2019年高三数学(文科)一轮复习强化训练北师大版2平面向量Word版含解析
北师版高考总复习一轮文科数学精品课件 第5章平面向量及其应用、复数 第3节 平面向量的数量积及其应用
1
答案:(1)
2
(2)-
3
3
解析:(1)∵单位向量 a,b 的夹角为 60°,∴a·
b=1×1×cos
∵a-kb 与 b 垂直,∴(a-kb)·
b=a·
b-kb
2
(2)(a-b)·
b=a·
b-1=0,∴sin −
π
3
3
cos
2
π
π
=1,又- <θ3
3
1
θ+2sin
<
1
= -k=0,则实数
2
θ-1=0,
第五章
第三节 平面向量的数量积及其应用
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
课标解读
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与向量射影的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数
量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量
积判断两个平面向量的垂直关系.
正切值为(
A. 3
C.
2
2
)
B.1
D. 2
(2) 若向量a,b满足|a|=2,|b|= 3 ,且(a-b)⊥(2a+3b),则a与b夹角的余弦值为
(
)
A.
C.
11
2
21
5
B.
D.
33
6
3
6
答案:(1)B (2)D
解析:(1)由题意知a+b=(m+1,3),又(a+b)⊥c,
∴3(m+1)-12=0,可得m=3.
北师版高考文科数学一轮总复习课后习题 第5章 平面向量及其应用、复数 平面向量的数量积及其应用
课时规范练26 平面向量的数量积及其应用基础巩固组1.(全国乙,理3)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=√3,|a-2b|=3,则a·b=()A.-2B.-1C.1D.22.设平面向量a=(1,0),θ为a,b间夹角,若a·b=2,cos θ=13,则|b|=( )A.2B.3C.9D.63.已知a,b为单位向量,且满足|a-b|=√2,则|2a+b|=( )A.√3B.√7C.√5D.2√24.已知向量a=(-1,2),b=(3,2),设θ为a+b,a-b间夹角,则cos θ为( )A.√1010B.-√55C.√22D.-√225.已知a与b满足|a|=1,|b|=2,|a-2b|=√13,则a与b的夹角为( )A.120°B.90°C.60°D.30°6.(河南焦作二模)在边长为2的正六边形ABCDEF中,AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF⃗⃗⃗⃗ =( )A.-6B.-2√3C.2√3D.67.若向量a,b 满足|a|=2,(a+2b)·a=6,则b 在a 方向上的射影为( ) A.1B.-1C.-12D.128.已知单位向量a,b,c,满足a+b+c=0,则a 与b 的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π69.若向量m=(0,-2),n=(√3,1),写出一个与2m+n 垂直的非零向量 .10.如图,在Rt △ABC 中,AB=AC,BC=4,O 为BC 的中点,以O 为圆心,1为半径的半圆与线段OC 交于点D,P 为半圆上任意一点,则BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 .11.已知向量a,b 满足:|a|=1,|b|=6,a·(b -a)=2,则a 与b 的夹角为 ;|2a-b|= .综合提升组12.(河南郑州二模)在△ABC 中,AB=2,AC=3,∠BAC=60°,M 是线段AC 上任意一点,则MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是( ) A.-12B.-1C.-2D.-413.在△ABC 中,已知AB=AC,D 为BC 边中点,点O 在直线AD 上,且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =3,则BC 边的长度为( ) A.√6 B.2√3C.2√6D.614.点A,B,C 在圆O 上,若|AB|=2,∠AC B=30°,则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A.3 B.2√3 C.4D.615.若点O 和点F 分别为椭圆x 24+y 23=1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 .创新应用组16.(山东济宁一模)等边三角形ABC 的外接圆的半径为2,点P 是该圆上的动点,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A.4 B.7C.8D.11参考答案课时规范练26 平面向量的数量积及其应用1.C 由已知得|a-2b|2=|a|2+4|b|2-4a·b=1+12-4a·b=9,解得a·b=1.2.D cosθ=a ·b |a ||b |=13⇒21·|b |=13⇒|b|=6.3.C a,b 为单位向量,且满足|a-b|=√2,所以a 2-2a·b+b 2=2,解得a·b=0,所以|2a+b|=√4a 2+4a ·b +b 2=√5.4.B 因为a=(-1,2),b=(3,2),所以a+b=(2,4),a-b=(-4,0).所以cosθ=(a+b )·(a -b )|a+b ||a -b |=-82√5×4=-√55.5.C 由|a-2b|=√13,等式左右平方得,(a-2b)2=a 2-4a·b+4b 2=1-4a·b+4×4=13,设θ为a,b 间夹角,所以a·b=1,即1×2×cosθ=1,cosθ=12,θ=60°.6.A 建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),C(3,√3),F(-1,√3),所以BF ⃗⃗⃗⃗ =(-3,√3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF ⃗⃗⃗⃗ =(3,√3)·(-3,√3)=-9+3=-6.7.D 设θ为a,b 间夹角,由已知条件可得(a+2b)·a=a 2+2a·b=4+2a·b=6,∴a·b=|a|·|b|cosθ=1,因此,b 在a 方向上的射影为|b|cosθ=12.8.C 设θ为a,b 间夹角,由a+b+c=0,得a+b=-c,所以|a+b|=|-c|,即|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=1,所以a·b=-12,由a·b=|a||b|·cosθ=-12,得θ=2π3.9.(√3,1)(答案不唯一) 因为m=(0,-2),n=(√3,1), 所以2m+n=2(0,-2)+(√3,1)=(√3,-3), 设a=(+n)=0,即√3x-3y=0, 令x=√3,则y=1,所以a=(√3,1). 10.2-√5建立如图所示的平面直角坐标系,则B(-2,0),A(0,2),D(1,0),设P(x,y),故BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+2,y),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2),所以BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x-2y+2.令x-2y+2=t,根据直线的几何意义可知,当直线x-2y+2=t 与半圆相切时,t 取得最小值,由点到直线的距离公式可得|2-t |√5=1,t=2-√5,即BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是2-√5.11.