2020-2022中考湖北专用专题03 整式与因式分解(原卷版)
专题03 整式的运算与因式分解篇(解析版)-2023年中考数学必考考点总结
知识回顾专题03整式的运算与因式分解2023年中考数学必考考点总结1.合并同类型：法则：“一相加，两不变”，即系数相加，字母与字母的指数不变照写。
2.整式的加减的实质：合并同类项。
3.整式的乘除运算：①单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘，其中一个因式单独存在的字母连同它的指数作为积的一个因式。
②单项式×多项式：单项式乘以多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。
③多项式×多项式：用其中一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。
④单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，被除数中单独存在的字母连同它的指数作为商的一个因式。
4.乘法公式：①平方差公式：()()22b a b a b a -=-+。
②完全平方公式：()2222b ab a b a +±=±。
5.因式分解的方法：①提公因式法：()c b a m cm bm am ++=++；②公式法：平方差公式：()()b a b a b a -+=-22完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±。
③十字相乘法：在c bx x ++2中，若()均为整数，且n m b n m mn c =+=，则：()()n x m x c bx x ++=++2。
专题练习31．（2022•湖北）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy）＝4xy﹣2xy+3xy＝5xy，当x＝2，y＝﹣1时，原式＝5×2×（﹣1）＝﹣10．32．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入即可．【解答】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9＝2x2﹣6x﹣7，∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，∴2x2﹣6x＝﹣2，∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．33．（2022•长春）先化简，再求值：2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝2﹣4．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：（2+a）（2﹣a）+a（a+1）＝4﹣a2+a2+a＝4+a，当a＝﹣4时，原式＝4+﹣4＝．34．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+2x＝2代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：x（x+2）+（x+1）2＝x2+2x+x2+2x+1＝2x2+4x+1，∵x 2+2x ﹣2＝0，∴x 2+2x ＝2，∴当x 2+2x ＝2时，原式＝2（x 2+2x ）+1＝2×2+1＝4+1＝5．35．（2022•广西）先化简，再求值：（x +y ）（x ﹣y ）+（xy 2﹣2xy ）÷x ，其中x ＝1，y ＝21．【分析】根据平方差公式和多项式除以单项式，可以将题目中的式子化简，然后将x 、y 的值代入化简后的式子计算即可．【解答】解：（x +y ）（x ﹣y ）+（xy 2﹣2xy ）÷x＝x 2﹣y 2+y 2﹣2y＝x 2﹣2y ，当x ＝1，y ＝时，原式＝12﹣2×＝0．36．（2022•衡阳）先化简，再求值．（a +b ）（a ﹣b ）+b （2a +b ），其中a ＝1，b ＝﹣2．【分析】根据平方差公式以及单项式乘多项式的运算法则化简后，再把a ＝1，b ＝﹣2代入计算即可．【解答】解：（a +b ）（a ﹣b ）+b 2a +b ）＝a 2﹣b 2+2ab +b 2＝a 2+2ab ，将a ＝1，b ＝﹣2代入上式得：原式＝12+2×1×（﹣2）＝1﹣4＝﹣3．37．（2022•丽水）先化简，再求值：（1+x ）（1﹣x ）+x （x +2），其中x ＝21．【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简，再把x ＝代入计算即可．【解答】解：（1+x ）（1﹣x ）+x （x +2）＝1﹣x 2+x 2+2x＝1+2x ，当x ＝时，原式＝1+＝1+1＝2．38．（2022•南充）先化简，再求值：（x +2）（3x ﹣2）﹣2x （x +2），其中x ＝3﹣1．【分析】提取公因式x +2，再利用平方差公式计算，再代入计算．【解答】解：原式＝（x +2）（3x ﹣2﹣2x ）＝（x +2）（x ﹣2）＝x 2﹣4，当x ＝﹣1时，原式＝（﹣1）2﹣4＝﹣2．39．（2022•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣3|﹣12．（2）先化简，再求值：（x +3）2+（x +3）（x ﹣3）﹣2x （x +1），其中x ＝21．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先去括号，再合并同类项，然后把x 的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．【解答】解：（1）（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣＝1+1+2×+﹣1﹣2＝2++﹣1﹣2＝1；（2）（x +3）2+（x +3）（x ﹣3）﹣2x （x +1）＝x 2+6x +9+x 2﹣9﹣2x 2﹣2x＝4x ，当x ＝时，原式＝4×＝2．40．（2022•岳阳）已知a 2﹣2a +1＝0，求代数式a （a ﹣4）+（a +1）（a ﹣1）+1的值．【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．【解答】解：a （a ﹣4）+（a +1）（a ﹣1）+1＝a 2﹣4a +a 2﹣1+1＝2a 2﹣4a＝2（a 2﹣2a ），∵a 2﹣2a +1＝0，∴a 2﹣2a ＝﹣1，∴原式＝2×（﹣1）＝﹣2．41．（2022•苏州）已知3x 2﹣2x ﹣3＝0，求（x ﹣1）2+x （x +32）的值．【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而合并同类项，再结合已知代入得出答案．【解答】解：原式＝x 2﹣2x +1+x 2+x＝2x 2﹣x +1，∵3x 2﹣2x ﹣3＝0，∴x 2﹣x ＝1，∴原式＝2（x 2﹣x ）+1＝2×1+1＝3．42．（2022•荆门）已知x +x1＝3，求下列各式的值：（1）（x ﹣x 1）2；（2）x 4+41x ．【分析】（1）利用完全平方公式的特征得到：（a ﹣b ）2＝（a +b ）2﹣4ab ，用上述关系式解答即可；（2）将式子用完全平方公式的特征变形后，利用整体代入的方法解答即可．【解答】解：（1）∵，∴＝＝＝﹣4x •＝32﹣4＝5；（2）∵＝，∴＝+2＝5+2＝7，∵＝，∴＝﹣2＝49﹣2＝47．43．（2022•无锡）计算：（1）|﹣21|×（﹣3）2﹣cos60°；（2）a （a +2）﹣（a +b ）（a ﹣b ）﹣b （b ﹣3）．【分析】（1（2）根据单项式乘多项式，平方差公式化简，去括号，合并同类项即可．【解答】解：（1）原式＝×3﹣＝﹣＝1；（2）原式＝a 2+2a ﹣（a 2﹣b 2）﹣b 2+3b＝a 2+2a ﹣a 2+b 2﹣b 2+3b＝2a +3b ．44．（2022•安徽）观察以下等式：第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．【解答】解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，证明：左边＝4n2+4n+1，右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边．∴等式成立．45．（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．【分析】（1）用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解即可；（2）用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解即可；（3）先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值即可．【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a+1）；（2）原式＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2）＝x（a﹣b）+（a﹣b）2＝（a﹣b）（x+a﹣b）；（3）原式＝（a4+2a2b2+b4）﹣（2ab3+2a3b）＝（a2+b2）2﹣2ab（a2+b2）＝（a2+b2）（a2+b2﹣2ab）＝（a2+b2）（a﹣b）2，∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，∴a2+b2＝32＝9，（a﹣b）2＝1，∴原式＝9．。
2020年中考数学：整式与因式分解习题(含答案)
=4ab.
当 a=-2,b= 时,
原式= 4×(-2)×
=-4
19.[2018·吉林] 某同学化简 a(a+2b)-(a+b)(a-b)出现了错误,解答过程如下:
原式=a2+2ab-(a2-b2)(第一步)
=a2+2ab-a2-b2(第二步)
=2ab-b2.(第三步)
(1)该同学解答过程从第
步开始出错,错误原因是
;
(2)写出此题正确的解答过程.
解:(1)二 去括号时没有变号
2)原式= a2+2ab-(a2-b2) =a2+2ab-a2+b2 =2ab+b2.
20.[2018·德州] 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中,用图
K2-3 的三角形解释二项式(a+b)n 的展开式的各项系数,此三角形称为“杨辉三
13.[2018· 成 都 ] 已 知 x+y=0.2,x+3y=1, 则 代 数 式 x2+4xy+4y2 的 值
为 0.36 .
14.[2018·临沂] 已知 m+n=mn,则(m-1)(n-1)= 1
.
15.[2017·安顺] 若代数式 x2+kx+25 是一个完全平方式,则 k= 5,—5 .
