江苏省苏科版七年级数学下册学案：第12章 证明 12.3 互逆命题
(1)请你添加一个与直线AC 有关的条件，由此可得出BE 是ABC ∆的外角平分线; (2)请你添加一个与1∠有关的条件，由此可得出BE 是ABC ∆的外角平分线;
(3)如果“已知在ABC ∆中，12∠=∠”不变，请你把 (1)中添加的条件与所得结论互换，所得的命题是否是真命题?理由是什么?
课时2 与平行线、直角三角形有关的性质
知识点1 平行于同一条直线的两直线平行
1.如图，直线//a b ，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若158∠=︒，则2∠的度数为( )
A. 30º
B. 32º
C. 42º
D. 58º
2.如图，下列条件中，不能判定//AB CD 的是( ) A. //,//AB EF CD EF B. 3A ∠=∠
C. 180ABC BCD ∠+∠=︒
D. 12∠=∠
3.如图，已知直线1l ，2l ，3l 被直线l 所截，
172∠=︒，2108∠=︒，372∠=︒.求证:123////l l l .
4.如图，DAF AFE ∠=∠，EFB FBC ∠=∠，则AD 与BC 平行吗?为什么?
知识点2 直角三角形的判定和性质
5.如图，直角三角板的直角顶点落在直尺边上，若156∠=︒，则2∠的度数为( ) A. 56º B. 44º C. 34º D. 28º
6.如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，点,D E 分别在边,AC AB 上.若B ADE ∠=∠，则下列结论正确的是( ) A. A ∠和B ∠互为补角 B. B ∠和ADE ∠互为补角 C. A ∠和ADE ∠互为余角 D. AED ∠和DEB ∠互为余角
7.如图，在直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，BF 平分ABC ∠，AEF AFE ∠=∠，则三角形ABD 的形状为 .
8.如图，已知32A ∠=︒，110ADC ∠=︒，BCE ∆是直角三角形，90BEC ∠=︒.求B ∠的度数.
9.(1)如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥，1B ∠=∠，求证:ABC ∆是直角三角形. (2)你在(1)的证明过程中，运用了哪两个互逆的真命题?
【作业精选】 1.如图，在直角三角形ABC ，90ACB ∠=︒，55A ∠=︒，将其折叠，使点A 落在边CB 上，记为'A ，折痕为CD ，则'A DB ∠=( )
A. 40º
B. 30º
C. 20º
D. 10º
2.如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，,AC AB AD ≠是斜边BC 上的高，DE AC ⊥，
DF AB ⊥，垂足分别为E ，F ，则图中与C ∠相等的角(C ∠除外)的个数是( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6 3.如图1120∠=︒，260∠=︒，3100∠=︒，则4∠= 时，//AB EF .
4.证明:两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直.
如图，已知直线,AB CD 被直线EF 所截，//,,AB CD EG FG 分别是BEF ∠，DFE ∠的平分线，求证: EG FG ⊥.
5.如图，在ABC ∆中，已知AD 是BAC ∠的平分线，66B ∠=︒，54C ∠=︒. (1)求ADB ∠，ADC ∠的度数;
(2)若DE AC ⊥于点E ，求ADE ∠的度数.
6.已知点,,A C B 不在同一条直线上，//AD BE .
(1)如图1，当58A ∠=︒，118B ∠=︒时，求C ∠的度数;
(2)如图2，EBC ∠的平分线BQ 与DAC ∠的平分线AN 的反向延长线交于点Q ，试探究
C ∠与AQB ∠的关系;
(3)如图3，在(2)的前提下，且//AC QB ，QP PB ⊥，直接写出::DAC ACB CBE ∠∠∠ 的值.
12. 3 互逆命题 课时1 互逆命题
1. 若22
a b =，则a b =
2. ①与⑤；②与④；③与⑥
3. D
4. C
5. C
6. (1)等腰直角三角形的两个锐角都是45º，且45º<60º
故它是假命题. (2)当0m =时，2
0m =，不是正数
故它是假命题.
(3)如图，三条直线两两相交，但只有一个交点 故它是假命题.
