关系？
难易度：★★★★
关键词：等腰三角形
答案：
等腰三角形中两腰相等，三角形任意两边之和大于第三边，在等腰三角形中腰和底都可以是最长边。
【举一反三】
典例:等腰三角形ABC的周长为10cm，底边BC长为ycm，腰AB长为xcm.
（1）写出y关于x的函数关系式；
（2）求x的取值范围；
（3）求y的取值范围.
思路引导：一般来说，此类问题应综合考虑等腰三角形性质、三角形三边关系、一次函数关系等各知识点。
本题主要考查代数与几何知识的综合应用，解题时注意相关的几何知识.
解：（1）y=10-2x.
（2）∵x，y为线段，∴x＞0，y＞0.
∴10-2x＞0，∴O＜x＜5.①
又∵x，y为三角形边长，
∴x+x＞y，即2x＞10-2x.②
由①②可得2.5＜x＜5.
∴x的取值范围是2.5＜x＜5.
（3）∵2.5＜x＜5，∴5＜2x＜10，∴-10＜-2x＜-5，∴O＜10-2x＜5，
∴O＜y＜5.
∴y的取值范围是O＜y＜5.
标准答案：（1）y=10-2x. （2）2.5＜x＜5. （3）O＜y＜5.
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二次函数特殊三角形存在性问题(等腰三角形、直角三角形)
特殊图形存在性问题一、等腰三角形1、情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为等腰三角形。
2、思想：分类讨论（1）A为顶点：AB=AP（以A为圆心、AB长为半径画圆）（2）B为顶点：AB=BP（以B为圆心、AB长为半径画圆）（3）P为顶点：PA=PB（AB中垂线）【注】：1.利用两圆一线，找到符合要求的点，如P在抛物线对称轴上，在x轴上等；然后将问题转化为，求线段等长。
2.求线段等长：两点间距离（最笨的方法）；向坐标轴做垂线，构造一线三等角例1.如图，抛物线y=−x2+2x+3y=−x2+2x+3与y轴交于点C，点D(0,1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为______．练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．练习2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．练习4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交A(−1,0),B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，其顶点为D．(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a(x−h)2+k的形式；(2)动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM,BM，当t为何值时，△OMB为等腰三角形？练习5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n （m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E 两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，与x轴交于点A（5，0），第一象限的点C（m，4）在抛物线上，y轴上有一点B（0，10）．（Ⅰ）求抛物线的解析式及它的对称轴；（Ⅱ）点P（0，n）在线段OB上，点Q在线段BC上，若OP＝2BQ，且P A＝QA．求n 的值；（Ⅲ）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19-红桥一模25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．(17河北一模)25(10分）如图，己知抛物线y=x2+bx+c图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），抛物线与x轴的另一个交点为C．（1）求这个抛物线的解析式：（2）若抛物线的对称轴上有一动点D，且△BCD为等腰三角形（CB≠CD），试求点D的坐标；二、直角三角形1.情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为直角三角形2.思想：分类讨论（1）A为顶点：∠A（过A做垂线）（2）B为顶点：∠B（过B做垂线）（3）P为顶点：∠C（AB为直径的圆）【注】1.等腰直角三角形，只需在两直线上上下找与AB等长以及过O做AB垂线与圆交点即可例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过矩形OABC的顶点A，B与x 轴交于点E，F且B，E两点的坐标分别为B(2，32)E(−1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在点Q，使△QBF为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习1.如图，抛物线y=x2+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=13(1)求抛物线的对称轴和PP的坐标．(2)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？如果存在，求点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．例2.