第三节整式与因式分解
主讲人：明川教育
一、相关概念
1、单项式：由数字或 字母的积组成的式子。 单个数字或字母也是单项式 例如：π/2, -m, 9/7 ,7, -abcd, -62a2
2、单项式的系数和次数： 单项式的系数：单项式中的数字因数。 单项式次数：单项式中所有字母的指数的和
湖北省2019年、2020年数学中考试题分类(2)—整式、因式分解(含解析)
湖北省2019年、2020年数学中考试题分类（2）——整式、因式分解一．选择题（共22小题） 1．（2020•十堰）根据图中数字的规律，若第n 个图中出现数字396，则(n = )A ．17B ．18C ．19D ．20 2．（2020•武汉）下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L ”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的32⨯方格纸片．把“L ”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法．图（4）是一张由36个小正方形组成的66⨯方格纸片，将“L ”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n 种不同放置方法，则n 的值是( )A ．160B ．128C ．80D ．48 3．（2019•十堰）一列数按某规律排列如下：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，⋯，若第n 个数为57，则(n = )A ．50B ．60C ．62D ．71 4．（2019•武汉）观察等式：232222+=-；23422222++=-；2345222222+++=-⋯已知按一定规律排列的一组数：502、512、522、⋯、992、1002．若502a =，用含a 的式子表示这组数的和是( ) A ．222a a - B ．2222a a -- C ．22a a - D ．22a a + 5．（2018•随州）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10)⋯和“正方形数”（如1，4，9，16)⋯，在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m ，最大的“正方形数”为n ，则m n +的值为( )A ．33B ．301C ．386D ．571 6．（2020•黄石）下列运算正确的是( ) A ．835a b ab -= B ．235()a a = C ．933a a a ÷= D ．23a a a =7．（2020•十堰）下列计算正确的是( ) A ．23a a a +=B ．632a a a ÷=C ．2363()a b a b -=D ．2(2)(2)4a a a -+=- 8．（2020•恩施州）下列计算正确的是( ) A ．236a a a = B ．2(1)a a a a +=+ C ．222()a b a b -=- D ．235a b ab += 9．（2020•孝感）下列计算正确的是( ) A ．235a b ab += B ．22(3)9ab ab = C ．236a b ab = D ．222ab b b ÷= 10．（2020•黄冈）下列运算正确的是( ) A ．223m m m += B ．326236m m m = C ．33(2)8m m = D ．623m m m ÷= 11．（2020•咸宁）下列计算正确的是( ) A ．32a a -= B ．23a a a = C ．623a a a ÷= D ．224(3)6a a =12．（2020•鄂州）下列运算正确的是( ) A ．2235x x x +=B ．33(2)6x x -=-C ．325236x x x =D ．2(32)(23)94x x x +-=- 13．（2020•襄阳）下列运算一定正确的是( )A ．2a a a +=B ．236a a a =C ．3412()a a =D ．22()ab ab = 14．（2020•枣庄）图（1）是一个长为2a ，宽为2()b a b >的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是( )A ．abB ．2()a b + C ．2()a b - D ．22a b -15．（2019•荆门）下列运算不正确的是( ) A ．1(1)(1)xy x y x y +--=-+B ．22221()2x y z xy yz zx x y z +++++=++C ．2233()()x y x xy y x y +-+=+D ．33223()33x y x x y xy y -=-+- 16．（2019•宜昌）下列计算正确的是( ) A ．321ab ab -= B ．224(3)9a a = C ．623a a a ÷= D ．22326a a a = 17．（2019•十堰）下列计算正确的是( ) A ．222a a a +=B ．22()a a -=-C ．22(1)1a a -=-D ．222()ab a b = 18．（2019•宜昌）化简2(3)(6)x x x ---的结果为( ) A ．69x - B ．129x -+ C ．9 D ．39x + 19．（2019•襄阳）下列运算正确的是( ) A ．32a a a -= B ．236a a a = C ．623a a a ÷= D ．236()a a --=20．（2019•随州）下列运算正确的是( ) A ．44m m -=B ．235()a a =C ．(x y + 222)x y =+D ．(1)1t t --=- 21．（2019•鄂州）下列运算正确的是( ) A ．326a a a =B ．734a a a ÷=C ．22(3)6a a -=-D ．22(1)1a a -=-22．（2019•黄石）化简1(93)2(1)3x x --+的结果是( )A ．22x -B ．1x +C ．53x +D ．3x -二．填空题（共12小题） 23．（2020•十堰）已知23x y +=，则124x y ++= ．24．（2020•咸宁）按一定规律排列的一列数：3，23，13-，33，43-，73，113-，183，⋯，若a ，b ，c 表示这列数中的连续三个数，猜想a ，b ，c 满足的关系式是 ． 25．（2019•恩施州）观察下列一组数的排列规律： 13，15，25，19，29，13，117，217，317，417，133，233，111，433，533，⋯ 那么，这一组数的第2019个数是 ． 26．（2019•咸宁）有一列数，按一定规律排列成1，2-，4，8-，16，32-，⋯，其中某三个相邻数的积是124，则这三个数的和是 ． 27．（2019•黄石）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是 ．28．（2020•宜昌）数学讲究记忆方法．如计算52()a 时若忘记了法则，可以借助52555510()a a a a a +=⨯==，得到正确答案．你计算2537()a a a -⨯的结果是 ．29．（2019•黄冈）212x y -是 次单项式．30．（2020•黄石）因式分解：33m n mn -= ． 31．（2020•鄂州）因式分解：221218m m -+= ． 32．（2020•咸宁）因式分解：22mx mx m -+= ． 33．（2019•鄂州）因式分解：244ax ax a -+= ． 34．（2019•黄石）分解因式：2224x y x -= ． 三．解答题（共5小题） 35．（2020•荆门）先化简，再求值：22(2)(2)()2(2)(2)x y x y x x y x y x y +++-+-++，其中21x =+，21y =．36．（2020•随州）先化简，再求值：(2)2()a a b b a b +-+，其中5a =，3b =．37．（2020•襄阳）先化简，再求值：2(23)(2)(2)2(35)x y x y x y y x y +-+--+，其中2x =，61y =． 38．（2019•武汉）计算：2324(2)x x x -．39．（2019•随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m ，n ，我们可将这个两位数记为mn ，易知10mn m n =+；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如10010abc a b c =++． 【基础训练】（1）解方程填空：①若2345x x +=，则x = ； ②若7826y y -=，则y = ； ③若9358131t t t +=，则t = ； 【能力提升】（2）交换任意一个两位数mn 的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm ，则mn nm +一定能被 整除，mn nm -一定能被 整除，mn nm mn -一定能被 整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空） 【探索发现】（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532235297)-=，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”． ①该“卡普雷卡尔黑洞数”为 ；②设任选的三位数为abc （不妨设)a b c >>，试说明其均可产生该黑洞数．湖北省2019年、2020年数学中考试题分类（2）——整式、因式分解一．选择题（共22小题） 1．（2020•十堰）根据图中数字的规律，若第n 个图中出现数字396，则(n = )A ．17B ．18C ．19D ．20 【解答】解：根据图形规律可得：上三角形的数据的规律为：2(1)n n +，若2(1)396n n +=，解得n 不为正整数，舍去；下左三角形的数据的规律为：21n -，若21396n -=，解得n 不为正整数，舍去； 下中三角形的数据的规律为：21n -，若21396n -=，解得n 不为正整数，舍去；下右三角形的数据的规律为：(4)n n +，若(4)396n n +=，解得18n =，或22n =-，舍去 故选：B ．【点评】本题考查了图形中有关数字的规律，能准确观察到相关规律是解题的关键． 2．（2020•武汉）下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L ”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的32⨯方格纸片．把“L ”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法．图（4）是一张由36个小正方形组成的66⨯方格纸片，将“L ”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n 种不同放置方法，则n 的值是( )A ．160B ．128C ．80D ．48 【解答】解：观察图象可知（4）中共有45240⨯⨯=个32⨯的长方形， 由（3）可知，每个32⨯的长方形有4种不同放置方法， 则n 的值是404160⨯=． 故选：A ．【点评】此题考查了规律型：图形的变化类，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．3．（2019•十堰）一列数按某规律排列如下：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，⋯，若第n 个数为57，则(n = )A ．50B ．60C ．62D ．71【解答】解：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，⋯，可写为：11，1(2，2)1，1(3，22，3)1，1(4，23，32，4)1，⋯， ∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为1234567891011,,,,,,,,,,1110987654321，∴第n 个数为57，则123410560n =++++⋯++=，故选：B ．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律． 4．（2019•武汉）观察等式：232222+=-；23422222++=-；2345222222+++=-⋯已知按一定规律排列的一组数：502、512、522、⋯、992、1002．若502a =，用含a 的式子表示这组数的和是( ) A ．222a a - B ．2222a a -- C ．22a a - D ．22a a +【解答】解：232222+=-； 23422222++=-； 2345222222+++=-； ⋯231222222n n +∴+++⋯+=-， 5051529910022222∴+++⋯++231002349(2222)(2222)=+++⋯+-+++⋯+10150(22)(22)=---1015022=-， 502a =，10150222(2)22a ∴==，∴原式22a a =-． 故选：C ．【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：231222222n n ++++⋯+=-． 5．（2018•随州）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10)⋯和“正方形数”（如1，4，9，16)⋯，在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m ，最大的“正方形数”为n ，则m n +的值为( )A ．33B ．301C ．386D ．571【解答】解：由图形知第n 个三角形数为(1)1232n n n ++++⋯+=，第n 个正方形数为2n ， 当19n =时，(1)1902002n n +=<，当20n =时，(1)2102002n n +=>， 所以最大的三角形数190m =；当14n =时，2196200n =<，当15n =时，2225200n =>， 所以最大的正方形数196n =， 则386m n +=， 故选：C ．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是由图形得出第n 个三角形数为(1)1232n n n ++++⋯+=，第n 个正方形数为2n ． 