【作业精选】 1. B 2. C
3. (1)//AC BE
(2) 1ABE ∠=∠或1DBE ∠=∠ (3)是真命题
理由如下:
因为BE 是ABC ∆的外角平分线 所以ABE DBE ∠=∠
又因为ABD ∠是ABC ∆的外角， 所以12ABD ∠=∠+∠
所以12ABE DBE ∠+∠=∠+∠ 又因为ABE DBE ∠=∠，12∠=∠ 所以1ABE ∠=∠ 所以//AC BE
课时2 与平行线、直角三角形有关的性质
1. B
2. D
3. ∵172∠=︒，372∠=︒ (已知) ∴13∠=∠
∴13//l l (内错角相等，两直线平行) ∵2108∠=︒
(2) 如图2，过点Q 作//QM AD 则//QM BE
∵//QM AD ，//QM BE
(3) ::1:2:2DAC ACB CBE ∠∠∠=。
七年级数学下册 第12章 证明 12.3 互逆命题(1)教案 (新版)苏科版
课题：12.3 互逆命题（1）教学目标: 1．引导学生通过具体实例，了解原命题及其逆命题的概念；2．会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立；3．通过具体的例子了解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的．重点；会识别两个互逆命题，并能利用反例证明一个命题是错误的．难点：准确表述一个命题的逆命题，学会利用反例进行有条理的表述教学方法教学过程一.【预学指导】初步感知、激发兴趣两直线平行，同位角相等．同位角相等，两直线平行．提问：1．这两个命题的条件和结论分别是什么？是真命题还是假命题？2．从结构上看，这两个命题有什么联系和区别？二.【新知探究】师生互动、揭示通法问题1．举例：在我们学过的命题中，还有类似的一些例子吗？（同桌交流）形成概念：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题是另一个命题的逆命题．（1）“正方形的四个角都是直角”与“四个角都是直角的四边形是正方形”；（2）“等于同一个角的两个角相等”与“如果两个角都等于同一个角，那么这两个角相等”；（3）“对顶角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”；（4）“同位角相等，两直线平行”与“同位角不相等，两直线不平行”．问题3. 说出下列命题的逆命题，并与同学交流．（1）如果a2＝b2，那么a＝b；（2）如果两个角是对顶角，那么它们的平分线组成一个平角；（3）末位数字是5的数，能被5整除；（4）锐角与钝角互为补角．问题4．判断上面问题3中四对互逆命题的真假．1．说明一个命题是真命题可以用推理的方法去证明，那如何说明一个命题是假命题呢(小组交流) ？举出一个符合命题的条件，但命题结论不成立的例子来说明命题是假命题，这样的例子称为反例．数学中，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例．2．如果一个命题是真命题，那么它的逆命题一定是真命题吗？你能举例说明吗？三.【变式拓展】能力提升、突破难点（1）如果|a|＝|b|，那么a=b；（2）任何数的平方大于0；（3）两个锐角的和是钝角；（4）如果一点到线段两端的距离相等，那么这点是这条线段的中点．四.【回扣目标】学有所成、悟出方法通过今天的学习，你学会了什么？你会正确运用吗？通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家．。
七年级数学下册第12章证明12.3互逆命题作业设计新版苏科版202002242136
12.3 互逆命题一．选择题（共8小题）1．对于命题“在同一平面内，若//a b ，//a c ，则//b c ”，用反证法证明，应假设( )A ．a c ⊥B ．b c ⊥C ．a 与c 相交D ．b 与c 相交2．已知：ABC ∆中，AB AC =，求证：90B ∠<︒，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①180A B C ∴∠+∠+∠>︒，这与三角形内角和为180︒矛盾②因此假设不成立．90B ∴∠<︒③假设在ABC ∆中，90B ∠︒④由AB AC =，得90B C ∠=∠︒，即180B C ∠+∠︒．这四个步骤正确的顺序应是( )A ．③④①②B ．③④②①C ．①②③④D ．④③①②3．用反证法证明，“在ABC ∆中，A ∠、B ∠对边是a 、b ，若A B ∠>∠，则a b >．”第一步应假设( )A ．a b <B ．a b =C ．a bD ．a b4．用反证法证明“0a >”，应当先假设( )A ．0a <B ．0aC ．0a ≠D ．0a5．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45︒”时，首先应假设这个直角三角形中( )A ．两个锐角都大于45︒B ．两个锐角都小于45C ．两个锐角都不大于45︒D ．两个锐角都等于45︒6．用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设( )A ．至少有一个内角是直角B ．至少有两个内角是直角C ．至多有一个内角是直角D ．至多有两个内角是直角 7．对于命题“已知：//a b ，//b c ，求证：//a c ”．如果用反证法，应先假设( )A ．a 不平行bB ．b 不平行cC ．a c ⊥D ．a 不平行c8．用反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，我们应假设( )A ．没有一个角是钝角或直角B ．最多有一个角是钝角或直角C ．有2个角是钝角或直角D ．4个角都是钝角或直角 二．填空题（共2小题）9．用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，可假设 ．