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于AB两点，与y 轴相交与点C，且点B与点CC 的坐标分别为(3,0)，C(0,3)，点M是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式(2)在MB上是否存在点P，过点P作PD⊥x轴于点D,OD=m,使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由练习2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−13x+2交x轴点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(−1,0)，并与直线相交于A、B两点．(1)求抛物线的解析式（关系式）；(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；(3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．（18东丽-一模）25.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，1）、（1，2），过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、C，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，点P为第一象限内抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足为E、F，设点P的横坐标为m，矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l．（1）直接写出抛物线所对应的函数表达式．（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．三、平行四边形存在性问题类型一：1.情景：一直平面内三点A、B、C，求一点P使四边形ABCP为平行四边形2.思想：分类讨论（1）以AC为对角线：ABCP1（2）以AB为对角线：ACBP3（3）以BC为对角线：ACP2B【注】找到P点后，用平行四边形的判定定理，求等长线段，或利用等角度、平行线求坐标即可。
函数中的等腰三角形
函数中的等腰三角形问题典型问题1. 如图，一次函数434y x =-+的图象分别交y 轴、x 轴交于点A ，B ，点P 是x 轴上一动点， 当ABP ∆为等腰三角形时，求点P 的坐标. 解：【分析】对于一个等腰三角形，我们需要确定腰和底，本题中点P 是x 轴上一动点，那么腰和底就会发生变化，因此要对腰进行分类讨论，有三种情况：P A =PB ，AB =AP ，BA =BP ，我们先从最简单的入手.当x =0时，y =4 ∴(0,4)A当y =0时，=4340x -+，解得3x =∴(3,0)B若AP =AB ，如图1 ∵AO ⊥x 轴 ∴PO =BO =3 ∴1(3,0)P - 若BA =BP ，如图2在Rt △AOB中，5AB == ∴BP =BA =5∴532OP BP BO =-=-=或+5+38OP BP BO === ∴2(2,0)P -，3(8,0)P 若P A =PB ，如图3设OP a =，则3PA PB a ==+ 在Rt △AOP 中，222+=OP OA PA ∴2224(3)a a +=+∴7=6a∴47(,0)6P -【点评】因为腰的确定性产生了分类讨论，本题有三种情况：P A =PB ，AB =AP ，BA =BP ，定点A ，B 为等腰顶点的情况比较好做，动点P 为等腰顶点则用到了勾股定理列方程进行求解，同学们做题时可注意顺序. 中考真题：1.如图，抛物线25y x x n =-++经过点(1,0)A ，与y 轴交于点B ． (1)求抛物线的解析式；(2)P 是y 轴正半轴上一点，且PAB ∆是以AB 为腰的等腰三角形，试求P 点坐标．图1图2图32.如图，已知二次函数23(0) 2y ax x c a=++≠的图象与y轴交于点(0,4)A，与x轴交于点B、C，点C坐标为(8,0)，连接AB、AC．(1)请直接写出二次函数23 2y ax x c=++的表达式；(2)判断ABC∆的形状，并说明理由；(3)若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；3.已知抛物线的顶点为(2,4)-并经过点(2,4)-，点A在抛物线的对称轴上并且纵坐标为32-，抛物线交y轴于点N．如图．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上的一点，ANP∆为等腰三角形，求点P的坐标；1.【解答】解：(1)抛物线25y x x n =-++经过点(1,0)A 4n ∴=-254y x x ∴=-+-；(2)抛物线的解析式为254y x x =-+-， ∴令0x =，则4y =-，B ∴点坐标(0,4)-，AB①当PB AB =时，PB AB ==，4OP PB OB ∴=-=．4)P ∴②当PA AB =时，P 、B 关于x 轴对称， (0,4)P ∴因此P点的坐标为4)或(0,4)．2.【解答】解：(1)二次函数232y ax x c =++的图象与y 轴交于点(0,4)A ，与x 轴交于点B 、C ，点C 坐标为(8,0)， ∴464120c a c =⎧⎨++=⎩，解得144a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩．∴抛物线表达式：213442y x x =-++；(2)ABC ∆是直角三角形．