6．（2020•黄石）下列运算正确的是( ) A ．835a b ab -=B ．235()a a =C ．933a a a ÷=D ．23a a a =【解答】解：A ．不是同类项不能合并，选项错误； B ．原式236a a ⨯==，选项错误； C ．93936a a a a -÷==，选项错误； D ．2213a a a a +==，选项正确． 故选：D ．【点评】本题主要考查了合并同类项法则和幂的运算法则，熟记法则是解题的关键． 7．（2020•十堰）下列计算正确的是( ) A ．23a a a += B ．632a a a ÷=C ．2363()a b a b -=D ．2(2)(2)4a a a -+=-【解答】解：A 、a 与2a 不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； B 、633a a a ÷=，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、2363()a b a b -=-，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、2(2)(2)4a a a -+=-，原计算正确，故此选项符合题意， 故选：D ．【点评】此题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟知公式和运算法则． 8．（2020•恩施州）下列计算正确的是( )A ．236a a a =B ．2(1)a a a a +=+C ．222()a b a b -=-D ．235a b ab +=【解答】解：A 、235a a a =，原计算错误，故此选项不符合题意； B 、2(1)a a a a +=+，原计算正确，故此选项符合题意；C 、222()2a b a ab b -=-+，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、2a 与3b 不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B ．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，单项式乘多项式，完全平方公式以及合并同类项，解此题的关键在于熟练掌握其知识点． 9．（2020•孝感）下列计算正确的是( )A ．235a b ab +=B ．22(3)9ab ab =C ．236a b ab =D ．222ab b b ÷= 【解答】解：2a 和3b 不是同类项，不能计算，因此选项A 不符合题意； 222(3)9ab a b =，因此选项B 不符合题意； 236a b ab =，因此选项C 符合题意；222ab b ab ÷=，因此选项D 不符合题意； 故选：C ．【点评】本题考查单项式乘以多项式、积的乘方幂的乘方以及整式加减的计算法则，掌握计算法则是正确计算的前提． 10．（2020•黄冈）下列运算正确的是( ) A ．223m m m += B ．326236m m m = C ．33(2)8m m = D ．623m m m ÷=【解答】解：23m m m +=，因此选项A 不符合题意； 325236m m m =，因此选项B 不符合题意； 3333(2)28m m m ==，因此选项C 符合题意；62246m m m m -÷==，因此选项D 不符合题意； 故选：C ．【点评】本题考查合并同类项的法则、同底数幂的乘除法以及幂的乘方、积的乘方的计算方法，掌握计算法则是得出正确答案的前提． 11．（2020•咸宁）下列计算正确的是( )A ．32a a -=B ．23a a a =C ．623a a a ÷=D ．224(3)6a a =【解答】解：3a a a -=，因此选项A 计算错误，不符合题意； 23a a a =，因此选项B 计算正确，符合题意；624a a a ÷=，因此选项C 计算错误，不符合题意；2244(3)96a a a =≠，因此选项D 计算错误，不符合题意． 故选：B ．【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法和乘法以及积的乘方等运算法则，属于基本题型，熟练掌握上述基础知识是关键． 12．（2020•鄂州）下列运算正确的是( )A ．2235x x x +=B ．33(2)6x x -=-C ．325236x x x =D ．2(32)(23)94x x x +-=- 【解答】解：A 、235x x x +=，故原题计算错误； B 、33(2)8x x -=-，故原题计算错误；C 、325236x x x =，故原题计算正确；D 、2(32)(23)49x x x +-=-，故原题计算错误； 故选：C ．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，关键是熟练掌握合并同类项法则、积的乘方的性质、单项式乘以单项式计算法则、平方差公式． 13．（2020•襄阳）下列运算一定正确的是( )A ．2a a a +=B ．236a a a =C ．3412()a a =D ．22()ab ab =【解答】解：A ．2a a a +=，故本选项不合题意； B ．235a a a =，故本选项不合题意；C ．3412()a a =，故本选项符合题意；D ．222()ab a b =，故本选项不合题意． 故选：C ．【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 14．（2020•枣庄）图（1）是一个长为2a ，宽为2()b a b >的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是( )A ．abB ．2()a b + C ．2()a b - D ．22a b - 【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是2a b b a b +-=-， 则面积是2()a b -．故选：C ．【点评】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键． 15．（2019•荆门）下列运算不正确的是( ) A ．1(1)(1)xy x y x y +--=-+B ．22221()2x y z xy yz zx x y z +++++=++C ．2233()()x y x xy y x y +-+=+D ．33223()33x y x x y xy y -=-+-【解答】解：1(1)(1)(1)(1)xy x y x y y x y +--=+-+=-+，A 正确，不符合题意；2222221[()()()]2x y z xy yz zx x y x z y z +++++=+++++，B 错误，符合题意；2233()()x y x xy y x y +-+=+，C 正确，不符合题意；33223()33x y x x y xy y -=-+-，D 正确，不符合题意； 故选：B ．【点评】本题考查的是因式分解、多项式乘多项式，掌握它们的一般步骤、运算法则是解题的关键． 16．（2019•宜昌）下列计算正确的是( ) A ．321ab ab -= B ．224(3)9a a = C ．623a a a ÷= D ．22326a a a =【解答】解：A 、32ab ab ab -=，故此选项错误； B 、224(3)9a a =，正确；C 、624a a a ÷=，故此选项错误；D 、23326a a a =，故此选项错误． 故选：B ．【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 17．（2019•十堰）下列计算正确的是( )A ．222a a a +=B ．22()a a -=-C ．22(1)1a a -=-D ．222()ab a b =【解答】解：A 、23a a a +=，故此选项错误； B 、22()a a -=，故此选项错误；C 、22(1)21a a a -=-+，故此选项错误；D 、222()ab a b =，正确． 故选：D ．【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 18．（2019•宜昌）化简2(3)(6)x x x ---的结果为( ) A ．69x - B ．129x -+ C ．9 D ．39x + 【解答】解：原式22696x x x x =-+-+ 9=．故选：C ．【点评】此题主要考查了完全平方公式以及单项式乘以多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 19．（2019•襄阳）下列运算正确的是( )A ．32a a a -=B ．236a a a =C ．623a a a ÷=D ．236()a a --=【解答】解：A 、32a a -，无法计算，故此选项错误； B 、235a a a =，故此选项错误； C 、624a a a ÷=，故此选项错误； D 、236()a a --=，正确． 故选：D ．【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 20．（2019•随州）下列运算正确的是( ) A ．44m m -=B ．235()a a =C ．(x y + 222)x y =+D ．(1)1t t --=- 【解答】解：A 、43m m m -=，故此选项错误； B 、236()a a =，故此选项错误；C 、(x y + 222)2x xy y =++，故此选项错误； D 、(1)1t t --=-，正确．故选：D ．【点评】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 21．（2019•鄂州）下列运算正确的是( ) A ．326a a a =B ．734a a a ÷=C ．22(3)6a a -=-D ．22(1)1a a -=-【解答】解：A 、原式5a =，不符合题意； B 、原式4a =，符合题意； C 、原式29a =，不符合题意；D 、原式221a a =-+，不符合题意， 故选：B ．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（2019•黄石）化简1(93)2(1)3x x --+的结果是( )A ．22x -B ．1x +C ．53x +D ．3x - 【解答】解：原式31223x x x =---=-， 故选：D ．【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 二．填空题（共12小题） 23．（2020•十堰）已知23x y +=，则124x y ++= 7 ． 【解答】解：23x y +=，2(2)24236x y x y ∴+=+=⨯=， 124167x y ∴++=+=， 故答案为：7．【点评】本题考查了代数式的求值问题，注意整体代入的思想是解题的关键． 24．（2020•咸宁）按一定规律排列的一列数：3，23，13-，33，43-，73，113-，183，⋯，若a ，b ，c 表示这列数中的连续三个数，猜想a ，b ，c 满足的关系式是 a b c ÷= ． 【解答】解：3，23，13-，33，43-，73，113-，183，⋯，121-=-，2(1)3--=，134--=-，3(4)7--=，4711--=-，7(11)18--=，⋯， a ∴，b ，c 满足的关系式是a b c ÷=． 故答案为：a b c ÷=．【点评】此题主要考查了规律型：数字的变化类，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出a 、b 、c 的指数的特征． 25．（2019•恩施州）观察下列一组数的排列规律： 13，15，25，19，29，13，117，217，317，417，133，233，111，433，533，⋯ 那么，这一组数的第2019个数是 64312+ ．【解答】解：一列数为：，13，15，25，19，29，13，117，217，317，417，133，233，111，433，533，⋯则这列数也可变为：13，15，25，19，29，39，117，217，317，417，133，233，333，433，533，⋯由上列数字可知，第一个数的分母是1123+=，这样的数有1个； 第二个数的分母是2125+=，这样的数有2个； 第三个数的分母是3129+=，这样的数有3个； ⋯，1236320162019+++⋯+=<，∴这一组数的第2019个数是：64312+，故答案为：64312+． 【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出相应的数据．26．（2019•咸宁）有一列数，按一定规律排列成1，2-，4，8-，16，32-，⋯，其中某三个相邻数的积是124，则这三个数的和是 384- ．【解答】解：一列数为1，2-，4，8-，16，32-，⋯，∴这列数的第n 个数可以表示为1(2)n --， 其中某三个相邻数的积是124，∴设这三个相邻的数为1(2)n --、(2)n -、1(2)n +-，则1112(2)(2)(2)4n n n -+---=， 即3212(2)(2)n -=，324(2)2n ∴-=，324n ∴=，解得，8n =， ∴这三个数的和是：7897(2)(2)(2)(2)(124)(128)3384-+-+-=-⨯-+=-⨯=-，故答案为：384-．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．27．（2019•黄石）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是 625 ．【解答】解：由图可得，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，⋯，则前20行的数字有：1231920210+++⋯++=个数， ∴第20行第20个数是：13(2101)628+-=，∴第20行第19个数是：6283625-=，故答案为：625．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的数字的变化特点，知道第n 个数可以表示为13(1)n +-．28．（2020•宜昌）数学讲究记忆方法．如计算52()a 时若忘记了法则，可以借助52555510()a a a a a +=⨯==，得到正确答案．