10．已知五个正数的和等于1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于15应先假设 ．三．解答题（共5小题）11．证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．12．利用反证法求证：一个三角形中不能有两个角是钝角．13．如图，在ABC ∆中，AB AC =，P 是ABC ∆内的一点，且APB APC ∠>∠，求证：PB PC <（反证法）14．证明：在ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠中至少有一个角大于或等于60︒．15．用反证法证明：等腰三角形的底角相等．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．对于命题“在同一平面内，若//a b ，//a c ，则//b c ”，用反证法证明，应假设( )A ．a c ⊥B ．b c ⊥C ．a 与c 相交D ．b 与c 相交【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．【解答】解：c 与b 的位置关系有//c b 和c 与b 相交两种，因此用反证法证明“//c b ”时，应先假设c 与b 相交．故选：D ．【点评】本题结合直线的位置关系考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．2．已知：ABC ∆中，AB AC =，求证：90B ∠<︒，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①180A B C ∴∠+∠+∠>︒，这与三角形内角和为180︒矛盾②因此假设不成立．90B ∴∠<︒③假设在ABC ∆中，90B ∠︒④由AB AC =，得90B C ∠=∠︒，即180B C ∠+∠︒．这四个步骤正确的顺序应是( )A ．③④①②B ．③④②①C ．①②③④D ．④③①②【分析】通过反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；理顺证明过程即可．【解答】解：由反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论； 所以题目中“已知：ABC ∆中，AB AC =，求证：90B ∠<︒”．用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：假设90B ∠︒；那么，由AB AC =，得90B C ∠=∠︒，即180B C ∠+∠︒所以180A B C ∠+∠+∠>︒，这与三角形内角和定理相矛盾，；所以因此假设不成立．90B ∴∠<︒；原题正确顺序为：③④①②．故选：A ．【点评】本题考查反证法证明步骤，考查基本知识的应用，逻辑推理能力．3．用反证法证明，“在ABC ∆中，A ∠、B ∠对边是a 、b ，若A B ∠>∠，则a b >．”第一步应假设( )A ．a b <B ．a b =C ．a bD ．a b【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．【解答】解：根据反证法的步骤，得第一步应假设a b >不成立，即a b ．故选：C ．【点评】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．4．用反证法证明“0a >”，应当先假设( )A ．0a <B ．0aC ．0a ≠D ．0a【分析】根据命题：“0a >”的反面是：“0a ”，可得假设内容．【解答】解：由于命题：“0a >”的反面是：“0a ”，故用反证法证明：“0a >”，应假设“0a ”，故选：B ．【点评】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．5．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45︒”时，首先应假设这个直角三角形中( )A ．两个锐角都大于45︒B ．两个锐角都小于45C ．两个锐角都不大于45︒D ．两个锐角都等于45︒【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45︒”时， 应先假设两个锐角都大于45︒．故选：A ．【点评】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．6．用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设() A．至少有一个内角是直角B．至少有两个内角是直角C．至多有一个内角是直角D．至多有两个内角是直角【分析】反证法即假设结论的反面成立，“最多有一个”的反面为“至少有两个”．【解答】解：“最多有一个”的反面是“至少有两个”，反证即假设原命题的逆命题正确∴应假设：至少有两个内角是直角．故选：B．【点评】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，不需要一一否定，只需否定其一即可．7．对于命题“已知：//a c”．如果用反证法，应先假设()a b，//b c，求证：//A．a不平行b B．b不平行c C．a c⊥D．a不平行c【分析】根据命题：“已知：//a c”的反面是：“a不平行c”，可得a b，//b c，求证：//假设内容．【解答】解：由于命题：“已知：//a c”的反面是：“a不平行c”，a b，//b c，求证：//故用反证法证明：“已知：//a b，//a c”，应假设“a不平行c”，b c，求证：//故选：D．【点评】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．8．