π32√7 设θ为a,b 间夹角,由题意,向量a,b 满足|a|=1,|b|=6,因为a·(b -a)=a·b -a 2=a·b -1=2,可得a·b=3,则cosθ=a ·b|a ||b |=31×6=12,因为θ∈[0,π],所以θ=π3,即a 与b 的夹角为π3,又由|2a-b|2=4a 2-4a·b+b 2=4×12-4×3+62=28,所以|2a-b|=2√7.12.B 设MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈[0,1]),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-(1-λ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =[-(1-λ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ]·(λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-λ(1-λ)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+λAB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-9λ(1-λ)+λ×2×3×cos60°=3λ(3λ-2),当λ=13时,MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3λ(3λ-2)取最小值-1.故选B.13.A 在△ABC 中,AB=AC,D 为BC 边中点,∴AD ⊥BC,在Rt △BDO 中有BD=BO·cos∠OBD,且BD=BC2,∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BO⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为∠OBD,即BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos∠OBD=3,∴|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |22=3,可得|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6,所以BC 边的长度为√6.14.C 点A,B,C 在圆O 上,|AB|=2,∠ACB=30°,设三角形的外接圆的半径为R,可得2R=2sin30°=4,所以R=2,如图,因为|AB|=2,|OC|=R=2,所以当OC⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 共线同向时,向量的数量积取得最大值4.故选C.15.6 由题意,得F(-1,0),设P(x 0,y 0),则有x 024+y 023=1,解得y 02=31-x 024,因为FP ⃗⃗⃗⃗ =(x 0+1,y 0),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0),所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗ =x 0(x 0+1)+y 02=x 02+x 0+31-x 024=x 024+x 0+3=14(x 0+2)2+2,因为-2≤x 0≤2,故当x 0=2时,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗ 取得最大值6. 16.C 如图所示,以直线BC 为x 轴,线段BC 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系.设三角形ABC 的边长为a,则a sinA=2×2=4,所以a=2√3,A(0,3),B(-√3,0),C(√3,0).三角形ABC 的外接圆的方程为x 2+(y-1)2=4,则点P 的坐标为(2cosθ,1+2sinθ),PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ (PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ )=4+2√3cosθ+2sinθ=4+4cos θ-π6≤8,故选C.。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 课时分层训练24 平面向量基本定理及坐标表示
课时分层训练(二十四) 平面向量基本定理及坐标表示A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．如图422，设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：图422①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内其他向量的基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④B [①中AD →，AB →不共线；③中CA →，DC →不共线．]2．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( ) 【导学号：00090132】 A ．－12a ＋32bB ．12a －32bC ．－32a －12bD ．－32a ＋12bB [设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32B ．]3．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向 D [由题意可得c 与d共线，则存在实数λ，使得c ＝λd ，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－λ，解得k ＝－1.c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d ，故c 与d 反向．]4．如图423，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA →，则 ( )图423A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14A [由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13.]5．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( ) A ．(－2,7) B ．(－6,21) C ．(2，－7)D ．(6，－21)B [AQ →＝PQ →－PA →＝(－3,2)，∵点Q 是AC 的中点，∴AC →＝2AQ →＝(－6,4)，PC →＝PA →＋AC →＝(－2,7)，∵BP →＝2PC →，∴BC →＝3PC →＝(－6,21)．] 二、填空题6．(2017·陕西质检(二))若向量a ＝(3,1)，b ＝(7，－2)，则与向量a －b 同方向单位向量的坐标是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 [由题意得a －b ＝(－4,3)，则|a －b |＝－2＋32＝5，则a －b 的单位向量的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35.] 7．已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1,1)，C (2,3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →的坐标是________．(4,7) [由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →.设点B 为(x ，y )，则(2－x,3－y )＝－2(1,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝－2，3－y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝7.所以向量OB →的坐标是(4,7)．]8．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________．m ≠54[由题意得AB →＝(－3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，若A ，B ，C 能构成三角形，则AB →，AC→不共线，则－3×(1－m )≠1×(2－m )，解得m ≠54.]三、解答题9．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b ). (1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标. 