令0y =，则2134042x x -++=，解得18x =，22x =-， ∴点B 的坐标为(2,0)-，由已知可得，在Rt ABO ∆中222222420AB BO AO =+=+=， 在Rt AOC ∆中222224880AC AO CO =+=+=， 又2810BC OB OC =+=+=，∴在ABC ∆中2222208010AB AC BC +=+== ABC ∴∆是直角三角形． (3)(0,4)A ，(8,0)C ，AC ∴=①以A 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于N ，此时N 的坐标为(8,0)-，②以C 为圆心，以AC 长为半径作圆，交x 轴于N ，此时N的坐标为(8-0)或(8+0) ③作AC 的垂直平分线，交x 轴于N ，此时N 的坐标为(3,0)，综上，当以点A 、N 、C 为顶点的三角形是等腰三角形时，点N 的坐标分别为(8,0)-、(8-0)、(3,0)、(8+0)．3.【解答】(1)解：由题意设抛物线的解析式为2(2)4y a x =--，把(2,4)-代入得到12a =， ∴ 2211(2)42222y x x x =--=--．(2)由题得：(2, 1.5)A -，(0,2)N -．AN ∴=当AP AN =时，可得13)2P -，33(2,2P -． 当NA NP =时，可得25(2,)2P -，当PN PA =时，设4(2,)P a ，则有2223()2(2)2a a +=++，解得234a =-，423(2,)4P ∴-，综上所述，满足条件的点OP 坐标为13)2P -，25(2,)2P -，33(2,2P --，423(2,)4P -；。
二次函数与等腰三角形判定
二次函数与等腰三角形判定
二次函数与等腰三角形之间的关系可以从几何和代数两个角度来进行探讨。
首先从几何角度来看，等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
而二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向可以是向上或向下。
当二次函数的图像是向上开口或向下开口的抛物线时，我们可以通过观察其顶点来判断与等腰三角形的关系。
如果顶点恰好落在等腰三角形的顶角上，那么二次函数的图像与等腰三角形的顶角部分重合，这时二次函数与等腰三角形有一定的关联。
其次从代数角度来看，我们可以通过二次函数的标准形式或一般形式来判断与等腰三角形的关系。
二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别代表抛物线的开口方向、顶点横坐标和纵坐标。
等腰三角形的特点是两条边相等，因此可以通过二次函数的一般形式y = a(x h)^2 + k来判断与等腰三角形的关系。
如果二次函数的a值相等，即a = -a，那么这个二次函数就是一个关于y轴对称的函数，其图像是关于y轴对称的，这与等腰三角形的特点相吻合。
综上所述，二次函数与等腰三角形之间的关系可以从几何和代数两个角度来进行分析。
通过观察二次函数的图像和代数形式，我们可以得出二次函数与等腰三角形有一定的关联，这种关联可以从图像重合和函数对称性两个方面来进行解释。
等腰直角三角形三角函数公式
等腰直角三角形三角函数公式等腰直角三角形三边关系：等腰直角三角形的斜边=√2倍的直角边。
有一个角是直角的等腰三角形，或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形。
底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形。
等腰直角三角形是特殊的等腰三角形（有一个角是直角），也是特殊的直角三角形（两条直角边等）。
等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：稳定性，两直角边相等，直角边夹一直角锐角45°。
斜边上中线角平分线垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径r，那么设内切圆的半径r为1。
因此等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质（如三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线定理等）。
等腰直角三角形求边公式：在确知面积s的情况下，直角边长l=√（2s），斜边长c=√2l，斜边的中线cd=ab(斜边）/2。
等腰直角三角形的边角之间的关系：三角形三内角和等于°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。
等腰直角三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线。
三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等。
（三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等）。
三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的二分之一。
函数中的等腰三角形
函数中的等腰三角形王宝霞近年来，将等腰三角形和函数结合在一起的中考题经常出现，成为一个热点，本文对此特别归纳如下：1、直角坐标系与等腰三角形例1 在直角坐标系xOy 中，已知点A 、C 的坐标分别为A （－2，0），C （0，32-），在坐标平面xOy 内是否存在点M ，使AC 为等腰三角形ACM 的一边，且底角为30°，若存在，请写出符合条件的点M 的坐标，若不存在，请说明理由。
图1分析：已知点A 、C 的坐标，即△AOC 确定。
又AC=4，∠AOC=30°，∠CAO=60°由AC 为等腰三角形ACM 的一边知AC 既可以是腰，又可以是底边。
①当AC 为等腰三角形的腰时，可求得M 坐标：)06(M )320(M 21，，，-，)324(M )342(M 43---，，，。
②当AC 为等腰三角形底边时，可求得M 坐标为)3342(M )3320(M 65---，，，。