用反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，我们应假设() A．没有一个角是钝角或直角B．最多有一个角是钝角或直角C．有2个角是钝角或直角D．4个角都是钝角或直角【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意>的反面有多种情况，应一一否定．的是a b【解答】解：用反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应假设没四边形中没有一个角是钝角或直角，故选：A．【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．二．填空题（共2小题）9．用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，可假设两直线平行，同位角不相等．【分析】首先确定命题的结论，进而从反面假设得出答案．【解答】解：用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，可假设：两直线平行，同位角不相等．故答案为：两直线平行，同位角不相等．【点评】此题主要考查了反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．10．已知五个正数的和等于1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于15应先假设这五个数都小于15．【分析】熟记反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可．【解答】解：知五个正数的和等于1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于1 5应先假设这五个数都小于15，故答案为：这五个数都小于1 5【点评】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．三．解答题（共5小题）11．证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．【分析】当条件较少，无法直接证明时，可用反证法证明；先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．【解答】证明：假设在一个三角形中没有一个角小于或等于60︒，即都大于60︒；那么，这个三角形的三个内角之和就会大于180︒；这与定理“三角形的三个内角之和等于180︒”相矛盾，原命题正确．【点评】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．12．利用反证法求证：一个三角形中不能有两个角是钝角．【分析】根据反证法的证明方法假设出命题，进而证明即可．【解答】证明：假设A ∠、B ∠、C ∠中有两个角是钝角，不妨设A ∠、B ∠为钝角， 180A B ∴∠+∠>︒，这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立原命题正确．【点评】此题主要考查了反证法，需熟练掌握反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．13．如图，在ABC ∆中，AB AC =，P 是ABC ∆内的一点，且APB APC ∠>∠，求证：PB PC <（反证法）【分析】运用反证法进行求解：（1）假设结论PB PC <不成立，即PB PC 成立．（2）从假设出发推出与已知相矛盾．（3）得到假设不成立，则结论成立．【解答】证明：假设PB PC ．把ABP ∆绕点A 逆时针旋转，使B 与C 重合，PB PC ，PB CD =，CD PC ∴，CPD CDP ∴∠∠，又AP AD =，APD ADP ∴∠=∠，APD CPD ADP CDP ∴∠+∠∠+∠，即APC ADC ∠∠，又APB ADC ∠=∠，APC APB ∴∠∠，与APB APC ∠>∠矛盾，PB PC ∴不成立，综上所述，得：PB PC <．【点评】此题主要考查了反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．14．证明：在ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠中至少有一个角大于或等于60︒．【分析】利用反证法的步骤，首先假设原命题错误，进而得出与三角形内角和定理矛盾，从而证明原命题正确．【解答】证明：假设ABC ∆中每个内角都小于60︒，则180A B C ∠+∠+∠<︒，这与三角形内角和定理矛盾，故假设错误，即原结论成立，在ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠中至少有一个角大于或等于60︒．【点评】此题主要考查了反证法，正确把握反证法的证明步骤是解题关键．15．用反证法证明：等腰三角形的底角相等．【分析】画出图形，写出已知、求证，然后根据反证法的步骤给出证明即可解决问题．【解答】已知：如图ABC ∆中，AB AC =，求证：B C ∠=∠．证明：假设B C ∠≠∠，()B C ∠>∠，B C ∠>∠，AC AB ∴>，这与已知AB AC =矛盾，∴假设不成立，结论成立．∴∠=∠．B C【点评】本题考查反证法，记住反证法分步骤是解题的关键，记住反证法的第一步是假设结论不成立，然后推出与已知或定理矛盾，最后强调假设不成立，结论成立，属于中考常考题型．。
七年级数学下册 第12章 证明 12.3 互逆命题教案 (新版)苏科版
12。
3 互逆命题
探索活动
如图:
（1）如果AD∥EF，那么可以得到什么结论？
（2）如果∠EFC＋∠C＝180°，那么可以得到什么结论呢？
（3)证明AD∥EF，需要什么条件？证明EF∥BC呢?