你计算2537()a a a -⨯的结果是 0 ．【解答】解：25371010()0a a a a a -⨯=-=．故答案为：0．【点评】此题主要考查了幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．29．（2019•黄冈）212x y -是 三 次单项式． 【解答】解：单项式212x y -中所有字母指数的和213=+=， ∴此单项式的次数是3．故答案为：三．【点评】本题考查的是单项式，熟知一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解答此题的关键30．（2020•黄石）因式分解：33m n mn -= ()()mn m n m n +- ．【解答】解：原式22()mn m n =-()()mn m n m n =+-．故答案为：()()mn m n m n +-．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．31．（2020•鄂州）因式分解：221218m m -+= 22(3)m - ．【解答】解：原式22(69)m m =-+22(3)m =-．故答案为：22(3)m -．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．32．（2020•咸宁）因式分解：22mx mx m -+= 2(1)m x - ．【解答】解：2222(21)(1)mx mx m m x x m x -+=-+=-，【点评】本题考查提公因式法、公式法因式分解，确定多项式的公因式是提公因式的关键，掌握公式的结构特征是正确使用公式的前提．33．（2019•鄂州）因式分解：244ax ax a -+= 2(21)a x - ．【解答】解：原式22(441)(21)a x x a x =-+=-，故答案为：2(21)a x -【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．34．（2019•黄石）分解因式：2224x y x -= 2(2)(2)x y y +- ．【解答】解：原式222(4)(2)(2)x y x y y =-=+-，故答案为：2(2)(2)x y y +-【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．三．解答题（共5小题）35．（2020•荆门）先化简，再求值：22(2)(2)()2(2)(2)x y x y x x y x y x y +++-+-++，其中1x =+，1y =．【解答】解：原式22[(2)(2)]x y x y x xy =+-+--22()x y x xy =---2222x xy y x xy =-+--23y xy =-，当1x =，1y =时，原式21)1)=-33=-=-【点评】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．36．（2020•随州）先化简，再求值：(2)2()a a b b a b +-+，其中a =，b =．【解答】解：原式22222a ab ab b =+--222a b =-当a =，b原式222561=-⨯=-=-．【点评】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解决本题的关键是先化简，再代入值．37．（2020•襄阳）先化简，再求值：2(23)(2)(2)2(35)x y x y x y y x y +-+--+，其中x =，1y =． 【解答】解：原式2222241294610x xy y x y xy y =++-+--6xy =，当x 1y =时，原式61)==． 【点评】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．38．（2019•武汉）计算：2324(2)x x x -． 【解答】解：2324(2)x x x -668x x =-67x =．【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握运算性质和法则是解题的关键．39．（2019•随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m ，n ，我们可将这个两位数记为mn ，易知10mn m n =+；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如10010abc a b c =++．【基础训练】（1）解方程填空： ①若2345x x +=，则x = 2 ； ②若7826y y -=，则y = ； ③若9358131t t t +=，则t = ；【能力提升】（2）交换任意一个两位数mn 的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm ，则mn nm +一定能被 整除，mn nm -一定能被 整除，mn nm mn -一定能被 整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）【探索发现】（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532235297)-=，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”． ①该“卡普雷卡尔黑洞数”为 ；②设任选的三位数为abc （不妨设)a b c >>，试说明其均可产生该黑洞数．【解答】解：（1）①10mn m n =+∴若2345x x +=，则10210345x x ⨯+++=2x ∴=故答案为：2． ②若7826y y -=，则107(108)26y y ⨯+-+=解得4y =故答案为：4．③由10010abc a b c =++．及四位数的类似公式得若9358131t t t +=，则10010931005108100011003101t t t +⨯++⨯++=⨯+⨯++100700t ∴=7t ∴=故答案为：7．（2）1010111111()mn nm m n n m m n m n +=+++=+=+∴则mn nm +一定能被 11整除10(10)999()mn nm m n n m m n m n -=+-+=-=-∴mn nm -一定能被9整除． 2222(10)(10)100101010(10)mn nm mn m n n m mn mn m n mn mn mn m n -=++-=+++-=++∴mn nm mn -一定能被10整除．故答案为：11；9；10．（3）①若选的数为325，则用532235297-=，以下按照上述规则继续计算972279693-=963369594-=954459495-=954459495-=⋯故答案为：495． ②当任选的三位数为abc 时，第一次运算后得：10010(10010)99()a b c c b a a c ++-++=-，结果为99的倍数，由于a b c >>，故12a b c ++2a c ∴-，又90a c >，9a c ∴-<2a c ∴-=，3，4，5，6，7，8，∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，再让这些数字经过运算，分别可以得到：981189792-=，972279693-=，963369594-=，954459495-=，954459495-=⋯故都可以得到该黑洞数495．【点评】本题是较为复杂的新定义试题，题目设置的问题较多，但解答方法大同小异，总体难度略大．。
第03讲 整式及其因式分解-2020年中考数学考点必过精品专题(原卷版)
第03讲整式及其因式分解1．代数式及求值(1)概念：用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；(2)列代数式：找出数量关系，用表示已知量的字母表示出所求量的过程；(3)代数式求值：把已知字母的值代入代数式中，并按原来的运算顺序计算求值．2．整式及有关概念(1)单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的_次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数．单独的数、字母也是单项式；(2)多项式：由几个组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数，一个多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做_；(3)整式：单项式和多项式统称为整式；(4)同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；所有的常数项都是同类项．4．整式的运算(1)整式的加减整式加减的实质是合并同类项．把多项式中同类项的系数相加，合并为一项，叫做合并同类项，其法则是：几个同类项相加，把它们的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的___不变．(2)整式的乘法①单项式×单项式：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式；②单项式×多项式：m(a＋b)＝ma＋mb；③多项式×多项式：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd；④乘法公式平方差公式：(a＋b)(a－b)＝___；完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2(3)整式的除法①单项式÷单项式：将系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；②多项式÷单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．5．因式分解(1)定义：把一个多项式化成几个_的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法互为逆变形．(2)因式分解的方法①提取公因式法：ma＋mb－mc＝m(a＋b－c)．(3)因式分解的一般步骤①如果多项式的各项有公因式，那么必须先提取公因式；②如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解；③分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这样才算分解彻底；④注意因式分解中的范围：如在有理数范围内分析解因式时x4－4＝(x2＋2)(x2－2)．在实数范围内分解因式时x4－4＝(x2＋2)(x＋2)(x－2)，题目不作说明的，表明是在有理数范围内分解因式．考点1：整式的运算【例题1】（（2019•湖北武汉•8分）计算：（2x2）3﹣x2•x4．考点2：因式分解【例题2】把4a 2添上1项或2项，使它能够进行因式分解．(1)写出3个且要用三种不同的分解方法；(2)若要求能进行2步或2步以上分解，如何添加？请写出一个即可．考点3：整式的综合运用【例题3】)嘉淇准备完成题目：化简：(x 2＋6x＋8)－(6x＋5x 2＋2)．发现系数“”印刷不清楚．(1)他把“”猜成3，请你化简：(3x 2＋6x＋8)－(6x＋5x 2＋2)；(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？一、选择题：1.（2019•湖南株洲•3分）下列各式中，与3x 2y 3是同类项的是（）A．2x 5B．3x 3y 2C．﹣x 2y 3D．﹣y 52.（四川乐山，4，3分）下列等式一定成立的是()．A ．2m+3n=5mnB ．(m 3)2=m 6C ．m 2·m 3=m 6D ．(m-n)2=m 2-n 23.（2019•湖南株洲•3分）下列各选项中因式分解正确的是（）A．x 2﹣1＝（x﹣1）2B．a 3﹣2a 2+a＝a 2（a﹣2）C．﹣2y 2+4y＝﹣2y（y+2）D．m 2n﹣2mn+n＝n（m﹣1）24.（2018•宁波）在矩形ABCD 内，将两张边长分别为a 和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S 1，图2中阴影部分的面积为S 2．当AD﹣AB=2时，S 2﹣S 1的值为（）A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b5.（2018•绍兴）下面是一位同学做的四道题：①（a+b）2=a2+b2，②（﹣2a2）2=﹣4a4，③a5÷a3=a2，④a3•a4=a12．其中做对的一道题的序号是（）A．①B．②C．③D．④二、填空题：6.（2019•湖南怀化•4分）当a＝﹣1，b＝3时，代数式2a﹣b的值等于．7.（2018湖北荆州）（3.00分）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2018次输出的结果是5．8.（2019•湖北十堰•3分）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝．9.2019•河北•4分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3＝7则（1）用含x的式子表示m＝；（2）当y＝﹣2时，n的值为．三、解答题：10.老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，形式如图：(1)求所捂的二次三项式；(2)若x＝6＋1，求所捂二次三项式的值．11.（2018•邵阳）先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a=﹣2，b=．12.在一次数学课上，李老师对大家说：“你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果．”(1)若小明同学心里想的是数5，请帮他计算出最后结果；(2)老师说：“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等．”小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数是a(a≠0)，请你帮小明完成这个验证过程．13.如图，已知大正方形的边长为a＋b＋c，利用图形的面积关系可得：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc ＋2ac.当大正方形的边长为a＋b＋c＋d时，利用图形的面积关系可得：(a＋b＋c＋d)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ab＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋2cd.一般地，n个数的和的平方等于这n个数的平方和加上它们两两乘积的2倍．根据以上结论解决下列问题：(1)若a＋b＋c＝6，a2＋b2＋c2＝14，则ab＋bc＋ac＝11；(2)从－4，－2，－1，3，5这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为m，求m的值．14.如图，已知大正方形的边长为a＋b＋c，利用图形的面积关系可得：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc ＋2ac.当大正方形的边长为a＋b＋c＋d时，利用图形的面积关系可得：(a＋b＋c＋d)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ab ＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋2cd.一般地，n个数的和的平方等于这n个数的平方和加上它们两两乘积的2倍．根据以上结论解决下列问题：(1)若a＋b＋c＝6，a2＋b2＋c2＝14，则ab＋bc＋ac＝11；(2)从－4，－2，－1，3，5这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为m，求m的值．。