【导学号：00090133】 [解] (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1). 2分∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∵2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2. 5分 (2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2). 7分∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3).12分10．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[解] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，2分所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.5分(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，7分 由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2018·宁波模拟)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三个点，直线AB 上有一点C 满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →C ．23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →A [由2AC →＋CB →＝0得AC →＋AB →＝0，即AC →＝－AB →，则OC →＝OA →＋AC →＝OA →－AB →＝OA →－(OB →－OA →)＝2OA →－OB →.]2．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图424所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.图4244 [以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，∴a ＝AO →＝(－1,1)，b ＝OB →＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1，－3)． ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)， 即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3， 解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝4.]3．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线. 【导学号：00090134】 [解] (1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4) ＝(4t 2,2t 1＋4t 2).2分当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.5分 (2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2). 7分∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →， 10分∴AM →与AB →共线，又有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线. 12分。
2019届高考数学(北师大版文)大一轮复习讲义第五章 平面向量 高考专题突破二 Word版含答案
高考专题突破二高考中的三角函数与平面向量问题【考点自测】．(·全国Ⅱ)若将函数＝的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为()．＝－(∈) ．＝＋(∈)．＝－(∈) ．＝＋(∈)答案解析由题意将函数＝的图像向左平移个单位长度后得到函数的解析式为＝，由＋＝π＋(∈)得函数的对称轴为＝＋(∈)，故选.．(·全国Ⅲ)在△中，＝，边上的高等于，则等于()．－．－答案解析设边上的高交于点，由题意＝，可知＝，＝，∠＝，∠＝，＝(∠＋∠)＝＝－，所以＝－.．在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则等于()．．．．答案解析将△的各边均赋予向量，则＝＝＝＝＝＝－＝－＝.．(·全国Ⅱ)△的内角，，的对边分别为，，，若＝，＝，＝，则＝.答案解析在△中，由＝，＝，可得＝，＝，＝(＋)＝＋·＝，由正弦定理得＝)＝..若函数＝(ω＋φ)在一个周期内的图像如图所示，，分别是这段图像的最高点和最低点，且·＝(为坐标原点)，则＝.答案π解析由题意知，，又∵·＝×－＝，∴＝π.题型一三角函数的图像和性质例(·山东)设()＝(π－) －( － ).()求()的递增区间；()把＝()的图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移个单位长度，得到函数＝()的图像，求的值．解()由()＝(π－) －( －)＝－(－)＝(－)＋－＝－＋－＝＋－.由π－≤－≤π＋(∈)，得π－≤≤π＋(∈)．所以()的递增区间是(∈).()由()知()＝＋－，把＝()的图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)，得到＝＋－的图像，再把得到的图像向左平移个单位长度，得到＝＋－的图像，即()＝＋－.所以＝＋－＝.思维升华三角函数的图像与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为＝(ω＋φ)＋的形式，然后将＝ω＋φ视为一个整体，结合＝的图像求解．跟踪训练已知函数()＝－＋(其中∈)，求：()函数()的最小正周期；()函数()的单调区间；()函数()图像的对称轴和对称中心．解()因为()＝－(＋)＋＝－(()) ))＝，所以函数的最小正周期＝＝π.()由π－≤－≤π＋(∈)，得π－≤≤π＋(∈)，。
2019年高考数学一轮复习重点强化训练2平面向量文北师大版
重点强化训练(二)平面向量A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1. (2017 •石家庄模拟)已知a, b是两个非零向量，且|a+ b| = | a| + | b|，则下列说法正确的是()A. a+ b= 0B. a= bC. a与b共线反向D. 存在正实数入，使a=^ bD [因为a, b是两个非零向量，且|a+ b| = | a| + | b|.则a与b共线同向，故D正确.]2. 若a,b,c均为单位向量，且a -b = 0,(a—c)・(b—c) <0,则| a+ b-c|的最大值为()【导学号：00090149】A. 2—1B. 1C. 2D. 2B [因为|a| = | b| = |c| = 1 ,a -b = 0，所以|a+ b| 2= a2+ b2+ 2a -b = 2,故| a+ b| = 2.2展开(a—c) •( b—c) w0,得a -b —(a+ b) • c + c <0,I即0—(a+ b) • c + 1w0,整理，得(a + b) • c> 1.2 2 2而| a+ b—c| = (a+ b) —2(a+ b) • c+ c = 3—2(a+ b) • c,所以3—2(a+ b) • c<3—2X 1= 1.2所以|a+ b—c| w 1,即|a+ b—c| w 1.]* I 23. (2016 •北京高考)设a, b 是向量，则a| = | b| ” 是a+ b| = | a—b| ” 的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件D [若| a| = | b|成立，则以a, b为邻边的平行四边形为菱形. a+ b, a —b表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以| a+ b| = | a—b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a+ b| = |a—b|成立，则以a, b为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a| = | b|不一定成立，从而不是必要条件.