(4）证明AD∥EF∥BC，需要什么条件？
学生回顾“三线八角”的相关知识，
积极思考，回答问题．
问题（1）、(2）
是“由已知想可知”
的思考；问题(3）、(4）
是“由未知想需知”
的思考．
引导学生逐步认
识：图形特殊的“位
置关系"往往决定了
图形具有特殊的“数
量关系”；反过来，图
形特殊的“数量关系”
常常决定了图形具有
特殊的“位置关
系”．体会认识图形需
要关注形与数之间的
内在联系，并为例1
作铺垫．
例题教学
例 1 证明:平行于同一条直线的两条直线平行．
1．按照证明与图形有关的命题的
一般步骤画图，写已知、求证．
2．观察、思考、证明．
3．学生板演．
巩固与图形有关
的命题证明的一般步
骤．
结合上一个问题
的分析思考，学生意
A
E B
F
C D。
苏科初中数学七年级下册《12.4互逆命题》教案 (4).doc
12.3互逆命题
一.设计思路
这节课创设了一个根据条件观察图形，做出猜想，证明猜想的活动情境，设计这个活动，使学生既经历合情推理，又经历演绎推理，不断发展初步演绎推理能力，从而使《标准》中“经历观察，实验猜想，证明”等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自已的观点”这些过程性目标得到落实，再通过例题让学生知道可用不同的方式和方法证明同一个命题.
二.目标设计
1. 能使用合情推理和演绎推理证明一个命题；
2. 知道可以用不同的方式与方法证明同一个命题；
3. 探索关于图形的“位置关系”和“数量关系”的互逆命题.
三.活动设计
在下列括号内填写推理的依据
所
构造了课本中讨论的关于图
四.
引导学生逐步认识探索图形的性质要关注图形的例
题
设
计
那么这两证明”等活动，由合情推理到演绎推理，能有条理地、清晰地
如同三角形
种方法，可让学生自己先说证路，教师切不可自己先讲，要让学生有自己的思考过程，
=AC
分析：图中
五.拓展练习
，则∠CAD ADC=180180 答：的度数为36说明：这个几何计算题中没有知道任何一个角的度数，可给下面的证明过程证明理由BC=BC(。
苏科版七年级下学期第12章：证明(单元复习)学案.docx
第12章：证明(单元复习)【学习目标】1. 掌握定义、命题、定理、逆命题、互逆命题等概念，知道一个命题是真命题，它的逆命 题不一定是真命题.2. 基本事实是其真实性不加证明的真命题，弄清真命题与定理的区别.3. 会用举反例说明一个命题是假命题，会用反证法证明.【重难点】重点：定义、命题、定理、逆命题、互逆命题等概念的理解与运用 难点：会用举反例说明一个命题是假命题，掌握反证法【知识结构】【例题精讲】题型一：命题结构辨析例1.下列命题的条件是什么？结论是什么？(1) 如果 a>b, bAc,那么 a=c ；(2) 能被2整除的数也能被4整除；(3) 若卩=0,则兀=0.题型二：真、假命题判断例2・下列命题中，真命题是A. 若互补的两个角相等，则此两角都是直角B. 直线是平角C. 不相交的两条直线叫做平行线D. 和为180°的两个角叫做邻补角定义 对名称或术语的含义进行描述或做岀规定就是给出它的定义_・・“…■- f 石眄一一r ~… 一 ........... 蹙鉉判斷二件申悄的句子 组成:山条件和结论两部分组成 定义与命题 、命题 形式:可以写成“如果那么……”的形式 貞•命题：如果条件成立■那么结迄就成辺假命题：条件成立时，不能保证结论的輕坦 I互逆命题:两个命题的条件和结论正好相反 -分类 概念：根据已知的真命题确定某个命题真实性的过程格式,⑴根据题意画图；⑵写已知、求证；⑶写出证明过程证明一公理、定理J —〔 反例 符合命题的条件，但命题的结论不成立公理：把人们公认的一些真命题作为公理至理：经过证明的真命题 ■ 定理：三角形的内角和是180。