《整式的乘法与因式分解》(原卷版)
2022-2023学年人教版数学八年级上册章节考点精讲精练第14章《整式的乘法与因式分解》知识点01：幂的运算1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且).同底数幂相除，底数不变，指数相减.m n ，m n ，n a m n ，m n 知识互联网知识导航5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.细节剖析:公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.知识点02：整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.细节剖析:运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即：知识点03：乘法公式1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.细节剖析:在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相()010.a a =≠mc mb ma c b a m ++=++)(c b a m ,,,()()a b m n am an bm bn ++=+++()()()2x a x b x a b x ab ++=+++()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++22()()a b a b a b +-=-a b ，反项”的平方.2. 完全平方公式：；两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.细节剖析:公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.知识点04：因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 细节剖析:落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次.考点01：单项式乘多项式1．（2022秋•福州月考）若计算（3x 2+2ax +1）•（﹣3x ）﹣4x 2的结果中不含有x 2项，则a 的值为（ ） A ．2B ．0C ．﹣D ．﹣2．（2022秋•商水县月考）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，李刚拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣4xy （3y ﹣2x ﹣3）＝﹣12xy 2□+12xy ，□的地方被墨水弄污了，你认为□内应填写（ ） A ．+8x 2yB ．﹣8x 2yC ．+8xyD ．﹣8xy 23．（2021秋•沐川县期末）已知A 是多项式，若A ×2xy ＝x 2y 2﹣2x 2y ﹣3xy 2，则A ＝ ．4．（2019秋•闵行区校级月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记本复习，发现一道题：﹣3xy （4y ﹣2x ﹣1）＝﹣12xy 2+6x 2y +□，□的地方被墨水弄污了，你认为□处应填写 ．()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-考点提优练5．（2021秋•廉江市期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：×（﹣xy）＝3x2y﹣xy2+xy（1）求所捂的多项式；（2）若x＝，y＝，求所捂多项式的值．考点02：多项式乘多项式6．（2022秋•铁西区校级月考）若（x+3）（2x﹣m）＝2x2+nx﹣15，则（）A．m＝﹣5，n＝1 B．m＝﹣5，n＝﹣1 C．m＝5，n＝1 D．m＝5，n＝﹣17．（2022春•雁塔区校级期中）已知（x2+ax）（x2﹣2x+b）的乘积中不含x3和x2项，那么b﹣a＝（）A．﹣2 B．2 C．0 D．48．（2022春•温州期中）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为3a+2b，宽为a+b的长方形，需要B类卡片（）张．A．3 B．4 C．5 D．69．（2022春•通川区期末）已知（x﹣m）（x2﹣2x+n）展开后得到多项式为x3﹣（m+2）x2+x+5，则n2+4m2的值为．10．（2022春•和平区校级月考）已知4x＝10，25y＝10，则（x﹣2）（y﹣2）+3（xy﹣1）的值为．11．（2022春•雅安期末）已知x≠1．观察下列等式：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4；…（1）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+x n﹣1）＝；（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）＝；②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x2+x+1）＝．（3）判断2100+299+298+…+22+2+1的值的个位数是几？并说明你的理由．12．（2022春•全椒县期末）数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题：（1）由图1和图2可以得到的等式为（用含a，b的等式表示）；（2）莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需A，B，C三种纸片各多少张；（3）如图3，S1，S2分别表示边长为p，q的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，S1+S2＝20，p+q＝6．求图中阴影部分的面积．考点03：同底数幂的除法13．（2022秋•渝中区校级月考）下列运算正确的是（）A．（x3）2＝x5B．3x2+2x2＝5x4C．x8÷x2＝x6D．（2xy）2＝2x2y214．（2022秋•兰考县月考）下列运算不正确的是（）A．a2•a3＝a5B．a5÷a＝a4C．a4﹣2a4＝﹣a4D．（﹣a2）3＝﹣a515．（2021秋•淮阳区期末）已知25a•52b＝5b，4b÷4a＝4，则代数式a2+b2值是．16．（2022春•东台市期中）已知a﹣2b﹣3c＝2，则2a÷4b×的值是．17．（2021春•毕节市期中）（1）已知3×9m×27m＝311，求m的值．（2）已知2a＝3，4b＝5，8c＝5，求8a+c﹣2b的值．18．（2021春•海州区校级期中）尝试解决下列有关幂的问题：（1）若9×27x＝317，求x的值；（2）已知a x＝﹣2，a y＝3，求a3x﹣2y的值；（3）若x＝×25m+×5m+，y＝×25m+5m+1，请比较x与y的大小．考点04：完全平方公式19．（2022春•北碚区校级期中）设a＝x﹣2020，b＝x﹣2022，c＝x﹣2021，若a2+b2＝56，则c2＝（）A．27 B．24 C．22 D．2020．（2022秋•工业园区校级月考）若A＝x2+2x﹣6y，B＝﹣y2+4x﹣11，则A、B的大小关系为（）A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A＝B21．（2022春•汉寿县期末）若x+y＝3，xy＝﹣5，则（x﹣y）2＝．22．（2022春•莱西市期中）小淇将（2018x+2019）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小尧将（2019x﹣2018）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为．23．（2022春•招远市期末）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．（1）请你检验这个等式的正确性；（2）若a＝2020，b＝2021，c＝2022，你能很快求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值吗？考点05：完全平方公式的几何背景24．（2022春•碑林区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为x，其中AI＝5，JC＝3，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分FJDI的面积为（）A．28 B．29 C．30 D．3125．（2022春•钱塘区期末）如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b（a＜6，b＜6）的长方形，若长方形的周长为16，面积为15.75，则图中阴影部分面积S1+S2+S3＝．26．（2022春•皇姑区校级期中）图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于；（2）观察图2写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系；（3）若mn＝﹣3，m﹣n＝5，则：①（m+n）2的值为；②m2+n2的值为；③m4+n4的值为．考点06：平方差公式27．（2022春•新城区校级期中）下列等式成立的是（）A．（﹣x﹣1）（﹣x﹣1）＝x2﹣2x+1B．（﹣x+1）（﹣x+1）＝﹣x2﹣2x+1C．（1+x）（﹣x+1）＝1﹣x2D．（﹣x+1）（﹣x﹣1）＝﹣x2﹣128．（2021秋•望城区期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：7＝7×1＝（4+3）×（4﹣3）＝42﹣32，7就是一个智慧数，8＝4×2＝（3+1）×（3﹣1）＝32﹣12，8也是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（）A．2021 B．2022 C．2023 D．202429．（2022春•铁岭期中）若a2﹣b2＝﹣72，a﹣b＝12，则a+b的值为．30．（2021秋•如皋市期中）小丽在计算3×（4+1）×（42+1）时，把3写成（4﹣1）后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似方法计算：（1+）×（1+）×（1+）×（1+）+＝．31．（2022春•莲池区期末）阅读理解：我们知道，（a+b）2＝a2+2ab+b2，①（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，②①﹣②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．所以．利用上面乘法公式的变形有时能简化计算，例如：．发现运用：根据阅读解答问题（1）利用上面乘法公式的变形填空：101×99＝（）2﹣（）2．（2）利用上面乘法公式的变形计算：9.2×10.8．（3）根据平方差公式可得：（m+2）（m﹣2）＝m2﹣22，请利用上面乘法公式的变形验证此等式成立．考点07：平方差公式的几何背景32．（2021秋•台江区期中）能够用如图中已有图形的面积说明的等式是（）A．a（a+4）＝a2+4a B．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 D．（a+2） 2＝a2+4a+433．（2020秋•丛台区期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是．34．（2019秋•奈曼旗期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将剩下的阴影部分沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，这种变化可以用含字母a，b的等式表示为．35．（2022春•潍坊期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分拼成图2所示长方形．（1）上述操作能验证的等式是．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2﹣ab＝a（a﹣b）（2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝18，x﹣2y＝3，求x+2y．