月考试题及答案

绝密★启用前18-19学年（下）漠河县高级中学3月月考数学卷一、选择题（60分）1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则U C A B U 为 A 、{}1,2,4 B 、{}2,3,4 C 、{}0,2,4 D 、{}0,2,3,42．设0a >且1a ≠，则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”，是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件3．设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x+b(b 为常数)，则f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 4．设a ∈R ，若函数3,ax y e x x =+∈R 有大于零的极值点，则A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-5．已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则cos2α= (A) （B ）6．在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ，若222(+-)tan a c b B ，则角B 的值为（ ）A ．6πB ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π7．已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（）A.15[,]24B. 13[,]24C. 1(0,]2 D.(0,2]8．为得到函数)32cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ） A ．向左平移125π个单位 B ．向右平移125π个单位C ．向左平移65π个单位D ．向右平移65π个单位 9．设,,x y R ∈向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-r r r ，且,//a c b c ⊥r r r r，则||a b +=r r（A （B （C ）（D ）1010．已知1,6,()2==⋅-=a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 11．已知为等比数列，472a a +=，，则（ ） A.7 B.5 C.-5 D.-7 12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为A 、100101B 、99101C 、99100D 、101100二、填空题（20分）13．已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =∅I，则实数a的取值范围是 ． 14．已知函数()(sin cos )sin ,f x x x x x =-∈R ，则()f x 的最小正周期是 。

15．在∆ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB AC ⋅u u u r u u u r＝______________． 16．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=L ，，，，则此数列的通项公式为 ；三、解答题（70分要求写出推算过程）{}n a 568a a =-110a a +=17.文理科已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 15＝225. (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)设b n ＝3a n ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)设等差数列{a n }首项为a 1，公差为d ，由题意得，⎩⎨⎧a 1＋2d ＝515a 1＋15×142d ＝225，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝2，∴a n ＝2n －1.(2)b n ＝3a n ＋2n ＝32n －1＋2n ＝13·9n ＋2n ，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13(9＋92＋93＋…＋9n )＋2(1＋2＋3＋…＋n )＝13·9(1－9n )1－9＋n (n ＋1)＝38·9n ＋n (n ＋1)－38.18.文科已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x －12，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)已知△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，求a 、b 的值．[解析] (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x －12＝32sin2x －12cos2x －1＝sin(2x －π6)－1，∴f (x )的最小值是－2，最小正周期为π.(2)∵f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，即sin(2C －π6)＝1，∵0<C <π，－π6<2C －π6<11π6， ∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3.∵m 与n 共线，∴sin B －2sin A ＝0.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝2a ， ① ∵c ＝3，由余弦定理得，9＝a 2＋b 2－2ab cos π3， ②解方程组①②得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝23.19.理科在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0.(1)求角B 的值；(2)已知函数f (x )＝2cos(2x －B )，将f (x )的图象向左平移π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．[解析] (1)由正弦定理得(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0， 即2sin A cos B ＋sin C cos B ＋cos C sin B ＝0， 得2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，得2sin A cos B ＋sin A ＝0，因为sin A ≠0，所以cos B ＝－12， 又B 为三角形的内角，所以B ＝2π3. (2)∵B ＝2π3，∴f (x )＝2cos(2x －2π3)，∴g (x )＝2cos[2(x ＋π12)－2π3] ＝2cos(2x －π2)＝2sin2x ，由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2 (k ∈Z )，得 k π－π4≤x ≤k π＋π4 (k ∈Z )，故f (x )的单调增区间为[k π－π4，k π＋π4](k ∈Z )．20．文科(本小题满分12分)在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且b cos B 是a cos C ，c cos A 的等差中项．(1)求B 的大小；(2)若a ＋c ＝10，b ＝2，求△ABC 的面积． [解析] (1)由题意得，a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，由正弦定理得，sin A cos C ＋cos A sin C ＝2sin B cos B ，即sin(A ＋C )＝2sin B cos B .∵A ＋C ＝π－B,0<B <π，∴sin(A ＋C )＝sin B ≠0. ∴cos B ＝12，∴B ＝π3.(2)由B ＝π3得，a 2＋c 2－b 22ac ＝12， 即(a ＋c )2－2ac －b 22ac ＝12， ∵a ＋c ＝10，b ＝2，∴ac ＝2. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝32.21理科（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin 0a C C b c --=（1）求A （2）若2a =，ABC ∆的面积为3；求,b c 。

【解析】（1）由正弦定理得：cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C +--=⇔=+sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C a C CA A A A A ︒︒︒︒⇔=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=（2）1sin 42S bc A bc ==⇔= 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+= 解得：2b c ==22.文科设函数f (x )＝x 3＋ax 2－12x 的导函数为f ′(x )，若f ′(x )的图象关于y 轴对称．(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的极值．[解析] (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax －12为偶函数，∴a ＝0，∴f (x )＝x 3－12x .(2)f ′(x )＝3x 2－12，由f ′(x )>0得x <－2或x >2， 由f ′(x )<0得－2<x <2，∴f (x )在(－∞，－2)和(2，＋∞)上是增函数，在(－2,2)上是减函数，故极小值为f (2)＝－16，极大值为f (－2)＝16.23.理科已知函数f (x )＝x 2＋ax －ln x ，a ∈R . (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围； [解析] (1)当a ＝1时，由f ′(x )＝2x ＋1－1x ＝2x 2＋x －1x＝2(x －12)(x ＋1)x， ∵函数f (x )＝x 2＋x －ln x 的定义域为(0，＋∞)，∴当x ∈(0，12]时，f ′(x )≤0，当x ∈[12，＋∞)时，f ′(x )≥0， 所以函数f (x )＝x 2＋x －ln x 的单调递减区间为(0，12]单调递增区间为[12，＋∞)．(2)f ′(x )＝2x ＋a －1x ＝2x 2＋ax －1x ≤0在[1,2]上恒成立， 令h (x )＝2x 2＋ax －1，有⎩⎪⎨⎪⎧h (1)≤0h (2)≤0得⎩⎨⎧a ≤－1a ≤－72，得a ≤－72.24.文科已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上， 且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为1C 上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围。

【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ点,,,A B C D的直角坐标为1,1)-- （2）设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数2222224440t PA PB PC PD x y =+++=++25620sin [56,76]ϕ=+∈25.理科（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。