—三角形内角和定理及推论 推论 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角丁心 wA <，直角三角形的两个锐角互余 一 — 一 ———r 有两个角互余的三角形是直角三角形平行于同一条直线的两条直线平行证明-直角三角形的判定平行线的基本性质例3.下列语句：①如果兀=3可以使方程(x+l)(x -3)=0的左右两边相等，那么x =3是方 程(x+l)(x-3)=0的解；②如果a<b,那么a - 2<b - 1；③如果两个角相等，那么这 两个角是对顶角.其中正确的有例4.写出下列命题的逆命题，并指出真假.(1) 如果(6/-/?)2+(/?-C )2 = 0,那么a = h = c ；(2) 对顶角相等.题型三：反证法例5.用反证法证明：连接直线外一点和直线上各点的所有线段屮垂线段最短.题型四：归纳探究题例6. (1)如图1，把三角形纸片ABC 折叠，使3个顶点重合于点P ・这时Za+ZQ+Z ------ = ----------------- °； Z1 + Z2+Z3+Z4+ Z5+Z6= _________ °；, “ (2)如果三角形纸片ABC 折叠后，3个顶点并不重合于点P (如图2)・那么第(1) 小题中关于“Z1 + Z2+Z3+Z4+Z5+Z6”的结论是否仍然成立？请说明 理由.例7.在△ ABC 中.(1) 如图1, AB 、AC 边上的高CE 、BD 交于点0,若ZA=60°,则ZB0C= __________ .(2) 如图2,若ZA 为钝角，请画出AB 、AC 边上的高CE 、BD, CE 、BD 所在直线交于点O,则ZBAC+ZBOC= ___________ ,再用你己学过的数学知识加以说明.(3) 由(1)、(2)可以得到，无论ZA 为锐角还是钝角，总有ZBAC+ZBOC= ________ . A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个例&我们知道：平行四边形的血积=(底边)*这条底边上的高).如图，四边形ABCD都是平行四边形，AD〃BC, AB〃CD,设它的面枳为S.(1)如图①，点M为AD±任意一点，若ABCM的面积为Si，则S|： S= _________ ；(2)如图②，点P为平行四边形ABCD内任意一点时，记APAB的面积为S', APCD的而积％S〃，平行四边形ABCD的面积为S,猜想得S'、S"的和与S的数量关系式为 __________ ;(3)如图③，已知点P为平行四边形ABCD内任意一点，APAB的面积为3, APBC 的面积为7,求APB。
七年级数学下册第12章证明12-3互逆命题新版苏科版
感悟新知
解：AB ∥ EF. 理由如下：
知3－练
∵ ∠ 1= ∠ 2，∠ 1= ∠ AGH，
∴∠ 2= ∠ AGH.
∴ AB ∥ CD(同位角相等，两直线平行).
∵∠ 2＋ ∠ 3=180°，∠ 3= ∠ EPH，
∴∠ 2＋ ∠ EPH=180°.
∴ EF ∥ CD(同旁内角互补，两直线平行).
∴ AB ∥ EF(平行于同一条直线的两条直线平行).
3. 应用 利用直角三角形的性质可以得到两个锐角的数量关 系，而在判定一个三角形是直角三角形时，除利用直角 三角形的定义外，还可找出两个互余的锐角，从而直接 判定其为直角三角形.
感悟新知
知识储备
知4－讲
1.“直角三角形的两个锐角互余”及“有两个角
互余的三角形是直角三角形”都可以利用三角形的
感悟新知
知3－练
另解1： ∵ ∠ 1= ∠ 2，∠ 2= ∠ GHD， ∴∠ 1= ∠ GHD.∴ AB ∥ CD. ∵∠ 2＋∠ 3=180°,∠ 2＋∠ DHP=180°, ∴∠ 3= ∠ DHP.∴ EF ∥ CD.∴ AB ∥ EF.
