高二数学条件概率3
条件概率课后作业解析版 高二数学同步教学(人教A版(2019)选择性必修第三册)
7.1.1 条件概率分层作业基础巩固1．抛掷一枚骰子，观察出现的点数．若已知出现的点数不超过4，则出现的点数是奇数的概率为( ) A ．13B ．14C ．16D ．12答案：D 解析：设“抛掷一枚骰子出现的点数不超过4”为事件A ，“抛掷一枚骰子出现的点数是奇数”为事件B ，则P (B |A )＝n (AB )n (A )＝24＝12. 2.抛掷红、蓝两颗骰子，若已知蓝骰子的点数为3或6，则两颗骰子点数之和大于8的概率为________．答案：512 解析：令A 为事件“抛掷出的红、蓝两颗骰子中蓝骰子的点数为3或6”，B 为事件“两颗骰子点数之和大于8”，则A ＝{(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，AB ＝{(3,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}． 所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝512.3．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( )A.56 B ．910C.215D ．115答案：C 解析：由题意，知P (AB )＝P (B |A )P (A )＝13×25＝215.4．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，在下雨天里，刮风的概率为38，则既刮风又下雨的概率为( )A.8225 B ．12C ．110D ．34答案：C 解析：记“该地区下雨”为事件A ，“刮风”为事件B ，则 P (A )＝415，P (B )＝215，P (B |A )＝38，所以P (AB )＝P (A )P (B |A )＝415×38＝110. 5．若B ，C 是互斥事件且P (B |A )＝13，P (C |A )＝14，则P (B ∪C |A )＝( )A.12 B ．13C ．310D ．712答案：D 解析：因为B ，C 是互斥事件， 所以P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )＝13＋14＝712.6．某班学生的考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( ) A.15 B ．310C ．12D ．35答案：A 解析：设A 为事件“数学不及格”，B 为事件“语文不及格”，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.030.15＝15.所以该学生数学不及格时，语文也不及格的概率为15. 7.已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为( ) A ．0.6 B ．0.7 C ．0.8D ．0.9答案：C 解析：设“第一个路口遇到红灯”为事件A ，“第二个路口遇到红灯”为事件B ，则P (A )＝0.5，P (AB )＝0.4，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.8. 综合运用8．从标有数字1,2,3,4,5的五张卡片中，依次抽出2张(取后不放回)，则在第一次抽到的卡片是奇数的情况下，第二次抽到的卡片是偶数的概率为( ) A.14 B ．23C ．13D ．12答案：D 解析：设事件A 表示“第一次抽到奇数”，事件B 表示“第二次抽到偶数”， 则P (A )＝35，P (AB )＝35×24＝310，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12.9．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别是1,2,3,4,5,6点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，记事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，则概率P (B |A )的值为( ) A.12 B ．13C ．14D ．16答案：B 解析：根据题意，事件A 为“x ＋y 为偶数”，则x ，y 两个数均为奇数或两个数均为偶数，共有2×3×3＝18(个)样本点．所以事件A 发生的概率为P (A )＝2×3×36×6＝12，而A ，B 同时发生，包含的样本点数n (AB )＝6，所以事件A ，B 同时发生的概率为P (AB )＝66×6＝16，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1612＝13.10．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分)． 甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83 乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74现从这20名学生中随机抽取1名，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A ，“抽出学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ，则P (AB )，P (A |B )的值分别是( ) A.14，59 B ．14，49C.15，59D ．15，49答案：A 解析：从这20名学生中随机抽取一人，包含20个样本点， 事件B 包含9个样本点，故P (B )＝920.又事件AB 包含5个样本点，故P (AB )＝14，故P (A |B )＝P (AB )P (B )＝59.故选A.11．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为( ) A.119B ．1738C ．419D ．217答案：D 解析：设A 表示事件“抽到的第2张是假钞”，B 表示事件“抽到的第1张是假钞”，所求概率为P (A |B )．