故“I a| = | b| ”是“| a+ b| = | a—b| ”的既不充分也不必要条件. ]4. 在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，A(3,0) , B(0,3) , Qcosa , sin a )，若| 6A[由题意，得 6A^ O C= (3 + cos a , sin n因为 0 € [0 , n ]，所以 0 = g.]5.已知直线ax + by + c = 0与圆O x 2 + y 2值是A ,B 两点，且AB= , 3，则O A- 6B 勺A. 3 -4[取AB 的中点C,连接OC AB=W ,则AC = ~23，又因为OA= 1, 所以 sin i 1 / AOB = sin / AO = ，所以/ AO = 120°, 则(3A - O B= 1X 1X cos 120 °=— 2.]A. B. C.D. 5 6n所以吐 O (C = , 3 + cos= 10+ 6cos a = * 13,1 2，即 COS a因为a € (0 , n )，所以a 设OBI &的夹角为0 ,O B- O C----------- 2 2 a + sin3，C 2, 贝 U cos 0 = == -^3|O B-IO C 3X1 2C.D. 0、填空题 6.设0是坐标原点，已知 O A (k, 12), 0B= (10, k ) , O C= (4,5)，若A , B, C 三点共线， 则实数k 的值为 __________ .11 或一 2 ［由题意得 CA= OA- OC= (k — 4,7),CB= OB- 0C= (6 , k — 5),所以(k — 4)( k — 5) = 6x 7,k — 4 = 7 或 k — 4=— 6,即卩 k = 11 或 k = — 2.］7.(2018 •黄冈模拟)已知两个平面向量 a , b 满足|a | = 1, | a — 2b | = 21,且a 与b 的夹 角为120°,则|b | = ____________ .【导学号：00090150】 2 ［由 | a — 2b | = 21 得 a 2— 4a -b + 4b 2 = 21.25即 1 + 2| b | + 4| b | = 21,解得 I b | = 2 或I b | = — 2(舍).］& 已知点 A , B, C 满足 |AB = 3, |BC = 4, |CA = 5,则 AB- B C + BC- CA + CA- AB= _______ .—25 ［由 |AB 2+ | B C 2= |CA 2 得/ B = 90°, cos C =4 cos A = 3, A B- BC= 0, B C- CA 5525.］三、解答题9.在直角坐标系 xOy 中，已知点 A (1,1) , B (2,3) , C (3,2)，点F (x , y )在厶ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OF = mA + nAC m n € R). 2(1)若 m= n = 3,求 |0P ;⑵用x , y 表示m-n ,并求m- n 的最大值.［解］(1) T m= n = I , °B= (1,2) , AC = (2,1),o 2 2•••OF = 3(1,2) + 3(2,1) = (2,2), •••I O P = 2 + 2 = 2 .2. (2) T O F = n(1,2) + n (2,1)x = m + 2n ,=4X 5X5 =— 9,所以°B- 0+ E°C- 0+ CA- °B= — 5=(n + 2n, 2n + n ),5 =-16, CA- AB= 5X 3Xy= 2m+ n,两式相减，得mi- n = y — x .令y — x = t ，由图知，当直线 y = x +1过点B (2,3)时，t 取得最大值1,故n — n 的最大 值为1.12分(2) f (x ) =a •b =-3sin x • cos x + sin 2x=_ 3=2 '3^所以f (x )的最大值为2.B 组能力提升(建议用时：15分钟)【导学号：00090152】 A. — 4 B. 3 C.— 11D. 10C ［ a • b = 2x 3x cos 60 ° = 3,10.设向量 a = ( 3sin x , sinI nx ) , b = (cos x , sin x ) , x € 00,⑴若| a | = |b |，求x 的值;(2)设函数f (x ) = a • b ,求 f (x )的最大［解］(1)由x )2 + (sin 2 2| b | = (cos x ) + (sinx )2= 1,及| a | = | b |，得 4sin 2x = 1.c【导学号：00090151】 ■又x € |0,手，，从而1sin x = 2，所以n 1 sin 2 x — Q COS 2 x + sin 2x —石 + ?，当 x =n € 0, n sin 2x — n 取最大值1.12分1. (2018 •兰州模拟)已知向量 a ,b 的夹角为 60°,且 |a | = 2, |b | = 3，设OA= a , 0B= b ,张ma — 2b ,若厶ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形，则()2 2 x ) = 4sin x ,XB= O B-(3A= b—a, AC= O C-OA= (m—1)a —2B.•/AB丄AC ••• XB- AC= 0,即(b — a ) • [( m- i )a — 2b ] = 0,2 2•••(1 — m ) a — 2b + ( m — 1)a • b + 2a - b = 0,即 4(1 — n ) — 18+ 3(m — 1) + 6= 0, 解得n =— 11.故选C.] 2.如图2,菱形ABCD 勺边长为2, / BAD= 60°, M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界），则XM-云N 勺最大值为 ______9 ［由平面向量的数量积的几何意义知， AM- AN 等于AM 与At 在AM 方向上的投影之积，所以(AM i ・ X N max = X M - A C=匚荷 AD ：・(AB+ AD = ^AB + AD +^AB- AD = 9.] 幺 丿223.已知函数 f (x ) = a • b ,其中 a = (2cos x ,— 3sin 2 x ) , b = (cos x, 1) , x € R (1) 求函数y = f (x )的单调递减区间；(2) 在厶ABC 中，角A , B, C 所对的边分别为 a, b , c , f (A ) =— 1, a = 7,且向量m=(3 , sin B)与n = (2 , sin C )共线，求边长b 和c 的值.n令 2k n W2 x + 3 W2k n + n (k € Z),n n解得 k n — — w x w k n + "3( k € Z),nn• f (x )的单调递减区间为|k n —6, k n + — ( k € Z).(n )⑵•/ f (A ) = 1 + 2cos i2A +§ =— 1,口 n n 7 n n n 又 y<2A + 亍<丁, • 2A +~3 = n ，即 A = ~.a= 7,(1) f (x ) = ab = 2cos 2x — 3sin 2x = 1 + cos 2x —■ / 3sin2x = 1 + 2cos2分…cos 1.由余弦定理得a2= b2+ c2—2bc cos A= ( b+ c)2—3bc= 7.①•••向量n= (3 , sin B)与n= (2 , sin C)共线，2sin B= 3sin C.由正弦定理得2b= 3c,②由①②可得b= 3, c= 2.12分。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 第4章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示学案