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另解2： ∵∠ 2＋∠ 3=180°,∠ 3＋∠ HPF=180°, ∴∠ 2= ∠ HPF. ∵∠ 1= ∠ 2, ∴∠ 1= ∠ HPF. ∴ AB ∥ EF.
n2”是假命题，所列举的反例可以是( )
A. m=3，n=6
B. m=6，n=3
C. m=－3，n=－6
D. m=－6，n=－3
解题秘方：紧扣举反例“符合命题的条件，不符合 命题的结论”逐一进行判断．
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知2－练
解：A. ∵ 3<6，不符合命题的条件，∴所列举反例错误； B. ∵ 6>3，62>32，符合命题的条件，也符合命题的结 论，∴所列举反例错误； C. ∵ －3>－6，(－3)2<(－6)2，符合命题的条件，不 符合命题的结论，可以推出原命题是假命题，∴所列举 反例正确；D. ∵ －6<－3，不符合命题的条件，∴所列 举反例错误. 答案：C
【K12学习】七年级数学下册第十二章证明教学案(苏科版)
七年级数学下册第十二章证明教学案（苏科版）课时定义与命题学习目标：了解定义，命题的内涵，会区分一个句子是否是命题。
会判断命题的真假性。
激情投入，体验学习的成功与快乐。
重点：了解定义，命题的含义，判断一个句子是否是命题。
难点：真假命题的推理论证。
导学过程：一、自主学习写出一个你所熟悉的定义：做命题。
写出一个你所熟悉的命题：命题有命题和命题。
二、合作探究判断下列句子是不是命题熊猫没有翅膀。
任何一个三角形一定有直角。
两点确定一条直线。
作线段AB=cD。
无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数。
平行用符号“∥”表示。
下列命题中哪些是假命题，为什么？绝对值相等的两个数一定相等。
如果a=b，那么a=b。
末位数字为0的数必能被5整除。
两个锐角之和为钝角。
如果a=b，那么a=b。
三角形的三条中线交于一点。
三、巩固练习下列语句中，可称为定义的是A.如果∣a∣=∣b∣，那么a=bB.十五的月亮是圆的。
c.点到直线的垂直线段的长度称为点到直线的距离。
下列命题，其中正确命题的序号有①对顶角未必相等。
②在同一平面内，如果a∥b，b∥c，那么a∥c③若a⊥b，b⊥c，那么a⊥c④如果ac=bc，那么a=b⑤互补的两个角相等⑥钝角的补角是锐角⑦在相同高度，重的物体比轻的物体下落的速度快。
举出一些不是命题的语句：四、当堂检测证明下列命题是假命题大于90度的角是钝角。
负数与正数的和是正数。
如果a+b是奇数，那么a，b都是奇数。
综合提升有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中一个箱子内，并且红箱子上写着：“苹果在这个箱子里。
”黄箱子上写着：“苹果不在这个箱子里。
”蓝箱子上写着：“苹果不在红箱子里。
”已知上面三句话中，只有一句是真的，你知道苹果在哪个箱子里？第二课时定义与命题学习目标：了解命题的构成，能区分命题中的条件和结论。
了解本教材所采用的公理。
重点：找出命题的条件和结论难点：用“如果……那么……”表示命题导学过程：一、自主学习下列哪些是命题：三角形内角和等于1800.对顶角相等。
七年级数学下册第12章证明12.3互逆命题(1)导学案(无答案)苏科版(2021年整理)
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课题:12.3 互逆命题(1）学习目标: 1．引导学生通过具体实例，了解原命题及其逆命题的概念；2．会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立;3．通过具体的例子了解反例的作用,知道利用反例可以证明一个命题是错误的．重点；会识别两个互逆命题，并能利用反例证明一个命题是错误的．难点：准确表述一个命题的逆命题，学会利用反例进行有条理的表述学习方法学习过程一.【预学指导】初步感知、激发兴趣两直线平行，同位角相等．同位角相等，两直线平行．提问：1．这两个命题的条件和结论分别是什么？是真命题还是假命题？2．从结构上看，这两个命题有什么联系和区别？二。