而P (AB )＝C 25C 220＝119，P (B )＝C 25＋C 15C 115C 220＝1738. 所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝217.12.加工某种零件需要两道工序，第一道工序出废品的概率为0.4，两道工序都出废品的概率为0.2，则在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率为________． 答案：0.5 解析：设“第一道工序出废品”为事件A ，则P (A )＝0.4，“第二道工序出废品”为事件B .根据题意可得P (AB )＝0.2，故在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12＝0.5. 13.甲、乙两地都处于长江下游，根据历史记载，知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%与18%，两地同时下雨的比例为12%. (1)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为________； (2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为________．答案：(1)23 (2)0.6 解析：设A ＝“甲地为雨天”，B ＝“乙地为雨天”，则P (A )＝20%＝0.2，P (B )＝18%＝0.18，P (AB )＝12%＝0.12. (1)P (A |B )＝P (AB )P (B )＝0.120.18＝23.(2)P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.120.2＝0.6.拓广探索14.一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么：(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？解：(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A ，“再摸出1个白球”为事件B ，则“先后两次摸出白球”为事件AB ，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果， 所以P (A )＝12，P (AB )＝2×14×3＝16，所以P (B |A )＝1612＝13.所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为13.(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A 1，“再摸出1个白球”为事件B 1，“两次都摸出白球”为事件A 1B 1，P (A 1)＝12，P (A 1B 1)＝2×24×4＝14，所以P (B 1|A 1)＝P (A 1B 1)P (A 1)＝1412＝12.所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为12.15.一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为79.(1)求白球的个数；(2)现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，已知第1次取得白球，求第2次取得黑球的概率．解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A ，记袋中白球个数为x . 则P (A )＝1－C 210－xC 210＝79，解得x ＝5，即白球的个数为5.(2)记“第1次取得白球”为事件B ，“第2次取得黑球”为事件C ，则P (BC )＝C 15C 110·C 15C 19＝2590＝518， P (B )＝C 15C 15＋C 15C 14C 110C 19＝25＋2090＝12. 故P (C |B )＝P (BC )P (B )＝51812＝59.。
高二数学条件概率3
P(B)>0
变式:
P( AB) P( A B )P (B )
P(B)>0
创新P0444
在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果
不放回地依次抽取2道题，求： （1）第1次抽到理科题的概率; P（A）= 5 （2）第1次和第2次都抽到理科题的概率;
P（AB）=
3 5 2 4 3 10
他
3
(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽 1 到理科题的概率。 P（B|A）=
P（
P（A|B），P（AB）和P（B）会有什么样的关系
求条件概率公式
一般地,若P(B)>0,则事件B已发生的条件下A发 生的是条件概率
P(A B) P(AB) P(B)
注
(1) 在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率
P(B A) P(AB) P ( A)
P(A)>0
(2) 利用条件概率,有下面变式
(i i) 一般地
P(A B)
P(AB) P(B)
P ( A | B ) P ( A)
课本例2.如图2-3-1所示的正方形被平均分成 9个部分,向大正方形区域随机地投掷一个点 (每次都能投中),设投中最左侧3个小正方形区 域的事件记为A,投中最上面3个小正方形或 正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求 P(AB),P(A|B).
1 P （AB） 4 P （A | B） 3 3 P （B） 4 1
再举一例.
抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为
令事件 A 2， 3， 5，B 1 ， 2， 4， 5， 6 S 1 ， 2， 3， 4， 5， 6，
（ A）， P （ B） ,P （ AB）， P （ A | B） 求 P
高二数学概率与统计中的条件概率与贝叶斯定理