第二节 平面向量基本定理及坐标表示[考纲传真] 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(对应学生用书第59页)[基础知识填充]1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，该平面内的任一向量a 可表示成a ＝x i ＋y j ，由于a 与数对(x ，y )是一一对应的，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )． 3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(3)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,3)，那么|a ＋b |等于 ( ) A ．5 B ．13 C ．17D ．13B [因为a ＋b ＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a ＋b |＝32＋22＝13.]3．(2018·洛阳模拟)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)A [AB →＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 故选A ．]4．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. －6 [∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ， ∴－2m －4×3＝0，∴m ＝－6.]5．(教材改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________． (1,5) [设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )， 即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.](对应学生用书第60页)(1)12面内所有向量的一组基底的是 ( ) A ．e 1与e 1＋e 2 B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2 C ．e 1＋e 2与e 1－e 2 D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1(2)(2018·太原模拟)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________. 【导学号：00090130】(1)D (2)43 [(1)选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，－2＝2λ无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝－λ无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量．(2)选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μAD →， 于是得⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.][规律方法] 1.利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．2．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．如解答本题(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ，μ的方程组．[变式训练1] 如图421，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD与BC 的中点．设BA →＝a ，BC →＝b ，则EF →＝________，DF →＝________，CD →＝________(用向量a ，b 表示)．图42113b －a 16b －a a －23b [EF →＝EA →＋AB →＋BF →＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF →＝DE →＋EF →＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ，CD →＝CF →＋FD →＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23B ．]已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点．∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2)，∴MN →＝(9，－18)．[规律方法] 1. 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．常利用向量相等则其坐标相同列方程(组)求解．2．平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．[变式训练2] (2017·合肥三次质检)已知a ＝(1，t )，b ＝(t ，－6)，则|2a ＋b |的最小值为________．25 [由条件得2a ＋b ＝(2＋t,2t －6)，所以|2a ＋b |＝＋t2＋t －2＝t －2＋20，当t ＝2时，|2a ＋b |的最小值为2 5.]已知a(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值.【导学号：00090131】[解] (1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)法一：∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ3＝m λ，解得m ＝32.法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC →＝a ＋m b ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥BC →. ∴8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0， ∴m ＝32.[规律方法] 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；(2)若a ∥b (a ≠0)，则b ＝λA ．2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例求解．[变式训练3] (1)(2017·郑州模拟)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝________.(2)已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．(1)π4 (2)k ≠1 [(1)由a ∥b ，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝12，所以cos 2θ＝12，所以cos θ＝22或－22，又θ为锐角，所以θ＝π4. (2)若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， 所以1×(k ＋1)－2k ≠0， 解得k ≠1.]。
2019年高考数学一轮复习学案 训练 课件(北师大版文科)重点强化训练2平面向量文北师大版_36