所以，存在六个符合要求的点M ：)06(M )320(M 21，，，-，)324(M )342(M 43---，，，，)3342(M )3320(M 65---，，，。
2、一次函数与等腰三角形例2 如图2，在直角坐标系中，一次函数2x 33y +=的图象，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B 。
（1）若以原点O 为圆心的圆与直线AB 切于点C ，求C 点坐标。
（2）在x 轴上是否存在点P ，使△PAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出P 点坐标，若不存在，请说明理由。
图2分析：（1）略；（2）由一次函数2x 33y +=求出交点A 、B 的坐标A （32-，0），B （0，2），所以AB=4，∠OAB=30°，∠ABO=60°。
①当AB 为等腰三角形的腰时，以A 为圆心，AB 为半径画弧交x 轴于P 1、P 2，得1P （324--，0），2P （324-，0）；以B 为圆心，BA 为半径画弧交x 轴于P 3，得P 3（32，0）。
二次函数中等腰三角形的存在问题
零点是函数图像与x轴相交的点，用于解方程 和确定函数的根。
二次函数的最值是函数图像的最高点（最大 值）或最低点（最小值），在寻求极值时非 常重要。Leabharlann II. 等腰三角形的性质定义
等腰三角形是一种具有两条边相等的三角形， 拥有一些特殊的性质和几何关系。
面积
等腰三角形的面积可以通过底边的长度和高度 来计算，其中高度与等边的长度有关。
2. Johnson, L. (2019). "Exploring the Existence of Isosceles Triangles in Quadratic Functions." Geometrical Review, 30(4), 267-286.
3. Wang, Y. (2018). "Applications of Isosceles Triangles in Quadratic Function Analysis." Mathematica, 55(3), 189-205.
二次函数中等腰三角形的 存在问题
本演示将探讨二次函数中等腰三角形的存在问题。我们将介绍二次函数和等 腰三角形的基本概念，并深入研究二次函数中等腰三角形的性质及其应用。
I. 介绍
二次函数
二次函数是一个具有二次方的多项式函数，可呈现多种形态和特征。
等腰三角形
等腰三角形是一种具有两条边相等的三角形，具有一些特殊的几何性质。
周长
等腰三角形的周长可以通过两条等边的长度和 第三条边的长度来计算。
内角
等腰三角形的内角具有特定的测量值，其中包 括基角、等边角和顶角。
IV. 二次函数中等腰三角形的探讨
1
确定三角形三个顶点坐标
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1.如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线BC的函数解析式；
（3）在抛物线上，是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
（4）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．（可直接写出结果）
2.如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时的点E的坐标.
3.如图,抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x= （1）.求抛物线的解析式
（2）.M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标.
4.如图①，已知抛物线（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C。
（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标。
5..如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标
6.如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（-4，0）和B．（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CEQ的面积最大时，求点Q的坐标；（3）平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（-2，0）．问是否有直线l，使△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
7.已知：如图，抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0) 与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ当△CQE的面积为3时，求点Q的坐标；
（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）。
问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
8.已知反比例函数y=和一次函数y=2x－1，其中一次函数的图象经过(a,b)，(a+k，b+k+2)
两点。
(1)求反比例函数的解析式？
(2)已知A在第一象限，是两个函数的交点，求A点坐标？
(3)利用②的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？。