②计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×……×（1﹣）×（1﹣）．考点08：提公因式法与公式法的综合运用36．（2021春•滦州市期末）下列因式分解正确的是（）A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）B．x2+2x+1＝x（x+2）+1C．3mx﹣6my＝3m（x﹣6y）D．x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）37．（2012春•揭西县校级期中）下列各式：①4x2﹣y2；②2x4+8x3y+8x2y2；③a2+2ab﹣b2；④x2+xy﹣6y2；⑤x2+2x+3其中不能分解因式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个38．（2022秋•岳麓区校级月考）把ab3﹣9ab分解因式的结果是．39．（2022•本溪模拟）把多项式ax2﹣4ay2分解因式的结果是．40．（2022春•江干区校级期中）（1）解方程组：．（2）因式分解①a2﹣6ab+9b2．②a2b﹣16b．考点09：因式分解-十字相乘法等41．（2022春•高新区校级期末）若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式2x﹣3，则a的值为（）A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣542．（2019秋•天心区校级月考）把多项式（x﹣y）2﹣2（x﹣y）﹣8分解因式，正确的结果是（）A．（x﹣y+4）（x﹣y+2）B．（x﹣y﹣4）（x﹣y﹣2）C．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）D．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）43．（2022春•酒泉期末）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2，所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式：x2+7x+12＝；（2）分解因式：（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2；（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能的值是．44．（2021秋•顺城区期末）因式分解：（1）（a﹣b）2+4ab；（2）（m﹣4）（m+1）+3m．45．（2020秋•沂南县期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay，x2+2xy+y2﹣1分组分解法：解：原式＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）解：原式＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3解：原式＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7．。
专题03 整式与因式分解-备战2022年中考数学题源解密(解析版)
专题03 整式与因式分解考向1 整式的相关概念【母题来源】（2021·浙江温州）【母题题文】某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+1.2）元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（）A．20a元B．（20a+24）元C．（17a+3.6）元D．（20a+3.6）元【分析】应缴水费＝17立方米的水费+（20﹣17）立方米的水费。
【解答】解：根据题意知：17a+（20﹣17）（a+1.2）＝（20a+3.6）（元）。
故选：D．【试题分析】此题考察了根据语境列代数式的方法，分段计算是这题的易错点；【命题意图】此类题的出现，一是为了让考生熟悉代数式的概念并加以应用到实际问题中，二是为了考察实际问题中学生对分段计算的理解能力；目的是让考生学以致用，把数学和生活联系起来；【命题方向】有关整式或者代数式的概念部分的考察，在浙江中考中占的分值一直很小，或者很多城市的中考中基本不考，考到的时候难点也不在对应概念上，而是在与之结合的其他代数考点上，所以，掌握好基本概念，这类题完全就不需要担心了；【得分要点】整式的概念及注意事项：名称识别次数系数与项整式单项式①数与字母或字母与字母相乘组成的代数式；②单独的一个数或一个字母所有字母的指数的和系数：单项式中的数字因数多项式几个单项式的和次数最高项的次数项：多项式中的每个单项式☆：由定义可知，单项式中只含有乘法运算；分数是一个完整的数，不拆开来算；单独的一个数或字母也叫单项式；单独的字母的系数为1，次数也是1；☆：由定义可知，多项式中可以含有乘法——加法——减法运算；多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数；考向2 整式的运算【母题来源】（2021·浙江杭州）【母题题文】计算：2a+3a＝．【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变求解．【解答】解：2a+3a＝5a，故答案为5a．【母题来源】（2021·浙江丽水）【母题题文】计算（﹣a）2•a4的结果是（）A．a6B．﹣a6C．a8D．﹣a8【分析】先化简为同底数幂的乘法，然后根据同底数幂的乘法法则计算即可．【解答】解：原式＝a2•a4＝a6，故选：A．【母题来源】（2021·浙江宁波）【母题题文】计算a3•（﹣a）的结果是（）A．a2B．﹣a2C．a4D．﹣a4【分析】先化为同底数幂的乘法，然后根据同底数幂的乘法法则计算．【解答】解：a3•（﹣a）＝﹣a3•a＝﹣a4．故选：D．【母题来源】（2021·浙江衢州）【母题题文】下列计算正确的是（）A．（x2）3＝x5B．x2+x2＝x4C．x2•x3＝x5D．x6÷x3＝x2【分析】A：根据幂的乘方法则进行计算即可得出答案；B：根据合并同类项法则进行计算即可得出答案；C：根据同底数幂的乘法法则进行计算即可得出答案；D：根据同底数幂的除法法则进行计算即可得出答案．【解答】解：A：因为（x2）3＝x6，所以A选项错误；B：因为x2+x2＝2x2，所以B选项错误；C：因为x2•x3＝x2+3＝x5，所以C选项正确；D：因为x6÷x3＝x6﹣3＝x3，所以D选项错误．故选：C．【母题来源】（2021·浙江台州）【母题题文】下列运算中，正确的是（）A．a2+a＝a3B．（﹣ab）2＝﹣ab2C．a5÷a2＝a3D．a5・a2＝a10【分析】根据整式的加减运算法则以及乘法运算法则即可求出答案．【解答】解：A、a2与a不是同类项，不能合并，故A不符合题意，B、原式＝a2b2，故B不符合题意．C、原式＝a3，故C符合题意．D、原式＝a7，故D不符合题意．故选：C．【母题来源】（2021·浙江温州）【母题题文】化简：（a﹣5）2+a（2a+8）．【分析】结合完全平方公式，运用整式的运算法则可以得到结果．【解答】解：原式＝a2﹣10a+25+a2+4a＝2a2﹣6a+25．【母题来源】（2021·浙江宁波）【母题题文】计算：（1+a）（1﹣a）+（a+3）2．【分析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项得出答案；【解答】解：原式＝1﹣a2+a2+6a+9＝6a+10；【母题来源】（2021·浙江金华）【母题题文】已知x＝，求（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）的值．【分析】根据完全平方公式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）＝9x2﹣6x+1+1﹣9x2＝﹣6x+2，当x ＝时，原式＝﹣6×+2＝﹣1+2＝1．【母题来源】（2021·浙江湖州）【母题题文】计算：x（x+2）+（1+x）（1﹣x）．【分析】根据单项式乘多项式和平方差公式化简即可．【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣x2＝2x+1．【试题分析】这些题主要考了整式运算中的合并同类项、整式的加减、同底数幂的乘法以及利用乘法公式进行化简计算；【命题意图】整式的运算为初中数学后续的解方程的学生奠定了基础，重要性不言而喻。
2024年中考 数学专题提升学案03 代数式、整式与因式分解(含答案)
代数式、整式与因式分解1. 根据下列实际问题列代数式：(1)一台电视机原价是2 500元，现按原价的八折出售，则购买a台这样的电视机需要___________元；(2)购买一个篮球需要80元，购买一个足球需要100元，则购买m个篮球和n个足球共需____________元；(3)长方形绿地的长是a m，宽是b m，若长增加了x m，则增加后的绿地面积是________m2.2. 求下列代数式的值：(1)若a＝3，则代数式a2－2a的值为________；(2)若a2＋2a＝1，则代数式2a2＋4a－3的值为________；(3)已知实数a，b满足(a－2)2＋|b＋1|＝0，则a b＝________．3. 计算：(1)4a＋2a－3a＝________；(2)3a2b－a2b＝________；(3)(xy3)m＝________；(4)(－4a2)3＝________．4. 计算：(1)6x2·3xy＝________；(2)2x2y·(－xy2)3＝________；(3)2b·(4a－b2)＝________；(4)(4y－1)(5－y)＝________．5. 人教八上P104习题改编分解因式：(1)2x－2y＝________；(2)x2－4y2＝________；(3)x2－6x＋9＝________．6. 现有甲、乙两种不同的正方形纸片如图所示摆放，甲，乙的边长分别为a，b.(1)用含a，b的代数式表示图中阴影部分面积________；第6题图(2)若a＋b＝3，a－b＝1，求图中阴影部分面积．知识逐点过考点1 列代数式及求值列代数式找出问题中的数量关系及公式，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来代数式求值1. 直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值2. 整体代入法：(1)观察已知条件和所求代数式的关系；(2)将所求代数式变形成含有已知等式或部分项的形式，一般会用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式；(3)把已知等式或部分项之和看成一个整体代入所求代数式中求值考点2 整式的相关概念单项式1．概念：由数字与字母或字母与字母的乘积所组成的代数式叫做单项式．单独一个数字或字母也是单项式；2．单项式的系数：单项式中的数字因数；3．单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数之和多项式1.概念：几个单项式的和叫做多项式；2．多项式的次数：多项式中次数最高项的次数，如2x＋x2y的次数是①________整式单项式与多项式统称为整式整式的运算(同类项所含字母相同，并且相同字母的②________也相同合并同类项(1)字母和字母的③________不变；(2)④________相加减作为新的系数去括号法则若括号前是“＋”，去括号时括号内各项不变号，如a＋(b－c)＝a＋b－c；若括号前是“－”，去括号时括号内每一项都变号，如a－(b－c)＝a－b＋c(“＋”不变，“－”变)【温馨提示】整式加减运算可归纳为：先去括号，再合并同类项同底数幂相乘底数不变，指数相加，如a3·a2＝⑤________同底数幂相除底数不变，指数相减，如a3÷a2＝⑥________幂的乘方底数不变，指数相乘，如(a3)2＝⑦________积的乘方先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，如(a2b)2＝⑧________单项式乘单项式把系数、同底数幂分别相乘作为积的一个因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘多项式用单项式分别去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加多项式乘多项式先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加乘法公式平方差公式：(a＋b)(a－b)＝⑨________；完全平方公式：(a±b)2＝⑩________单项式除以单项式把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式考点4 因式分解定把一个多项式化为几个整式的⑪________的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的义 因式分解基本 方法 1. 提公因式法：ma ＋mb ＋mc ＝⑫________；2. 公式法：(1)a 2－b 2＝⑬________；(2)a 2±2ab ＋b 2＝⑭________一般 步骤【温馨提示】1.确定公因式的步骤： (1)系数：取各项系数的最大公约数； (2)字母：取各项中相同的字母；(3)指数：取各项相同字母的最低次幂； 2．因式分解的结果必须是最简因式： (1)每个因式都必须是整式； (2)每个因式中不能再有公因式 考点5 常见非负数及其性质 常见的非负数 1.实数的绝对值：|a|⑮________0；2.实数的平方：a 2⑯________0； 3．二次根式： a ⑰________0(a≥0)性质若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0.如a 2＋|b|＋ c ＝0，则有a 2＝0，|b|＝0， c ＝0，则a ＝b ＝c ＝⑱________真题演练命题点1 列代数式及求值1. 已知x ＝2y ＋3，则代数式4x －8y ＋9的值是________．2. 已知x ＝5－y ，xy ＝2.计算3x ＋3y －4xy 的值为________.3. 若x ＋1x ＝136 且0＜x ＜1，则x 2－1x 2 ＝________．4. 