高二数学概率与统计中的条件概率与贝叶斯定理概率与统计是数学中非常重要的一个分支，它研究随机事件的发生规律和数据的统计特征。
在高二的数学课程中，我们学习了概率与统计中的条件概率与贝叶斯定理，它们在实际问题中具有广泛的应用。
本文将就条件概率与贝叶斯定理的概念、公式及其应用进行介绍。
一、条件概率的概念与公式条件概率是指在一个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
设A、B是两个事件，且P(A)>0，称在事件A发生的条件下事件B发生的概率为事件B在事件A发生下的条件概率，记作P(B|A)。
条件概率的公式如下：P(B|A) = P(AB) / P(A)其中P(AB)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A 发生的概率。
二、贝叶斯定理的概念与公式贝叶斯定理是一种基于条件概率的推理方法，它是由英国数学家贝叶斯提出的。
贝叶斯定理用于计算在已知某些观测结果的情况下，某一事件的概率。
设A1、A2、…、An是一组互不相容的事件，且在事件B发生的条件下，事件A1、A2、…、An中有且仅有一个发生，则根据贝叶斯定理可以得到：P(Ai|B) = P(Ai) * P(B|Ai) / [Σ(P(Aj) * P(B|Aj))]其中P(Ai|B)表示在事件B发生的条件下事件Ai发生的概率，P(Ai)表示事件Ai发生的概率，P(B|Ai)表示在事件Ai发生的条件下事件B 发生的概率，Σ表示求和运算。
三、条件概率与贝叶斯定理的应用条件概率与贝叶斯定理在实际问题中有着广泛的应用，例如医学诊断、信息处理、市场调查等。
以下分别就医学诊断和信息处理两个方面进行具体的应用案例介绍。
1. 医学诊断假设某种罕见疾病的患病率为0.1%，一种新型检测方法在健康人中的阳性率为1%，在患病人群中的阳性率为95%。
如果一个人的检测结果为阳性，那么他真正患有该疾病的概率是多少？设A表示患病，B表示阳性。
根据题意可得到：P(A) = 0.1% = 0.001P(B|A') = 1% = 0.01P(B|A) = 95% = 0.95根据条件概率公式计算可得：P(A|B) = P(A) * P(B|A) / [P(A) * P(B|A) + P(A') * P(B|A')]代入数值计算可得：P(A|B) = 0.001 * 0.95 / [0.001 * 0.95 + 0.999 * 0.01] ≈ 0.087因此，当一个人的检测结果为阳性时，他真正患有该疾病的概率约为8.7%。
7.1.2+++全概率公式+2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和
0.05.假设发送信号0和1是等可能的. (1)分别求接收的信号为0和1的概率；
发送0(A)
接收0(B)
解：
发送1(A)
接收1(B)
设A=" 发送的信号为0",B=" 接收的信号为0",则A=" 发送的信号为1", B=" 接收的信号为1". 由题意得 P(A)=P(A) =0.5,
一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率 为0.6; 如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率。
由全概率公式，得
代公式
P(B)= P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2)
=0.5×0.6+0.5 ×0.8 =0.7
B年
3
I
=P(A)P(B|A)+P(A )P(B|A )
十
引例2:一个盒子中有6只红球、4只黑球，每次随机摸出1个 球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为0.6, 那么第2次摸到红球的概率是多大?如何计算这个概率呢?
假设A1=“第一次摸到红球” A2=“第一次摸到黑球” B=“第二次摸到红球” B
易知，A₁UA₂=Ω, 且互斥，
引例2:一个盒子中有6只红球、4只黑球，每次随机摸出1个 球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为0.6, 那么第2次摸到红球的概率是多大?如何计算这个概率呢?
易 知 ，P(A)=
5
0
9
A₁
10
B
6
9
4
A2 10
高二数学条件概率知识点总结
高二数学条件概率知识点总结概率论作为数学的一个重要分支，是研究随机事件发生的规律性的一门学科。
而条件概率则是概率论中的一个重要概念，它描述了在已知某一事件发生的条件下，其他事件发生的概率。
在高二数学学习中，我们不可避免地会接触到条件概率的知识。
本文将对高二数学中条件概率的相关知识点进行总结。
1. 定义与公式条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。
其计算公式如下：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
2. 条件概率的性质(1) 非零性：当事件B发生的概率P(B)不为零时，条件概率P(A|B)也不为零。
(2) 正规性：对于一个样本空间Ω中的任意一个事件A，有P(A|Ω) = P(A)。
(3) 对偶性：事件A在已知事件B发生的条件下的概率，与事件B在已知事件A发生的条件下的概率是相同的，即P(A|B) =P(B|A)。
(4) 加法定理：对于两个事件A、B，有P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
3. 独立事件与互斥事件(1) 独立事件：如果事件A和事件B的概率满足P(A∩B) = P(A) × P(B)，则称事件A与事件B是相互独立的。
当事件A与事件B 相互独立时，有P(A|B) = P(A)，即事件B的出现并不影响事件A 的概率。
(2) 互斥事件：如果事件A和事件B的概率满足P(A∩B) = 0，则称事件A与事件B是互斥的。
互斥事件发生的条件下，事件A 和事件B不能同时发生。
4. 贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中的一个重要定理，它用于利用已知的条件概率来计算逆条件概率。