重点强化训练(二) 平面向量组基础达标(建议用时：分钟)一、选择题．(·石家庄模拟)已知，是两个非零向量，且＋＝＋，则下列说法正确的是 ( ) ．＋＝．＝．与共线反向．存在正实数λ，使＝λ[因为，是两个非零向量，且＋＝＋.则与共线同向，故正确．]．若，，均为单位向量，且·＝，(－)·(－)≤，则＋－的最大值为( ) 【导学号：】．－．．．[因为＝＝＝，·＝，所以＋＝＋＋·＝，故＋＝.展开(－)·(－)≤，得·－(＋)·＋≤，即－(＋)·＋≤，整理，得(＋)·≥.而＋－＝(＋)－(＋)·＋＝－(＋)·，所以－(＋)·≤－×＝.所以＋－≤，即＋－≤.]．(·北京高考)设，是向量，则“＝”是“＋＝－”的( )．充分而不必要条件．必要而不充分条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件[若＝成立，则以，为邻边的平行四边形为菱形．＋，－表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以＋＝－不一定成立，从而不是充分条件；反之，若＋＝－成立，则以，为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以＝不一定成立，从而不是必要条件．故“＝”是“＋＝－”的既不充分也不必要条件．]．在平面直角坐标系中，已知是坐标原点，()，()，( α，α)，若＋＝，α∈(，π)，则与的夹角为( )．．．π．π[由题意，得＋＝(＋α，α)，所以＋＝α＋α)＝α)＝，即α＝，因为α∈(，π)，所以α＝，.设与的夹角为θ，则θ＝＝＝.因为θ∈[，π]，所以θ＝.]．已知直线＋＋＝与圆：＋＝相交于，两点，且＝，则·的值是 ( ) ．－．．－．[取的中点，连接，＝，则＝，又因为＝，所以＝∠＝＝，所以∠＝°，则·＝×× °＝－.]二、填空题．设是坐标原点，已知＝()，＝(，)，＝()，若，，三点共线，则实数的值为．或－[由题意得＝－＝(－)，＝－＝(，－)，所以(－)(－)＝×，－＝或－＝－，即＝或＝－.]．(·黄冈模拟)已知两个平面向量，满足＝，－＝，且与的夹角为°，则＝. 【导学号：】[由－＝得－·＋＝.即＋＋＝，解得＝或＝－(舍)．]．已知点，，满足＝，＝，＝，则·＋·＋·＝.－[由＋＝得∠＝°，＝，＝，·＝，·＝××＝－，·＝××＝－，所以·＋·＋·＝－.]三、解答题。
教育最新K122019年高考数学一轮复习学案 训练 课件(北师大版文科)： 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的
第三节 平面向量的数量积及其应用[考纲传真] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．(对应学生用书第61页)[基础知识填充]1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，如图431，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a 与b 的夹角．图431(2)当θ＝0°时，a 与b 共线同向． 当θ＝180°时，a 与b 共线反向． 当θ＝90°时，a 与b 互相垂直． 2．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积或b 的长度|b |与a 在b 方向上射影|a |cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·C ．4．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉．[1．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b ＞0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b ＜0且a ，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2. 3．当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b |； 当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b |.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．( ) (2)由a ·b ＝0，可得a ＝0或b ＝0.( ) (3)由a ·b ＝a ·c 及a ≠0不能推出b ＝C ．( )(4)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为矩形. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°A [因为BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，所以BA →·BC →＝34＋34＝32.又因为BA →·BC →＝|BA→||BC →|cos ∠ABC ＝1×1×cos∠ABC ，所以cos ∠ABC ＝32.又0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC ＝30°.故选A ．]3．(2015·全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2C [法一：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴a 2＝2，a ·b ＝－3， 从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a ·b ＝4－3＝1. 法二：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴2a ＋b ＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C ．]4．(教材改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________．－2 [由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝4×cos 120°＝－2.] 5．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.7 [∵a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)， ∴a ＋b ＝(－1＋m,2＋1)＝(m －1,3)． 又a ＋b 与a 垂直，∴(a ＋b )·a ＝0， 即(m －1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m ＝7.](对应学生用书第62页)E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B ．18 C ．14D ．118(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________. 【导学号：00090135】 (1)B (2)1 1 [(1)如图所示，AF →＝AD →＋DF →.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34AC →，所以AF →＝12AB →＋34AC →.又BC →＝AC →－AB →，则AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋34AC →·(AC →－AB →)＝12AB →·AC →－12AB →2＋34AC →2－34AC →·AB →＝34AC →2－12AB →2－14AC →·AB →.又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF →·BC →＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B ．(2)法一：以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1， 故DE →·DC →的最大值为1.法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，所以DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1， 所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1.][规律方法] 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．2．(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量．(2)注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形．[变式训练1] (1)已知AB →＝(2,1)，点C (－1,0)，D (4,5)，则向量AB →在CD →方向上的投影为 ( ) A ．