如图①所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图②所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形(图①)拼出来的图形的总长度是________(结果用含a ，b 代数式表示).第4题图命题点2 整式的相关概念 5. 单项式3xy 的系数为________．6. 如果单项式3x m y 与－5x 3y n 是同类项，那么m ＋n ＝________． 命题点3 整式的运算7. 下列计算正确的是( ) A. b 6÷b 3＝b 2 B. b 3·b 3＝b 9 C. a 2＋a 2＝2a 2 D. (a 3)3＝a 68.已知9m ＝3，27n ＝4，则32m ＋3n ＝( ) A. 1 B. 6 C. 7 D. 129. 先化简，再求值：(x ＋y)2＋(x ＋y)(x －y)－2x 2，其中x ＝ 2 ，y ＝ 3 .命题点4 因式分解 10. (2023广东11题3分·源于人教八上P114探究)因式分解：x 2－1＝________． 11. (2020广东11题4分)分解因式：xy －x ＝________． 12. (2018广东11题4分·源于北师八下P94第1题)分解因式：x 2－2x ＋1＝________． 命题点5 非负数13.若|a － 3 |＋9a 2－12ab ＋4b 2 ＝0，则ab ＝( )A. 3B. 92 C. 43 D. 914. 已知a －b ＋|b －1|＝0，则a ＋1＝________． 15. 若a －2 ＋|b ＋1|＝0，则(a ＋b)2020＝________．基础过关1.代数式－7x 的意义可以是( )A. －7与x 的和B. －7与x 的差C. －7与x 的积D. －7与x 的商2. 下列整式与ab 2为同类项的是( )A. a 2bB. －2ab 2C. abD. ab 2c 3. 计算：(3a)2＝( )A. 5aB. 3a 2C. 6a 2D. 9a 2 4. 若( )·2a 2b ＝2a 3b ，则括号内应填的单项式是( ) A. a B. 2a C. ab D. 2ab 5. 计算：6xy 3·(－12 x 3y 2)＝( )A. 3x 4y 5B. －3x 4y 5C. 3x 3y 6D. －3x 3y 6 6. 下列计算正确的是( )A. (a 2)3＝a 6B. a 6÷a 2＝a 3C. a 3·a 4＝a 12D. a 2－a ＝a 7. 下列因式分解正确的是( )A. 2a 2－4a ＋2＝2(a －1)2B. a 2＋ab ＋a ＝a(a ＋b)C. 4a 2－b 2＝(4a ＋b)(4a －b)D. a 3b －ab 3＝ab(a －b)28. 若单项式2x a y 3与xy 2b －a 的和仍为单项式，则b －a ＝__________． 9. 分解因式：a 2＋5a ＝__________． 10. 分解因式：x 2y －y 3＝__________．11. 一个多项式，把它因式分解后有一个因式为(x ＋1)，请你写出一个符合条件的多项式__________．12. 2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x 公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为__________公里(用含x 的代数式表示).13. 已知y 2－my ＋1是完全平方式，则m 的值是__________．14. 已知a ，b 满足|a ＋3|＋b －2 ＝0，则(a ＋b)2 023＝__________．15. 如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…，依此规律，第n 个图案中有__________个白色圆片(用含n 的代数式表示).第15题图16. (2023深圳)已知实数a ，b ，满足a ＋b ＝6，ab ＝7，则a 2b ＋ab 2的值为__________． 17. 若m ，n 满足3m －n －4＝0，则8m ÷2n ＝__________． 18. 化简：(x －2y)2－x(x －4y).19. 已知a 2＋3ab ＝5，求(a ＋b)(a ＋2b)－2b 2的值．20. 先化简，再求值(2－a)(2＋a)－2a(a ＋3)＋3a 2，其中a ＝－13 .综合提升21. 已知x ＋2y －1＝0，则代数式2x ＋4yx 2＋4xy ＋4y 2的值为__________．22. (数学文化)如图是著名的斐波那契螺旋线，若正方形ABCD 的边长为1，以点A 为圆心，AB 的长为半径画BD ，BD 记为l 1；以AD 为边长，在右侧作正方形ADEF ，以点A 为圆心，AD 的长为半径画DF ，DF 记为l 2；以BF 为边长，在上方作正方形BFGH ，以点B 为圆心，BF 的长为半径画FH ，FH 记为l 3，…，以此类推，按逆时针方向不断地在正方形内画圆弧，则l 8的长为__________．第22题图新考法推荐23. 设有边长分别为a 和b(a>b)的A 类和B 类正方形纸片、长为a 宽为b 的C 类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a ＋b 的正方形，需要1张A 类纸片、1张B 类纸片和2张C 类纸片．若要拼一个长为3a ＋b 、宽为2a ＋2b 的矩形，则需要C 类纸片的张数为( )A B C D第23题图A. 6B. 7C. 8D. 9代数式、整式与因式分解1. (1)2 000a 【解析】2 500a×80%＝2 000a(元). (2)(80m ＋100n) (3)b(a ＋x)2. (1)3 【解析】原式＝a(a －2)＝3×(3－2)＝3.(2)－1 【解析】2a 2＋4a －3＝2(a 2＋2a)－3＝2×1－3＝－1.(3)12 【解析】∵(a －2)2＋|b ＋1|＝0，∴a －2＝0且b ＋1＝0，解得a ＝2，b ＝－1，∴a b ＝2－1＝12 .3. (1)3a ；(2)2a 2b ；(3)x m y 3m ；(4)－64a 6.4. (1)18x 3y ；(2)－2x 5y 7；(3)8ab －2b 3；(4)－4y 2＋21y －5. 5. (1)2(x －y)；(2)(x ＋2y)(x －2y)；(3)(x －3)2.6. 解：(1)a 2－b 2；(2)a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)＝3×1＝3.知识逐点过①3 ②指数 ③指数 ④同类项的系数 ⑤a 5 ⑥a ⑦a 6 ⑧a 4b 2⑨a 2－b 2 ⑩a 2±2ab ＋b 2 ⑪乘积 ⑫m(a ＋b ＋c) ⑬(a ＋b)(a －b) ⑭(a±b)2 ⑮≥ ⑯≥ ⑰≥ ⑱0真题演练1. 21 【解析】∵x ＝2y ＋3，∴x －2y ＝3，∴4x －8y ＋9＝4×3＋9＝21.2. 7 【解析】∵x ＝5－y ，∴x ＋y ＝5，又∵xy ＝2，∴原式＝3(x ＋y)－4xy ＝3×5－4×2＝15－8＝7.3. －6536 【解析】∵x ＋1x ＝136 ，∴(x －1x )2＝(x ＋1x )2－4＝(136 )2－4＝2536 ，∵0＜x ＜1，∴x －1x ＜0，∴x －1x ＝－56 ，∴x 2－1x 2 ＝(x ＋1x )(x －1x )＝136 ×(－56 )＝－6536 . 4. a ＋8b 【解析】由拼成的图案可知，9个水平正放置的基本图案的长度为9a ，上下图形拼接部分的长度共为8(a －b)，∴拼成的图形的总长度为9a －8(a －b)＝a ＋8b. 5. 36. 4 【解析】∵单项式3x m y 与－5x 3y n 是同类项，∴m ＝3，n ＝1，∴m ＋n ＝3＋1＝4.2m 3n ＝32m 3n ＝9m n ＝3×4＝12.9. 解：原式＝x 2＋2xy ＋y 2＋x 2－y 2－2x 2 ＝2xy ，(3分)当x ＝ 2 ，y ＝ 3 时，原式＝2× 2 × 3 ＝2 6 .(6分) 10. (x ＋1)(x －1) 11. x(y －1) 12. (x －1)213. B 【解析】∵|a － 3 |＋9a 2－12ab ＋4b 2 ＝|a － 3 |＋（3a －2b ）2 ＝0，∴⎩⎨⎧a －3＝0，3a －2b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝332，∴ab ＝ 3 ×332 ＝92 .14. 2 【解析】∵a －b ＋|b －1|＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝0b －1＝0 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1 ，∴a ＋1＝2.15. 1 【解析】∵a －2 ＋|b ＋1|＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝0，b ＋1＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1， ∴(a ＋b)2020＝(2－1)2020＝1.基础过关1. C 【解析】－7x 表示－7与x 的积.2. B 【解析】根据“字母相同，相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项”可知－2ab 2与ab 2是同类项．3. D 【解析】(3a)2＝9a 2.4. A 【解析】根据单项式乘单项式法则，a·2a 2b ＝2a 3b.5. B 【解析】 原式＝－12 ×6x 1＋3·y 3＋2＝－3x 4y 5.a 3与xy 2b a的和仍为单项式，∴2x a 3与xy 2ba为同类项，∴a ＝1，2b －a ＝3，∴b ＝2，∴b －a ＝1.9. a(a ＋5) 【解析】a 2＋5a ＝a(a ＋5).10. y(x ＋y)(x －y) 【解析】x 2y －y 3＝y(x 2－y 2)＝y(x ＋y)(x －y).11. x 2－1(答案不唯一) 【解析】∵x 2－1＝(x ＋1)(x －1)，因式分解后有一个因式为(x ＋1)，∴这个多项式可以是x 2－1.12. (7.5－10x) 【解析】由题意可得，他从起点开始以平均每分钟x 公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为(7.5－10x)公里．13. ±2 【解析】∵y 2－my ＋1是完全平方式，∴－m ＝±2，解得m ＝±2.14. －1 【解析】根据题意得，a ＋3＝0，b －2＝0，解得a ＝－3，b ＝2，∴(a ＋b)2 023＝(－3＋2)2 023＝－1.15. (2n ＋2) 【解析】由题图得，第1个图案中有2×1＋2＝4个白色圆片，第2个图案中有2×2＋2＝6个白色圆片，第3个图案中有2×3＋2＝8个白色圆片，∴第n 个图案中有(2n ＋2)个白色圆片.16. 42 【解析】 a 2b ＋ab 2＝ab(a ＋b)，∵a ＋b ＝6，ab ＝7，∴a 2b ＋ab 2＝ab(a ＋b)＝42.17. 16 【解析】∵3m －n －4＝0，∴3m －n ＝4，∴8m ÷2n ＝23m ÷2n ＝23m －n ＝24＝16. 18. 解：原式＝x 2－4xy ＋4y 2－x 2＋4xy ＝4y 2.19. 解：原式＝a 2＋2ab ＋ab ＋2b 2－2b 2 ＝a 2＋3ab ， ∵a 2＋3ab ＝5， ∴原式＝5.20. 解：(2－a)(2＋a)－2a(a ＋3)＋3a 2 ＝4－a 2－2a 2－6a ＋3a 2 ＝4－6a ，当a ＝－13 时，原式＝4－6×(－13 ) ＝6.21. 2 【解析】 原式＝2（x ＋2y ）（x ＋2y ）2 ＝2x ＋2y ，∵x ＋2y －1＝0，∴x ＋2y ＝1，∴原式＝21 ＝2.22. 212 π 【解析】由题可知，l 1所在圆的半径为1，l 2所在圆的半径为1，l 3所在圆的半径为2，l 4所在圆的半径为3，l 5所在圆的半径为5，l 6所在圆的半径为8，∴圆弧所在圆的半径规律为l n 所在圆的半径等于l n －1所在圆的半径加上l n －2所在圆的半径(n 为正整数，n≥3)，∴l 7所在圆的半径为13，l 8所在圆的半径为21，由题意可知，圆弧所对的圆心角为90°，∴l 8＝90180 ×π×21＝212 π.23. C 【解析】长为(3a ＋b)，宽为(2a ＋2b)的矩形的面积为(3a ＋b)(2a ＋2b)＝6a 2＋2b 2＋8ab ，需要6张A 类纸片，2张B 类纸片和8张C 类纸片．。
2022年中考数学真题分类汇编：整式乘法与因式分解(含答案)