贝叶斯定理的表达式如下：P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)其中，P(A)为先验概率，即在没有任何其他信息的情况下，事件A发生的概率；P(A|B)为后验概率，即在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
高二数学人选择性必修件条件概率
拓展延伸：条件期望简介
01
条件期望的定义
在给定条件X=x下，随机变量Y 的数学期望，记作E(Y|X=x)。
02
条件期望的性质
条件期望具有线性性质，即 E(aX+bY|X=x) = aE(X|X=x) +
bE(Y|X=x)。
03
条件期望的应用
条件期望在统计学、经济学等 领域有广泛应用，如用于预测
、决策分析等。
02
乘法公式与全概率公式
乘法公式推导及应用
01
乘法公式推导
02
乘法公式应用
通过条件概率的定义，可以推导出乘法公式，即 $P(AB)=P(A)P(B|A)$。
乘法公式在解决复杂概率问题时非常有用，特别是当事件之间存在依 赖关系时。通过乘法公式，可以将复杂事件的概率分解为一系列简单 事件的概率之积，从而简化计算过程。
05
复合事件和复合试验条件 下概率计算
复合事件定义及性质
复合事件定义
由两个或两个以上的基本事件通过逻辑运算（如并、交、差等）组合而成的事 件称为复合事件。
复合事件性质
复合事件具有可分解性，即可以分解为若干个基本事件的组合；同时，复合事 件也具有可运算性，即可以通过逻辑运算进行复合事件的概率计算。
全概率公式及其意义
全概率公式
全概率公式是指当一个事件可以划分为两个或多个互斥事件 的和时，该事件的概率等于这些互斥事件概率的和。即 $P(B)=sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)$，其中$A_1, A_2, ldots, A_n$是一组完备事件组，且$P(A_i)>0$。
全概率公式的意义
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
高二数学事件的独立性3
意义 A、B同时发生的概率 A不发生B发生的概率
A发生B不发生的概率 A、B都不发生的概率 A、B中恰有一个发生的概率 A、B中至少有一个发生的概率 A、B中至多有一个发生的概率
例4、甲、乙两人各进行1次射击，如 果两人击中目标的概率都是0.6，求 （1）2人都击中目标的概率； （2）只有甲击中目标的概率； （3）恰有1人击中目标的概率； （4）至少有1人击中目标的概率； （5）至多有1人击中目标的概考：若系统连接成下面的系统，则该系统正常工作的 概率为多少？
Y X
Z
例3：加工某一零件需要两道工序，若第一， 二道工序的不合格品率分别为3%和5%,假定 各道工序是互不影响的，问：加工出来的零 件是不合格品的概率是多少？
（五）讨论研究
概率 P(A B)
P(A B)
P(A B)
P(A B) P(A B A B)
一般地，若事件A，B满足P（A︱B）=P（A）， 则称事件A，B独立。
1）当A，B独立时，B,A也是独立的，即A与 B独立是相互的。
2）当A，B独立时 P（A︱B）=P（A）
或 P（AB）=P（A）P（Ｂ） 或 Ａ事件的发生不影响
事件Ｂ的发生概率
推广：若事件Ａ１，Ａ２．．．Ａｎ相互独立，则这 ｎ个事件同时发生的概率Ｐ（Ａ１Ａ２．．．Ａｎ） ＝Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ａ２）．．．Ｐ（Ａｎ）
； 产权 招标采购 采购与招标网:/ ；
发现30多种矿产 5 9万平方米 33% 水能理论蕴藏量128千瓦 1963年建电站于平孟街 1980年 5平方公里 丽江市境内共有2个机场 丽江三义国际机场、宁蒗泸沽湖机场 郁江 景区面积263平方公里 有“长江第一湾”、石鼓镇、宝山石头城等景点 共计地表水资源为45.? 水能理论蕴藏量1. 湖
高二下数学条件概率知识点
高二下数学条件概率知识点条件概率是概率论中的重要概念，它描述了某个事件在给定其他事件发生的条件下发生的概率。
在高二下学期的数学课程中，我们学习了条件概率的相关知识点，下面将对这些知识点进行详细介绍。
一、条件概率的定义条件概率是指在已知某一事件B发生的条件下，另一事件A发生的概率。
用P(A|B)表示事件A在事件B发生的条件下发生的概率，其计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，∩表示两个事件的交集，P(A∩B)表示事件A和事件B共同发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
二、条件概率的性质1. 交换性：P(A|B) = P(B|A)2. 全概率公式：对于一组事件的划分C1, C2, ..., Cn，有P(A) =P(A|C1)P(C1) + P(A|C2)P(C2) + ... + P(A|Cn)P(Cn)3. 贝叶斯公式：对于一组事件的划分C1, C2, ..., Cn，有P(Ck|A) = P(A|Ck)P(Ck) / (P(A|C1)P(C1) + P(A|C2)P(C2) + ... + P(A|Cn)P(Cn))三、条件概率的应用1. 独立事件的条件概率：如果事件A和事件B是相互独立的，那么P(A|B) = P(A)，即在已知事件B发生的条件下，事件A的发生与否并不受事件B的影响。
2. 癌症筛查的条件概率：以癌症筛查为例，假设某项检测可以判断一个人是否患有某种特定癌症。
已知该检测的准确性为95%，即在患有该癌症的人中，有95%的人会被检测出来；而在没有患有该癌症的人中，有90%的人会被判断为未患有该癌症。
现在来考虑一个人被诊断为患有该癌症的情况下，他确实患有该癌症的概率有多大。
根据条件概率的定义，我们可以设事件A表示某人患癌症，事件B表示某人被诊断为患癌症。
则可计算P(A|B) = (0.95 * 0.01) / [(0.95 * 0.01) + (0.1 * 0.99)] ≈ 0.087，即一个人在被诊断为患癌症的情况下，他确实患有该癌症的概率约为8.7%。
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