【新知探究】师生互动、揭示通法问题1．举例：在我们学过的命题中，还有类似的一些例子吗？(同桌交流）形成概念:在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题是另一个命题的逆命题．问题2。
下列各组命题是否是互逆命题：（1）“正方形的四个角都是直角"与“四个角都是直角的四边形是正方形”；（2）“等于同一个角的两个角相等"与“如果两个角都等于同一个角，那么这两个角相等”；(3)“对顶角相等”与“如果两个角相等,那么这两个角是对顶角”；（4)“同位角相等，两直线平行”与“同位角不相等，两直线不平行”．问题3. 说出下列命题的逆命题，并与同学交流．(1)如果a2＝b2，那么a＝b；（2）如果两个角是对顶角，那么它们的平分线组成一个平角；（3）末位数字是5的数，能被5整除；（4）锐角与钝角互为补角．问题4．判断上面问题3中四对互逆命题的真假．1．说明一个命题是真命题可以用推理的方法去证明，那如何说明一个命题是假命题呢 (小组交流) ?举出一个符合命题的条件，但命题结论不成立的例子来说明命题是假命题，这样的例子称为反例．数学中，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例．2．如果一个命题是真命题，那么它的逆命题一定是真命题吗？你能举例说明吗？三。
初中数学七年级下册苏科版12
1.通过实例分析，培养学生观察、分析、归纳问题的能力。
2.通过小组合作、讨论交流，培养学生团队协作、共同探究的学习习惯。
3.通过解决实际问题，培养学生将数学知识应用于实际生活的能力。
4.引导学生运用反证法、直接证明等方法证明互逆命题，提高学生逻辑推理能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，增强学习数学的自信心。
4.适时反馈，调整教学：
-在教学过程中，及时关注学生的学习反馈，了解学生的掌握情况。
-根据学生的反馈，适时调整教学策略，确保教学效果。
5.拓展延伸，提高素养：
-结合教学内容，引入数学历史、数学文化等相关知识，提高学生的数学素养。
-鼓励学生在课后进行拓展阅读，了解互逆命题在数学发展史上的地位和作用。
6.评价激励，促进成长：
2.通过学生回答，引出互逆命题的概念，激发学生的学习兴趣。
3.提问：互逆命题在我们的生活中有哪些应用？它们在数学中有什么重要作用？
4.导入新课：今天我们将学习互逆命题的知识，解它们的构成、判断方法以及证明过程。
（二）讲授新知
1.讲解互逆命题的定义：互逆命题是由两个命题构成的，其中一个命题是另一个命题的逆命题，它们在逻辑上具有相互推导的关系。
2.设计不同难度的练习题，引导学生逐步掌握互逆命题的判断方法和解题技巧。
3.注重启发式教学，鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
4.在教学中关注学生的个体差异，对学习困难的学生给予更多的关心和指导，帮助他们克服学习难点。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解互逆命题的概念，掌握互逆命题的构成及判断方法。
-建立多元化评价体系，关注学生在知识掌握、能力提升、情感态度等方面的全面发展。
苏科版七年级下册数学 第12章 证明 复习 教案
课堂练习
1、下列语句中，不是命题的是（）．
A、同位角相等
B、延长线段AD
C、两点之间线段最短
D、如果x>1，那么x+1>5
2、下面有3个命题：①同旁内角互补；②两直线平行，内错角相等；•③垂直于同一直线的两直线互相平行．其中真命题为（）．
A、①
B、③
C、②③
D、②
3、一个三角形的一个内角等于另外两个内角的和，则这个三角形是（）．
A、直角三角形
B、锐角三角形
C、钝角三角形
D、何类三角形不能确定
4、如图，已知AB∥CD∥EF，∠ABC=50°，∠CEF=150°，则∠BCE的值为（）．
A、50°
B、30°
C、20°
D、60°
5、如图：已知CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，
∠1＋∠2＝90°，求证：AD∥CB 思考并作答（根据学生的实际能力表现，可安排小组讨论）．
组织学生小组交流讨论，通过合作学习的方式进一步巩固本节课的学习内容，同时活跃课堂气氛，在一堂课的后半段激发学生学习
的热情，以提高课堂效率．
O
D
A
B
C
A
B
A
B
F
图③
2
1
E
D
C B
A。