－322B ．－3 5C ．322D ．3 5(2)(2018·榆林模拟)已知在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE →＝2EC →，点F 在边CD 上．若AB →·AF →＝3，则AE →·BF →的值为( ) 【导学号：00090136】A ．0B ．833C ．－4D ．4(1)C (2)C [(1)因为点C (－1,0)，D (4,5)，所以CD ＝(5,5)，又AB →＝(2,1)，所以向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.(2)由AB →·AF →＝3得AB →·(AD →＋DF →)＝AB →·DF →＝3， 所以|DF →|＝1，|CF →|＝2，所以AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·(BC →＋CF →)＝AB →·BC →＋AB →·CF →＋BE →·BC →＋BE →·CF →＝AB →·CF →＋BE →·BC →＝－6＋2＝－4.]角度1 (1)(2017·合肥二次质检)已知不共线的两个向量a ，b 满足|a －b |＝2且a ⊥(a－2b )，则|b |＝( ) A ． 2 B ．2 C ．2 2D ．4(2)(2018·西安模拟)已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC →＝2a －6b ，D 为BC 的中点，则|AD →|＝________.(1)B (2)2 [(1)由a ⊥(a －2b )得a ·(a －2b )＝|a |2－2a ·b ＝0.又∵|a －b |＝2，∴|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝4，则|b |2＝4，|b |＝2，故选B ．(2)因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b·a ＋b 2) ＝4×(3－2×2×3×cos π6＋4)＝4，所以|AD →|＝2.]角度2 平面向量的夹角(1)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.(2)若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________．(1)223 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3 [(1)因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×12×cos α＋4＝9， 所以|a |＝3，因为b 2＝(3e 1－e 2)2＝9－2×3×1×12×cos α＋1＝8， 所以|b |＝22，a·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a·b |a||b |＝83×22＝223.(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )·c ＜0， 即(2k －3，－6)·(2,1)＜0， ∴4k －6－6＜0， ∴k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向．综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3.] 角度3 平面向量的垂直(2016·山东高考)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________．－5 [∵a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)，∴t a ＋b ＝(t ＋6，－t －4)． 又a ⊥(t a ＋b )，则a ·(t a ＋b )＝0，即t ＋6＋t ＋4＝0，解得t ＝－5.][规律方法] 1.求两向量的夹角：cos θ＝a ·b|a |·|b |，要注意θ∈[0，π]．2．两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |. 3．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (2)|a ±b |＝a ±b2＝a 2±2a ·b ＋b 2.(3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．【导学号：00090137】[解] (1)因为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m⊥n .所以m·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0＜x ＜π2，所以－π4＜x －π4＜π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.[规律方法] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数的定义域内的有界性，求得值域等． [变式训练2] (2018·郴州模拟)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，32，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a∥b 时，求tan 2x 的值；(2)求函数f (x )＝(a ＋b )·b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的值域．[解] (1)∵a∥b ，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，32，b ＝(cos x ，－1) ∴sin x ·(－1)－32·cos x ＝0，即sin x ＋32cos x ＝0，得sin x ＝－32cos x ，∴tan x ＝sin x cos x ＝－32，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝125. (2)∵a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ，32，b ＝(cos x ，－1)， ∴a·b ＝sin x cos x －32，b 2＝cos 2x ＋(－1)2＝cos 2x ＋1，∴f (x )＝(a ＋b )·b ＝a·b ＋b 2＝sin x cos x －32＋cos 2x ＋1＝12sin 2x ＋12(1＋cos 2x )－12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，∴f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，12.故函数f (x )＝(a ＋b )·b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，12.。
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重点强化训练(二)平面向量
(对应学生用书第222页)
A组基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2017·石家庄模拟)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是()
A．a＋b＝0
B．a＝b
C．a与b共线反向
D．存在正实数λ，使a＝λb
D[因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|.则a与b共线同向，故D 正确．]
2．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为() 【导学号：00090149】
A．2－1B．1
C．2D．2
B[因为|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝0，所以|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝2，故|a＋b|＝ 2.