2022年全国各省市中考数学真题汇编整式乘法与因式分解一、选择题1.(2022·山东省)计算(−a3)2的结果是( )A. a6B. −a6C. −a5D. a52.(2022·湖北省咸宁市)下列计算正确的是( )A. a2⋅a4=a8B. (−2a2)3=−6a6C. a4÷a=a3D. 2a+3a=5a23.(2022·贵州省黔东南苗族侗族自治州)下列运算正确的是( )A. a6÷a2=a3B. a2+a3=a5C. −2(a+b)=−2a+bD. (−2a2)2=4a44.(2022·全国)多项式39x2+5x−14可因式分解成(3x+a)(bx+c)，其中a、b、c均为整数，求a+2c之值为何？( )A. −12B. −3C. 3D. 125.(2022·广西壮族自治区贺州市)下列运算正确的是( )A. x3+x3=x6B. x6÷x3=x2C. (3x3)2=6x5D. x2⋅x3=x56.(2022·湖南省永州市)下列因式分解正确的是( )A. ax+ay=a(x+y)+1B. 3a+3b=3(a+b)C. a2+4a+4=(a+4)2D. a2+b=a(a+b)7.(2022·陕西省)计算：2x⋅(−3x2y3)=( )A. 6x3y3B. −6x2y3C. −6x3y3D. 18x3y38.(2022·浙江省湖州市)下列各式的运算，结果正确的是( )A. a2+a3=a5B. a2⋅a3=a6C. a3−a2=aD. (2a)2=4a29.(2022·浙江省绍兴市)下列计算正确的是( )A. (a2+ab)÷a=a+bB. a2⋅a=a2C. (a+b)2=a2+b2D. (a3)2=a510.(2022·四川省泸州市)下列运算正确的是( )A.a2⋅a3=a6B. 3a−2a=1C. (−2a2)3=−8a6D. a6÷a2=a311.(2022·四川省成都市)下列计算正确的是( )A. m+m=m2B. 2(m−n)=2m−nC. (m+2n)2=m2+4n2D. (m+3)(m−3)=m2−912.(2022·湖南省娄底市)下列式子正确的是( )A. a3⋅a2=a5B. (a2)3=a5C. (ab)2=ab2D. a3+a2=a513.(2022·四川省眉山市)下列运算中，正确的是( )A. x3⋅x5=x15B. 2x+3y=5xyC. (x−2)2=x2−4D. 2x2⋅(3x2−5y)=6x4−10x2y14.(2022·四川省广元市)下列运算正确的是( )A. x2+x=x3B. (−3x)2=6x2C. 3y⋅2x2y=6x2y2D. (x−2y)(x+2y)=x2−2y215.(2022·四川省遂宁市)下列计算中正确的是( )A. a3⋅a3=a9B. (−2a)3=−8a3C. a10÷(−a2)3=a4D. (−a+2)(−a−2)=a2+4二、填空题16.(2022·湖南省常德市)分解因式，x3−9xy2=______．17.(2022·贵州省黔东南苗族侗族自治州)分解因式：2022x2−4044x+2022=______．18.(2022·天津市)计算m⋅m7的结果等于______．19.(2022·江苏省苏州市)已知x+y=4，x−y=6，则x2−y2=______．20.(2022·四川省乐山市)已知m2+n2+10=6m−2n，则m−n=______．21.(2022·江苏省扬州市)分解因式：3m2−3=______．22.(2022·湖南省株洲市)因式分解：x2−25=______．23.(2022·湖南省怀化市)因式分解：x2−x4=______．24.(2022·山东省滨州市)若m+n=10，mn=5，则m2+n2的值为______．25.(2022·甘肃省武威市)计算：3a3⋅a2=______．三、解答题26.(2022·四川省南充市)先化简，再求值：(x+2)(3x−2)−2x(x+2)，其中x=√3−1．27.(2022·江苏省)先化简，再求值：(x+3)(x−3)−2(x−2)(2x−1)，其中x=1．28.(2022·浙江省丽水市)先化简，再求值：(1+x)(1−x)+x(x+2)，其中x=1．2 29.(2022·山东省)先简化，再求值(mn+2)(mn−2)−(mn−1)2，其中m=5，n=−1．230.(2022·山东省)先化简，后求值：(2x−3)2−(x+2y)(x−2y)−4y2，其中x=1，y=3．31.(2022·山东省)计算(1)已知：x+y=6，xy=4，求x2+y2的值；(2)已知10m=2，10n=3，求103m−n的值．32.(2022·河北省)发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证如，(2+1)2+(2−1)2=10为偶数．请把10的一半表示为两个正整数的平方和；探究设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．参考答案1.A2.C3.D4.A5.D6.B7.C8.D9.A10.C11.D12.A13.D14.C15.B16.x(x+3y)(x−3y)17.2022(x−1)218.m819.2420.421.3(m+1)(m−1)22.(x+5)(x−5)23.x2(1+x)(1−x)24.9025.3a526.解：原式=(x+2)(3x−2−2x)=(x+2)(x−2)=x2−4，当x=√3−1时，原式=(√3−1)2−4=−2√3．27.解：(x +3)(x −3)−2(x −2)(2x −1)=x 2−9−2(2x 2−x −4x +2)=x 2−9−4x 2+2x +8x −4=−3x 2+10x −13， 当x =1时，原式=−3×1+10×1−13=−3+10−13=−6．28.解：(1+x)(1−x)+x(x +2)=1−x 2+x 2+2x =1+2x ，当x =12时，原式=1+2×12=1+1=2．29.解：原式=m 2n 2−4−(m 2n 2−2mn +1)=m 2n 2−4−m 2n 2+2mn −1=2mn −5，当m =5，n =−12时， 原式=2×5×(−12)−5 =−10．30.解：原式=4x 2−12x +9−(x 2−4y 2)−4y 2=4x 2−12x +9−x 2+4y 2−4y 2 =3x 2−12x +9， 当x =1，y =3时， 原式=3−12+9=0．31.解：(1)x 2+y 2=(x +y)2−2xy =62−2×4=36−8=28；(2)∵10m =2，10n =3，∴103m−n =103m ÷10n =(10m )3÷10n =23÷3=83．32.解：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．理由如下： (m +n)2+(m −n)2=m 2+2mn +n 2+m 2−2mn +n 2=2m2+2n2=2(m2+n2)，故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．。
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专题03 整式与因式分解一．选择题1．（2022•荆州）化简a ﹣2a 的结果是（ ） A ．﹣aB ．aC ．3aD ．02．（2020• 仙桃）下列运算正确的是（ ） A ．√4=±2B ．（12）﹣1＝﹣2C ．a+2a 2＝3a 3D ．（﹣a 2）3＝﹣a 63．（2020•黄石）下列运算正确的是（ ） A ．8a ﹣3b ＝5abB ．（a 2）3＝a 5C ．a 9÷a 3＝a 3D ．a 2•a ＝a 34．（2020•十堰）下列计算正确的是（ ） A ．a+a 2＝a 3B ．a 6÷a 3＝a 2C ．（﹣a 2b ）3＝a 6b 3D ．（a ﹣2）（a+2）＝a 2﹣45．（2020•恩施州）下列计算正确的是（ ） A ．a 2•a 3＝a 6B ．a （a+1）＝a 2+a C ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2D ．2a+3b ＝5ab6．（2020•孝感）下列计算正确的是（ ） A ．2a+3b ＝5ab B ．（3ab ）2＝9ab 2C ．2a •3b ＝6abD ．2ab 2÷b ＝2b7．（2020•黄冈）下列运算正确的是（ ） A ．m+2m ＝3m 2 B ．2m 3•3m 2＝6m 6C ．（2m ）3＝8m 3D ．m 6÷m 2＝m 38．（2020•咸宁）下列计算正确的是（ ） A ．3a ﹣a ＝2B ．a •a 2＝a 3C ．a 6÷a 2＝a 3D ．（3a 2）2＝6a 49．（2020•鄂州）下列运算正确的是（ ） A ．2x+3x ＝5x 2B ．（﹣2x ）3＝﹣6x 3C ．2x 3•3x 2＝6x 5D ．（3x+2）（2﹣3x ）＝9x 2﹣410．（2020•襄阳）下列运算一定正确的是（ ） A ．a+a ＝a 2B ．a 2•a 3＝a 6C ．（a 3）4＝a 12D ．（ab ）2＝ab 211．（2021•襄阳）下列计算正确的是（ ） A ．a 3÷a 3＝a 6B ．a 3•a 3＝a 6C ．（a 3）3＝a 6D ．（ab 3）2＝ab 612．（2021•仙桃）下列运算正确的是（）A．a•a2＝a3B．（a2）3＝a5C．（2a）3＝6a3D．a12÷a3＝a4 13．（2021•鄂州）下列运算正确的是（）A．a2•a＝a3B．5a﹣4a＝1 C．a6÷a3＝a2D．（2a）3＝6a3 14．（2021•荆州）若等式2a2•a+□＝3a3成立，则□填写单项式可以是（）A．a B．a2C．a3D．a4 15．（2021•宜昌）下列运算正确的是（）A．x3+x3＝x6B．2x3﹣x3＝x3C．（x3）2＝x5D．x3•x3＝x9 16．（2021•恩施州）下列运算正确的是（）A．7a3﹣3a2＝4a B．（a2）3＝a5C．a6÷a3＝a2D．﹣a（﹣a+1）＝a2﹣a 17．（2021•随州）下列运算正确的是（）A．a﹣2＝﹣a2B．a2+a3＝a5C．a2•a3＝a6D．（a2）3＝a6 18．（2021•十堰）下列计算正确的是（）A．a3•a3＝2a3B．（﹣2a）2＝4a2C．（a+b）2＝a2+b2D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2 19．（2021•孝感）下列计算正确的是（）A．a3+a2＝a5B．a3÷a2＝aC．3a3•2a2＝6a6D．（a﹣2）2＝a2﹣4 20．（2021•黄石）计算（﹣5x3y）2正确的是（）A．25x5y2B．25x6y2C．﹣5x3y2D．﹣10x6y2 21．（2021•武汉）计算（﹣a2）3的结果是（）A．a5B．﹣a5C．a6D．﹣a6 22．（2022•黄石）下列运算正确的是（）A．a9﹣a7＝a2B．a6÷a3＝a2C．a2•a3＝a6D．（﹣2a2b）2＝4a4b2 23．（2022•恩施州）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a3÷a2＝1 C．a3﹣a2＝a D．（a3）2＝a6 24．（2022•鄂州）下列计算正确的是（）A．b+b2＝b3B．b6÷b3＝b2C．（2b）3＝6b3D．3b﹣2b＝b 25．（2022•十堰）下列计算正确的是（）A．a6÷a3＝a2B．a2+2a2＝3a2C．（2a）3＝6a3D．（a+1）2＝a2+126．（2022•仙桃）下列计算正确的是（）A．a2•a4＝a8B．（﹣2a2）3＝﹣6a6C．a4÷a＝a3D．2a+3a＝5a227．（2022•武汉）计算（2a4）3的结果是（）A．2a12B．8a12C．6a7D．8a7 28．（2022•宜昌）下列运算错误的是（）A．x3•x3＝x6B．x8÷x2＝x6C．（x3）2＝x6D．x3+x3＝x6 29．（2021•宜昌）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a＞6）的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（）A．没有变化B．变大了C．变小了D．无法确定30．（2021•随州）根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝143，则p的值为（）A．100 B．121 C．144 D．169 31．（2022•荆门）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（）A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）32．（2020•十堰）根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则n＝（）A．17 B．18 C．19 D．20 33．（2021•十堰）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025 B．2023 C．2021 D．2019 34．（2020•武汉）下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．把“L”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法．图（4）是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是（）A．160 B．128 C．80 D．48二．填空题35．（2022•恩施州）因式分解：a3﹣6a2+9a＝．36．（2022•黄石）分解因式：x3y﹣9xy＝．37．（2021•仙桃）分解因式：5x4﹣5x2＝．38．（2021•荆门）把多项式x3+2x2﹣3x因式分解，结果为．39．（2021•十堰）已知xy＝2，x﹣3y＝3，则2x3y﹣12x2y2+18xy3＝．40．（2021•恩施州）分解因式：a ﹣ax 2＝ ． 41．（2021•黄石）分解因式：a 3﹣2a 2+a ＝ ． 42．（2020•黄石）因式分解：m 3n ﹣mn 3＝ ． 43．（2020•鄂州）因式分解：2m 2﹣12m+18＝ ． 44．（2020•咸宁）因式分解：mx 2﹣2mx+m ＝ ． 45．（2020•十堰）已知x+2y ＝3，则1+2x+4y ＝ ．46．（2022•恩施州）观察下列一组数：2，12，27，…，它们按一定规律排列，第n 个数记为a n ，且满足1a n+1a n+2=2a n+1．则a 4＝ ，a 2022＝ ．47．（2021•荆门）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第 行第 列．48．（2020•咸宁）按一定规律排列的一列数：3，32，3﹣1，33，3﹣4，37，3﹣11，318，…，若a ，b ，c 表示这列数中的连续三个数，猜想a ，b ，c 满足的关系式是 ．49．（2022•十堰）如图，某链条每节长为2.8cm ，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm ，按这种连接方式，50节链条总长度为 cm ．50．（2021•恩施州）古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个数即五边形数； 图形…五边形1512223551…数将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表；观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为．三．解答题51．（2020•武汉）计算：[a3•a5+（3a4）2]÷a2．52．（2022•仙桃）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．53．（2020•随州）先化简，再求值：a（a+2b）﹣2b（a+b），其中a=√5，b=√3．54．（2020•荆门）先化简，再求值：（2x+y）2+（x+2y）2﹣x（x+y）﹣2（x+2y）（2x+y），其中x=√2+1，y=√2−1．55．（2020•襄阳）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（3x+5y），其中x=√2，y=√62−1．56．（2022•荆门）已知x+1x=3，求下列各式的值：（1）（x−1x）2；（2）x4+1x4．。