展开(a－c)·(b－c)≤0，得a·b－(a＋b)·c＋c2≤0，
即0－(a＋b)·c＋1≤0，整理，得(a＋b)·c≥1.
而|a＋b－c|2＝(a＋b)2－2(a＋b)·c＋c2＝3－2(a＋b)·c，
所以3－2(a＋b)·c≤3－2×1＝1.
所以|a＋b－c|2≤1，即|a＋b－c|≤1.]
3．(2016·北京高考)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的() A．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
D [若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形．a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．]
4．在平面直角坐标系中，已知O 是坐标原点，A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，若|OA →＋OC →|＝13，α∈(0，π)，则OB →与OC →的夹角为( ) A ．π6 B ．π3 C ．23π
D ．56π
A [由题意，得OA →＋OC →＝(3＋cos α，sin α)，
所以|OA →＋OC →|＝(3＋cos α)2＋sin 2α
＝
10＋6cos α＝13，
即cos α＝1
2，
因为α∈(0，π)，所以α＝π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，32.
设OB
→与OC →的夹角为θ， 则cos θ＝OB →·OC →|OB →|·|OC →|＝3
233×1＝3
2.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝π
6.]
5．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝3，则OA →·OB →的值是 ( ) A ．－12 B ．12 C ．－34
D ．0
A [取A
B 的中点
C ，连接OC ，AB ＝3，
则AC ＝3
2，又因为OA ＝1，
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12∠AOB ＝sin ∠AOC ＝AC OA ＝32，
所以∠AOB ＝120°，
则OA →·OB →＝1×1×cos 120°
＝－12.] 二、填空题
6．设O 是坐标原点，已知OA
→＝(k,12)，OB →＝(10，k )，OC →＝(4,5)，若A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值为________． 11或－2 [由题意得CA →＝OA →－OC →＝(k －4,7)，
CB
→＝OB →－OC →＝(6，k －5)， 所以(k －4)(k －5)＝6×7，
k －4＝7或k －4＝－6，即k ＝11或k ＝－2.]
7．(2018·黄冈模拟)已知两个平面向量a ，b 满足|a |＝1，|a －2b |＝21，且a 与b 的夹角为120°，则|b |＝________. 【导学号：00090150】 2 [由|a －2b |＝21得a 2－4a·b ＋4b 2＝21.
即1＋2|b |＋4|b |2
＝21，解得|b |＝2或|b |＝－5
2(舍)．]
8．已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →
＝________.
－25 [由|AB →|2＋|BC →|2＝|CA →|2得∠B ＝90°，cos C ＝45，cos A ＝35，AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－16，CA →·AB →＝5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－9，所以AB →·BC
→＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25.]
三、解答题
9．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23，求|OP
→|；
(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． [解] (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →
＝(2,1)， ∴OP
→＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)， 3分 ∴|OP
→|＝22＋22＝2 2.
5分
(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，
8分
两式相减，得m －n ＝y －x .
令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.
12分
10．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；
(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．
【导学号：00090151】
[解] (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.
3分 又x ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.
5分
(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6＋12，
8分
当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.
所以f (x )的最大值为3
2.
12分
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．(2018·兰州模拟)已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝3，设OA →＝a ，OB →
＝b ，OC
→＝m a －2b ，若△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，则m ＝( ) 【导学号：00090152】
A ．－4
B ．3
C ．－11
D ．10
C [a ·b ＝2×3×cos 60°＝3，
AB
→＝OB →－OA →＝b －a ，AC →＝OC →－OA ＝(m －1)a －2B ． ∵AB ⊥AC ，∴AB →·AC →＝0，
即(b －a )·[(m －1)a －2b ]＝0，
∴(1－m )a 2－2b 2＋(m －1)a ·b ＋2a ·b ＝0， 即4(1－m )－18＋3(m －1)＋6＝0， 解得m ＝－11.故选C ．]
2．如图2，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN
→的最大值为________．
图2
9 [由平面向量的数量积的几何意义知，AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →方向上的投影
之积，所以(AM →·AN →)max
＝AM →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋AD →·(AB →＋AD →)＝12AB →2＋AD →2＋32AB →·AD
→＝9.]
3．已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R . (1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．
[解] (1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π3，
2分。